小学生微积分入门

约掉好这个德台 x 呢，平方就越小了，也更加可以约掉了，就对于 x 平方，这也正是我们刚才答案的答，导函数 px 对于 x 平方 好。从这里我们可以看到，当我们把这个定义式搞熟了之后呢，就不必再画图了，就直接可以求出来，对不对？根本就图度变化了，这就是这就是导航式的标准求法。把第一式搞熟好，我们再看一个 q q x 对于三 e x 的导函数 p x， 好，我们还是按照第一词来， p x 对于 q， 括号 x 加上德台 x， 减去 q s 处于德台 x， 好，在这里可以属于三 x 了，所以把三三去，把它换成三 x 三，以括号 x 加上德台 x， 减去三 x， 然后再除以 德才 x， 到了这一步好，到这一步我还看不出来怎么下手，但呢，我就要利用一个公式，什么公式呢？就是三减，三减阿尔法等于等于这样一公式啊，三减三等于扣三，这是中学学过的公式啊， 把利用利用这公式呢，就把这上面这个，把这上面这行呢，就变成了惩罚了，变成了变成两倍的扩散了，把二移下来，变成了扩散引 x 压场的二分之德台 x 对散引二分子德态 x， 到了这一步了， 好，到了这一步我还是看不出来，就没办法下手了，所以说我就还要还要仔细的观察其中呢，这两项啊，这两项， 当德台 x 区域零的时候，这两项是相等的，你看三引二分德台 x， 他等于一个二分德台 x， 那么这个怎么来呢？这是非常重要的一个极限，就说我在 简单讲一下，简单讲一下，好，我们我们看这个单位员，单在单位员里面啊，这个圆周长都是一啊，那么三 ec 呢？代表什么呢？代表这一段三 ec 呢？就代表这段长度，那么 c 呢？代表这段长度。 好，我们现在把这 c 弹慢慢变小，也就是这条线呢，慢慢的靠近，那么这个三一 c 弹呢，就会越来越小，越来越小越小， 那么这个非常呢，这弧长呢，也会越来越小，越来越小。当非常非常非常小的时候，那么这段垂线段的长度，那么就等于弧长，是吧？ 胡长就说当他非常非常小的时候，我们可以约等于了，就说这个垂线段啊，就是胡长，两个基本上重合。说当塞的很小的时候呢，三也塞他，约等于塞他，这是个非常重要的一个非常重要的一个 近视啊，非常重的极限。好，我这里简单的讲一下。好，再回来，刚才到了这一步了，我刚才说到了这一步，我做不下去了，我就要观察了。当德台是七零零的时候， 那么三引二风的德台 x 就等于德台 x， 那么这两个呢，就给消掉了，对不对？这省了很多事了，这两个消掉了， 好，当得到是区域零的时候呢，二分钟得到是也区域一零，那么这一项呢，就变成零了，他呢就得扣三 x， 扣三 x， 所以说三 x 导航数啊，他得扣三 x， 也就说他们俩同呃，又存在的表叔和表叔的关系，假设我要求 co 三 x 为生的曲线，就需要三 x 来帮忙，为什么呢？他是他的表侄，他是他表叔，对不对？就三 x 的大师 cos x 这两个例题好了。嗯， 无论多么复杂的，这个球倒了都可以用这个标准第一式啊，慢慢来，求。好在本视频的最后啊，我们再讲一下导航是个 e， 好，简单的讲一下打函的收益呢，从两个方面理解。第一个呢，什么呢？第一个是他代表什么点？切线的斜率， 这什么意思呢？我们看一下，在这里， p x 等于 d k s 出第一 x， 这是刚才那个一对一观音识别过来的，因为我们刚才说 p x 乘以第一 x 等于 d q， 然后呢，把 d x 把放下来，就变成这个样子了。好，我们看一下，他那个几何意啊？ 那么 dks 呢？我们刚才讲了，是这个小线段，这一段好， dx 呢？是这个，是这个小增量，小增量。哦，那么这个 ps 间等于 dk 是属于 dx 呢，就是对 这一段吹这一段，那么这一段吹这个呢，就是贪军的 cat， 贪军的 cat， 也就说这个导函数啊，这个导函数， ps 呢，他的原害数的曲线，这个点呢？切线的斜率， 斜率啊，你看，也正是因为导函数跟原函数有这关系，所以说导函数呢，里面成变成个小长方形的面积才对原函数的线段叠加。 好，这个大家自己去画个图体验一下。就说到函数呢，对什么呢？对于原函数这一点的扁切性的一种邪律， 这其实也是一一的一关系，是稍微变现出来的，对不对？好，再往下看。第二，倒函数呢，是什么呢？他是什么呢？随 x 的变化率，随自变的变化率。好，这是什么意思呢？我们看一下，我们看一下这公， 呃，我们看这关系，是啊， psdkx 除以 dx 等于 qx， 加上 ditax 减去 qx 除以 dx， dx 去近零。 好，为了把这个，为了把它跟这个形象，我举个例子，速度的例子，速度等于什么呢？速度等于什么呢？对于位移啊，位移之差处于时间对不对？这个 t 零是代表初始时刻的位移。呃，是那个位移 好，但这个 st 零加上德台 s 呢，代表他移动的位移能处于时间。我们看下这个速度的定义。是啊，其实跟导航是定义是基本上是完全相同的，对不对？就是速度呢，是位移对时间的导函数， 所以导航是我们并不陌生，因为我们很熟悉的速度其实跟未已就存在了导航这种关系。好，我们再来看一下，我现在把这个 批零啊，定为八点钟，就早上八点钟。好，这个德才 x 呢，定为一秒好，八点钟的时候，一不小心巧记在了这里，一秒之后呢，他到了这里来了，假设是三十米啊，那么这个三十米呢？出一秒就每秒三十米，他的速度对不对？ 好，假设第二部小，就第二部小汽车，他八点钟呢，还是同在同样同一个位置好，八点过一秒之后，他呢离了五十米了，那么五十米乘一秒钟，那么他的数就是五十，对不对？每秒五十了，那么第二部小汽车呢，就比第一部小汽车快的多， 现在还不小心车八点钟，车也在这里，八点过一秒之后，他离一百米远了，那非常快了，一百米远了好，这个车呢，一百，嗯，他两只刹相差一百，除一秒钟呢，那么他的速度呢？就是每秒一百米，每秒一百， 对不对？好，从这里看出来啊，在同等的这个同等的这个时间中都是一秒钟手，这个呢，变化越大，速度越快，对不对？ 变化越小就速度越小，所以说呢，这个速度这个值啊，到底是三十呢，还是五十还是一百呢？他反应着呢，反应在同等一秒的时间这个位移的变化量，所以往下掉，所以我们就说速度什么呢？速度表示呢？表示这个位移啊，属于时间的变化率， 就是假设同等一秒，这个变化越大，这个变化越大，说随着这个，随着随着这个时间的变化率。好，这就是导航数的一啊，导航数一， 好了，我这里本视频讲的是最初步的入门知识啊，大家要继续学习的话呢，可以看大学的微基本教材哦。

放下对微积分的恐惧，今天是第二部分。在第一部分里面，我们说了，把圆割成无穷多分的扇形，然后重新拼装得到矩形，以求面积。体现了化曲为直的思想， 化曲为直就需要无穷。好，那今天还是尽量从零基础出发，也就是大家比较熟悉的运动学说起。这里还是要强调位移和路程是有本质区别的啊。位移呢，是你设定一个初始点，规定一个正方向，然后看你的终点和初始点的距离是多少。 假如你从家到学校，又从学校回了家，按以前的路程呢，你是走了两个一千米，但如果把你的家设为位移的零点，你先走了正一千米位移，后又走了负一千米位移， 加起来的位移就是零。也就是说，不管你中间去哪了，去厕所还是去买东西，我只看你末点的位置。平均速度的计算也是类似的，你从家到学 校这个一千米走了二百秒，可能你不行了，你骑车了，你上厕所了，我不管，你这一千米内的平均速度就是位移处时间。而顺时速度是我就要管， 我就要知道我每一步多快，我上车时候多快，骑车时候多快，总之呢，就是在某一个瞬间，我是多快的，那如何知道呢？其实没啥好方法，还是为一笔时间，而那个瞬间的时间就是无穷小的时间， 就像割圆一样，把这个时间割成无穷小的份。而对应的分子呢，就是在这个无穷小的时间里面产生的位移变化量问题还是一样的，只要是能写出来的时间，零点一，零点零零零一什么的， 他就不是无穷小的量，换句话说，无穷小的应该是一个概念，他比你能写出来的所有东西都要小，你肯定写不出来，也测不出来。在这样过程中产生的速度才叫顺时速度， 你说你噌一下就窜出去了，贼快。但那个呢，是一个短时间内的平均速度，是有区别的。好，那我们随便画一个位移时间图像啊， 从零零到一二，意味着我用一秒的时间进行了两米的位移，速度呢，是两米每秒，这根线的斜率就是二，斜率不变啊。匀速运动，你会发现这一段的平均速度和任意一点顺时速度是一样的。但如果我改改呢？如果你不能理解在位移时间图像里面斜率表示速度的话， 那就得复习一下坐标系和斜率了。最快最操的说法就是纵轴的变化比横轴的变化，改完之后呢，平均速度是没变化的， 你可以直观的看看前后半段里面的顺势速度，哪个更快呢？好，那为什么说微积分要讲运动学呢？因为运动学是生活中最容易接触到的，涉及微积分思想的，可以借助 图像理解的玩意。换句话说，如果你对位移时间速度加速度这么几个事的关系，图像不能张口就来的话，就别吵，吵什么，我要做微积分的题，这画面太抽象了。好，今天就说到这，记得关注。

time take your time copy she's in touch with the trash。

哈喽，大家好，我是你们的欣欣学姐，下面我会用二十四个视频来助力你微积分一刷而过。接下来是我们的第一个视频，我将会给大家讲解微积分当中导数的概念和掌握导数定义的几种等价形式。 那高中阶段呢？我们就已经对倒数有一个初步概念了，接下来我会举几个例子来帮助大家回忆一下。 高一阶段物理当中呢，我们都学习过做变速直线运动，物体速度的问题，如图，自由落体运动的小球 求替零时刻顺时速度，那顺时速度怎么求呢？取临近于替零时刻的 t 运动时间得太替， 平均速度为 v 等于 dotasb， dotat 等于，这是一个变化的量 末减出，然后把 s 等于二分之一，这地方公式带入化减，当 t 无限的曲径于 t 零时，那就可以取得极限为这个公式。当 t 无限的曲径于 t 零时， t 就可以近视的看于 t 零， 那把这个 t 代换成 t 零，上面是二 t 零二约分化减等于这一 t。 在曲线的切线问题当中也涉及到了导数的相关知识， 比如搁线的极限位置，在曲线当中某一点的切线斜率就是这个点的导 数值。好，那我们接下来引出导数的概念。这函数外等于 fx 在点 x 零的某领域内有定义， 若 limit x 取向于 x 零， limit 是极限的意思， fx 减 x 零，比上 x 减 x 零，它是一个变化量末减出，比上末减出是嘚它的一个概念存在， 则称啊函数 fx 再点 x 零处可导，并称此极限为外等于 fx 在 x 零的导数，它下面有四个表现形式，这四种表现形式说的都是一回事，都是在 点 x 零处 fx 的倒数，这四种形式要记牢，因为接下来我们会用这些公式去熟练做题。及 fx 取 x， 零等于 limit x 取向于 x， 零目减出 比上墨镜书跟上面是一样的。好，那接下来我们看一看考试是怎么考的呢？这个例题 入 fp 零等于 a， 且 fx 是幽灵内的连续机函数，求另外的 x 趋向于零， fx 比上 x。 那咱们分析题目， fx 是幽灵内的连续机函数，那是什么意思呢？ 首先想一下机海术的特点是什么呢？是 f 零等于零，然后根据咱们以上提到的导数的 公式，把在零这个点的导数带入公式，然后 f 零等于零，带入化减这个公式。题目又告诉你的 fp 零等于 a， 所以这个式子就等于 a， 这就可以证明 limit x 取向于 x， 零十 fxb 以上， x 等于 a。 好，现在我们总结一下今天讲的知识点，首先是由定义求导数的步骤，首先先求增量，然后算笔直， 然后求极限。那微分学呢，分为两方面，一个是导数，导数呢，指的是函数变化的快慢，其次 就是微分表示的是函数变化的程度。那希望大家把这里要截图牢牢的记下来。好，今天我们就到这里，希望同学们课下及时总结归纳。

这本书小学和中学都可以看。不是说小学看了这本书就会算微积分。小学看这本书主要是理解微积分的思想。他通过我们小学三角形、四边形，还有圆的面积的球法，还有正方体、长方体的体积的球法，还有对球体的分割，来帮助孩子去理解微积分的思想。 儿同学到了初中之后，学了一次函数，二次函数，自己再学一点，倒数之时就可以去算微积分了。会算微积分很多物理竞赛还有些强制计划就可以去参加了。

那么微积分到底有什么用呢？为什么要学微积分呢？微积分呢，由于引入了无穷的概念，所以产生了一种划时代的效果， 而数学呢，又是科学的基本工具，所以说他又是现代科学的基础。微积分的强项呢，是研究变化的规律，其中很典型的 也是当年牛顿研究的重心就是天体运动，因为运动本身就是一系列变化之间的关系，时间的变化，位置的变化，速度的变化等等。退一万步说，就算是对科学没有兴趣，以后要是到了这种咖啡馆，也是可以蹭人家的免费 wifi 了，是吧？ 简单的举个例子，大家初中的时候应该都学过匀速直线运动，如果我想求出他在某个时间点已经走过的路程的话呢，表现在图像上就是这个长方形他的面积，然后稍微复杂一点的 运动。匀加速直线运动其实也是在求速度的这条线下面的这个区域的面积，所以说也不是很难。那好，如果这个运动再稍微复杂一点， 他现在连这个加速度也在变。我举一个例子，这个速度和时间的关系是一个二次函数，画在图像上呢就是一个抛物线这样， 那我们想求他一段时间之后运动的距离，虽然我们可以推想也是在求这一块的面积，因为我们以往学过的这个方法就不是很好算了，对吧？ 但是微积分的强项呢，就是解决这种问题，他大概的思路就是呢，我们把这个图形平均分成很多份，然后其中每一份呢，你把它放大了来看， 形状就很像这么个梯形，所以说我们只要知道怎么把这个分成无数多份这么个小梯形，把它加回去就可以了。具体怎么做呢？我们后面的视频会讲到。