对数保命公式

对速换底公式的推倒我们经常会使用对速的换底公式，那对速的换底公式是怎么推倒的呢？今天我们就一起来学习一下。 首先我们令 log a， d， b 等于 x， 根据对数的定义，我们就得到 b 等于 a 的 x 方。 接下来两边同时取以 m 为底的对数，得到了左边变成了 log m d， b， 右边变成了 log m d， a 的 x 方， 那么它也会等于 x log m d， a。 现在我们得到了 log m， d， b 就等于 x 乘以 log m d， a， 那接下来我们就可以得到 x 等于 log m， d， b 除以 log m d， a。 那么刚刚我们设了 x 就是 log at b， 所以我们就得到了我们这个 log at b 等于 log m， d， b 除以 log m， d， a。 换底公式就出来了，同学们学会了吗？

大家好，这个视频我们来讲一个同构和放缩结合的一个选择题，这是一套试卷的第十二个选择题，是一个多选，我们来看一下题目。这里告诉我们， f x 等于 x 乘以一的 x 侧方， gx 等于 x 乘以劳逸 x， 那么非常明显，这是两个同构母函数， 若存在 x 一属于 rx， 二属于零到正无穷，使得 fx 一等于 gx 等于 t， 那也就是说他们的函数值相等，对吧？下列结论正确的是哪一个？那首先的话，我们可以先把这两个函数的图像给他画出来，对吧？这两个函数图像的话，一定要非常的熟悉， 我们就直接随手画了，如果不太清楚的话，我们可以去求导，去判断一下它的单调性，以及它的一个极致点。好，这是 x 乘以 e x 侧方，然后另外一个 x 乘以老眼 x， 我们也把它画出来， ok， 把它的特殊点标出来，这里是一，然后在这个位置呢，是一分之一，取到了负的一分之一， 而左边这个呢，它的最小值也是负的一分之一，在负一这个地方取到。好了，下来我们来看一下第一个选项，他说当 t 大于零的时候， x 一乘以 x 等于 t， t 大于零的话，也就是说我们这样画一条横线，他和我们这个函数呢，都有一个焦点，那么这个地方就是 x 一， 这个地方就是 x 二，非常明显，我们从图里边能够看得出来， x 一 x 二的一个大致范围， x 一它是大于零的，而 x 二呢，它是大于一的， 那他告诉我们 x 一乘以 x 二，呃，等于 t， 他的前提是他们的函数值相等，对吧？那我们就可以把这个函数值给他表示出来，也就是 x 一乘以 e 的 x 一次方等于 x 二乘以 老引 x 二。那既然两边是同构函数的话，我们就把它结构改成一样的，那我们把右边改了吧，那它就是老引 x 二再乘以 e 的老引 x 二次方。 左边呢，其实就是 f x 一，而右边呢，其实就是 f l e x 二，对吧？那他们的函数值相等，如果是单调的，那么他们的自变量也一定相等非常明显啊。 这边呢，是在单调递增区间上，这里呢，脑引 x 二是大于零的，因为 x 二大于一，所以呢，他们都在单调递增区间上，那么也就是说他们的自变量必须相等，就是 x 一等于脑引 x 二。 他问的是 x 一乘以 x 二等于多少？那我们就两边同时乘以 x 二，就可以得到 x 一乘以 x 二，他就会等于 x 二，乘以劳引 x 二。那非常明显，这个东西呢，就是我们的 g x 二，而他就等于 t， 所以呢，这个选项 a， 他就是对的。下来我们来看一下选项 b， 这个选项 b 呢，其实就是一个非常基础的对数放缩不等式。那根据我们刚才的计算， x 一乘以 x 呢，是等于 t 的，所以呢，我们就可以把这个右边给他换掉。其实呢，就是问我们 t 大于等于 e， 再乘以劳引 t， 这里边 t 呢，是大于零的。问这个不等式是不是对着的，那非常明显，它是对着的啊，其实就是我们的一个放缩不等式。 劳音 x 小于等于一分之一乘以 x， 它的取等条件是 x 等于一，所以呢，选项 b 是对的。然后我们来看选项 c， 选项 c， 他说不存在一个 t， 使得在 f x 一和 g x 二除的导数是相同的，那他就错的有点离谱了，非常明显啊，我们在这个位置挤小指点，这个位置挤小指点，他们的导数相等，而且呢，他们都是负的 一分之一，对吧？所以说呢，这个选项 c 是错的。下来我们来看一个稍微难一点点的选项 d， 他告诉我们 f x 大于 g x， 再加上 m x 横成立，那么 m 的范围就是小于等于二，那我们来算一下，先把这个不等式给他整理一下， f x 大于 g x， 再加上 m x， 我们把它带入，就可以得到 x 乘以 e 的 x 次方大于 x 乘以牢印 x， 再加上 m x， 我们知道 x 肯定是大于零的，那我们就可以约掉一个 x， 也就是说它就变成了 e 的 x， 四方减去劳引 x 大于 m， 然后让我们去求 m 的范围，那我们就可以去找一下左边这个函数的范围，对吧？当然如果大家对放缩比较熟悉的话，其实就可以直接放缩出来。我们先讲常规方法， 那我们就另一个新的函数，我们令这里的 h x， 它就等于 e 的 x 次方，再减去老引 x， 然后呢，我们对它进行求导， h e p x， 它就等于 e 的 x 次方，再减去 x 分之一，非常明显，我们能够看得出来 h e p x 是单调递增的，对吧？这应该能看出来。 然后呢，我们要判断这个 h s 单调性，其实就需要去判断一下 h e p x 的一个正负，那么它是横单调递增的，我们就需要去卡点， 那这个卡点的话，应该是非常熟悉的啊，我把二分之一带进去，它是小于零的，把一带进去，它是大于零的。好了，那下来的话，我们就能够知道存在一个 x 零，它属于 二分之一到一，使得我们的 h 一撇 x 零，它是等于零的。 然后我们来画一下这个 h e p x， 它是一个单调递增的函数，然后这里有一个 x 零， x 零呢，在二分之一到一之间。好了，那也就是说它有一个最小值，就是我们的 h x 零。当然呢，我们需要先把这个式子给它翻译一下，因为我们等会需要用这个引领点去替换， 把它翻译出来呢。这个式子很重要啊，这也是我们引领点的一个关键，就是导函数等于零，也就说一的 x 零次方，它等于 x 零分之一， 两边如果同时取对数的话，就可以得到 x 零，等于负的劳引 x 零，对吧？好了，那么我们下来得到这两个式子以后，用它来替换就行了。 我们根据单调性，它是先减再增，所以 h x， 它会有一个最小值，它就等于 h x 零。我们把它带进去 e 的 x 零次方，然后再 减去老引 x 零。好了，我们把它替换进来啊。经常有同学问我，到底是怎么替换的？把这个一的 x 零给他换到这来，看得懂吗？他就变成了 x 零分之一， 把这个负的老演 x 零换到这来，看得懂吗？他就变成了 x 零，所以呢，他就变成了 x 零分之一，再加上 x 零，这是个什么呢？这是一个对勾函数。呃，你不能说他是一个基本不等式啊，因为他是取不到等号的，他的范围是二分之一到一，所以呢，他会有一个最小值，他是大于二的， 我们就可以知道左边这个函数呢，是横大于二的，那我们就知道了，这个 m 呢，就是小于等于二的，因为他大于二，这里的左边取不到，那么右边这个 m 就可以等于二，所以呢，我们就知道了 m 它是小于等于二的，那也就是说选项 d 是对的。然后我们利用放缩的方式来做一下它放缩的方式的话，就是我们需要用到两个非常基础的 方错不等式，第一个是 e 的 x 方大于等于 x， 加一取等条件是 x 等于零。第二个不等式呢，是 x 减一，大于等于 l e x 取等条件是 x 等于一。我们把它的右边全部移到左边来，然后叠加一下，就可以得到 e 的 x， 四方减 x 减一，然后再加上 x 减一，再减去老引 x， 他肯定是大于等于零的，但是呢，因为他们两者取等条件是不一样的啊，所以呢，在叠加完以后，这个等号是取不到的，所以他应该是大于零的。我们把这个式子整理一下，我们发现呢，里边的这个 x 消掉了， 然后呢，就变成了一的 x 方减去牢引 x， 它是大于二的，对吧？这和我们刚才计算的过程呢，是一样的，只不过呢，它的方法会更简单一点，就要求我们对基本的放缩的不等式比较的熟悉。