圆内接正多边形的画法

我们来玩转圆内接四边形的性质，经营用所谓的圆的内接四边形呢，就是四个顶点均在同一个圆上，他有什么性质呢？圆内接四边形的对角是互补的，我们来看这个图，这边的这个角一，他的对角呢，就是这边的这个角二， 因为呢，这个四边形他的四个点均在同一个圆上，所以他就是圆的内接四边形了。以后这个性质就可以得出来，角一他与角二互补，角一加角二对就是一百八十度。当然另外的一组对角也是这样的，这边的这个角三跟这边的对角角四，他俩加起来同样是一百八十度， 他有个推论，就是圆内跟四边形的一个外角等于他的内对角，什么意思呢？我们来看角二的这个零补角，你可以看到就是他的一个外角，那么这个外角他跟角二是互补的呀，因为呢，跟角二是零补角吗？而角一跟角二也是互补的，这样的话呢，我们根据同角的补角相等，也就可以达到 这个外角呢，就等于他这个内对角，也就等于这个角一。这个推动呢，是很好理解的。下面我们解释一下为什么他的对角是互补的原因就是圆轴角定理啊。那你可以看到这边我给你标一个，这个是暗法，他的是圆心角， 那铜壶所对的圆周角呢？等于他所对圆形角的一半，这里的这个角二是不是就是爱法的一半啊？也就是二分之一爱法。然后这边的这个角呢，我给他标为是背他吧。那么他是哪一个壶所对的呢？是一个优壶所对的， 是不是这一段优虎所对的呀？这段优虎所对的圆心角就是背他，他所对的圆周角呢？你看看是不是角一，因此这里的角一呢，就应该是背他的一半，也就是二分之一背他。 我们验证一下，角一加角二啊，角一加角二，角一呢，就是二分之一，背他，角二呢，就是二分之一挨法，他俩加到一起，把那二分之一提取出来，也就是二分之一。括号里 阿尔法加上贝塔，而阿尔法加贝塔呢，是不是就是围绕着圆心转了一周圈，这不就是一个周角吗？所以他是三百六十度乘以二分之一，那也就是一百八十度了，这就是角一加角二，他是对角互补的原因了， 让你们操练一下。第一，如图四边形 abcd 是半圆的那些四边形 ab 是直径，别看他说是半圆的，他跟是整个圆的那些四边形是一回事，你即使把那半个圆给他补上来的话，你会发现，你看这不一回事吗？反正 abcd 这四个顶点呢，都在这同一个圆上，因此他一定会满足 对角互补这样的性质的。角 a 跟角 c 是对角，加起来一百八，角 b 跟角 d 呢，加起来是一百八，然后 dc 胡等于 bc 胡，好，这相等的胡，他们所对的圆心角相等，所对的斜相等，所对的圆周角是不是也是相等的啊？这就是那个五量关系定理啊。然后角 c 呢，等于 一百一十度啊，这个角是一百一十度。我们紧接着就想到他的对角了，对，他的对角就是这边的角 bad， 那应该是多少度？得是七十度吧，因为呢，他俩互补，这角 abc 啊，这个角是多少度？ 求这个角的话呢？我们看一看有角 bad 跟这个角能不能发生关系啊？那要把这个等壶给他用上了，用上的话可以把那个七十度的角刚求出来，这个 给他一分为二啊，因为呢，这样一分分出来的两个相等的圆珠角，这两个圆珠角加到一起呢，是七十度，这样的话呢，各占一半了，也就都是三十五度。 而这个三十五度的圆轴角，他跟这边的这个角臂有关系，在同一个直角三角形里边，为什么说他是直角三角形呢？原因就是直径呢，直径对直角，既然他是直角的话，那直角三形的两个锐角就互于这个三角形 ab 四呢，是直角三角形， 脚臂呢，跟这边的这个三十五度的脚呼于九十度减去三十五度，就可以得到脚臂的度数，对，就是五十五度。所以这道题答案就出来了，我们看一看这道题啊，他利用了哪些知识点？首先呢，就是圆的内结四边形对角互补这条性质， 然后呢，就利用了直径所对的圆珠角是九十度，还有呢，就是等弧对的圆珠角下等。 好，这个立一，你 get 到的同学，欢迎回复个六例二，如图， abc 在原欧上角 bod， 他呢等于一百度，问的是角 abc 的度数，很多同学一激动说，对角互补呀，那他是一百度，他就是八十度，这就大错特错了，为什么呢？因为这个四边形 abco， 他并不是圆的内结四边形， 圆的那些四边形要求四个顶点都得在圆上，你看这个污点，他就没有在圆上，对不对啊？所以你不能上来运用圆的那些四边形的性质，那要想运用怎么办呢？也好办，比如说 咱们就在这边呢，来找一个点给他凑凑数吗？这不就是三缺一的事吗？我们给他找到这么一个点啊，比如说这个点我在极为点地，你现在看一看，这会就凑齐了吧。哎， abcd 这四个点是不都在这个圆上？既然都在这个圆上的话，他就符合了圆的内向四边形的性质了。对角互补呀， 那这边的这个角 abc， 他就跟这边的我们构造的这个角地，这才是对角，是吧？他就互补，可是角地是多少度呀？角地是多少度，他是圆周角，就要看看他所对的核呀。另一个圆周角定理，你看这个核 ac 啊，一条核所对的圆周角等于他所对圆心角的一半， 这个壶 ac 对着的圆形角就是这个一百度的角，对着圆轴角呢，就是把角地啊，说明角地呢，就是一百度的一半，对，他就是五十度，他是五十度的话，内接四边形对角互补，那么这个角 abc 跟着五十度加起来是一百八，有一百八呢，去掉 他是不是就得到了他为一百三十度了？所以这个题答案就是一百三十度，这是第一个方法啊，我们运用了三缺一给他补上的一个，给他凑数，凑出来了一个圆的内加四边形，如果要是硬一点我就不补，能不能行呢？也可以，怎么来看呢？ 这个围绕着点欧有一周角三百六，对吧？这个三百六呢？去掉这一百，还剩二百六。二百六是哪一个角？就是这边的这个大大的角超过了平角的啊，这个就是二百六十度的一个角，这个二百六十度的角就是圆心角，对不对啊？他的壶啊，他是由 u 壶 adc 所对的， 他照样还是满足圆珠角定理的啊，就是这个壶所对的圆珠角，你看看是谁？不就是咱们要求的这个角 abc 吗？对吧？啊，那这个角 abc 呢，就等于他所对圆心角的一半，这个圆心角呢，不就是二百六吗？ 百六十度的一半，你看看是不是一百三呀？殊途同归，两个方法是不是都可以啊？啊，你要不习惯于说用这么大的一个角啊，竟然也可以适用圆珠角的话，超过一百八十度的角，没以前呢，哎，都不做使用，现在用一用的话，发现也是很美妙的。好，这个第二，咱们感觉到很美妙了，两个方法咱都会了啊， 那欢迎回复个六六。那三，如图，四边形 abcd 内接于元欧，这会来了真正的内在四边形了，那他的对角就会互补点一在对角线黑色以上 有 ec 等于 bc 等于 dc 啊，这里呢？啊，我们找一找， ec 呢是这条边，然后 bc 是这条边， dc 是这条边，里面呢有等摇三角形，你像 cbe 这个呢，就是等摇三角形，对不对啊？等边对等角啊，那就可以得到这一个角，他呢就会跟这边这个角就是相等的，然后还有呢， bc 跟 cd 相等，你看他俩也构成了一个等幺三角形，那就是这边这个角跟这边这个角是相等的。等边对等角还有一点呢，就是 bc 跟 cd 呢，他俩是弦相等的，弦所对的 u 胡和列胡分别相等，于是呢，可以得到这里的 bc 这条胡，他呢跟 cd 这条胡这两条列胡是相等的， 那么等壶呢？又想到所对的圆珠角是相等的啊，那这里面的这个角和这个角，我们再突然标一下，这是角三，这个呢是角四，这两个角呢，是相等的。 里面的那么多个相等的角啊，我们看一看的话，量有点多，你也可以设餐，比如说呢，角三角四呢，我就不计为角三角四了，我就都计为一个量，我就记得他们都是阿尔法， 这样的话，一看图呢，就知道这两个角是相等的角了，对吧？我们还可以用阿尔法代表师啊，代替更多个角，比如说他是二 f， 那么这个对角呢，是不是就一百八十度减二 f 呀？ 因为人家是内结四边形，他对角是互补的。第一个问题，热角 cbd 是三十九度角， cbd 就这个角，他要是三十九度的话，那么这边这个角是不是也就是三十九度啊？因为等边都能角吗？上面球的是哪个角呢？角 bad 球的角 bbd， 这不就是二 iphone 吗？啊，我可以间接来来求他的对角行不行啊？因为呢，原来那些四边形对角互补他的对角好球啊，因为他的对角啊，跟这两个三十九度的角在同一个三角形里边 啊，那内角和呢，就可以求出来。这个，其实呢，他是等要算的顶角，写下过程，因为 bc 等于 dc， 所以等边对等角就可以得到角 cdb， 它呢等于角 cbd， 角 cbd 呢？第一问给了个度数是三十九度，所以这两个角呢，都是三十九度，因此呢，角 bcd， 呃，由内角和就可以得出来是一百八十度，减去 两个三十九度，也就等于啊，一百零二度，一百零二度，又因为 abcd 呢，这个四边形内结于元欧，所以我们要求的那个角 bad， 他呢就等于一百八十度，减去我们求得的角， bcd 减去他的对角，一百八十度，减去一百零二度，那就等于七十八度。好，第一个问题呢，就是啊，此处运用了圆的内结四边形对角互补进行了一个球角度。 第二天我们求证角一等于角二，那我们就分析分析角一、角二分别在哪些三角形里边，把三角形的内角、外角都给他考虑进来，你像角一呢，他就在这个三角形 在这个三行当中，可是这边这个连点都没有标注，对不对啊？当然也可以标注上，标注上的话，你会发现这个角是多少，咱也不知道这个角怎么来表示，也不知道。这里呢，并不是让我们把角一角的度数取出来，所以第一个问题给的这个度数啊，只适用 作为第一题。啊，我们第二题呢啊，这里没有任何一个角的度数，所以我们必须得找中间的桥梁，这个中间的桥梁是什么呢？我们得需要一个参照单位，其实呢就是一个设餐思想，我们可以给他设餐，找这样的中间桥梁，让参数起到一个牵线搭桥的作用。 参数呢，还有一个好处就是使的里面角的数量呢，从个数上给它降下来。你像那两个 i 法角，其实呢它是两个角，可是呢，我们用一个 ia 法就替换了，包括这个角 我还是用阿尔法的，代瑞士就是二，阿尔法不也替换了吗？这个脚我可以用阿尔法代瑞士来表示的话，就是一百八十度减去二，阿尔法这里面呢，变来变去的啊，其实呢，阿尔法这个量没有增多， 里面的位置量就这一个，就是这个参数，当然呢，必要的时候你可以再设一个参数，你只要设了参数，他总比里边的角的总个数要少啊。比如说呢，我们这 bc 跟 ec 他俩相等，到目前呢，还没有用一用，对不对？他俩相等的话，不妨呢，咱就上这个角呢，哎，我背他行吧。啊？等边对等角吗？这个角我稍微背他，是不是这边的这个角，哎，他也是背他呀，等边对等角。 那么再来看这里的这个角一，我们可以用埃法呀，或者贝塔的代号是来给他表示，表示这个角是贝塔，这个角是多少呢？这个角呢？其实是埃法，为什么呀？因为我们这里呢， cd 壶跟 bc 壶相等，相等的壶所对的圆轴角相等，或者说你用这个铜壶所对的圆轴角相等也一样。 cd 所对着的圆周角，是不是这边的埃法就是角 cad 啊，他还对着一个就是角 dbc 像在圆当中啊，我们在倒角的时候要充分的观察胡对着谁对着哪些圆周角，同伙所对的圆周角都相等， 所以既对着这边这个角，也对着这边这个角，这不就说明这两个角相等了吗？那他也是二法，那他是背他背他减二法便是角一了，如果角二也是背他减二法，那我们就赢了，他是不是呢？角二在这个三角形 abe 里边，他这里面呢有一个二法角，哎，看到有一个外角，是不是就这个背他角呀？ 那么三型的外角贝塔等于和他不相邻的这两个内角的，和贝塔呢，就等于角二加 iphone。 那么一等量，哎，一转换的话，角二呢，也就等于这个外角贝塔减去这个内角 iphone 了，这不就正出来了吗？这是一个方法啊，你不上餐的话也可以。你就这么来说，角二呢，就是角 bec， 减去这边这个角， 然后角一呢，就是由这个角减去这个角，然后你再证明这两个式子当中的被减和减出相等啊，他呢，跟他是相等的，等于等等角，然后呢，他呢等于他， 他又等于他，所以呢，这样等他带换过来也可以，只不过呢，有的同学那种情况可能就招架不了了，原因呢，就是一小会就晕了，被他蒙，哎，整蒙了，亮的太多了，咱们就是射餐吧。好，我们就射这里的这个角 cbe， 他呢等于背他， 然后角 bac， 他的等于 i 法，因为已知的这三段相等，那么根据等面对等角，先得出来这个角 ceb， 他呢，就跟我们所设的那个角 cbe 相等，说明他也是贝塔。 然后呢，根据五量关系定理啊，两条相等的弦所对的圆珠角也是相等的。还有呢，就是铜壶和等壶所对的圆珠角相等，这些呢，五个量当中有一组量相等，其他的四个都是相等的，那么我们由这三个相等 其中的 bc 跟 cd 这两条弦相等，那你可以由这两条弦所对的圆周角就相等，或者你转到壶上来也可以啊，就是 bc 壶相等的弦呢，所对的 u 壶和列壶分别相等，也可以用这个。 好，那这两个壶相等，这两条壶相等的话，所以就可以得到这边的这个角 dac， 他也就等于角 bac， 角 bac 呢，我们稍微的是 ipha， 这说明这个角 dac 也是阿依法，那还有就是角 cbd， 他呢等于角 cad， 所以他也是 iphone， 这是同虎所对的圆珠角，这几个角都表示完了吧，那么因为这里的角一，你可以看到它呢，就是角 cbe， 减去角 cbd， 也就是贝塔减去 i， 因为这个角就是背的，这个角就是爱法。然后角二，我们再看一看，他呢，就是这个外角 ceb， 然后减去角 cab， 减去这个内角， 那也是贝塔减去 rf， 你看都是贝塔减二法，从而呢，角一也就等于角二。这是我给你以涉餐法为例写的一个步骤，你要不涉餐的话，你就从这个地方继续往后证明他俩相等，证明他俩相等就行了，还是利用我们的那关系定理就可以正出来。 总之把关于语言当中的这些角的等量代换或者是倒角问题呢，我们就是练眼睛观察力的一个非常好的啊一种锻炼方式。那你就看看相等的嫌疑，但出现的话， 那就看看他们所对的啊，等弦对着的优胡列胡的问题。然后如果出现了等胡，那我们就要看 看一看他们所对的弦，所对的圆心角，所对的圆中角，包括后面的弦心句。当然这道题呢，一般不涉及到弦心句，弦心句呢，就是啊，圆心到弦的那个垂线段的长度，或者圆心到这条弦的距离，称之为是弦心句。 其实这也恰恰是原这块的题目好的地方，因为你不停的变换视角去观察的时候，一会哎，看一看他对着谁，他既对着这边又对着这边 啊，我们就会有一个又一个的意外的发现。再比如说 bc 胡，他对着这边的这个角 bac， 他还对着这边的角 bdc， 你会发现这个角 bdc 呢，他也是 if。 这会呢，你再放眼看一看，整个的图里面已经标注了四个 if 了，对不对啊？已经标注了四个 if 了， 然后呢，你会看到更多的啊，当然，你还可以看到这个角跟这个角是下等的，只不过呢，这两个角呢，都是 ab 虎所对的， 他呢，我们不是用埃法来表示的而已，也不是背他表示的。当然了，能不能用背他来表示的？能，你看这个三角形 bce， 他的两个底角都是背他一百八十度减去两个底角，不就是这个顶角了吗？所以一百八十度减去二背他就是这个角了， 那所以这边这个角也是一百八十度减去二背他，对吧？这样我们就会发现呢，在题目当中越来越多的角啊，那比如说这边这个角 acd， 这个角，他会跟角一角二拼成的这个角有相同，为什么呀？因为他们都是 ad 虎所对的圆周角，借助于这个图呢，我们就把它看的越透彻越明了。 好了，这个丽莎呢，咱们有所收获的同学感觉到还很好玩了，那就欢迎回复个六六好了。下面总结一下这个专题呢，我们就研究了圆的内结四边形啊，就是四个顶点均在圆上的，所以一定要看清，他得四个顶点均在圆上，只有三个行不行呢？不行 不行的时候想用，那你就得三缺一，就再找一个凑个数，凑成四个顶点聚在原上，他满足了，这样的话，他的内加四边形对角就会互补， 否则他叫啊，就没法用对角互补。另外呢，他这个推论呢，其实有些同学学，有些同学不学，原内接四边形的一个外角等于他的内对角，这个呢，非常的好，正应呢，每个外角都跟相邻的内角呢。是啊，离不角的关系是互补的关系， 跟他相邻的这个内角跟他的对角呢，也是互补的关系。根据同角的补角相等，也就可以得到这个推论了。好了，这个专题就为大家讲讲到这里，再见。