如何用圆规制作三角形七年级

这个视频我来给你讲讲如何用指规做三角形。比如，给你两条线段和一个角，你能做出一个以 ac 为两边长度，以阿尔法为这两边夹角的三角形吗？试试看吧，随便画一条射线，用圆规量一下这条线段， 在这条射线上做 bc 等于 a， 三角形的一条边就搞定了。那接下来是做另一条边还是假角呢？ 有小伙伴说要画边，这显然不行呀，只知道边长，不知道角度，这边到底画在哪呢？还是先做角吧。 你已经学过如何做与之角相等的角，那咱就直接做出这个角度，使它等于角阿尔法。步骤我就不细说了，画好了角，再确定这条边就容易了。量一下这条线段的长度，移过来画个弧，这个 焦点就是 a 点了。最后连接 ac 三角形 abc 搞定。画完图你发觉没，只要知道三角形的两边及其夹角，就可以用齿规做出这个三角形。这样看来，如果让你做出一个和已知三角形全等的三角形也是一样的方法， 随便找两条边和一个角当做已知，用刚才的方法操作一遍，就可以画出全等的三角形了。 哎，有小伙伴在问，要做出全等的三角形，只能这样做吗？嘿嘿，很低质吗？当然不止喽，刚才讲的只是其中一种方法，也就是边角边。除此以外，你还学过边边、边角、边角和角角边， 用他们也能做出全等的三角形来。具体咋做，你思考思考以后再说。好了。用尺规做三角形就讲到这里， 如果给你边角边让你做全等的三角形，你就分三步来做，首先做一边等于已知边，接着做边上的一角等于已知角，最后做角上的另一边等于已知边。怎么样，明白了吗？明白的话就赶紧去画图吧！

那么这道题呢，很多同学在第一次做的时候都会出错哈，我们一起来看这个题目，用直尺和圆规做一个角等于已知角，如图能得出角 o 呢？和角 oep 相等的依据是什么？ 实际上这个题目很多人一看哈，认为这两个角相等的，然后 od 呢，和 od 一撇相等， oc 和 o 一撇是一撇相等，选这个边角边，对吧？ 啊，如果是这样想的，这个题目就掉入他的陷阱啊，出错了，实际上这个题目到底选什么呢？大家记住哈，为什么这两个角是相等的，也就是给了一个椅子角给我们，我们再去做一个角 o e 撇等于他啊，为什么会出现角 o e 撇等于角 o， 对吧？实际上是因为什么呢？是因为这里构造了两个三角形， o b， c 和三角形 o 一撇， d 一撇， c 一撇，这两个三角形是全等的， 所以才得到了这个角 o 一撇等于一只角角 o 啊，那现在题目就回到了怎么去正，这两个三角形全等，也就是这个作图的依据啊。到底是哪三个条件得到了这两个三角形全等？我们来回归到这个作图的一个过程。 首先，这个词规做作是怎么做的？是不是以 o 为圆心，任意长为半径，画一个弧，交 o a 与 c， 交 o b 与 d。 然后呢，再以 o 一撇为圆心，对吧？任意长刚刚一样的这个长度为半径，画一条弧，所以这里就 一定要 o d 等于 o d 一撇， o c 呢？是等于 o c 一撇的，对吧？接下来第二步就是以 c 点为圆心， c d 的长度为半径啊，把 c d 给截下来，然后再放到这里来，以 c 一撇为圆心，对吧？以刚刚一样的 c、 d 为长度为半径做一条弧，是不是跟原来的这个弧第一撇是一撇交于这个点，那这个点 就是我们要找了这个第一撇，然后再连接 o b 撇，那这个时候我们就会发现 c d 的长度和这个 c 撇第一撇的长度是不是相等的，所以就出现了边边边边边边 三边对应相等，所以这两个字好像都是全等的，那么对应的角 o e 撇就等于角 o 了，这就是这个作图的依据，所以答案应该是选 c 啊，记得点赞关注哦！

的心，勇敢大声 降落了水，胜利的歌，我也赞成一杯。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四章三角形。第四节用齿规做三角形来看一下知识点清单啊，一共是有三个知识点， 好，我们先来看第一个，已知两边及其夹角做三角形，那么我们这一次课呀，主要就是一个作图的一个课啊。好，首先呢，我们先来一起复习一下啊，我们前面几个课时所学的判定全等三角形的条件有哪些啊？大家自己按下暂停键思考啊。 好，咱们一起来看一下，我们一共学了四个判定三角形全等条件，对吧，分别为边边、边角边角角角边以及边角边。哎，这四个条件好，那么复习的第二个问题是，我们学过哪些 此规作图？哎，我们学过的此规作图啊，到目前为止啊，主要是有两种，一个呢是做一条线段等于已知线段，另外一个呢就是做一个角等于已知角，那么这两种啊，也是我们在此规作图的时候啊，所学的一个最基本的作图。 我们今天要做的这个三角形呢，其实啊，线段和角都是三角形的基本元素，对吧。哎，我们使用的方法呢，就是我们之前学的啊，做已知线段和做已知角的这两种方法好， 直接看第一题啊，已知线段 a c 和角二八。哎，这线段两条线段和一个角相当于呢线段的长度以及角的度数都是告诉我们的啊，让我们求做一个三角形，使得呢角 a 等于角二八， a b 这条边的长等于 ac 的边长呢，是等于 c。 哎，那既然说到了作图啊，我们呢就要准备什么呀啊，直尺和圆规，因为尺规作图吗？对吧？哎，注意呢，这里的尺呢指的是没有刻度的这种直尺，对吧，再加上圆规。 大家呢，到这里啊啊，我每看一个例题，可以自己先按下暂停键，自己呢尝试着在纸上画一画啊，画完之后呢，可以啊，跟我们这个所讲的做图过程呢来做一个对比 啊。当然了，如果说啊，画的时候啊有点没有思路的话，也可以参考一下我们这个做图的过程啊。那做法呢，具体我就不写了，我们教材上面呢都有，咱们呢就直接和大家一起来做图了啊， 那我又得把我的这个啊直尺和圆规啊给他找出来了。首先拿出我的直尺啊，我这个虽然有刻度，但是我们不去用它啊，好，先做什么呢？这里可以考虑啊， 先做一条边对吧？他不说 ab 等于 a 吗，对吧？我先把 ab 这条边的长度啊先给他画出来啊。想画一条线段的话怎么办呢？我们应该先画一条射线对吧？ 好，这条射线画出来了，我给它命名为它是 a b 边长等于 a 嘛，对吧？哎，这个射线顶点呢，我就起名叫 a， 那另外一头呢， 叫 abc 叫 d。 好了啊，我做了一条射线 ad， 对吧？然后接下来呢，我要在这个射线 ad 上啊，截取一条线段，使它的长度就等于线段 a 啊。截取线段应该用什么呀？这里不能用刻度尺对吧？哎，我们指必须得是用这个圆规啊，量出这个线段 a 它的长度，哎，这么长， 好，接着呢，以这个 a 啊为一个端点画一条弧线，好，那么与这个射线有一个焦点，对吧？这个焦点这个名字应该是谁呢？ 应该就是 b， 是不是因为 a b 的长是等于这个 a 嘛？好，我们现在做出来这条 a b 边啊，它的长就等于这个小 a， 好，那我们继续做完这条边长之后，接下来做什么呢？我们可以做这个角，对吧？他说的是谁呢？角 a 等于角二发，对吧？那我们必须得以这个点 a 为顶点来做这个角二发啊。那啊，做一个角等于一只角的方法，大家思考一下应该怎么样来做啊？因为这是我们之前学过内容，对吧？ 我呢就会直接把这个做法呢和大家一起展示了一下啊。先以这个角的顶点为圆心，任意长越半径画一条弧啊，与角两边有两个交点，再以呢这个顶点 a 以他为顶点，对吧？然后呢再画一条弧， 好，哎，那么这条弧呢，与刚才这个 a b 这条边肯定会有一个焦点，对吧？好， 那么继续啊，我再用圆规量出在原来这个角上这两个焦点之间的距离，哎，是这么长，好，然后接下来呢，我再以这个点啊，这个焦点为圆心，还以刚才这个啊 长为半径，再画一条弧，与刚才那个弧呢，也有一个焦点，对吧？哎，然后呢，接下来我再用啊直尺啊连接点 a 和这个焦点，我给他连接一下啊， 好，再做出一条射线，哎，那么这个射线呢，我给它起个名字就叫 a e， 啊， 好，那么现在这个角 a， 想一下，他的度数是不是应该就和这个角二发的度数应该是相等的呀，对吧？哎，他的度数就应该是等于二发的好，至于具体为什么的话呢，这个我已经和大家在这个课上讲过了， 对吧？哎，如果记不清楚的同学可以回去看一下我们的以前发布的这个课程啊，现在呢，我已经做出了 a， b 等于 a， 然后这个角 a 等于角二发，还差谁啊？是不？还差这个线段 c 啊，对吧？哎，他说的是谁呢？ ac 等于这个啊，线段 c， 对吧？好，那我呢，还是啊，先把这个线段 c 的长度给他量出来， 这样一量，好，这么长，然后以谁为圆心呢？肯定还是以点 a 为圆心，对吧？哎，然后呢，就以这个线段 c 这么长为半径，我再画一条弧，好，那这条弧呢？与这个啊，射线 a e 会有一个交点，对吧？这个交点呢，就应该是点 c 啊，点 c 就在这个位置， 好，那现在呢，三个点 a， b， c 都有了，对吧？还差谁啊？我把这个 b c 给他一连，是不是就好了？好，连一下啊，这个作图啊，就是 我们在我们这个操作起来没有直接在纸上操作那么方便啊。啊，这个，这个圆规我先给他拿走， 好，这样转一下，转过来， a， a 转到这，好，接下来连接 b， c 一连，好，这样呢，我就得到了这个三角形 a， b c， 大家看一下， a b 这条边长，哎，应该是等于线段 a， 对吧？角 a 的度数应该是等于角二发，哎，然后呢， a c 这条比较长，应该就等于线段 c， 对吧？哎，所以我现在做出来这个三角形 abc， 就是我们所求做的啊，这个三角形 abc， 好，那具体的中间啊，我们画了一些弧线，对吧？这些都是我们的作图痕迹啊，我们要注意此规作图的时候啊，现在很多我们的题目要求通常都是不写做法，但是呢，一定要保留作图痕迹的啊，这些弧线，这些焦点 一定要给他保留下来。好，那这个题呢，我们就已经做完了啊，那大家可以思考一下啊，还有没有其他的做法？我们的做法呢，是先做了一条边， 等于先做 a， 再做了一个角，然后再做了一个边，对吧？哎，那有没有其他的做法呢？哎，有同学可能自己画的时候也用了其他方法， 我们可以怎么办呢？你也可以先画出来这个角，对吧？哎，先画个角 a， 然后等于角二发，然后呢，在这个角 a 的两条边上分别截取 ab 等于线段 aac 等于线段 c， 然后呢，再连接 bc， 这样也可以。 总而言之，不管你用哪种做法，也不管呢，你画了几个，对吧？你得到这个三角形 a、 b、 c 怎么样啊？一定是全等，是不是啊？你画了两个，三个，你不管你画几个啊，你画出的这个三角形一定是全等三角形，这里又是为什么呢？你看，已知两边及夹角，对吧？ 角 a 肯定是 ab 和 ac 这两条边的夹角啊，我们学过这个全等三角形的一个犯罪条件是什么呢？是不是就是 sas 啊，对吧？ 哎，那么对一个三角形来说，如果他的两条边长度确定了，两条边的夹角的度数也确定了，那么这个三角形形状和大小就被确定下来，你必须只能画出一个一模一样的三角形，那当然，这些三角形都是全等三角形，对吧？这也再次印证了哎，我们所学的这个全等三角形的这一个判定的条件，对吧？好， 接来第二指点啊，已知两角及其夹边做三角形，我看第二啊，已知角二八角贝塔，这两个角是已知角，还给了已知的线段，让我们呢做一个三角形 a b c， 使得角 a 等于角二八角 b 等于角贝塔 a b 呢是等于 c， 你看 a b 这条边是不是就应该是角 玩一颗角币的夹边呢？是吧？哎，大家呢，自己再按一下键进行思考啊，如果说已经画出来，同学，因为我在上面画可能有点慢，大家也可以快进啊，或者是用那个啊，什么倍速播放也都可以的啊。好，咱们在一起来画一下，那我画什么呢？我还是按照刚才思路吧，我还是先画一条边，可以吧， 大家如果想先画一条角也是可以的，大家可以自己去尝试啊。好，按照刚才的思路先画一条射线啊，然后呢，射线给他起名叫这边是应该是 a 啊，射线 ad 好，在射线 ad 上呢，截取 一个线段 c 量一下啊，这么长，诶诶，这么长，好，再以这个点 a 为圆心，以这个长度为半径画一条弧线，好，与这个射线 a d 相交一个点，就应该是点 b， 对吧，哎，我们这样画出这个 a b b 长刚好就应该等于 c 小 c， 我这里标注一下，大家看清楚一点啊。好，接下来一个画角了，对吧，角 a 等于角二发，那我先画一个角 a 呗，对吧？哎，这个呢，具体的步骤我就我就不说了啊，我尽量画快一点啊。好，然后呢，以这个点 a 在为圆心，这么长， 再画一条弧，好，然后呢，再量出啊，这个这一段的距离，哎，这段距离量出来了，好，然后再以它为圆心，然后呢，再画一条弧，哎，再画一条弧，好，这里呢，就有了一个焦点，对吧？然后呢，我连接这个，呃，点 a 和这一个焦点， 好，一连也再做一条射线，对吧？哎，那么这条射线呢，我给它起名叫做 a e 啊，哎，那很显然这个角距应该等于角而发，对吧？好，接着还 做一个角臂啊，角臂呢？要等于角肥塔，我再做一下啊，这个角肥塔 他为圆心，然后呢内长为半径，这样画一条弧，然后这边要以谁为圆心呢？肯定要以这个啊，点臂为圆心了，对吧？哎，点臂为圆心，画弧的话，就应该是，我看下大概这样画一条弧啊， 哎，我应该这样画一条胡，他应该是是往这个方向的，对吧？好，那么这个呢？与，这个啊，呃，线 ab 这条线段肯定还有一个交点，这两个交点离得比较近啊，将近看一下，然后呢再量出这个距离，这个和这个， 好，然后这一段，哎，然后呢，再以这个焦点为圆心啊，以这个 为圆心，然后呢，再以刚才这个长度为根据，再画一个弧，哎，那么它呢，与刚才那个弧就有一个交点在这，对吧？好，然后呢，我在这个把这两个点连一下，再做出一条射线啊， 这个射线呢？连接这里，对吧？好，这样做出一条射线，好，这样呢，做出来的这个角 b 啊，这里它的度数呢？就应该等于角北塔， 好，那这两条射线啊，这个射线起名为 b f， 哎，那么这条射线与我们刚才所画的这个 a， 这条射线肯定就有一个焦点了，对吧？哎，那这个焦点肯定就应该是点 c 的位置，哎，点 c 就应该在这个位置。好，那么我就得到了这个三角形 a， b， c， 对吧？这个三角形 a b， bc 肯定就是我们要求的角，你看这个边 ab， 他的长呢，是等于 c， 对吧？然后呢，角 a 等于角二发，角 b 等于角贝塔，对吧？哎，那所以呢，他也就是符合要求的， 那你也可以怎么办呢？也可以其他画法，对吧？先画一个角，哎，然后在角的一边上截取一个线段 c， 对吧？哎，然后呢，再画另外一个角，这是不是也可以啊？不管用什么方法，也不管你画几个三角形，他们一定画出来的都是全等， 这个因为是什么呢？是因为它符合我们这个全等三角形判定的另一个条件是什么呀？就是角边角，对吧？因为已知的是两个角，其他的夹边吗？哎，这可以判定三角形全等的，所以你画出来的三角形一定是全等三角形啊。 好，接下来第三个指点，已知三边来做三角形啊。第三，这个啊，哎，直接给三条线段 让我们画一个三角形，使得 a， b 等于 c， a c 等于 b， b c 等于 a。 好，我们再来画一下啊。啊，具体的思路呢？还是跟跟刚才其实都是一样的啊，先画一条射线啊，射线呢？呃，给它起名为射线 a 和 ad 啊， 他说啥呢？ ab 是等于 c 的，对吧？ ab 是应该是等于这条线段啊，比较短的这一条啊，把圆规拿出来。好，我先把这个 c 的长度给他量一下， 哎，刚好就这么长啊，哎，然后呢，在这边也许一下，哎，这样画一下，哎，这点就应该是点臂，对吧？ 点 b， 在这。好，接下来就是呢， a， c 等于 b， 那我再把这个 b 给它量一下啊， b 的长， b 的长在这。好，那应该 以谁为圆心做弧呢？肯定得以点 a 为圆心做弧，对吧？因为它是 a c a， 这个 a， c 等于 b 嘛，对吧？好，那应该我再给它往这边一点啊，这样画一条弧好，有这条弧之后，接下来 b， c 等于 a， 那我再把这个 a 给它量出来， 哎，这么长，然后呢？应该以谁呀？应该以点 b 为圆心，对吧？哎，然后呢？以这个线头 a 这么长为半径，这条弧，这个弧呢？跟刚才那条弧要有一个焦点，对吧？我从这开始画啊， a 这里画完有一个焦点，好， 把它关掉，这个焦点的位置应该就是什么呢？就是点 c 的位置啊，点 c 的时候应该是在这里，对吧？因为他你看到点 a 的距离就是 ac 的长呗，应该等于 b 等于他，对吧？到点 b 的距离 bc 的线段的长，应该是等于 a 啊，好，那接下来呢，我再把这个啊 尺子拿出来，然后呢，我分别连接这个 a、 c 和 b， c 连接 a、 c 和 b c， 这样啊， a、 c 连上好，然后呢？再连上 b， c 对，过来点好，上去连好。到此为止呢，我又做出了三角形 a、 b、 c， 对吧？哎，这三角形 a、 b、 c 应该就是符合条件的，因为 a、 b 的长度呢，是等于 c， 对吧？ a、 c 的长度呢？因为是以线段 b 的长度为半径，所以它的长度就是 b 啊，那么 bc 的长呢？是以这个啊线段 a 的长度为半径呢，对吧？所以它就等于 a， 对吧？好，那么我们用这种方式做出来三角形是不是都是全等三角形啊？一定是因为它 啊，符合我们判定条件当中的什么呀？边，边，边，对吧？哎，三角形，如果三条边的长度都是确定的，那么这个三角形的大小和形状一定就是确定的了，对吧？哎，所以呢，我们做出来的也都是全等三角形。 好，那基本的作图啊，就是这三种啊，也是我们教材上都有的，当然我们教材上呢有这个啊，详细的每一步的作图的方法，大家呢可以去学习一下， 那么书后面啊，还有一些例题啊，请大家呢自行去完成。哎，啊，都是依据的我们这些基本的作图方法了啊， 在完成过程当中如果有问题呢，也可以这个留言或者给我发私信啊。好，我们一起来总结一下我们今天所学内容啊，还是属于指挥作图，对吧？好，我们一起复习了，最基本的指挥作图是什么呢？哎，就是我们所学过的，做一条线段等于已知线段，已经 做一个角等于一只角。哎，那么在做图的过程当中，需要我们注意的问题是什么呀？我们用此规作图，一定要保留作图痕迹。哎，这是要强调的注意的地方啊。好，那今天呢，我们又学习了用此规来做三角形，哎，主要分成了三种情况， 已知三角形的两边提起夹角做三角形，这一点还要提醒大家注意是什么呀？一定是夹角啊，如果是其中一边的对角，我们做出来的三角形是不是唯一的呀？肯定不是唯一的，对吧？哎，因为那不符合我们算全等三角形的判定条件，所以这个角必须是夹角。 好，第二种呢，就是已经已知三角形的两角肌夹边来做一个三角形，第三种呢，是已知三角形的三边来做三角形。哎，不管是哪个方法做出来的三角形一定都是唯一的。哎，你画了多个三角形的话，那这些三角形一定都是全等的啊。好， 那今天内容呢，就和大家一起学习到这里，我们下次课和大家一起来学习第四章的第五节，利用全等三角形测距离，欢迎大家收看，如果喜欢，请关注明老师初中数学课堂。如果大家在学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！