勤学早26.1.1反比例函数答案

二零二五河北数学中考第十题，这道题考察了反比例函数的性质，那对于这个知识点呢？这道题不算是一道难题， 是一道偏基础的题吧，但是反比例函数本身在中学阶段呢，属于一个偏中等的函数知识，有一部分同学在新授课的阶段可能会比较难理解， 但是总体来说，反比例函数的难度在初中函数知识框架类还是比较简单的。大家好，我是周卓，我们继续来从中考题讲知识。 反比例函数作为中学阶段呢，除开一次函数、二次函数以外，我们接触到的第三种函数类型。由于反比例函数的图像比较特殊，所以实际考试中是不太愿意把一些很重点难点的图像比较特殊，所以实际考试中是不太愿意把一些很重点的图像比较特殊，所以实际考试中是不太愿意把一些很重点函数的。 所以总体考察反比例函数的题目难度在函数中是中等偏下的。那接下来呢，我们一起来看一看反比例函数。首先，我们要对反比例函数的定义有所了解，对于反比例函数， y 等于 x， 分 之 k， 其中 k 不 等于零，且 k 是 常数， 这样的函数我们称之为反面函数。当然，我们反面函数的解析式也可以写成 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方。 这个对于我们对于函数限阶段的起名方式可能更加熟悉一点。一次函数，它的最高次项数次数为一，二次函数次数为二，而我们的反面函数呢，它的最高次项呢？次数为负一。 但是反比例函数比较特殊啊，它和这个正比例函数是一个对应的关系，它不能有其他的项，不能有像常数项这样的东西，这也是直接导致反比例函数的难度不会很高 的原因，因为它的像素少。对于一个函数，我们需要知道它的定义域和值域。那对于反比例函数来说呢？反比例函数的定义域自变量 x 的 取值范围是 x 不 能等于零的一些实数。这个地方我为什么要特殊去说？因为你看啊，反比例函数，这 x 的 位置在 分母上，它自变量位就在分母上，而分母我们说分母不能为零吧，是吧？所以这个反比例函数的定义很好去理解不等于零的一切实数。 对于反比例函数的直域呢？说完 x， 我 们该说说 y 了，它可以是一切的非零实数，为什么一切非零，然后 k 又不能等于零，所以说 y 也不能等于零了，一切非零实数很好理解。 那么接下来我要问大家一个小问题啊，那反比例函数到底是什么？而且我们为什么要把这样的函数称之为反比例函数呢？那我们可以一起回顾一下，我们在学习正比例函数的时候，它解析式的样子， y 等于 k， x， 它的函数图像大概 长成这个样，我们不确定 k 的 正负，所以说我们把这两条都画出来，那么无论这个 k 是 正还是负，我们是不是都有这样的关系，就是 y 会随着 x 远离它的坐标轴， y 也在远离坐标轴啊，你看，无论它是正还是负，是不都有这样的特点， 这就是正比例函数，它俩是正向的关系，你远我也远，你近我也近，而反比例函数却是恰恰相反， 反比例函数是 y 随着 x 远离轴而靠近呗。换一种表达形式，如果我把这个玩意，我把这个反比例函数的解析式，我写成这个样子的， x 乘以 y 等于 k， 其中 k 不 等于零，我们来看看这个样子， 是不是你就更好的去理解反比例的这个意义呢？什么叫反比例？那说完了函数的定义，我们接着来看一下反比例函数的图像和性质。 初中阶段我们一定要有竖形结合的思想，这样能更好的把抽象的函数解析式能换成更形象的函数图像，方便我们来使用那图像。对于反比例函数来说，图像是一个双曲线画一个，它有两个分支， 我们可以发现反比例函数的特殊点，反比例函数不再是连续的了。那当 k 大 于零的时候，两个分支分别在一、三象线上，而 k 小 于零的话，这两个分支分别就在二、四象线上。 同样的，每个象限内外随 x 的 增大而 减小，随 x 的 减小而增大。由于反比函数中我们刚刚说了定义域和值域都是非零的，所以说它的图像，反比函数的图像 x 轴和 y 轴 都没有交点，都是无限的接近的，但也是永远也不会和坐标轴相交的，我们最后都是无限接近于 x 轴和 y 轴的， 请同学们注意啊！在谈到反比例函数的增减性的时候，我们聊的都是在各自象限内的增减性，那为什么？因为我们不能说啊，这个东西，比如说 y 等于 x 分 之 k， k 大 于零五九，那蓝色的这两条线来说，我们不能说它是一个递减的函数，你看 在三项线它递减对不对？在一项线它递减，但是如果你说它是一个整体递减，那么在 零的这个位置上，他是截断的，没有这样的数。所以说我们不能说这个 反比例函数他是个递减的函数，或者是他是一个递增的函数，这个是不对的，我们只能在每一个象限内单独去聊。那通过图形我们还能得到哪些信息呢？ 初中阶段我们学习过对称，所以说看一下反面函数的图像，这个轴对称图形也是一个中心对称图形，它的对称轴就是 y 等于 x， 或者 y 等于 负 x， 当然它也是中心对称的，中心对称中心就是我们这个圆点呗。这个跟我们学习一次函数或者正比两函数的时候也是非常接近的，这也是我们能给他画到一个不是特别难的一个范围内的。 对于九年级接触过二次函数的同学来说呢，反比例函数的概念是偏简单的，甚至其实如果说学过正比例函数的时候，再直接就去学习反比例函数一起学的话，很多同学也可能能理解， 那这么简单的东西要考起来特别基础的都是一些定义，所以说反比例函数还有一些隐藏的关系，我们一起来看一看。这些东西是极有可能在考察反比例函数的时候出现的。根据反比例函数 y 等于 s， 分 之 k， 我 们可以得到任意一点的横纵坐标之积等于 k 这样的关系，那我们写成 s 乘 y 等于 k 吧。那么我们来看一看，对于这上面的任意一点来说， x 一 y 一 和 x 二 y 二，我们能发现 x 一 乘以 y 一 等于 x 乘以 x 二乘以 y 二等于 k 了。那么 x 一 乘以 y 一 和 x 二乘以 y 二，是不是这个东西所围成的 矩形的面积？所以我们发现了面积相等，发现在反比例函数上，任意一点到坐标轴上的距离和坐标轴围上的图形面积都是相等的，同样的，如果 是三角形，没区别吧，所以说这样的无论是矩形还是三角形都是一样的，它们的乘积矩形是 x 乘以 y 等于 k， 三角形是二分之一 x， y 等于二分之 k 吧，它们的乘积，它们的面积，这个围成的面积都是相同的。 还有一些图像上的特点是，我觉得可能会出现在考题中，我们可以马上观察出的一些结论。比如因为反比例函数都是对称图形，那么关于原点对称，所以说如果我这样去点呗，你看我随便找两个点，我再去找出它的对称点，随便画一下啊。那么 这是一个什么图形？这是一个平行四边形，它有什么样的特点？你看它们都是关于圆点对称，所以说它们对角线相交于圆点，而这样构成的几何图形，你看这个三角形呢？ 面积是不是就是四分之一的？是不是就是四分之一的平行四边形面积啊？这是平行四边形性质，不是反面函数的性质，但是我可以把它利用进 图像中。还有大家来看，如果有两条反面函数都出现在了图像内，那么在一条双曲线上，我随便找一个 p 点，我把它向 做标轴做弧线，那么一定与另外一个双曲线交于了两点。我随便写个 m， 那 么我们来看，是不是有一个这样的东西，你看对于 m 和 n 来说， 这两部分是不是相等的？画红色的这一部分是不是相等的，而且是一个定值等于二分之一 k 一。 而对于 p 点来说，整体 他的横坐标和坐标轴围成的整个面积就是 k 二，对吧？所以说，我们是不是可以得到这个 s 图形 p， m， o， n 里面的这个没有画的空白的这个图形， 他的面积也是一个定值。总体来说，对于反比例函数啊，他最特殊的一个点就是，如果有一点在反比例函数的图像上，那么就有这一点的横纵坐标之积是一个定值这样的一个特殊信息。 下面我们就一起来看一看这道中考题，他究竟考了哪些知识， 我们一起来看一下。在反比例函数 y 等于 x 分 之四中，若二小于 y 小 于四，则有四个选项， a、 b、 c、 d， 我 们一起来看。 实际上这个东西我想找反比例函数，既然叫反比例函数了，我们把它写成 x 乘以 y 等于四，其中第二个条件，二小于 y 小 于四， 你能得到这样的一个条件，我们是不是可以直接从选项里面出了吧？当 y 等于二的时候， 那 x 是 二吧。反面函数 y 随 x 增大而减小，随 x 减小而增大，那 y 最小，此时 x 最大， y 等于二，那么 x 也等于二， y 最大， y 等于四，此时 x 等于一，所以说这是它的最大值，这是它的最小值位，这不就是反面两个数吗？所以说于是咱们就选出了这个选项了。

生活，那么接下来我们来看一下生活中的这几个问题。在刚刚过去的体育模考中，小俊同学具有长跃飞人的称号，在完成一千米长跑时，他所用的时间 t 与速度 b 之间有怎样的数量关系呢？ 好，举手。好，你来说。 v 等于 t 分之一千， 好，请坐，很好，请坐。如果设围城田径场中央的 矩形的长尾 x 米，宽为 y 米，那么当面积是六千二百平方米的时候， y 是 x 函数吗？是，是，那你们能把函数关系式表示出来吗？ y， 好，你来说。那位男生， y 等于 x 分之六千二，很好，请坐。再，接下来我们再来看两个问题。 长沙地铁六号线开通以后，全长四十八千米，某次地铁的平均速度 v 随时间 t 的变化而变化，在这里变量 v 和 t 之间是具备函数关系吗？是，那怎样表示出来呢？ 好，消耗一点微等于七分之四十八，七分之四十八。好，请坐。长沙的，长沙市的总面积是一万一千八百一十九平平方千米，人均占有面积是 s， 所以，嗯，全市人口是 n， 他们之间的 关系呢？那你还说 s 等于 n 分之幺幺八幺九， s 等于 n 分之幺幺八。一万八，一千八百一十九， 是函数关系吗？是，好，是的，好，请坐。那我们现在来看一下我们得到的这四个解析式，这四个解析式他们有什么共同的特点呢？ 都有两个字母，未知数。呃，对，都有两个字母，但是我们这其实已经讲了，函数关系就是两个变量之间的。 好，你来说，呃，都是分式，都是怎样？都是分式，都是字。呃，哪边都是分式，右边都是分式对，右边都是分式，左边呢？左边就是我们的一个一个一个变量，是不是？是的，好，请坐啊，所以他们都，我们可以发现他们都具备一个怎样的形式呢？ 都有一点，就是我们这边是一个变量，右边这边要在分位位置上。好，所以也就是说他们都具备心，如 y 等于 x， 对，都具备这样的一个形式，是不是好，我们把这样满足这样的一个呃形式的函数关系式，我们就把它叫做反比例函数。 好，我们把这一个反比例函数的概念起读一下，一般的起，一般的起，如 y 等于 s 分支 k， k 为长数， k 等于一个函数，叫做盘比例函数。好，现在我们来看一下这个概念形容 y 等于 x 分之 k 的函数。这里我们要满足什么条件？ k 为常数对， k 为常数对，且 k 不等于零，满足这样的一个关系就是反比例函数。 好，我们再继续来看一下我们今天所学的这个反比例函数的解析式，还有 从和我们以前所学过的一次函数，二次函数之间有什么不同吗？想一想，和我们之前学过的一次函数。