反比例函数板书设计人教版

二零二五河北数学中考第十题，这道题考察了反比例函数的性质，那对于这个知识点呢？这道题不算是一道难题， 是一道偏基础的题吧，但是反比例函数本身在中学阶段呢，属于一个偏中等的函数知识，有一部分同学在新授课的阶段可能会比较难理解， 但是总体来说，反比例函数的难度在初中函数知识框架类还是比较简单的。大家好，我是周卓，我们继续来从中考题讲知识。 反比例函数作为中学阶段呢，除开一次函数、二次函数以外，我们接触到的第三种函数类型。由于反比例函数的图像比较特殊，所以实际考试中是不太愿意把一些很重点难点的图像比较特殊，所以实际考试中是不太愿意把一些很重点的图像比较特殊，所以实际考试中是不太愿意把一些很重点函数的。 所以总体考察反比例函数的题目难度在函数中是中等偏下的。那接下来呢，我们一起来看一看反比例函数。首先，我们要对反比例函数的定义有所了解，对于反比例函数， y 等于 x， 分 之 k， 其中 k 不 等于零，且 k 是 常数， 这样的函数我们称之为反面函数。当然，我们反面函数的解析式也可以写成 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方。 这个对于我们对于函数限阶段的起名方式可能更加熟悉一点。一次函数，它的最高次项数次数为一，二次函数次数为二，而我们的反面函数呢，它的最高次项呢？次数为负一。 但是反比例函数比较特殊啊，它和这个正比例函数是一个对应的关系，它不能有其他的项，不能有像常数项这样的东西，这也是直接导致反比例函数的难度不会很高 的原因，因为它的像素少。对于一个函数，我们需要知道它的定义域和值域。那对于反比例函数来说呢？反比例函数的定义域自变量 x 的 取值范围是 x 不 能等于零的一些实数。这个地方我为什么要特殊去说？因为你看啊，反比例函数，这 x 的 位置在 分母上，它自变量位就在分母上，而分母我们说分母不能为零吧，是吧？所以这个反比例函数的定义很好去理解不等于零的一切实数。 对于反比例函数的直域呢？说完 x， 我 们该说说 y 了，它可以是一切的非零实数，为什么一切非零，然后 k 又不能等于零，所以说 y 也不能等于零了，一切非零实数很好理解。 那么接下来我要问大家一个小问题啊，那反比例函数到底是什么？而且我们为什么要把这样的函数称之为反比例函数呢？那我们可以一起回顾一下，我们在学习正比例函数的时候，它解析式的样子， y 等于 k， x， 它的函数图像大概 长成这个样，我们不确定 k 的 正负，所以说我们把这两条都画出来，那么无论这个 k 是 正还是负，我们是不是都有这样的关系，就是 y 会随着 x 远离它的坐标轴， y 也在远离坐标轴啊，你看，无论它是正还是负，是不都有这样的特点， 这就是正比例函数，它俩是正向的关系，你远我也远，你近我也近，而反比例函数却是恰恰相反， 反比例函数是 y 随着 x 远离轴而靠近呗。换一种表达形式，如果我把这个玩意，我把这个反比例函数的解析式，我写成这个样子的， x 乘以 y 等于 k， 其中 k 不 等于零，我们来看看这个样子， 是不是你就更好的去理解反比例的这个意义呢？什么叫反比例？那说完了函数的定义，我们接着来看一下反比例函数的图像和性质。 初中阶段我们一定要有竖形结合的思想，这样能更好的把抽象的函数解析式能换成更形象的函数图像，方便我们来使用那图像。对于反比例函数来说，图像是一个双曲线画一个，它有两个分支， 我们可以发现反比例函数的特殊点，反比例函数不再是连续的了。那当 k 大 于零的时候，两个分支分别在一、三象线上，而 k 小 于零的话，这两个分支分别就在二、四象线上。 同样的，每个象限内外随 x 的 增大而 减小，随 x 的 减小而增大。由于反比函数中我们刚刚说了定义域和值域都是非零的，所以说它的图像，反比函数的图像 x 轴和 y 轴 都没有交点，都是无限的接近的，但也是永远也不会和坐标轴相交的，我们最后都是无限接近于 x 轴和 y 轴的， 请同学们注意啊！在谈到反比例函数的增减性的时候，我们聊的都是在各自象限内的增减性，那为什么？因为我们不能说啊，这个东西，比如说 y 等于 x 分 之 k， k 大 于零五九，那蓝色的这两条线来说，我们不能说它是一个递减的函数，你看 在三项线它递减对不对？在一项线它递减，但是如果你说它是一个整体递减，那么在 零的这个位置上，他是截断的，没有这样的数。所以说我们不能说这个 反比例函数他是个递减的函数，或者是他是一个递增的函数，这个是不对的，我们只能在每一个象限内单独去聊。那通过图形我们还能得到哪些信息呢？ 初中阶段我们学习过对称，所以说看一下反面函数的图像，这个轴对称图形也是一个中心对称图形，它的对称轴就是 y 等于 x， 或者 y 等于 负 x， 当然它也是中心对称的，中心对称中心就是我们这个圆点呗。这个跟我们学习一次函数或者正比两函数的时候也是非常接近的，这也是我们能给他画到一个不是特别难的一个范围内的。 对于九年级接触过二次函数的同学来说呢，反比例函数的概念是偏简单的，甚至其实如果说学过正比例函数的时候，再直接就去学习反比例函数一起学的话，很多同学也可能能理解， 那这么简单的东西要考起来特别基础的都是一些定义，所以说反比例函数还有一些隐藏的关系，我们一起来看一看。这些东西是极有可能在考察反比例函数的时候出现的。根据反比例函数 y 等于 s， 分 之 k， 我 们可以得到任意一点的横纵坐标之积等于 k 这样的关系，那我们写成 s 乘 y 等于 k 吧。那么我们来看一看，对于这上面的任意一点来说， x 一 y 一 和 x 二 y 二，我们能发现 x 一 乘以 y 一 等于 x 乘以 x 二乘以 y 二等于 k 了。那么 x 一 乘以 y 一 和 x 二乘以 y 二，是不是这个东西所围成的 矩形的面积？所以我们发现了面积相等，发现在反比例函数上，任意一点到坐标轴上的距离和坐标轴围上的图形面积都是相等的，同样的，如果 是三角形，没区别吧，所以说这样的无论是矩形还是三角形都是一样的，它们的乘积矩形是 x 乘以 y 等于 k， 三角形是二分之一 x， y 等于二分之 k 吧，它们的乘积，它们的面积，这个围成的面积都是相同的。 还有一些图像上的特点是，我觉得可能会出现在考题中，我们可以马上观察出的一些结论。比如因为反比例函数都是对称图形，那么关于原点对称，所以说如果我这样去点呗，你看我随便找两个点，我再去找出它的对称点，随便画一下啊。那么 这是一个什么图形？这是一个平行四边形，它有什么样的特点？你看它们都是关于圆点对称，所以说它们对角线相交于圆点，而这样构成的几何图形，你看这个三角形呢？ 面积是不是就是四分之一的？是不是就是四分之一的平行四边形面积啊？这是平行四边形性质，不是反面函数的性质，但是我可以把它利用进 图像中。还有大家来看，如果有两条反面函数都出现在了图像内，那么在一条双曲线上，我随便找一个 p 点，我把它向 做标轴做弧线，那么一定与另外一个双曲线交于了两点。我随便写个 m， 那 么我们来看，是不是有一个这样的东西，你看对于 m 和 n 来说， 这两部分是不是相等的？画红色的这一部分是不是相等的，而且是一个定值等于二分之一 k 一。 而对于 p 点来说，整体 他的横坐标和坐标轴围成的整个面积就是 k 二，对吧？所以说，我们是不是可以得到这个 s 图形 p， m， o， n 里面的这个没有画的空白的这个图形， 他的面积也是一个定值。总体来说，对于反比例函数啊，他最特殊的一个点就是，如果有一点在反比例函数的图像上，那么就有这一点的横纵坐标之积是一个定值这样的一个特殊信息。 下面我们就一起来看一看这道中考题，他究竟考了哪些知识， 我们一起来看一下。在反比例函数 y 等于 x 分 之四中，若二小于 y 小 于四，则有四个选项， a、 b、 c、 d， 我 们一起来看。 实际上这个东西我想找反比例函数，既然叫反比例函数了，我们把它写成 x 乘以 y 等于四，其中第二个条件，二小于 y 小 于四， 你能得到这样的一个条件，我们是不是可以直接从选项里面出了吧？当 y 等于二的时候， 那 x 是 二吧。反面函数 y 随 x 增大而减小，随 x 减小而增大，那 y 最小，此时 x 最大， y 等于二，那么 x 也等于二， y 最大， y 等于四，此时 x 等于一，所以说这是它的最大值，这是它的最小值位，这不就是反面两个数吗？所以说于是咱们就选出了这个选项了。

好，昨天有同学在问这两个图形，他这两个结论， s 三角形 abc 等于 k 的 绝对值和 s 三角形 abc 等于二 k 的 绝对值，那他是怎么推导出来的？那我们今天就针对这两个图形做一个简单的分析和推导，那这个反比例函数是 y 等于 x 分 之 k， 那我们知道反比例函数它是不是针对于原点是中心对称图形？好，那既然我们知道它是中心对称图形，那我们就知道，假设我是这个 a 的 坐标为 a b， 那么 c 点的坐标是不是就是负 a 负 b？ 如果大家对中心对称和对这个反比例函数为什么是中心对称不了解的话，那可以扣一下我，我回头专门出一期这个这个视频给大家做一个讲解。那 如果我们把这两个坐标表达出来的时候，我们来通过它要的问题， s 三角形 a、 b、 c， 我 们来罗列一个等式，看一下待会能不能变成 k 的 绝对值。 s 三角形 a、 b、 c 实际上是不是等于可以把它分成两个面积，一个是三角形 a、 o、 b、 c， 这个没问题吧？把它拆成两个三角形。好，那我们来看一下 s 三角形啊，这个三角形要加上去 a、 o、 b 的 面积怎么求？是不是二分之一的底乘以高 d o、 b， 那 o、 b 是 不是就是 a 点的横坐标？我们加一个绝对值， 第二个高是不是 ab， ab 是 不是 a 点的纵坐标？那这个三角形命题是不是出来了？来 s 三角形 abc， abc， 如果我以 ab 为底的话，那 它的底是不是也可以得 a 的 绝对值？那它的高呢？高是不是从 c 点做垂线上去的这个长度就是它的高，而这个高实际上是不是就 c 点的什么重坐标的绝对值，那也就是负 b 的 绝对值？ 好，到这里我们可以再把绝对值合并在一起，是不是二分之一 ab 的 绝对值加上二分之一 ab 的 绝对值，所以是不是就等于 ab 的 绝对值 来，既然它等于 ab 的 绝对值，那我们知道 ab 点是不是在这个反比例函数上，那是不是可以满足反比例函数？那我能不能把 ab 带进来？那 b 是 不就等于？ 哎，这个是 a 分 之 k， 那 k 实际上是不是把这乘过来？是不是 ab， 那 这边 刚才它的面积是 ab 的 绝对值，能不能把 ab 换掉，变成 k 的 绝对值？好，那这个我们就没问题吧。好，其实我们正正常看也知道，其实这块面积啊，和这块面积是不是相等的 同一个底等高，所以实际上是不就这个三角形的两倍，也就是这个三角形两倍，实际上是不就这个矩形的 面积，那这个矩形面积实际上是不就是这个反比例函数？任何一点的这个 x 乘以 y 的 绝对值，对吧？好，那同理，我们来看一下这道题中的 这个问题，为什么会得二 k 的 绝对值？实际上就是把面积挪一下，大家知道如果把这一块弄过来的时候，我们不写这个公式啊，把这个弄过来，这个面积和这个面积是不是相等的？那这两个面积相等，所以 s 三角形 a， b， c 的 面积，实际上我们是不是就可以 把它变成这一个矩形的面积？而这个矩形我随便标一个 m n 吧，是不是 s 矩形？ 矩形，什么 a m n、 b 的 面积，对吧？而这个 a m、 n、 b 的 面积实际上是不是有两倍的这个面积啊？因为这段和这段是不是相等的？ 刚才这边已经有了，我们就不用解释了。那么这段和这段相等，他又共同的底，那这个是不是两个面积相等？那实际上是不是也是这个 a 点的什么？如果同理，我设它成为 a b， 那 这个面积实际上是不是就得两倍的这个面积？而这个面积 就是刚才我们都已经表达出来了，是不是 a 乘以 b 的 绝对值，而这个 a 乘以 b 的 绝对值实际上是不就是 k？ 好， 那针对这个，这个我们没有讲那么细，大家也可以自己去推导一下。好，针对于这个两个问题，我们就讲解到这边，下个视频我们再见。