九年级下册反比例函数第二节相关习题

挑战一个视频带你快速搞定初三反比例函数十大必考题型，多学一道，多拿五分！弹幕里打出，我要逆袭，我们直接开始题型一、反比例函数的定义 以下函数， y 是 x 的 反比例函数，个数有一， y 等于 x 加 b， 所以 一是依次函数， 不是反比例函数。二， y 等于负， x 分 之十二。我们知道反比例函数的通式呢，它是 y 等于 x 分 之 k 二，所以呢， k 是 等于负十二二四的。再看三， y 等于三分之 x， 它这个上下调转了，所以不是反比例 四， y 等于 x 分 的负一次方。好，我们知道这个负一次方呢，就是相当于分数线分之一，也就 y 等于 x 分 之一啊，它是法比例函数啊，所以四四的 好霸气！给大家总结一下反比例函数表达式的表示方法。第一个最常见就是 y 等于 x 分 之 k， 其中 k 要不等于零。第二种呢，我们可以把它变成乘法关系 x， y 等于 k 啊，这是第二种表达方式。第三种呢，还有是 y 等于 k 乘以 x 分 之负一次方啊，因为这一个 x 的 负一次方呢，负一次方相当于分母线分之一，那再乘以 k 就 相当于 x， y 等于 x 分 之 k 啊， 所以呢，我们看回这一个选项，是 y 等于 x 的 负一是吧？这个是反比例函数啊，只不过 k 呢，是等于一省略掉而已，对不对？你看把它 变形也是 y 等于 x 分 之一， k 呢，就是一了啊。好，所以四呢，它是反比例函数。 那我们看第五，负 x， y 等于三，我们变形下， x， y 是 不是等于负三呢？ 那 y 等于 x 分 之 k， x， y 等于 k， k 是 等于负三的，所以呢，这个也是反比例函数啊，只要满足 x， y 等于 k， k 不 等于零，这个也是反比例函数啊，我们刚刚已经中过了三个 y 的 x 分 之 k， x， y 等于 k， y 等于 k 乘以 x 的 负一，是吧？这三种表达方法都是反比例函数？好，那么看六六肯定是错的啊，为什么呢？虽然它类似于 y 等于 x 加一分之二，但是它并不是 y 与 x 的 反比例函数，它是 y 是 x 加一的。关于 y 是 x 加一的函数，所以六呢，是不能选的啊，是不是 y 与 x 的 反比例函数？好，那我们再看 七七的话，看到平方肯定是错了，你看这里全部都是 x 是， 呃，一次方，这个负一只不过是分 x 分 之一而已啊，所以看到平方呢，也不选不是反比例函数。呃，看到这个 y 等于五， x 平分之一加一，这个也不是反比例函数啊，看到二次方的都不是，所以这个答案呢，就只有二四五选 c 啊。我们看第二题，已知这一个函数的式是反比例函数，则 m 的 值为多少？ 反比例函数呢，有三种表达方式， y 的 x 分 之 k， x， y 等于 k， y 等于 k 乘以 x 的 负一次方，其中这上面的 k 都不能等于零的哈，好，那我们看 这一个的表达方式是不是满足 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方，对不对？所以我们就有反比例函数了。第一个 m 加二就相当于 k 的 这个位置，不能等于零。第二个 x 的 右上方，这个要等于负一，所以 m 的 平方减五等于负一。为什么这里要等于负一呢？因为 y 等于 k 乘以 x 的 负一方，就相当于 k 乘以负，一看成分数线 x 分 之一，就相当 x 分 之 k， 那 这个才是 y 等于 x 分 之 k 才是一个反比例函数啊，所以要把它记住啊。前面 k 不 等于零，这个指数等于负一。好，那我们所以算得第一个， m 移过去，不得负二。好，第二个，我们算一下 m 的 平方 负一加五，那就等于四，五减一等于四吗？好，把它开出来， m 的 平方等于四，那就 m 等于正负二，一个等于正负二，一个不能取负二，所以负二呢，你要舍掉，不能取 m 呢，就取正二。 所以这道题主要考的是反比例函数的表达方式， y 等于 k， x 的 负一次方，这个 k 不 能等于零，然后 x 的 指数这个要等于负一。 题型二，反比例函数的图像与性质反比例函数 y 的 x 分 之 k， k 不 等于零的图像经过二。一，下列说法错误的是， 首先图像经过点，那可以把这个点带入到它的表达式里面， x 等于二， y 等于一带进去呢，也就是 x， y 等于二乘一等于 k， 那 算出来 k 呢，就等于二， a 是 对的啊。 那我们看 b， 图像分布在一三象限，我们算出来 k 等于二，也就是 k 大 于零。反比例函数 k 大 于零，图像在一三象限，所以 b 也是对的。 好，那我们看 c d， 当 x 大 于零的时候，就看 x 的 重半轴。重半轴这一部分的图像，你看它是下降的，下降的话应该是 y 随 x 增大而减小。所以这道题很明显呢，就是选 c d 选项，当 x 大 于零时候， y 随 x 增大而减小，而 d 是 对的。题型三，反比例的增减性 已知反比的函数 y 的 x 分 之 k 的 图像，在同一图像内， y 随 x 增大而增大，增大而增大的是一样的变化，那也就它是上升的趋势。图像是上升趋势，那只有这个反比函数只有是二四象限， 那反比例函数在二四项线的话，他的 k 呢，就要小于零，那我们看这一个表达式， y 等于 x 分 之 k， k 呢，就相当于 n 加三这个位置，也就他就二四项线，所以 n 加三呢，要必须满足小于零，那算得 a 呢， 就小于负三，那我们看一下罢。结总结哈，这个反比例函数的增减性，如果 k 大 于零，那么这个图像是在一三象限， 你看它是下降的， y 随 s 增大而减小，那如果 k 小 于零呢？那它的图像是上升的，在二四象限， y 随 s 增大而增大一样的变化。 题型四，比较大小反比例函数 y 等于负 x 分 之二的图像上有两点， p 一 和 p 二。如果 x 一 小于零，小于 x 二，以下结论正确的是 这一道题呢，它没有图像，所以我们要自己画图。 y 等于 x 分 之 k， 这个 k 呢，等于负二小于零， k 等于负二小于零呢，那么这个图像是在二四象限。 好，那他大概的走向就是这样子的，那我们看标出 x 一 x 二的关系， x 一 小于零，那 x 一 是在负半轴，点一下，零在这里， x 二在这里。好，它们对应的是 y 一， 上面这个对应的是 y 一， 对着这个 y 轴，哈，那这个 x 二对应的是 y 二，你看 x 一， 它对应的 y 一 很明显是在正半轴，那所以 y 一 呢，是大于零， 而 x 二对应的是 y 二，它是在负半角负数，所以呢，我们就有 y 二是最小的，然后再再到零，小于零，小于 y 一 y 一 是最大的，它大于零，所以呢，我们就选 y 一 大于零，大于 y， 二选 d。 提醒五， k 的 几何意义？如图，点 a， 在 双曲线 y 的 x 分 之 k 上， ab 垂直， x 于 b。 好， 题目告诉你，三角形 a o b 的 面积 s， a， o， b 等于二，这个面积等于二，他问 k 的 值是多少？好来做这种题呢？首先我们把这个 a 点设为 x y， 那我们知道 y 等于 x 分 之 k 这个反比例函数，我们可以把公式推倒一下，变形一下，可以得到是把 x 移过来，就 x 乘 y 等于 k， 而我们看图这个三角形的面积 s， 三角形 a o b 呢，它是等于二分之一， 底层高直角边这一段刚好是 x， 这一段刚好是 y， 所以 这个面积呢，就是等于二分之一，底层高就二分之一， x 乘 y 等于二。 好，二分之一， x 乘 y 等于二。我们再看刚刚变形了，我们知道 x， y 等于 k， 所以 我们把 x y 带进去，就等于二分之一，乘以 k 就 等于二了，所以 k 呢，两边同时乘二，就等于四， 而选四还是负四呢？大家一定要注意反比例函数，注意符号啊，因为这个反比例函数是在二四象限， k 是 小于零的，所以呢，我们要选 d 负四。 好，我们再看题型。六不等式与反比例函数的运用 如图一，次函数 y 一 与反比例函数 y 二都经过这两点， a 点和 b 点， a 点是负一二， b 点是二负一。结合图像，它问 x 加 b 大 于 x m 的 解集式。 做这种题我们要学会看图啊，你看 case 加 b 呢，相当于是 y 一， 有些题目他会问，你是 y 一 大于 y 二的解集啊，那我们看 y 一 呢，就相当于是依次函数，也就直线比双曲线要大。 我们记住一句话啊，谁大谁的图像就在上方。你看 k x 加 b， 我 们先从这个呃分界点看哈这个负一来看，因为你要求解析是求 x 的 范围，所以你只要看负一和二这个分界点 x 的 坐标 来，我们看 x 这个 a 点左右两边看，你看向左走向右走，谁大谁的图像就在上方，就选谁。你看这个是不是依次函数，也就是直线 比反比例函数要大，对吧？这个这个不等式啊，那我们就找直线比反比例函数大的那一个范围，你看 从左走呢，从这个负一往左看呢？是不是直线在这方面函数的上方延长一下看对不对？所以呢，第一个范围就是 x， 所以 就取负一的左边，负一越往左走越小，所以 x 小 于负一。好，这个是第一个解集。 好，我们再看第二个点， b 点也是看横坐标啊，因为你要看是 x 的 范围二向左走还是向右走呢，谁大 谁在上发，也是要看一次函数直线在上发，向左走的话，哎，左走的话，就是这条直线在反比例函数上方，所以是二的左边，所以 x 小 于二。但是你这样写是错的， 因为反比例的图像是不能等于零的， x 是 不能等于零的，你看它这里无限接近零，所以是在零到零到二之间，所以呢，要补上大于零到二之间。 所以这道题的答案呢，就选 c。 那 如果我把这道题换一下，变成是 k x 加 b 小 于 x 分 子 m 呢？怎么看呢？那这个就变成是直线， 就依次函数直线的图像，要什么呀？小于反比例函数下， 那反比例喊谁小就谁在向下方喽，对吧？这个就变成下方，反面来说变成上方。那我们再看， 也是从这个分界点负一看，向左转向右走，你看向右走就反比例比直线大，是不是要比负一要大右边。所以呢，第一个第一个解集就是 x 大 于负一，但是不能取零，所以就要小于零，这是第一个范围。 好，第二个范围看 b 点或者 b 点哈，分开两段的 b 点，你看向左走还是向右走？反比函数比较大呢？ 是不是向右走反比函数就比直线大了，所以就取它了，所以二的右边，所以 x 大 于二 啊，这是 y 一 小于 y 二的情况。好，大家无论怎么考也要会啊！好，我们继续看题型七，依次函数和反比例函数的图像问题。 依次函数 y 的 k 四减二与反比例函数 y 的 x 分 之 k 可能的图像是。好，那我们要判断 k 的 大小符号，因为 k 它是不确定的。 呃，我们先来做一个排除法，这一个一三函数是 y 等于 k， x 加 b 的 通式来的，而这个 b 呢，它表示是与 y 轴的交点， 所以我们看 b， 在 这里，它是等于负二的，那它是不是与 y 交于负半轴，对不对？负半轴就是下方，要交于下方，所以我们很明显就排除 a 选项，因为它是交于上方， b 大 于零，而这个小于零矛盾了，所以 a 不 选 好，舍去 a 之后，我们再看 k。 第一种情况，我们要分情况啊， k 大 于零或小于零吗？第一个，当 k 大 于零的时候， 我们自己去画一下吧。当 k 大 于零的时候，它反比函数很明显是在一三项线的好确定的反比例函数了。我们再看一三函数，当 k 大 于零的时候，它直线是上升的， 对吧？而 y 是 负二。哦哦， b 是 负二，与 y 轴交于负半轴，所以它这个应该是这样子的。那我看看有没有得选啊？一三象限， a 没有得选了，所以 k 大 于零这个想法不成立。那我们再看 k 小 于零， 那我们先看反变函数，小于零呢？很明显是二四象限，而这个一次函数 y 等于 k， x 减二， k 小 于零的话，它就是下降的，然后与 y 交于负半轴，因为 b 等于负二嘛，所以它就是这样子的。 那这一个道题呢，很明显只有第一选项是符合的。二次象限下降与 y 加负半轴，所以选 d。 好，霸姐给大家总结一下一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像的情况。首先， k 大 于零呢，它图像是上升的， k 小 于零呢，图像是下降的， 而这一个 b 呢，是与 y 轴的交点， b 大 于零，与 y 轴交正半轴， b 等于零，那就交圆点 o， b 小 于零呢，那就与 y 轴交负半轴。 好，那举个例子啊，你看这一条直线，第一个就是 k 大 于零上升的，而 b 与 y 交正半轴，那就是 b 大 于零的， 而这一条呢，就是 k 上升，也是大于零的，而 b 等于零，而这条直线呢，也是上升， k 大 于零，但是 b 与 y 交负半轴， b 是 小于零的。三种情况， 而如果 k 小 于零， b 大 于零，这个图像怎么画呢？ k 小 于零，下降的 b 大 于零，与 y 交于正半轴，那这条直线就是这样子画的。 k 小 于零， b 等于零呢，也就是下降并且经过圆点的 k 小 于零， b 小 于零呢，那就是图像下降的与 y 交于负半轴啊，这是第三种情况。 好，那我们再看反比例函数啊，反比例函数呢？ k 大 于零，那就在一三象限，这是 y 等于 x 分 之 k 的 这个图像的表示。那如果 k 小 于零呢？那就是在二四象限。想要更多必考题型，大题和难题讲解，那么你来报我的系统题分课，大姐只要三百六十五块 就能学好初中数学代理数学考高分，感兴趣的话，通过微信公众号霸解数学就能找到我的联系方式啦！题型八，待定系数法求解析式！ 已知反比函数 y 的 x 分 之 k， 图像经过这一个点，求 k 的 值。 图像经过点，可以把这个点带入到这一个反比的函数上。哈，那因为照抄这个条件，因为反比的函数经过这个点，所以好，就有带进去， x 等于一带进去啊，所以就有这个 一分之 k 等于 y 呢，就是二 k 加五。好，那我们再查个值算一下啊，那 k 除以一等于 k 喽。二 k 加五啊，把 k 移过来， k 减二， k 等于负， k 等于五， k 呢，就等于负五，所以减的 k 等于负五。 第二问是判断这两个点是否在这个函数图像上，并说明理由。好，我们由刚刚一得反面的函数解析式为， y 等于 x 分 之负五， 那我们就可以把这个点带进去这个函数上。呃，所以当 s 等于一时，把它带进去啊。 y 等于负五，除以一等于负五，那很明显，一负五和一五是不相等的， 那所以负五不等于五呢？那则点一五不在反比例函数上， 我们再把第二个点带进去，加 x 等于负三分之五十， y 等于负五， 除以 x， 我 们把这个分数线把它化成除号，除以 x， x 就 负三分之五除以负三分之五加括号啊，因为它有个符号，负负得正。 这个怎么算呢？再教大家一下，负负得正就不用看负号了，五除就变成乘这个数的倒数，那刚好等于三。 那既然刚好等于三和上面匹配的话，那所以这个点负三分之五，三是在这个 y 等于负负哦。 x 分 之负五的图像上，好，就做完了 提醒九法比例函数的实际应用。好，某药品研究了一种新药，好，它用于一个事业呢，他发现成人服用后，这个血液中的浓度 y 与这个服药的时间 成了一个函数的关系，如图所示。好，它还提醒你，在 x 四到十之间， y 与 s 是 成反比例函数，也就这一段是反比例函数图像，而这一段是直线经过原点是正比例函数的图像。 好，他说，第一个问，根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 的 函数关系式，也就是他让我们求出这个上升阶段的表达式，还有下降法比例函数的表达式。 那么在这个题目呢，他完全没有提示解析式。所以我们第一步要先设地段， y 等于 k 一 x， 那我们看这一段呢，是反比例函数，我们就设 y 等于 x 分 之 k 二，注意 k k 二要分开写下标啊，因为不同的图像 k 是 不一样的。 好，我们看，观察一下，这一个重比例函数是在零到四之间，所以我们写过程要注意分开写。当 x 带等于零到四时，设 y 等于 k 一 x， 那 其中 k 一 是不等于零的， 因为这一个直线经过点四八，所以把点带进去啊，把点四八带入到 y 等于 k， x 得好，把 x 换成四，也就是 k 一 等于 y 换成八， 那就解得 k 一 呢，就等于二。所以呢，这个函数表达式就是， y 等于这个 k 一 换成二二 x， 那么它的范围是在零到四之间哈， x 在 零到四之间。 好，第二段呢，就是在四到十之间，当 x 大 于等于四，小于等于十的时候，设 y 等于 x 分 之 k 二， k 二不等于零。 在第二段反比例函数上，它也经过这个四八，所以把点四八代遇到 y 等于 x， 分 之 k 二，得，那也就是四分之 k 二等于八， 那就减的 k 二就等于三十二，四八三十二，那所以这个函数 y 就 等于 x 分 之三十二， 那它是在四到十之间，把它标明出来它的范围啊。最后下个总结论，把这句话抄下来。所以血液中药物浓度上升和下降阶段， y 与 x 的 函数关系是分别为，第一个是 y 等于二， x 是 这个重比例函数，写出它范围 在 x 在 零到四之间。第二个是反比量数， y 等于 x 分 之三十二，它的 x 是 在四到十之间。好，第一个问就做完了。 好，我把第一问的结论写在这里哈，我们接下来做第二问好，他问这个血液浓度不低于四毫克，四微克毫升，持续多少小时？那不低于呢？就是 大于等于四微克每毫升。我们看这个图啊，你看这个是微克每毫升，也就是当这个 y 是 大于等于四，不低于嘛？大于等于四好，比如说四在这里，对吧？四， 你把这个点给算出来，大于等于四，它持续多少小时？所以你把这个四 a 这个点是当 y 等于四的时候， x 是 等于多少？ w 这个 y 等于四的时候， x 等于多少？好，这个这个时间减，这个时间它就是它持续的时间，所以我们关键要把 y 等于四这两个点给求出来。好，那我们看 第一个图像，就是正比例函数，这个我们刚刚求了直线 y 等于二 x， 那 所以你看， 当 y 等于四，再画一遍啊，当 y 等于四的时候，那我们就第一个方法，把 y 等于四，使代入到 y 等于二， x 得，那就可以得到二， x 呢，等于这个四。 好了，我们就解得在这个直线上，当 y 等于四的时候，它 x 呢是等于二小时两小时的时候。好，一样的方法，我们也是把这个 y 等于四大于到这个反比例函数上， y 等于 x 分 之三十二， 那我们就可以得到 x 分 之三十二等于四，且得呢 x 等于八， 那所以这个点呢，对应下来就是八小时。好，题目让我求的是药物浓度不低于，也就是大于等于四上面图像持续的小时，那我们直接就用这个八减二等于六小时， 这个六小时就是代表大于等于是上面这一段图像浓度持续的时间，所以最后答他，这个持续时间就是六小时 题型时反比例函数的综合应用，如图，点 a 负四二点 b， n 负四两点是在依次函数和反比例函数的两个交点。 好，第一个问，让你求一次函数反比例函数的解析式，我们从图像可以知道，反比例函数经过点 a， 所以 把点 a 负四二代入到 y 等于 x 分 之 m 可以 得到 负四分之 m 等于二。把 x， y 换掉。哈，那么解得 m 呢，就等于负八， 所以反比例函数解析式为， y 等于 x 负八，把负号拿出来， y 等于负 x 分 之八。 好，我们知道一个点坐标带进去可以求反比例函数，而两个点坐标可以求一次函数。题目告诉我们一个点 b 点是不知道，所以我们接下来就求 b 点坐标，也是在反比例函数上，把 b 点带入到反比例函数， 所以把 b 点代入到 y 的 负 x 分 之八可以得到。呃，这个负，这个 x 换成 n， 负 n 分 之八就等于这个 y 是 负四， 这个四值呢？符号去掉呢？ n 呢？就等于二，二四得八嘛。所以解的 n 等于二。 好，这两个 a， b 点知道，我们就可以带进去求一次函数了。把 a 点负四，二 b 点二负四带入到 y 的 k， x 加 b， 可以 得到两条式子，第一条负四换成 x 负四， k 加 b 等于二。 第二条二 k 加 b 等于负四。好，那我们再朝后只算一下这两条式子啊，我们把这两条式子进行相减，因为 b 和 b 一 样，那我们就用二减一，二，四减一，四。好，下面减，上面二 k 写在这里吧，二 k 减，注意，它本来就有符号减四 k， 那 也就是这个是二加四，那就是六 k， b 和 b 约掉了， 那这个是负四减上面减二就等于负六，所以 k 呢，就等于移过去六，负六除以六负一，所以 k 呢，就等于负一。 好，我们再把 k 等于负一带入二式中，这个变成负一呢，就是负二，负二加 b 等于负四，我带第二条啊，那 b 呢，就等于负四，移过来加二，那 b 就 等于负二， 所以呢，依次函数解析式为， y 等于把 k b 带进去， y 的 case 加 b， 那就是 y 等于负 x 减二。所以第一个问就做完了。我把第一个问的两个结论写在上面啊，因为我这里不够位置写第二问呢。好，那接下来我们看第二问，求上写 aob 的 面积。 我们观察一下这个三角形的面积啊，它是一个不规则图形，那我们要把它画成一个规则图形去求。你看我们把这个三角形把它分割成 a、 o c 和 b o c 去求就可以了。你看，为什么是分割成这一个呢？你看 a o c s 三角形 a o c 是 不是等于底层高？ oc 可以 求这个高呢，就相当于 a 的 重坐标， 这个 o c 呢，直接把 c 点坐标求出来就行了。然后我们再看这个三角形， b o c 也是这条底，而 y 的 重坐标为高。哎，它就等于我们要求的三角形 a、 o b 的 面积了。 好，那我们写过程关键是先把 c 点坐标求出来。 c 点是在依次函数 y 等于负 x 减二的图像上，所以令它的重坐标 y 等于零。 好，已知依次函数的解析式为， y 的 负 x 减二，令 y 等于零，则负 x 减二等于零， 那也就负 x 等于移过去等于二， x 就 等于负二，所以 c 点坐标为负二零。 那我们就可以求面积啦。所以 s 三角形 a o b 的 面积呢，就等于分开两个小的三角形。二三角形 a， o c 加 s 三角形 b， o c。 好， 上面这个三角形呢，就等于二分之一，从底从高， 你看这个底呢？ o c 呢，是等于，因为 c 点这边是负二零，所以 o c 这段就等于二，所以二分之一乘底二再乘以高。就 y 的 重坐标， y 坐标乘以二，加上二分之一 b， o c 呢，也是以 o c 为底，所以也是乘以底二再乘以高。是这个造型高在外面是 b， 也是 b 的 重坐标， y 坐标，所以乘以四，那这个它就等于二和二约掉，就等于二加上四，等于六。 第三问，观察图像，直接写出 k s 加 b 大 于 x 分 之 m 的 解集。 那大姐教过大家，求这种不等式的解析呢，就是谁大谁的图像就在上方。那 case 加 b 对 应的是依次函数直线， 对吧？直线的图像，所以直线直线图像就在上方，就是它解析了。好，那我们关键是求直线 和反比例函数的交点。先先把这两个分界点找出来。好，只看 x 的 坐标，这个点。对了， x 坐标是负四啊，这个是负四。 好，那我们看从这个点向左或向右看，我们先向左看，向左看刚好向左边看啊，这个点向左边刚好直线在它上方。哎，所以就满足啦。你看直线在上方，就是它姐姐，所以第一个就是 x 小 于负四， 就他截集了。好，或者再看另外一段，从这个 b 点看，他对的 x 坐标是二， 好，向左或向右看，我们向右看，是反比例函数在上方，那反比例函数要比直线大，不是我要的，我要直线在上方。 那我们再看向左看，你看左看，是不是这条直线在反比例函数上方。哎，就是这段距离了，也就 x 小 于二。但是这是反比例函数，不能取零啊，所以要加上大于零。所以呢，第二个情况是 x 大 于零，小于二。 ok， 以上就是今天分享的全部内容啦，如果大家总是学不好数学分数没有太大变化，你想数学提分，你想期末逆袭，那么你来报我的系统提分课，大姐只要三百六十五块就能高分逆袭期中期末考试，帮你从学渣变成学霸。 就连报名的学生都说花三百多块就能补出三千多块的效果，省下高价补习费。感兴趣的话，直接点击我的头像或者公众号，霸姐数学就能找到我的联系方式呢！

反比例函数面积问题是九年级期末必考内容，百分之九十的孩子都不会做。今天一句话教会你认真听完这个视频，再把我准备的反比例函数专项练习拿给孩子做，轻松提高二十分。那么在这道题当中，他给了我们一条直线和一个反比例函数， 说这两个图像交于 ab 两点，求 oab 的 面积。首先，那么当我读完题之后，我先不看图，我 能求出来这两个解析式和 ab 两点坐标。那首先我们来看，我把 a 点坐标带入到反比例函数图像当中去，那 n 是 不就知道了？所以反比例函数的解析式，那我就能口算了啊，它俩相乘等于五，那 n 就 等于五呗。那么有了反比例函数这个解析式，那我再把 b 带进去，那 b 点的坐标是不也就知道了， 对吧？ m 乘一等于五，那 m 呢？就是五，哎，所以 b 点坐标五到一，那然后你把 a、 b 两点都带入到这条直线当中， k 和 b 能求，那直线解析式也就知道了啊，当然，我们现在用不着它，所以不求，为什么用不着它呢啊？因为在这道题当中，我们只需要 a、 b 两点坐标就行了啊，一个一到五，一个五到一，它让我们求 oab 的 面积， 要是这咋求啊，看起来好难哎，其实我们有一个方法啊，就是一句话就解决它叫做加加减，减除以二，什么意思呢？哎，其实就是这两个点， a、 b 在 反比这函数的图像上，然后 a、 b 两点和圆点 o 的 连线所组成的三角形 a、 o、 b， 它的面积等于什么呢？一定等于 ab 两点，横坐标和纵坐标一个相加，一个相减，乘积除以二，什么意思呢啊？就是说 啊，比如说我让 a 点和 b 点的横坐标相加一加五，纵坐标相减五减一，但是为了保证它的面积是正的， 加一个绝对值，然后除以二啊，叫横坐标相加，纵坐标相减，那就是横坐标和纵坐标一个相加，一个相减，然后乘积再除以二，这就是我们的面积啊，我们来一起算算，一加五十六，六除以二十三，然后五减一，十四，三四十二啊，这道题的面积就解决了，口算说，老师，那我要是横坐标相减，纵坐标相加呢？ 来我们看看啊，如果是横坐标相减，就是一减五，纵坐标相加就是五加一，来，你看结果是一样的。有的人老师是不是凑巧了，你这个是一到五，五到一，他俩刚好是反过来的， 你可以随便使，只要这两个点在反比例函数图像上，随便再举一个反比例函数 y 等于 x 分 之六，那二到三在它的上边，一到六也在它的上边，你去自己去算去，结果都是一样的。 所以以后再遇到这样的面积，有两个点在反比点函数图像上，一个在原点，我们就可以加加减减除以二，直接求结果。那有同学就问了，说，老师你这个方法是到底是怎么来的？我们接下来呢，一起来看一下啊，简单做个推导。接下来我们要讲常规方法了啊，这个常规方法，也就是这个方法怎么来？ 那这个做垂直 m， 这个做垂直 n， 那 首先同学们看 a 点在法面积函数图像上，所以 a o m 这个三角形是不等于二分之 k 的 绝对值，那 b 也在这个法面积函数图像上，那 b o n 呢？是不也等于二分之 k 的 绝对值？而 a 和 b 在 同一个法面积函数图像上， 那就代表着，那我们这个 a o n， a o m 和 b o n 都等于二分之 k 的 绝对值，那么这里边，哎， k 等于五，其实都等于二分之五，所以这俩三角形面积是相等的，没问题吧？那么当它俩面积相等之后，那你会发现它俩有一块公共部分，所以， 那我都减去这块公共部分，那剩下的圈一这个和圈二这部分是不是也相等？等于几？我不知道，但是我知道面积是相等。那么接下来 圈一和圈二相等，那我要求的三角形 aob 是 谁啊？是不就是圈一加圈三？是不就等于圈二加圈三？因为一和二相等啊。那么圈二加圈三是谁啊？ 实际上就是这个直角梯形的面积，发现没？哎，是一个直角梯形的面积，这个梯形就是 a mnb。 好， 那么接下来最后你看，我要求这个梯形的面积，不是上底，实际上就是 b 点的纵坐标 啊。刚才我们把坐标写上，这个叫一得五，这个叫五得一，上底就是 b 点的纵坐标，下底就是 a 点的纵坐标，是不就是，哦，上底加下底就是一加五，那你再看这个高是谁？这个高，哎，就是 m n m n， 我 可以用 o n 减去 o m， 而 o n 就是 b 点的横坐标五啊， o m 呢，就是 a 点的横坐标一，哎，这不就是高吗？上底加下底乘高，对吧？哎，然后你再除以二，那你看这个结果是不是就跟我们前面一样，哎，你看是不是相当于纵坐标相加，横坐标相减，然后除以二了 啊？这样的话呢，我们既会这道题的常规方法啊，又会这道题的秒杀方法，那以后再遇到这个图，我们是不是就无敌了？你学会了吗？

反比例函数面积问题是九年级期末必考内容，百分之九十的孩子都不会做。今天一句话来教会你，认真听完这个视频，再把我准备的反比例函数专项练习拿给孩子做，轻松提高二十分。我们一起来看，说在这道题目当中呢，它告诉我们反比例函数的一个解析式，然后说直角三角形 a o b 当中这个角 b 是 三十度， 让我们去求配的值。那做这道题的时候呢，哎，我们有一个非常好用的方法，其实它就有点像一个回旋标的感觉， 也有点像我们这胳膊肘，这个手臂的勾三股四嘛。那么在这里边呢，我们就有一个什么样的结论呢？叫做 k 的 绝对值之比，等于双臂平方之比。什么叫双臂啊？其实就是我们这个直角三角形的两条直角边，你把它砍成我们的胳膊肘，双臂平方之比等于 k 的 绝对值之比， 这就是我们这种类型题，它所总结出来的结论。那么这样的话呢，我们去求 k 就 一下能够口算了，它是怎么来的呢？我们一起来看一下。那么这道题在证明的时候呢，我们需要用到一些相似的知识，哎，你看，那我要想求 k 的 值，那我已知其中一个 k 要求另一个 k， 对 不对？而这是一个直角三角形， 那么直角三角形，那我们可以过两个锐角顶点，做直角顶点所在直线的垂直，去构造一线三垂直，只不过这里边的一线三垂直呢，是相似的，一线三垂直就是这个三角形，跟这个三角形其实它也是相似的。第一个三角形 b o m 相似于三角形 n o a， 那 相似之后，我们就知道那对应边值比应该等于面积比，就是因为我们这个是相似跟反比例函数结合嘛，你会发现我们这个 b o m 跟 a o n 其实都是二分之 k 的 绝对值啊，就是反比例函数 k 的 几何意义。 所以那这两个面积比我也就知道了啊， b o m 比上三角形 a o n， 在 反比例函数里边，它等于二分之 k， 就是 k 的 绝对值之比嘛，就是这个是二分之 k 的 绝对值，这也是二分之 k 的 绝对值，对不对啊？所以 b o m 就是 二分之 k 的 绝对值， 然后我们这个 a o n 呢？啊， a o n 这个应该是 y 等于 x 分 之二，哎，其实也是啊，我们这个叫 k 一 吧，啊，这个叫二分之 k 二的绝对值， 那都有二分之二分之就没了，哎，所以就是 k 一 比 k 二的绝对值，这就是我们 k 的 绝对值之比。但是这个是从反比例函数的角度来进行的，那么从我们相似的角度呢？我们这两个三角形相似，那相似之后，面积比等于相似比的平方，所以 b o m 比上三角形 a o n 面积比应该等于相似比的平方啊，相似比就是对应边之比，对吧？那这个三角形的斜边就是 b o， 这个三角形的斜边就是 a o， 哎，所以就是 b o 比 a o 相似比的平方， 这样的话，我们把这两个结合起来是不就行了，对吧？啊？由反比例函数，我们知道这个面积比等于 k 的 绝对值之比。由相似啊，我知道啊，这个面积比等于谁？双 b 平方之比啊，所以也就有了我们这个结论 理解吧。哎，所以再看看这个图我就知道了哦， k 的 绝对值之比等于双 b 平方之比，那这样的话，我直接利用这个结论去计算这道题不就行了吗？因为这个角是三十度，这个双 b 的 比就是一比根号三的关系，所以按照我们刚刚所说的， 那这个根号三比一，这是双 b 在 平方之比等于 k 的 绝对值之比，对应 b 对 应的应该是 k， 然后这边这个 k 应该是二，哎，再加绝对值， 对吧？哎，这样的话，我们这个 k 就 很容易能够求出来了。最后求出来，大家注意，这个 k 它是一个负数啊，你别搞错了，这道题说完了，你学会了吗？

这两天有点事，没有及时给大家更新视频，那么今天给大家说几个我们反比例函数当中比较常见的模型结论，大家能记住更好，其实我们主要去体会的啊，还是我们当中的一个证明思路。 那么第一个就是我们的一点一垂直模型，那么这个其实很简单，我们直接写了啊，在这里我们求的是阴影部分的面积，比如说三角形 p u、 a， 它的面积其实就是我们二分之 k 的 一个绝对值。然后第二个我们之前也说过了，比较简单啊，它在这里求的是我们矩形 s 举 a、 b、 o、 c 的 一个面积，它其实就是我们 k 的 一个绝对值。 那么从第三个开始啊，我们简单的给大家来证明一下，在这里我们求的啊，还是我们三角形的一个面积，那么怎么去求我们三角形的面积？它就是我们二分之一乘底，乘高就 ok 了。 那么第一个我们这个三角形 a、 b、 c 的 面积等于多少？我们用二分之一底是谁啊？在这里我们标了这里有一个垂直， 我是不是可以以 bc 为底啊？然后我们做一下延长线，我过 a 点做一条勾，就是 a h， 那 么这个三角形的面积它就是二分之一乘 bc， 我们再乘 a， 这就可以了吧。那么具体是多少呀？我们来观察一下这个图啊。在这里我们 ab 这条直线是过圆点的，所以说我们 ab 关于圆点肯定是乘一个中对称的，如果说我 b 点的坐标是 x， 逗号 y， 那 么 a 点的坐标肯定就是负 x， 逗号 负外，所以说 bc 的 长度我们是不是有了呀，它就是我们 b 点的一个横坐标，就是 x b， 然后我们乘什么？是不是乘 a h 啊？ a h 的 长度等于什么呀？我们是不是在图里面可以看出来，其实就是我们这一段加上我们这一段啊？那么我们找一下呗， 这一段多长呀？我先看看啊。这个 h 点的坐标，纵坐标就是 b 点的一个纵坐标， 说负 x 的 话 y， 所以 说这一段其实就是 y， 对 吧？然后下面这一小段呢？我要正的，所以说这里我们应该是一个负 y 的 对值吧，所以说在这里我们乘的应该是一个，我直接化简了，我是不是乘一个二 y 就 行了呀？ 那么所以说这我再写一个，就是二分之一，是不是 x 乘二 y， 然后你这个二一消，那么他就是 x 乘 y， 也就是我们的 k 了，对吧？当然啊，你这个图我们过的是一个一三相线，你这里 k 是 大于零的，我直接写 k， 可以。 那么如果说我们过的是一个二四相线，你那个 k 是 不是小于零了呀？ 那么在这里一样呢？我们做的话，我还是把 b c 沿出去，我们过 a 点做一个垂线，你 a c 两点是不是也是关于圆点成对称的呀？所以说在这里我们三角形 abc 的 面积，它就是二分之一乘 bc， 我 们再乘一个 a， 是 了吧？ 然后你二分之一乘 bc， bc 多长呀？它其实就是我们 c 点的一个纵坐标吧，就是 y b， 然后你 a h 多长呀？其实就是这一段，我是不是加上这一段了？这两段 我肯定是相等的，对吧？跟刚才是一样的啊，那么我们是不是乘一个二倍的，是不是 x a 就 行了呀？那么在这里啊，你一乘这是二分之一，我们直接化简乘以 y， 是 不是再乘二倍的 x， 那么最后就是 x， y 也是等于 k， 那 么注意这里是我们过的是二次向量，所以说 k 我 们应该加一个绝对值，然后第三个是我们求我们一个平行四边形的面积，在这里还是看面积，我们这个平行四边形的面积是不是它就等于底乘高啊？ 所以说我们找的话，我们把这个平行四边形的底和高是不是找出来就 ok 了呀？一样的啊，还是观察一下我 b、 d 两点是不是这条直线，我过的是圆点，对吧？所以说它们俩肯定也是关于圆点成正对称的。那假如说 b 是 x， 逗号 y 的 话， 你第一点就是负 x， 逗号负 y， 对 吧？那么你平行四边形 a， d， c b， 那 么它就是等于我们的 ab， 然后我们过 c 点，是不有一条高，就是我们乘一个 ac 就 可以了吧？ ab 是 多少？他就是我们 b 点的横坐标，就乘个 x， 然后 ac 呢？其实他就是我们的 这一段，是不是加这一段了呀？然后你这一段他就是 y 了，对吧？那你这一段呢？他的长度是不是负 y 的 一个绝对值，对吧？所以说我们去节用 x 去乘一个二 y 就 行了吧，所以说这是二倍的 x， y 也就是二 k， 然后下面还是一样的啊，在这里我们过的就是我们的二十四向下了，那么它的面积等于多少呀？还是 s a， b， c， d 一 样的啊，我们可以以 ab 为底，然后以 b、 d 为高吧，我去找它的长度，你 ab 的 长度还是我们还去设一下吧，假如说 a 点是 x 多少 y， 那 你这就是负 x 多少 y， 然后 ab 多长，它是不是就是我们 a 点的一个中坐标，就是 y 了，对吧？那你 b、 d 呢？找一下，是不是就这一段加上我们这一段啊？那么它多长呀？你这一段就是我们 a 点的一个横坐标吧，是 x， 那 同样的这里 我们是不是也是 x？ 注意啊，你这 x 是 不是小于零的呀？所以说在这我们乘的应该是一个 二倍的 x 的 一个绝对值吧，那么它就是二 x 的 值，我们再乘一个 y， 那 么也就是我们二倍的 k 的 一个绝对值。这第四个模型， 那么接着我们再看另一个，还是我们的两线两垂直，这是另一个了另一种模型了，那么这个面积其实也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也好看，它就是我们二分之一乘 c、 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 bc， 我 们找它们的长度就行了，对吧？还是一样的，你 a、 b 肯定关于原点对称，那么你这段长度，如果说你设 b 是 x 的 话， y 的 话，那你 c、 b 肯定就是 二 x 了吧，你 c 肯定就是二 y 了吧，所以说它就是二分之一乘二 x 乘二 y， 也就是我们二倍的 x， y 也就是二倍 k 的 绝对值，那么后边这个图也是我们不难想，它肯定也是我们二倍的一个 k 的 对值。 第五个两条同号 k 值曲线加一个平行线，然后围成了我们的一个矩形，问我们这个矩形的面积是多少？在这里我们说看两条曲线的对吧？假如说上面是 y 一 等于 x 分 之 k 一， 那 y 二我们是不是等于 x 分 之 k 二，那么这个矩形面积我们怎么求啊？ 那么我们可以通过做差法去表示一下我们这个面积，那么我们怎么做差啊？我们可以因为你这个 d、 c 和你的 ab 是 平行的，我们可以过 cd， 我 们做下延长线，那么你这是肯定也是垂直的呀，标一个点 g 吧， 那么我们这个 s， d， c， b， a， 它的面积我是不是可以转化成为我们矩形 s， c， b， o， g 减去我们矩形的另一个矩形，就是 d， a、 o， g 的 一个面积， 你 c、 b、 o， g 是 不是相当于我过外面的一条，我往 y 轴，往 a 轴做垂线，那么它的面积是不是就是我们的 k 一 了呀？然后你这个 d， a、 o、 g 呢？是过地点，你往 y 轴和 a 轴做垂线，那么你这个面积是不是就是我们的 k 二了呀？所以说你 d、 c、 b， a 的 面积就是我们 k 一 减 k 二，然后这还剩我们在 d 一 象限的，你 k 大 于零的，我们这样写，可以，那么如果说你在 二次相切呢？那么其实这里是一样的，我们还是过 c 点，我们做一个垂线，你这个矩形 d， c， b， a 的 面积，它还是等于我们我们这个大矩形啊，就是 a、 o、 g， d 减我们这个小矩形 b、 o、 g， c 吧，你大矩形面积在这里我们就需要加一个绝对值了，你外边这个还是 y 等于 x 分 之 k 一， 你里边这个是 y 等于 x 分 之 k 二。 你大的减小的，是不是还是我们 k 一 减 k 二啊？只不过我们过的二次相线，所以说在这里啊，我们加一个极对值，那么下一个在这是让我们求一个三角形面积，已知你的 a、 b 和内轴还是平行的，你是不是我们也可以做一条延长线呀？就是我们的 a、 d 也是垂直于我们的 y 轴的，在这里你求我们阴影部分的面积，假如说还是一样的，这外面这是 y 等于 x 分 之 k 一， 里面这是 y 等于 x 分 之 k 二。我们是不是也可以用一个做差法去确定啊？ 在这里你三角形 a、 b、 o 的 一个面积，它是不是就是我们这个大三角形 a、 o、 d 减，你那个三角形 b、 o d 啊？你 a、 o、 d 的 面积在这是多少呀？它 a 点，在这个图像上，你是不是过 a 点做 a 轴外轴的一个垂线，所以说它的面积就是我们的 二分之 k 一 吧，那么你另一个就是我们的二分之 k 二了吧，那么这是第一种，那么这是在一三下线，那么如果说在二四下线呢？一样的，你过这里我们做一条垂线， 那么你 s、 a、 b、 o 的 面积是不是还是等于你这个 s a、 o d 减去 s 三角形 b、 o、 d 啊？ 那么在这里你就需要加一个绝对值了吧？还是一样的，就是我们外面这个是 y 等于 x 分 之 k 一， 里边是 y 等于 x 分 之 k 二，那么它就是我们二分之 k 一 的一个绝对值，是不是减去我们二分之 k 二的一个绝对值了？那么继续往下一个两条异号 k 就 取线， 这个我们怎么求啊？方法其实很简单，跟刚才一样，在这里，假如说我们右边这个是 y 等于 x 分 之 k 一 啊，你左边这个是 y 等于 x 分 之 k 二啊， 你 ab 和 ab 平行，所以说在这我都是垂直的，那么所以说你这个 s a、 o b 的 面积，三角形 a、 o d， 我 们设的是一个点 d， 是 不就是 a o d 加上三角形 b o d 了呀？ 你 a、 o d 的 面积就是我们二分之 k 二的一个绝对值吧，然后你再加上二分之我们 k 一 的绝对值就可以了吧，然后第二个也一样， 所以这个焦点是 d 啊，你 a b 和 y 轴平行的，在这里是，所以说在这我们是不是也是垂直的？那你 x 三角形 a、 o b， 它就等于 s 三角形 a o d 加 s 三角形 b、 o d， 设一下，上面是 x 分 之 k 一，下面是 y 等于 x 分 之 k 二， 那么所以说它的面积就是我们二分之 k 一 加上二分之 k 二吧，你可以都加个绝对值， 一样的啊。然后下一个求矩形了，你矩形也一样，你就是我们稍微简单点讲了啊，你这是 s 一， 这是 s 二啊，你 s 一 加 s 二，你这是这个 k 值是 k 一， 你这个 k 值是 k 二，那么你算的话，是不是也就是 k 一 的一个绝对值？假设我们 k 二的一个绝对值啊？ 然后在这里一样，这是 s 一， 这是 s 二，那你 s 一 加 s 二，它也是我们 k 一 的一个绝对值，加我们 k 二的一个绝对值了。接着我们看第七个梯形面积模型，在这里它也可以叫做圆点三角形， 那么这个图形的面积我们怎么去求啊？如果说我们用常规的方法去求你这个三角形，它是一个不规则的，对吧？你用常规的方法求它肯定不太好求，我们怎么去做呢？我们可以过 a 点往下做一个垂线， 你交 o、 b 有 点 c， 交 a 轴有点 d， 你 再过 b 点往下做一个垂线，你交 a 轴有一点 h， 其实 很简单，我们是不是可以得到我们这个三角形 a、 o、 t 的 面积，肯定是等于三角形 b、 o、 h 的 面积啊？ 你在这里你会发现啊，我们这两个三角形是不是有一个重合的部分呀？就是我们的三角形 o、 c、 d， 对 吧？那假如说你 o、 c、 d 上面我这个三角形是 s 一 啊，然后你 o、 c、 d 右边这是不是 s 二啊？你 a、 o、 h， 它是不是 s 加上你这个 s 蓝色的部分呀？那么你 b、 o、 h 它是不是 s 二，加上你这个 s 蓝色的部分，那么所以说我们可以得到 我们 s 一， 它肯定等于 s 二了。所以说你 a、 d 这条直线啊，你左边红色的阴影部分，我是不是可以放在我们右边去了呀？那么这我们是不是就不要了？ 这里我们是不是不要了呀？所以说我们求面积，我们求的是三角形 a、 o、 b 的 面积，在这里它是不是应该等于我们梯形 b、 h、 o a 的 一个面积？所以说我们求它是不是就可以了呀？那么也就是 b h 加 a d 阔起来，你乘个高高就是 d h， 你 再乘二分之一就可以了吧？这是一个转化啊。那么继续我们看右边这个图，在右边这个图当中，它只不过就是在每一条曲线上给我们取了两个点，然后我们连接它，我们并与点 o 相连，在这里我们还是有一个三十的面积， 那么这个面积我们如果说直接去求的话，也是不太好求的，那么这个我们怎么做呢？给大家说一下啊，你在这里我们有点 b， 哎，我 b o 是 不是连上了呀？那么我是不是可以 过 o 点哎，我给它延长出去啊？你看啊，那么你与这个坐标轴我是不是还会交了一个点？那么假如说啊，我们这个点是点 c 啊，然后你再把谁连上呀？你再把这个 a、 c 连上， 那么你现在有两个三角形，一个三角形是 s， 三角形 a、 b o， 另一个三角形是 s， 三角形 a、 o、 c， 那 它的面积是什么关系呢？你知道你这个 b 点和我们这个 c 点关于圆点肯定是对称的，所以说我们在这里可以得到我们 b o 肯定等于 o c， 对 不对？所以说你在这个三角形 abc 当中，你 b o， 我 们是不是等于 oc 了呀？所以说你这个 a o 它是不是就是我们底边 bc 上的一个中线的呀？那么中线有什么性质啊？比如说在一个三角形里边啊， abc， 我 取一个中点，我是不是可以得到我们这个三角形 abd 的 面积， 肯定等于三角形 a、 d、 c 的 面积啊？中线我们是等分面积的，所以说在这里啊，我们 a、 b、 o 的 面积肯定等于我们 a、 o、 c 的 一个面积，然后我们求红色阴影布的面积，我是不是可以转化成求我们 绿色阴影布的一个面积，那么绿色阴影布面积怎么求啊？哎，它是不是和我们第一个图就一样的呀？那么你绿色阴影布的面积，我是不是可以给它转化成一个梯形的面积啊？你过 a 点， 你往下做一个垂线，你过 c 点往下做一个垂线，那么你蓝色左边这个绿色的面积，我是 s 一 啊，然后你这个空白部分， 我是 s 二啊，那在这里啊，我们 s 一， 我是不是等于 s 二的呀？所以说我们求 a o c 的 面积，我们就可以让 x 二加 s 三就行了吧，我是不是又转化成了一个梯形的面积啊？所以说这是我们的梯形面积模型啊。第八个，双曲线穿矩形模型。在这里我们先说一下这个图的一个结论， 第一个就是我们用 b f 比上 fc， 它是应该等于我们的 a e 比上 ec 的。 第二个就如果说把 ef 连上，再把 ab 连上，你这个 ef 跟 ab 是 一个平行的关系，那么具体的啊，我们怎么去正一下它呀？那我看这个图 ef 两点啊，我们都是在这个反比函数上的，那么如果说我们过 e 点，我们往下做一个垂线， 然后我们会得到啊，你这个矩形整个的就是 a o b c， 它的面积就是我们矩形 a o h e， 是 不是加上我们这个矩形 e h b c 啊？这个也没问题，对吧？那么还是一样的，你 f 点是不是也在这个图像上的呀？哎，我们如果说过 f 点，你再做一条垂线，这是一点 m， 那么我是不是可以得到你这个矩形 a、 o b c 也是两个矩形相加，对吧？它就是我们的矩形 b o m f 加我们的矩形 a c f m 吧，那么你这两个矩形我们看一下啊，你 a o h e 和你的 b o m f， 它的面积是不是都是我们 k 的 一个绝对值啊？所以说通过这两个调节，我们可以得到你这个矩形 e h b c， 它肯定就是等于我们矩形 a c f m 的， 那么这两面是相等的，那么我们再看这里啊，我们正一个比的关系，那么我们正比的关系我们可以怎么正？也就是说我们看第一组啊，你正 b f bfc 在 这里啊，我们是通过一个矩形的面积是正的啊，你在这里，我们矩形的面积我们用哪一个？你在这里我们先看一下这个 b f、 m o 啊，然后比上我们这个矩形 a c m f， 那 你矩形面积怎么求？你 b f m o 在 这里，我们是不是可以用我们的 b f m o 在 这里，我们是不是可以用我们的 b f m o 呀？那么比上谁？你 a c m f， 他 在这里是不是就是我们的 f c 去乘我们的 m f 呀？你 m f 约掉在这里，我是不是得到了 b f 比上我们这个 f c 啊？那么另一组也是一样的啊，我们要谁比谁，是不是要 a e 比 e c 啊？那么我是不是可以用我们的矩形 a e h o 比上我们的矩形 e h b c 啊？那么它就是用我们的 a e 乘 a o 比上我们下面这个就是 e c， 是 不是乘了 a o 啊？ 那么 a o o 约掉他，是不是就来了一个 a e b e c 啊？那么为什么他们的比值相等啊？你前面我们刚才说了，你这两个矩形的面积是相等的，所以说我们可以得到你这两个矩形的面积是不是也是相等的呀？所以说我们通过前面这几个条件啊，我们是不是可以得到 我们的 b f 比上 f c， 它就应该等于我们 a e 比上 e c 了呀？那么这是第一个啊，它的一个边的一个比例，那么第二个我们怎么去称啊？在这里啊，我给大家连上， 用黑色的，我们把 e、 f 还有 a、 b 跟它一连，那么为什么说它是平行的呢？那么刚才我们第一个结论我们证出来了啊，你两条边是成比例的，哎，在这里啊，我们有一个直角，如果说你 b f 比 f c 等于 a， e 比 e c 的 话，那么我是不是可以得到？ 就有这个条件，我是不是可以得到我们的 a c 比上我们的 e c 肯定是等于我们的 bc 比上一个 fc 的 呀？然后其中我们这个角 c 是 公共角啊，那你这个角 c 是 公共角，它是不是等于九度？所以说通过它我是不是可以得到我们三角形 abc 是 相似于我们三角形 e、 c、 f 的 呀？那么我们用的是啊，是 s、 a、 s 边角边吗？如果说相似的话，我们得的话，是不是就是这两个角肯定相等了呀？然后你这两个角是不是也相等的呀？然后内错角相等，是不是两直线平行，所以说我就可以得到我们的 e f 是 不是平行于 a b 了呀？ 第九个双曲线穿直线模型。在这里我们先说结论，它的 c b 肯定是等于 a、 d 的， 我们怎么去证它是相等的呀？那么肯定是证全等呗。那么在这里啊，我们就需要构建一个全等向量形，怎么去构建？我是不是可以过 b 一 点， 你往这里做条垂线，假如说这是 b h， 然后你过 a 点，你往下做垂线，这是 am， 那 么你是不是可以正 b c h 全等于我们去正三角形 b c h 是 不全等于三角形 a d m 就 可以了呀？那么我们找找条件啊，在这里就是指向，然后你这两个角再除以 alpha 和 b， 它，那么我们是不是有 alpha 加 b， 它肯定等于九十度啊？那么我们这个 b， 它啊，是不是加上你这个角 m a d， 他也等于九十度啊？由此我是不是可以得到我们这个角 m a d 肯定就等于我们这个角 r f 了吧？所以说我们标一下，这个角就是 r f， 由此你这个角是被他了呀，然后 你这个角是被他，你这个角是被他。哎，我是不是可以得到？再推一步，那么是不是 h b， 我 们就平行于我们这个 md 了呀？ 然后你正全等在这里，我们有角等了，三个角都是相等的，那么我是不是找一组边就可以了呀？在这里啊，我们找谁？我们找的是 h b 和 md 是 相等的，因为这里有一组平行了吧。那么如果说我们把谁连上，我们把这个 h m e 连， 我们去正，我们有一个四边形了吧？就是我们去正啊，你这个四边形 h b d m， 我 们是一个平行四边形就可以了吧？你有一组边是平行了，我是不是要另一组边是平行就可以，它就是一个平行四边形了？那么我们平行四边形是不是肯定有对边？肯定是相等的呀？我们 h b 是 不肯定就等于 md 了呀？ 那么我们怎么去证它是平行四边形呢？在这里我们就需要用到我们上一个模型的一个结论，我们把它摘出来看一下啊，比如说我们坐标系当中 简单给大家画一下，这是垂直，然后这有一个点，这有一个点， 我这做了个垂直，然后过这里做了个垂直，我连接了它，然后又连接了它， 那么它就类似于我们上个模型，哎，这是垂直的啊，这也是垂直的，我是不是可以把它延延长出去啊？我是不是可以给它补成一个矩形，然后放在我们这个模型当中，也就是说我们过 b 点，我们延长出去，然后你过 a 点，我们再延长出去， 它也就是我们那个双曲线穿矩形的那个模型了吧？我们刚才正了啊，我们这个 b a， 哎， 在这个模型当中是不是肯定是平行于我们这个 hm 的 呀？所以说这个平行形我们就挣出来了，利用的就是什么啊？我们刚才那个双曲线穿矩形， 那么我们正得我们这个 b a 是 不是平行于我们这个 hm 的 呀？由此我们是不是可以得到我们这个 m d 肯定是等于 b h 的 呀？那么它既然相等了，也就说我们这个三角形是不是全等了呀？所以说最后我们退出来，我们这个 c b， 我 们是不是等于我们这个 a d 的 呀？

今天我们再来分享一个中考专题，关于反比例函数，读一下题，如图，反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 图像经过 a， c 两点过点 a， 做了一个垂直 y 轴交于点 b 过点 c， 做了一个 c， d 垂直 x 轴交于点 d， 连接 o， a， o， c 和 a c 组成这个三角形啊，这个三角形它的面积是四， 然后给了我们 cd， cd 比上 ob 是 一比三，让我们求 k 的 值啊。读完这个题啊，我们的这个切入点就应该是这个面积啊，从几何，因为有了图像，我们要从几何的 思维切入，也就是它可以列出一个方程，我们采用一个割补法， 也就是延长 b， a 和 dc 交于点 e， 这样，因为这垂直，垂直，垂直我们得到了一个矩形， 那么三角形 a， o， c 的 面积就等于我们矩形的面积减去这个三角形，这个三角形和这个三角形三个三角形的面积，这样是利用面积列出一个方程，那 要求面积列方程，我们就需要知道线段的长度，也就是 a， e 啊， c， e， c， d， o， o， d， o， b 这几个线段长度需要 表示线段长度，我们可以去设点坐标，然后通过点坐标表示线段长度啊。在这里我们假设我们设点 a 啊，我们可以设 点 a 的 坐标 m， 那 它的重坐标 m 分 之 k， 有 了点 a 的 坐标，我们 ab 就 可以表示出来，对吧？也就是 ab， 它是我们这个点 a 横坐标啊，当然这个 m 是 一个负数，所以我们的 ab 应该是负 m， 那 ob 就是 它的重坐标 ob 就 等于 m 分 之 k， 那有了这个线段，有了这个线段啊，那我们再去利用线段之间的关系 啊，因为 cd 啊，我们就能得到 cd， cd 它等于啊，三分之一的 o b， o b 是 这个，那我们就应该是 三 m 分 之 k 啊， c d， 我 们就表示出来，那 c d， c d 的 长度有了，那 c d 这个长度不就是点 c 的 重坐标吗？所以我们就是点 c 的 重坐标啊，也就是三分之 m 啊，三 m 分 子 k 啊，它就等于 x 分 子 k 啊，所以我们就能得到啊， x， 也就是 x c 啊， x c， 我 们横坐标， 它等于 y 的 c 啊，所以我们的这个横坐标，它就应该等，呃，等于这个三 m 三 m 好 点， c 的 坐标啊，有了横坐标，横坐标有了，那我们的这个 o d， o d 不 就是横坐标？但是有负号啊，因为我们的 o d 就 应该是负的三 m， 好， 我们有了 o d， 换一个颜色，我们有了 o d， 有 了这个 c d 啊， ab ob 啊，这个线段 a b， 这个，这个，这个都有了，那我们再去表示 a e 啊， a e， a e 和这个 c e， 那 我们的 a e， 它是不是就等于我们的 o d 减去？因为矩形 o d 就是 b e 啊，它是等于 b e 减去 a b 的 啊， b e 就 等于 o d， o d 是 负负。三 m 减去我们的 a b 减去一个负 m 啊，它等于负的二 m a e 我 们也表示出来，那我们再来表示一下 c e 啊， c e， c e 是 不是等于我们的 d e 减去 c d， 那 d e 是 不是就 o b 啊？就 o b 啊，也就是 m 分 之 k 减去我们的 c d 啊， c d 也就是减去三 m 分 之 k 啊，呃，它等于 三 m 分 之二 k 啊，有了这几个边，我们都表示出来，那么这几个三角形的面积我们 都能拿到了，我先先把这个矩形的面积 s， 矩形的面积啊，它就等于啊 o， b 乘以一个 o， d 啊， o， b， 我 们是 m 分 之 k， o， d 负三 m 啊，它就等于等于我们的三 k 啊，三 k 啊，负三 k， 负三 k 啊！矩形的面积有了，我们把每一个小三角形的面积再写出来啊，也就是 s。 三角形 a， c， e， 它就等于二分之一的 a 乘以 c 啊，你的二分之一乘以负二 m， 再乘以 三 m， 二 k， 负三分之二 k 啊，这个面积有了，我们 s， 三角形 a， b， o 等于二分之一的 ab， 再乘以 o， b， 啊， ab 有 了，就是二分之一乘以负 m， 再乘以 m 分 之 k， 它等于负二分之 k。 然后继续这个三角形 c， o， d 等于二分之一的 c， d 乘以 o d。 好 c， d， 我 们的 cd 啊，等于二分之一乘以三 m， 分 之 k 乘以 o d， 负三 m 啊，它等于也等于负的二分之 k 啊，这样我们 几个面积都表示出来了，然后我们利用面积就得到 s， 最后结果， k 等于负三。答案选 d， 希望这个题对你有帮助。

反闭的函数是九年级马上要开始了第三次月考，必考的题目，有的学校可能已经是第四次月考了，那哪些题目是高频考点的？我带大家捋一下。首先这个题目是你必须要掌握的，这个题目是二零二三年安徽省中考的填空题的最后题，填空题的压轴题， 你这次月考有可能会半圆题上去，所以这个你是必须要做的。那么下面的题目是什么呢？我们把反比例函数的题型分为两类，一类呢是考的 k 的 几何意义，主要是考图形的面积了，比如说这些题目，其实这个知识点还是有点难度的 好，这些题目你看一遍。那么还有一种呢，是考反比例函数的解答题，例如这个题目，这个题目是最经典的，也是最高频的考点，很多题目都在这个题目上进行那个改变，例如二一年的这个题目，二一年的安徽省的中考题的第十九题考的这样的。 然后再例如后面的这些题目都是在这个基础上进行了个改编，所以那个题目你是必须要会的，后面这个题目你看一遍，大家把反闭的函数题目全部看一遍，如果这里面有你不会的，你要进行下线来去做一做。