余弦函数图像生成动画

大家好，这个视频我们利用图像来动态演示，用鱼弦线来画鱼弦汉字的图像。 好在这个图中呢，我们看一下有一个单位圆绿色的，然后呢圆上一点，一通过一点做 s 轴的垂线，这点是 f， 那么在三角形 e b f 中，角 e b f 这个角，他对应的对边是 e f， 那么他的另一边呢，是 b f。 根据余学函数的定义 coss 角，我试一下 coss 角 eb f， 他的定义应该为 b f b b e， 这是余雅涵的定义， 那么我们就把 b f 叫做余弦线，并且 bf 有方向的，和做正选函数的图像类似， 我们要研究的是角 bf 这个角和 bf 的关系，在直角这个戏中把它展现出来， 角 ebf 把它化为弧度，展现在 s 轴， b f 呢，应该展现到 y 轴，但是呢，他和 s 轴重合。那么我们要利用一条直线，就是 yds 这条 四十五度的直线，把它对应到外轴上去。好，我们通过 f 点做 s 的垂线，与外面 s 这条直线求于 m， 那么我们知道 m f 和 b f 是相等的， 然后通过平移 fm 到 f t n 这个地方，我们就知道了 f p， l n 这一条就是余弦线的直。那么在途中这三条红色的线都是代表了余弦的直。来看一下余弦直的变化， 从零开始， 这时候呢，鱼线线 b f 等于一 f， 撇 m 的值也为一。好，这是初始值，就是说扩散零度等于一， 我们开始变化 好，大家可以看到，随着角 e b f 的增大，扩散的直 b f 再减小， 减小，从一开始减小。继续， 当 ebf 这个角大于九十度的时候，余弦线 b f 为负向的余弦值是负值，继续， 当这个角达到一百二十度的时候，库穗为负一于全的最小值，继续， 当一天画到二百七十度的时候， 库线池漂移帘继续。 好，那么这一个完整的周期已经结束，大家看一下。 好，谢谢大家。

同学们大家好，今天我就和同学们共同开启正弦函数、余弦函数的图像这节课的学习。三角函数是我们学习的一类新的基本出档函数，按照函数研究的方法，在学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什么问题了呢？ 同学们说的对，应该继续研究三角函数的图像和性质了。请同学们思考一下，之前我们研究指数函数，对数函数的图像和性质的思路是怎样的呢？ 我们就是先明确了函数的定义，然后利用定义研究函数的图像，再利用函数的图像研究函数的性质。 之前我们已经学习了三角函数的定义，所以接下来我们就要来研究三角函数的图像。 那请问同学们绘制新函数图像的基本方法是什么呢？是的，绘制一个新函数图像的基本方法就是描点法。 那么根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图像吗？其实选择哪一个区间即可呢？ 根据三角函数的定义，单位元上任意一个点在圆周上旋转一周以后又回到原来的位置，即三呀二法加二 k 派等于三呀二法。同样 q 三二法加二 k 派也等于扣三二法，其中 k 是整数， 所以我们可以先画出正弦函数在 b 区间零到二派的图像，再画出正弦函数，再定 抑郁而上的图像就可以了。那么现在我们就先一起研究如何绘制出正弦函数的图像。既然描点法是画函数图像的基本方法，对于正弦函数，大家想取哪些点，怎样描点画图呢？ 有的同学说可以对于次变量，在必须间零到二派上随意的取一些值，然后利用计算器选出函数值，再在平面直角坐标系上秒点连线。大家觉得这样做图可行吗？ 这样做图应该可以做出正前函数在 b 区间零到二派上图像的大致形状。但是对于正前函数，不论是角的弧度数还是正弦直，都会出现一些五里数，如果利用计算器 所图，明显不够精确，而且也没有利用到三角函数的定义，所以同学们你能寻找到更加精确而且利用到了三角函数定义的方法吗？ 好，我们来进一步思考。要想绘制一个函数的图像，首先就需要准确绘制图像上的一个点， 所以对于正弦函数在 b 区间零到二派上认取一个值 x 零，我们该如何借助单位元确定正弦函数值三呀 x 零，并且准确的画出点替 x 零，三呀 x 零呢？ 同学们请看图。在平面直角坐标系中画出以圆点为圆心的单位圆，单位圆与 x 轴正版轴的焦点为 a 一零。在单位圆上将点 a 绕着点 o 旋转， x 零弧度至点 b。 根据弧度制的定义，阿尔法弧度数的绝对值等于弧长 l 比半径 r， 单位员内半径为一，所以此时 x 零既是角 aob 的大小，同时也是弧 ab 的长度。 而根据正弦函数的定义，此时点闭的纵坐标 y 零即为赛因 x 零， 所以我们可以以 x 零为横坐标，而以外零为纵坐标画点就可以得到函数图像上的一个点 tx 零。 saying x 零， 那现在我们已经学会了绘制正弦函数图像上的某一个点，那么同学们你能制定一个 方案，画出正前函数在 b 区间零到二派的图像吗？ 对于这个问题，同学们有很多不同的方案，现在我们就来逐一分析。有的同学说可以在 b 区间零到二派内认取一些横坐标的值，之后按照上述的方法逐一绘制点，再用光滑的曲线连接起来。 但是同学们请注意，如果我们对 x 零随意的取值，那么 x 零可能会出现有理数、无理数，这样就不容易在 x 轴上准确的定位。 再有根据弧度至的定义，此时 x 零的值是弧 ab 的长度，那么不容易平移，所以在单位员上想定位 x 零弧度角的中边时，就存在了一定的困难。 所以有同学提出，那么我们就不要对 x 零随意取值了，可以取像一、二、三弧度等这样的值，再按照上述方法绘制函数图像 一、二、三等。这些弧度数在 x 轴上确实可以准确的定位了，但是在单位员上想定位这些弧度角的中边时，仍然存在上数的问题，我们还是不容易准确定位点地的位置。 又有同学提出，那么不如我们取比较熟悉的这些特殊角，比如六分之派、四分之派、三分之派等等。 在 b 区间零到二派内的这些特殊角确实是大家比较熟悉的， 在 x 轴上也比较容易定位，但是在单位员上又该怎样确定点臂的位置呢？究竟我们应该取哪些特殊角，怎样取特殊角才能使得作图既简便又准确呢？ 有同学提出了改进的方案，我们可以在 b 区间零到二派内取等分点，这样做图既简便又准确， 请同学们一起看图。首先我们可以把 x 轴上 b 区间零到二派这一段分成十二等份，从而使 x 零的值分别为零、 六分之派、三分之派一直到二派这些特殊角，而他们所对应的角的中边与 单位员的焦点，同样将圆周十二等分。我们可以再按照上述方法依次的画出点。 tx 零赛呀 x 零 同学们，现在就请大家和我一起来做出正前函数在 b 区间零到二派的图像。 首先我们将 x 轴上 b 区间零到二派这一段四等分，再将每一个子区间三等分，从而将 x 轴上 b 区间零到二派这一段等分成了十二份。 然后以坐标原点为圆心，做出单位圆 这些特殊角的中边，同样将圆周十二等分，这样我们就得到了 零到二派内这些特殊角的中边与单位员的焦点。现在我们就来秒点，首先散引零等于零，所以正弦函数的图像过点零零。我们再来看六分之派， 六分之派角的中边与单位员的焦点的纵坐标即为 saying 六分之派，所以我们可以以六分之派为横坐标，以这个点的外之为纵坐标描点，从而就得到了六分之派。 saying 六分之派这个点。 我们再来看三分之派，三分之派角的中边与单位员交点的重坐标即为赛印三分之派，所以我们以三分之派为横坐 坐标，而以这个点的外值为纵坐标描点，就可以得到点三分之派，下印三分之派，以此类推。用同样的方法，我们就可以依次做出 b 区间零到二派上所有对应点的位置， 然后用光滑曲线将这些点连接起来，从而我们就得到了正弦函数在 b 区间零到二派上的图像。 同学们，老师在这里利用信息技术，可以在 b 区间零到二派上取足够多的点，并且将这些点用光滑的曲线连接起来，就可以得到比较精确的正弦函数在 b 区间零到二派的图像了。好，同学们请看，这就是正弦函数在 b 区间零到二派的图像，它是一段连续光滑的曲线，那么根据函数 y 等于赛亚 x 在 b 区间零到二派的图像。同学们，你能想象出挣钱函数在定义域而上的图像吗？你的依据是什么？请你画出该函数的图像。 根据公式一，我们知道撒野阿尔法加二 k 派等于撒野阿尔法，其中开始整数，所以 函数 y 等于赛 x 在每一个形如二 k 派到二倍 k 加一派，其中 k 是不为零的整数。这样的必须间内， 他的图像应该与正弦函数在 b 区间零到二派的图像形状是完全一致的。从而我们就可以不断的将正弦函数在 b 区间零到二派的图像向左向右平移二派的单位，就可以得到正弦函数在定义域而上的图像了， 这就是正弦函数在定音域而上的图像。正弦函数的图像叫做正弦曲线，它是一条波浪起伏的连续光滑曲线。 那同学们，有时啊，对于函数的研究，能够快速又比较准确的做出他的简图，往往起着特别重要的作用。那么你能否画出函数外等于三呀？ x 在 b 区间零到二派内图像的简图吗？ 在确定图像的形状时，应该抓住哪些关键点呢？请同学们观察正线函数 在地区间零到二派的图像。我们可以看到这里起关键作用的几个点，正是最大指点、最小指点以及曲线与 x 轴的焦点。因为有了这几个点就可以确定曲线的形状了，所以我们就以这几个点为关键点描点作图， 他们的坐标依次为零零二分之派、一派零、二分之、三派负一以及二派零。 一般的，在精度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，再用光滑曲线连接起来。这种方法非常的简便实用，它称为五点法。 同学们，现在我们已经能够做出正前函数的图像了，请问你能做出 鱼玄函数的图像吗？有的同学说，那我们就和之前一样，利用鱼玄函数的定义，借助单位元描点作图吧。 但同学们请思考一下，如果我们仍然采用之前的方法，此时在单位员上点臂的横坐标为扣三 x 零，那么如果我们要做鱼选函数，以点臂的横坐标为点替的纵坐标，画图时这个坐标还那么容易使用吗？ 显然不再容易使用了。那我们还能找到什么更简便的方法吗？ 由三角函数的定义，我们知道正弦函数与选函数是一对密切相关的函数，诱导公式就已经表明了，余选函数和正弦函数是可 可以互换的。所以你能否通过已经得到的正弦函数的图像，通过图像变换的方法得到鱼悬函数的图像呢？ 有同学马上想到了这个诱导公式， y 等于扣三， x 等于三眼，二分之派减 x。 但同学们请注意，这个公式里 x 的前面有负号，同时有二分之派又涉及到平移，所以图像变换是比较复杂的，不容易操作。那我们有没有形式更加简洁的诱导公式可以使用呢？ 有的同学又想到了这个有点公式，扣下 x 等于 saying x 加二分之派。这个公式确实简洁了很多。同学们初中时学习过图像平移，我们知道 将正弦函数的图像向左平移二分之派个单位长度就能够得到余弦函数的图像了。 同学们请看图，我们可以将正弦函数图像上的点都向左平移二分之派个单位。比如将零零点平移到负二分之派零， 将二分之派一平移到零一，将派零平移到二分之派零等等。从而将正选曲线上的每一个点都向左平移二分之派个单位就得到了鱼选函数在定义域而上的图像。 而鱼悬函数在地狱而上的图像叫做鱼选曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的波浪形曲线。 我们都知道曲线是由点构成的，那同学们，你能利用点的坐标来解释这种平移变换吗？我们一起来分析。设函数 y 等于 cx， 图像上任意一个点为 m， n 即 cm 等于 n， 则在函数 y 等于 say in x 加二分之派上，当 x 加二分之派等于 m 时，即 x 等于 m 减二分之派时，函数值同样也为恩， 所以函数 y 等于散呀。 x 加二分之派的图像上就有一个对应点，它的坐标为 m 减二分之派 n， 那我们看到将点 m n， 凭一道点 m 减二分之派 n， 显然 是将这个点向左平移了二分之派个单位。同时我们又是在正弦函数图像上任意取的一个点，所以说明正弦函数上的所有点都向左平移了二分之派个单位，从而我们就用点的坐标进一步解释了这种平移变换。 那同学们，类似于五点法做正弦函数的图像，我们又该如何做出余弦函数的简图呢？ 思考这个问题啊！我们首先应该思考选取哪个区间研究这个问题比较合理。 那么根据鱼选函数的定义，我们可以知道仍然需要取长度为二派的区间，再根据鱼选曲线的特点，他关于外轴对称，所以我们不妨取一个关于外轴对称的 区间，这样我们取 b 区间复派到派就比较合理了。那么请同学们观察鱼旋函数在 b 区间复派到派上的图像，我们取哪几个点为关键点呢？ 哎，仍然应该取最大指点、最小指点以及曲线和 x 轴的焦点。 他们的坐标依次为，负派负一、负二分之派零、零一、二分之派、零派负一。 现在我们已经能够做出正弦函数和鱼群函数的简图了，那么同学们，请大家和我一起看这个例题，请你用五点法画出下列函数的简图。 我们先来看第一个函数 y 等于一加三 x， x 属于 b 区间零到二派，我们应该取哪五个关键点呢？ 由于是给赛 x 的值加了一个单位，所以我们可以取和正弦函数相同的五个关键点， 然后求出每一个对应的赛 x 的值，之后再求出一加赛 x 的值，之后根据表格描点，然后用光滑的曲线将他们连接起来，就得到了这个函数在 b 区间零的二派的图像。 我们将它和正弦函数在 b 区间零到二派的图像对比一下，可以发现，对于每一个 x 而言，横坐标不变时，纵坐标加了一，所以本质上是 将正弦函数在 b 区间零到二派的图像向上平移了一个单位而得到的。 好，我们再来看第二个函数， y 等于负抠赛 x， x 属于 b 区间零的二派，我们又该取哪五个关键点列表呢？由于这里是给抠赛 x 取了相反数，所以我们仍然可以取和余选函数相同的五个特殊点， 仍然为最大指点、最小指点以及零点，然后求出每一个扣三 x 的值，再求出负扣三 x， 根据表格秒点，然后用光滑的曲线连接起来，就得到了 y 等于负口三 x 在 b 区间零到二排的图像， 我们将它和鱼旋函数在 b 区间零到二派的图像对比一下，可以发现，对于每一个 x 横坐标不变，而纵坐标取了相反数，所以本质上是将鱼旋函数在 b 区间零到二派的图像关于 x 轴对称而得到的。 同学们，最后我们回顾一下这节课的内容，请大家思考一下以下问题。一、我们是如何做出正弦曲线和鱼弦曲线的？ 首先，我们通过等分 b 区间零到二派等分单位员的方法，借助单位员和正弦函数的定义，做出了正弦曲线，然后将正弦曲线向左平移了二分之派 个单位得到的鱼旋曲线。二、如何用五点法做出正弦函数鱼弦函数的简图呢？ 一般在精度要求不高时，我们可以采用五点法来做函数的简图。这里一般取的是最值点以及曲线与 x 轴的焦点。 三、做函数图像有哪些基本方法呢？正如我们这节课做正弦曲线和鱼弦曲线时用到的两种方法，分别是描点法和图像变换法，这也是我们做函数图像常用的两种重要方法。 这是这节课的作业，请同学们课下完成。最后我想送给同学们两句话，数学是打开科学大门的钥匙，数学是人类思考中最高的成就。希望同学们喜欢数学，热爱数学。同学们再见！

这个视频我来给你讲讲鱼弦型函数的伸缩与平移，总的来说，它和正弦型函数是一样一样的。咱具体来看一下。先看伸缩变换，比如要把 y 等于 coss 变成 y 等于扩散二 x 咋变呢？ 还记得赛 x 的变换吧，在 x 前面成了二，那就是把图像像这样横向压缩。对于扩散 x 也是一样，在 x 前面成了二，也是把图像这样横向压缩。 所以要从外等于抠下 x 变化到 y 等于扩散二 x 就得让所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一。 刚才是在 x 前面乘了二，你已经知道咋变化了。如果我改成在 q 三前面乘以二，你知道咋变吗？还是想想三 x 的变换吧。在在前面乘了二， 那就是把图像像这样纵向拉伸。对于扩散 x 也是一样，在扩散前面乘以二，还是把图像像这样纵向拉伸。所以要从外等于扩散 x 变到 y 等于二倍。扩散 x 就得让所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍。 看来，对于于先行函数的伸缩变换，在 x 前面乘了几，你就把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的几分之一。 在扩散前面乘了几，你就把所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的几倍。好了，看完伸缩变换，再来看看平移变换，其实没啥新的东西，还是这八个大字，左加右减，上加下减。 比如要把 y 等于 coss x 变成 y 等于扩散 x 加四分之派，你就只要把他的图像往左平移四分之派就成。如果 要把 y 等于扩散， x 变成 y 等于扩散 x 再加一，你就只要把他的图像往上平移一个单位就成，确实很简单吧。不过我还是要再提醒一下，如果是把 y 等于扩散， r x 变成 y 等于扩散， r x 加四分之判， 你还得把这个二先提出来，再看平移了多少。显然要得到他的图像，得把 y 等于扩散二， x 往左平移八分之判。总的来说，于先函数的平移还是左加右减，上加下减。不过如果 x 前面有系数，在做左右平移时，技术要先提出。 好了，就讲到这里总结一下。这个视频我就给你讲了鱼弦型函数图像的伸缩与平移，它的变换规则和正弦型函数的变换一模一样， x 前面呈系数就让横坐标变成几分之一，扩散 前面成系数就让动作标变为几倍。至于平移变换，还是左加右减，上加下减。好了，本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧！

yeah shh。

我们就来赋予正弦和余弦函数具体的形象，研究一下他们的图像。我们先来画一画正弦函数的图像。由于二派是他的周期，所以我们只需要零到二派的 b 矩间的图像，还是用列表秒点连线。这三步， 在零到二派的 b 区间内，让 x 去零六分之派、 三分之派、二分之派、三分之二派、六分之五派、派六分之七派、三分之四派、二分之三派、三分之五派、 六分之十一派、二派这些特殊奖 two 公里数的近四值画出点，把这些点用平滑的缺线连接。这种带入函数求职色点的画法被称为代数秒点法。 不过他有个很明显的缺点，那就是五里数使劲撕直后就有误差了，图像就不那么准确了。 为了画出不精确的图像，我们可以采用另一种作图法，几何描点法。所谓几何描点法，就是利用三角函数线来作图。 对于正线函数，它的函数值就体现在正形线上，即有象线段 m p， 即塞尔法，等于 m p。 用几何秒点法来做三角函数图像，一般分为四步。第一步 是等分，在直角坐标系的 x 轴上任取一点 o 一，以 o 一为圆心做单位圆。通常我们将 o 一取在 x 轴副半轴上，这样可以避免单位圆和所做的图像重叠。 然后把单位元十二等分，恰好得到零六分之派、三分之派、二分之派等等，一直到二派这十三个特殊角的东边位置。 第二步是做正弦线，过圆上各分点，做 x 轴的垂线，得到各个角的正弦线，他们恰好代表了对应的三角函数值。第三步是平移八角 x 的正弦线向右平移， 最后是连线，将这些正弦线的终点用光滑的曲线连 接起来，这样就得到了正弦函数在零到二排的 b 区间上的图像。 虽然几何描点法更精确了，但也更麻烦了，所以也不是最常用的方法。这两种做图法都描各十三个点，不过关键点其实只有五个， 分别是与 x 轴的交点零、零派零、二派零，以及图像的最高点二分之派一，最低点二分之三派负一。如果精确度的要求不高，那么找出这五个关键点 连起来得到函数的简图就可以，这就是五点法。可见五点法是简化版的代数秒点法，专门用于做三角函数的简图。 通过之前的学习我们就知道，中边相同的角，三角函数值相同，他们相差二派的整数倍，也就是说二派是三角函数的周期， 所以我们刚才画的图像就是一个周期内的正线函数图像，只要在 x 轴上不断循环，就能得到正线函数的完整图像了。关于三角函数的周期性，超级课堂将在后续的课程中继续详细介绍， 下面我们来看余显函数的图像。当然，你可以用几何秒点法画出他精确的图像，或者五点法画出简图。不过更巧妙的方法是通过诱导公式撒引 x 加二分之派等于空散引 x。 这个式子说明，只要把正弦函数的图像向左平移二分之派个单位，就能得到余弦函数的图像。这两条曲线分别叫做正弦曲线与余弦曲线， 可见正形曲线与余弦曲线的形状是完全一样的，只不过位置不同罢了。 因为正弦曲线的周期是二派，所以除了能向左平移二分派的单位得到余弦曲线， 还能向右平移二分之三派的单位得到余弦曲线。当然，在这个基础上，再移动二 k 派的单位都是能重合的。也就是说，正弦曲线变余弦曲线可以向左平移二分派加二 k 派，或 向右平移二分之三派加二 k 派个单位。反之，余弦曲线变正线曲线可以向右平移二分之派加二 k 派，或向左平移二分之三派加二 k 派个单位。 这两种曲线的位置关系非常基础，同学一定要非常熟悉。

假设我们有一个三角形，他的三边分别为 ab 和 c， 我们称对边 c 所对应的角度为非他余弦定理给出了这四个直之间的关系。为了得出余弦定理，我们从三角形的顶点向底部下垂线得到了两个直角三角形。 黄色三角形的斜边为 b， 这意味着该黄色三角形的高度为 b 乘以菲泰的正弦值，而底边为 b 乘以菲泰的余弦值。因此，蓝色直角三角形的底边长度为 a， 减去 b 乘以菲泰的余弦值。有了直角三角形的图像后，我们可以在直角三角形的两条腿上画正方形，在斜边上画正方形， 这些正方形的面积为 b 乘以 fat 的正弦值的平方， a 减去 b 乘以 fat 的余弦值的平方和 c 的平方。根据勾股定理，我们知道 c 的平方等于 a 减去 b 乘以 fat 的余弦值的平方，再加上 b 乘以 fat 的正弦值的平方。通过代数规则、勾股定理和三角函数的横等式，我们可以得到 c 的平方等于 a 的平方，加 b 的平方减去两个 a 乘以 b 乘以非态的余弦值。这就是余弦定理，意味着我们已经用勾股定理证明了余弦定理。 我们还可以将 fat 等于拍二带入余弦定理中，证明了勾股定理和余弦定理的等价性。如果你想知道当角度 fat 为钝角时，图像是否仍然有效，那么我们可以得到一个三边长为 ab 和 c 对应角度为钝角 fatt 的三角形图。在这种情况下， 我们可以下垂线并绘制一条水平线，构建一个直角三角形。在这个蓝色直角三角形中，我们可以看到一个黄色直角三角形，其角度为拍飞探，因此它的高度为 b 乘以拍飞探的正弦值，底边为 b 乘以拍飞探的余弦值。 然而，我们知道， b 乘以拍飞泰的正弦值实际上等于 b 乘以飞泰的正弦值，而 b 乘以拍飞泰的余弦值为负担， b 乘以飞泰的余弦值。因此，所示的蓝色直角三角形的高度为 b 乘以飞泰的正弦值，底边长度为 a 减去 b 乘以飞泰的余弦值。最后， 我们可以再次应用勾股定理来得到同样的横等式，即 c 的平方等于 a 减去 b 乘以非太的余弦值的平方，再加上 b 乘以非太的正弦值的平方， 这意味着我们可以使用代数运算得出钝角情况下的余弦定理。总之，无论夹角是锐角还是钝角，余弦定理都是适用的。