含参变量积分的莱布尼茨公式

各位同学大家好，我是刚老师，咱们本节课来学习一下微积分基本定理，那么它又叫做牛顿来不宁次公式。 在咱们之前啊，已经学了导函数以及定积分的相关概念，我们发现有些函数的定积分用概念来求还是可以求的出来， 但是呢，部分函数啊，再用他的概念来求的话，是比较难求的，甚至呢，还有求不出来的情况。那么这个时候啊，我们就得考虑有没有更方便更快捷的方法来求一个函数的定积分呢？咱们今天所说这个内容啊，就是为了求一个函数的定积分的，所以啊，在这之前，我们务必要学习到 导函数的概念以及定积分的相关概念。那么有关导函数以及定积分的概念啊，在之前的视频里面已经有做过讲解，那么有不懂的同学可以翻看我之前做的视频。好，我们来看一下这个定理。 我们有个函数，大 fx 提完岛之后呢，变成了小 fx， 所以呢，小 fx 就是大 fx 的导函数，那么反过来呢，大 fx 是小 fx 的原函数， 并且呢，小 fx 一定要在 ab 这个圈上连续才可以。那么我们假定啊，我们知道小 fx， 但是呢，我们要求个东西，要求大 fb 减去个大 f a， 这个时候应该怎么求呢？好，我们先来画个图。好，我们结合图像来看一下大 f 和秀 f 之间的一些联系。我们假定 fx 图像如图，那么求的东西， f b 减肥不就是 b 点处的纵坐标，减去个 a 点处的纵坐标，那也就是说这个长就是咱们所求的东西，我们把它继承德尔塔外，那么我们用另一种方式把这个德尔塔外给他求出来， 那么这个方法呀，跟咱们求定积分的这个方法有点类似，也是分的是四步，但是呢具体的过程啊，跟咱们求定积分的过程还是有所不同的，注意观察好，我们来看一下有哪几步。第一步， 第一步我们用 n 减一个点，将这个 ab 区间给他等分， 分成 n 范，那么每一范的距离不就是 n 分之 b 减 a 吗？那么第一点就是 x 零，第二点就是 x 一，第三个点呢就是 x 二，那么最后一点就是 x n， 那么等分完之后啊，我们还是过这些点做一下 x 图的垂线。 那么做完抽烟之后啊，我们看一下第 xi 区间，也就是说从 xi 进一到 xl 这个区间，那么在这个小区间上外的变化量怎么体现呢？小区间上呀，这点长就是他的外的变化量，那么这个图案有点小，我们把它局部放大一下。 好，我们来观察一下在 dx 区域上它的外的变化量 多少，那么在这里啊，也就是他的动作标减去一个他的动作标，那么不就是这点长度吗？我把它记成第二他外癌，那么把他局部放大之后啊，就是 这点高度，然后呢，我们过这个点做一个曲线的切线，那我们得到一个三角形，我们看这个长，我们把这个长啊继承是第二套 y i 片，那么现在来看啊，他俩的这个值啊，还是不相等，但是呢，当咱们把这个区间无 线的等分，也就是等分成无群大范之后啊，也就说这个距离要无穷的缩小，当他缩小到一定程度的时候，他们两者的这个值啊，几乎就是相等的。那么这就是咱们的第二步，叫做进四替代。 我们先让这个德尔塔 y i 啊进四等于德尔塔 y i p， 那目前他是不相等的，我们看一下德尔塔 y i p 又怎么求？我们发现他是一个三角形的一条直角边，这点长啊， 不就是德尔塔 x 吗？他是德尔塔 x， 那么他们之间有一个比例，这个比例不就恰好是啊这个角的正切直吗？哎，我发现这个角的正切啊，不就是这条切线的斜律吗？ 所以他们之一个关系是，那么德尔特外片就等于 k 成一个德尔塔 x， 他们怎么来的呢？我们发现对边比零边等于角的正切就等于 k， 那么对边就等于 k 成一个零边， 然而这个 k 啊，又是啊，这个点处的切线的斜率，也就是说这个点处的倒函数，那么他就等于 f x i 减 一片德尔塔 x。 第三步求和，我们把每个区间上的这个德尔塔 y i。 片给他求和。我们继承人士啊，德尔塔外片， 那么这个德尔塔外撇就等于德尔塔外一加德尔塔外二，一直加到德尔塔外。恩，我们给他用求和符号表示，那么他又可以写成， 那么他就可以写成他，因为德尔投外挨片就等于他，我们给他求和。好，紧接着是第四步，叫做求极限，那么我们所求这个德 外，本来一个是静思等于德尔特外片，那么如何让他们相等呢？我们只需要给这个德尔特外片啊曲极线，让这个区间的距离无限的缩小成零 的时候，那么第二头外挨撇就等于了第二头外挨，那么他的和也就是上等了。这个时候我们再看一下这个东西又是什么，那么这个时候啊，第二头外就等于了给这个式子曲奇线 让这个德尔塔 x 啊无限的接近于零。哎，我发现这是 f p r， 那么大 f 的导航数不就恰好等于小 f 吗？所以大 f p x i 仅一，就是啊，小 fx i 减一啊，把它换掉。 好，我们换完之后就变成他了。哎，我发现这个东西啊，不就是一个函数的定积分吗？他不就是需要 fx 在一个区间上的定积分吗？我们根据定义 知这个东西就是小 fx 在 a b 区间上的定积分，那么他又等于 doty， doty 不就是 fb 减 f a 吗？哎，所以我们正出大 fb 减大 f a 就是小 fx 在 a b 区间上的定积分， 那么这个式子啊，就叫做微积分的基本定理，我们又叫做牛顿莱布尼子公式，为了方便表示啊，我们把大 fb 减去个大 f a， 可以写成，我们可以写成这个形式， 他就等于 fb。 简爱妃，好，以上啊，就是咱们这节课的所有的内容。

牛顿莱布尼斯公式揭示了定积分与不定积分之间的联系，给定积分的计算提供了一个有效而且简便的计算方法。内容如下，其使用条件是，第一，倍积函数小 fx 必须是积分区间内 b 区间 a b 上的连续函数。第二，公式中的函数大 f x 必须是被积函数小 f x 在积分区间 b 区间 a b 上的圆函数 a 选项中的被积函数 x。 分之一是分式， 指分母为零的点，也就是 x 等于零，正好是负一到一之间的不连续点，所以不满足第一个条件。同理， b 选项是一个分式， 那是分母为零的点，可以得到 x 等于一，也是一分之一到一之间的不连续点，同样也不满足第一个条件来看， c 选项是分母 为零的点，可以得到 x 等于正负一。同样， x 等于正负一也是不连续点，那么正负一正好属于区间端点，那么仍然不满足第一个条件，在 b 区间 ab 内连续，所以 abc 都排除掉，答案是 cb。

有前面的学习，我们发现，对一个简单的被击函数歪点 x 三方而言，如果我们用定义法去求他的定积分，就没有那么容易了。甚至对于某一个函数，比方说歪点 x 分之一，如果要去求这个函数，有一到二的时候， x 分之一的 最低分的值，如果用定义法去求的话，基本上求不出来。那么截止到目前为止，我们已经学习了微积分里面两个非常重要的概念， 呃，倒数和定积分，那么倒数和定积分之间存不存在某种联系？我们能不能够用这种联系来求某一个函数的定积分呢？今天我们就探讨一下这个问题。 来举一个例子，现在有一个云变速直线运动的物体，假如说时间和位移之间的关系，我记为是 y 等于 ft， 他所对的图像是大概是这样的一个图像啊，现在我们求一下这个函数 在时间段有 a 到 b 的时候位移的变化量，那么根据这个函数的概念，我们知道在十克 a 的时候，他所对应的位移是 f a， 在 b 时刻他所对的位移呢？我们带到函数表达室里面去，就可以算出来是 fb， 所以说由 a 到 b 这个时间段里面，这个 运动的物体，他位的变化量就 s 啊，就等于 fb 减去 f a， 这个我们作为一式。然后现在这是根据胃 移和时间间的关系求出来了在 ab 时间段内的位移变化量。那么我们根据 前面倒数的概念，又知道对这个函数 ft 进行求道，他所对应的导函数的函数值就等于该云变速直线运动的物体在 t 那一时刻的瞬时速度，也就是说 vt 等的是 fplt， 那么我们能不能够用 vt 来表示该云变速直线运动的物体 从 a 到 b 这个时间段里面的位移的变化量呢？我们研究一下这个问题，那么为了去解决这个问题，首先我把 ab 这个区间 平均分成 n 分，假如分点是 t 零 t 一一直到 t n 的情况下，那么可以这样去写啊，其实这个 a 他就小于啊， t 一就小于 t 二一直小于 t n， t n 其实就等于 b 了。第二个情况，其中第一小段就是由 a 到 t， 第二小段就是 t 一到 t 二，第三个区间就是 t 二到 t 三，那么第挨个就可以写成是 t i 减一到 ti， 以此类推。那么最后一个就是 tn 减一到 tn， 也就是 b， 我把这个 a 到 b 这个区间 平均分成了 n 分，我们知道由 a 到 b 这个区间的长度是 b 减 a， 数值上面大数减小数是距离吗？总长度是 b 减 a， 被平均分成了 n 分，那么所以说每一段的长度我记为得是 t 的情况下，这个得是 t 就等于 n 分之 b 减 a， 然后注意随着 n 的增加， a 到 b 这个区间段就被分的越来越细，当 n 的值非常非常大的时候，从 d i 减一到 t i 这个时间段，他的这个量变化量是很小的，那么在这个很小的时间段内，我们可以粗略的认为这个云变速直接运动的物体啊，他是在做匀速直接运动的，因为他速度的变化量很， 所以说我们就可以先去求出来，近似的求出来这个云变速直线运动的物体在 d i 段里面的位移的变化量的近视值， 然后把这个示意图给画一下，把 d i 段给画出来，稍微放大一下，这是 ti 线一这个地方呢，是 ti。 刚才讲 当 n 的值很大的时候，这一段的长度是很小的，而在这个很小的时间变化方以内的速度变化量就很小。我们姑且认为 自私的认为他是在做元素这些运动的，那么这是 ft 的图像，我们对这个函数求打，假如说这点 是屁点，以屁为切点的时候，他期限的斜率就等于在屁点处，对应的是时速度， 而这个顺时速度为 t i 减一又等于几呢？又等于元函数导函数在 t i 减一的时候，对应的函数值， 这个是可以算出来的。然后这一段总共的时间区间长度是都是他提啊，所以在这段里面他发生的这个位移 就可以算出来。我们记为 h i 的情况下，他等于几呢？他就等于 vt i 减一乘以等。 而注意， vt i 减一又等于几啊？又等于原来的函数的导函数就是 m p t i 减一， 导致他的 t 是这样一个指，当 n 区域无形拉的时候，这个 hi 是可以理解，就是祭祀等于这个 ti 减一，到 ti 这个时间段里面，他位移的变化量的实际值，当实际值是哪多少 啊？这个地方呢？是 fti 简易这个地方 ti 的时候，对呢，指的是 fti 他实际位的变化。要是这段我们就 s a 的情况下，然后我做个过屁点，做 x， 做平行线啊，这是切线，他的倾斜角呢，是这个角倾斜角的正七指呢，就是切线的 节律，也就是 fpl t i 减一，然后这段长度我们看一下是多少啊，这段其实就是什么呢？这是多少道题吗？ 马上我们讲述。这个是 x 啊，这个 x 比上得是 t， 其实就等于弹进他 c， 而这个弹进的 c 呢，就是倾斜角的正斜值， 倾斜的正切值呢，就等于切线的几率，在这里面就是 f p l t i 减一，那么所以说这个 x 啊，其实就等于倒数 t f p l t i 减一，也就是我刚才写的这个 h m， 当 n 的值变大的时候，这个区间程度变小，这个值 就是个 hi， 这个值是与这个 si 这个值是非常非常接近的。当 nt 无穷大的时候，我们就祭祀认为他们是相等，那么我们先可以求出来的是这个 位移他的变化量的近四指是多少呢？在这段里面是 hi 哈，如果我对这个 hi 进行求和，你看，哎，这是第 a 段，那么 h 一的时候就是第一段， hr 就第二段， h n 就是第 n 段了，我把这 n 段求和 c 个满 i 从一到 n 求和，这个值又等于几啊？就等于 c 更吗？ i 从一到 n， 呃，都是他 t f p t i 减一是这个值， 那么我们就求一下这个柿子它的极限值， n 趋向于无菌大的时候的极限值， 当 n 区域无穷大的时候的极限值，就等于了这个运动的物体有 a 到 b 这个时间段里面的位的变化量，也就是他呢。就 祭祀的本来是等于是 c， 哥们， i 从一到 nsi 的啊，这本来是祭祀的，我们取极限值，那就等于这个实际的值了，而这个极限值啊，雷美塔德尔塔，当 n 趋向于 是当 n 趋向于不是德尔塔，是德尔。当 n 趋向于无穷大的时候啊，这个极限值就是一个。呃 f p t i 减一，然后乘以德尔特的极限值，也就是雷美特， 当 n 趋向于无穷大的时候，这个 f p t i 减一，不就是 v t i 减一吗？都是 t。 而根据定积分的含义，我们知道这个东西这个表达是，其实就等于几，就等于函数 vt 在 a 到 b 这个区间里面的 a 几分，而这个 v t 刚才讲又可以写成是由 a 到 b， f 片 t 都是他 t 这样一个值， 那么所以说这个式子啊，这个式子就可以写成式，他又等于。刚才我们已经求出来了由 a 到 b 这个云变速之间运动的物体的位移啊，他等于几啊？他就等于 fb 减去 f a 了吗？ 从这个式子我们就可以看出来啊，这个一个函数，他在某个区间就是 ab 区间内的定积分的值，那等于什么呀？他等于他的圆函数就是你就看谁的倒函数等于 原函数字边曲 b 对应的函数值就是积分上限对应的函数值，减去积分下限对应的函数值。对于一个一般性的情况而言，就对于函数，对于函数我 id fx 而言 啊，我们要想去求这个函数有 a 到 b， 他的定积分值，我们只需要求出来 大 f x 他所对应的值由 b 到 a 对应的函数的差距就可以了。就是前提是 海顶的 fx 这个函数是连续可导的，那么我们先找到一个函数，其中这个函数满足什么条件啊？ fpx 等于 fx， 那相当于是 fx， 就是原来这个。呃，小 f fx 得到函数了 啊，大 f x 的导函数等于小 f x， 所以说小 f x 就是大 f x 得导函数，那么有 a 到 b， 小 f x d x 就等于 f c 小 f x 这个函数，他的原函数积分上限对应的函数值，减去积分下限所对应的函数值。 而为了方便我们习惯上面把这个式子又写成是大 f x 这个反式竖写竖杠，下面是积分下线，上面是积分上线 好，就等于这个值了。这就给我们提供了另外一种全新的求定积分的方法，就是如果我想去求某个函数的定积分，在 ab 区间内的定积分，我只需要求出来该函数 元函数积分上线对应的函数值，减去积分下线对应的函数值就可以了。而对于某个函数这个函数而言，他的圆函数怎么样去求啊？我们往往是要结合前面学过的呃导数的求法和对应的导数的四的运算啊，进行反向去求就可以了， 也就是我们所谓的反导的思想。反导的思想就是本来是求导呢，现在是我要去考虑哪一个函数的导函数等于他，那么现在我就可以回答刚开始提出这个问题了，就是我想求一下这个函数在一到二这个区间里面的定积分的值。 那我们首先就要去考虑一下哪个函数的导函数等于 x 分的一样，我们前面已经学过，就是捞眼 x， 所以说这个式子他就等于几呢？他就等于捞眼 x 这个卡人数啊。积分下线是一，积分上下面二呢对应的纸，我们分别把上线对应的纸带进去，那就捞引二，再减去下线对应的函数值，捞引一，捞引一是零啊，说这个结果直接等于捞引二就可以了。 再计算一个，比方说一开始说那个零到一 x 三方， dx 和他在一起啊，首先我们就考虑一下哪一个还是个倒，还是等于 x 三次方，那我们前面倒还是个公式 啊，可以很容易推倒出来，其实是四分之一，被埃克斯的四次方，他的岛还是在等于 x 三方吗？那么他积分下线是零，上线是一，我们分别把一带 圆盘里面去，他对应的函数只是四分之一，减去零的时候再带进去，结果是零，那么最终结果就是四分之一。由此啊，就用这种呃公 是刚才推手的这个结论来求出来了刚才这两个函数他的定积分的值。而刚才给大家说的这个公式就是我们所谓的微积分基本定理，也叫做牛顿来过一次公式，他可以很方便的去求某个函数的定积分的值 啊。这是当然这个应用也是有前提的，有的时候我们没有办法去反导反出来，那我们就结合定积分的几何意义去算就可以了啊。如果是可以反导，那么优先考虑用这个公式，可以使问题大大简化，你听懂了吗？

好，我们今天来讲一期牛顿莱布尼兹公式的一个推倒，那么牛莱公式呢？是大家非常非常熟悉的一个公式，基本拿起来就用，但是没有人去正面过他，那其实同学们也不用太管说他到底是怎么来的，为什么呀？ 那我今天为什么去推倒呢？我主要的目的就是想让大家理解和掌握这种套路或者说思想方法，那么这个就是牛顿莱姆尼斯公式，没有人不知道，对吧？这个很简单，那么怎么去证明呢？你再设一个大范 x 是一个变现积分，那么显然这个大 fx 和这个大 fx 他都是这个小 fx 的一个原函数，那么既然是原函数，那他们之间是不是只是差了长数 c， 那也就是说大 fx 减下去大 fx 会横等于这个长数 c， 那我们再带 a b 进去，那带 a 进去大 f a 减去大 fea 会等于长寿 c， 那大 f b 减下去大 five b 是不是也会等于常熟 c？ 那大 f a 到底是谁啊？大 f a 不就相当于把这个 x 换成 a， 那换成 a 以后是不？积分上下限是一模一样的，那所以这个积分会等于零，那么也就是说这个等于零，那我们整理一下，是不就等于他？ 那在一项一项是不是就得到了他？那大 fyb 是谁啊？那大 fyb 是不是就相当于把这个 x 换成 b， 那不就是他吗？ 那么字母与积分值无关，那我再把它换回 x， 是不是变成了他？那大快币又等于他，又等于他，那整个这个东西不就挣出来了吗？这不就是牛顿莱布尼兹公式吗？那通过这个 证明过程，我们同学应该体会到就是将已知的定积分转化为变现积分这种证明的套路。比如说我举的这个例子，那你要这么射出来了以后，那会有什么好处呢？就是说已知积分 就是这个变线积分带点进去，比如说这个大 fei b。 啊，这块写错了，大 fei b 他是不是就是 a 到 b 的积分？那大 f a， 那就是把 a 带进去，那上下线都变成了 a， 他他就是零了。好，那我们下期再见。

在整个微积分的学习中，最重要也最知名的公式是什么呢？那肯定就是牛顿莱伯尼茨公式。公式的功能说起来特别简单，就是求积分的，求这一坨面积。 那我们之前说过，所谓求积分呢，就是把这个曲边梯形给他拆成无数个小矩形，然后再加起来，所以公式呢，就是这个意思。你说咱们要拆谁啊？拆这个 fx 是横切竖切还是改个花刀呢？哦，是对这个 x 轴动手，所以叫 dx 嘛，拆谁就递谁，拆完了最后加起来。 到这还需要补充一点，那就是不定积分和定积分有啥区别？这有点像求导的时候呢，你会得到一个导函数，对吧？它是一个有关自备量的一个变化关系，你也可能带入那个自备量，得到一个导数值。 定积分呢，就是你知道这个曲线，然后你知道从哪求到哪。哎，这个围成的面积是什么，那不定积分就是不知道了。那么具体的操作也很简单，就是把导出来的部分塞回去，你的这个 fx 是某个东西的导函数，是某个东西求导以后得到他的， 我们把它写成大写的 fx。 那对于原来的小 fx， 从 a 到 b 的积分，就是把 b 和 a 分别带入大 fx， 然后一减。那如果不讲原理，不考虑严谨性， 就这么简单，这个事干什么呢？就是找原函数，然后代入作差吗？那你有没有发现哪有问题呢？你想啊，一个前面是加减号的长数，如果对着一坨求导的话，这个长数是不是被倒霉了呀？换句话说，给你一个导函， 你可以还原出一大堆原函数来，加个什么都行，这个东西就是不定积分中最容易出现的问题。所谓不定积分，就是给你一个函数，让你去找他的原函数。就是找刚才那个大 fx 嘛，但不是找到就完事了，还得再加一个 c， 那个 c 呢，就表示任意长数。 我们刚刚求具体的定积分的时候，其实前后本该都有这个 c， 但是一减就没了，消掉了。如果你上高速课做不定积分的时候，可以观察一下朋友们，肯定有人漏血， 所以要入门微积分最重要的是什么呢？肯定是导，如果连导都不会，怎么往回击呢？如果你不能通过小 yfx 找到它的原函数大 fx， 那么连这个牛顿莱伯尼斯公式都没法用。至于为什么可以这么操作，为什么这个圆函数会和这个现在的导函数的面积有关系，其作用原理我们下次再聊，记得关注。