单位脉冲函数傅里叶变换的筛选性质

大家好，我们来看一下这个几个常用函数的负离页变化。首先是机型脉冲，就是门函数啊，这个门函数，那么负离页变化我们就直接把它求出来，就是就按照这个公式求，他就等于这个，这又是胜客函数，那么他的那个 幅度谱就是这个样子，这个平宽，这个第一个，第一个，这个第一个零点嘛，对吧？向尾谱是这样的单边指数，还是说这个也是这样求，然后平谱图这样画出来，这个单边单边函数，他其实就是阶要函数呈上了一个衰减因子 啊，衰减因子这个纤维谱就这样画双边指数还是这样，这反正就是我们按照按照这个公式去求出来。然后是冲击函数，冲击函数的复列变化是一冲击函数导 树的副业变化，是这个这个呢就是相当于把这个，这是微分吗？跟积分，把微分运算跟积分运算调一下顺序就行了，是吧？这个这个积分，这个这个调一下顺序， 这个呢就用分布积分就可以的，就就就这样。然后是直流信号，这个我们看一下这个直流信号复利液变换，他是要有一个这个绝对可击这个条件的，绝对可击就是其实就是这个信号啊，是一个啊能量信号， 是能量下，就是说能量有限，但是这个直流信号，这个如果这个比如这个这个接要信号他是一直都有，这个都存在一个一个一个一的这个这种脉冲，他他就会那个就不是能量信号了，但是呢他也，他也这个富力的变化，也 也存在就是这种特殊函数的这个这个妇利业变化呢？那么我们把它叫做广义妇利业变化， 这个就是他用一个，用一个构造一个函数序列来逼近这个函数，这个这个我们等后面就可以看到。然后我们看这个这个构造一个这样的函数阿，发达一年这是一个衰减的了，对吧？那么这个这个函数的复列变换算出来就是这个，那么 那么 f t 等于一，就是假设他是一个解药，还是说嘛？就一直是一嘛，对吧？那这个二法区里呢？ 这个就这七 f 七零，这个就七一了，那就相当于怎么样？ f f 当 f 七一零的时候， ft 就等于一吗？然后这按照这个按照这个表达时来算是，可是有这个福利也变换的，对吧？就就就算出来，算出来，然后就这个样， 所以呢他一跟这个富力的变化，他就是这个，我们从这里看到这个二反对于欧米噶不等于零的时候呢？这个对，这个他是这个这个这个极限他是等于零，欧米格等于零的时候呢？他等于无穷大，这个相当于这个冲击函数吗？对吧？相当于冲击函数的定义， 所以这个这个求极限，他他他等于这个这个二派，那就相当于在在在这个文明的等于零的时候有一个冲击冲击出现，所以一跟二派代打文明的，他是一种一个福利的变换队。 这个一呢是指是指整个时间意义上都是一哈，包括小于零、大于零，他这个跟那个阶幼函数还是不一样的。还有这个我们怎么从这里推出来？他等这个等于二拍吗？对吧？怎么推出来他就跟二拍，我们带他，我们看就是一个负离也变换，对了，这个我们可以 考虑这个积分，对不对？这个你看我们从这里看到这个这个这个极限，这个极限他是一个相当于一个冲击函数，那么这个他只是把这这里把这个利率提提到 那个积分号外面去了，我们把它看到里面去，那么这这个呢？这个就相当于这个带他 t， 对不对？但是这个带他 t 是等于一的，也就是说他的强度是等于一， 那那这里他是等于二派，所以呢他就相当于二派乘以一个带他，这相当于这里成了一个二派，这里才会等于二派吗？对吧？所以这个函数就相当于二派乘以带，所以就就就就是这么来，这么来 这种证明方法呢是比较麻烦的。我们还有一种这个比较简单的方法，就直接把这个这个这个带进去，你看这个带他提的这个这个忽略变换十一吗？那那他的反变化呢？直接把 这个带进来，这个等于二百分之一，然后这个这个就就就就得出来了。说了这个就得出这样的，这个这个看起来更简单的，注意这个是富力业，这个是富力业变变换，哈，这个是富力业反变换，也就说这个 dataomega 和跟二派分之一是一对，然后呢这个把二派分之一乘到这边来，那就是一跟二派带他，我们那个是一对，这里呢表示一跟带他 t 是一对哈，一跟带他 t， 我们带他 t， 这个前面已经说过了，就是这个这个这个充气函数跟那个 一是一对，那个妇女的变换，就这里带他去跟一是一对妇女的变换，对吧？然后这里表示了一跟二排带到我密感，又是一对啊，又是一对。这里 的意思是 data t 是原函数，这个这个一呢是相当于 fjomega 是是负离页变换的结果，这里面呢，这个是负离页变换的结果，这个一是作为原函数，所以他这两者有有有有区别的话，这个一是作为 作为变换的结果，这个一呢是作为原函数，所以这个还是比较比较有有有，比较比较比较那个那个费脑筋哈。这里面呢，也同样给出了具体的那个那个求解过程哈，这个自己看一下，跟这个前面的是一样的，他只不过是没把那个图画出来。 那我们再看这个符号函数，先看这个，这个这个阶阶要函数乘以一个衰减因子，符号函数是这样的，这个这个单边函数是这样的啊，这个这个等于是这个衰减函数啊，那么 我们求出来，把他，把他这个这个求出来，这个就这样的，就这个结果了。平步图按照这个画出来，就这样，这个可以自己去动手算一下，然后接要函数。我们看到这个接要函数他是怎么来的呢？ 就把这个阶要函数看成二分之一加上二分二分之一乘以这个符号函数，就可以推出来。这符号函数。这个我们都知 你，你把这个带进去吗？踢小于零的时候是等于负一二分之一加负一，那就是零了，就就这一半了，对不对啊？踢大于零的时候，一二分之一加二分之点，一了，就就这一半了，所以这个这个就可以推出来。哎，这个符号还说的，我们前面已经推出来了，对吧？ 按照这个，按照这个，按照这个计算吗？就按照这个印算去算的，其实他还是根据这个来的，根据这个这个成了一个衰减因子来的。这个案发七零的时候呢？这个相当于 这里，这里相当于您就一吗？这个相当于负一吗？这个就相当于一吗？对吧？就这样来的。哈，那我们常用的这几个函数啊，就就都在这里了，我们常用的这个几个函数都在这。

大家好，我填坑来了啊，首先给大家讲一下这个频谱图的连续性以及这个复利业级数和复利业变换的区别啊。上一期给大家讲了频谱图的第一印象，讲到的频谱图是这样离散的，但是这样离散的频谱图是由于原函数的周期性导致的。 元函数的周期性是如何导致频谱离散的呢？这其实就要说到负离变换出现的初衷是什么呢？它的出现本来就是一个化繁为简的思想，把一个复杂的东西拆成一个个简单的成分叠加。如果说能把任意周期函数都拆成一个个更简单的周期函数，不就美妙了吗？ 那最简单且美妙的周期函数是什么呀？那可不就是三角函数的正余弦了吗？分解之后，我们就可以轻松的得到不同频率对应的能量有多少了呀，而且 这种操作呢，就是护理液极速了，这个是护理液极速操作的直观化啊，大家可以看一下。 注意哦，不是说周期函数只能分解成周期函数的叠加，而是我们想要把它分成周期函数的叠加，因为周期函数其实也是可以分为周期函数加非周期函数的，但是那样就没有研究的意义了啊。 那周期函数加周期函数等于新周期函数需要满足什么条件呢？这个我在系列视频的第五集讲过了啊，这里再简单的带货一下。两个周期函数，如果他们的震动是同时开始又同时结束的，那这两个函数叠加出来的新波形肯定也是能够头尾相接形成循环的啊。 要满足震动同时开始，然后又同时结束，那这两个函数中间各自正的几个周期其实不用管，只要都是整数个就行了啊。例如 t 一比 t 二是等于二比三的啊，这种呢，就可以他们叠加起来就长这样了啊。这个新函数的周期呢，就是三 t 一或者二 t 二了。 又例如，有三个函数的周期之比是二比三比一啊，这种也行，因为三 t 一是等于二 t 二等于六 t 三的。那么这三个函数相加形成的新函数周期呢，就是三 t 一或者是二 t 二或者是六 t 三嘛。 我们刚开始学复利业级数的时候啊，他是针对二派周期函数的。既然女儿函数的周期是二派，那我的基函数的周期就先来一个 t 一等于二派来打底，然后再按照整数倍缩小啊， t 二等于二分之二派， t 三等于三分之 二派等等啊，一直到 tn 等于 n 分之二派的，这样子就可以轻松实现所有奇函数的震荡点同时开始，又同时结束了。你看， t 一等于二， t 二等于三， t 三等于四， t 四等等等，一直等到 ntn， 他们都是等于二派的。 就算不看图像也能知道这些基合成了函数的周期呢，就是二派了。好，那么我们再看一下这些周期的三角函数所对应的角频率是多少呀？ 稍微讲一下角频率与周期的关系啊，欧米伽是角频率，通俗点理解呢，就是转的有多快，当然还得加上一个人为的定义，逆时针是正，顺时针是负，而周期 t 就是转一圈所用的时间。 所以欧美嘎乘以 t 呢，刚好就是等于一圈的弧度，也就是二派了。整理一下啊，就可以得到。欧美嘎是等于二 二派除以 t 的。 ok， 可以回过头来看一下二派周期函数的 g 对应的角频率了啊，用二派除以 t 带进去就可以得到。这里的 omega 一呢是等于一的， omega 二等于二， omega 三等于三，一直到 omega n 等于 n。 如果要画平谱图啊，就是这样了啊，横坐标自变量是角频率，按刚刚计算的结果呢，就是一二三四等等等等啊，那你看，自变量都离散了，那平谱不就离散了吗？ 接下来我们再继续啊，如果圆函数的周期是四派呢？一样的，只需要把这里打底的基的周期二派换成四派就可以了。 t 一等于四派， t 二等于二分之四派，然后是三分是四派啊，依此类推，再用刚刚的公式把他们对应的角频率给算出来啊，欧米伽一是等于零点五，欧米伽二是 等于一，我们讲三等于一点五。等等啊，同学们发现了没，四派周期函数的平谱的质变量间隔比二派周期的间隔要小。难道说元函数周期越长，平谱图的间隔就越密？ 没错，是这样的啊，当圆函数的周期越来越大，越来越大，平谱呢，就越来越密，越来越密。像这样啊，平谱的横坐标间隔呢，就刚好是等于二派除以圆函数的周期 t 的， 而非周期函数。我们是不是可以看成周期无穷大的呀？而当周期无穷大的时候， 频谱横坐标自变量的间隔等于二派除以 t 就变成无穷小了，而间隔无穷小不就连续了吗？所以说，为什么你们经常看到的频谱图是连续的呀？因为原函数是非周期的呀。而当你处理 的函数由周期变成非周期的时候，上面的操作就不再是护理液结束了，而是护理液变换了啊。至于他们的公式的解析呢，后面会细讲。 还有一点要注意的，负离业级数的基的周期之比是有理数，所以负理业级数频谱的质变量角频率必定是有理数。例如，在负理业级数的频谱里面，你不可能找到根号三弧度每秒对应的函数值， 而负离页变换的频谱是连续的，你是可以找到根号三弧度每秒对应的函数值的。好，接下来我们要讲频谱的对称性。

上面展示的就是我们要在这期视频中探讨的内容，使用动画的方式来考虑数学中一个超级重要的概念， 复立业变换。对于不熟悉复立业变换的观众来说，我们的首要目标是介绍这个概念。但是即便大家很熟悉复立业变换，我们还是觉得看看每一部分长什么样，既有趣又能加深理解。首先，最核心的例子很经典， 就是分解声音中的频率。但是在这之后，我们还非常想稍微展示一下，这个概念的适用范围远不止声音和频率，他在许多看似无关的数学领域，甚至是物理中都有体现，真是无所不在，令人震惊。直接进入 入主题，现在播放的是纯电音，每秒四百四十块，意思是说，如果大家测量耳机或扬声器附近的气压，把它当成一个关于时间的函数，这个函数也会在他的平衡点附近上下震荡， 每秒产生四百四十次震荡。对于一个更低的音调，比如低音，结构是相同的，只是每秒节拍数变少了。当这两个音同时播放时，大家认为最终的压强时间图像是什么样的？ 在任意时刻，压强的变化就是每个音调产生的压强的总和。说实在的，这个东西有点复杂，很难想象在某些时刻，两个峰值相互重合，产生了很高的气压，而在其他时刻，他们又会相 相互抵消。总而言之，大家得到的波浪形压强时间图像并不是纯粹的正弦波，而是更复杂的波形。 当大家加入更多音调时，波形也会越来越复杂。但是就目前来说，他不过就是四个纯音的组合，这个波形的信息量这么少，看着却太过复杂了。 麦克风在记录声音时只能获取不同时刻的气压，他只知道最后的总和。所以核心问题就是大家要如何把一个这样子的信号分解为其中纯音的频率呢？有意思吧， 这些信号加起来的话，他们就全混在一起了，所以把他们再分开，感觉上就像把混合好的不同颜色的颜料分开一样。我们的大致侧 策略是这样的，建造这么一台数学机器，使得他能够区别对待各个不同的频率。 首先简单考虑只有一个频率的信号，假设他每秒只有三拍，我们就能轻松画出他的图像，而且我们只关注这个图像的一部分，在这里我们关注的部分是零到四点五秒。 关键思想在于我们要把这个图像缠绕在一个圆上。具体说说这句话的意思， 想象一个转动的向量，在任意时刻下，他的长度等于这个时刻的图像高度。在图像中，高处的点对应于离远点较远，低处的点对应于离远点较近。 我们现在使用的作图方法是这样的，每过两秒，这个项链就转过一整圈。 在缠绕图像中，这个项链每秒转过半圈，这点很重要。现在有两个不同的频率在起作用，一个是信号的频率，每秒上下震荡三次， 除此之外，另一个是图像缠绕中心圆的频率，目前是每秒旋转半圈，但是我们可以自由的改变第二个频率，比如说我们让他转的快一些，或者让他转的慢一些， 而且缠绕频率决定了缠绕图像的样子，有些缠绕图像可能相当复杂，但是的确很漂亮。要记住重要的一点， 我们所做的就是把信号缠绕在一个圆上。顺便提一句，我们在最上面的图， 图像中画了些竖线，他们是为了标清楚绕着圆旋转了整周时，原始图像中对应的位置。 如果竖线间隔是一点五秒，这就说明旋转一周需要一点五秒。到现在为止，大家可能隐约猜到了缠绕频率和信号频率相等时，会出现特别的情况， 所有高处的点恰好落在圆右侧，而所有低处的点恰好落在圆左侧。但是我们要如何充分利用这一点来建造一台频率分离机呢？那就把这个图像看成一个有质量的东西，比如金属丝， 这个小红点代表的是金属丝的指心。我们改变缠绕频率的时候，图像的缠绕方式会发生变化，至心的位置也会有所摆。 对于大部分缠绕频率来说，图像的风和骨会均匀分布在圆上，导致至心一直待在圆点附近。 但是，当缠绕频率等于信号频率时，也就是等于每秒三拍时， 所有的风落在右边，所有的鼓落在左边，所以至心就会异常偏向右侧。为了刻画这个现象，我们来画一个图，记录每个缠绕频率对应的至心位置。当然了，至心位置是二维的， 需要两个坐标来完整表述，但我们暂时只记录他的横坐标。频率为零时，所有的点都堆在右边，至新的横坐标相对较大，当大家增加缠绕频率时，图像就会平均 分布在圆上，至今的横坐标也就趋向于零，之后他也只是在零附近不停摆动。 但是当频率等于每秒三拍时，会出现一个尖峰，因为图像全都绕在右边， 这就是我们的核心构造。总结一下到目前为止的内容，一个是原始的强度时间图像，一个是二维平面中的缠绕图像。除此 之外，还有一个图像记录了缠绕频率如何影响缠绕图像的指信。差一句，我们回头看看零附近的低频。在新图像中，零附近有个很大的尖峰，他只是因为鱼弦曲线整体上移。 如果我们选择的信号在零附近震荡允许出现负值，那么我们在改变缠绕频率时，至今给缠绕频率图像就只会在三处出现一个尖峰。不过负值考虑起来既奇怪又麻烦，何况这是第一个例子， 所以还是考虑上移的图像了。大家只需要明白，在零附近的尖峰只对应于上移罢了。想要分解频率，我们主要关注的点就是那个在三处的凸起。 我们会将这张图称为原信号的进复理液变换。和真正的复理液变换还是有几点小小的不同的， 过几分钟就讲到了，但大家可能已经看出这个操作是如何帮我们挑出信号的频率来的，再来摆弄摆弄，换一个纯信号来玩玩。就拿这个每秒两拍的稍低频率的吧，施以同样的操作， 绕成一圈，想象几个不同可能的缠绕频率。与此同时，注意盯着窒息在什么地方， 然后一边调整缠绕频率，一边画出至新的坐标。和之前一样，在缠绕频率和信号频率相等时，出现了一个尖峰，这时就是每秒转两圈的时候了。但是真正的关键点，这个机器之所以让人喜闻乐见， 是因为他能读取包含好几个频率的信号，再把不同的频率分出来。就想一下我们刚看到的这两个信号吧，每秒三拍的波和每秒两拍的波倒不到一起，如我们之前所说，这么得到的可就不是个纯鱼闲博了， 而是更复杂的信号。但是想象一下，把这东西扔进我们的缠绕频率机器里去的话，肯定是越绕看上去越复杂的，混乱不堪。然后在每秒二圈的时候，图像整齐排列起来了，再继续 哦，在每秒三圈时，又排的超整齐了。跟我们之前说的一样，绕起来的这个图可能看起来又乱又复杂，但这只不过是把图像绕着圆缠起 起来了罢了，只不过是图像更复杂了，缠绕频率更快了罢了。这有两个不同的尖峰，是因为如果大家拿来两个信号，再分别对他们使用进副理业变换，再把结果加在一起， 得到的结果和先把信号加起来，再进行进复理液变换是一样的。 细心的观众可以停一停，想一想，自己体会一下。我们所言不假，对大家来说，这也是一个不错的挑战。 来看看这个缠绕机内部到底测量的是个啥？这一性质现在对我们是超级有用的，因为对单纯频率的转换，除了在其频率附近会出现一个尖峰以外，其他地方都几乎是零。所以再将两个单纯频率加起来以后，转换 后的图像就在含有输入频率的地方出现小尖峰，这个数学小机器实现的正是我们想要的功能，把原有频率从一团糟里分离出来，使混在一起的颜料相互分离。在继续讲解此操作的完整数学描述之前， 我们来快速看看一个副理业变换特有用的场景音频编辑。比如说大家现在手上有段录音，里面有个超凡的高音消叫，大家想把它过滤出去。首先信号以函数的形式输入，横轴是时间，竖轴是强度， 通过大家的脉每毫秒输入不同的电压。但我们想要以频率的角度来看待这一问题，所以对这一信号做复立业变换，凡人的萧窖看上去就会是某一高频率上的尖峰， 把这个尖峰敲下去，看到的就是大家所原本录下来声音的副立业变换了，只不过没了高音消叫而已。很幸运，我们还有副理业逆变换的概念，就是说能通过复理业变换来推出变换前的信号来。 我们会在下期视频里更多的探讨逆变换。长话短说，对复理液变换再施以复理液变换，得到的就是和原始函数差不多的东西。 差不多吧，这么说是有点骗人，但大方向没错，之所以说有点骗人，主要是因为我们到现在也没说真正的副理业变换是什么样的， 毕竟他比这个至心的还所标的概念要复杂那么一点点。首先把这个绕起来的图再拿出来观察他的至心。哎， 坐标只能反映一半的事实对吧？意思是这东西毕竟是个二维图形，还有歪坐标呢？往往在数学中，无论什么时候处理二维问题的时候，把它看作是负平面都是很方便的，此时至今就是个负数，同时有十步和虚步。 之所以以负数角度看待事物， 而不是简单的说有两个坐标，是因为负数能很好的描述和缠绕旋转等相关的事物。比如说超有名的欧拉公式告诉我们 曲艺的 xs 方，大家就贿赂在从右边开始沿着半径唯一的单位圆逆时针走了 n 个单位长的点上。 比如说大家想要描述一个每秒钟转一圈的旋转，那大家就可以用意的二派 itt 四方来表示， 其中替表示经过的时间，因为半径唯一的单位员来说，二派就是一圈的长度。 不过这看起来有点眼晕，那就要换一个更低也更合理的频率，这时只需要在指数的替前面乘上频率 f 就好。比如说如果 f 十分之一的话， 此项量就每十秒钟转一整圈，因为只有在 t 增长到十的时候，整个指数部分才是二排啊。 如果大家感兴趣的话，我们在另一期视频里蒋乐易的虚束四方为什么长这样的一些直观解释， 就现在而言，我们就拿来用就好。大家现在可能问讲这些干嘛呀？是这样他能给我们一种超棒的方法 来将缠绕图像的思想写成简洁紧凑的公式。首先在复理液变换的语境下，通常认为旋转是沿顺时针方向的， 我们就在指数向前面加个符号吧。现在拿一个描述信号强度和时间关系的函数出来，就比如我们之前用的这个纯鱼弦，不好了，命名为，具体 将这个指数函数乘上 gdt， 意思就是这个旋转的负数依照函数值大小被缩放了， 这样就能将这个长度不断变化的旋转向量看作是在画出缠绕起来的图像，岂不美哉？这么个漂亮的小 公式，就囊括了整个按照可变频率将图像绕圆缠起来的想法。 别忘了，我们要这个缠绕图像的目的是跟踪他的制心，想想用什么公式能捕捉这一特性，先至少估计一下吧。 大家可以试试在原信号上取一堆样本点，看看这些点在绕好的图上处在什么位置，然后取个平均，也就是说，把他们都作为负数加起来， 然后再除一样本点总数，当大家取的点更多，他们也就挨的更近，结果也就越准确。取极限时，不再认为是把一大堆点加起来再除一点数， 而是对函数做积分，再处以时间区间的长度。对负函数做积分，看起来可能怪怪的。对那些见到微积分。

高中就学过两个垂直项链相乘结果为零，反过来也一样。项链相乘有一个更高级的叫法，内基。而数学里的垂直被称作正交，也就是两项的内基为零。就正交这三个项量两两内基为零 和自己内机却不为零。这样的项链，我们称他为这个空间的一组正交机。 数学上项链空间可以增加到很多，为对应这么多个鸡，两个五为项链，各项相乘再相加， 结果为零。我们就说他们正交两个无限为项链，内机也为零，所以他们也正交。 无限为项链是什么呢？其实就是连续函数。和项链一样，连续函数的内机仍是函数上的无数个点分别相乘后再相加的和 可以用积分符号简洁的描述两个函数的内机。这就有意思了。不是说正交是数学上的垂直吗？假如两个函数内机为零，他们就正交，也就是垂直了。 当然这是个玩笑，在数学上垂直并没有什么意义，重点是正交的性质。回到复列级数，看看这些赛科赛和常数项，很巧取任何一项，他们和除自己外的其余项内基都为零。比如 cosenomekt 和 cosen2omekt 带入内机公式结果为零， 寇森有 mct 和三十三有 mct 的，结果也为零，其他同理。但 cosa 有 migt 和他自己的内机，结果却不为零，这说明什么呢？ 说明三科三和一正是这个数学空间里的一组正交机，这个性质可以用来求正交机的系数。比如要求 a 一就让 ft 和 coceo 米卡 t 做内机，除了 coceomegt 项，其他项内机全为零，因此全部就被削掉了 co 三 l 米盖 t 和自己做内机，结果为 piomega。 这就是 a 一的公式来源。通常为了方便，会直接写成周期的形式。同理，算 a 二就用 fx 和接函数扣三二欧米格 t 内机，算 b 一就用 fx 与接函数三 lmixt。 内机要算长处，像 a 零就和一做内机 事变所有项就能分解出所有系数。用正交际的内机性质干掉其他项，留下自己人。这个逻辑正是复列变换的核心。在数学上，为了计算方便，复列极速公式通常会写成这种复指数形式。