数学高中对数函数

对数函数就是函数中最能让大家拉开差距的点了，那么今天我们把对数函数最核心的这八大题型全部给大家一次性讲透， 你把这八大题型掌握透之后，以后再也没有对手函数的题能难到你了，行不行？行。好，第一个叫做计算问题，我们前面课程已经搞定了，那我们接下来搞第二个问题，概念图像和性质有关的问题。 首先你要对对手的函数图像要很了解，那对手函数图像一共有两根，我大概画一下啊，你看一根长这样，一根长这样， y 等于 l， o、 j 以 a 为底。 x。 概念问题了啊，如果 a 是 大于一的，图像是不是长这样？如果 a 在 零到一之间是不是长这样？他们横过的这个点是谁？ 一零点一 x 等于一的时候，是不是 y 值永远为零？对，而且跟这个函数有关。你比如说像这根 零到一之间，图像是不是都小于零？大于一是不是都大于零啊？对于这根零到一之间是不是大于零？大于零的时候是不是 y 值都小于零？你要对这个图像很清楚，没问题吧？好，这是我们教材所学的， 但是我们一旦考试考到图像问题，怎么考你呢？第一种考法，以 a 为底，以 b 为底，以 c 为底，以 d 为底。哇，有四根图让你求 a、 b、 c、 d 的 大小顺序，那咋求呀？ 做这种问题， abcd 是 谁你没发现？哎，我只要让它等于一，求出来的 x 就是 a 吗？就是底数。我只要让它等于一，求出来 x 是 不就是底数？我让它等于一，我让大家都等于一，求出来的 x 就是 底数的大小呀， 是吧？让我求 a、 b、 c、 d 的 大小，说白了就是把它转化成 x 的 大小。我同时给大家取一根，什么取个一，这叫做 y 等于一。 哎呀，这个取一的时候 x 是 谁呢？ x 是 b， b 是 不是就在这来？对，那这个取一的时候 x 是 几啊？ a， 这不大小关系就出来了吗？ 是吧？是的，来这个，这个取一的时候，这是哪一个？噔噔噔噔，是哪一个？看好了，是 d 吧，对吧？那这个应该是 c， 所以 大小关系出来了 会了没？叫做 b 大 于 a， 大 于 d， 大 于 c。 那 么我们在讲指数的过程中，是不是指数也有类似于四根图像，让你求对应的 abc 的 大小，去想一下那个题型， 我们顺便通过这道图给大家把对数底数的变化规律通过它找到来。只观察第一项线啊，加了，不管，只观察第一项线， 我问你这根是谁？我写上去啊，这个是 d， 是 吧？以 d 为 d， x 是 吧？是啊，这根是以 c 啊，全写到这， b 最大下来是 a， 下来是 d， 下来是 c。 只看第一项线有没有发现对手的底数。在第一项线是顺时针增大的，叫对顺大， 发现了没有？发现了，为什么要总结这个事？在比较大小里面会用到你得画图的时候，咔哧咔哧，按照对顺大，这个最大下来是它，下来是它，你就快速能够去标对应的图像了， 我们后面比较大小会遇到好不好？好，这是第一种跟图像问题的考法。图像问题的第二种考法就是考大家比大小，通过三个问题来讲一下，好不好？好好，你看对数哇，这些数字是个啥呀？不会，但是我发现他们有共同的规律， 你看这两个数字是不都是以零点三为底的？是的，那我是不是可以把他们统一看成零点三为底？ x 这个函数 给 x 取了两个值，一个值是它，一个值是它。比较你们对那 y 值的大小吗？知道是吧？哎，那我不就可以通过图像解决问题了吗？第二个提醒 b 大 小的图像问题，看这里， 图像横过一零点零到这一之间，单到第几，这是不是就是零点三为 d， x 的 对数图像？对，是吧？我给他取两个值呀。自变量取两个值，一个是一点八，一点八对应的值在这， 这个值是不叫做写全？零点三，一点八是不是他的白值啊？是的。嗯，下一个是二点七，二点七在这。哦，对应的白值是不是在这呢？所以谁的值更大一些？这个值 一点八对应的白值更大，这里是大于。以后你也不用画图啊，你看到他的底数你就知道这是减函数吗？ 是不是？减函数的话，这两个是不是相当，一个是 x 一， 一个是 x 二呀，对吧？你比较他俩大小吗？减函数，你越小，说明你对的 y 值反而越大了，直接就搞定喽，比如说下一个，同理来，以二为底，以二为底。什么函数？增函数？ 增函数，把这两个位置分别看成两个 x 嘛？ x 一 和 x 二，你增函数的话，你想你取的 x 值越大，你的 y 值越越。什么 增函数？ x 值越大， y 值越大，这有什么可考虑的？小于号是不是？是的，好，第三个怎么办？嗯，零点二，零点三，零点四，怎么不一样呢？ 但是这个位置是一样的，是同一个 x。 是 的，是吧，这也简单呀，画图呗，还是画图呗。这就是为什么刚才跟你讲的题型一的原因。来，注意画图啊，很多宝子不会画图，两个都是单刀对剪的吧。对， 这两个图像怎么画很多人不会，虽然他俩都过这个点长这样。另外一个呢？你知道有人画他不会画图，他不知道怎么拐弯，他这样画，他不知道怎么拐弯。那个弯拐到哪去？ 记住，对数函数图像典型的咸鱼翻身对吧？一开始看在零到一之间，我在你下面越过一这个点，我跑你上面去了， 就相对位置要画对，能理解不记得。好嘞，根据我刚才讲的，对顺大把这都看成 x 嘛。都看成 x， 看成 x 来，零点二为底的 x 对 顺大。先比较他俩好不好。比较你俩的话，对顺大这个是哪个？这个是哪个？给他一个 哪个函数对顺大？零点二，零点三，这是零点三为底 x。 只看第一项线，蓝色的是零点二为底 x。 我 刚不是讲了吗？对顺大吗？这不一下就出来了吗？对，同取几， 两个函数有了同取几，同取六，同时取六， x 等于六对，那白值。哎呀呀呀呀呀，看这个蓝线是不是叫做 l o j 零点二六，是不是这块看到没有？ l o j 零点三六，哪一个更大？ 零点二，这不是 y 值吗？哪个更大？零点二更大是吧？是的，底数小，但是你 y 值更大了，比较他俩是不是一模一样大？谁大？你大还是他大？零点三大，零点三大，这不就会了吗？第题型三，横过定点问题。 哎，我们在指数里面是不是也讲过横过定点？是的，这里的方法其实跟指数里面一起同根之妙。咱们这种问题从两个维度，胡老师来给你讲。一法一， 你看函数图像横过点屁，它为什么又横过呀？因为对数里面本身 y 等于 l o j 以 a 为的， x 横过哪个点？一零横过一零点， 对吧？是的，那你要看它跟我所熟悉的对数之间这个有什么关系呢？什么关系？是不是发生了一些平移或者伸缩变化？ 我找到变化不就知道了吗？我看你是由他咋来的，不就完了吗？是吧？来，盯准了告诉胡老师， 你倒推回去。怎么能倒推到他加了个一，没有一行不行，他是不是由二倍的这个来的？ 对，咋来的？加了一，整体往上移一个单位，把整体往上平移一个单位，回回去吗？你是咋来的？ 左加右减往右移的单位，你是不是由 l o j 以 a 为底， x 减一来的？没有二啊， 细数是不得是一，给所有这个的 y 值成了谁？二，如果你学过伸缩变换，你就知道伸了，缩了不知道，伸缩就是给 y 值成个二，用通俗易懂的语言去说他就可以了，是吧？哦，那你怎么来的呀？ l o j 以 a 为底， x 过来的，向右移一个单位是吧？对，完了，从这到这往右平移一个单位，这不就完了吗？我只要会画你的图，啪啪啪，把你一画，我不就知道图像横过哪个定点了吗？我来一步一步带大家画啊， 集中高度注意力，好好听，增的还是减的？题没告诉我。增还是减无所谓啊，画个增的，画个减的，你都分析一下是吧？你最后看一样吗？假如说是增的 行不行？这么的来，往右移一个单位，我原本过的是这个点，一零点往右移一个单位，过哪了？左加右减，往右过二零，这个点。我头像是不是大概长这个样子了？对，我还乘个二， 所有的白纸乘个二是吧？是的，这个图像乘个二，更上了，这个乘二是不更这样子了。嗯，是二，这个点乘个二是不还是零？对，图像是不还是过这个点的？对，哎，乘个二，图像大概长这个样子，行不行？行，好嘞， 乘二了，变成他，然后咋办？再往上移一个单位。哎呀呀，往上移一个单位，是不是先移特殊点？对，那移一个单位，你跟我说这个图像过哪个点？你不会吗？ 是不？嘟嘟，是不是大概长这个样子？是的，哎，过这个点，这个点是几啊？这个点是二，二一，你不就找到他横过的定点坐标了吗？二一，这是法一， 会了没有？会了。法一，从平移的角度去看。那还有法二，每个题都这么移，多麻烦呀。是的是吧，法二怎么做？ 你看为什么他会横过定点？你看，每就是你这个函数随着 a 的 变化，比如说 a 是 二， a 是 三， a 是 四，是不是这个函数都变了？对，函数不论为谁，我都过一个点， 就跟这个一样的， a 一 变二三四五，是不是函数多得很，想怎么画是吧？不管怎么画，他是不都过这个点呀？为什么呢？因为一旦 x 等于一了，他的 y 值就是零了。 一旦 x 是 一，跟你 a 就 没关系了。你 a 不 论谁，我的 y 值是不都是零啊？是的，那就说你这 a 一 变，我函数就变了，我只要让这个位置等于一，就跟你 a 没关系了？对， 你函数无数个，不管哪一个函数，只要你为一，这一大坨永远为零，跟 a 是 啥没关系了？你 a 一 变，函数关了，变了跟你函数就没啥关系了， 不管你是哪个函数，能理解这意思吧？哎呀，原来这里是 x 的 时候，让它等，等一，这里是一大坨，也是一样的，让 x 减一等于一就把 a 干掉，四等于二，那这一大坨等于一，这是几了？这零吗？带回去吗？带回去吗？对不对？白纸是几？一来来，白纸是一 对吧？解吗？解出来 x 是 几啊？ x 是 二，所以我横过的这个定点就是二，一二使得它 跟 a 没关系吗？只要取二，你这无所谓，永远过这个点， a， 不 论为谁，你把二一往进一带都过这个点， 是不是？这意思是，这就是我们的横过定点问题，以后更建议大家用反而去做，但是法医是本质，你也要去理解一下他好不好？我们今天时间原因有限，没有办法讲完了， 但是呢，胡老师把八大题型里面每一个拆的很细致，每一个里面还有小题型，你比如对数跟二次的复合，对数跟别人的复合，是吧？每一个都给大家配套了六到八道同类型的辨识训练， 你把这些训练一个一个挨着跟着我们的课程去走你的对手这块以后再也不出错，帮大家快速去巩固好学透好不好？

今天咱就来深刻理解对数的运算，相信你不会再怕他啦！从四个方面来讲解，前两个比较简单，后两个稍有难度。先来看第一个，只对互换。 咱们先说说对数的含义，它其实就是由指数是推出来的，在未来我们会研究很多与指数相关的问题，但每次你想求 x 的值，都通过这个方程来写，实在不方便。 所以在十五世纪的欧洲，数学家们就发明了一个叫对数的符号，通过它呀，就可以非常简便的写出这个指数 x 的值，所以对数符号是帮你的，不是害你的。 那这个对数代表的值有啥含义呢？我举个例子马上能够懂。比方说，以三为底，二十七为真数的对数，他的值等于多少啊？对 对于初学者而言，你在不熟悉对数式的情况下，你都可以将它转化为等价的指数式来研究，因为这俩玩意是一回事。你看，我们把这个写为指数式来看看对应的这个 a 值是等于三的吧， 也就是说，三的 x 次方等于 mm 等于二十七亿。这个 x 显然可以口算咯，三的三次方等于二十七，所以他的值就等于三。你明白对数的含义没有？他指的就是底数的这么多次方等于真数，那我就随便再写个比方说，六个二八，他等于多少啊？ 你就看看底数的多少次方等于真数呀，三次方嘛，所以他的值也为三，怎么样？对数的定义很简单吧，你也不要小瞧了这么一个只对互换的横等式，对于初学者而言，通过他已经可以做出 很多道题了。咱先来看一个简单的高考题，给了一个指数，是给了一个对数式，然后要你求这个密的值。如果你在初期对于对数还不太熟悉，你都可以先将它转化为指数。是还记得怎么转吗？ 底数的这么多次方啊，是等于真数的吧？你再来看条件与结论，是不是全与指数相关了？初中生都会了吧，那我们来试试。首先这个指数相减呐，对应的是密相除物，然后你再看看分子分母，都可以求出来， 比方说以至二的 a 次方等于五，那四的 a 次方呢？他可以看成是二的平方的 a 次方吗？你再把这个 a 和二对调，他是等于二的 a 次方的平方，别问为什么，初中指使，那么这个平方当然得到，就是五的平方，二十五 五啦。再来看那四的三 b 次方怎么办呢？当然是通过他啦。首先为了凑出这个三 b 啊，显然这个八可以写为是二的三次方，他的 b 次方，那么合在一起就是二的三 b 次方等于三一 一只他球底下也太简单了吧。这个又可以写为是二的三 b 次方的平方嘛。所以分母的平方就变为三的平方等于九，是不是做完了？你说与对数有关吧？没啥关系，其实是一个指数问题， 所以很多对数问题都可以转化为指数研究。比方说，再来看一个复杂一丢丢的给了一个连等式，要你求他的值。 首先在高中阶段，对于这种连等式的题目，我们基本上都会把它的值给射出来，这个操作非常非常常见。那你说射出来有啥用呢？我们不就得到了这三个值， 十都等于 k， 分别写出来嘛。先来看第一个式子，我们想要的 a 在这个对数里面好难受啊，是不是可以使用只对互换把这个 a 提出来呀？还记得咋提吗？ 我们可以先把这个一移到右边去，得到六个二。 a 是等于 k 减一，然后写为他的指数形式就是底数的这么多次方等于整数 a 是不是就把 a 写出来了？ 下面两个对数式同样都可以转换为指数式，那么题目给的这个式子是不是就可以往里面带了呀？但是你直接把 a 和 b 的值带进去，其实不行，因为 k 的值啊，不好求，所以我们还得稍微的先化解一下。 考虑到我们知道 a 加 b 的值，肯定是想想把它通分嘛。你通分了以后，分子不就是 a 加 b 吗？他就是六 右的 k 减三次方吗？又变为了单纯的指数问题。这个 a 就是二的 k 减一次方，乘以 b 是三的 k 减二次方。非常多的供应式，你要知道会提吧。先来看分母， 这是 k 减二，这是 k 减一。我们是不可以写为是 k 减二加上一啊，所以左边可以变为是二的一次方乘以它。这两个可以合并一下了。就是六的 k 减二次方乘以二 分之六的 k 减三次方。这俩玩意儿约谁不会呀？那么注意这两个数值谁大呀？肯定是下面这个大嘛，比上面大一，所以约了以后还剩一个六。那这道题的答案就是十二分之一吧。 你看，我们只要掌握了纸对转化，很多对数问题都可以变为指数问题。照这样看，似乎只用学纸 指数就好了，反正对数可以转化吗？不是的，其实我们做的大部分对数问题，你转化为指数是反而会变得更麻烦，所以我们就必须得了解对数具有哪些运算规则。

对数函数就是函数中最能让大家拉开差距的点了，那么今天我们把对数函数最核心的这八大题型全部给大家一次性讲透， 你把这八大题型掌握透之后，以后再也没有对数函数题能难到你了，行不行？行好，第四种题型叫对数复合。那么在这里我们重点给大家先讲一下对数和二次的复合，这是很经典的。来，先观察这俩题 问法上有什么区别，一个是定义域为 r， 定义域为 r， 一个是直域为 r。 对 了，很多宝字幕的痛点呀，不会，今天就彻底会了，行不行？行好， 你看什么叫对数函数？我们以前说过说 y 等于 l， o j 以 a 为底， x 这个位置只能是 x， 叫对数函数。对，一旦变成别人就叫对数和别人的复合，是吧？好嘞，他的定义域为 r 是 啥意思？ 写到这个位置， x 是 不是必须得大于零啊？是吧？ x 得大于零对不对？你这一大坨把我 x 替代掉了，那是这一大坨的结果，必须得大于零啊。 那也就是说，转化为二， x 方加 k， x 加八分之三得大于零。解出来的 x 是 不就是我的定音律？是的，它的解集是定音律。题目说定音律为 r， 问题得到转化，一元二次不等式恒成立。开口朝上，你与零的大小关系，几根图像？我们讲了六根，几根打一下，这里是三根啊，我们讲了几根？讲了六根二次函数，开口朝上， 朝上的有三根，就一个，点也三个，一共六根。好了，回答我，一二三，哪个符合题？只有 x， 不 论为谁，他的值都 y 值都得大于零。大于零哦，哪一根？一只有第一根，那怎么保证第一根呢？ 怎么保证第一根呢？来，我只要保证的小于零，从这里面解出来的 k 就是 我的范围。写不下了，我就不解了， 往常我们解的比较细致，今天胡老师没解，有问题吗？没有。好，第一个过了，第二个才是难点，很多同学理解不透，看题，他的直域为二， 怎么分析？首先，它是一个复合函数，来，注意第一步，它是谁的复合，把这一大坨看成 t， 胡老师利用 t 等于 x 方减八 x 加 a 方，那么这个函数变成 l o j 以二为底 t 了，是不是？是 说他的直率现在是谁 r？ 有 人说胡老师啊，你看他直率本来就是 r 呀，噔噔噔噔，一划过一零点 r 吗？看，从富无穷到正无穷，横坐标是 t， 他直域是 r 的 前提是 t 能取遍零到正无穷的所有数字。是的，对的，是整个图像，直域才能是 r， 能理解，不能理解，那万一 t 从这开始呢？对应的图像是这一段直域还是 r 了吗？不是了。 对呀，所以这个 t 得保证。怎么了？得保证 t 咋了？得保证 t 取遍所有大于零的数，你必须取遍的是所有大于零的数。 ok， 第一步搞定了，把 t 分 析完。第二步， t 是 谁呀？回回去呀， t 在 这，回回去。是不是？ t 是 由二次函数里面的 y 值？ 哎呀，二次函数的 y 值是不是又验证是零的关系啊？对，哎呀，这不是跟刚才一样吗？二次函数开口朝哪朝上？二次函数开口朝上，朝上朝上有三根， 哪一根能保证它取变大于零的所有数？这里是难点， 自己说大于零的所有数，一二三，哪一个？第二根？第三根？我知道有人告诉我是第一根，这就是你记错的地方。假如说这里有个白轴啊， 这横左边不是 x 吗？做左边不变成 t 了吗？是不是 t 要取变零到正无穷，就取变零到正无穷所有数字。如果是第一根，比如说这个点是二啊， 你告诉我，他的 y 值能取遍大于零的所有数吗？他的 y 值是二到正无穷啊，有零到二的吗？没有，我得取遍大于零的所有数， 你只是大于零了，你没取遍大于零的所有数就大于零的所有数，必须从零开始吗？从零到正无穷的所有数，能理解这意思吧？可以，那这个第一根肯定不行啊。 那第二根嘞？看，把这个点挖掉之后，你看他是不能取遍所有大于零的数字。第三根呢？也可以第三根我取这两边吗？对，是吧？我是不能取遍所有大于零的数字，把这挖掉。 有的人很郁闷，他不能理解为什么是第三根，他说胡老师，第三根，这不是小于零的吗？跟他有啥关系啊？我给你举个例子，这是。哎，你看对数函数，看这 y 等于 l o j 以二为底， x 方减二 x。 这个函数，我问你 不行吗？这个函数你看二次函数各过两个点，一个点是零，一个点是二。二次函数开口朝上，是吧？你看他能不能放到对数里面去。 他能放进去啊，只是我现在要求对放到对数里面，你得大于零。我取的是大于零的部分就行了吗？我定义域取的是富无穷到零，二到正无穷，我只要你这个图像大于零的部分就可以了。对， 所以说你为什么不能理解说这个？这部分小于零了，我只要这个图像大于零的部分吗？对吧？你的，你写到对数里面去，你肯定得大于零吗？我肯定研究的是你大于零的部分吗？你大于零的部分能取到零到整数的所有数字吗？可以的，这不就 ok 了吗？ 会了没？所以这道题最后转化成核心叫嘚它。什么零大于等于零，大于等于零，从这里面解出来就是我们参数 a 的 范围， 胡老师写不下了，你们自己算。这话听明白了吗？明白了，这是我们的第四大题型， 但是对手你不仅仅说要掌握这四大题型啊，八大题型是每一个都要去做专项训练的， 我们今天时间原因有限，没有办法讲完了。但是呢，胡老师把八大题型里面每一个拆的很细致，每一个里面还有小题型，你比如对数跟二次的复合，对数跟别人的复合，是吧？每一个都给大家配套了六道八道同类型的变式训练， 你把这些训练一个一个挨着跟着我们的课程去走你的对手这块以后再也不出错，帮大家快速去巩固好学透好不好？ 所以如果你没有训练的话，你可以留一下对数八大题型，然后胡老师给大家安排好，抓紧时间拿走打应用起来行不行？行，好，下课了。

高一同学在学完对数函数之后必须要掌握的四组对数型函数模型，那么对数函数绝对是我们高一同学在学函数里面的一个非常重要的坎， 他不同于我们前面的指数函数和密函数，指数函数和密函数大家在学的时候你发现还多多少少跟你初中学的函数模型稍微有那么一丁点关联，但是进入对数函数之后是一个全新的函数模型啊， 可能好多同学学到这的时候就已经有点发蒙了。我们今天一个视频，把对数型函数里面常考的四个函数模型的旧性以及单调性，还有其他的一些性质一次性给它搞定。 ok， 首先我们先给出结论，基本上写的这四组里面，第一组是我们对数函数里面常考的一个函数类型， 且它的基有性。第一组是我们咋说的来着？第一组是我们对数形函数模型里面常考的一组，这个函数，这个偶函数，那么剩下的二和三都是奇函数，这是奇函数。第四个呢？大家一定要重视一下。第四个我们等会要去研究它的函数图像， 要把它的图像背下来，要把它的图像刻在脑子里面，并且它有什么样性质一定要记住。那么接下来我们就详细给大家正下第二组和第三组的旧性以及单就性。对于第一组来说，这是很简单的一个函数模型啊，我们就不过多给大家介绍了， 重点给大家提醒一下，它是一个对数函数和二次函数的复合，这个二次函数有什么特点呢？不含一次项好看一次项说它是一个偶函数，那么单调性呢？就是和二次函数的一个复合，这个很简单啊，我们重点来看二和三， ok， 两组其实对应的有四个函数。解析式，以 a 为底， m x 减 n 除以 m x 加它也可以是 m x 加 n 除以 m x 减二，它也可以把常数提前， n 加 m x， n 减 m x， 或者 n 减 m x， n 加 m x， 它其实是四组函数。解，其实记住了，我们来看一下这个函数的奇偶性，我们来判断它奇偶性的时候，就给出其中的一个，我们就以这个为例。 那么我们要判断一个函数奇偶性的时候，第一步是不是先应该去看它的定义域，那么它的定义域就是正负部分大于零，也就是 m x 加 n 分 之， m x 减 n 是 不是要大于零？ 做除法大于零就是做乘法大于零，那也就是 m x 加 n 乘以 m x 减 n 是 不是要大于零？那很显然是一个开口向上的抛物线，开口向上抛物线与 x 有 两个交点，你要大于零的部分，且这两个交点还互为 向函数，一个呢，负的 m 分 值，另一个呢， m 分 值大于零去上方，所以首先定域是不关于原点对称，接下来那么要想去判断它的奇偶性，我们只需要去找到 f x 和 f x 之间的关系就可以。接下来我们只需要去求出 f x， 那 么 f x 将上面呢变成了负 x 减， 我们再来化解一下，把上面那个符号给他拿下来，他就变成了上面是 m x 加，下面的变成多少 m x。 那 么这个时候你去看一下 他是和他自己相等还是和他相差一个符号呢？直接看不出来是吧？但是你发现他们的这个整数部分分子分母是不是进行互换了？那么互换之后，我们就可以再对他进行化解一下，我是不是就可以写成 m x 加分之 m x 减 n 了？多少次 负一次，它的负一次，我们再结合对手的运算法则，它就等于负的以 a 为底， m x 减 n 分 之 m x 加。这个时候你发现 不对，写错了啊，应该是 m x 加 n 分 之 m x 减，对吧？这个时候你发现这一块不就是 f x 吗？所以它等于负的 f x， 所以我能得到 f x v， 即函数得证，这就是它的旧性，明白了吗？接下来我们再看这个函数的单调性。单调性我们具体给了一个函数解析式，就是将这个 m 和 n 以及底数都给了大家。记住，判断单调性的时候，就是从复合函数的角度， 指数型函数，对数型函数，所有的型函数就是复合函数，明白了吗？所以我们只需要从复合函数角度，那么从复合函数角度，我们只需要找到这函数的内和外就行。令 t 等于二， x 加一分之二， x 减一，所以外函数呢，变成了以二为底的倍数。 首先外函数是一个增函数，那么要想判断这个函数单调性，我们只需要去看内函数就行。那么判断内函数单调性的时候，判断哪一部分区间上的单调性呢？ 首先要明白一个点，它是一个奇函数，奇函数在对称区间上具有相同的单调性。所记住，如果一个函数具有奇偶性，我们在判断它单调性的时候，我们都只去关注大于零的那一部分区间， 你只要搞定大于零的那一部分区间的单调性，奇函数根据特点对称区间具有相同的单调性，偶函数对称区间具有相反的单调性， 所以我们只需要去看哪个区间，我们只需要去看二分之一的动去拿就可以。那么我们来看一下内函数应该如何去判断内函数 t 呢？等于二 x 加一分之二， 我希望用最快的判断单项链的方式就是单项链的用法法则，那么我们只需要对它进行一个长竖分离，二 x 加一分之二， x 加一，我原来是减一，我再减个二，它就变成了一减二 x 加一分叉。那么这个时候大家请看分母 增函数，它分之一减函数，填个负号增函数，所以内函数在二分之一到正无穷大，是一个增函数内增外增，所以我能得到 f x 在 二分之一到正无穷大，因为是既函数对称区间上具有相同的定角性，负无穷大到负二分之一，这两个区间上都单调底层， 这就是他判断三角形的方式，明白了吗？ ok， 这是第二组，第三组，这组函数的两个函数解，其实一个加 m x， 一个减 m x， 我 们来判断一下它的奇偶性。判断奇偶性的时候，同样第一步是先去看它的定域，很显然这个定域是全体实数，这个没有问题吧？大家解释一下，根号下是 m x 的 平方，再加了个一再开根号，所以它的绝对值一定比后面大， 所以不管怎么样，整个整数步法恒大于零，所 x 属于全体实数，那么全体实数了。关于原点对称，接下来第二步就是去求 f 负 x， 我 们以其中的一个为例，我们就来看减，我们看减的时候 去求下 f 负 x， 那 么 f 负 x 就 等于也为底根号下负 mx 平方 mx 方加一加 mx。 这个时候你去看下 f 负 x f x 能不能直接看出它们关联，不能不能了。有些人说这判断不了， 既不等于它自己，也不等于它的相反数，那么说它是一个随机 field， 别着急，我们说当你看不出来的时候，你一定要想到基有性的变形式，如果它是一个基函数，我们是去验证 f 负 x 和 f x 作和，看一下作和是不是等于零，我们来看下这个作和之后结果， 那么 f 负 x 加 f x， 它就变成了以 a 为底，这一块和这一块相相乘， 你发现他们两个相乘的时候， a 加 b 乘 a 减 b， 是 不是正好是平方差？公式等于 a 方减 b 方， a 方就是 m x 平方加一减 b 方就是减 m x 的 平方。做完差做完合之后，你发现正好是以 a 为抵一的对手，而以 a 为抵一的对手等于零，也就说他们两个加和等于零， 那么加和等于零了，所以我能得到 f x 为奇函数的正。那么接下来我们看它的单调性。如何去判断单调性呢？我们分别要看这两个，因为他们两个判断单调性的方式是不一样的， 一个是加，一个是减，其中中间如果为加号的时候，这个很简单，用单调性的运算法则就可以搞定。同样它是一个复合函数，我们来找到内和外， 那么令 t 等于 t 等于根号加四 x 的 平方加一加二 x， 外函数变成了以二为底 t 的 倍数，以二为底 t 的 倍数。单增，我们只需要看内函数就行。同样 你是一个奇函数，我看内函数的时候，我只需要去看哪个区间，我只需要去看零到中位数，我是不是只需要看大于零就行？我们来看大于零四 x 平方大于零，增 加个一增开根号呢？还是增加个二 x 还是增？那么也就说内函数在零到中去哪增？内增外增，所以整个函数零到中去哪增？零到中去哪增？定义域是全体实数，所以它在 r 上都是一个增函数。我们重点来看，如果中间是减的时候怎么办？ 那么中间如果是减的时候，还是要我们找到它的内和外并 t 等于根号加四 x 的 平方加一减二，所以外函数变成了 以二为顶替的对数，外函数是一个增函数，我们重点来看内函数，内函数前面增，后面增，增函数减，增函数。单调性算法子能搞定吗？搞不定。那么搞不定了怎么办？这个里面有一个特殊的处理手段，我还希望用单调性的运算法子来处理，我们叫做分子有理化， 分子分母，这填个分母一之后看啊，四 x 的 平方加一减二 x 乘以根号下四 x 的 平方加一加二 x 就是 我分子分母同时给你乘以一个 根号下四 x 的 平方加一加二 x， 那 么你看一下，这个上面 a 加 b 乘 a 减 b， 就 等于 a 方减 b 方的一下面就是根号四 x 的 平方加一加二 x， 这个时候你发现分母不就变成上面这种情况吗？单极限计算法则是不是就可以了？ 分母在零到中去哪？怎么样增它分之一呢？减，那么它分之一减，也就说这个内函数是个什么函数？减函数内减外增，所以整个函数在全体实数上减， 这就是它的弹性，这是第三组。 ok， 我 们再来看第四组。这组函数呢？一个非极非偶函数，因为它的定义域是多少？零到中去哪？ 不关原点对差，对吧？那么它的重点是什么？它的重点是它的函数图像加了个绝对值，你想，不管是单调低则，如果它是单调低，则加完绝对值去下翻上是不是长这样？那么如果它是单调低减，就底数 a 大 于零小于一呢？加完绝对值 是不还是这个样子？所以你会发现，这个函数它不受底数 a 的 影响，它的图像永远都长这个样子图。要记住啊，它的图永远都长这样，底数不管大于一还是大于零小于一都长这样。并且它与 x 的 交点是一， 对吧？那么单调性就出来了，零到一上减一到无穷大增，这是第一个。第二，一个，它和平行于 x 轴的一个交点为 x 一， 另一个交点为 x 二， 满足 x 一 乘以 x， 也就说 x 一 和 x 互为倒数。那么怎么去正？很简单，你在没加绝对值之前，你的 x 一 和 x 代入他们的函数值，是不是一正一负互为相反数， 对吧？加完绝对值之后才相等，那么你就把绝对值给他脱掉，脱完绝对值之后，你发现你是不是能得到以 a 为底 x 一 和以 a 为底 x 二是怎么样的？ 是不是互为倒数的？互为相反数的呀？它们两个互为相反数，你化解一下一个项，它就变成了以 a 为底 x 一 加上以 a 为底 x 二同底对数作合，底数不变， 是不是正数相乘就等于零？那么以 a 为底， x 一 乘 x 二等于零了，所以我能得到 x 一 乘以 x 二等于一， 他们两个互为倒数，这就非常重要一个性质，这个函数，这个函数模型超级重要。在我们函数方程里面，有一类题型，叫做函数零点和和积的问题，记住， 只要考到函数零点之积的问题，基本上都有它的存在，明白了吗？它的图像要刻在脑子里面，这个性质要记住， ok， 这就是这四种函数的图像以及性质。

根据对数的概念来求这个参数， a 的 取值范围呢？它也是我们的一个非常重要的题型，期末考试几乎是必考的哈。 嗯，但是呢，很容易出错，我们来看一下啊。首先我们的对数啊形式，你比如说 y 等于 log， 以 a log a d x， 这是一个对数函数，那么它的底数 a 要大于零且 a 不 等于一 啊，而且呢，他的真数也就是他的定义域，对吧？啊，定义域是什么呢？ x 要大于零，那就是零到正无穷大，所以你只要位于真数位置的这个数一定要大于零啊，底数一定要大于零且不等于一。哎，这是我们 呃，这个倍数和指数他们之间的关系来决定的啊，这个我原因我就不给大家解释了啊，前面我都有解释 啊，那我们来看这样的一个对数形式啊，实数 a 的 取值范围是多少呢？那么你要分底数和真数 两块来考虑，它的底数是 a 减三，那么 a 减三大于零， a 减三不等等于一，这两个都是同时成立的， 同时成立的话呢，我们可以用大括号给它括起来嘛，然后真数必须要大于零。好，这三者同时成立，给它算出来取公共部分就可以了哈。好，我们来算一下，第一个是 a 大 于三，第二个呢是 a 不 等于四， 第三个呢是 a 小 于五，那么它们综合起来呢？所以我们得到 a 是 大于三，小于五，且 a 不 等于四啊。但是呢，我告诉大家啊，在我们高中的话呢，特别是这个选填空题，你不要写这种形式，不要写取之范围，最终结结果一定要写成集合的形式，你听老师的就没错，写集合永远。对 哎，但是写取值范围有可能会扣你分，所以他的取值范围呢？你可以写成哎，区间的形式。你不是三到五中间撇去四吗？那就是三到四，然后并上四到五。或者是你写成什么形式呢？哎，描述法 这样也是集合的形式吗？那这种形式也可以写成这个区间的形式？当然也可以哈，这两种方式都可以，唯独不能不写成集合的形式啊。关注老师，学习更多数学知识。

认识完定义后，我们来认识对数函数的定音域，因为对数函数的自变量是真数，而真数必须大于零，所以对数函数的定音域为零到正无穷大的开区间。 和指数函数一样，只需要确定了底数 a 就能确定。函数的解析是确定底数 a， 可以采用代定系数法 将一组 xy 的值带入，解除 a 的值。比如已知对数函数 fx， 图像经过点四分之一二 就可以设。对数函数的解析式为 y 等于以 a 为底 x。 对数 a 大于零，且 a 不等 一，将坐标带入得 以 a 为顶，四分之一的对数等于二，化为指数式及 a 方等于四分之一。 取正根得 a 等于二分之一。及对数函数的解析式为 y 等于以二分之一为底 x 的对数。 不过并不是任意点都可以带入。还记得指数函数吗？用代定系数法求底数 a 时，不能带入点零一，因为 a 的零四方等于一横成立。 同样，对于对数函数不能带入点一零，因为以 a 为底一的对数等于零横成立 及 x 等于一，一定对应 y 等于零。也就是说对数函数的图像一定经过点一零。 下面我们来看对数函数的图像，利用描点法画出对数函数的图像。根据底数 a 的取值范围分为两类，当 a 大于零小于一时，图像下降，函数递减。 若 x 大于零，小于一则歪大于零。 若 x 大于一，则外小于零。 当 a 大于一时，图像上升，函数递增。 若 x 大于零，小于一则外小于零。若 x 大于一，则外大于零。 两类图像都完全在歪轴右侧，这是因为真数的低音域为零到正无穷大的开区间， gx 只能去正数。 两类图像都会无限趋近于歪轴及歪轴是他们的渐进线，且都如前面所说，经过一零这个定点。 通过图像我们还能看出对数函数的直遇为 r。 我们可以把以上这些性质归纳到一起来对比记忆。