泰勒公式相关谜题

大家好，今天我们就来讲一下泰勒公式和麦克劳令公式，那什么叫泰勒公式呢？你来看啊，这讲内容分两部分，第一部分的话就是简单介绍一下这个泰勒公式和麦克劳令公式。第二部分的话，还得讲一下这个泰勒中式定理，还有拉格朗有一项究竟是什么东西。咱们先来看这个第一部分吧。 第一部分的话说这个态度定理啊，那什么叫态度定理呢？来看了，如果说函数 fx 再点 x 零处，由 n 阶倒数，你有 n 阶的话呢？ n 减一减二减二减零就都有了，对吧？然后那么就会有怎样的一个结论呢？ 那么就会有这样一个结论，这个结论指的是 fx 等于 fx 零，这个 fx 零指的是某一个点处 x 零，这个点处的函数值啊，这个带 x 的部分才是这个变量的啊， x 零是一个确定的值啊，然后这个 x 是一个变量，一定注意这一点， 然后就等于。哎呦，后边还是挺有意思的。二，那如他中间如果再继续往后写第一项，第二项，第三项，那接下来要写的话，那就是三的阶层分支 f 三街道的书，我就写成片片片 x 零。好，那后边是不是还得依据这样一个规律，还得写成 x 减 x 零或者三次方，懂了吧？那继续往后他有 n 接的话，但是究竟有没有 n 加一接，人家没说，所以后边的话，如果有 n 加一接，你可以一直往下洗啊。 嗯，但是如果再往下没有 n 加一阶倒数的话，那就只能写成这样一个鱼像的形式了。那究竟这个 rnx 究竟是什么东西呢？咱现在就告诉你啊， 这个后边啊， x 这个知道叫什么符号吧？这不就是一个无穷小量的意思吗？我写一下，其实这个就叫 fx 无穷小亮，他要这么写的话，那就指的是 x 减 x 零这样一个 n 次方 这样一个函数的无穷小量。好了，这是一个无穷小。那继续来说，那公式一的话就称为什么？实际上我想说的这个 r n x， 他指的他的名字叫做佩亚诺鱼像，知道这个佩亚诺是一个名字就行了啊， 然后称为带佩亚诺鱼像的泰勒公式。原来这个公式就叫泰勒公式啊，然后具体来说的话，就要带佩亚诺鱼像的泰勒公式，那有些时候用的还是挺多的，如果说哈，如果说我只保留这个前两项的话，咱们你喝一下啊， fx 等于 fx 零，加上 f 片 x 零，然后 x 减去 x 零，因为你后边很可能还有这个鱼像，对吧？所以我们暂时先写上这个约，等于你和了一下，就接近了一下。那我要再写的话，很多同学就知道了，你这个 fx 就是 y， 嗯，我这个 y 零，这个 x 零， fx 零的话，我不妨就写成这个约等于什么？约等于外零，给我移过来呗。外减外零等于，这个不就是某一店主的什么切线的意义，不就是斜率吗？ k x 减 x 零，我的天呐，所以呢，他经常利用这样一个 精确到哪，精确到一些导数的部分，经常来这样一个线性的礼盒，这个用的是非常多的，在数学分析里头，经过这样的线性礼盒之后呢，可以大大降低数学分析的难度，你到之后学数学分析自然而然就明白了。 那好，继续往后，接下我们就要证明一下这个态度定理了，那怎么去证明这样一个态度定理呢？告诉大家，实际上呢，并不难证明，我们需要这么来写，主要是想证明啊，这个 rnx 他是一个无穷小量，是关于什么呢？是关于这样一个 x 减 x 零 n 次方的无穷小量。嗯， 怎么去写？咱们一步一步来啊，那我就写这样画横线的部分啊，前头就写成什么，写成这样一个耒合的符号啊，这样一个求和，求和的话，这个求和下标是多少？那我就写成 i 等于零啊，因为是从这个零接到数，从原原函数开始写的， 然后 i 的切成分支 f 哦 i 街道数所对应的 x 零处的 ij 导数，然后再写 x 减 x 零 i 次方。好，这么来写， 那这么来写的话，那所以说呀，我这个 rnx 不就相当于 fx 减去红色的部分，红色部分我们就写成这样一个求和的部分啊，我指的是红色的部分，所以说这个 rnx 是不是变成这个样子了呀？当然需要注意的是一点什么呢？ 我们其实在中间是规定了，规定这个零阶岛数十项就是圆函数本身这个是已经规定好了，并且规定什么呢？规定这 零的接成，它本身就是等于一的，这样的话就符合要求了。那么我们再继续往下写啊，当你写出这个样子来以后，接下来我们是不是只需要证明什么？ 我们接下来只用证明，因为你是想证明后边他是谁的，是这样一个 x 键 x 零 n 次方的无情小量。无情小量的定义不就是写我们上边是不是可以一直去求到的呀？然后下边也可以一直去求到的呀？而且上边和下边都是当 x 去运用 x 零时候，都什么 啊？无穷小亮，所以说无穷小亮比上无穷小亮。零比零的性质，你看左边是不是零比零啊？他是一个零，既然符合零比零的不定时的话，那接下来是不是要利用诺贝达法则？诺贝达法则我们一直求道嘛，对不对？ 左边我就直接写了画圈部分呢，整体我就写成左边这个狮子了，左边这个狮子一接倒数，二接倒数，一只写到多少？一只写到 n 接导书我就一直写下去了，我省略了很多东西的啊。下边你经过 n 次求逃，第一次求导的话是 n 乘 x 减 x， 零的 n 减一次方，那第二次求的话就变成了 n 成什么？ n 乘 n 减一，再乘 x 减 x， 零的 n 减二次方，就一直求导下去，最终的话就求逃成为什么了？经过 n 次求导 就变成了 n 乘 n 减一，乘 n 减二，一直乘到一，那其实最终结果它不就是 n 的阶层？原来分母是 n 的阶层啊，那这个分子的话也不麻烦，因为分子的话，我们看 分子就是这个 r x 吧。 r x 分成两部分，左边这一部分的话，你经过 n 次求导，那不就是 f n x n 接倒数吗？对吧？那后边求和部分的话，大家一定要注意，求和部分的话，我们展开时间就是红线部分，大家能看出来这样一个红色的部分吧，这就是 r x 后边这样一个部分。你经过 n 次求导， 同学们告诉我经过一次修道画圈部分得几？因为他是一个常数，经过一次修道得零吧。但是我们要经过 n 次修道啊，经过第二修道时候他也变成零了， 第三个球岛时候他也变成零，所以经过第 n 字球岛以后只剩下最后一部分了。那既然只剩下最后一部分，最后一部分怎么写？我就直接写出来吧。我就直接写了最后一部分。经过 n 字球岛以后，这个 r x， 他就是 fn 接导数。谁呀？ x 零所对应的 n 接导数。 那最终结果，因为 x 需选 x 零，你把 x 零带入这个位置，最终结果不就是零吗？所以说这个 r n x 这样一个培养的鱼像，他是不是一个无穷小量啊？他当然是一个无穷小量，谁都无穷小量， x 键 x 零 n 次放的五成小料。是不是证明完了？证明完泰勒定律了呀？那继续往后说，接下来就是这个泰勒公式和买卡罗定公式啊。现在我们来说一下这个 泰勒展开的唯一性。刚才说过了啊，说过你展开以后呢？一次方，二次方这样一个规律，最后太带这样一个培养的鱼像， 那么他是不是唯一的呢？就是说展开成这样一个规律之后，这个 a 零是否一定对应的是这个 f x 零？那这个 a 二的话，是否就一定对应的是二的阶层分支？ f p r x 零是不是一定这样？我告诉大家，肯定是唯一的，一会我会帮助你证明一下的啊， 肯定是唯一的。后边告诉你了，这个鱼像也满足他就是 x 加 x 变蓝字方这样一个函数的无穷小， 那么一定有这样一个规律，发现了，发现了，没有，他就是告诉你，泰勒展开肯定是唯一的 a， 零是一个确定的数字，然后 a 一呢，也是一个确定的数字， a 二， a 三一直到 a 都是一个确定的数字。那具体来说怎么证明？我跟大家说一下。证明的话，因为需要用到红色部分这样一个公式， 我们先看题，接下来他让你证明什么？证明泰勒展开唯一性定理。怎样证明这个唯一性定理呢？我只能说是类似于数学归纳法，但是不能叫数学归纳法。那好了，我们证明了啊，证明的话，我们让 k 等于几啊？ k 最小，他是自然，那肯定是 k 等于零的时候啊， 可以等于零，可以等于零的话，那左边的话，我们就将 x 零带入第一个这样一个式子中， 那待会以后左边就变成了 fx 零了，右边就变成了 a 零了，后边你看这是多少啊？零啊， a 二乘零啊， a 三，后边都是零，我们就不写了。所以说你看第一部分球队老爸，第二部分我们看对不对啊？ 当这个 k 等于一的时候呢？他这个规律是告诉我们什么？告诉我们 a 一等于一的结成分值，实际上也就是 f px， 怎么证呢？这个呢，也要说我们先求到一次啊， f 片 x 对谁啊？对，这样一个式子求导一次，以后常数求导零，我们就不写了啊。好，第二部分求导以后就是 a 一， 然后第三部分呢，就是二倍的 a 二，再乘 x 加 x 零，然后后边的话就是一次方啊，然后继续往后斜那双写的就一样了，我们还是另外 x 等于 x 零，但是呢，带入上边这个式子里头，一带就带出来了 f 片 x 零，右边是 a 一，后边是什么呀？后边实际上他都是零了。有人来说他这样一个鱼像究竟长什么样子？你这个鱼像原来 这个 r n x， 他是谁的无穷小量啊？是 x 减 x 啊， n 减一啊， n 节的这样一个无穷小量。那如果你对人家进行了一次求导以后，我就写成这样一个符号了啊，那不就你看上边求导的话，括号里头求导谁都会吧，那不就变成了 x x 减 x 零， n 减一接这样一个无穷小了嘛，对吧？所以后边的话，实际上都是加零，那同理可得括三，当 k 等于二的时候，说你这个 f 片片 x 零是等于二倍的 a 一的 a 二的啊，那 反过来的话，你说你这个 a 二等于多少，那不就相当于 a 二，它是等于二的阶层分支， f 片片 x 零往后推，其实道理都是一样的， 最终我们会推出来这个 a k， 它就是等于可以接成分支，可以接倒数对应的这样一个值，这不就完了吗？这就证明了这个泰勒展开的唯一性了。那接下来我们就要总结一下这个泰勒公式的好处了啊。这个泰勒公式的话，你也看到了，它可以将一些复杂的函数， 毕竟近似的表示为简单的多项式函数，你看后边他是不是一个多项式的形式啊，因为 a 零 a 一，这些都是什么？都是系数，都是长数啊。正是因为他 公式有了这样的好处，这样的优点，泰勒公式呢，这种化繁为简的功能，才使得他成为分析和研究是一个数学问题的有利工具， 那接下来我想说的就是这个麦克劳林公式了。究竟什么是麦克劳林公式呢？其实非常好说，泰勒公式里头的话，我们是在哪个点处展开的？是在 x 就是自变量 x 零这样一个确定的位置展开的，现在我们让这个 x 零等于零复制就可以了，带进去吧。那 x 减零的话，那后边就不写了， x 减零的一次方， x 减零的二次方，是不是那后边都一样了？原来啊，麦克劳林公式它实际上就是泰勒公式的一种特殊情况，是泰勒公式在 x 零等于零处的这样一个展开，就叫麦克劳林公式了。麦克劳林公式就是泰勒公式的一种特殊情 情况，指导就行。那但是我们并不能满足以上对于像 r x 的定性表述。为什么 定性表述呢？因为我们只知道他是这样一个 n 次方的无穷小，包括这个太乐定理里头，太乐公式里头也说明了他只是一个无穷小，并没有定量的来描述，能不能用一个公式来定量描述出来呢？ 可以的，所以接下来我们就要介绍什么介绍这样的泰勒种植定理了。微分种植定理有有三个，他不包括泰勒种植定理，微分种植定理有什么？拉格浪日定理， 哦，还有什么罗二中指定理，还有克西中指定理。我想说的是，最后我们证明拉格朗日鱼性的时候，证明过程并不是用的拉格朗日定理，用的是克系中指定理。所以之前我们讲的克西中指定理，回去一定好好复习一下啊，那他的中指定理，他的表示是什么呀？ 如果韩束 fx 在 x 零某个开区呢？ a 到 b 内有 n 接一接啊，有 n 加一接的倒数，一定记住了啊，那么对于任 任意一个 x 在 ab 范围内，那此时的 fx， 你看展开的话，前头都是一样的，没有任何区别，就是泰勒展开， 那后边的话，这个 r n x 不是，不是说就是简单的这样一个无穷小就可以了，人家是定量好写出这样一个式子， 哎，这个狮子的话，我们发现这个规律还是符合的啊，只不过呢，你看，如果说他下一个写成 x 零，那 接下来是不是就符合这个规律了？但是呢，我想说的是，它里头这个科赛不是 x 零，它是介于 x 和 x 零之间的，所以呢，它这个东西叫什么？最后这个 r x， 如果你定量的这样写出来这个公式，它就成为 拉格朗日鱼香了。那如何去证明这样的泰勒种植定理呢？我想告诉你啊，如果你想证明泰勒种植定理，一定再看一遍，可惜种植定理的内容啊，上期我们都讲完了，那怎么去证明？现在就来说了啊， 这个证明过程并不简单，首先我们要构造两个函数，两个辅助函数，那另外一个辅助函数的话就是这一题，这一题的话好说，这个就很简单了， x， 注意一定要把 t 看成自变量啊， n 加一次方，那写完这个之后的话，显然我们两个函数，这两个辅助函数，因为什么？因为这个 ft 和 gt 呢？他在哪啊？在 x 零到 x 这样一个 b 区间是连续的，但是呢，这个 x 零和 x 不一定哪个大啊，或者说如果说这个 x 比较小的话，我们就应该写成 x 到 x 零这样一个 b 区间了啊，他是连续的，好 在 b 区间连续，而且在什么？在开区间。可倒吗？ x 到 x 间，哦，可倒。所以说是不是由科系终止定理，所以我们直接写科系终止定理，马虎就简写了啊。那科系终止定理的内容 指的是什么？指的是我直接写与 x 之间，后边我为什么没有写成这样的区间的形式？因为我们并不知道这个 x 零和 x 哪个大哪个小啊，所以，但是这个可在肯定夹在他俩之间。 那写到这之后的话，接下来一定要注意一点。注意什么？你自己带一下，你把所有的 t 注意啊，把所有的 t 都换成 x 以后，你这个 fx 是不是等于零啊？同样的道理， 你后边你把这个字变量 t 换成 x 是不是也是零啊？所以这是零，然后这一部分也是减到的零，那后边就好说了，咱就继续来算了啊。减零后边就不说了，他是等于这个 f 片的话。哎，他怎么算？你自己来好好算一下，最难的时间也就是这一部分，求职。 嗯，多算一算，多练一练，多花点时间，肯定可以写出这样一个结果来。分母这个球导就非常容易，我就直接写了，确实非常容易，一定要注意这个内存来说， 这个 t 前头自备辆，前头带有一个副号，所以这个位置我们也加上这个副号，那最终的话一处理就变成了。所以这个 fx 零等于什么？等于你把这个这个 x 零直接写到后边去啊，那就是 n 加一接，哦，这样的接成 f n 加一接 x 键。为什么 x 键 x 零 n 加一键？因为你已经把 gx 零给移到右边去了。写成这样一个指以后带入哪？带入这样一个式子，带入第一个式子里头啊，带入了 带入这样一个式子中，最终就写出来了。所以说 frx 等于等于什么？就等于这样一个你需要求证的形式。剩下我就不多写了，这个还是有难度的。 那么最后一点的话我就说一下这样的带拉格朗日鱼巷。什么叫拉格朗日鱼巷呢？咱们看着啊，将带有拉格朗日鱼巷的他的公式刚才已经说过了，就是后边这样一个形式，他就是拉格朗日鱼巷的。我们 这什么，我们让所有的 x 零都取成零，你看 x 零等于零的时候就变成了什么泰勒公式，就变成了麦克劳令公式。 嗯，然后这个可赛的话变一下形式，但是本质是一样的。最终这个形式的话就叫什么？就成为带拉格朗日鱼像的麦克劳林展开时。那这节课你学会他的公式和麦克劳林公式了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。

二零二三年的这道真题，这道题啊，可以说打中了很多同学内心深处最恐惧的点，为什么呀？因为他涉及到了大多数同学在做正面题的时候都不太愿意面对的一个知识点。那什么呢？那就是泰勒终止定理。但别慌啊，这种题在老师看来也是重分题，只要你掌握正确的摄像方法， 我们只需要学习到两点，第一是使用信号，第二是我们使用的三部曲。先说信号的问题，那就什么时候用呢？看到两种情况，我们都可以想到，第一种是辈分高，题目里面出现高街道数，二阶或者二阶以上就算啊。第二呢，叫隔代清，同时出现了 f 和 f 两撇。 这道题啊，首先有二级导数，其次他要正的这个结论，两问里面是不都是既有 f 又有 f 两边？就说呢，我们想到用泰勒中指令，应该是没问题的。那具体怎么用呢？看三部曲，第一步是关键， 就确定展开点，就说你要在哪点展开，怎么确定呢？原理很简单，其实就是在题目中所给信息最丰富的点展开。那这是啥意思？你看我们提问啊，在哪点展开啊？ 那还用跑吗？肯定零一点，因为他就给了 f 零点零是不是？那确定展开点之后呢？下一步是确定展开结束。注意啊，如果是 n 加一阶靠到的，只能展到 n 阶，因为你最后那个拉格朗的余项是 n 加一阶的。第三步，再按题目要求带入函数值整理合并就可以了。 那具体来看看，你看我们题目怎么证啊？先写出 f x 在零这一点呢，它的整个是，然后呢，你把这个 f 零等于零带进去，是不是这样子？其中呢？这个可塞，它是介于零和 x 之间的。下一步带直，带直呢，就说你要把这个 x 带成具体的直，那时候带成什么直呢？ 你看要中了几个？有 f a， 又有 f 负 a， 那怎么办？那肯定是在 a 和负 a 这两点，是把代理读 可以了，先带成 a 是这个吧，然后带成负 a 是这个，其中呢，这个可赛音和可再来放是这样子的，再来合并。那这两是怎么合并呢？还是看题目要求？你说怎么合并啊？ 这里面这俩是相加的，那我自然是把这两个式子加起来，一加呢，第一项抵消了，剩的就这个。 然后呢，你再比对这个结论，你发现你在做个什么变化就可以了。你再把这个二分之 f 凉皮可晒一加上 f 凉皮可晒二写成一个 f 凉皮可晒，是不是就可以了？这用的什么呢？这用的是连续函数的介质定理，能不能这么用啊？屏幕里面说了啊，这个 f x 它的二阶导数是连续的，所以这样用是没问题的。 然后你再把那个 a 方一除，是不是低问的结论就挣出来了，是不是很简单？第二步啊，同样简单，他先说 f x 再负一到 a 内取极值。提到极值，你想到了什么呢？假设 是个极值点，极值点出的倒数是不是应该是零？哎，你看跟命题老头是不是心有灵犀了，他就是想通过极值这个点，怎么着？隐晦的告诉你，这一点的倒数是零，我在哪点展开呢？很明显就在 x 零这点展开。 那我写出 f x 在 x 零这一点的它的长格式，然后呢，把 f a 撇 x 零等于零，但你注意啊，这里这个伊塔的范围还是介于这两个之间，我就不说了啊，后面也就不写那么细了，接下来再代值，那还是一样，你看这有 f a 又 f 负 a， 是不是分别把这个 x 给我代成 a 和 f a 两式，对吧？再来合并，咋合并呢？这中间是减，那我是不是也拿这两个式相减就行，一减得到这个，然后我们再看啊，他要赠的是一个吃不带的绝对值的不等式。那怎么办呢？我先把两边的绝对值添上。那提到有绝对值的不等式呢？我一看这个就想到什么， 就晓得，你看这两部分相减的绝对值，他一定小一点。什么呀，是不是他们各自的绝对值相加啊？还有个小点，就是你看这里他是不是只有一个 f 两撇，我们这里有两个，那怎么办呢？你说这样啊，我取这个 f 两撇一塔的绝对值啊，是这两个绝对值的最大值，这没问题吧？那整个是不是小等于他？ 还有最后一件事是不要把这个 x 零去掉，咋去呢？如果你实在看不出来你比这个结论，我就直接写他小于等于二 a 方倍的这个，然后再把那个二 a 方一除，你说这个会不会扣你太多分啊？我觉得不会，因为主要步骤已经出来了，但其实你要分析，你也很简单，你看这个中括号里面是个啥呀？ 这是一个关于 x 零的二次函数图像，是一个开口向上的抛物线，这个 x 零在负 a 和 a 之间，你注意开口向上的抛物线最大值在哪取啊？是不是肯定在两个端点取？ 那你把两个端点往里带 x， 零等于 a 和负 x 带进去啊？这个中框里面都是这一方，那么拿过来就这个式子，那你看这道题是不是也算完了？

何时用？那我们说泰勒公式是建立函数和高阶导数的关系，什么时候应该想到用泰勒？那当然是 你的题目里边出现 f 的 n 阶倒数，这个 n 大于等于二，不管这个出现的条件还是出现的结论，那么这种问题一般就应该想到态的公式。第二，用哪一个态的公式呢？这个态的公式是建立函数和高阶倒数的关系，往往是用高阶倒数研究函数的 形态，那么一个呢，叫局部，一个叫整体，所以呢，注意，第一个呢，往往用的是研究函数的局部形态。那么什么叫局部形态呢？比如说一个函数在这一代的极限，他就是个局部形态， 还有就是极值，就只跟这点灵性函数这有关，这就叫局部形态。所以呢，如果用高阶导数研究函数的局部形态极限极值，那就用局部态度共识，那么 整体它的公式是研究整体形态。什么是整体形态？跟极致一字之差最直，你想一个函数在一个区间上最大最小值，它就是个整体形态，还有谁呀？还有不等式，我们知道太的公式，一个非常重要的因缘可以证明不等式，但是大家想正不等式往往是正一个区间，都会让你正一个点的领域， 所以呢，最直包括不等式都是整体形态，所以这个时候往往用整体态公式。所以用哪一个？主要是看这个题目是让你研究函数的局部形态，还是研究函数的整体形态。

大家好，今天我来讲一下高考数学中利用 pad v 进或者泰勒公式解决只对比大小的压轴小题。那么来看一下啊，那么这道题的话，看 a 长这个样子，零点一乘 e 的零点一次方，然后 c 呢是负的了零点九， 那么这道题应该怎么解决呢？当然 c 我们先改一下形式啊，毕竟前头这个负号看的非常不顺眼。他的话首先是等于捞，按十分之九，十分之九的话，其实他就是九分之十的负一次方嘛，去倒数， 然后这个负一根据对数运算就消掉了。所以我们完全可以把 c 写成什么形式啊？ c 的话，我们一开始先改造成为这样一个形式啊，一加上九分之一的形式，这样的话构造函数其实也容易一些好，改成这个形式之后的话，接下来我们就可以利用 pad b 进来解决这道题了。 pad b 正常来说啊，按顺序他是在大学三年级的时候是要学习的，那么我们估计一下， 不管是帕德必经还是我接下来要讲的这个泰勒必经啊，泰勒公式展开，他都是把不太容易的指数运算， 还有这个对数运算转换成多项式的运算，多项式的运算多简单呢，分子分母多项式比一下，分子分母多式，多项式再比一下，对不对？那我们估一下啊， e 的 零点一次方，那估一下吧，他的话约等于，当然这应该是个约等于的符号啊，他的话是零点一的平方加上六乘零点一，那就零点一六啊， 然后再往后边来算，他的话是零点一的平方减去零点一乘六，再加上十二，反正最后算出来是多 多少呢？最后算出来他其实是等于一点一零五的，这是个大概的数字啊。那所以说啊，这个 a 零点一一乘 e 的零点一次方，他最后估出来就是零点一一零五，是吧？ 然后这个 b 的话咱们也写一下啊， b 的话一看九分之一，那九分之一的话写成小数的形式，那不就是零点一一一一直往后边写吗？零点一一循环，对吧？ 那么 c 呢？ c 是这样估的，根据这样的 pad b， g 还是把对数运算转换成什么？把对数运算转换成多项式的运算，那此时 c 的话就约等于多少呀？啊？ no one， 这是一加上九分之一半，你把这个 x 都变成九分之一不就行了？ 所以就是三乘九分之一的平方，八十一分之一，再加上六乘九分之一，比上八十一分之一 加上六乘九分之一，再加上六，最终的话，我们也是可以估出来的啊，他的话应该是个五百四十一分之五十七，反正算，算成这个小数的形式吗？小数的形式最终 他解出来是多少呢？我写一下，他非常小啊，是大概是个零点一零五四，这个就不用多说了，一看， 所以说谁最大呀？ b 他才是最大的。 b 大于 a， 是不是零点一一一啊？然后大于 c， c 是零点几嘛？所以这道题是不是很快就解决完了呀？也可以用泰勒展开，本身这两个都是把对数还有指数，还有其他一些形式呢，算成什么？算成这样的 多小时的运算？那其实关于泰勒展开的话，我们只需要精确到什么位置呢？精确到平方向就够了啊，不需 需要再精确到这个三次方了。那个不需要啊，那么看了，我们估算一下， b 的零点一，他约等于后边就不写了吧，后边就咱们就看成余项啊， 那此时就是一加上八等号，右边这个 x 也变成零点一吧，然后二的结成呢，其实就是二分之零点一的平方， 那最终我们算出来他其实就是多少啊？同志，请你告诉我，其实不就是个一点一零五吗？跟刚才那个帕德比进的结果是一样的，相信即便你不知道帕德比进，很多同学也是知道这个太老公式的吧。啊，这个还是很常见的。好了，那继续。 所以啊， a 零点一乘一的零点一次方，他就约等于零点一一零五，跟刚才结果一样。那 b 的话咱就直接写了啊， b 的话等于九分之一，那 就是约等于零点一一一，反正一直往后边写就行啊，你比较一下，看来还是 b 最大，那么 c 怎么估呢？ c 也是啊，既然有这样的泰勒公式，我们 c 刚刚已经说过了，可以改造成一加上九分之一这样一个楼盘的形式，所以我们只需要 把这个等号右边画框里头的 x 变成多少，变成九分之一九分之一，再减去二分之九分之一的平方，那最终的话我们是可以算出来的啊，他不就是九分之一减去一六二分之一吗？ 最终估算一下，他约等于多少啊？约等于零点一零五，后边就不用多写了啊，你看 c 约等于零点一零五，你说最后哪个大哪个小啊？看来 b 他还是最大的， 然后呢？ b 大于 a 吧，然后 a 又大于 c 吧，这一看就看出来了，每一位挨个去比就行了，现在应该清楚了吧。可能有同学要说，老师，我真的不管是泰罗公式还是 pad b 镜这个公式我都不会，那怎么办？那就老老实实用高中的方法也是可以解决的。之前我讲过的啊， 那有什么方法咱可以构造啊？比如说你比较这个 b 的大小和 c 的大小，咱可以先比较 b 和 c 嘛， c 的话不就是 lower 一加九分之一，你把这个九分之一这个地方堪称 x， 是不是可以啊？ 然后这就是 x， 就是 low n 一加上 x， 当然这个 x 的取值非常小啊，它就是零到一之间这样一个取值。咱们构造一个函数，比如说 f， 它等于 low n 一加 x 再减 x， 这样的话就好比了吧。现在清楚了，详细过程的话我给大家 给展示出来，你自己研究研究就清楚了。这是高中的方法，咱们之前是讲过的，那么这节课咱们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见。

很多同学私信我想听泰勒公式，今天我们来讲一下什么是泰勒公式。其实我们高中阶段所用到的泰勒公式就是泰勒公式当中的麦克劳零展开式。这个展开式的意思是指任意一个函数 fx 都 可以展开成 fx 的 n 接倒数的一个关系式。这里我们以 fx 等于 ex 举例，显然 f 零等于 e 的零次等于一， e 的 x 次求导还等于 e 的 x 次， 所以不论 e 的 x 次求几节倒，他在 x 等于零处的倒数值都等于一，所以我们就可以得到 e 的 x 次的麦克劳零展开式。同样的原理，我们还可以得到高中阶段常用的浪一加 x 的麦克劳零展开式以及撒 ex 的麦克劳零展开 开始。但是在高中阶段，不论是泰勒公式还是麦克劳林展开式，都是没有办法直接使用的。在答题过程当中，我们更多的是利用泰勒公式的二级结论，也就是我们常说的切线放缩去具体解决问题。这 还是以 e 的 x 四为例。显然 e 的 x 四的麦克劳零展开式的后半部分，也就是二分之一乘以 x 的平方加三的阶层分之一乘以 x 的三次向后累加，他的结果是大于 于零的。那么不等式左右两边同时加上一加 x， 我们就可以得到 e 的 x 四是大于一加 x 的这个结果，也就是我们常见的 e 的 x 四在零豆一处的切线是 y 等于 x 加一。同样，根据麦克劳零展开式，我们还可以 可以得到下面几个不等式。所以大家可以发现所谓泰勒公式以及麦克劳林展开式在高中阶段的应用与切线放缩其实并没有本质的区别。 根据刚才的结论，我们可以将 e 的 x 四放缩成 x 加一。大家注意，出现大于等于号或小于等于号的时候，一定要写清楚取等的条件。同样的，我们知道捞人 x 在一到零处的切线是 y 等于 x 减一， 那么 lon x 加 m 就相当于是这个曲线向右平移了 m 个单位，那么他的切线也同样要向右平移 m 个单位，所以我们就可以得到 lon x 加 m 应该是小于等于 x 减一加 m， 所以利用这两条切线，我们就 可以将 fx 放缩成二减 m， 因为 m 小于等于二，所以二减 m 大于等于零，所以我们就得到了 fx 大于等于二减 m 大于等于零。 但是因为两个大于等于号，一个是在 m 等于一时取等，一个是在 m 等于二时取等，所以二者是不能同时取等的。所以最终结果就是当 m 小于等于二时， fx 大于零下课。

在小学的时候，我们应该都见过这样的问题，给你几个数字，让你填接下来是哪个数字？有的题目比较简单， 比如说这个幺二三四，我们会发现数列的每一项减前一项都是一，所以猜想最后一个要填的数也满足这个规律，所以最后一项应该填五。有一些问题则不是那么容易发现规律，比如这个它的规律初看起来难以捉摸，直到我们每个数减去一，减完以后， 我们会发现其实就是一些平方数，所以我们猜想最后一项也满足这样的规律，意思就是说最后一项应该是二十六。当时我就在想，怎样能够快速找到这样的规律呢？我觉得可以参考前面一个的做差方法。 比如说我们可以将这些数字写成一列，用下面的数字减去上面的，得到相应的差值。就像这 样，为了好看一些，我们将做差的两个数和得到的结果连线，因为下面的始终比上面的大一，所以剪出来都是一。 现在我们考虑第二个数列，依然是写成一列，然后依次用下面的减去上面的， 就像这样。但是这次减得到的还不是常数，所以我觉得可以继续往下减，重复一次这个过程，我发现结果就是横为一个固定的数了。于是我觉得这种问题也许都可以这样重复做差解决，一直做直到最后得到一列相同数字为止。 但是我转念一想，因为没有限制哪一层数字相同，所以其实填任意数字都行。比方说我完全可以让第五个数字为六，第一层相减出来会多一个二，那我不妨继续减，减到最后得到一个第四层的一 是。我可以说这个数列满足减到第四层的值都一样，你完全不能说明我是错的。如果我按照这个规律往下写，很容易就能得到下一位数字，但是仅凭这样的做法并不能说服别人。于是我又开始思考这样的数列是否有合理的通向公式。 显然，我们可以从这里的一层层地推入手。首先，假设每一层的数列出来，我们知道 a 是 b 做差得到的，而 b 又是 c 做差得到的，所以我们只需要倒过来求就好了。然而实际做的时候 却发现求和异常难搞，因为计算这个式子并不出错，超出了小学生的能力。但是我发现这实际上是关于 an 的四次多项式，所以我就想，能不能直接把这个式子射出来呢？很明显，如果就是一二三四，那么通向就是 and。 如果下一项是 六，那么显然结果不是 n， 但是我不想丢失 n 这个信息。于是我假设加一个 g， 事情就变成了，这里的 g 的表达式是什么样的？ 很明显的， gm 必须要在安取一二三四的时候沉默不语，在第五个数的时候给出一个一，那么也就是说，一二三四是 g 的四个根。那就好说了，恐怕这是这样一个依次减去一到四再乘起来的式子，前面的系数就由 m 等于五来确定。 最后，我得到了一个比较长串的柿子，比之前的地推方法方便许多，而且也比较工整。发现这个事情的我非常高兴， 这就意味着，任何有现象熟练都有这样的通向公式，而这些找规律的题就都是骗人的玩意。长大以后我才知道这个方法的真正名字，牛顿叉指法。所谓牛顿 差执法，就是想解决这样一个问题，如果我们知道了 n 加一个点，那么我们怎样找一个 n 次的多项式，使得这个多项式经过每一个点， 显然多项式的接数比点少一个。比如我们都知道两点确定的直线是一次的直线。 解决这个问题的方法与我之前发现的类似，也是通过类似做差的办法，只不过在这里因为 x 之间的距离不一样，所以需要除以 x 间的距离，这个比值也就是所谓的差商。顾名思义， 做叉的商吗？我们可以理解为两点之间的斜率，比如说这里的 f 十二就是 x 二和 x 一之间的斜率，叉商还可以继续往下减，进入下一层叉商的叉商计算公式就像这样看式子比较难理解，我画个图你就明白了。比如说我们现在有幺二三三个点， 我分别给其标上颜色。现在首先做一阶叉伤，就是两两连线，看看谁减谁。比如 f 是二，追根溯源是二合一，所以就像上面式子那样，做完以后继续往下就是 f l 二三也是下面减去上面。 不同之处在于，这里处理的值是 x 三减 x 一。这还是一个追根溯源的问题，我将根源已经标上了颜色，简单来说就是往上的线一直往上，往下的线一直往下，直到碰到了第一层为止。你可以对比图像和式子，想想应该是什么样的。 总而言之，得到了差商以后，我们就可以计算多项式了。我们得到的差值多项式是由差商拼凑而成的。以三个点为例，我们的多项式应该写成这样，其中 中的系数取自前面画的图的最上面一排，而后面的乘积则为 x 一次减去相应的点。我们不妨思考一下，这个式字为什么能够经过这三个点。 当 x 等于 x 一的时候，后面两个是子被沉默，结果就是 f 一。而 x 等于 x 二的时候，第三个被沉默，而前两项恰好为 f 二。 就这样，一边沉默一边解放，这个多项式就能通过所有点了。一般情况下，我们也就能得到一般的式子，然而这个式子并不和原始函数相同。我们需要一个余项。 我们首先将原函数与多项式作差，构造一个新函数。通过罗尔定理，我们知道 gdn 街道在某处为零，经过一段推导，我们就可以得到余项。我们会 会发现，这里的余项形式和泰勒公式的余项非常相似。这是一个有趣的问题。那么牛顿差值与泰勒公式有什么联系呢？在牛顿差值法里面，我们是对变量 x 一、 x 二等进行差值。那么如果这些变量全都滑向 x 一，会发生什么呢？ 对于一节叉伤来说，很明显会滑向 x 一这一点的倒数。对于二节叉伤会变成二节倒成一个系数。我们会发现 按揭插上的结果会慢慢滑向按揭导成安的阶程。这不就是泰勒公式的系数吗？这是一件有趣的事情，我们又一次得到了泰勒公式。这件事情告诉我们，泰勒展开只是牛顿差值的特殊情况， 同样的，我们可以定义函数在原地的差值就是泰勒系数。这也许给我们带来了新的启示， 我们知道牛顿差值是知道安家一个点做多项式，而泰勒公式是知道某一个点的信息。那么如果我想要一个多项式，他能综合这两种情况呢？这就是所谓的埃米尔特差值法。 比如说我知道某个点的倒数值，且知道另一个点的函数值，我们完全可以按照前面的办法找出这个多项式。比如这样画图，然后将相同的用泰勒系数代替，这样差值多项式就得到了，是不是简单又轻松呢？

很多同学都认为泰勒公式很难背，那是因为你没有找到规律，那么今天这期视频唐老师将带着同学们一起把泰勒公式轻松拿下。首先在这十一个泰勒公式当中呢，唐老师先选择了最简单的一个让大家来背诵。第一个叫做一减 x 分之一， 他的泰勒公式非常的有规律，第一项是一，后面加 x 加 x 平方，加 x 三次方，一直加加到 x n 次方。好，我想同学们，第一个泰勒公式我们就已经背下来了。 好，同学们，你们知道吗？我们根据第一个泰勒公式就可以推出前六个泰勒公式，也就是说只要你备注了一，那同学们，前六个泰勒公式我们全部都有规律的能够背下来。好，有什么规律呢？你观察过吗？其中我们就只需要将第一个公式当中的所有的 x 都换成负 x， 那么我们就会得到一加 x 分之一的态论公式。好，来，同学们，我们一起来换一下啊，把所有的 x 全部都换成负 x 之后，第一项的一不要动，第二项的 x 我们换成负 x。 好，第三项的 x 我们也换成负 x 平方，所以说还是 x 平方，而这个 x 的三次方我们换成负的 x 的三次方，所以说就变成减 x 的三次方。好，好了，同学们，那第二个这个泰勒公式我们是不是也就成功的背下来了？ 来，继续，有了二，我们就有了三，那么三是哪里来的呢？我们只需要将第二个这个函数积一下分，我们就可以得到捞引一加 x 的态度公式，那么我们一积分的结果就是 x 喽， x 积分就是二分之 x 平方平方，积分就是三分之 x 三次方。好，以此类推。再来第四个， 第四个泰勒公是哪里来的呢？我们就只需要将刚才这个 loin 当中所有的 x 都换成什么负 x， 来，一起来换一下啊。第一个 x， 我们就换成负 x， 第二个 x 平方，我们不动，第三个 x 三次方，就换成负的 x 三侧方。好，所以说我们这个 loin， 它的泰勒公式每一项都是负的。同学们啊， 接下来我们就迎来了第五个泰勒公式，叫 ak 天地的 x， 而 ak 天地的 x， 他的泰勒公式哪里来的？我可以带同学们推一下啊。他呢，可以从第二个泰勒公式推过来。请同学们将第二个泰勒公式 当中所有的 x， 我们先换成 x 的平方，那我就可以得到一加 x 平方分之一，它的它的公式。好，来吧，同学们，第一项是一，不要动。第二项 x， 我们换成 x 的平方。好，第三项 x 平方， 我们换成 x 平方的平方，那就是四次方。好，再减去，后面我们就不写了。有了一加 x 平方分之一，那同学们， up 天地呢？是哪里来的？是不是就只需要去积分就可以了呢？好，因此，同学们看呢，看好了，第五个公式啊，我们将 每一项都去记一下分，看好了。一积分的结果是不是就是 x x 平方，积分的结果是不是就是三分之 x 三次方， 四次方，积分就是五分之 x 五次方？好，以此类推。 up 天地呢，就有了，好，继续。同学们啊，有了 up 天地的 x， 我们就有了天地的 x。 这两个公式有什么特点呢？好，其中 二个天地呢，是 x， 减去三分之 x 三次方，那天地呢，就是 x 加上三分之 x 三次方，这就是他唯一的一个变化。而天地呢， x， 同学们， 只有前两项，后面不能再接着往后展开啊。因此，同学们，前六个泰勒公式，我们是不是就轻松的给他背下来了呢？好，除此之外，同学们还需要再背一下第七个泰勒公式啊，也就是我们的这个三 ex， 他的泰勒公式是要求大家要背下来的。 有了三印之后，同学们，我们就有了考三印了哈，以此类推啊，三印求导是不是就是考三印？我们将每一项都去求导 x， 求导就是一了 三的阶层分之三次方，求导就是二的阶层分之平方。好，那么考三印的公式也就有了。另外，有了三印，我们就有了二个三印。 三引和二的三引之间什么关系呢？好，同学们看好了，三引这边是 x 减去三的接成分值，而二的三引是 x 加上三的接成分值，所以说他们之间也是有规律的好，也就是说有了 七就有了八，就有了九，这三个公式是有规律的。另外同学们，第十个这个泰勒公式也是需要大家再去单独的背一下的，就是我们的这个 e 的 x 啊。最后呢，再给大家总结一下，也就是说，同学们，我们真正的这十一个泰勒公式，我们真正要背的就是三个 一，七和十，而这三个背完了之后，其他的公式全部都是可以有规律的给他推出来的。 另外有同学可能觉得每一次我都去推一遍，那会非常的麻烦。同学们，当你推倒的次数变多了之后，那这些公式你自然而然的就记住了。好了，我们下期视频再见吧。

在上个视频中呢，我说了一句话，拉格朗日终止定理就是泰勒公式的一个特例。然后很多同学就有疑问哈，这两个定理我们是分开学的呀，拉格朗日中式定理长这样，泰勒公式长这样，明显不一样啊，那为什么说一个是另外一个的特例呢？我们今天就来解释一下， 我们从泰勒公式开始讲起哈，注意，我们这里使用的是带拉格朗日型鱼象的泰勒公式。我们先来复习一下 f x 在 x 零的某淋浴内， n 加一间倒数存在，那么对于任意一个点都有底下这个式子成立。那我们先来举一个例子啊，咱先熟悉熟悉这个公式是怎么写的。比如说哈，我们就斩到二阶 f x， 就等于第一项是 f x 零，第二项呢，是 f x 零的 一节岛，乘以 x 减掉 x 零，咱再给它展一节哈，那就是二的阶层，分之 f 撇撇 x 零乘以 x 减 x 零的平方。好，接下来， 比如说，我们就展到这，开始写余项，他的余项，那这块是不是三阶档啊？然后 x 零的位置就给你变成可 c 了，这块还是三的阶层， x 减 x 零还是三次方。也就是说唯一不一样的地方，就把原来 x 零的位置，现在呢，给你替换成可 c。 那这个可 z 是什么东西呢？可 z 就是介于 x 与 x 零之间的某一个值。好，那我接下来干这样一件事情啊，比如说呢，我们就只展开到长数项，什么意思？就是这样哈，给你一个 f x 好，长数项就是 f x 零进。 接着咱就开始写他的余项了，也就说一阶倒，咱就作为他的余项哈，那他的余项还记得怎么写来着吗？先把 f 撇 x 零写出来，然后 x 减 x 零写出来，然后再把 x 零给你替换为可 c 就可以了吧？那可 c 呢， 是介于 x x 零之间。好，那我们把上面这个式子啊，给它改一改。比如说 x 零呢，是一个固定的点，我们用 a 来表示 x 呢，我们给它取之为 b， 于是这个式子就变成什么样子啦，那就是 f b 就等于 f a 加上 f 撇儿，可 c 乘以 b 减 a， 一下下，那就变成了 f b 减掉 f a 就等于 f 撇 c， c 乘以 b 减 a。 当然你可以再给它移一圈项， f b 减掉 f a 比上 b 减 a， 就等于 f 撇 c c c c 位于哪呢？ a b 之间呢？ 哎，这是啥东西啊？这不就是拉克朗日种植定理吗？发现了吧？所以说，我们由泰勒公式出发，你只给它展到长竖向，剩下的就把它当成余项，也就相当于这是零接泰勒公式哈。 然后往下进行推理，就推出了我们的拉格朗日终止定理。所以拉格朗日终止定理就是泰勒公式的一个特例，或者可以反过来，泰勒公式就是拉格朗日终止定理的一个高阶推广，这就是二者之间这个非常神奇的联系。

提到导数压轴，好多同学开口就是泰勒，闭口就是罗比达，哎，你真的知道泰勒吗？第二，左边 fx 等于 e x 加上上一 x， 根据泰的公式，我们知道 e x 方大于等于一加 x 加上二分之一 x 平方，加上六分之一 x 的三次方三，以 x 大于等于 x 减六分之一 加上二分之一 x 的 平方，而 fx 大于等于 gx 传承率也就是一加二 x 加上二分的 x 平方大于等于 ax 平方加上二 x 加一，所以 a 小于等二分之一。搞定，轻松搞定导数压轴，你可以吗？

为什么说泰勒公式是永远的神题型，见了越多，就越能感受到泰勒公式的威力。为什么泰勒公式这么好用？今天呢，来聊一聊。首先啊，泰勒公式体现的是一种皈依的思想。之前我做过一期关于函数分类的视频，基本出等函数，出等函数，非出等函数。 乍看之下，这函数的类型也太多了，研究起来呢，还不是乱七八糟的。但是啊，泰勒公式就是这么的神奇，他把所有的基本初等函数都划归为一种函数，就是多项式函数。从此以后，世界上就没有那么多乱七八糟的函数了，没有指数对数，没有三角反三角，而只有一种函数，就是多项式函数以及他们的运算。 而多项式函数的运算以及他的求导啊，求积分啊，都是非常容易处理的。所以一道看起来很困难的函数题目，经过泰勒公式一展开，形式就会变得非常简。 其次，泰勒公式体现了一种分解的思想，就是把复杂的对象分解为若干简单的对象，把复杂的函数分解为若干简单的密函数。 这就好比啊，物理学中的物质结构，看起来千变万化的大自然，其实不过就是个数不同的质子、中子、电子构成的，这其实也是一种机械唯物主义的观点。我们不妨来聊一点马哲哈， 以牛顿力学为代表的近代科学体系，其实都是建立在这种思想之上。哲学中呢，管它叫做还原论， 我们只要把密函数研究清楚了，那么所有的可展的函数就都研究清楚了。最后一点，泰勒公式也是处理抽象函数的一个非常重要的工具，有的时候啊，题目里边没有具体的函数表达式，而只有一个抽象的 f x， 这种情况下用常规方法 来处理，他就没有办法了。但是啊，如果能给他进行他的展开，那就相当于在处理多项式了。所以啊，即使我们不知道他的具体表达式，但是多项式的运算我们是很清楚的。这个时候啊，你就可以去等价替换，可以去比较判别，可以去比值判别等等，这些东西就都可以用上了， 所以对于抽象函数，泰勒公式的威力体现的就更明显了。最后插一句题外话，哈，有人可能觉得拉格朗日终止定理它的用途比泰勒公式更大， 但是我想说哈，拉格朗日终止定理其实就是一阶泰勒公式，拉格朗日终止定理只不过是泰勒公式的一个特例，从这个角度来看啊，还是泰勒公式更厉害一点。