一元一次函数压轴题

看看这个怎么做？关于一次函数，它的图像与性质这块呢，是重中之重，但是很多娃掌握的并不扎实，咱们借这道去年的期末选择压轴题来帮助你查漏补缺，看看掌握的咋样。说给了这两个一次函数的图像，让你判断下边三个哪个是正确的。 先看第一个， a， d 加 bc 大 于零，显然得判断它们的正负，也就意味着你必须得掌握这个 y 等于 k， x 加 b 这个一次函数 kb 对 图像的影响。 那 k 呢，决定它上升下降嘛，所以这里的 a 它是下降的， a 是 负的，这 c 呢，上升的就是正的。从左往右来看的，那这个 b 就是 x 得零时， y 等于 b， 决定和 y 轴的交点， 所以 y 一 这里和 y 轴交在正半轴，它是正的。 y 二呢，和 y 轴交在负半轴， d 就是 负的。那这样你看 a 乘 d， a 乘 d， 两负的相乘，显然它是正的， b 乘 c 呢，两正的相乘也是正的，所以相加大于零。第一个是对的， 那接着看第二个，其实如果你实际碰到啊，观察四个选项都有二，那显然它是对的嘛。不过呢，我们要看看为什么那像这种呢？你就看看它们转化之后和解析式之间有什么关系。你看，咱把括号去一下，变成三 a 减三， c 等于 d 减 b， 现在和解析式还看不出来直接关系，因为这边 ab 是 一伙的，所以咱把 b 给它拉过来，三 a 加 b， 这边 c 过去，三 c 加 d。 那 这样你去观察这两个式子和解析式的关系，是不是发现了，这不就是 x 等于三的时候吗？ 咱只要把 x 等于三代入这俩解析式，就得到三 a 加 b 和三 c 加 d， 那 这两个式子就是对应的 x 等于三十，这对应的函数值。显然在图像里观察 x 等于三十，图像有交点， 说明此时函数值相等，那这个二就是对的。所以像这种出现了比例系数还有常数的，可以把它化简之后观察一下和解析式的关系。 那第三个 x 的 值每增加一，这 y 二减 y， 一 的值呢？增加 d 减 b， 这句话啥意思？咱举个例子，比如说给一个解析式， y 等于二， x 加一，这 x 每增加一呢？比如我们取 x 等于一和二， 此时这 y 分 别等于多少？一的时候，二乘一加一，这边呢？是二乘二加一，那你会发现这个 x 它每增加一，这 y 呢就增加了二， 是不是和前边这个系数有关系？那反过来，如果是 y 等于负二， x 加一， k 是 负的，咱知道 y 随 x 增大而减小，也就是说 x 每增加一，这 y 呢就减小二了。 那这样的话，我们只要把 y 二减 y 表示出来就可以了。那回到这两个相减，解析式分别代入 c， x 加 d 减去 ax 减 b， 那刚才说了和 x 的 系数有关，所以咱把它提一块，得到 c 减 a 倍的 x 加上 d 减 b， 那 观察一下，这里是 c 减 a， 上边选项是 d 减 b， 那 他俩的关系在圈二就发现了 三倍的 a 减 c 等于 d 减 b， 那 c 减 a 的 话，是不是提个符号，那把圈二变形得到三倍的负的 c 减 a， 等于 d 减 b， 把这符号和三都移过去， c 减 a， 就 等于三分之一的 b 减 d， 那 把它再带回来，就得到了 三分之一的 b 减 d 乘 x， 加上 d 减 b， 那 就意味着 x 的 值每增加一，这个 y， 二减 y 的 值呢？它就增加三分之一 b 减 d， 或者说增加 c 减 a， 因为 c 是 正的， a 是 负的， b 也是正的， d 是 负的，两相减显然是正的，所以小圈三就是错的。这题只选一二，也就是 a， 那 就到这每天进步一点点，咱们下一题见。

去年的期末考试就这道题填空题的压轴王，全班一共就四个孩子做对了，今年要是再考的话，肯定还会错一堆。就这道题呢，它的难点就在于是把一元一次方程跟找规律问题去结合起来了， 很多孩子呢，可能连题都没读明白，我们接下来好好一起来去分析一下。他说已知关于 x 的 方程这个东西，无论 x 取何值，这个方程呢，是横成立的，永远成立。这句话什么意思？ 我们简单来翻译一下，是不是也就意味着在告诉我们，我 x 取几都行，它有无数个解，无数种情况都能使得这个方程是永远成立的，那它不就是我们一元一次方程当中非常典型的无数解问题吗？ 那么无数解问题的思路是什么样子的？一共分成两步来走，第一步叫做整理成一元一次方程的标准形式， ax 等于 b。 第二步，令 a 等的是零，并且 b 也等的是零。为啥是这么操作的呢？来我们一起看一下啊，比如说 ax 等于 b， 现在呢，我让 a 等的是零， b 呢也等于是零。那此时我们来看零乘上这个 x， 这个结果为几，这个结果是不是一定为零，一定等的是右边的这个。 所以说在这里面呢，我不需要去关心你 x 为几， x 为几都行，都能够满足零乘上 x， 结果为零。好，那接下来我们就按照这种形式来去操作一下这个题。第一步，先去整理成标准式，也就变成了 m， x 减去五倍的 x 等于的是八，加上 n 好 提取出一个 x 也就变成了 m 减去五倍的 x， 结果呢是八，加上 n。 第一步，整理成标准式， ok 了。 第二步， a 等于零， b 等于零，是不是也就意味着 x 前面这个东西等于零等号后面这个东西呢也为零，它俩分别为零，是不是我就能够立马得到？ m 的 结果应该为五，然后 n 的 结果呢，应该为负八。那此生你看人家求的是 m 加上 n 的 二零二六次方，那 m 加上 n 的 结果为几？是不是也就得是五加上一个负八，那五加上负八，这个结果是不也就变成负三呀？所以说这个题问的其实就是 负三的二零二六次方，这个结果应该等于的是多少？那我们知道负数的偶数次方呢，这个结果其实又为正数嘛？所以说他的话呢，我就可以直接写成三的二零二六次方。可能很多同学呢，他在做题的时候能够到这一步，但下一步的话，他不知道怎么办呢？你说这个东西我们到底怎么去算？ 他其实是一个周期规律问题，如果说二零二六次方你不会算的话，你能不能先去试一试，从最简单的一次方慢慢去试一试，看一看？因为只要发生这种特别特别特别大的数，他不可能让你真正去求出来的，他一定是有规律的。那我们就一起来去试一下。三的一次方，这个结果就是三。 三的二次方，这个结果是九三的三次方，这个结果是二十七。三的四次方呢，等的是二十七，再乘上一个三，这个结果呢是八十一三的五次方，等于几？八十一，再去乘上一个三，这个结果是不是等于是二百四十三？ 好，到这的话，我估计有些同学应该是能够看到规律的啊，三九七一，只来看他的个位数，对吧？这个已经是三了，三的六次方等于几呢？是不等于二百四十三，我还要再去乘上一个三呀。 啊，这个个位数字一定是九，那再乘上一个三呢？个位数字应该是七，再乘上一个三，个位数字应该是一，你看规律就已经找到了， 求的是个位数字是多少，个位数字的规律是三九七一，三九七一，那不就是一个典型的周期规律问题吗？那周期规律问题的方法是啥？他有四步法来走，第一步 叫做找周期，现在周期是几？周期已经是四，我们知道了。第二步，定数量，第三步，算余数。第四步，找对应。好，我就按照这四步一步步来进行啊。 首先呢，周期为四，现在我们都知道好数量是几呢？你看他问的是二零二六，对吧？数量就是二零二六。好，然后我们可以算一下他的余数。第三步，二零二六除以四，这个结果等于几呢？这个结果是不等于五百零六，再于一个二。 好。第三步，找余数，算余数。算完了。第四步，干嘛呢？找对应余的是二，那么就直接锁定我循环当中的第二个，你看循环当中第二个是谁？是不也就是九啊？所以说这个题个位数字为九不就 ok 了吗？ 所以这道题它难是难在综合当中，但其实我们只要学会了方法，这一类题全部都能够解决，你学会了吗？搞定。

大家好，我是大鹏老师，来看到初一年级这一周八卦训练的压轴篇第一个题目，好，这是一道方程的新定义。呃，这道定义呢？它是关于二元一次方程组的。 呃，虽然说二元一次方程组是在期末的时候才会重点考察，我们初一上册的话，重点考察的是一元一次方程嘛，对吧？但他这里作为新定义来考也是正常。去年不止一个学校考了有关这种方程组的新定义或者是材料题。 来，我们看一下定义的规则。他说，关于 x y 的 两个二元一次方程， a， x 加 b， y 等于 c 与这个 b， x 加 a， y 等于 c， a 不 等于 b， 叫做共，叫做互为共。二元一次方程，好，那它的特点是什么呢？观察系数， 前面这个方程的系数是 a， 后面那个方程 y 的 系数是 a， 对 吧？然后前面那个方程的 y 的 系数是 b， 后面那个方程 x 的 系数是 b， 所以 两个方程是不是交换了他们的系数等号？右边是不是一样的？右边那个常数 ok？ 好， 但规定 a 不 等于 b 啊。好，这是共二元一次方程的特征。然后二元一次方程组，这个方程组，那是不是也是有那两个方程组成的，对吧？有，前面那两个方程组成的，叫做关于 x y 共二的二元一次方程组。 好，他后面也举了例子，那这个例子我就不去详细的解解读了啊。好，另外，后面这个地方也给到了一个共二元一次方程， 就是这个与这个。这两个呢，区别就在于把刚刚的 x y， 他 现在换成了 x 减一和 y 加二，这两个整体 看到没有？后面也是 x 减一和 y 加二，对吧？他就把 x 减一和 y 加二当做未知数，当然你可以换元去理解，对吧？你把 x 减一当做 m， y 加二当做 n， 好，那就跟前面定义的规则是不就一样的了？好，第一问，第一问，这两个互是共恶方程组，那么他们的系数是不得相反 啊，交换的系数吗？所以 x 的 系数跑到呢？这里 x 的 系数跟这里 y 的 系数确实是一样的，对吧？那么这里 y 的 系数是不是要跟这里 x 的 系数一样？所以一减 a 等于二啊？搞定， a 等于负一，好，然后等和右边是不是也得一样， 然后右边 b 加二等于那个三吧。啊，所以 b 点一，第二问，第二问，他说这个方程满，他里边的 x， y 满足下列表格中的值，那你就把下列表格中的值带进去呗， 是不是它，你要把这个表格看懂啊，它的意思是， x 等于一的时候， y 就 等于零，所以你把一都零带进去啊，把一和零带进去啊，所以它是一加上 b 乘零就等于一。哎，这个没问题。好，然后零零和二， x 等于零的时候， y 等于二，零加二 b 啊， y 是 二嘛，所以零加二， b 等于一，从而你就可以把 b 解出来是二分之一啊，就行了啊。所以这个一二问送分送到位来。第三问， 第三问，他说这个方程组，哦，他是让你直接写出这个方程组的解即可，对吧？那我们就解方程组好，这个第三问，第四问呢？都涉及到了解这个方程组。呃，我们 前面啊，咱们在读的同学前面是学了，学了预科，学了这个解二元方程组的，所以这个没什么难度好吧。啊，这个去解的时候不是硬消元哇，你消 x 消 y， 你 都要去找二零二四和二零二五的小光杯啊，是不是太麻烦了，对吧？啊，观察它的特征 啊，这两个方程他们的系数有没有发现都相差啊？要要说相差的话，是不是都相差的是四零四九，对吧？好，他们的和更小一些，因为他们的和加起来是不是负一？好，这个 y 的 系数和加起来是不是也是负一？所以我们会选择两式相加。 好，两式相加那个 x 就 变成负 x， 负一个 x， y 呢？负二零二五加二零二四也是负 y， 是 不是好？负 x 减 y 啊，就等于二，这是两式相加等来的好，然后现在呢啊，当你也可以去两式相减啊，就大一些 好吧。啊，现在他就已经可以去解了，难度就已经不大了，就比如说你现在去削他就好一些，因为，呃，系数的小工倍不大，比如说我想削歪 啊，因为这里是二正二零二四 y， 这里是负 y， 对 吧？好，他们是一正一负啊，我就比较喜欢笑他啊。那这个这个是不是要拿去乘二零二四啊？我们要把 y 的 系数是变成正二零二四和负二零二四啊，我就写在上面啊，那我就写旁边吧，把这个往左挪一下。 好，所以这个等号里面同乘到二零二四 x 去减去二零二四 y。 好，等号右边乘乘个二零二四变成四零四八，好，他就得到这个。现在这两个方程啊，他就可以相加了，相加就抵消掉 y。 左边的话最后是不是剩一个负的四零四九 x 是吧？右边呢？右边是一加四零四八，那四零四九，从而你就可以得出 x 是 等于负一的，有了 x 等于负一，你再带到这里来啊，一减 y 等于二啊，所以 y 也等于负一。 ok， 好， 第四问， 第四问，他说这个方程组是共二方程组，那么来看一下有什么结论呢？你观察 x y 的 系数，它确实是互相反的，对吧？交换了的啊，那么有问题，那等号右边呢？ 好，等号右边是一大串。好，这个地方肯定会有同学进行这样的一个一个尝试，他会得出这么一个结论，因为共二方程组等号右边是一样的，是不是这些都叫共二方程组？所以他会去列一个，这个 c 加 a 加二， b 等于那个 c 加二， a 加 b， 就 他们等号右边相等。但是你这个得出来的是啥呀？ c 约掉之后，那个二 a 减 a， 是 不是剩个 a 右边，左边的话，二 b 减 b， 剩个 b， 他 就能得出 a 等于 b 了，懂不？但是咱们共恶方程组里边最前面的定义，别忘了， 公和方程组里边那个 a 是 不等于 b 的， 就说他们 x y 的 那个系数是不想呃，不相等的，懂不？所以说你的这个操作是多余的啊，没用， 这东西没用啊。那为什么这个他又是公和方程组嘞啊？他其实是这样子的啊，他的那个右边只保留 c 就 行了，他需要把这个方程组拿来变形。确实， a 和二 b， 二 a 和 b 留到右边不行啊， 对吧？你留到右边，右边的东西得相等啊，他就得到 a 等于 b 就 矛盾了。所以我们可以把 a 和二 b 移到左边去， 它事实上是这么一个方程组啊，那个 a 移到左边之后，因为那有个 a x， 他 们可以提个 a， 所以 是 a 倍的 x 减一，同理，那个 b y 去减那个二 b 的 时候，他可以提个 b 啊，是 y 减二， 好，右边是 c， 下面那个方程呢，他也是把 b 移到左边，那个 b 就 可以提出来。 b 倍的 x 减一好，加上 a y a y 去减那个二 a 啊，他把 a 提出来之后是 y 减二啊，右边只剩 c 啊，是这么一个共讷方程组，他就没问题啊，这确实是共讷方程组 是吧？好， ok， 好， 这个只是带着大家理解一下这里啊，他对于解题呢帮助不大，那他说后，这个方程组的解是 x 等于 m， y 等于 n， 那 你是不是可以把这个 m 和 n 带进去，对吧？但是带进去之后字母数也贼多，很多人就卡住了啊，很多同学， 好，这也是初中代数，很多同学做起来觉得难，就是因为字母多，参数多嘛。好，这请你计算，这个 n 方减 m， n 减 n 加二零二五 m n 带进去，这个是不是势在必行？因为你的问题里边需要用到呀， 对吧？好，那带之前呢，我们要去思考一下啊，这个就是你把这个方程组拿来变形处理之后再带，和你一来就带啊，其实没什么区别，对吧？啊，那这里我也给到了解析，就是方程组我们要处理能怎么处理呢？ 哎，一个是消元，对吧？啊，另一个就是利用这个等式的性质，他们去相加相减好，但是你消元，注意啊，你这里不管消 x 还是消 y， 他 是不都会很比较复杂， 就是说这个 x 的 系数 a 和 b， y 的 系数 b 和 a， 你 要去找他们的小公倍，是不是他们都要去再乘上 a 乘上 b， 这种很不舒服 是不是啊？虽然说你也能消掉元呢，消掉元之后你可以试一试啊。好，这里由于第三问就为我们提供了这么一个思路啊，这个共和方程组，它就有这么个特征，两式相加，相减，它就能得到这些特殊的。好，这里我们两式相减。 好，两式相减，但你也可以试一下两式相加。两式相加的话，等号两边是不都会出现 a 加 b， 但是那个 c 就 留下来了，对不对？我们字母能越少越好。好， 两式相减，它刚好就有这么一个特征啊，呃， a x 减 b x， 所以 它得到这个 a 减 b 倍的 x， 好，然后那个 b y 减 a， y 就 得到 b 减 a 倍的 y， 右边那个 c 他 刚好就抵消了。好，然后呢？那个 a 减二， a 是 不是就负 a， 那 个二 b 减 b 就 正 b 啊，所以右边就是 b 减 a， 懂不？他得到的这个东西刚好有个特征， x y 的 系数 a 减 b， 这个 b 减 a 是 不是也能变成 a 减 b？ 取了个相反数，前面变成减号了，是吧？然后右边取相反数之后，他是不是也能变成 a 减 b？ 而 a 减 b 是 可以等号两边同时约掉的。因为他都有 a 减 b 吗？因为 a 减 b 不 为零， a 不 等于 b 啊，这个 a 不 等于 b 还是很有作用的好吧，所以最后他就得到了 x 减 y 等于负一，就得到一个很简单的呃， x y 的 关系。 你现在再把 x 等于 m， y 等于 n 带进去啊，他最后就得到 m 减 n 等于一呢，是因为后面你那个。呃，提个 n 等于一呢，是因为后面你那个，呃，提个 n 之后，他才会出现 n 减 m， 这里会用到，懂吗？啊，对于后面这个的处理也是确实啊，大家可能现在不是那么擅长，但你可以用小学提取公英数去理解，对吧？呃，这个 n 提出来，当在初中，它叫做提取公英式。 好，你这个地方也只能这样去处理，它，才能出现这种 m 减 n， 或者说 n 减 m。 好 吧，好，提了之后，这个 n 减 n 抵消。 好，这是这一道题啊，这道题呢，是一中双语去年的第二十四倒数第二题。 再来看到第二道亚洲题啊，这道亚洲题呢，它不是长沙的啊，但也是我们长沙七上期末考试的一个。这个这个重点啊，动脚问题啊，它是同类型的喽，因为我们长沙的话往年也考过类似的。来， 还是重点说下思路就好了啊。他说直线得一上有一点 o 过点 o， 在 直线得一上方做了一条射线 o c， 将一个直角三角板 a o b 角 a o a b 呢，是等于三十度的啊，反正就三十度。六十度的直角板，直角三角板吗？对吧？好，它的顶点就放在 o 这里啊，总而言之就是如图啊，三角板是这样摆放的，然后呢，那个 o c 是 这样子的啊，这个 o c， 它只是一条普通的射线，它也没说度数，对吧？ 好，后面的描述我就不去读了啊。重点来了，将直角三角板绕着点 o， 按每秒十度的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 t 秒。好，他说了，旋转一周，逆时针逆时针往上吗？对吧？好，整个三角板往上旋转。 好，要用到哪些等会再说，我们这里先明确，他这里说了旋转一周，那我们是不是就知道他旋转的结束时间 是吧？一周三百六，它的速度是十，所以说三十六秒啊。来，第一问，若设线 o c 保持位置不变，当直角三角板旋转到如图二的位置的时候， o a 恰好平分了这个角。 ceo， 那 我们标一下，这两个角是不是相等 啊？这也是我们做几何题的一个机必备的技巧，边读边标图，标的越清楚，画的越清楚，那你很多时候做题的思路就来的越快。 好，然后他说，此时角 b o c 与角 b o e 之间有核数量关系，说明理由，那你就去观察呗。角 b o c， 你 觉得角 b o c 怎么表示？就目前我做的标记是画了两个勾勾，对吧？ 那你看 b o c 挨着勾勾的是不很明显，这个角 b o c 是 九十度，去减去那个勾勾是不是 好？再来？好，还有一个角 b o e， 看左边的角 b o e， 由于你中间那个角是九十度，所以左边这个角加上右边这个角，是不是自然也是九十度？平角一百八，减掉中间的九十吗？对不对？ 好，左右相加是九十，所以说左边这个角 b o e 是 不是也是九十度减勾勾？所以说啊，我这个给的这个过程呢，就是选择的把角，把这个勾勾设为 x。 好，我标勾勾的这两个角，对吧？设为 x， 最终都是用九十减 x 去表示的，当然你可以不设啊，你都可以说互余了，对吧？就是这个角 b o c， 它跟这个勾勾是互余的 啊，跟这个勾勾是互余的。左边那个角呢？跟这个角 a o d 啊，跟这个勾勾是互余的，都行啊，不设也行啊，就不多做解释了啊。这个不难。第二问， 第二问，他说若 o c 初使位置不变，且角 c o 一 等于一百四，哎，有度数了，角 c o 一 是一百四，那这个 c o 的 是不是自然就四十度？好？ 第一小题，在直角三角板旋转过程中，若射线 o c 保持位置不变，当那个边 a b 与 o e 相交时，如图三，那你们就按照图三来就行，就是这个 a b 要与那个 o e 相交。怎样才会相交啊？啊？就是目前画的这个位置， 什么情况下来？就是，你可以想象一下啊，就是 o b 要旋转下去，他要旋转到 o e 的 下方去，那个 o a 在 上方，只有此时是不是 a b 才会跟 o e 相交 是吧？就是 o b 和 o a 得在两侧，得在 o e 两侧，你只要在同一侧了，他就不行了。好吧，反正就这个图， 他问你求，他就让你求这个角 a o c， 角 a o c 减去那个角 b o e 的 值。好，这是一种典型的考法，他可以换一个说法了，就是问你这两个角之间的数量关系，对吧？他这个题是直接让你去求它们相减的值， 好，来观察看图，角 a o c 请问有度数吗？所以你觉得这个角 a o c 有 度数吗？ 就没有度数啊，所以他是典型的咱们那种大胆的去表示啊，然后再去，就是你可以设未知数去表示表示这你问题中问到的角，然后最后去呃，想方设法的把你设的那个未知数给他抵消掉，那么角与角的数量关系就出来了，那这个题的思路自然是一致的。 好，那请问这个角 a o c 怎么表示？一、除了这个角 a o c， 我 先括一下这个角 a o c， 还有下面这个角 b o e， 我 圈一下，那请问这两个角怎么表示？它们都与谁有关？请你们仔细观察， 是不是很明显它们中间有一个角 a o e 啊？是不是？所以说它们都能用角 a o e 去表示？为什么呢？因为这个角 a o e， 我 先标个 x 喽，它跟下面这个圈圈合起来，是不是那个直角，对吧？好，这个 x 跟右边这个括号呢？ 和解是啥？那个 o c 是 没动的啊，他和解是不就是那个角 c o e 一 百四十度啊？是不是？所以说我们轻轻松松就能把问题问到了这两个角给他表示出来 啊？详细的你们看这里，我设的是阿尔法啊，然后两个角，一个是一百四减阿尔法，一个九十减阿尔法，他们相减，那个阿尔法就底下了。好吧，好，依然是送分。最后一小题， 在直角三角板旋转的过程中，将射线 o c 绕着点 o， 按每秒五度的速度顺时针旋转。 好，来，我就在图一中给你们标一下吧，三角板的话，是不是往上逆时针旋转的？好，这个，这个，这个 o c 呢？它是顺时针，但它速度是五度每秒是吧？你们也可以感受一下它们两个什么时候结束？那个三角板是不是旋转一圈 三十六秒是吧？好，然后这个 oc 呢？它旋转三十六秒，它速度是五，是不是只会旋转一百八呀？所以 oc 是 不是最多旋转到这个下边来，对吧？再说了，速度是不是一半？路程是不是？当然也是一半啊，但这是小学的这个比例形成啊。 好，然后在两在他们旋转的过程中，是否存在某个时刻使得射线 o a， o c o 的 中某一条射线是另外两条射线所夹的角的角平分线啊，都读得懂吧，就其中一条线是角平分线吗？ 啊，反正你比如说 o a 是 角平分线的时候， oc 和 o 的 是不是就组成一个角了，对吧？也就也就是角 ceo 的 嘛，那也意味着 o a 要平分那个角 ceo 的 嘛，对不对啊？只不过谁是角平分线是不就不确定对不对？ ok， 好， 那我们自然就要去研究谁为角平分线，然后呢，能把图画出来呢，肯定是最好的，你把图画出来之后再去研究， 最后你就能找，因为有角平分线，自然就会有角相等，或者说谁是谁两倍，谁是谁的一半，你就能建立等量关系，求出踢的值啊，这是整个方向。 好，那怎么去画图呢？想象能力不错的同学肯定是，嗯，能把每一种情况都给他想象出来，就是去想象。呃，这些线旋转的过程。但这个题难度没有很大， 因为他旋转的线围绕着问题去研究啊，有些同学会被那个三角形的旋转干扰，哎，他说，哎，一个三角板在转，哎，然后一条线又在转，晕了，是吧？其实这个三角板他是一个一个一块区域，对吧？我们没必要去看整个三角板，因为问题中问到的是不是只有 o v 是吧？那个 o b u 用不着，所以说第三位，你看我这里画的图啊，每一个图里边我都没有去画三角板，除了用它原图的时候好，所以你只需要把 o a、 o c 好 好画一画， o d 又没动，是吧？所以最后就变成了两条射线在转 好，问你谁是谁的角平分线啊，这也是我们书上立体练过类似的 好来。他的做法有两种啊，包括有的学校老师他会讲到一种做法，就是利用我们前面学的这个上半学期学的数轴动点啊，这种题目确实也能用数轴动点去做啊，但是他不万能 啊，有些复杂的题目搞不定，或者说就比如说这个题你可能就漏情况啊，你按出动点的思路去做的话，你可能就是三种情况，对吧？ o a 为角平分线， o c 为角平分线， o d 为角平分线啊，最后最后类似于那个钟点公式相加除以二去建立方程 啊，就会漏情况。而且在表示那个射线的时候，有些同学是 这个，这个不好理解，好吧，所以我们这里还是选择更常规更万能的做法，就是把图画出来，然后去分析他的那些角的关系。这本身也是我们学角度计算这一张所需要训练培养大家的一种思维 啊，也是对于我们以后以后的集合啊，初高中以后的集合更有帮助的啊，去找角一角的这些数量关系 好，来吧。第一种情况，呃，你们可以自己拿铅笔去比划一下，就模拟一下 o a 和 o c 旋转的全过程你只不过你在模拟的过程中，你要考虑到 o a 旋转的快一些， o a 的 速度是 o c 的 两倍，懂不？好？你去比划， 比划着比划着你就有感觉了，对吧？你就知道他大概在哪个位置是角平分线。好，那我这里就带着你们看啊， 由于在图一里边， o a、 o c 是 面对面的走，对吧？然后那个 o 的 始终在这里啊，那你 o a 往上走一会， oc 也往右边转一点，顺时针转一点点，他是不是很快就可以成为角平分线？ 就这个地方就有一个很强烈的感觉吗？对吧？所以说你把这一种情况图给它画出来啊，我们就直接利用了图一。 好，然后我们做这个动脚问题，有一个很重要的事情啊，初始位置和他运结束的位置，就他现在运动的那个位置，一定要搞清楚，你一定要去标他们所转的那个路程， 对吧？在数轴动点里边，我们我们得出来的是他走的那个路程，他是一个线段嘛，对吧？在动角问题边，他走的路程就是一个旋转的角度，好，所以这里 oc 走的路程是不是这里五 t 啊？单位我也不去标了啊，我去标个五 t 啊，那个他原来的那个 c 点的位置，我标成次 c 了，现在的位置是 oc， 好， 同理，那个 o 次 a 和 o a 之间所所夹的这个角，也就它旋转的这个角度，这里是不是十梯？ 你把这两个一标等量关系难道还不明显吗？把这个角平分线用起来，因为此时 o a， 他 是不是肯定是可以平分这个角 c、 o d 的，是吧？他平分 o c 和 o d 形成的夹角， 好，那既然是角平分线，所以这里是不是也是十 t？ 好， 但别忘了度数一定要用起来啊。我们第二问，它有个度数的就是一百四，一百四的话是不是得永远可以得出角 c o d 就 oc 没有动的时候，那个角 c o d 是 四十度，所以我就提前求了一下啊，当然这地方严谨一点，应该写次 c o d， 对 吧？就是那个初十位置的次 c。 好，包括这里也是四 c o 一 好了，所以第一种情况轻松搞定，三个角合起来，是不是四十度方程就出来了， 最后解出来 t 等于五分之八？好，接下来你就要在这个情况下继续去走啊，你继续拿笔去比划一下，因为再继续走的话， o c 跟这个 o a 是 不是就会相遇，对吧？会，重合好，重合之后 o a 是 不是上去了？ 你 o a 上去了，现在 o c 是 不就位于中间？位于那个 o d 和 o a 的 中间？好，所以请你们看到图四， 图四这个就属于 o a 转上去了，那 o c 处于 o a o 的 中间，懂不？那这也是完全有可能的呀，所以我们把它画出来之后开始研究，同样一定要去标一下他们的那个初始的位置到现在的位置形成旋转的那个角度。 那么这个是不是十 t？ 我 换个颜色吧， o a 从 o 的 那里转到这里，是不是十 t 啊？我这个十 t 就 不写了。然后呢？ o c 呢？ o 次 c 和 o c 是 不是形成了五 t 啊？这里是五 t 对 吧？好，那这个十 t 和五 t 有 什么关系呢？角平分的是不是那个那个 o a 和 o 的 形成的角，也就是角 a o 的， 对吧？那你就要观察哪些角好表示，那我们这个角平行线，他要用到的角一共有三个吗？两个小的，还有个大的，对吧？好，那我现在标的整个大角是不是十 t 啊？ 是吧？大角用到了，那我是不是随便再搞一个小角就行？哪一个小角呢？你要么标上面得出去表示上面这个角 a o c， 要么是表示下面这个角 c o d， 哪一个简单就表示哪一个呗。我那里标了个五 t， 你 觉得哪个简单？别忘了那个四十度， 所以很明显，是不是下面这个简单一些？下面这个角 c o d， 因为次 c o d 永远是四十度，所以这个是四十度减五 t， 懂不？好？最后我选择的等量关系就是整个大角 a o 的 a o 的是十 t 十 t， 它会等于四十度减五 t 的 两倍啊，角平分线的结论拿来立方程啊，所以最后就得到这么一个方程，这么一个方程 好解出来，七点一四来。第三种情况好，这个地方可能这两种多数同学来说还好，想一点，到后面他就他就想不下去了。好，因为这个 o a 他 要一一直旋转下去，为什么在上面的时候不行呢？我同样比划给你们看 来，呃，如果还在上面啊，那个 o a 跑得快，比如说 o a 在 这里的时候，那个 oc 呢？ o c， 你 可他 o c， 他 是不是慢慢的靠近 o 的？ 但是他在靠近 o 的 过程中是不是肯定不行啊？是不是好，那 o c 下去的呢？比如说 o a 在 上面， o o o c 下去了，下去了一点点，那这个时候你觉得行吗？ 还有啊，他 oc 下去的时候，他是下去的比较慢的， oc 走的比较慢，懂不？所以说这个 oc 他 是在缓慢的离 o 的 越来越远啊，离 o 的 越来越远，但是那个 o a 跑的贼快啊，是不是？所以说就算此时 o 的 在中间，他也不可能平分呐， 懂不懂？只要 o a 在 上面，你这个 o 的 跑的慢一些，他都不可能平分啊，你这样去比划，所以说 o a 下去之后才可以啊， o a 下去之后， oc 是 不是还得还得从这里这里这样慢慢的走？那在这个过程中是不是很有可能是有这么一种情况的， oc 位于正中间， 它位于 o 的 和 o a 的 正中间，所以说第三种情况再次轮到 o c 平分角 a o 的 第二种情况也是也是 o c 平分，对吧？啊，这个是无所谓。 ok， 好 来，这是第三种情况，但这个第三种情况图像我这样画好来，很重要的一个事情，你一定要去标一下初十位置，到它现在这个位置，你看这是 o a， 它旋转的这个角度是不是十 t？ 好，再来 oc 呢？ oc 旋转的角度是不是这个？换个颜色是不是这里？从那个 o 四 c 到这里，它是五 t， 对 吧？好，那怎么去列这个方程 来我这里选的什么呢？就说我看到这个十 t 我 就贼容易表示什么，就特别容易表示什么。 十 t 的 这一半，我们角平分线肯定在这边了。不，那个十 t 超过一百八了，对吧？我们肯定要取这边了嘛。那很明显，我现在瞄的这个角是不是跟那个十 t 和前三百六，所以我就选择了把这个角 a o d 表示出来，它是三百六减十 t， a o d 是 不大角。那我们此时要用的结论什么呢？ o c 是 角平分线， a o 的 这个大角表示出来了，你是不是在表示任意一个小角，这两个里边哪一个好表示，你就表示哪一个表示出来，是不是就可以建立方程了？那很显然，五 t 是 不是包含了这个角？它是不是只需要减掉上面的四十度 啊？所以我就选择了这个角， ceo 的 五 t 减四十度。好，最后三百六减十 t， 等于两倍的这个五 t 减四十度，好吧？啊，把 t 减去等于二十二， ok， 最后一种情况，它或许你你这种情况，第三种能想到，最后一种自然也能想到，因为它是继续走， 继续走， o a 跑得比较快嘛，对吧？你啊啊，跑得比较快。其次， o o c 是 不是还在顺时针往左边走？他们现在是不是又是一个面对面的过程？ 那显然 o a 是 会跑到 o c 的 右边去，而跑到右边去之后，它位于正中间，位于 o c o 的 正中间，这不是轻而易举吗？是不是？所以你把这个图画出来。好，那这种情况简单一些，因为你刚刚都已经表示过这个十 t， 这个是十 t 啊，整个这个大半圈，大半圈。好，那这个是不是三百六减十 t， 是吧？好，这个三百六十 t， 那 它此时 o a 是 不是行分那个角 c o 的， 对吧？好，这是三百六十 t， 那 另外哪一个角好表示呢？你再把五 t 标一下，五 t 是 不是指的是这个角， 这是五 t？ 好， 那四十度在这，你把这些都用起来，很明显，五 t 减四十度，是不是就得到那个角 co 的？ 其实跟刚刚一样的，刚刚的这个角 co 的 是不是也是五 t 减四十度，是吧？所以说我最后一种情况写的都简单一些了， 因为角 co 的 和那个角 a o 的 跟上一种情况是一样的表示出来 好吧啊，只不过谁是谁的两倍交换了一下啊，风水轮流转好，最后列出这个方程之后，解出七点五分之五分之一百五十二。 ok， 之所以综上四个答案，好吧，那解决这种动脚问题的一个核心再次强调啊 啊，虽然说确实需要结合一点想象能力去画图，去研究那个角与角的数量关系，但是你可以借助一些工具，用你的铅笔啊，手指头啊，去比划一下啊，去把图通过一点点想象 啊，画出来之后开始在上面去标角啊，去标那些速度乘时间，它很重要啊，然后你再去研究等量关系就好了。好，有什么问题单独私聊我。

挑战每天一道押注题，期末多考二十分！今天要讲的是一元一次方程含三解问题，我们一起来读下题目关于 x 的 方程， a x 减 b 减四， x 等于负三，有无数个解，则 a 乘 b 等于多少？ 这道题是一元一次方程中最难的含餐问题，是初一期末压轴题必考的知识点，难度非常的大，百分之九十九的孩子都丢了分，一定认真听完，再把我整理的期上期末必考四大重难点一百题给孩子练习，包含了绝 绝对值、数轴通叠找规律、一元一次方程等期末考试冲高冲满。那么对于这里呢，我们首先分清楚谁是未知数，谁是参数。关于 x 的 方程，也就意味着 x 为未知数，那么 a 和 b 呢？我们都把它叫做 参数。那对于这类型的题，我们解体两个步骤，第一个步骤，将我们的方程化成 ax 等于 b 这种标准形式，从而我们对未知数的系数 a 和常数项 进行分类讨论，确定解的情况。那么对于无数解，我们来对应下来是我们的第二种情况，也就意味着咱们未知数的系数为零以及常数项为零的时候，就会有无数个解。 比如说给大家举一个例子，假设我们写一个方程，零乘 x 等于零，那你会发现 x 会取到无数个数，所以这也叫做无数解的情况。 那对于这道题，首先我们进行化解，化解将含有未知数的项放在方程的左边，以及常数项和参数放在方程的右边， 那么此时左边就会进行一个合并同类项，也就意味着将 x 提出来，也就是 a 减四倍的 x 等于负，三加 b， 那 么既然有无数个解，那就使得 a 减四等于零， 负三加 b 也等于零，从而 a 等于四， b 是 等于三的，那么 a 乘 b 就 等于十二。所以这道题的答案是十二，你听懂了吗？

这是一道必考压轴题，考察一元一次方程无数解问题，百分之九十五的孩子都没有掌握，今天叶老师带大家彻底学会，我们一起来看。 已知关于 x 的 方程，有无数多个解，就是有无数个解，那么则 a 等于多少， b 等于多少。那么首先我们先把这个方程解一下，在解的过程当中，就把这里的 a b 当数字来对待，我们来好，我们先来解一下这个方程，解 好现在观察，那么这里的话呢，我们需要把 r a 把它乘进去，变成了 r a x 减 r a， 我 们注意观察右边这一块对不对？我们需不需要把 x 乘进去呢？不需要， 因为我们在解方程的时候，把 x 的 什么多项式进行合并，把它变成一项，而这里它呢，其实就是一项，对吧？如果说你把 x 乘进去之后的话，你实际是把它分开了啊，项数变多了，所以我们先把这里先照抄 好，那么接下来这块就是一个完整的 x 项，把它移到等号的左边，变成了二 a， x 减括号五减 a， 括号 x 等于这里是减二 a 变成二 a 加三 b， 那 么可以把 x 取出来，就变成了二 a， 我 们注意看啊，二 a 我 们写慢一点，把中括号加进来，减去这一项的 x 系数，就变成了五减 a， 中括号 x 等于二 a 加三 b， 好 在整理变成了二 a 减五加 a， 括号 x 等于二 a 加上三 b， 那么又变成了三 a 减五括号 x 等于二 a 加三 b。 好 到这里我们要小心了啊，这个时候 x 前面它是带字母的，所以不能随便的把它除下来了，因为除数不能是零， 那么他说有无数多个解是什么意思呢？之前我们在解一元一次方程的时候，都解出的是一个解，对不对？那么无数解是什么问题？好，我们想象一下啊， 也就是说 x 有 很多个，对不对？不管 x 取多少的时候，那么我这个等式呢？都是成立的，那我们想象 我们，呃，任何数和谁相乘的时候，它的结果是一样呢？对，是零，对吧？零乘任何数都是零，所以我们这里的三 a 减五是等于零的，所以说我们是不能往下除了，对吧？就变成了 a 是 等于 三分之五的横，再看，那么这个时候左边是零，那么右边是不是也必须要是零，对吧？这个方程才会有解，所以就会得到二 a 加上三 d 等于零，把这里的 a 呢带进来变成了二乘三分之五 加三 d 等于零，这是三分之十加三 d 等于零， 三 b 等于负的三分之十，那 b 就 等于负三分之十，除以三乘三分之一等于负九分之十，对吧？那么这个题的 a 呢？就是三分之五， b 是 负九分之十。好，那我们来总结一下啊，对方程的无数解问题，到最后这一步的时候呢，他一定是左边是零，右边是零，对吧？ 又利用了一个零乘任何数都是零，所以说这里 x 有 无数多个，这道题你学会了吗？

好嘞，我们在 e s 方程的问题当中呢，经常会出现啊，几何方面的问题，就是要让大家通过图形啊来解设列方程，然后呢去解出 x 之后啊，然后解决相对应那些问题。好，我们来看啊，这个题目就是一个非常经典的 关于图形方面的一些问题，那一般的都是给你的如这样子的一个长方形，那长方形的话，大家可以知道，我们都知道它的两条长是相等的，两个宽也是相等的，那恰巧我们这个方程的，因为方程这个题目呢，就是利用这样的原理 啊，然后来帮助大家去解出啊，你这里面的这个设的未知数，所以一般情况下呢，我们会设啊，某一个小的这种边长为 x， 然后呢去通过对应关系 这两相等，这两相等对吧，横着竖着两个方向相等，得到这里面的这个 x 的 一个取值。好，所以我们就来看这道题目啊，长方形的 a、 b、 c、 d， 它是由六个正方形组成的啊，然后呢当中有两个一模一样的正方形，并且最小正方形的边长呢是一，就证明这边是一啊，然后问你，长方形 b， a、 b， c， d 的 长边，这个边长 d， c 啊，它的长是多少？好，那我们来看啊，呃，看到这种题目呢，我们刚讲的吧，你首先要先设一个 x 出来，是谁呢？一般情况下会设这个正方形，所以我们就设右下角的这两个正方形，它们的边长为 x。 好， 这时候就需要大家干嘛呀， 把这里表达出来，把这里表达出来，然后呢建立一个等量关系，不就可以求出这个 x 了，是吧，所以它的目的一般都比较简单。好，那我们就来看，根据这里长是一啊，那么咱们这个地方是 x 这边加一，那就是 整个的边长就是 x 加一，对吧。所以，哦，那我这里的这个 d c 啊，你看这么一加起来是多少？不就是三 x 加一吗？是吧？所以下面这个搞定了，再来看上面这个啊，上面这个好， 这个跟他和他有关系啊。来，再来看这个，这个长度的话，这边是 x 加一，再加一个一，就是 x 加二， x 加二，好，然后旁边还有一个大的，这大的呢，恰恰也是 x 加二再加一，所以它就是 x 加三嘛。好了，那既然这样的话，我们可以发现啊，上面这个 长度也都得到了，是吧？所以这时候你会得到一个式子，就是 x 加上二，加上 x 加上三，就等于下面这个是什么三 x 加一，好，然后你会发现这里这个 x 啊，非常好解，一般情况下都很简单的，不难。 好，最后发现这个 x 等于几啊？等于四，好，当 x 等于四之后，哎，你要求的是下面这个呀， d c 三 x 加上一，那三 x 加上一，不就是三次十二，十二加一等于十三吗？这道题目的答案呢，就是 b， 好， 这就是几何方面的问题啊，如果大家想要获得更多的关于此类的什么几何呀，还有经济问题啊，那些应用题啊，很显然问题啊， 那些相关的一元一次方程解应用题的，那可以在这些题目啊，就可以在评论区扣一啊，老师会给大家去私发啊，整理那些比较啊，比较全面的一些题目啊。好，这道题目大家学会了没？学会，听听老师点关注吧。