合肥九上沪科版数学锐角三角函数试卷

大家好，这节课我们开始锐角的三角函数第三课时的学习。三十度、四十五度、六十度角的三角函数值 在上节课的学习中，我们已经知道了三种锐角三角函数。如图，在二 d 三角形 a、 b、 c 中，你能根据锐角三角函数定义写出角 a 的三角函数吗？ 正弦三 a 等于角 a 的对边比斜边等于 a 比 c。 余弦 cosine， a 等于角 a 的零边比斜边等于 b 比 c。 正切 吞进 a 等于角 a 的对边比，角 a 的零边等于 a 比 b。 在这个知识点的记忆中，同学们要做到脑中有图，心中有事。 接下来我们观察一副三角尺，其中有几个锐角，他们分别等于多少度？ 显然，一副三角尺中有四个锐角分别等于三十度、六十度、四十五度、四十五度。你能求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值吗？ 我们首先来研究三十度、六十度的直角三角形。在直角三角形中，三十度角所对的直角边和斜边有什么关系？ 我们知道，在直角三角形中，三十度角所对的直角边是斜边的一半。如图，若设三十度角所对的直角边是 a， 那么斜边长为奥 a。 根据勾股定理可以求得六十度角所对的直角边为根号奥 a 的平方减 a 平方等于根号三 a。 由锐角三角函数定义，可求出三十度、六十度的三角函数值。 所以，在直角三角形中， satin 三十度等于三十度角的对边比斜边等于 a 比二， a 等于二分之一。 cosine 三十度等于三十度角的零边比 斜边等于根号三 a 比二， a 等于二分之根号三。吞进三十度等于三十度角的对边比三，四度角的零边等于 a， 比根号三， a 等于三分之根号三。 三一，六十度等于六十度角的对边比，斜边等于根号三。 a 比二， a 等于二分之根号三。 口三。以六十度等于六十度角的零边比斜边等于 a， 比二， a 等于二分之一。 吞进六十度等于六十度角的对边比，六十度角的零边等于根号三。 a 比 a 等于根号三。我们 继续研究四十五度的等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，三边长有什么样的特殊的数量关系呢？ 我们知道，在等腰直角三角形中，若设两条直角边长为 a， 则根据勾股定理可以求得斜边长为根号 a， 平方加 a 平方等于根号二。 a。 由三角函数定义，可求出四十五度角的三角函数值。所以在直角三角形中，撒音四十五度等于四十五度角的对边比，斜边 等于 a， 比根号 a 等于二分之根号二。括三音四十五度等于四十五度角的对边比斜边等于 a， a 比根号二， a 等于二分之根号二。吞进四十五度等于四十五度角的对边比四十五度角的零边等于 a， 比 a 等于一。 于是我们就得到了特殊角的三角函数值，如下表， 在这里向大家介绍两种记忆的方法。一、口诀法一二三三二一三九二十七、弦比二，切比三、分子根号别忘天。 第二种方法，画图，根据三十度、六十度的直角三角形、四十五度的等腰直角 三角形的三条边之间的数量关系和锐角三角函数的定义求得这张表有两个用处，一是我们可以很清楚的看到三十度、四十五度、六十度角的三角函数值。 二是根据特殊三角函数值可以求出对应的角度。从上面的结论我们不难发现，撒音三十度等于扩撒音六十度，撒音六十度等于扩撒音三十度，撒音四十五度等于扩撒音四十五度。 这些角的正弦的值等于他们余角的余弦值。 你能说明理由吗？因为在直角三角形中，若一个锐 角确定，那么这个角的对边与零边、对边与斜边，零边与斜边的比值也随之确定，与直角三角形的大小无关。如图，根据锐角三角函数定义，我们可以得到，三 a 等于 a 比 c， 括三 a 等于 b 比 c， 三 in b 等于 b 比 c， 括三 in b 等于 a 比 c， 所以三 in a 等于括三 in b， 括三 in a 等于三 in b。 因为角 a 加角 b 等于九十度，所以角 b 等于九十度。减角 a， 即三 a 等于 cosine， b 等于 cosine。 九十度。减角 a， 括三 in a 等于三 in b 等于三 in 九十度。减角 a。 用文字叙述这个结论就是，任一个锐角的正弦值等于他的余角的余弦值，或者任一个锐角的余弦值等于他的余角的正弦值。 用几何语言表示为，因为角 a 加角 b 等于九十度，所以三 a 等于 cosine b， cosine a 等于三 in b。 接下来我们共同学习几个例题。例一，求下列各式的值。 本题要求我们 熟记三十度、四十五度、六十度这些特殊角的三角函数值，把相应的特殊角的三角函数值带入到算式中计算即可。 第一小题二三一，六十度加三，吞进三十度加吞进四十五度等于二乘以二分之。根号三加三乘以三分之。根号三加一就等于二，根号三加一。 第二小题， cosine 四十五度的平方加吞进六十度乘以 cosine 三十度等于二分之。根号二的平方加根号三乘以二分之。根号三等于二分之一 加二分之三等于二。第三小题分子是撒引六十度减吞进四十五度，分母是吞进六十度减。奥，吞进四十五度， 他等于二分之二，三减一比上根号三减二乘以一等于根号三减二，比上两倍的根号三减二等于二分之一。 本题中的第二小题我们需要注意 cosine 四十五度的书写形式， 我们继续看。利奥，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。若 x， n a 等于三分之一，求 cosine b 的值。在二的三角形 a、 b、 c 中，角 a 与角 b 互于，所以 cosine b 等于萨 in a 等于三分之一。 注意本题的解答，让我们知道，利用互与两角的正弦和与弦之间的关系，可快速帮助我们解决问题。但要注意的是，该结果只对互与的两个角成立。 我们再来看例三，已知角 a 是锐角，若 cosine a 等于三，因五十度求角 a 的度数。 根据角 a 的余弦值等于五十度角的正弦值， 所以角 a 与五十度角互于 g， 角 a 等于九十度，减五十度等于四十度。 我们继续看。例四，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 角 b 都是锐角。 若 satin a 减二分之，根号的绝对值加二分之，根号三减 cosine b 的平方等于零，求 c 的度数。 因为三 a 减二分之根号为非负数，二分之根号三减括三 a、 b 的平方也为非负数，即三 a 减 减二分之根号大于等于零，二分之根号三减括三因 b 的平方大于等于零，并且三因 a 减二分之根号的绝对值加二分之根号三减括三因 b 的平方等于零。 所以本题属于非负数加非负数等于零的问题。只有当三 a 减二分之根号等于零， 二分之二三减 cosin b 等于零时，条件才能成立，从而得到三 a 等于二分之根号， cosine b 等于二分之二三， 所以角 a 等于四十五度，角 b 等于三十度。在三角形 a、 b、 c 中，我们根据三角形的内角和等 一百八十度，从而求得角 c 等于一百八十度。减角 a、 减角 b 等于一百八十度。减四十五度，减三十度等于一百零五度。详细解题步骤如下， 我们再来看。例五、在二题，三角形 a、 b、 c、 中角 c 等于九十度。 a、 b、 c 分别表示二题三角形 a、 b、 c。 中角 a、 角 b、 角 c 的对边。 第一小题求吞进 a、 吞进 b。 第二小题观察一中的计算结果，你能发现吞进 a 与吞进 b 之间有什么关系吗？第三 小题应用已知吞井 a 等于二，求吞井九十度。减二法二计算括三四五度乘以吞井六十五度，乘以吞井二十五度。 首先我们来看第一角题，如图，在二题，三角形 a、 b、 c、 中角 c 等于九十度。 根据锐角三角函数定义可得吞进 a 等于角 a 的对边比。角 a 的写零边等于 bc 比 ac 等于 a 比 b， 吞进 b 等于角 b 的对边比，角 b 的零边等于 a， c 比 b， c 等于 b 比 a。 再看第二小题， 由一可知，吞进 a 乘以，吞进 b 等于 b 分之， a 乘以 a 分之， b 等于一。 因为角 a、 角 b 是直角三角形 a、 b、 c 中的两个锐角，所以角 a 与角 b 互于。 从而我们可以归纳出结论，沪渝的两个锐角的正切值的乘积为一。 最后我们看第三小题。第一问，根据第二小题得出的结论，互与的两个锐角的正切值的乘积为一。 因为吞井二法等于二，所以吞井九十度减二法等于吞井二法的倒数等于二分之一。 第二小题求 cosine 四五度乘以吞进六十五度乘以吞进二十五度的值。因为 cosine 四五度等于二分之根号，只要求得吞进六十五度和吞进二十五度的值就可以了。 因为六十五度与二十五度互余，根据互余的两个锐角的正线值的乘积为一，所以吞进六十五度乘以吞进二十五度等于一。 所以 cosine 四五度乘以吞进六十五度乘以吞进二十五度就等于二分之根号乘以一等于二分之根号。 我们来看第六要求吞进三十度的值，可 构造如图所示的直角三角形进行计算，做 rt。 三角形 abc 实角 c 等于九十度，斜边 ab 等于二， 直角边 a、 c 等于一。那么 b、 c 等于根号三角 a、 b、 c 等于三十度。吞进三十度等于 a， c 比 b、 c 等于一，比根号三等于三分之二。三、 在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出腾讯十五度的值。 请你写出添加辅助线的方法，并求出吞进十五度的值。 如图，我们可以延长 c、 b 至点 d， 使得 d、 b 等于 a、 b 连接 a、 d， 则三角形 a、 b、 d 是等腰三角形，它的两个底角是相等的 g 角 d 等于角 d、 a、 b。 因为角 a、 b、 c 是三角形 a、 b、 d 的外角，所以角 a、 b、 c 等于角 d 加角 d、 a、 b 等于三十度， 而角 d 与角 d、 a、 b 相等，所以角 d 等于角 d、 a、 b 等于十五度。 在二 t 三角形 a、 b、 c 中，由 a、 b 等于 d、 b 等于二 b、 c 等于根号三得 c、 d 等于 d， b 加 b、 c 等于二 加根号三。因为 a、 c 等于一，所以吞进 d 等于 a、 c 比 c、 d 等于一比二加根号三等于二减根号三，即吞进十五度，等于二减根号三。 详细解题步骤如下， 本题还有其他的解决方法吗？同学们可以再次思考一下。 本题需要我们求吞进十五度的值。根据我们刚才的第一种解题方法，我们关键要构造含有十五度的直角三角形。图中角 a、 b、 c 等于三十度。如果做角 a、 b、 c 的 角平分线 b、 d 交 a、 c 与点 d， 就可以得到角 d、 b、 c 等于角 a、 b、 d 等于十五度。 在直角三角形 d、 b、 c 中吞进角 d、 b、 c 等于 c、 d 比 b、 c。 已知 b、 c 等于根号三。只要求得 c、 d 就能求得吞进角 d、 b、 c。 如何求 c、 d 呢？ 根据角平分线的性质定理，我们过点 d 做 d， e 垂直 a、 b 垂足为点 e 因为 d、 c 垂直 b、 c 所以 d、 e 等于 d， c 设 d， e 等于 d， c 等于 x。 在二 t 三角形 a、 d、 e 中，角 a 等于六十度三 a 等于 d， e 比 a， d 等于 x， 比 a、 d 等于二分之根号三 解得 a、 d 等于三分兆根号三 x。 如图， a、 c 有两部分组成，所以 a、 c 等于 c， d 加 a， d 等于 x 加三分兆根号三 x 等于一 解得 x 等于二根号三减三。在二 t 三角形 b、 c、 d 中吞进角 d、 b、 c 等于 c， d 比 b、 c 等于二根号三减三比根号三等于 二减根号三。即吞进十五度等于二减根号三。详细解题步骤如下，请大家完成今天的课堂联系 我们先看课本第一百一十八页练习第二题，求下列各式的值， 本题需要我们熟记三十度、四十五度、六十度这些特殊角的三角函数值，将相应的特殊角的三角函数值带入到算式中计算即可。 第一小题，三音四十五度的平方加括三音四五度的平方等于二分之根号的平方加二分之根号的平方 等于二分之一加二分之一等于一。第二小题， 两倍的撒音三十度加两倍的扩撒音六十度加四倍的吞进四十五度等于二乘以二分之一加二乘以二分之一加四乘以一等于六。 第三小题， cosine 三十度的平方加 satin 四十五度的平方减吞进六十度乘以吞进三十度 等于二分之根号三的平方加二分之根号的平方减根号三乘以三分之根号三等于四分之三加二分之一减一 等于四分之一。第四小题，分子是二乘以三元三十度，分母是二乘以 cosine 三十度减一 等于二乘以二分之一。比上二乘以二分之根号三减一等于一比根号三减一等于二分之根号三加一。 我们再来看课本第一百一十九页练习一、 根据任意一个锐角的正弦值等于他的余角的余弦值，或者任一个锐角的余弦值等于他余角的正弦值，可以 得到第一小题，括三音九十度减角 a 等于三音 a。 第二小题，三音九十度减角 b 等于括三音 b。 我们继续来看课本第一百十九页练习。二、 一、已知括三 a 等于三分之一，且角 b 等于九十度减角 a 求三 a、 b 的值。 二已知三引二十二度等于零点三七四六，括三引二十二度等于零点九二七二，求六十八度的正弦余弦的值。 第一小题，因为角 b 等于九十度减角 a， 则角 a 与角 b 互于。 根据任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，所以三因 b 等于括三因 a 等于三分之一。 第二小题已知三一二十二度等于零点三七四六，括三一二十二度等于零点九二七二二十二度。角与六十八度角互余。 根据任意一个锐角的正弦值等于他余角的余弦值，任一个锐角的余弦值等于他的余角的正弦值。 所以三印六十八度等于扣三印二十二度等于零点九二七二。扣三印六十八度等于三印二十二度等于零点 三七四六。 我们继续来看练习三 角 a， 角 b 为二 d 三角形 a、 b、 c 的两个锐角，且三 a 和三 a、 b 是方程 x 平方减根号 x 加 m 等于零的两个实数。根求 m 的值及角 a、 角 b 的度数。 因为三 a 括三 a、 b 是方程 x 平方减根号 x 加 m 等于零的两个实数根。 根据一元二次方程根与系数的关系， x 一加 x 二等于负的 a 分之 b， x 一乘以 x 二等于 a 分之 c。 我们可以得到三 a 加括三， a、 b 等于根号二、三 a， a 乘以括三， a、 b 等于 m。 题目条件中又告诉我们，角 a、 角 b 为直角三角形 a、 b、 c 的两个锐角，所以角 a 与角 b 互于。 根据任意一个锐角的正弦值等于他的余角的余弦值，所以三 a 等于括三， a、 b 等于二分之根号，从而得到 角 a 等于角， b 等于四十五度， m 等于三， a 乘以括三， a、 b 等于二分之根号乘以二分之根号等于二分之一。 此时一元二次方程根的判别是， dealta 等于负根号的平方减四， m 等于二，减四乘以二分之一等于零是符合题的。详细解题步骤如下， 最后我们再来看练习四，阅读下面材料，再解答问题。 三角函数中常用公式有，三引二法加贝塔等于三引，二法乘以括，三引贝塔加括三引二法乘以三引贝塔。 三音二法减贝塔等于三，二法乘以括三贝塔减括三，二法乘以三贝塔。求三音七十五度和 三引十五度的值，要求三引七十五度和三引十五度的值。我们现在掌握的是三十度、四十五度、六十度这些特殊角的三角函数值。 七十五度和十五度不是我们所说的特殊角，但是本题已经告诉我们求两个角的和以及两个角的差的正弦的常用公式。 七十五度和十五度能不能表示成三十度、四十五度、六十度这些角的和或差呢？大家思考一下。 七十五度可以表示成为四十五度角与三十度角的和，所以 撒引七十五度等于撒引四十五度加三十度等于撒引四十五度乘以扩撒引三十度加扩。撒引四十五度乘以撒引三十度等于二分之根号二乘以二分之根号三 加二分之根号二乘以二分之一等于四分之根号六加根号二 十五度可以表示成为四十五度角与三十度角的差。所以撒引十五度等于撒引四十五度减三十度 等于三音四十五度乘以扩三音三十度减扩三音四十五度乘以三音三十度等于二分之根号二。乘以二分之根号 三。减二分之根号二。乘以二分之一等于四分之根号六，减根号二。让我们一起回顾一下本节课我们学习的主要内容。 知识点一，三十度、四十五度、六十度角的三角函数值。通过该表可以方便的知道三十度、四十五度、六十度角的三角函数值。 他的另一个应用是，如果已知一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数。 知识点二，互与两角的三角函数之间的关系。任一个锐角的正弦值等于它的 余角的余弦值，即三引二法等于 cosine 九十度减二法， cosine 二法等于三。因九十度减二法， 本节课的课后作业如下，这节课我们就讲到这里，同学们再见！

大家好，这节课我们开始锐角三角函数第一课时的学习。 如图，从三角到山顶，可以选择爬坡面 a、 b， 也可以选择爬坡面 bc。 爬这两段坡面会有什么不同的感受？哪个坡面更陡？你是如何判断的？ 从图中我们不难发现，坡面 a、 b 与地面 a、 c 的夹角角 a 小于坡面 b、 c 与地面 a、 c 的夹角角 b。 坡面 bc 更陡。我们把坡面与水平面的夹角叫做坡角，或者称为倾斜角，显然坡角越大，坡面就越陡。因此，坡角、坡面与水平面的夹角 可以用来描述坡面的倾斜程度。刚才我们是利用角来描述坡面的倾斜程度，现在我们能不能尝试用边来描述呢？ 过三的顶点 b 向地面 a、 c 做垂，线段 b、 d， 我们把线段 b、 d 的长度叫做坡面 a、 b 的铅值高度。 把线段 a、 d 的长度叫做坡面 a、 b 的水平长度。若比较坡面的长度，千指高度、水平长度三者中的任何一个，可以判断坡面的倾斜程度吗？ 借助几何画板我们发现，改变坡面的长度、铅值高度、水平长度三者中任何一个都不会改变坡面的倾斜程度。 所以比较坡面的长度、铅尺高度、水平长度三者中的任何一个都不能判断哪个坡面更陡。 既然利用坡面的长度、铅指高度、水平长度三者中的任何一一条边都不能描述坡面的倾斜程度，那么我们能不能想办法改进呢？ 一条边不行，两条边是不是可以呢？现在我们尝试综合考虑两条边， 我们已经发现坡脚可以用来描述坡面的倾斜程度，能不能想办法利用这个结论呢？ 如图，坡面的长度、千尺高度、水平长度构成了一个直角三角形。 两个锐角一样大的直角三角形对应的坡面的倾斜程度是一样的，而这两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例。那么，能不能利用直角三角形两边的比来描述坡面的倾斜程度呢？ 这节课我们先来研究倾斜角的对边与零边的。比如图，在锐角 a 的一边上，任取一点 b 字，点 b， 向另边做垂线，垂足为 c， 得到二 t 三角形 a、 b、 c。 再认取点 b 一 字，点 b 一，向另一边做垂线，垂足为 c 一，得到另个 r、 t 三角形 a、 b 一、 c 一。这样我们可以得到无数个直角三角形。这些直角三角形有什么关系？ 显然是相似的。在这些直角三角形中，锐角 a 的对边与零边的比 b、 c 比 a、 c b 一、 c 一比 a c 一 b 二 c 二比 a、 c 二有怎样的关系呢？ 根据相似三角形对应边乘比例，可以得到 b、 c 比 a、 c 等于 b 一， c 一比 a、 c 一等于 b 二、 c 二比 a、 c 二。 我们也可以观察几何画板的动画演示。二、题，三角形 a、 b、 c 中角 a 不变， b、 c。 沿 a、 c 所在的直线慢慢滑动，且保持 b、 c。 垂直 a、 c。 我们发现，无论二 t 三角形 a、 b、 c 的大小如何变化， b、 c 比 a、 c 的值总保持不变。由此可以得到以下 结论，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，当锐角 a 的大小确定后，无论直角三角形大小怎样变化，角 a 的对边与角 a 的零边的比值总是唯一确定的。所以倾斜角的对边与零边的比可以用来描述坡面的倾斜程度。 上面的结论告诉我们直角三角形中锐角和锐角的对边与零边的比的关系。直角三角形中锐角固定，那么这个锐角的对边与零边的比也固定。如果锐角的大小变化了呢？这个比值会发生怎样的变化呢？ 我们再观察几何画板的演示。在二 t 三角形 a、 b、 c 中，我们改变锐角角 a 的大小， b、 c 比 a、 c 的值也随之改变。 在这样一个变化过程中，二梯三角形 a、 b、 c 中锐角角 a 的对边与锐角角 a 的零边的比值，即 b、 c 比 a、 c 随着角 a 的大 大小的变化而变化。并且对于锐角角 a 的每一个值， b、 c 比 a、 c 都有唯一确定的值与之对应。你认为 b、 c 比 a、 c 与角 a 这两个变量之间是一种什么关系呢？请大家思考一下。 这种关系符合我们八年级曾经学习的函数定义，因此答案应该是， b、 c 比 a、 c 与角 a 这两个变量之间是一种函数关系，这就是我们下面要学习的一种新的函数关系。正切。 在二 t 三角形 a、 b、 c 中，我们把锐角 a 的对边与零边的比叫做角 a 的正切记作吞进 a g。 吞进 a 等于角 a 的对边比，角 a 的零边等于 b， c 比 a、 c 等于 a 比 b。 类似的，你认为角 b 的正确该如何表示呢？大家思考一下。 吞进 b 等于角 b 的对边比，角 b 的零边等于 a， c 比 b， c 等于 b 比 a。 关于正切，我们需要注意以下几点，一、吞井 a 是一个完整的符号，它表示角 a 的正切。我们习惯省略角的符号， 但角 b、 a、 c 的正切应表示为吞进角 b、 a、 c。 角一的正切应表示为吞进角一，此时角的符号是不可以省略的。 二、吞井 a 没有单位，它表示一个比值。吞井 a 大于零，即直角三角形中角 a 的对边与零边的比。吞井 a 不能写成吞井乘以 a。 我们已经知道坡角可以刻画坡变的倾斜程度，但是在实际问题的操作中，坡角是难以直接测量的。但是因为坡面的长度、铅指高度、水平长度构成了一个直角三角形，所以 可以用坡角的正切描述坡面的倾斜程度。我们把坡面的千尺高度 h 和水平长度 l 的比叫做坡面的坡度，或称为坡比，记作 i、 g， i 等于 h， b、 l 等于吞井 alpha。 坡度通常写成 h、 b、 l 这种比例的形式。显然，坡度 i 等于吞井 alpha 越大，坡角 alpha 就越大，坡面就越陡。 接下来我们共同看几个例题。首先来看例一，如图二， t。 三角形 a、 b、 c。 中角 c 等于九十度， a、 c 等于四， b、 c 等于三。求吞进 a 和吞进 b。 本题属于基础题型。在二题三角形 a、 b、 c 中已知两条直角边。根据正确的定义，一个角的正切等于这个角的对边，比这个角的零边。 因此，吞进 a 等于角 a 的对边， b、 c 比上角 a 的零边， a、 c 等于四分之三。 吞进 b 等于角 b 的对边， a、 c 比上角 b 的零边， b、 c 等于三分之四。 我们继续看利奥在二题，三角形 a、 b、 c。 中角 c 等于九十度。若 a、 b 等于二十五，吞进 b 等于三分之四，求 a、 c 和 b、 c 的长度。 本题中所求的 a、 c 和 b、 c 是二 t 三角形 a、 b、 c 的直角边。由吞进 b 等于 a、 c 比 b、 c 等于三分之四，可以得出 a、 c 和 b、 c 的数量关系。如果设 a、 c 等于四 k， b、 c 等于三 k， 其中 k 大于零。根据勾股定理，可以求出斜边 ab 等于根号 ac 的平方加 bc 的平方等于根号四 k 平方加三 k 平方等于五 k。 因为 ab 等于二十五，所以五 k 等于二十五。 解得 k 等于五，所以 a、 c 等于四 k 等于二十， b、 c 等于三 k 等于十五。 我们再来看例三，计算课本第一百一十二页图二十三杠三中坡面 a、 b 和 a、 e、 b、 e 的坡度，并说明哪一个坡面比较陡。 根据坡度的定义，坡面的坡度等于坡面的铅值、高度和水平长度的比。因此， i、 a、 b 等于 b、 c 比 a、 c 等于二十，比一百等于五分之一。 i、 a 一、 b 一等于 b 一 c 一比 a 一 c 一等于三十，比八十等于八分之三。 因为五分之一小于八分之三，所以 i、 a、 b 小于 i、 a、 e、 b、 e， 所以坡面 a、 e、 b、 e 比较陡。 我们继续看例四，如图 a、 b、 c 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为一，求吞进角 b、 a、 c 的值， 求吞进角 b、 a、 c 的值。我们首先要在图中找到含角 b、 a、 c 的直角三角形，但是在图中我们并没有发现含角 b、 b、 a、 c 的直角三角形。那么能不能想办法构造出函角 b、 a、 c 的直角三角形呢？ 根据已知，本题图中的每个小正方形的边长为一。根据勾股定理，我们容易求得 a、 b 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五， a、 c 等于根号一的平方，加三的平方等于根号十。 若连接 b、 c， 可以求出 b、 c 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五。 因此 a、 b 等于 b、 c 等于根号五，并且 a、 b 的平方加 b、 c 的平方等于 a、 c 的平方都等于十。根据勾股定理的立定理，三角形 a、 b、 c 是一个等腰直角三角形，且 角 a、 b、 c 等于九十度，所以吞进角 b、 a、 c 等于 b、 c 比 a、 b 等于一。详细解题步骤如下， 解连接 b、 c。 由题，根据勾股定理可以求得 a、 b 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五， a、 c 等于根号一的平方，加三的平方等于根号十， b、 c 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五，所以 a、 b 等于 b、 c 等于根号五， a、 b 的平方加 b、 c 平方等于 a、 c 平方等于十。所以三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，且角 a、 b、 c 等于九十度，所以吞进角 b、 a、 c 等于 b、 c。 比 a、 b 等于一。我们 再看，例如图，在直角三角形 a、 b、 c。 中，角 c 等于九十度， a、 c 等于六， d 是 a、 c 边上的一点弱。吞进角 d、 b、 a 等于五分之一，求吞进角 c、 b、 d 的值。 求吞进角 c、 b、 d。 我们首先还是要找到含角 c、 b、 d 的直角三角形。在图中，含角 c、 b、 d 的直角三角形是二 t 三角形 c、 b、 d。 根据正确的定义， 吞进角 c、 b、 d 等于角 c、 b、 d 的对边比角 c、 b、 d 的零边等于 c、 d 比 b、 c。 已知三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，所以 a、 c 等于 b、 c 等于六。那么解决这个问题只需要求出 c、 d 即可， c、 d 如何求的呢？本题已知条件中还告诉我们吞进角 d、 b、 a 等于五分之一，如何利用这个条件呢？我们能不能找到含有角 d、 b、 a 的直角三角形呢？ 从图中我们发现角 d、 b、 a 只是钝角三角形 d、 b、 a 的一个内角，我们能不能想办法构造出一个含有角 d、 b、 a 的直角三角形呢？请大家思考一下。 我们尝试过点 d 做 d， e 垂直， a、 b 垂足为点 e 则在二、 d 三角形 a、 d、 e 中吞进角 d、 b、 a 等于 d， e 比 b、 e 等于五分之一。这样就得到了 d、 d、 e 和 b、 e 的数量关系。如果设 d、 e 等于 x， 则 b、 e 等于五 x， 其中 x 大于零。因为三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，且角 c 等于九十度， 所以角 a 等于四十五度 a、 b 等于根号六的平方加六的平方等于六根号，所以三角形 a、 d、 e 也是一个含四十五度的直角三角形 g 等腰直角三角形， 所以 a、 e 等于 d， e 等于 x， a、 d 等于根号 x 平方加 x 平方等于根号 x。 因为 a、 e 加 b， e 等于 a、 b， 所以 x 加五， x 等于六。根号减得 x 等于根号 a、 d 等于根号 x 等于二 c、 d 等于 a、 c 减 a、 d 等于六，减二等于四，从而求出吞井角 c、 b、 d 等于 角 c、 b、 d 的对边比上角 c、 b 的零边等于 c， d 比 b， c 等于四，比六等于三分兆。详细解题步骤如下， 结过点 d 做 d， e 垂直， a、 b 垂足为点 e。 在二题三角形 a、 d 中吞进角 d、 b、 a 等于 d， e 比 b、 e 等于五分之一。设 d、 e 等于 x， 则 b、 e 等于五 x， 其中 x 大于零。 因为三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，且角 c 等于九十度，所以角 a 等于四十五度， a、 b 等于根号 a、 c 平方加 b、 c 平方等于根号六的平方加六的平方等于六根号。在 r、 t。 三角形 a、 d 中，因为角 a 等于四十五度，所以 a、 e 等于 d， e 等于 x， a、 d 等于根号 x 平方加 x 平方等于根号 x。 因为 a、 e 加 b、 e 等于 a、 b， 所以 x 加五， x 等于六根号，从而解得 x 等于根号， 所以 a、 d 等于根号， x 等于二， c、 d 等于 a、 c 减 a、 d 等于六减二等于四。在 r、 t。 三角形 b、 c、 d 中吞进角 c、 b、 d 等于 c、 d 比 b、 c 等于四比六等于三分之二。最后我们来看第六， 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由一比一点八改为一比二点四。如图， 如果改动后电梯的坡面长为十三米，求改动后电梯水平长度增加部分 b、 c 的长。 本题中改动后的电梯水平长度增加部分 b、 c 的长就是坡面 a、 c 的水平长度 c、 d。 减去坡面 a、 b 的水平长度 b、 d。 如何求出 c、 d 和 b、 d 呢？根据坡度的定义， i、 a、 c 等于 a、 d 比 c、 d 等于一比二点四 i、 a、 b 等于 a、 d 比 b、 d 等于一比一点八。 八、如果设 a、 d 等于 x 米，那么 c、 d 等于二点四 x 米， b、 d 等于一点八 x 米。因为改动后电梯的坡面长度为十三米， g、 a、 c 等于十三。 rt， 三角形 a、 c、 d 中， a、 d 平方加 c、 d 平方等于 a、 c 平方，则可以列出方程， x 平方加二点四， x 的平方等于十三平方。解的 x 等于五， 则 b、 d 等于 c、 d 减 b、 d 等于二点四， x 减一点八， x 等于零点六， x 等于三米。详细解题步骤如下， 结，因为 i、 a、 c 等于 a、 d 比 c、 d 等于一比二点四， i、 a、 b 等于 a、 d 比 b、 d 等于 一比一点八。设 a、 d 等于 x 米，则 c、 d 等于二点四 x 米 b、 d 等于一点八 x 米 r、 t 三角形 a、 c、 d 中， a、 d 平方加 c、 d 平方等于 a、 c 平方， 因为 x 平方加二点四， x 的平方等于十三平方，减得 x 等于五，所以 b、 d 等于 c、 d 减 b、 d 等于二点四， x 减一点八， x 等于零点六， x 等于三米。 请大家完成今天的课堂，联系 我们看一看如何解答练习一的问题。在等腰三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 等于五， bc 等于六，求吞进 c。 在本题没有给出相关图形，所以第一步我们先根据已知条件画出符合题的几何图形。等腰三角形 abc 求吞进 c。 首先需要找到含有角 c 的直角三角形。 本题的图形中只存在一个含角 c 的等腰三角形，没有含角 c 的直角三角形，我们能不能尝试添加适当的辅助线，构造出含有角 c 的直角三角形呢？ 过等腰三角形 a、 b、 c 的顶角的顶点 a 做底边 b、 c 边上的垂线 a、 d 垂足为点 d。 那么在 r、 t 三角形 a、 c、 d 中吞进 c 就等于角 c 的对边比角 c 的零边 等于 a、 d 比 c、 d。 根据等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合 c、 d 等于二分之一， b、 c 等于三。 在二 t 三角形 acd 中，根据勾股定理求出 ad 等于根号， ac 的平方，减 cd 平方等于根号五的平方，减三的平方等于四，从而求得吞进 c 等于 ad， 比 cd 等于四分之三。解题的详细步骤如下， 如图，过点 a 做 a、 d 垂直 b、 c 与点 d。 因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 b、 d 等于 c、 d 等于二分之一， b、 c 等于三。所以在二 t 三角形 a、 c、 d 中， a、 d 等于根号 a、 c 平方减 c、 d 平方等于根号五的 平方，减三的平方等于四。吞进 c 等于 a、 d 比 c、 d 等于四比三等于三分之四。 我们看一看如何解答。练习二和低横断面，如图所示，低、高 b、 c 等于六米。饮水坡 a、 b 的坡比 i 等于一比三，则坡面 a、 b 的长为多少？ 根据坡度， i 等于一比三等于三分之一，等于 b、 c 比 a、 c、 b、 c 等于六，所以解得 a、 c 等于三倍的 b、 c 等于十八。 在二题三角形 a、 c、 d 中，根据勾股定理求的斜边 a、 b 等于根号 a、 c 的平方加 b、 c 平方等于根号十八的平 方，加六的平方等于六，根号十米。最后我们看看如何解答。练习三、 如果三角形有一边上的中线长，等于这边的长，那么称这个三角形为好玩三角形。若 a、 t 三角形 a、 b、 c 是好玩三角形，且角 a 等于九十度，求吞进角 a、 b、 c。 本题并没有明确指出是哪条边上的中线，所以需要注意分类讨论。 根据提议， rt， 三角形 a、 b、 c 是好玩三角形，则 r、 t 三角形 a、 b、 c 中一边上的中线长等于这边的长。因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所 所以我们可以排除是斜边上的中线这种情形。于是本题可以分为两种情形， 如图一，在二 t 三角形 a、 b、 c。 中角 a 等于九十度 c、 d 是二 t 三角形 a、 b、 c 中 a、 b 边上的中线设 a、 b 等于 d， c 等于奥 a， 则 a、 d 等于 d， b 等于 a。 根据勾股定理， a、 c 等于根号 d、 c 的平方减 a、 d 的平方等于根号二， a 的平方减 a， 平方等于根号三 a。 所以二题三角形 a、 b、 c 中吞进角 a、 b、 c 等于 a、 c 比 a、 b 等于根号三， a 比二， a 约去 a 等于二分之根号三。 如图二，在二 t 三角形 a、 b、 c。 中角 a 等于九十度 b、 d 是二 t 三角形 a、 b、 c 中 a、 c 边上的中线设 a、 c 等于 b、 d 等于奥 a， 则 a、 d 等于 d、 c 等于 a。 根据构固定理可得 ab 等于根号 bd 平方减 ad 的平方等于根号二 a 平方减 a 平方等于根号三 a。 所以二题三角形 a、 b、 c 中吞进角 a、 b、 c 等于 a、 c 比 a、 b 等于奥 a 比根号三， a 约去 a 等于三分之二根号三。综上可得吞进角 a、 b、 c 等于二分之根号三或三分之二根号三。 让我们一起回顾一下本节课我们学习的主要内容。 知识点一、锐角的正切在二题三角形 a、 b、 c 中，锐角 a 的对边与零边的比叫做角 a 的正切 g 为吞井 a、 g 吞井 a 等于角 a 的对边比角 a 的零边等于 b， c 比 a、 c 等于 a 比 b。 知识点二，坡度又称为坡比和坡角。坡面与水平面的夹角 叫做坡角，或称为倾斜角。图中的角二法就是坡面 a、 b 的坡角。 坡面的千尺高度 h 与水平长度 l 的比，叫做坡面的坡度，或称为坡比，即为 i， i 等于 h， b， l 等于藤井。阿法坡度通常写成 h、 b、 l 这种比例的形式， 坡度 i 等于吞减。二法越大，坡角二法就越大，坡面就越陡。 本节课的课后作业如下， 这节课我们就讲到这里，同学们再见！

好，趁热打铁，我们再看一道啊，有这样的条件的题目说，如图，三角形 abc 是等腰直角，对吧？他又出现了一个等腰直角。等腰直角转型比较特殊， 我们只要知道他的一条边，你知道了另外两条边，对吧？然后做 b， 做 bq， 什么？平行与 ac， 对吧？这是平行的，平行的意味着什么呢？ 首先意味着这个角是知道的，对吧？他会等于这个角，对吧？内错角他也是四十五度，对吧？也是四十五度。 然后连接 cdad 做什么啊？给了这样一个条件啊，还给了一个什么线段长度，对吧？跟上个题是不是 差不多？给了你一个什么看起来很复杂的条件，又给了你一个什么线段长度？让你求一个线段长度，那么首先要做的是什么？分析这个条件他到底是给了什么信息，对吧？也就相当于什么？我们要翻译一下，这个条件到底给了什么内容？ 说二倍的，二倍的什么叫 adb 减去叫什么？ acd 等于一百八， adb 在哪呢？ adb 在这，对吧？ acd 呢？对吧？在这？ 好，那一倍的，我们看一下，如果一倍的 adb 减去 acd 是多少？是什么？是不是这个小角， 对吧？那二倍的 adb 减去什么？减去 acd 和 acd 在哪里？哦？ acd 不在这里，对吧？ acd 和看错 acd 在哪里？在这里，对吧？这个角， 那这个角我们有平行，是不是可以等于这个小角，对吧？这个小角，对吧？我们现在来分析，二倍的，他减 acd 等于一百八，我们先看一下一倍的，对吧？那叫 adb 减去角， acd 等于什么？一倍的减去了是不是等于角 abc， 对吧？那相当于什么角 abc 加上角什么 ad， ab 等于什么？一百八，对吧？也就互补叫什么 adb 针 adc 在这加上他等于一百八，对吧？那他和他什么互为补脚，是不是这个角也互为补脚？ 那是说明 adq 等于什么 adc， 对吧？还有什么叫 adq 加上叫 adb， 他是不是也是故意不叫？那说明什么？说明 adc 什么等于叫 adq， 那也就是什么 ad 是啥？ a， d 是脚平分线，对吧？还有这是二不，这就是 二吧。于是这个条件我们就翻译出来了，相当于说给了这个条件是什么意思？就是 ad 是 twtc 的小平分线，对吧？ 而一旦是角平行线，这里又是什么平行线，对吧？如果我们只有这比较扎实，就是我们看到什么，想到什么角平行线加平行线就出现了什么 脚平微线加平行线就出现了，等腰三角形转，你可以说他就等于什么？等腰三角形 就出现了，等腰上，为什么？因为一旦平行，那这个脚和这个脚是内错脚，对吧？这个也是什么 阿尔法啊，这个是阿尔法，这个是阿尔法等脚对等边，于是这出现了一个什么等腰上行，也就是什么 ac 会等于 cd， 对吧？那这条件我们就挖掘差不多了，对吧？ 然后求的是啥？求的是 ad， 给的是什么？这是根毫六，这是根毫六，这个三，这是不是一百三十五，对吧？一百三十五。 那由此我们要什么？看一下你求出来什么，我们才能求出来 ad 求出来谁能求出来 ad 呢？ 这是 ad 在这，那这是四十五，如果这里什么，我给 给他补一下，对吧？你既然是四十五，那能跟四十五扯上关系的，那只有什么？灯要直角，对吧？我这里给他画个正方形， 那画个正方形我们标一下点，你不要按摩，这是按，这是根号六， 那是一比一比更好二，一比一比更好。二，那这里是不是就是更好看？这里是不是也是更好看？更好看？更好看，对吧？那是不是相当于只要我知道了这一段就可以用勾股定理球 ad 了？ 那求这一段就相当于我们要列一个什么关于这一段的什么 方程，对吧？方程对吧？还有我设这一段是什么？我设 a 等于 x， 那要想列方程，我们就什么？要找等量关系，也就 a， 我们要用两种方式来表示， 或者是什么？或者说我们有一个等待关系，就是 cd 等于 ac， 那 ac 我们可以用什么表示呢？ 是不可以用这个等等药指甲来表示，那 cd 呢？是不可以用这个勾股定理来表示 与什么？就可以找到个人来关系，对吧？那 ac 我们可以等什么？一比一比跟二，对吧？根号二倍的 ab， 那就是根号二倍乘以什么？ x 加根号三， 对吧？那 cd 呢？ cd 我们可以用，嗯，勾股定理，对吧？这里是 x， 那这里就是 x 加根号上，对吧？勾股定理，根号下 更要什么呢？ dm 的平方，对吧？加上 mc 的平方等于 dm 的情况就是三。 mcmc 就是 x 加二倍更换三的平方， 对吧？好，那这个时候 ac 等于什么？ cd， 那我们就建立什么？ 就建立了关于 x 的方程，对吧？只要 x 求出来，那 ad 呢？顺理成章就求出来了，对吧？建立方程，那就是根号二 x 加三相当于什么啊？那平方他就等于什么？三加 x 加二位杠三的平方，对吧？然后下面就是我们解这个方程就行，对吧？解一下吧， 高二的平方就是二，是吧？手平方尾平方，收尾两倍在中央，是吧？这里手平方，尾平方， 每平方十二，哇，首尾两倍，四倍杠三 x， 哇，这里拆开二 x 加六加四倍，杠三 x 等于三，三加十二，十五加 x 方加四倍杠三 x， 那这两个约掉 x 方移过来， x 方十五减六九，那 x 就等于三，对吧？ x 等于三， 那这又出现了什么？这是跟好三，这是三，那就是一比，什么跟好三？一比跟好三比二，那 ad 就等于二倍的 dn 了，对吧？你可以放在你用勾固定里，对吧？ ad 等于，但我们经常也用什么比例关系好算一点，是吧？ dn 的平方加上 pn 的平方等于 三加九，根号三啊，二倍根号算，这就算好了，对吧？核心在于什么？这个条件怎么翻译， 对吧？通过这两个题呢，咱们讲一讲了一下子嘛，这种复杂条件怎么翻译的问题，希望大家下去之后听完课之后再认真研究一下，对吧？领悟一下，看有没有更简。