零点问题解题技巧

今天咱们来看一道百分之九十的同学都被坑过的一个题目，求这个函数的零点有几个？首先我们看到一个函数的零点问题，咱们可以想，如果我会画这个函数的图像，咱们直接画图 找零点就可以，但是很明显这个函数的图像咱们不会画，所以要进行转化，转化成什么呢？把它变成二的 x 次方等于 x 方，二的 x 次方咱们绘画 x 方也会画，所以这个函数的零点个数其实就变成了这两个函数的焦点个数。接着咱们来画图，先画咱们最熟悉的 x 方的图像，然后我们再画二的 x 方的图的时候，我们要注意，咱们已经知道了他横过零一这个点。 接着咱们再来画几个点秒点，当 x 等于一的时候， y 等于二，当 x 等于二的时候，对应的是四，所以一的时候他是二，二的时候他是四， 而这个 x 方恰好也过二四这个点，所以咱们发现这两个图像的焦点其中之一就是二四这个点。那么我们找到这个焦点之后，咱们把指数的图像画出来， 所以来看这是一个焦点，这是一个焦点，所以两个函数一共有两个焦点，所以答案就是二，到这里大家就掉入了他的陷阱，我们还要看一看到底在这个点之后是否还有焦点。大家注意一下，我们在学只对密函数的时候 讲过一个增长速率快慢问题，指数函数的增长速率是大于密函数，大于对数函数的二的 x 方是一个指数函数， x 方是一个密函数，也就是随着 x 的增大，指数函数的增长一定会超越密函数，也就是说这个二的 x 次方的图像一定会有这么一个位置 使它超过了 x 方，也就是在后面它俩一定还有一个焦点，所以最终这道题 应该是零点有三个，这道找零点的问题大家一定要学会用这种方法，大家可以看一下三的 x 字方与 x 方到底有几个焦点，评论区大家可以给我答案。

我们在学零点的时候，有一个非常重要的题型叫欠套函数的零点问题，或者说复合函数的零点问题，相对来说比较难，很多同学学的云里雾里的，四高一的拦路虎，今天瞪起你的卡姿兰小眼睛，选个一个视频帮你搞定，以后轻松拿分。这是我们期末考试，百分之百考到了， 不考你找我。实际上他就是画图像，学函数的最高境界就是研究函数，不管什么时候，你只要会画，一定要把他的图像画出来，然后呢，拿出你强大的幼儿园计算水平就可以了。各位同学，一键三连，我们通过题目来给大家讲解一下， 他说已知 f x 等于这么一个函数，这个函数是一个分段函数。说到这个地方，重点来了，数学是什么？数学是翻译，不管什么时候，只要看到了分段函数，你只要会画，一定要把它的图像画出来。明白， 他说函数的零点个数判断正确的是，大家一看这个函数，明白了，他是 f fx， 是两个函数复合在一起的，他的零点函数的判断是成什么？所以首先我们见到了复合函数，他一，我们一定要换圆，我们令 我们另 f x 呢，等于一个 t， 那么这个式子零点不就是让 y 等零吗？就应该是 f t 等于个负一，当然 t 就应该等一个 f x 啊，写写前面就可以了啊，听明白了吗？需要注意的是， f t 等于负一，这个负一哪来的？就是让它等于零一项了，它对应的根是 t， 它对应的解是 t， 这个 t 不是最终的零点，因为最终的零点指的都是 x， 能明白不？所以复合函数签到函数的关键之处来了，就是通过 这个是指你解出 t 来啊，或者解不出来，你可以猜出就是画图上画出来他有几个 t， 这个 t 对他来说就相当于函数值，函数值对 fs 来说就相当于是一条水平线， 那么这条水平线与 fs 有几个交点，它就相当于几个零点。我猜你现在有点晕乎，我们来画图啊！首先我们先画 ft， 当，当然我们函数当中有一句非常有名的话，就是函数与用什么字母表示无关。 所以呢，我们啊， f t 的图像和 f i 图像草图画法是一样的，大于零的时候是 lont， lont 图像是这个样子的，然后呢，小于等零的时候，它是一个直线，过的定点是零一，这个直线怎么画呢？你会发现这个直线的画法当然和 k 大于零，小零等于零有关，对不对？所以我们先看 ab 选项， ab 选项，当然 k 大零的时候，图像的画法就应该是这个样子的，小于等零是一条直线，过的是零一，听明白了吗？啊？当 k 大零的时候，它的图像是单调递增的，大零的时候是 l n t， 现在呢，我们需要画出来 f t 等于负一，所以我们需要画一条线， y 等于负一，这么一条直线， 听明白了吗？因为这个地方指的是 f， t 等于负一，指的是 y， 这个地方是 t 轴，这叫 t 轴啊。那么这时候你会发现他这个图像有两个焦点，一个焦点是 t 一，另外一个焦点呢，是 t 二， 其中 t 一是小于零的， t 二呢，显然是在零到一之间的，因为这个点是一 听明白了吗？所以我给他写出来啊， t 一，他是小于零的， t 二呢，是属于零到一之间的。现在呢，我们算出来有两个 t， 他的范围，这个 t 不叫零点的个数，因为你需要看清楚， ft 等于 fs 等于 t， 我们需要画出 fs 的图像来，当然 fs 图像怎么画法呢？和刚才是一毛一样啊，只是这个横坐标变成了 x， 当 x 大于零的时候是老 x， 当 x 小零的时候，还是这样画法，因为这个函数是自身复合在一起的，这个地方是啊，一， 那么我们还是画两条水平线，一个是 t 一， t 一是小零的，所以画在这个地方，我们假设这个地方是 t 一，明白了吗？他是小零的吗？第二个呢， t 二， t 二是属于零到一之间的，零 到一之间显得是在这，所以这呢有一个焦点，这呢有个焦点，这呢有个焦点，这呢有个焦点，而这些焦点对应的横坐标正好是 x， 所以呢，它是有四个零点的。那首先 a 是错误的， a 是错误的，听明白了吗？那么 k 小零的时候当然是同理了， 他有四个零点的话，这样的话，很明显 c 也是错误的，因为当 k 大零的时候有四个零点。如果你没有听懂，我们再来一遍好不好？假设 k 是小零的，这个函数也是一样的，我们换元， ft 等于个负一， t 等于个 f x， 所以我们先画 f t 的图像， f t 的图像和 f x 的图像是一样的，看到了这个地方是 t， 当 t 大零的时候是 longt， 当 t 小零的时候，它是一条直线，直线呢，是单调递减的。为什么单调递减？我们假设 k 是小零的，听明白了吗？假设 k 是小零的，那么 f t 等于负一，所以我们画一条水平线啊，这条水平线呢，就应该是 啊， y 等于负一，他所对应的横坐标只有一个焦点，所以他只对应了一个 t， 当然是在零到一之间， 好能接受不，它对应的一个 t， 假设这边是 t 一在零到一之间，所以我们算出 t 来之后，再让 t 与 f x 有几个焦点。所关键信息来了啊， f t 对于它来说是它的根， 但不是最终的零点，因为 t 对这个 f x 来说又是水平线， y 相当一个函数值，这就叫复合函数的 一点问题。懂了，所以我们要画出 fs 的图像，那么 fs 图像这条是 x， 这条就应该是 t， 所以当大龄的时候是老 x， 当小龄的时候是这个样子的， 听懂了吗？这时候呢，你需要画出他只有一个 t 吗？这个 t 是在零到一之间，因为这个地方是一，所以零到一之间的 t 就应该是在这 这个地方是 y， 等个 t 一，所以这时候的焦点大家可以看清楚，是不是只有一个焦点，所以呢，这时候他只有一个零点，只能是选 b 了。 好，你听懂了没有？总结一下所谓的负荷函数的零点问题，欠套函数的零点问题。见到了 f x 或者是什么函数，你一定要把这个东西换成 t， f t 等于负一，只是 f t 等于负一，你需要画出 f t 的图。 向来零点都是画图像学函数的最高境界就是研究函数的图像， f t 等于负一，你就看一看有几个 t， 比如 t 一的范围和 t 二的范围， 你算出 t 的范围了之后，他不是零点，需要看 f x 与 y， 等于 t 有几个焦点加在一起就是最终零点的个数， 你听懂了吗？如果你听懂了我们上一道难题，这就有可能就是你的高一期末考试原题。哦，好了，我们上一道题，当然这道题长得很丑，对吧？但是呢，他还算 啊，他也不温柔是吧，他一看他就比较难，所以我们给大家讲解一下。首先 f x， 哎呦，显哥的字里名言又来了，只要见到分段函数，一定要画图像，看到了吗？ log 我不会画，水平欠佳哟。这个函数立刻看他，看完他之后立刻想， 想到它是由 log x 给你写出来，它立刻是由 log x 变成了 log 负 x， 那 log 负 x 是什么意思呢？就相当于关于外轴对称，然后呢，再加绝对值，就是把哎轴下方的图像翻折上去， 它就是 log 负 x 它的图像。所以一定要绘画图像，一定要总结啊，那么大一等零的时候是一个二次函数，当然就比较简单了啊，关于 x 的函数， 他有八个零点求必的取值范围。哦，明白了，他反过来考，我不是问你有几个零点，我说有八个 让你求 b 的取值范围，当然我们水平比较高，没办法对不对？所以我们都给大家讲出来什么有五个零点，几个零点都能够求出 b 的范围来。说白了，这道题怎么改都行。这个题啊，这个数好。首先等级， 你的卡姿兰小眼睛，这是什么函数啊？零点就是让它等零吗？什么函数？如果看不出来你的眼睛太大，没办法，所以 t 方减去个 bt， 不是 bt 啊，加一等于零， t 等于什么呢？ t 等于个 f x， 大家看出来了吗？ 所以这显然是一个二次函数吗？这不是二次函数吗？一看就是和二次函数复合在一起的，所以这就叫复合函数，所以这就叫欠套函数，两个函数套在一起了，就这种感觉能明白。当然他说有八个零点，零点一定指的是 x， 所以这个地方指的是， 指的是 f x 与 y 等 t， 它们有八个焦点，说明白了 f x， 那所以我就画 f x 呗。那么 f x 图像我们画出来，首先小玲的图像是这个样子的，是 log， x 是这样， log 负 x 是这样啊，关于 word 对称，然后呢？啊加绝对值，所以它的图像是这个样子的， 看出来吗？这两是负一，这是小零的图像，大一零的时候，那当然你的初中水平就够了嘛，对不对？你是初中学霸对不对？我记得是啊啊，当然也可能记错了，那么这时候大一大一等零的时候是二十，函数开口朝上，对称轴，是 啊，对称轴是几啊？对称轴是负的二 a 分之 b 是三加四，最小值在三的时候取到，如果，对吧，最小值在三的时候取到，就九减九减十八，再加上一个四，等于个负几啊，负五， 没错吧，所以这个二次函数的图像就应该是这个样子的啊，大概这么一画，听明白了吧，这个量，对称轴是几呢？对称轴是 过的二分之 b 是三，这个最低点是几呢？我们需要算出来，就应该是把三带进去，再算一遍，九减去十八，再加上一个四，等于个负九加上一个四，这个点是负五， ok， 那么然后呢，拿出你强大的幼儿园计算水平就可以了。你说啊， t 等于 f x， 几加几等于八 啊，几加几啊，七九加负一等于负等于八，不好意思，不用负数啊，对不对？几加几等于八，他不是 t 等于 f x 吧？ t 等于 f x， 这张是几？几个焦点？一个俩仨四，这张几，一个俩四加二十六，不可能八个，所以你觉得他怎么能有八个零点呢？ 听明白了吗？所以要想有八个零点，当然就应该是这个样子的，这地方有一个 t， 它对应的有 有四个焦点，因为 t 啊，对吧？ t 对他来说是水平线，是外置，然后呢，又因为这个二次方程是有两个根的， t 一 t 二，所以我们假设他是 t 一，另外呢，他这个 t 二呢？如果在这 这上是几个跟呢？是三个交点，四加三是七，所以他有七个零点，怎么求必的范围是同理的，如果在这 四加二十六，又因为他有八个零点，所以 t 二，就应该是在这，听明白什么意思了吗？这是 t 一，这是 t 二，所以一个两个三个四个四加四正好等于八， 那这就说明这个二十方程有两个根，这两个根 t 一 t 二，它都属于多少呢？零到这是几啊？这几啊？ 这是四，为什么这是四呢？就是因为当 y 等于零的，当 s 等于零的时候， y 正好等于四，所以它都属于零到四。两个不等的根为什么能够取到四呢？大家可以想象一下，如果等于四的话，是不是就在这 等于四的话，是不是完全只在这一个两个、三个、四个，正好有四个焦点，听明白了吗？所以这道题就完全转化成这个二次方程有两个不等的根，而且这两根都在零到四之间，所以考什么？ 考根的分布，听明白了吗？所以往后考就考根的分布了，所以这种题综合性非常的强。那么根的分布，浙江是 t， 浙江是 t， 它有两个不等的根在零到四之间，所以这个二次函数的图像一定是这样画， 当然可以取到这个地方。所以这时候他得满足几个不等式呢？他需要满足三个不等式根的分布吗？哪三个不等式呢？我们给大家列举一下啊！给大家列一下啊！第一个就是单，他一定是大于零的， 到它大连的第二个对线轴是负的二， a 分之 b 就应该是大于零小于四的。第三个 f 零 零所对应的函数值是一，是大于零的。第二、四所对应的函数值是大一等零的，就是十六，减去四 b 加上一个一大一等零，所以当它大龄是 b 方减去四 a， c 大于零，所以 b 大于二，或者是 b 小于负二， 这个呢，就应该是 b 大于零小于八，这个呢是四， b 小于等于个十七，对不对？所以 b 小于四分之十七，为什么加等号？就是因为有一个根是可以等于四的啊，所以三个取交集。最后的答案是， b 大于二，小于等于四分之十七。 这就是你的高一期末考试的难度，是不是有点难？我不知道你听懂了没有？我讲了两道题，复合函数的零点问题， 他实际上就是换元拆成一个简单函数，想一想，他有几个啊？他有两个根， t 一 t 二， t 一 t 二与他有两个，两条水平线，有几个焦点加在一起是八个焦点，这就叫复合函数的内容问题。 ok， 好，你再好好的琢磨一下，再好的思考一下，如果你听的非常明白，在评论区弹幕里边打出六六六。

复合函数的零点问题呢？是高一的一个重点的一个难点，那么什么是复合函数的零点问题呢？比如 f 中括号 gx， 然后等于零，然后这里面的零点，也就是说这里面解除的 x 的个数， s 个数，那像这样的问题呢，我们把它称为复合函数的零点问题。那么我们做这种题呢，我们的思路是什么呢？第一步，我们需要先将 gx 当这个整体，比如说令 gx 需要等于一个字母 t 来代代换一下， 然后在这里面呢，我们就转化成了 ft 等于零，那么 ft 等于零呢？此时呢，我可以解出来的 t 的值呢？有很多对不对？也有可能是一个啊， t t 二 t 三点零点，这边的 t 呢，可以代表的是一个具体而确定的数值，也可以指的是一个范围。 好好，这是我们的第一步，接下来第一步确定完了之后，接下来呢，我们就需要看着第二步，就是拿着这里面的 t e 啊和里面的 gx， gx 对比，然后让 t 二和你们 gx 进行对比，因为你这里面所建立起的方程呢， 肯定有对应的 x， 对不对？那么这里面呢，可能有 x， 有 x 一 x 二，当然呢，有可能呃 更多，对不对？那么像这里面的 t 二等于 gx 的时候呢，他所对应的 x 也可以有 x 一 x 二点点点更多，然后最后呢，我们把这门的这个所对应的 x 的个数，然后这个所对应的 x 的个数，最后同意 加起来，哎，那么加起来最后呢总的 s 个数，那么指的就是这个复合函数这里面的零点的个数。好，那么这个指的就是复合函数零点问题，那么接下来呢，我们举几个例子让大家体会一下。 好比如看这边的第一个射 m 是不为零的一个实数以至函数 fx 等于一个分段函数啊，那这个分段函数长得还挺吓人。 如果函数大 fx 满足这个式子有七个零点，则 m 的去置范围是什么？呃，那么这个就意味着我们需要肯定画图了， 然后这个式子我们简单看一下，这里面都有小 fx 哦，我们可以把小 fx 当做一个 t 对不对？ lin 小 f x 等于 t 等于 t， 然后上面这个式子它就转化成了二倍的 t 的平方，然后减去 m 乘以 t， 它等于这边的大 ft， 对不对？因为它有七个零点哎，我们让它等于零 等于零这个方程呢，我们就可以转化成 t 乘以二 t 减 m 等于零，正好我们解出来的 t 呢？一个 t 一等于零，一个是 t 二等于这边的二分之 m。 好，这第一步我们已经完成了，就是先确定 t 的值。 好， t 的值确定完了之后，接下来呢，我们需要建立起来 t 与 fx 之间的关系。那比如说，我们需要把 fx 的图像给画一下，然后看一下等于零的时候和 等于二分之 m 的时候，他所对应的焦点的个数。好，那么 fx 的图像好画吗？先看第一个哦，第一个他是这么的指数型函数 三 x 减一，然后 x 小于等于二哦，那三 x 减一的图像应该是三的 x 方，然后 减一，相当于往下平移的一个单位，然后加个绝对值呢，相当于把底下的都翻上去了。那所以说我们需要先把间隙线画一下啊，然后先把下方的翻上去，然后接下来呢，这边呢是一个单调递增的函数， 当 x 等于二的时候，他所对呢，还有至于八二带入，那就是三的平方减一，然后等于八啊，那所以说这个值呢，我们就用二斗八 八来代替。好，现在我画出来上面这个函数，接下来呢，儿子平方减去十，儿子加上二十四，当儿子等于二的时候，我们可以发现这个只呢也是八，然后它是一个对称轴，矮子等于五，二三 四五啊，对阵轴是这边的哎，等于五的一个抛物线， 然后当然等于五的时候，我们把五带进来，二十五减去这么的五十，然后加上二十四，结果等于四十九减五是等于负一哦，他这个值呢？跑到底下了。 好，那大概七呢，我们画一下这个韩语图像，就是这个意思。好，那这个是 s 周，我们画长一点。好，那么接下来呢，我们需要拿 拿着 t 和 fx 之间作为一个对比，首先第一个 t 等于零，那么等于零呢，是一条水平的直线，那么现在我们画一条水平直线和 f x 产生焦点，我们一看，哎，有几个焦点呢啊？在这里面有三个焦点， 那么所以说他对呢，就是有三个 x 了，那么接下来呢，看 t 二， t 二是正门的二分之 m 这条线， 那么二分之 m 这条线应该怎么画呢？他可以随便画对不对？但是他满足要有七个零点，那就说有七个 x 对不对？现在已经有三个 x 了，接下来呢，我们需要再画四个就可以了，那四个想想是不是只能这个样子？ 好，那所以说一二三四好，那比如说这里面所对应的有四个 x 好， 那么就意味着此时这个二分之 m 他有范围要求，那么什么范围呢？证明呢？二分之 m 他必须得比零要大，然后比这个一要小。 好，从而呢，我们就可以确定出来这边的 m 的取置范围了， m 的取置范围就是大于零且小于啊，整好 c 选项符合要求。好，那这是这边的第一个例子，接下来呢，再给大家举一个例子， 我们看这边的第二题，一只函数 fx 等于这一坨，若关于 x 的方程哦，有六个根，则 m 的实数范围是取之范围是什么？好，那首先呢，我们第一步先把这边的 fx 当做个整体， lint 等于 fx， 那么上面这个式子就转化成了 t 的平方，加上 mt， 然后再加上 m， 然后加上三，结果等于零，有六个根 哦，有六个根的，现在我们先看这个式子吧，那么这个式子他的根的个数能确定下来吗？ 嗯，好像直接解，解不出来，那么他要么是有两个香的输入根，要么是没有根，对不对？要么是有两个不香的输入根，所以说他的根的个数应该 t 的个数，要么是有零个， 要么有一个，要么有两个，对不对？零个肯定不可能了，为什么呢？因为人家说这里面所对应的 x 是有六个你的 t， 如果没有的话，那肯定 不可以，那么如果是一个呢？也有可能啊，对不对？如果是两个呢？也有可能啊，那么具体是一个还是两个呢？所以说我们需要画一下这边的 fx 的函数图像。好，那么接下来我们来试一下 把反的图像画一下，首先第一个，这是一个开口向下的一个耳塞函数，开口向下，然后对称轴是这门的啊，这个应该是大于等于三吧，这大于等于三，这个修改一下 好，对阵楼是这么的三，我们把三画一下 好，然后开口向下的一个耳词函数，那么这个三所对应的织呢？我们先带入，带入进来，那就是负九加 上十八减二减去七，然后结果等于张二，所以说结果就是三到二啊，这个样子好，那么现在这个画一下 好，那么接下来呢，右边的这个他指的就是一个对数函数，加了一个绝对值，加了一个绝对值，然后他的对数函数应该是一个单调递增的一个函数， 然后加了一个一，相当于左边平一个单位，然后加个绝对值，相当于我们把矮轴下放的给翻上来，因为这间接线是这么的矮，等负一 好，所以说画一下应该是这个样子，先把下方翻上来，翻上来完了之后呢，接下来呢，然后他在这边应该是一个单调递增的函数，并且我们可以知道，当然等三的时候，把三带进来的， 他是落个一二为第四的对数，刚好等于二，这个点的坐标是三到二，刚好衔接起来的好，那么这个就是咱们的 fx， 还有图像 好，那么接下来呢，我们现在看一下，他要想有六个根啊，有六个根， 那如果是只有一个 t 的话，那只有一个 t， 你随便画一下也不可能有六个根，对不对？那所以说呢， t 呢？这这里面呢，就应该是有两个了， t 一和里面的 t 二了，并且 t 一和 t 二他们还不能相等， 对不对？好，那么现在呢，我们就画一条水平直线， t e y 等于 t e， 在这里面呢，刚好对应的有三个焦点，那就是说对应的三个 x， 那么样像有六个，你在 这里面呢，还得有一个，还得有一个。好，这是又有三个焦点，总共加起来是六个，那么所以说呢，我们就可以确定这边的 t t 二，他的范围是什么呢啊？ t 一 t 二，他们的范围应该是在这边的零和二之间的。 ok， 好，弄懂了这个，那么其实呢，我们上面这个式子就转化成了 t 方加上 mt， 加上 m， 然后加上三等于零，然后它在零到二上 有两个不相等的史书根 不香的时候根，那么在这里面呢，他就变成一个根的分布的问题了。好，现在呢，我画一个关于贴 的一个二次函数的形式，比如这零，这是二，然后在零到二上有两个不相的时数根， ok， 还有两个不相的时数根。那么首先第一个啊，第一个他的对称轴呢，就是负的二分之 m， 然后他需要满足一个要求，就必须得大于零小于二，这是第一个对不对？第二个就是这么的等于他等于他等于 b 方减去四 a c， 然后他应该也的是大于零的，对不对？ 接下来呢，第三个就是单癌等于零的时候，他所对呢还有只，那就是 m 加三，必须得也得是大于零的好。最后一个就是单癌等于二的时候，你把二带到柿子里面，就是四加上二 m， 然后加上 m， 再加上三呢，必须。 接下来呢，我们把这个不等式组解一下就可以了，这个不等式组我们就不再带着算了，最后算出结果是 m 大于负三分之七，然后小于负二，正好这里面的四 d 选项。好，这个视频你们有收获吗？

大家好，今天呢，我来讲一下二零二三年最难的高考零点问题，也就是天津高考第十五题，是一道填空题啊。我的话强烈建议大家在我讲之前自己先练一下，看这个题你能不能就不在我讲的情况下的自己独立的做出来。 好，我来说一下难在哪？首先的话，天津每年肯定都会考一道非常难的零点问题的，但是之前大部分呢，都是什么题，都是选择题，选择题的话你可以试一些特殊的值，猜也能猜出来，是不是？比如说，如果 a 选项给的是 服务穷到二的开区间，然后 b 选项呢，是服务穷到二的 b 区间，那如何排除 a 和 b 呢？你就带入这个 a 等于二，看对不对就行了，是不是啊，就这样就行了。所以说他这个选择题还是非常简单，但是今年突然变成了填空题，你错一个 符号都不行，你把这样一个开区线写成 b 区间也不行，是不是？所以咱得好好做了，这道题就当成一道大题来做。那么我们读题，若函数有且仅有两个零点，求 a 的取值范围。看了 很多时候啊，他这个里头有个绝对值吧，绝对号吧。然后有些同学说，老师这个 f x 等于零， 他说有两个零点，就是说这个等于零的方程有两个不同的解，那么就等加于 a， x 方加二， x 等于绝对号， x 方减 a x 加一。 我左边呢写成外一，右边这个函数呢，写成外二。我分别讨论外一和外二这两个函数不就行吗？这样你肯定做不出来，也不能那么绝对吧，你要这么讨论的话，情况太多太多了，为什么你左边含有参数 a， 右边也含有参数 a？ 根据 a 不 不同的范围。那你怎么？你猜呀，你不可能猜出来吧，所以这个方法并不好。怎么办呢？就不是让你这样来分的。 怎么分类讨论呢？我们看外头是有 x 的二次方，里头呢，也含有 a， 那外头有个 a， 里头含有 a。 我们第一种情况，你要让我讨论的话，肯定是 a 等于零，或者 a 不等于零。首先讨论这两种情况，先把 a 讨论全了。 那 a 等于零的时候，为什么要相同的 a 等于零？因为 a 等于零的时候，这个时候 f x， 它外头的 a 就没有了，绝对号里头它这样一个 a 也没有了。此时 f x 是完全确定的一个函数啊，并且这个函数你看取要对号里头是个 x 方加一， 平方加上一横为正啊，你直接把绝对号去掉不就行了吗？就变成了负二 x 负 x 方减一，因为加法了就要 方率啊，我就变成了负 x 方，负二 x 减一，如果你还看不出来，你就把负号提出来， x 方加二， x 加一，熟悉吧，这不就是负的平方的意思吗？你说对吧？它的意思是这个 fx 呢，就这个东西。这个函数啊，它有两个零点，显然不可能，它只有 什么？只有唯一的这样一个零点啊，只有两个相等的十数根，那其实只有一个节，对吧？他只有负一这一个零点啊，所以说不行，那不行的话，那就不满足题吧。所以 a 等于零，首先就排除掉了，那接下来才是 a 不等于零，但是 a 不等于零的话，具体讨论的依据是什么呢？看 我们接下来分类讨论的依据，应该主要集中在这个里头的函数， y 等于 x 方减 a， x 加一，它肯定 啊，绝对好，里头是关于 x 的抛物线，是关于 x 二次函数的形式。我们重点讨论的是这个二次函数究竟是正是负，你说对不对啊？如果说 大于等于零，绝对号里头，那我们直接去掉绝对号就行。如果说里头出现了小于零的部分，那你是不是去掉绝对号还得变成他的相反数啊？所以我们接下来讨论的依据就是绝对号里头的正或者负了。行，那先来一种最简单最简单的情况吧。看好了哈，看了 来对于绝对号里头等于零的这样一个关于 x 一元二次方程。如果说哈，首先是什么判别是小于等于零，为什么要写 a 不等于零？因为第一种已经把 a 等于零这种情况给排除掉，它不合适嘛，所以要 a 不等于零啊。然后呢， 这个判别是小于等于零，判别是小于等于零，那不就是开口向上的抛物线，他怎么样啊？他跟 x 轴最多只有一个焦点吗？他不可能跟 x 轴有两个也焦点的。也也就是说这个二次函数图像 横在 x 轴上方大于等于零吧。哦，清楚了，既然这种情况下看判别是小于等于零，那不就是负 a 的平方减去四小于等于零，往后写就行了啊。好， 也就是说 a 方小于等于四， a 方小于等于四，不就是 a 在负二到二之间，但是咱们把这个零已经排除掉了，所以是负二到零并上零到二，这样一个左必右开，然后再啊左开右 b 并起来就行了 啊，这种情况下绝对好。里头横为正点，横大于等于零点，对吧？横非负，既然横大于等于零，这个时候是不是很简？ 太难了，直接把绝对号变成括号就行了。那画起来很简单啊，其实也就是啊， fx 等于 ax 方减二， x 啊，减 x 方啊，负负得正加 ax 减一，那你整理一下，不就变成了 a 减一的 x 方啊？ a 减二倍的 x， 再把这个常数减负一写上。那好了，看， 请告诉我这个函数是关于 x 的什么函数？二次函数？呵呵，谁告你一定是二次函数的 a 减一，他一定存在这个平方性吗？万一 a 减一等于零呢，对吧？所以我们第一种情况，其实也就是 a 减一等于零的时候，其实也就是 a 等于一的时候， 他不满足情况呢？哈？为什么不满足？你就不是二次函数，怎么可能有两个零点呢？你跟 x 最多有一个焦点啊，最多有一个零点，他是什么？当 a 等于一的时候，负 x 减一 啊，他只能算出来 x 等于多少等于负一，这唯一一个零点吧，只有一个零点，不符合题，所以不满足。这个咱们就不详细验证了啊。来， 下一个。当 a 不等于零的时候，这种情况下，其实也就是 a 减一不等于零的时候，这个平方向才存在啊。那么此时这样一个函数 fx 才是关于 x 的一元二次函数。一元二次函数，他说了， 这个一元二次函数 fx 啊，有且仅有两个零点，它不就代表什么？它代表这个函数 fx 这样一个抛物线，跟 x 有两个九点，那就是判别是大于零的意思， 对吧？那大于零的话，看判别是 b 方，也就是 a 减二的平方减四， a， c 负负得正啊，就减四倍的 a 减一，最后得出一个 a 方来。你要注意 a 的范围，我们的大前提就是这样一个范围， 懂吧？他不可能取零的。 a 既然不可能取零，所以 a 方肯定是大于零的。判别是肯定大于零，那不就是 fx 这样一个抛物线啊，他跟 x 轴肯定是有两个交点，肯定有两个零点，你说对不对啊？对，这种情况是满足的， 所以我们现在综合圈一和圈二当然还没有讨论完啊，目前可以得出来的 a 的范围呢，至少可以集中在这了， 负二到零啊，但是你得把一排除掉啊，一也不能要，零也不能要，然后呢？零到一啊，然后再并一到负二啊，目前是这样，但是够了吗？不够呀，同志，刚才我们讨论的是什么？第二种情况 主要集中在它绝对号里头这样一个一元关于 x 的原二次方程，或者说关于 x 这样一个抛物线， 这个二次函数横非负的情况，横大于等于零的时候，这个时候我们是可以直接去掉绝对好的，这个时候随着 a 的取值的不同啊，我们绝对好里头有可能是怎么样的？ 我们这个 y 等于 x 方减 ax 加一。如果说攀比是刚才是小于等于零吗？人家攀比是有可能大于零，你逻辑量得清楚啊，所有的情况，所有的情况分类讨论得不冲不漏才行，所有的情况都得讨论到。哎，如果这样的话，你绝对好里头这样一个函数，就他 它是不是开口向上啊？左边 m， 右边 n， m n 是关于 x 轴的两个焦点的横坐标啊，你看是不是 m n 中间的时候他是负的啊，这个时候不能直接去绝对号，去掉绝对号还得多加一个负号，是不是？如果是 m 左边和 n 的右边，当然了，这个函数值就是负，就是正的，正的话就可以直接去掉这个绝对 就好了，清楚吧。所以接下来分类讨论的依据变成了什么？首先，在 a 不等于零和 a 不等于 e 的这样一个前提下，我们得保证什么？保证判别是他得大于零？哈，好，判别是大于零，谁的判别是这个的判别？是啊，其实也就是 a 方 减四大于零，也就是 a 方大于四， a 方大于四，那不就是 a 要么小于负二，要么大于正二么？对，这种情况下，这是大前提啊。 好，我们记绝对号里头这样一个关于 x 的一元二次方程等于零，他的两根分别是 m 和 n 啊，其中 m 小一些，那我们可以画一下这个图吗？对吧？ 哦，其实我刚才已经画过这样一个图了，绝对号里头这样一个抛物线啊，显然在 m 和 n 中间的时候，你看， 如果啊，这个 x 在 m 和中间里头可是负的哈，里头如果是负的话，这个 f x 怎么办啊？他就变成了 a x 方减二， x 外头本来就有一个负号，这是就存在的这样一个减号， 你要去掉绝对号里头的话，是不是还得？哦，懂了，还得来一个负的 x 方减 ax 加一啊，对吧？对于负数，你去掉绝对号，得变成原来相反数，负负得正，其实就变成这个样子了，那稍微整理一下，就不就变成了 a 加一倍的 x， 然后再干嘛？然后呢？再 a 减去 a 加二 x， 最终再加上一，好在它是可以因式分解的啊，它的话可以分解成，你看乘法拆两边， 拆成 a 加一倍的 x， 再乘 x， 然后呢，这个正一就拆成负一乘负一，你看正好能凑对中 像啊，所以他因事分解以后就写成这样一个结果了，这个清楚吧啊？当然如果说你这个 x 在 m 左边， n 的右边，你直接去掉绝对好，整理成这样一个结果就行了，都可以因事分解。那么再接下来如何讨论啊？ 你要注意的是， f x 等于零，由且仅有两个不同的解啊，由且仅有两个解，这不就是啊，这个 f x 由且仅有两个零点吗？是吧？怎么办？看了看就能看出来， 你让第一个方程等于零，其实我们可以写出两个结来，其中一个呢是 a 减一分之一，另外一个就是 x 等于负一了。那如果你让第二个方程它这个分段函数啊等于零的话，我们呢可以求出来第三个根，它的话应该是 a 加一分之一，还有一个是 正一，那这四个是不是都能要看？你看清楚了吗？不是都能要的啊，你这个 x 一 x 二，必须满足绝对号里头这样一个 关于 x 的这样一个代数式，或者说关于 x 的这样一个抛物线二次函数，它得横大于等于零，在 x 轴上方。如果说 x 三 x 四是第二个方程求出来的，你得满足的是它这样一个绝对号里头的值横为负才行，对吧？你得验证一下是不是都行， 比如说我们先来验证一下谁呢？先来验证一下啊，我带你验证一下啊，带领你验证一下这个 x 二吧。负一是通过第一个求出来的，能不能行呢？你看咱们把负一带入啊，只要保证这个画圈里头他是大于等于零的数字就行了。你看 x 二的平方 减 a， x 二加一，那不就是负一的平方加 a 再加哦， a 加二， a 加二，不用多说了吧，当 a 大于二的时候， a 加二，他是大于零的呀，他满足要求吗？这个时候他就是正的啊，他就是大于等于零的。 可能到现在的话，有同学就要问了，老师，你凭什么突然就来了一个 a 大于二，为什么要分这样一种情况？很简单看了， 它是一个分段函数，圈一，它也是一个分段函数，圈二对于我画的这样一个圈一这样一个函数来说，是不是关于 x 的什么函数啊？关于 x 的二次函数，圈二也是关于 x 一二次函数。 当 a 大于二的时候，你看嘛，这个 x 平方向这个二次项系数 a 减一，是不是大于零啊？是正的吧，开口向上是不是啊？炮口向开口向上， 包括下面这个也是啊，那 a 加一 a 都大于二了，那四十 a 加一不也是正的吗？开口向上就两个分段函数呢？他这个抛物线都是开口向上的啊，那肯定是这样开口方向。 那么接下来还有最后一种情况，你肯定自己都知道怎么分了，肯定接下来还要分 a 小于负二的时候，因为我们大前提就是负二左边和 a 的右边，这种情况下的话，你看 此时 a 减一，嗨，肯定是负的了，对吧？小于零， a 加一好比负二小， 再加上一，那还是负的。此时这两个分段函数，圈一和圈二他都是怎么样的呀？这两个抛物线他都是开口向下的，所以清楚了吧。 a 大于二和 a 小于负二，为什么要这么分？ 分类的依据它就是什么？就是开口 o 圈一和圈二，开口向上向下这两种情况。 好继续看。那 x 一行吗？不行，你把 a 减一，就是分之一这样一个值， 带入这样一个绝对号里头的式子，这个式子最后算出来是怎么样的呀？是小于零的可不行， 你明明圈一这个式子求出来的 xe 是在什么前提下？是在九六号里头这个式子大于等于零前加你最后求出来小于零，当然要舍掉了。所以 x 可以啊， xe 不可以，目前其实只有一个零点满足。那继续来看另外一种 看好了啊，还有 x 三 x 呢？ x 三 x 四的话是圈下边这个方程求出来的，他的大前提是什么？是绝对号里头这样一个代数式啊，这个整体算出来得小于零，这个 x 四我们可以很快的研究一下啊。你看代入绝对号里头这样一个式子， x 的平方就是一的平方， 减去一倍的 a 再加一，二减 a 不用说了吧？既然 a 是比二大的，二减去比二大的数是小于零，确实满足绝对号里头是小于零，他是可以要的啊。 x 四 可以要， x 三呢？又不能要了，不信你代入算一下。你把 a 加一分之一， x 等于 a 加一分之一代入这样一个绝对好里头的狮子是否满足小于零这样一个前提呢？不满足， 他算出来是大于零的，所以 x 三舍掉了。目前虽然这个分段函数我们求出来一二三四四个结，但是只有负一和正一这两个是符合要求的。 只有两个符合要求，那不还是 f x 等于零？有两个姐，那不还是代表 f x 有且进行两个零点啊。符合要求的啊，只有一和负一是满足要求的，另外两个是矛盾的。这个 x e 和 i x 算清楚了吧。那么其实再接下来讨论的话，大家自己肯定就都清楚了，这肯定是 a 小于负二的时候，对吧？你还是验证一下这个 i 一二三四是否满足要求，这个我就不多说了啊。 来吧，不用多说了，这个时候正好反过来了，他俩是符合要求的，但是呢，这个 x 二等于负一和 x 四等于正一，他是不符合要求的。为什么呢？原因也很简单，你把 x 等于负一 代入这样一个绝对号里头的狮子， a 加二，此时 a 是小于负二的啊， a 加二小于零，但是人家的大前提却是这个绝对号里头狮子大于等于零，正好反了吧，小于零和大于等于零矛盾了。另外，你这个 x 四等于一是根据圈二这个式子求出来的，圈二长 成立的前提是绝对号里头这个式子你得小于零，但是当你把 x 四等于一这个解带入之后呢？二减去 a 却是大于零呢，对吧？二减去 a 大于零，那正好跟他矛盾了。人家的前提是小于零，你这个式子却大于零，矛盾了吧。所以 x， 嗯，二和 x 正好不能要，但是另外两个你自己可以验证一下，他俩反而是能要的，反正是两个不同的结，对吧。所以呢，综上所述什么呀？综上所述 我们哪几个值不能要？首先零一开始圈一就排除掉了，然后呢？后来 a 等于一啊，也排除掉了， 然后到了什么时候呢？到了圈三，我们讨论清楚了，无论是在这个负二的左边还是正二的右边都能要，那最后并起来之后，最终 a 的范围就是 夫穷到零，病上零到一，再病上一到中穷，这就是最终的答案了。最终呢，我们来怎么样总结一下。这个题主要是含参数的函数零点的问题，主要是分类思想考察啊。分类讨论这个思想 不是说属于偏难题，属于很难的一道题目了啊。考场上，高考考场上，如果你见到这道题，可能分类分类，就不知道分类情况到底是哪一种，就乱了哈。 难点在于，要想清楚分类讨论的依据是什么，我们看一看分类讨论的依据是什么？首先，为什么要先讨论 a 等于零啊？因为 a 等于零的时候，我们这个式子就是不含参数的这样一个 实则，对吧？那不含参数的这样一个函数，那肯定讨论起来非常的容易啊，对吧？不符合提议，接下来才是 a 等于零。讨论完了，那接下来就讨论 a 不等于零，那么接下来分了 讨论的依据是什么？就是这个绝对号里头是正还是负吗？他如果横为正啊，那就是判别是小于等于零，又出现第二种情况了，如果说里头有可能是正，有可能是负，那就是第三种情况了， 是不是啊？那最终的话就可以讨论完了。所以分类讨论的依据一定要清除。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。