2025年邢台初一第三次月考时间

取消了月考啊，改为自测。没有年级的排名，但是应该会有班级的一个排名。同学们，我们也不能掉以轻心，我们现在要为我们的期末做好准备。

关于今年的最后一次月考，已经进入了倒计时，三个问题来测测你是否适应了我们初中数学？ e s 方程应用题，你能在三分钟内列出方程吗？几何图形计算机，你能一次性写对所有步骤吗？有理数综合计算，你能保证不丢冤枉分吗？如果有任何一个答不能，说明你还没有完全适应我们初中数学的学习节奏。 初一十二月月考抢分秘籍，帮你快速适应初中数学的五大思维转变，彻底告别我们小学思维！十二月必考的七大核心题型，逐个击破每种题型的解题模板，都能够让你快速进入做题节奏。历年月考压轴题精讲，提前适应考试的难度， 适应了初中的节奏，数学我们才能越学越轻松。今年的最后一次月考就是最好的检验机会，拿去下载打印吧，跟着亮亮无脑学习！

咱们今年七年第三次月考的卷子我有了啊，语硕英的啊，金太阳大连考的啊，你私信我七年级我发给你打给孩子做一做，见见今年的新题型啊。因为今年啊是新教材啊，二零二五的新课标，所以呢题型是有些变化的啊。

大家好，今天为大家讲解一道以旋转缩放的思路来寻找从动点轨迹的题，该题来自于人教版的第三次月考试卷，题中告诉我们如图，在矩形 a b c d 中， a b 的 长度是二， bc 的 长度是四，然后点 e 是 线段， bc 上的动点连接 a e， 然后以 a e 为斜边，做了等腰直角三角形 a f e， 然后他问的我们问题是连接了 df， 问 df 的 最小值。 这个题里面首先我们看出来就是 e 点，它是一个主动点，然后 f 点是一个从动点，但是这个只是一个呃理解，但是我们怎么找到这个 f 点的这个轨迹呢？其实就是我们要从这个三角形 f a e 先入手，先看清楚它，其实首先就是相当于是 a a e a f e， 它是个等腰直角三角形，所以我们要找和这个 a r a e a f e 相关的，首先其实最相关的就是 a e， 然后和和 ae 相关的那肯定就是 ab， 但是这里边就是没有找到一个和 afe 相似啊，相似的相似或者全等的三角形。所以我们的想法就是说我们能构造一个三角形， 而且它是固定的，就是说它是不随这个 e 点的运动而运动，但是呢它又和这个 ae 有 一定的相关性，所以我们想想到的一种 一种做法，其实就是就是我们以这个 a e 为为这个斜边做一个等腰直角三角形，大家看一下，因为这样的话，其实他首先就是有一个共同的共同的端点，首先就是 a e 这个三角形，我们大概会做一个这样的 直角三角形，等腰直角三角形，那么这个等腰直角三角形和这个 a、 e、 f 有 什么关系呢？他俩最重要的一个关系，首先是这两个三角形他是相似的，比如这个 a、 b、 o 和 a、 e、 f 他 俩是相似的，就都是等腰直角的。还有另外一个更重要的点就是他俩都有一个共同的这个顶点 o 点，那所以这个 a、 e、 f 和 相对于 a、 b、 o 来说， a、 b、 o 是 一个固定的直角三角形，因为它这个 ab 边是固定的， 所以相当于就是说 a、 e、 f 是 由 a、 b、 o 绕着 a 点，然后进行了一个旋转，并且进行了缩放，然后旋转缩放以后，如果大家熟悉这个旋转缩放的话，一定知道，那么旋转缩放以后，我们连接对应点， 那么它的三角形就会产生全等或者是相似的三角形。如果这里面三角形 a、 b、 o 和 a、 e、 f 它是它是相似的话，那么如果我们连接了这个 o 点、 o 点和这个 f 点的话，我们就有一个，就有一个判定，我们就能判定出来这个三角形 a、 o、 f 和三角形 a、 b、 e 它俩是相似的， 这个这个其实它的证明是比比较比较简单的。首先就是说因为这个角 a、 b、 o 和这个角 a、 e、 f 它是相等的，然后它们减去这个公共的角， 减去这个 b、 e、 o 这个角，那么呢我们能得到这个角 b、 a、 e 和角 f、 a、 o 这两个角是相等的，然后呢又由于它俩都是相似啊，都是等腰直角三角形，那么我们是知道这个 a、 b 比上 a、 o， 它是等于这个 a、 e 比上 af 都是等于这个根号二的，所以我们是能判断出来就是这个三角形 a、 b、 e， 它和这个三角形 a、 o、 f， 它是相似的，相似的话，然后我们就能得到一个重要的重要的一个角度，就是这个角 a、 o、 f， 这个角和角 a、 b、 e， 它这个角是相等角，就都是九十度。 然后这样的话，其实我们就确定了这个角啊，确定了这个点 f 的 轨迹。我现在把这个正视的这个辅助线，就是我之前做好的辅助线给它写显示出来。刚才只是一个分析，大家可以理解一下这个辅助线， 辅助线其实就是这个点，比如叫做 o 点，这个辅助线就是说我们以 ab 为呃，等腰直角三角形的斜边，然后做了这个等腰直角三角形 a、 o、 b， 然后这样的话我们是能得到这个三角形 a、 b、 o 和三角形 a、 e、 f， 它俩是相似的，所以我们就可以看出来这个 a、 e、 f 是 从 a、 b、 o 进行了旋转缩放，旋转缩放以后，旋转缩放，我们能得到一个重要的结论，就是我们连对应边以后， 然后是能得到一个，能得到这个三角形啊，三角形相似，我们这里面连的。其实首先对应点，就是说这两个三角形就是 a、 b、 o 和 a、 e、 f， 它的对应点是 b 点和 e 点是对应点， o 点和 f 是 对应点。所以我们呢得到一个三角形，就是 a、 b o 和 a o f a o、 f， 它俩是相似的，刚才其实那个相似证明我们已经正过了。然后这样的话，我们得到一个重要的关系，就是这个角 a、 o、 f 和这个角 a、 b、 e， 它是相等的，都是等于直角。而这个 o 点其实它是一个固定的点， 因为因为我们刚才是以 ab 为斜边做的等腰直角三角形，然后这个角又是九十度，那这样头我们其实就说明了一点，就说不管 f 在 哪动， 它都是在过 o 点，并且和 a o 垂直的这个一条线上面在运动。就大家理解一下 f f 点是在过 o 点，并且和 a o 垂直的 一条线上面运动，所以这样就比较简单了。其实他让问我们求 d f 的 啊最小值，那其实不就是相，相当于，就是说相当于就是线或者直线或者线段外的一点，然后到直线上的距离吗？然后这样的话其实我们就是看 一点运动，对吧？运动到什么时候，这个 d f 和这条线垂直，当然他这个呃题题中说了说这个 e 是 在 bc 线， 是在线段 bc 上运动的，就是他不一定能取到最大值，当然这个其实我们是去可以去去通过计算看他是不是有，是不是达到了这个最最大点，对吧？这个其实简简单的计算，其实就是说我们可以看一下，就是当这个 当其实用到运动到 e， 应该运动到 c 点的时候，我们看一下这时候它这个 d f 和 b f 的 这个呃角度的关系，是吧？ 其实我们是可以先计算一下，就是当 e 点运动到 c 点的时候，我们来求一下这个比如说 o f 它的长度，还有呃求一下这个 d f 的 长度，这个其实我们是可以做到的， 就是首先假设这时候如果是 e 点已经已经这个运，运动到啊，运动到这个 c 点了，那这时候我们我们看一下，就是首先这时候其实有有几个长度啊？就是我们是能知道，首先这个 a e 它的啊 ab 的 长度是二， 嗯，这个其实我们还是要利用这个相似的，就是这个 abc 三角形和 a o f 这个三角形是相似的。首先这个如果这个 e 点运动到 c 点的时候，然后这个 bc 的 长度是四，那么这时候 a e 的 长度就是根号下的 啊，根号下四，加上十六，应该是两倍的根号五，对吧？那然后这时候我们算一下 af 的 长度， af 的 长度他就是二分之根号二倍的 a c 应该是正好是，嗯，应该是二分之根号，应该是正好是根号十。 然后我们再利用，就是说这个三角形 a o f 和三角形 abc， 它是，它是相似的，是吧？ 我们算出来这个 a f 是 根号十，然后 a o a o 它的长度是，我们算一下应该是 ab 的 二分之根号二倍，所以它是，它这个长度是根号二， 那所以这时候其实也就是我们是在算 e 运动到 c 点的时候，然后这时候 o f o f 它的长度就是根号下的 a f 方减去 a o 方，那么 o f 方应该是正好，是啊， 根号下十减二，那么就是两倍的根号二。然后我们再看一下这个点啊，就是这边这个点，呃，比如这个点，我们就看一下这个 o f 和 a d 的 这个交点，我们比如叫做 p 点 o p 这一段长度，它其实也是根号二，它的长度也是根号二，那那实际上相啊，那实际上相当于这个 p f， 它其实也是根号二， 然后我们再看一下这个 p d 它的长度，然后这个角它正好是四十五度， 然后 a p 它的长度是二，那么 p d 长度就也是二，那所以其实运动到，呃，就是说 e 点运动到 c 点的时候，实际上正好就是这个。这时候 d f 与 b f 它是，它是这个垂直的，因为这个角是四十五度。如果我们严格的去做的话，那你其实是可以做一个过这个 f 点， 过 f 点去做一个这个 p d 啊，做一个这个 p d 的 垂线，然后我们求出来，比如这时候，比如说这个点我们叫做 h 点， 如果是叫 h 点的话，做一个垂直，那么这时候我们能得到啊。呃，因为这个 p e 它是根号二，那所以 p h 是 一， 一啊， f h 也是一，那么这时候 h d 也是一，所以我们得到这时候 d f 是 根号二，所以这时候 d f 正好是垂直于 p f 的， 所以这时候其实也就是他，也就是这个题其实是比较巧的巧合，就是 e 正好运动到这个这个线段 bc 的 右侧的时候， 然后我们是达到了这时候这个 df 的 最小值，也就是 df 是 垂直于这条线了。所以这个题其实如果说他出的难度更大一点的话，那就是有可能啊一点他是 运动的位置啊，可能是没法使得这个 df 和这条 b o 这条线垂直，那样的话可能计算量就比较大了，就比如说他只能运动到这， 那，那其实这时候 d f 它就是最短值啊，最小值了，因为再往下是肯定是越来越长了，其实说白就是你越靠近这个垂直的这个点，那么这个 d f 这条这条线段它是越短，但这个题其实是正好是一个巧合，所以这时候正好 正好这时候就最短，就是说也就是 e 点运动到 c 点的时候，正好 d f 和这个 b o 这条线垂直，然后这时候我们正好得到了这个 最小值是根号。二，因为这个题里面，而且它还明确说了点 e 是 在线段 bc 上运动，如果说如果说他是说，比如说只是说点 e 在 bc 的 所在直线上运动，那其实我们就直接去过地点，做这条线的垂线，去找这个， 找这个垂直的距离。那如果说 e 点他只只是在 bc 这个线段上，那你必须要去验证，就是说 e 点是不是能达到这个垂直，如果达不到垂直，那也是 e 点取在这个最右侧这个端点的时候， 因为他肯定是最靠近那个垂直那个距离的啊。今天这道题就讲到这里，大家有什么问题可以发到评论区，好，谢谢大家。