相似三角形的判定定理有哪些

各位同学大家好，咱们接着学习相似三角形的判定啊，研究一下判定方法。咱们学会了一种判定方法，就是相似三角形判定的预备定理。预备定理的图形啊，分两种情况，那就是用平行线截三角形两边 有一条直线和三角形的一边平行结三角形两边，那么结出一个三角形和圆三角形相似，或者说这条直线结三角形两边的线条线 啊，切出三角形也和原三角形相似，那这条线呢，一定和三角形一边是平行的，那这是三角形相似判定的预备定理。今天呢，咱们接着学习判定两个三角形相似的其他的方法。那么我们类比判定全等的方法，来 研究判定相似的方法。那么判定全等的方法我们学过，有边边边、边角、边角边角角角边，还有 hl 啊，那就是斜边、直角边这样五种方法，那对 全掌三角形。咱们学过边边边的判定方法，那这个方法是三边对应相等的两个三角形全等，那么咱们类比 啊，画了这两个三角形，那这时啊，咱们没法啊，保证三边对应相等，那么我们如果能够保证三边对应成比例， 那就是说咱们如果啊具备这样的条件，就是 ab 比上他的对应边，第一， ab 比上他的对应边，第一 等于 ac 比上的对应边， ac 比上他的对应边是 df 啊，接着再等于必须比上他的对应边， 他的对应边是 ef， 那这就是三边对应成比例，那有这样的条件，我们就可以得到这两个三人相似啊，那就是因为三边对应成比例，然后得到结论就是三角形 abc 相似于三角形 bf 啊，那么这种相似啊，这个方法类似于边边边，那么他怎么正的，咱们就不证明了啊，同学看教材去研究怎么去证明， 那么接着咱们再看啊，类似于边角边，有没有类似的方法？边角边，我们说两个三角形如果具备着两边对应相当，夹角也对应相当啊， 我们学过啊，这个边角边是指的是两个三角形，如果有两边对应相当，而且这两边的夹角也对应相当，那么这两个三角形呢？那么类似于边角边，咱们看这两个三角形两边对应成比例， 那么咱们选两边啊， ab 比上第一等于等于这个 ac 啊，等于 ac 去比上这个，去比上这个 df 啊，那这就是两边对应成比例，然后再加上这个夹角，加上角 a 等于角 d， 那在这样条件下就能够得到这两个三生相似啊，那这是叛逆相似的另一个方法。那么怎么去书写结合同行，就是因为因为 两边对应成比例，那就是 ab 比上第一啊，比上他的对应边第一等于 ac 比上的对应边 ac 比上他这个对应边是这个 df 啊， ac 比 df， 然后呢，夹角夹角是角 a， 角 d 啊，角 a 等于角 d， 那再加上角 a 等于角 d， 这个条件， 角 a 等于角 d， 那就能够得到这两个三角形啊，是相似的，那么写， 所以三角形 a、 b、 c 相似于三角形 d、 f， 那在写相似，这是也是对应啊，点 a 和点 d 对应， b 和 c， b 和 e 对应，是吧？这个点 c 和点 f 对应都是对应的。 那么接着再看，咱们还学过全能的两个判断方法，是角边角和这个角角边，那么咱们观察这两个图形，如果具备两个角，比如说这个角 a 等于角 d， 脚臂等于脚翼，那具备这样的条件，这里边呢和边呢就可以无关，边长点短点都可以，都能保证这两个三相似，那就是说啊，类似于脚边脚 角角边，咱们得到只需两个角对应相当啊，那么这个证明方法也比较简单，这里老师也不证明了，那下面呢，就写上这个定理啊，几个图形写就是因为 两个角对一下呢，这里边咱们举的是啊，写的是角 a 等于角 d， 角 a 等于角 d， 然后呢角 b 等于角 e， 就能得到三角形 a、 b、 c 相似于三角形 d、 e、 f， 那么接着我们再看啊，再看这个判定全等的方法，是对于两个只要三角形来说有 h l h l 的方法，那咱们如果是还是这样画啊，这两个三角形，咱们就无法 把体线和 hl 这种方法对比啊，和斜边这边方方法对比，那所以说咱们下面研究的时候，是需要画两个直角三角形啊，再和这个斜边直角边这个方法对比，得到一个新的判定相似的方法，那下面呢，咱们把它变为， 那下面咱们把它变为什么变为直角三角形啊？变为两个直角三角形，变为两个之后， 太阳这里边啊，咱们坐高啊，这个垂柱比如说是 m 啊，这个垂柱比如说基围 n， 那这时咱们比如说选两个三角形啊，选两个三角形，咱比如说选左边 他这两个直角三角形，那么如果是全挡的话，是指的是两个直角三角形，如果具备斜边对应相当，还有一条直角边也对应相当，那么两个直角三角形前挡，那么大家观察三角形 a、 b， m 和三角形低音 这两个直角三角形。那现在啊，斜边和直角边的无法是对应相当的，那这里边需要对应成比例，那我们写一下啊，对应成比例， 那他的前提呢，需要是具备直角的条件是两个直角三角形，那就是角 amb 等于角 dne 等于九十度啊，角 a， m， b 等于角 d， n， e， 在直角条件下啊，都等于九 尺度的条件下。然后呢，具备斜边和直角边对应成比例，那么选斜边和一组啊，和和一对直角边，这里边咱们比如说选这个 am 和 dn 吧，那么斜边呢，咱们就写上啊，自然是 ab 比上第一， ab 比上第一，那直角边咱们选的是 am， 比上 dn， 当然咱们选这个 bm 和这个 en 也可以啊，这里面咱们选了 am 比上 dn 等于 a， m 这个车道边比常在对应这边啊，对应的这边是 dn， 那这样这两个车才行就能得到相似啊，所以我们就能够得到直角三角形啊。呃， 那么，呃，写的时候写二 t 啊，写二 t， 只要三行二二 t 三角形 abm 就相似于 二踢，二踢三角形是 a， 二踢三型是 d， e， n 啊，写上 d， e， n 啊，咱们得到了啊，这样一个判定的方法啊，咱们这个判定相似的方法叫做有斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似啊，那这是今天讲的这个第四个方法啊， 下面咱们回顾一下今天新学的判定相似的方法啊，那么第一个方法是三边对应成比例，两个三声相似。第二个方法是 由两边对应成比例，切这两边的夹角对应相等，这样两个三相似。第三个方法是只需有两个角，有两个角对应相等，这样两个三相似。第四个方法是 对于直角三角形来说，两个直角三角形如果有斜边和其中一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角相似啊，那这是今天新学的判断相似的四种方法，再加上咱们最初学的判定相似的一个方法，那就是判 判定两三相似的预备定理就是平行结结得的三角形与圆三角形相似，那这样咱们判定相似。咱们学了五种方法，那大家掌握好这五种方法，然后呢，根据其中的条件，选择适当的方法来证明两个三相似。 关于相似的这几个判定方法怎么应用接下来课程呢？老师给大家再举例子啊，再讲解怎么用这些相似的判定方法，听懂的同学点赞关注， 继续和老师学习相似三角形判定方法的应用，谢谢大家，再见！

哈喽，大家好，今天我们来讲解相似三角形这个专题啊，相似三角形呢，可以说是初中数学里面几何应该是最难的知识点，他比那个圆还要难一点。 呃，但是呢，如果大家全面系统的学习过我之前讲解的全等三角形这个专题的话，呃，再来理解箱子三角形就会容易一点。那我我这个专题呢，一共是分为这五个部分，第一个部分是 定义以及判定定理，这个是一些啊，比较基础知识点。第二个模型探究，这是本那个专题的一个啊，重点内容啊。模型探究呢，我列举了这个相似三角形的十大模型， 以及他们模型的一些拓展，大家学会了这个几个模型，对于你理解啊箱子三角形来说帮助非常大。第三个是解题技巧，第四个是独家秘籍。我为什么要出这么一个独家秘籍呢？是因为我发现啊，大家， 呃，掌握了前面这几个知识的哈，你到这个中考做中考真题，做题的时候还是有一定的距离， 那就是大家有一些啊，做题的技巧方法还是不太会，所以呢，我就出了这么一个独家秘籍，希望对大家有用。第五部分就是我们拿一些 中考真题啊，去给大家去讲解。好，我们来先看第一部分这个定义以及判定定点啊，说起相 四三角形呢，大家啊，脑海中会浮现哪些啊标签或者关键词呢？大家想想 是不是难度比较大啊，占比比较高啊，中考必考啊，不看答案就找不到这两个三角形相似，对吧？一看答案，哦，原来这两个三角形相似，不看就找不着，另外呢，不会做辅助线，三角形往往出现在什么呀？压轴大题，对吧？ 每每个亚洲大体都会出现这个相似三角形。好，那我们具体来讲解一下这个相似三角形啊。讲解相似三角形之前呢，我们先来 看看什么是这个相似图形。大家看第一个形状相同的图形就叫做相似图形，对吧？假如说这有个图形， 大家看上面是个圆弧，下面是个三角，对吧？那这两个图形是不是就是相似图形啊？形状相同，对吧？ 那相似多边形呢？如果两个边数相同的多边形，他的对应角相等，对应边成比例，那这两个多边形就叫做什么呀？相似多边形，对吧？我随便可以画一个。 那相似多边形对应边长度的比就叫做什么呀？相似比或者叫什么呀？啊？相似系数。 好了，大家理解这个箱子图形之后，再来理解箱子三角形是不是就比较好理解了？它对应是什么呀？对应角相等，对应边成比 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形啊，对应边长度的比就叫做相似比跟相似系数啊。如果相似比是一比一，那这两个三角形怎么样？全等，对吧？这就是咱们讲解的全等三角形。 好了，那我们来看一下相似三角形的这个判定定理，其实他跟全的三角形是一模一样的，对吧？第一个，两角对应相等，那这两个三角形就是相似，我们在全能里是什么呀？是不是 asa 或者是 as 呀？ 对吧？好了，到箱子这之后直接就是 a a 就可以了，对吧？不用这个了。好， 第二个是什么呀？两边对应成比例，且夹角相等，那这两个相字两个三角形相似，对吧？ sas 这个是不是跟我们那个全字三角形也是一样的？另外一个啥？三条对应边成比例，这两个三角形相似，是不是跟我们全等里面 s、 s 是一样的？第四个，在直角三角形当中，斜边和一条直角边对应成比例， 那这两个直角三角形相似 h、 l， 对吧？所以看相似三角形判定跟全等三角形是不是一模一样啊？对吧？只是这两个合二为一了，变成了这个 a， 对吧？我相信这个也比较简单，大家可能都会， 那我们来看一下这个箱子三角形的性质好，它有哪些性质呢？我们看第一个箱子三角形对应角相等，对应边成比例， 这个是我们这个定义，对吧？这个大家应该都比较清楚。那第二个呢？相似三角形对应高的比，还有对应中线的比，还有对应角平分线的比，都等于相似比， 这个估计大家也都知道啊，但是呢，这个这条非常非常的重要啊，为什么呢？就是我们比如说在做题的时候，经常会碰到这两个三角形 是一个相似关系，对吧？如果他做的高，都是做的高，对吧？好，那是不是 小的这两个三角形他也是相似啊？左边是不是左边这两个三角形是不是也是相似的关系啊？因为我知道大的三角形相似了，我又做的高，那左边这两个三角形是不是也相似啊？这个就是咱们在做 做题的时候要灵活去运用的好。第三个什么呀？相似三角形的周长比等于相似比啊，这个也比较好理解，对吧？既然你三条边都相似了，对吧？你加起来就是周长，周长之比是不是也等于相似比啊？ 第四个是什么呀？这个相似三角形面积之比是不是等于相似比的平方，对吧？这个大家估计也都知道，为什么是相似比的平方，对吧？ 底乘以高嘛？二分之一底乘以高，对吧？底是一个箱子比，高也是个箱子比，那他们的面积比是不是就是平方呀？所以这个也比较好理解，大家也都应该知道。 好了，另外还有一个叫什么呀？类似图形，这个呢，因为考试比较少，大家只需要知道他的一些 概念就行。说如果两个图形不仅仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这两个图形就叫做什么呀？类似图形，对吧？这个点叫做类似中心他们的比，相似比叫做什么？类似比？大家看这样个图，是不是 他们的所有的点最终汇集到一点了，是不是？好，那第二个什么呀？类似图形一定是相似图形，对吧？ 但相似图形呢？不一定是类似图形啊，类似图形具有相似三角形的所有性质，其实类似图形就是一个相似三相似图形的一个特殊情况，对吧？ 好了，类似类似图形的这个对应边相互平行或者贡献。第四个什么呀？类似图形上 任意一对对应点啊，到位次中心的距离之比，就等于相字比，对吧，比如说这个 a 到 o 的距离跟这个 a 一撇儿到 o 的距离，是吧？也是相字比啊，所以 v 字图形呢，大家只需要啊了解一下啊，知道它的概念是什么就 ok 了。 好了，那相似三角形到底有哪些应用啊？或者是会有哪些考题啊？首先第一个什么呀？在几何题目当中对吧？经常让你求解线段的长角度，或者让你就求证这两个三角形是相似 啊，如果遇到这种题，大家知道啊，如果是这个，直接让你求证这两个三角形相似，还相对容易一点，对吧？题目都告诉我们，让你求这两个三角形，你只需要找到这个，根据定理 找到就行，但往往难度比较大的。什么呀，一般都让你求线段对吧？求线段或者是求角度，题目呢，当中呢，根本就没提到相似三角形，但是你还是需要用相似三角形的知识去求解，这种题往往难度是最大的。 好了，第二个就是什么呀，经常有很多的应用题，我们利用箱子三角形的一些性质，对吧，求物体的宽啊，高啊等等。大家看这个图，我们经常用箱子三角形求和的宽度，对吧，或者求这个塔的高度， 还有这个的高度，经常我们在应用题当中都会出现。好了，这就是整个箱子三角形的第一部分啊，定义以及判定定理相，相信这一部分呢，大家应该都非常 好理解，而且要求大家必须掌握，对吧？你一定要知道三角形相似三角形定义是什么，他的判定定理对吧？有哪些，然后他有哪些性质？好了，那第一章节就讲到这里。

大家好，今天我们继续来讲这个初三数学的相似三角形的性质和判定啊。嗯，然后先讲什么呢？这部分分成三个内容，第一个是定义和性质，第二个是判定定理。最后一部分呢，我会讲一下这个中考的一道比较复杂的大题吧，来看一下啊。 我先说一下三角形相似是平面结合中非常重要的内容，是中考数学中的重点考察的内容。近几年中考题呢，虽然是直接就是证明这个相似为结论的题目呢，他确实在减少很多地方直接考察相似就是不考察其他知识点的大题呢，几乎是没有了， 但是他在那个平面积和综合大体里头，在那个平面积和压轴大体里头，是作为解决大体的工具而出现的，所以他还是必不可少啊，应用非常广泛，跟这个全等三角形啊，平时随便性联系非常紧密。那好，咱就 我来讲第一部分吧，这个相似三角形的定义和性质。定义的话，先说一下什么叫相似图形，相似就是形状一样的图形，我们就把它叫做这个相似图形，然后这个相似多边形的话，延伸一下， 我们把形状相同，大小不一定相同啊，然后也可以相同，也可以不同。大小是这样的， 你如果说大小一样的话，全等全等是包含在相似里头的啊，如果两个图形相似的话，那么这两个图形有可能是相等的，但是反过来，如果两个图形他是全等的话，那么这两个图形一定相似，所以说大小的话可以相同，可以不同形状相同的两个图形，两个多边形就有相似多边形呗， 相似三角形的简单定义，也可以这么来说，形状相同的两个三角形叫做相似三角形。但是准确定义的话是这样来说的啊，多应角相 啊，对应编成比例的三角形叫做相似三角形，那最少的话，肯定得有两个才能叫相似了，对不对？然后相似三角形对应边的笔呢，叫做相似笔。一般来说，这个相似笔的话，我们一般用 k 来表示啊，当然别的也可以。什么意思啊，我先说一下啊。 嗯，比如说拿下边这两个三角形为例。首先我说一下相似的技法是什么样。全等的话大家都知道了，因为初二已经学过了三角形 abc， 如果说下边这俩图形全等的话，是用这样一个符号来记得，然后全等于三角形 d、 f， 但是下边这两个图形他不全等啊，那相似肯定有专门的符号，我说一下 相似呢，英文单词我现在大家都是知道的， s i m i l a 二相似吗？对不对？所以说用一个 s 躺着打 s 就行了。那下面这两个图形的话，我们这样来记 三角形谁三角形 abc 相似啊，原来是一个躺着的 s 就可以了。相似于三角形 d、 f 好，这是相似的技法， 那么这个对应角相当，比如说一般来说我们会对应好的啊，按照定点顺序，角 a 和角 d 是对应的，角 b 呢？和角 e 是对应角 c 和角 f 是对应角， 那对应边乘比例还得满足什么？对应边乘比例的意思，他是应该这么写的。然后这个笔直呢，叫做 k， k 呢，一般叫做什么叫做相似笔啊， 当然你不用，可以用别的字母写也行啊，这个叫做相似笔，一定要记住是前头他的边比上后边的边，也就是说是左边的三角形比上右边的三角形，你千万不要倒过来了，倒过来就变成 k 分之一了。相似笔是左边这样一个三角形比上右边这个三角形，是这样规定的。那接下来我们继续讲啊，那相 三角形的性质有哪些呢？就以下这些定义里头，时间已经告诉你很多了，相似三角形对应角相等为对应边成比例，这个其实就是定义反过来说的啊。好，第一点是由定义得出来的， 那么来看这第二点，第二点的话也直观上认知也确实是这样的啊，如果两个三角形相似的话，那么他的对应的高什么呢？对应边上的高，对应边上的中线和对应角的角平行线的长度呢？都是等于相似比的，他这样的比值。但是第二点需要证明， 我单独拎出来。第二点需要证明的意思就是说，除了第二点啊，这个括号一，括号三，括号四都是可以直接用的，都是可以当成定理的。那面积比等于相似比的平方是怎么得来的？比如说啊，我们写 e， 因为这个三角形 abc 相似于三角形。第一呀， f 这个没问题吧，那相似的话，他这样的相似比，那看了啊， k 等于什么？ k 的话等于 ab， 对应边比上第一啊，这是相似比，那么他的面积比就左边这个三角形 abc， 我写上吧。 那闭上右边这个三角形 d f 面积之比的话，一定是等于 k 的平方啊， k 的平方为什么会这样？因为你对应底边的比值已经是 k 了吧。那对应高的比值还来一个 k？ k 成 k， 所以就有 k 的平方，你自己很容易推出来的啊。那我们还是说一下， 对于括号一，括号三，括号四，这三点确实可以直接用。怎么用？直接写出来，不就是右边这样一个图吗？对吧？好了，因为相似，所以说对面成比例直接写就行。因为相似，所以说面积之比就是相似比。直接写，因为相似，所以什么呀？所以说面积之比是相似比 k 的平方。 哦，原来是相似比的平方，这三点都是直接用的，因为所以。完了。那后边呢？第二点的话，对应的高 中线，角平线对应三线。嗯，咱们拿哪一个正呢？因为对应高线的话，他可以用面积法来正。那我们用一个比较普通的，我们来正一下这个中线吧。那怎么正呢？以致求正写证明两个字啊。这个角壁和角异角度相等吧。因为相似，所以角度肯定是相等的，这个是没有任何问题的，对不对？对应角相等，相似三角形。 那其次他对应边成比例的话， ab 和谁啊？ ab 和 d 也确实是成比例的。那再继续说，因为 b c 比上谁？ b c 比上 e f， 他是等于相似 bk， 这个没问题吧。那二分之一比上二分之一 f， 不也等于相似 bk？ 你说二分之一 bc 不就是 bm 的意思啊？ bm， 然后有了 bm 以后的 再来一个 e n。 好，那我知道了，其实很好写吗？根据我们刚刚整出来的好说看了啊， b a 比上谁？ b， a 比上 d， e a 一个是三角形 a， b m， 一个是三角形 d， e、 n， 这两个三角形里头角是相等的对应边，你看夹着这两个角的对应边是成比例的， 两组边对应成比例，且中间夹角相等，所以三角形相似。我们一会会讲到这样一个判断定律，那根据相似最后不就得出来了吗？所以说他是需要证明的，懂了吧？所以说三角形 a、 b 谁？ a， b， m 相似于三角形 d， e、 n。 那最后一点我们直接说，所以说 a m 比上 d、 n 的比值，他就是等于 a b 比上 d， e， 不就是原来相似三角形的相似比 k 吗？然后就正完了啊，就是这样来正的，我们继续往后来说啊。 嗯，来讲几道例题看第一道，第一道例题他这么说啊，在平四边形里头，这个 ab 是十啊，那当然 cd 也是十了，然后点 e 是中点， ab 是六，跟他好说，你这条边是六的话，中点呢？他不就只剩下三了吗？ 嗯，好了，十和三，然后他说什么呢？说哪两个三角形？一个是这个三角形 bfc， 一个是 dec 啊，这两个三角形是相似的，那相似的话，我们得找一下对应边对应角，那好说了，角必必须是对应角，你想想，为什么？因为这两个角相呢嘛，角比较低啊。 那这个 bc 的话，他是谁啊？ bc 的话他的长度当然是六了。然后问你 bf， 这好说吗？那既然因为三角形 cbf 是相似于三角形 cd 的，所以说 b、 f， 他的对应边是谁？你看嘛， bf 对应边当然是后边对应好点点顺序了。 bf 比上第一 等于多少啊？ b f 比上 d， 他是等于 bc 比上 cd 的。那最后你看我们不就求出来了吗？ b f 比上几啊？ b f 比上三等于六，比上十，所以说 bf 等于十分之十八，那不就是一点八，所以选四 d 就可以了啊。来看第二道例题， 第二道例题的话是这么说的，他是一道中号题啊，比较简单，两个三角形是相似的，并且告诉你这两个角，哪两个角啊？ 这两个角叉是相当的，然后他说呢，这个 ade 里头他怎么样？他的零边啊，夹着角叉的这样一个零边，他的边长分别是 d， e 等于四， a， e 等于五啊，然后他要说什么呢？接下来我用蓝笔来一标，其实你就会了， 看同学们，他说这个 bc 呢，是等于八的，然后问谁啊？然后问这样的，哎，这个 ab 的长度是多少？那好说，因为相似吧，所以对应边长比例吧，也就是说谁呢？也就是说你这个 ab b 上 a， 他一定是等于 b， c 比上 e、 d 的，然后把这些纸 b， c， e， d 都知道了啊，还有包括 a、 e， 那就剩下 a， b 不知道，你带入数字一算，所以说 a b， 最终他不就算出来了吗？他的长度呢，是正好等于十的，然后就算完了啊。我们看一下，答案， 果然是对的，来继续看啊，判定定理，判定定理的话，很多同学只记得三个，其实有四个，我跟你说一下，经常忘了哪个？咱经常忘了第一个，第一个是教材上就有的啊。 第一个定理，判断定理怎么说？他这么说的，平行于三角形的一边的直线和另外两条边相交所构成的三角形和原来的啊，这擦掉这个字和原来的三角形相似什么意思？画一个图你就知道了啊。看了啊，看我画的这样一个图， 这样来用啊，这就是判断定理啊。第一个，这是教材上有的原话， mn 平行于 bc， 由平行得相似直接写就行啊。其实他跟咱们上节课想讲的什么讲的平线等比例分析呢，是有关系的。所以说三角形 am n 他就相似于三角形 abc， 这可以直接用，这就是判定定理来看第二个啊， 第二个，第三个，第四个的话就是常见的这几个啦，你一般都会记得，第二个的话是两个角对应相，你两个内角都对应相同了，第三组内角肯定也相同，因为三角形的内角合适固定的一百八十度， 两个角两组角是不是相等了？比如说角 a、 角 b 和角 d、 角 e 分别是对应相等的，对不对？然后角 c 和角 f 肯定也相等，所以我们只需要两组内角，不需要三组，因为两组内角相等以后，第三组内角一定是相等的，这个好说，不多说了啊。第三个， 两组边对应成比例写，中间加有相当，这不就刚才我们证明那样一个中线就是成比例的时候对不对？成比例的时候用的边角边，这个类似的边角边，但是你不能写边角边啊。然后看第四个，三组边对应成比例，这个是最容易写的。三组边对应成比例什么意思啊？看右边这个图，因为 ab 比上第一 等于 ac， 比上 d f 等于 bc 比上 e f， 这个时间就是相似笔。 那既然三组边都对应这样成比例了，所以我说什么？所以说三角形 abc 相当于三角形 d f。 原来如此啊，就是这样用的。所以说判定定你记住了，一定是四个。不是说三个的啊，第一个尤其要记准了啊，平行是可以直接得出相似的。 我们还是练习几道例题。先看第一题，看起来图还是挺凌乱的，但是呢，不难看了啊，如图在正方形网格就是他的大小一样，正方形网格有六个三角形一二三、四五六啊，六个三角形，比如说一就是这样一个，然后二的话就是这样一个啊，你都能看出来， 然后他说呢，跟这个三角形一相似的是。哎呦，三角形一是谁呀？咱就不说一了啊，因为 一的话跟本身是重合了，除了一之外，跟他相似有谁？那现在我们观察一下三角形 abc 啊，他的三条边，我们一算就算出来了一 根号二，然后呢，他的第三条边，这个 bcbc 的话是根号五吗？一比二比根哦，一比根号二，比根号五啊，我只要符合这样的三门笔直就行了。这个呢，我一看就知道选比了，为什么你三条边都算出来，比如说我们拿这个谁呢？拿这个五来算一下 来，同学们告诉我，圈五他的三条边长是多少？三条边长分别是根号二、 二，还有一个是根号十吧，你比完以后，除一个根号二倍约分一下不就变成了一比根号二，比根号五啊，三组变对应成比例，你说相似不相似，所以说圈一和圈不是相似的，这个题直接选 b 就行。好了，我们继续讲第二个，第二个例题做 也简单。看好了，上边我们用的是哪个呀？用的是类似于，这个不能叫边边边是类似于啊三左边对应成比例得出来的。那第二题换了，他这么说， 读完题啊，你自己读一下题，读完题之后的话，他这么说的，他说呢，点屁必须在格点上，注意啊，点屁必须在格点上，什么叫格点？就是交叉的这些点，这些点才叫格点。你如果在这个空白部分，他就不叫格点上，必须是在格点上。 然后问这个格点点皮的坐标，那 abc 的话我们研究的很清楚了呀，他的笔质是什么？他是一个直角定角形斜边。哦，那我懂了呀， 一九十度二什么意思？就是说这个直角三角形，他夹着九十度直角的零边比直必须是一比二，也就是说三边比直必须是一比二，比跟号五为这样一个比值。那接下来还是好说的 啊，如果你以 ab 为斜边的话，你想一个问题，同学们，如果你以 ab 为斜边做一个直角三角形，让他的什么？你如果以 ab 为斜边，我们可以把这样的圆画出来， 因为 ab 为斜边的话，那 a p b 不就是九十度吗？对吧？ a p b 九十度，然后此时这个点 p， 你是可以发现点 p 是不在这个格点上的，所以不行。那必须怎么样？ a b 他就只能是直角边， 直角边还不能全等，是不是？比如说点 p 和点 c 重合收，不行，人家不能包括全等情况，人家输了全等出外，那完了，那只能是这样了，只能是这个 p a 比上 ab 等于二比一了，不能写一比二，你要一比二的话就全能了，不行吧。所以此时，哎，点皮出来了，这不就行吗？这个红色的三角形可以吧？所以说点皮的坐标有一个一到四那桶里 我非得这样画呀。那我把这个点 p 写到三的号四这个点上，可不可以？也可以吗？所以说的话是有两个一的号，四和三的号四没问题啊。来看第三道题， 第三道题的话是新疆中考一道题，难度不高，这么说他说，首先这个角 c 和这个角 e 呢？他是九十，你九十度的话，再加上这样的对等，你看是不是两组角，怎么样？两组角你看又用的是了两组角相等了。那么这两个三角形我们就直接写了三角形 abc， 他就是相似于三角形 ad e 的。哦，原来如此啊，还是挺简单的。然后他问你 ad 等于多少？好说咱们标一下啊，这个是三，然后 bc 是四三四五，勾股数不就出来了吗？然后 ae 是二，哎呦，根据比值我们就算出来了。所以说 ad 斜边等于多少？等于二乘那个比值 三分之五，所以最后答案是三分之十嘛，横线上写这个三分之十就行了。那我们看一下答案哦，果然呢，我们做的这三道题都是对的，答案就是他。那继续往后啊。 第三点，讲一道中考真题，这个题的话是大题啊，有一定难度。倒角还是挺复杂的，两问第一问就已经有难度了，看， 他说的是在直角梯形中。首先呢，哪个是直角啊？角 b 角 a 是直角呗，上下这个边是平行，所以说是梯形啊，直角梯形。然后他说呀，说什么点意是底边上的一点。最关键的地方来了，这是一个折叠对称的问题。看了啊， 将三角形 abe 沿着直线 be 折叠点 a 落到了对角线 bd 上啊，注意点， a 落到了 bd 上啊，是这个意思，然后接下来什么呢？他说呀， 那延长 eg 之后点这个时间，你写上 a 片也是没有问题的。延长这个 ea 片之后跟这个 bc 这条边交易 f 啊，就这样一个图，那么接下来怎么证明证明呢啊？你想想，这个图中他给你数字了吗？就是说某一条线段长度吗？没有，一个数字都没有啊。 那如果说没有数字的话，强烈提示我们要证明这个全等呢。证明这样一个相似的话，我们就只能去倒角了，是对不对？两组内角，那就倒角啊。这个题就是看你怎么去倒角的，目的已经很明确了。那怎么倒角？我先用红笔倒一下角啊。 嗯，怎么标？图中这个九十度非常多，首先是直角跟角形，其次你折叠之后的话，这样的对应角是不是也是九十度啊？角，这和角也是对应角是吧？所以既然图中这个对应角就是九十度，特别多的话，我用圈和叉互余的关系来倒角。 哈喽，同学们，你千万别眨眼，一定要跟上了。来，这两个圈为啥相等？这两个圈本来就相等，因为全等吗？三角形 a b e 和三角形 a b e 啊。那行，那既然说全等的话，那根据呼吁关系，你这不是直角吗？角差，角差。哎，好说，这两个角差， 那我还要继续到了。那两倍的角差和角圈是什么关系啊？那两一个角圈和一个角差，那两个角圈和两个角差不就是互补？ 懂了，我根据互补关系来倒一下角，右边这样一个角也是角第一，这应该标什么？两个角互补的关系吗？两个角圈注意中间点个点啊，要不然你就区分不清楚，看成二十了。 那再根据平行哎，看一下这个位置，也就是说下边画圈这个位置为什么也能标这个两个圈啊？因为平行 上下这两个圈，这两个角他是什么角？是内搓脚相等，平行内搓脚相等段，当然是两个圈了，倒出来了，那再继续呗，再继续倒角就好说了。 看了同学们，这个是直角，肯定是没毛病的。所以说我下边这样一个角根据什么关系啊？根据后移的关系，一径九十度 减去两个圈没问题吧？好，也就是说下边这个角是九十度减去两个圈。哎呦，那接下来我一画你就知道是怎么回事了。看我的蓝笔啊。 来，同学们，请大家告诉我，角 ebf 他等于多少？等于九十度减两个圈，减两个圈你还得加上一个圈，所以说是九十度减一个圈没问题吧？倒出来了，还有谁呢？我还要倒一下，那 ebf 这个角倒出来了，接下来我再问一下， 这个角 b aj 这个角是多少度啊？哎，这个 b aj 在哪呢？我还是用蓝笔来标一下看好了。图中这蓝色的 b aj a 这个角，哎，这个角我就想问了，为什么他也是九十度？好说， 因为你是对称的吗？对称的话，你想一想，对应点点 a 和点这对应点连线和这个对称轴和这样一个折痕是垂直的吧，所以这不也倒出来了吗？哦，那我明白了，原来他也是等于九十度减去这个圈啊。角 eb f， 他就是等于角 b a j 的， 是不是倒出来一组角了？但是光一组角不行，得两组角，是不是第二组角？我们继续看啊？好了，现在已经到了一组角，那第二组角得怎么办呢？再看 ab 制啊，这 abc 这个角的话是多少是两个圈？哎呦，这个没问题，刚才这样一个三角形里头，他不也是两个圈好吗？ 所以说很简单啊，我们现在得出来了，刚才经过复杂的一些倒角，得出来这个角。首先角 abc， 他是等于角 b、 f、 e 的，因为他都等于两个圈吗？这是没有问题的，再加上刚刚我们倒出来的这个角 b、 a 制是等于角 fbe 的，这个是刚刚倒出来的，所以两组那角都已经相等了，你说三角形相似不相似？那肯定相似啊， abg 相似于三角形 bfb。 所以这道题的难度主要是在哪呢？主要是在倒角上这个括号一，我把详细过程给你展示一下，你看一眼就可以了啊，就这样来写这个过程啊，那我们继续来看什么呢？继续来看这个括号二， 宽二，你挣的是什么呀？他给长度了。宽二，他说这个 ab 呢是三， ab 呢是四。哎呀，那好说，你 四的话呢，我 bd 肯定是五了，这个好说呀，对吧，只要你要选里头，很容易算出来。这个 bd 呢，他是等于五的。勾三股四减五吗？ 那说完这些之后的话，大家要注意了。注意什么呢？他让你求的是必死的长度，什么时候呢？当四边形，当这样一个四边形，异地 cf 是平行四边平行四边形好说，平行了吧，你四 f 和这个异地本来就平行，你只需要让这个异地等于四， 那其实我是知道的，他让你求这个 b 四的长度，我把 b 四分成两部分，我第一步求谁？我先求这个 b f 的长度，没问题吧？ 我第二步呢，再求一下这个 cf 的长度，但是一看呢，你因为是平行字变形，这个 cf 肯定是怎么样的？这个 cf 肯定是等于第一的，所以相当于求这个第一，我们分别来求就行了。思路很明确吧，看第一点啊，这 bf 怎么去求啊？ 好球，你注意，折叠的时候，我们图中一开始啊，如果没有限制条件的话，其实就只有点 e 这样一个点，一个洞点，所以我们应该怎么样啊？我们应该假设这个 ae 的长度等于 x， 注意，假设 ae 的长度等于 x， 那 a 长度等于 x 的话， e 这长度也是 x。 图中我就直接标了啊。那根据直角，根据直角好说吗？因为角地是一个角，差是一个公共的角。那接下来其实就非常简单了，我们只需要干嘛？只需要写 这个三角形，谁？三角形？ dj？ e 是箱子与三角形 d a b 的。 嗯，然后接下来，那你就写呗，对应编成比例。这个是 x 啊，那既然是 x 的话，咱就写这个 x 和三谁呀？ ej 和这个三是互为对应边，所以我当然要比一下。那比完之后的话， 还有谁？还有这个 d e， 笔上这个 d b 也是有的，这个 d b 我就直接写成五了，那个 d e 怎么办呢？ d e 号说四减去 x， 那根据这样一个式的话，我就不信你算不出俺这个 x 了。 x 等于多少啊？很好算， x 算完之后的话，是等于这个二分之三的。好嘛，我已经算出这个二分之三来了， 但是我们这道题核心在于算谁呢？要算这个第一，那其实第二个一不小心就算完了啊，第一我就直接往后边写了，第一的话不就等于四减去 x 也就是 cf 吗？他是等于二分之五，好了，算出他来，但是大家别忘了，我们最终是不是还得求这个 bf 啊，现在就来讨论一下怎么求这个 bf。 哎呦，你别忘了啊，这个角是不是直角？这两个边互相互相垂直的话好说，我标两个三角形，看图中啊，一个是三角形异地坠，一个是三角形边，哎呦，这两个 三角形怎么样？他是相似的，那既然这两个三角为什么相似？直角不用说了吧，对，零的角差相当好，两组好，那得出来这个三角形 egd 相似于三角形 fjb 之后呢？我们是可以推出来谁的长度，我们是可以推出来这个 bf 的长度呢？上下比值你还比不出来啊， 为什么呢？这条边我们算出来是二分之三，那下边这条边也是能够算出来的，或者你标别的长度也可以。那看了啊，嗯，看这个 bg 的长度是多少啊？ bg 长度已经说出来了，你折叠之前是三，折叠之后也是三，然后，哦，三比二。原来上下这两个三角形他的相似笔是二比三啊， 根据二比三这样的比值，你肯定可以算出来这个 bf 他其实就是等于二分之五乘上那个二比三，对吧？二分之三最终等于四分之十五好吗？那两组边 是不是都算出来了？所以说最终的长度这个 bc 呢？此时他是等于 bf 加上 cf， 那其实就是四分之十五加上二分之五，那最终的话是等于四分之二十五的。然后这道题呢，就算完了。我们来看一下啊，详细过程呢，给你展示一下。过程是这样写的 好了，最终不就是四分之二数。果然我们的答案是正确的。所以这节课你学会相字三角形的判定，还有性质喇叭分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见。

哈喽，同学们好，今天我们来讲讲如何学好初中的相似三角形。相似三角形，这可是中考中的大 boss， 不管是基础题还是压轴题都有它，还是四个要点，赶快拿出笔记本吧！第一个要点，相似的本质是什么呢？是放缩。那什么是放缩呢？顾名思义，一个图形放大或者缩小之后能和本身重合。 我们在学全等的时候知道，全等意味着两个图形能够完全重合，那么相似意味着放大或者缩小之后能够完全重合，这就是相似的本质。我们知道所有的圆都是相似的，所有的正方形也是相似的， 那如果两个三角形是相似的，意味着他们的对应角都是相等的，对应边呢？要成比例，为什么呀？放大或者缩小一定比例之后，要保证两个图形能够重 融合。看起来相似的本质很简单，为什么在题目当中那么难呢？在题目当中，相似三角形可能不止一对，有很多对，而且他们的位置关系变化多端，这就需要我们同学们有火眼金睛去找出他。怎么找呢？就是我们。第二个要点，相似三角形的判定定理。 我们在学全能三角形的时候，学过判定定理，对应的还有他的性质定理。同样的，相似三角形也有判定和性质，这两个都是非常重要的，但是最重要的是哪个呢？显然是判定 和判定定理相比，相似三角形的性质是比较简单的，也就是如果两个三角形相似，他对应的高中线、角、平分线、周长和面积都和他的边有一定的比例关系。判定定理需要掌握的有五条， 第一个是他的预备定理，那类比全等三角形的判定，他还有 s a s s s s 以及 a a a a 是什么意思呀？只要有两个角相等，两个三角形就是相似的，这个是最重要最重要的判定定理。最后还有一个和全等三角形相似的 hl 定理，这是用在直角三角形相似里面的。 我们在记住五个定理的时候，要类比全等三角形， 有了这五个定理，我们就万事大吉了吗？不，由于相似三角形变化非常灵活，我们还有第三个法宝，那就是 相似模型。如果你到网上随便搜，就可以搜出很多相似模型的总结，至于老师就不在一一点出，老师前面的 视频也总结了很多模型最重要是同学们要自己整理画一下，这些模型只有自己画过，在做题的时候才能真正用起来。掌握了这些模型，我们做题速度就快多了，但是这些模型并不能帮你解决所有的问题， 为什么呀？我们在遇到熟悉的问题的时候，模型可以帮我们快速找出相似三角形，但遇到陌生问题的时候，思维定式往往会阻碍我们， 这个时候就还是要回到第二条，我们最基本的叛逆定理，老老实实的去找相等的角。叛逆定理里面最重要的就是 aa， 也就是有两个角是对应相等的，两个角对应相等，这种变化太灵活了，怎么去找相等的角就成了关键。 我们学平行线的时候，有同位角、内侧角相等， a 可以找相等的角，等腰三角形，很显然有两个角是相等的，也可以 去帮我们找相等的角。角平分线不用说了，一个角被平分，那平分出来两个角肯定也是相等的。还有个特别好用的外角定理，在倒角的时候简直是无往不利， 还有个省略号。所以说为什么相似三角形难呢？因为要结合的知识点太多了。最最关键的是什么呀？要找相等的角，相信从这四个角度把握，同学们一定可以学好相似三角形。

我们来看相似三角形的判定定理三，他说三边对应成比例，那么这两个三角形相似，也就是说在这两个三角形中， a、 b 比上 a 一撇， b 一撇等于 a， c 比上 a 一撇， c 一撇等于 b， c 比上 b 一撇， c 撇，这就是三边对应成比例，那么就会得到这两个三角形相似了， 他三边可以类比全等三角形的判定里边的边边边，也就是 sss。 我们现在来看一下这个定理是怎么证明出来的。 第一步还是去在大三角形上截一个小三角形出来，截的时候我去截取 ab 两撇等于 a 一撇， b 一撇， a c 两撇等于 a 一撇 c 一撇。好了，因为题目说这条边比上这条边等于这条边比上这条边， 其实就是在说这条边比上这条边等于这条边比上这条边， 对不对？其实就是就是这一个步骤啊，就是这一个步骤，那么这边比这边等于这边比这边显然就得到了 b 撇、 b 两撇、 c 两撇和 b、 c 的平行，对不对？得到了这个平行之后，根据前面的预备定理，因为平行所以相似， 于是我就得到了结出来的这个小三角形和这个大三角形他们是相似的。那我最重要证明的是这个三角形跟这个三角形相似，我只要正到这个三角形跟这个三角形全等就可以了。好，接下来这两个三角形的全等。 首先我们发现，因为结的边相等，所以这条边等于这条边，这条边等于这条边，因为这里边不涉及到角度，所以呢，我应该想办法去找到第三条边，就是这个 b 两撇， c 两撇和 b 一撇是一撇，如果也相等，那么根据边边边这两个三角形就圈在那这个地方，一样的，根据前边的这个所学的比例线段里边的知识， 这个这条边比上这条边会等于这条边比上这条边，他也等于这条边比上这条边， 然后他也等于这条边比上这条边。因为对应成比例嘛，就是刚才的这些笔直，其实全都是一个定制 k， 对不对？所以这条边比上这条长边，等于这条边比上这条片长边，他们的笔直都是这个 k， 对不对？所以呢，你就会发现这两条边长度相等，其实就是这样一个式子，传递过来之后，你发现这边 bc 和 bc 相等，那么这个 b 两 pc 两撇和下面的第一撇 c 一撇就会相等，那这两条边也相等，这两个三角形自然就会全等，全等之后这个三角形就会和这个大三角形相似，好得正。

哈喽，同学们大家好，我是栗子老师，一日不见，甚是想念。今天我们来学习相似三角形的判定。第四课时两角分别相等的两个三角形相似。好，还是先来看一下本节课的学习目标。 第一，我们要理解定理，两角对应相等，这两个三角形相似。第二，我们能够灵活的选择定理来判定两个三角形相似。因为前面我们已经学习过了 多个判定三角形相似的方法，那么在遇到一道题的时候，我们要学会灵活的去选择合适的方法来判定这两个三角形相似。 好，我们来看新课讲解两角分别相等的两个三角形相似。 好，那与同伴合作，一个人画三角形， a、 b、 c， 另一个人画三角形 a 撇， b 撇、 c 撇，使得角 a 等于角 a 撇，角 b 等于角 b 片。 探究以下问题。问题一，我们来度量 a、 b、 b、 c、 a、 c、 a 片、 b 片、 b 片、 c 片、 a 片、 c 片的长，并计算出他们的比值。你有什么发现？ 是让我们量出我们 a、 b、 b、 c、 a、 c 以及这 a 片、 b 片、 c 片以及 a 片的长度，并计算一下他们的 b 值。 a、 b 比上 a 片， b 片， b、 c 比上 b 片 c 片， a、 c 比上 a 片、 c 片。啊，那在这里呢，老师就不一一的去度量了，同学们可以动 用手操作一下，我们发现咱们 a 片比成 a 片 b 片好，我们发现我们的 a、 b 和 a 片 b 片、 b、 c 和 b 片、 c 片， a、 c 和 a 片 c 片，它们的比值是相等的。 哎，那我们知道三边对应相等，那我们这两个三角形是不是相似的？好，这个判定是根据我们那个定义对吧？三边对应成比例，我们这个三个角分别相等。 哎，那有的同学说了，老师你这个只有两个角对应相等啊。那我们知道如果角 a 和角 a 片，角 b 和角 b 片，那我们角 c 和角 c 片是不是一定也是相等的？ 因为我们三角形内角和是一百八十度，其他两个都已经对应相等了，那剩下的一个那不也相等了吗？那所以我们就利 用咱们相似三角形的第一三个角分别相等三条边对应成比例，我们这两个三角形就是相似的。 好，那我们如何通过证明，就是利用刚才那两个角对应相等这个条件来证明我们三角形 a 片、 b 片、 c 片和我们这个大的三角形 abc 是相似的呢？ 那同学们还记不记得前面我们在探究三角形相似的判定定理的时候，我们是不是在通过在大的三角形里面截取一个小的三角形？ 然后呢？我们比如说我们截取一个，在这截取一个小的三角形，截取完了之后，我们通过证明这个小的三角形和这个小的三角形相截完了之后，我们通过证明这个三角形和这个三角形 他俩是全等的，从而推出这个小三角形和这个大的三角形他也是相似的。那我们这个先正这个小的结的这个和大的三角形相似，我们是通过平行线我们知道 平行于三角形一边，并且与其他两边相交，所构成的这个三角形是和本身的原来的这个三角形是相似的，前面通过平行线来判定 好，那在这里面我们依旧啊是截取怎么截呢？还是跟前面一样啊？我们在 a、 b 上截取 a、 d， 就等于我们的 a 撇 b 撇。 好，那我们做 d、 e 平行于我们的 b、 c， 那这个时候我们是不就可以得到咱们形成的这个三角形 a、 d、 e 就和整个大的三角形 a、 b、 c 它俩是相似的，对吧？ 好，这个平行线啊，老师刚才口述的，待会我们会把那个通过答案完整的展示出来，在 a、 b 上截取点 d， 使得 a、 d 对不对？等于 a 撇儿、 b 撇儿，然后再做过点地做 d、 e 平行于 b、 c。 好，那我们形成的这个 a、 d、 e 就和 a、 b、 c 是相似的，那这个时候我们就要证这个 a、 b、 a、 d、 e 和 a 片 b 片、 c 片，如果他俩是全等的，那么我们就也能够说他和这个大的三角形也是相似的。 好，那我们怎么正这两个小的三角形全等呢？我们看，我们通过题目中已经告诉了我们角 a 和我们的 a 角、 a 片它俩是相等的， a 又告诉我们角 b 和角 b 片是相等的，那我们又知道 d、 e 是平行于 b、 c 的，那我们这个角 a、 d、 e 和我们的角 b 片是不是也是相等的？那我们又有一个截取的 a、 d 就等于我们的 a 片 b 片，那我们来看角边角，是不是就可以证明咱们这个三角形 a、 d、 e 就是全等于三角形 a 片、 b 片、 c 片的？ 那这样证明了全等之后，因为这个三角形 ade 和他相似，那我们知道全等之后，他俩是可以完全重合的。那我们是不是可以推出三角形 a 片、 b 片 c 片和咱们这个大的三角形 也是相似啊，那个符号啊，也是相似的，那老师把屏幕清掉，我们简单来看一下咱们这个步骤。 好，我们在 a 三角形 a、 b、 c 的边 a、 b 上，或然后 截取咱们这个 a、 d 等于 a 撇 b 撇好，然后再过点 d 做 d、 e 平行于 b、 c， 我们交 a、 c 于点 e。 好，这个时候我们就会得到咱们这个 a、 d、 e 和咱们大的三角形 a、 b、 c 是相似的，而且通过平行线，第一平行于 b、 c， 我们这两个角角 a、 d、 e 和这个角 b， 它也是相等的， 那个两直线平行同一角相等。好，那我们来看，又因为我们题目中告诉我们角 b 是等于角 b 撇的，那所以我们这个角 a、 d、 e 也等于咱们这个角 b 撇 好，那我们又因为我们刚才截的 ad 和 a 片 b 片相等，角 a 又和角 a 片相等，那这个时候我们就可以说这两个三角形是全等的，我们利用的是角边角。好，那我们接下来就可以说，对吧？因为他俩是相似， 那他和他又全等，所以我们也可以说三角形 a 片 b 片 c 片是相似于三角形 a、 b、 c 的。那我们就根据题目中给了两个条件， a 角 a 等于角 a 片，角 b 等于角 b 片，两个角对应相等，就得出来了，这两个三角形是相似的。 好，那我们来总结一下我们这个判定定理。由此，我们可以利用两组角来判定两个三角形相似，那两个角分别相等，对不对？刚才我们说了，咱们这个角 a 是等于角 a 撇的， 那角 b 是等于角 b 片的，这两个对应角分别相等，我们就直接可以得到三角形 a、 b、 c 和三角形 a 片、 b 片、 c 片，他俩是相似的。好，这个啊，这个定理我们就可以直接使用了，但一定要注意啊，咱们这个一定是两个 对应角分别相等啊！对应角分别相等，好，那我们来看。第一，如图，在三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 e、 f 中，我们的角 a 等于四十度，角 b 等于八十度啊，角 e 等于八十度， 角 f 等于六十度，那让我们证明这两个三角形相似。哎，那我们来看，那在三角形 abc 里面，一个角是四十，一个角是八十，那剩下这个角是不是六十度？ 哎，那我们来看一下，如果角 c 等于六十度了之后，那角 c 和这个三角形的角 f 是不相的。哎，那我们的角 b 和咱们这个角 e 是不是相的？ 那我们是不是就可以通过刚才所学的两个对应角相等，对不对？两角相等的两个三角形是不是相似啊？好，那我们就可以把这个相似 给它正出来了。好，证明，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 四十度，角 b 八十度，那角 c， 我们就可以用内角和一百八十度减去角 a 和角 b， 得到了六十度。 那又因为在三角形 d、 e、 f 中，角 e 等于八十，角 f 等于六十，所以我们就可以得到角 b 是等于角 e 的，角 c 是等于角 f 的，那么我们就两角分别相等的两个三角形是相似的，我们就可以直接正出来了。 好，那我们来看列如图，我们的弦 a、 b 和弦 c、 d 将交于那个圆 o 内一点 p， 让我们来求证，这个 p a 乘上 p b 就等于 p c 乘上 p d。 好，那我们来看一下，我们要想证明 p a， 好，那我可以把 把这个成绩的形式，老师先给他改写一下，改写成比例的形式，那我们就可以相当于是我们的 pa 比上我们的 pd， 就等于我们的 pc 比上我们的 pb。 哎，那这个时候我们来看一下，我们知道乘比例的时候是不交叉相乘，那个乘积一样，那我们来看是不是 p a 乘上 p p 就等于 p c 长方 p d， p d， 对吧？老师给它改写成这种比例的形式了，那接下来让我们来证明，证明 p a 比上 p d， p c 比上 p b a， 那我们来看两个对应线段成比例，那是不是要证明三角形相似？ 好，那我们来看这个正明的过程，大体他已经帮我们轮廓写出来了，需要我们来填充，那对应线段成比例，我们要正三角形相似， 他已经帮我们连好了 a、 c 和 d， b， 如果没有帮我们连，我们也要知道我们要去构造两个三角形，因为我们要正三角形相似，才能得到对应线段成比例。 好，那连接了 a、 c 和 b、 d 之后，我们来看一下题目中怎么说的，他说因为角 a 和角 d 都是弧 c、 b 所对的圆周角，我们来看一下角 a 在这里，然后角 d 在这里，我们发现他们俩都是弧 c、 b 所对的圆周角。 那么前面学过圆周角定理对不对？圆周角定理以及推论，他说同弧所对的圆周角是相等的，那所以我们的角 a 就和我的角 d 是相等的，那么同理，那同理什么呢？那他说角 c 和哪个角？哎，那 我们发现我们角 c 是谁对应的？这个角 c 和是弧 a、 d 对应的这个圆周角，那弧 a、 d 还对那个圆周角呢？弧 a、 d 是不是还对咱们这个角 b 这个圆周角？ 所以说铜弧所对的圆周角他也是相等的，所以我们就得到了咱们的角 b 是和角 啊，角 c 是和角 b 是相等的。哎，那我们发现我们得到了两角分别相等，那么我们这两个三角形是不是就相似了？所以说我们左边这个三角形 p a、 c 就和咱们右边这个三角形 p d、 b， 它俩是相似的， 那相似了之后，我们是不是就可以得到对应线段成比例？那是不是就可以得到 p a 比上咱们这个 p d， 他俩是对应的，对不对？好，就等于我们的 p c 比上我们的 p b 好，对应线段成比例，那所以我们来看一下，那么就找到了我们 p a 乘上比上 t d， 就等于 p c 比上 p p， 那我们再交叉相乘，也就是验证了我们 p a 乘上 p b， 就等于 p c 比乘以 p d。 好，这里面啊，去找对应线段啊，老师跟大家说一下。因为找对应线段我们都是根据角来的，比如说我已经找了角 a 等于角 d 对不对？那我们发现角 a 对的这个对应边就是 pc， 那我们的角 d 对的这个对应边是不是 pp？ 所以说我们就拿上 pc 比上 pp 好，那同理，那我们角 c 对的这个边是 p a， 那我们在另一个三角形里面，角 b 对的这个边是 p d， p d， 所以说就拿 p a 比上 p d， 就等于 p c 比上 p b， 就拿对应角 对的那个线段，然后成比例就可以了。好，那我们来看第三，他说在 r t 三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，哎，这是个直角三角形，对吧？角 c 是九十度， a， b 等于十， a， c 等于八， a， b 等于十， a， c 等于八， e 呢，是我们 a、 c 上的一点哎，告诉我们 a、 e 等于五，然后呢， e、 d 又是垂直于我们的 a、 b 的这儿也是一个垂直，那让我们来求 a、 d 的长， 哎，同学们，那我们来看一下，这有个直角，这有个直角，哎，他两个角相等，哎，那我发现大的三角形和小的这个三角形直角三角形，他俩都有一个公共角角 a， 哎，那我们来看一下，角 a 等于角 a， 咱们这个角 ade 就等于我们这个角 acb， 也就角 ba， 那是不就能够得到这两个三角形相似呀？因为两角分别相等的两个三角形是相似的，那么就可以得到三角形 ade 相似与三角形我们的 acb， 那为什么呢？因为我们的这个角 a 就等于角 a， 对吧？公共角好，角 a 等于角 a， 然后呢，我们的角 ad 是不就等于我们的角 acb 就等于九十度，所以说他俩是相似的，现在我们就证明了这两个三角形相似，相似了之后，我们是不是对应线段成比例？好，那相似，那我们来看一下，那我们 他要求 a、 d， 那我们就尽量往 a、 d 上面转化，对吧？那 a、 d 是这个小的直角三角形，对吧？这个这一条直角边，那么 a、 d 然后 比上谁呢？我们来看一下，那在大的三角形 a、 c、 b 里面，它显然它这个对应边 a、 d 比的是 a、 c， 对吧？ 好，那我们再来看 a、 b 比上 a、 c， 那就等于谁呢？我们看题目中又有 a b， 又有 a c， 那么就往这上面转化，对吧？好，那我们来看一下。 好，那还比上谁？那我们看 a b， a c 还有 a e， 那我们就往这上面线段上面转化，那我们来看一下， a b 是直角边，比上 a c 也是直角边，那我们来看 a e 和 a b 是不都是它的斜边？所以说是不是就等于斜边比 a e 比上 a b？ 好，那这个时候比了之后，那不是让我们求 a d 吗？那我们知道，那所以我们的 a d 乘上 a b 是不就等于 a c 乘上 a e， 那要求我们的 a d， 那是不就拿 a ac 乘上 ae 就除以我们的 ab？ 当我发现 ac 我们知道， ae 我们也知道， ab 我们也知道，所以说这三个线段我们都知道，然后带进去一乘，然后就把我们这个 ad 给他求出来了。 好，那现在老师把屏幕亲一下，我们来看一下咱们这个完整的解答步骤。 好减。我们首先题目中告诉我们，第一 e d 垂直于 a b， 所以这个角是九十度，那因为角 c 等于九十度。好，那现在是证明这个角 c， 对吧？这个九十度。 好，那这两个九十度，我们来看一下这个是九十度，对吧？好，这个也是九十度。好，那又一位又一个公共角角 a 就等于角 a， 所以说两个角对应相等，这两个三角形是相似的，有这个小的支架三角形和大的支架三角形 好相似了之后，我们是不是就可以得到对应？对应边，对应边成比例，那我们来看 ad 比上 ac， 那 ad 是一个直角边， ad 是不是也是较长的那个直角边。好，那 ae， ae 是小的三角形的斜边，那 a、 b 也是大的自然三角形的斜边，那我们就可以得到。所以 a、 d 就等于 a、 c 十字相乘吗？ a c 乘上 a e 再除以 a b， 好，那我们把数带进去，就是八乘五，除以十，就得到。我们 a d 的长度是四，那这个题我们就做出来了。好，那我们来做一个小 结。那相似三角形判定方法，我们来做一个总结，到今天我们已经学习了好几种了，我们来看第一个，我们是通过第一，这个我们不常用，但是我们也得知道，三个角如果对应相等，对吧？三边对应成比例，那这个两个三角形我们就说他是相似三角形， 好。第二个就是通过平行线平行于三角形一边的那个直线与另外两边或者延长线所构成的三角形，是不是与原来的三角形相似？当时我们有两个模型对不对？好，一个是这个形状 好，是不是？一个是这个形状好，得到的两个三角形都是相似的。好方法，三、两边对应成比例，且夹角相等，对吧？有点像什么？有点像我们那个边角边的那个意思啊，但是我们那那边两个边他是成比例而不是相等，对吧？ 如果是相等的，那就是全等了，所以说是两边对应成比例夹的那个角相等。我们说这两个三角形相似。好，那今天我们就去通过两个角对应相等，我们可以判定咱们这个三角形是相似的。好，那咱们今天的课程就上到这里，同学们记得来评论区完成老师的作业，我们下节课见。