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对速换底公式的推倒我们经常会使用对速的换底公式,那对速的换底公式是怎么推倒的呢?今天我们就一起来学习一下。 首先我们令 log a, d, b 等于 x, 根据对数的定义,我们就得到 b 等于 a 的 x 方。 接下来两边同时取以 m 为底的对数,得到了左边变成了 log m d, b, 右边变成了 log m d, a 的 x 方, 那么它也会等于 x log m d, a。 现在我们得到了 log m, d, b 就等于 x 乘以 log m d, a, 那接下来我们就可以得到 x 等于 log m, d, b 除以 log m d, a。 那么刚刚我们设了 x 就是 log at b, 所以我们就得到了我们这个 log at b 等于 log m, d, b 除以 log m, d, a。 换底公式就出来了,同学们学会了吗?




大家好,这个视频我们来讲一个同构和放缩结合的一个选择题,这是一套试卷的第十二个选择题,是一个多选,我们来看一下题目。这里告诉我们, f x 等于 x 乘以一的 x 侧方, gx 等于 x 乘以劳逸 x, 那么非常明显,这是两个同构母函数, 若存在 x 一属于 rx, 二属于零到正无穷,使得 fx 一等于 gx 等于 t, 那也就是说他们的函数值相等,对吧?下列结论正确的是哪一个?那首先的话,我们可以先把这两个函数的图像给他画出来,对吧?这两个函数图像的话,一定要非常的熟悉, 我们就直接随手画了,如果不太清楚的话,我们可以去求导,去判断一下它的单调性,以及它的一个极致点。好,这是 x 乘以 e x 侧方,然后另外一个 x 乘以老眼 x, 我们也把它画出来, ok, 把它的特殊点标出来,这里是一,然后在这个位置呢,是一分之一,取到了负的一分之一, 而左边这个呢,它的最小值也是负的一分之一,在负一这个地方取到。好了,下来我们来看一下第一个选项,他说当 t 大于零的时候, x 一乘以 x 等于 t, t 大于零的话,也就是说我们这样画一条横线,他和我们这个函数呢,都有一个焦点,那么这个地方就是 x 一, 这个地方就是 x 二,非常明显,我们从图里边能够看得出来, x 一 x 二的一个大致范围, x 一它是大于零的,而 x 二呢,它是大于一的, 那他告诉我们 x 一乘以 x 二,呃,等于 t, 他的前提是他们的函数值相等,对吧?那我们就可以把这个函数值给他表示出来,也就是 x 一乘以 e 的 x 一次方等于 x 二乘以 老引 x 二。那既然两边是同构函数的话,我们就把它结构改成一样的,那我们把右边改了吧,那它就是老引 x 二再乘以 e 的老引 x 二次方。 左边呢,其实就是 f x 一,而右边呢,其实就是 f l e x 二,对吧?那他们的函数值相等,如果是单调的,那么他们的自变量也一定相等非常明显啊。 这边呢,是在单调递增区间上,这里呢,脑引 x 二是大于零的,因为 x 二大于一,所以呢,他们都在单调递增区间上,那么也就是说他们的自变量必须相等,就是 x 一等于脑引 x 二。 他问的是 x 一乘以 x 二等于多少?那我们就两边同时乘以 x 二,就可以得到 x 一乘以 x 二,他就会等于 x 二,乘以劳引 x 二。那非常明显,这个东西呢,就是我们的 g x 二,而他就等于 t, 所以呢,这个选项 a, 他就是对的。下来我们来看一下选项 b, 这个选项 b 呢,其实就是一个非常基础的对数放缩不等式。那根据我们刚才的计算, x 一乘以 x 呢,是等于 t 的,所以呢,我们就可以把这个右边给他换掉。其实呢,就是问我们 t 大于等于 e, 再乘以劳引 t, 这里边 t 呢,是大于零的。问这个不等式是不是对着的,那非常明显,它是对着的啊,其实就是我们的一个放缩不等式。 劳音 x 小于等于一分之一乘以 x, 它的取等条件是 x 等于一,所以呢,选项 b 是对的。然后我们来看选项 c, 选项 c, 他说不存在一个 t, 使得在 f x 一和 g x 二除的导数是相同的,那他就错的有点离谱了,非常明显啊,我们在这个位置挤小指点,这个位置挤小指点,他们的导数相等,而且呢,他们都是负的 一分之一,对吧?所以说呢,这个选项 c 是错的。下来我们来看一个稍微难一点点的选项 d, 他告诉我们 f x 大于 g x, 再加上 m x 横成立,那么 m 的范围就是小于等于二,那我们来算一下,先把这个不等式给他整理一下, f x 大于 g x, 再加上 m x, 我们把它带入,就可以得到 x 乘以 e 的 x 次方大于 x 乘以牢印 x, 再加上 m x, 我们知道 x 肯定是大于零的,那我们就可以约掉一个 x, 也就是说它就变成了 e 的 x, 四方减去劳引 x 大于 m, 然后让我们去求 m 的范围,那我们就可以去找一下左边这个函数的范围,对吧?当然如果大家对放缩比较熟悉的话,其实就可以直接放缩出来。我们先讲常规方法, 那我们就另一个新的函数,我们令这里的 h x, 它就等于 e 的 x 次方,再减去老引 x, 然后呢,我们对它进行求导, h e p x, 它就等于 e 的 x 次方,再减去 x 分之一,非常明显,我们能够看得出来 h e p x 是单调递增的,对吧?这应该能看出来。 然后呢,我们要判断这个 h s 单调性,其实就需要去判断一下 h e p x 的一个正负,那么它是横单调递增的,我们就需要去卡点, 那这个卡点的话,应该是非常熟悉的啊,我把二分之一带进去,它是小于零的,把一带进去,它是大于零的。好了,那下来的话,我们就能够知道存在一个 x 零,它属于 二分之一到一,使得我们的 h 一撇 x 零,它是等于零的。 然后我们来画一下这个 h e p x, 它是一个单调递增的函数,然后这里有一个 x 零, x 零呢,在二分之一到一之间。好了,那也就是说它有一个最小值,就是我们的 h x 零。当然呢,我们需要先把这个式子给它翻译一下,因为我们等会需要用这个引领点去替换, 把它翻译出来呢。这个式子很重要啊,这也是我们引领点的一个关键,就是导函数等于零,也就说一的 x 零次方,它等于 x 零分之一, 两边如果同时取对数的话,就可以得到 x 零,等于负的劳引 x 零,对吧?好了,那么我们下来得到这两个式子以后,用它来替换就行了。 我们根据单调性,它是先减再增,所以 h x, 它会有一个最小值,它就等于 h x 零。我们把它带进去 e 的 x 零次方,然后再 减去老引 x 零。好了,我们把它替换进来啊。经常有同学问我,到底是怎么替换的?把这个一的 x 零给他换到这来,看得懂吗?他就变成了 x 零分之一, 把这个负的老演 x 零换到这来,看得懂吗?他就变成了 x 零,所以呢,他就变成了 x 零分之一,再加上 x 零,这是个什么呢?这是一个对勾函数。呃,你不能说他是一个基本不等式啊,因为他是取不到等号的,他的范围是二分之一到一,所以呢,他会有一个最小值,他是大于二的, 我们就可以知道左边这个函数呢,是横大于二的,那我们就知道了,这个 m 呢,就是小于等于二的,因为他大于二,这里的左边取不到,那么右边这个 m 就可以等于二,所以呢,我们就知道了 m 它是小于等于二的,那也就是说选项 d 是对的。然后我们利用放缩的方式来做一下它放缩的方式的话,就是我们需要用到两个非常基础的 方错不等式,第一个是 e 的 x 方大于等于 x, 加一取等条件是 x 等于零。第二个不等式呢,是 x 减一,大于等于 l e x 取等条件是 x 等于一。我们把它的右边全部移到左边来,然后叠加一下,就可以得到 e 的 x, 四方减 x 减一,然后再加上 x 减一,再减去老引 x, 他肯定是大于等于零的,但是呢,因为他们两者取等条件是不一样的啊,所以呢,在叠加完以后,这个等号是取不到的,所以他应该是大于零的。我们把这个式子整理一下,我们发现呢,里边的这个 x 消掉了, 然后呢,就变成了一的 x 方减去牢引 x, 它是大于二的,对吧?这和我们刚才计算的过程呢,是一样的,只不过呢,它的方法会更简单一点,就要求我们对基本的放缩的不等式比较的熟悉。
