九下数学正多边形的画法

同学们好，今天我们继续学习正多边形的画法。首先看上边四个图，我们想一下，正多边形和圆有什么关系呢？如果给你个圆，你是否能够画出一个正多边形呢？ 好，这节课我们主要是掌握正多边形的画法，并且掌握画正多边形的关键是等分圆周的两种方法，一种是用两角器来等分圆周，第二种方法是用吃轨作图来等分圆周。 首先我们看在日常生活当中，你能否观察到很多正多边形的图案呢？好，我们首先列句其中常见的正多边形，首先我们看有正 三角形，也就是什么，嗯，等边三角形，还有正四边形，也就是正方形。好，正五边，五边形，正六边形和正八边形。 那同学们想一下，由于我们正多边形在我们的实际生活当中是非常应用广泛的，那怎么能画一个正多边形呢？ 同学们想一个问题，如果一个圆 o 的半径是两厘米，让你做圆的内接正三角形，怎么去做呢？先思考一下。 嗯，我们说首先画出半径是二的一个圆，然后来做我圆的内接，整三角形。什么怎么做？嗯，我先写 写出一个半径，随机的画出一个半径 o a， 也就是等于 r， 对不对？好，那此时我怎么去做呢？我可以用量角器对不对？因为我们知道 正三角形他的圆心角实际上就是三分之三百六，也就是 n 分之正 n 边形的圆心角是 n 分之三百六，那三角形不就是三分之三百六，也就是一百二十度。 那我首先把这个圆心角都给他量出来，是一百二十度，并且我量出 b、 a、 o 是三十度，那我连接 a、 b、 c 这三边是不是就是一个正三角形呢？嗯，圆的内接正三角形，对不对？这是利用我们量角器的画法来 做。那同学们再想一下，如果说你用以上的办法画出正四边形，正五边形，正六边形能画出来吗？嗯，能，因为我们知道了一个公式是圆的圆心角是 n 分之三百六， 不管你是正多少边形，我能求出我的圆心角，然后用两角器画出圆心角，就能画出我所求的正多边形，对不对？好，那我们再想一下， 这些我们知道了，同学们再看一个。哎，这是我们利用圆心角来画，那同学们再看，如果用尺规作图，你能画出正四边形和正八边形吗？嗯，同学们思考一下，我们说，如果是正四边形的情况，我首先画一圆，然后我过圆心做一直 ac， 我做 ac 的垂直平分线，也就是过 o 了，对不对？因为它垂直平分线，它是平分与 ac， 所以肯定是过点 o， 那此时我这个就是它的垂直平分线，我连接 abcd， 不就是个正四边形了吗？ 那正八边形呢？嗯，聪明的同学们思考一下，正八边形，实际上我是怎样的呢？ 在此基础上，我做过点 o， 做 a、 b， 也就是 c、 d， 它们是相同的，我做它的垂直平分线， 然后呢，我在做我的 a、 d 和 b、 c 的垂直平分线，此刻交于我弧分别于一点，那我连接它不就是一个正 八边形了吗？那么再看一个活动，那如果用尺规做出正六边形、正三边形、正十二边形，怎么去做呢？同学们想一下，如果是正六边形，我们怎么去做呢？ 嗯，以半径长，你截取六等分，这个弧就是正六边形。为什么？ 同学们，如果我这是 o 点，我 a、 d， 我过 o， 我比如说我首先连接它，那 o a 和 o d 是相同的，对不对？那 o、 f 你再连接的话，那 a、 o、 f 是不是一个等边三角形啊？ 对的，所以说 a、 f 和 o a 它们是相同的，都等于半径 r， 所以此刻 我就截取了，以任意点，我先取一点，然后截取六等分，对不对？也就是半径的长度，以半径的长度截取六等分点，也就是 a、 b、 c、 d， e、 f， 你连接就是正六边形。 那同学们再想一下，那正三角形和正十二边形你能做出来吗？嗯，自己思考一下，用同样的方法思考一下能否做出来呢？ 好，接下来我们想一想，说说正多边形的方法有哪些呢？嗯，我们可以通过两角器等分圆周的办法来做正 n 边形，利用的是 n 分之三百六，也就是圆心角的度数。 第二种方法是用齿规做正三角，正方形由此展开做正八品 行，还有吃规作图做正六边形，是不是由此展开做十二边形和正三角形？这些都需要我们同学们熟练的去掌握他的思路。那接下来我们看正多边形如何来画？ 嗯，我们看这是以圆 o a 使圆 o 上任意一点，让你求圆 o 的内接正方形 a、 b、 c、 d 和内接整六边形 a、 e、 f、 c、 j、 h 如何求呢？首先看正方形如何来求，刚刚已经说了，我可以连接 a、 o 延长至 c， 然后做 a、 c 的垂直平分线。 b、 d 是不是连接 a、 b、 c、 d 就是一个正内接四边形，是不是？ 好，那正六边形如何去做呢？刚刚我们说六边形，它是一个特殊的，你只需要在 a、 b、 c、 d、 e 上啊，在 a、 e， f、 c、 g、 h， 它们是平分了，以半径 o， a， 以 o， a 为半径，实际上就把这个沿平分了，六等分对不对？然后连接着六等分点，就是正六边形。刚刚我们是不是说过啦， 具体的写法，同学们一定要认真的在言算纸上画一画，自己叙述一下，把它掌握了啊，不要眼高手低，你看着挺简单的，不去操作。接下来我们做一练习， 画一个半径为二厘米的正五边形，再做出这个正五边形的各条对角线，你是否能画出个五角星呢？嗯，答案是肯定的，是不是？那我们怎么画呢？同学们想一下，那我们可以利用两角 起他是个正五边形，也就是多少呀？哎，五分之三百六就是我的圆心角的度数，对不对？好，那求出圆心角，用两角去一量，然后连接我交于圆上的个点，是不是就是一个正五边形？ 那连接完了正五边形之后，我以我一点假设，以一点为顶点，那连接它不相邻的对角， 不相邻的对角就是不相邻的点，此刻所有的都是一点连接不相邻的点，你会发现他最终形成的就是一个五角星。好，这是我们一个练习，接下来看一道中考题，这道题比较有意思，同学们认真看一下。好，我们看。吃 龟作图特有的魅力，曾使人爱沉勉其中。传说拿破仑他曾经通过齿龟作图来考他的大臣。首先看第一个点，他讲半径为 r， 他就是等分了多少？六等分实际上就是正六边形，你看这个正六边形是不是经常用啊？正六边形特殊的是什么呀？哎，所有的点都是半径等于半径，所有的边都是等于半径。 r， 咱不用说了吧？ 好，此刻连接 a、 b、 c、 d、 e、 f 六个等分点就是正六边形，分别以 a、 d 为圆心， a、 c 为半径画弧， 这是两弧的一个焦点。那此刻读到这种程度，那同学们是不是要得出一个问题啊？什么样的问题啊？ 你看 a、 d 为圆心，是不是？然后它以 a、 c 为半径画这个弧，也就是 d j 等于 j， a 等于 a、 c， 是不是 因为它是以 ac 为半净化弧才交于 j？ 所以说 djacja 是不是相等的？嗯，你读条件，你立马能得到结果，对不对？好，第三部分是连接 oj， 此刻让你瞅 oj 的长是多少？ 同学们，做这道题的时候，我们首先要利用我们做的正六边形，也就是你连接 dc 和 od 延长于 oa， 并且 o 这个 d、 a 是不是个直径啊？那你连接一下 c、 a， 它不就构成了一个直角三角形了？这个规则还用说吗？直径所对的 圆周角是多少度？九十度嘛，对不对？好，那我们知道了，这个是九十度，并且 cd 和 od 都是 r， 那同学们 da 是不是就是二啊？啊？他这个直径嘛，等于半径的二倍，所以 ac 使用是个根号三啊？二， 那 a、 c 是根号三 r， 那 d j 是不是刚说他是以 a、 c 为半径画弧的，也等于 j、 a， 他们都等于多少？根号三 r？ 好，记住了，它是根号三 r。 那同学们清下屏，咱们再来看，让你求 o g， 那我此刻连接 d a 和连接 j d 和 j a， 你会发现什么呢？ 发现什么呢？同学们看一下，因为 d j 等于 j a， 并且 o 是终点，也就是等腰三角形的三线合一，它必垂直，或者你用垂直平分线上的点到两边的距离相等，所以它就是一个直角，都是可以的。 你知道了它是个直角之后， d g， 刚刚我们说都等于 a、 c 都是根号三 r， o， d 是 r， 那同学们，它这个直角，那利用勾勾定理， o g 是不是等于根号二 r 呢？ 嗯，所以答案选 d。 好，具体思路自己再去整理一下。接下来我们继续往下看，我们在图中用一个尺规作图，画出圆欧的内接整三角形，这个还用说吗？嗯，内接整三角形 画出来之后，实际上这个比如说我的圆心是 o， 实际上我的 oaoboc 是不是就是我正三角形 abc 的半径啊？ 对的，那有的同学说，哎，上节课讲了一个正多边形的半径，也就是刚刚我们说 o a， o b 是 o c， 它是半径。 那什么叫编心句啊？同学们回想一下，上节课刚讲完编心句是什么？嗯，同心圆，也就是 a、 b、 c 的内切圆。 比如说画出内切圆之后，同学们想一下，这个 o 到我这个距里，是不是他就是我的编心距，明白了吗？就是到我 啊，这个 b c 上的距离就称之为边心距，边心距是内切圆， 我一个正多边形的半径是外接源所形成的半径，就是我这个正多边形的半径。 那我这个正多边形的边心距是什么呀？哎，是内切圆的半径。 ok， 所以同学们一定要掌握具体画法，咱们已经说完了，自己去做一下。 好，接下来我们看画一个正十二边形，那这个步骤啊，同学们自己来把控一下， 我跟大家说一下，那个正六边形你会画了，那这个正十二多边十二边形你也会画，那我们大家一起看一下吧。首先看我这个图， 我是圆 o， 是不是圆 o、 a、 b 和 e、 f， 同理，它是四等分点，也就是正多边形，正四边形的点。那接下来我怎么去画这个十二边形啊？ 我以这四个点分别为圆心。然后我以谁为半径啊？指遇圆的半径为半径，也就是圆 o 的半径为半径。 你交于所有圆上的点，也就是再画八个点，再加上原先的四个 a、 b、 e、 f， 也就是十二个点，然后依次连接，就形成了正十二边形。 嗯，具体的想法下去之后，嗯，自己再思考一下。我们课上没有太多时间，那接下来我们总结一下如 来画正多边形。正多边形的画法首先有两种，第一使用量角器来量圆心角，第二是用指规作图来进行画我们的正多边形。 好，这是我们常用的两种方法。这节课都到这里，同学们下去之后还是要多做练习，进行巩固。好的，同学们再见。