数学复合函数题型及解题技巧

只对复合函数高一期末大题十五到十七分，你还在用低效的硬算，浪费时间，马老师教你一个由内而外的满分逻辑，轻松涨二十分。这期视频我们来看一下只对函数在解答题当中的一个应用，那它主要呢，是会跟复合函数进行一个结合， 也就是 y 等于 f g x 的 形式。那这个指数跟对数呢，它既可以作为内层，也可以作为外层。那我们今天主要说的是对数函数作为一个外层函数，内层呢是一个二次函数的解决方式。 那我们所有的复合函数啊，他都是要令内层 t 是 等于 g x， 然后呢，外层 y 就是 等于 f t， 那 他们两个的联系就在于这个 t， 那 复合函数呢，也会有四个考点。 第一个是值域问题，我们先要通过 t 等于 g x， 先求出来一个 t 的 范围，这时候是第一次求值域，然后再通过 t 的 范围再去求解 y 等于 f t 的 范围，对不对？所以说值域呢，主要是两次 求解。单调性，那就是同增异减嘛。 好，所以说我们在知道单调性之后，它经常会让我们干嘛呢？去解不等式， 然后也可以通过单调性去研究函数的图像，哎，研究函数的图像，我们也可以得到一种直域。 第三呢，是对称性，对称性主要还是利用定义来去解决问题，那其中有一个比较常用的结论呢，是内偶则偶， 内偶则偶，它说的是当你的内层函数呢，呈现对称性的时候，你整个这个复合函数就会有对称性。 零点问题是一个比较复杂的专题，我们会专门的用新的视频来去说明，那所以这期呢，我们通过这样的一个例题，把前面的三个来去看一下是如何在对数函数这样的题目当中应用的。 好，我们来看。第一问，说 f x 的 值域为 r， 那 我们先分析这个函数呢，把它的内层和外层写出来，内层 t 等于 ax 平方减四， x 加 a， 外层 y 呢，就等于 log 以 a 为底 t 好， 它的值域想要是全体实数，我们就会要求这个 t 啊，它是得能取到大于零的所有数， 所以我们在知道这个之后，对于这个内层的二次函数来说，他怎么才能取到大于零的所有数？那是不是就会要求这个二次函数呢？他实际上是应该与 x 轴有交点， 所以我们只需要让他的判别式大于等于零就可以了。判别式德塔等于十六，减去四， a 方大于等于零， a 方小于等于四，然后负二小于等于 a 小 于等于二，再结合 a 大 于零，且 a 不 等于一这个条件，所以我们可以得到最后 a 的 范围呢，就应该是 a 属于零到一，并一到二。 第二问，前面给了关于 a 的 一个方程，让我们去求解 f x 等于二的解集，所以前面这个方程呢，它应该是可以去求解出来 a 的 值的对不对？但是好像我们也不会求解，那这种方程呢，叫做超越方程， 所以说我们就只能干嘛呢？只能进行一个猜根了。后面三是一个整数，前面有根号，那你不想有根号，那我们就可以从零开始嘛，比如根号零，根号一，根号 四，对不对都可以把根号给去掉，那如果 a 等于零的话，那是不成立的，那 a 等于二分之一的时候， 就是根号一加上四的二分之一，次方就是一加上二刚好是等于三，所以 a 的 值就应该是二分之一， 但是呢，这样的不严谨，对吧？所以说我们还需要去把这个前面的看作是一个函数，来去分析一下是不是只有唯一的零点，也就是我们可以令 h a 是 等于根号二 a 再加上四的 a 四方，我们发现它是单调递增的，那肯定有零点，就会只存在一个嘛，所以说 a 就 只能等于二分之一，所以我们把二分之一代入，把函数的解析式给写出来，它等于二， 所以这个时候我们进行一个只对互化，也就是二分之一 x 平方减四， x 加上二分之一，就等于二分之一的平方，也就是四分之一。然后我们再把这样的一个式子左右呢，同时乘以一个四，画成整数的形式，会得到 二 x 平方减十六， x 再加上一等于零，那这时候就只能利用求根公式来去求解了。 x 呢，就等于十六加减根号下十六的平方二百五，十六，减去四 a， c 就是 减去八，然后呢再除以四， 那这边有个根号下两百四十八，我们可以写成是一个根号下四乘以六十二，那就只能开出来一个二，那结果就是四加减二分之，根号六十二。 哎，那这个就是这个方程的解集也比较简单。第三问，当 a 等于五分之八的时候，这个函数呢？具体都给到我们了，让我们去求解这个图像的对称轴方程，以及这个不等式，对吧？就要解不等式了。好，那这个对称轴是不是？那你的内层函数就是具有 对称性，我们就可以直接来说哈。那首先我们来去判断一下， a 等于五分之八的时候，我们把函数写出来内层这个二次函数，它的对称轴是负的二乘以五分之八分之负四，那也就是 四分之五，所以说这个函数的对称轴就是四分之五，这个可以直接说。然后我们接下来要去解这个不等式，所以我们需要从第一步来去分析一个函数。我们应该优先分析定义域，也就是五分之八 x 平方减四， x 加上五分之八是大于零的 啊，那同时乘以五就是八 x 平方减二十 x 再加上八大于零，这边我们可以拆成二四，嗯，四和二。 所以呢，我们可以最后写出来，二 x 减四，再乘以四 x 减二是大于零的，也就是定义域，我们可以得到它是小于二分之一和大于二， 那我们把这部分计算的擦掉， x 小 于二分之一或 x 大 于二是它的定义域， 然后再结合同增异减来去分析这个函数的单调性。函数以五分之八为底的对数函数是单调递增的，那层二次函数在小于二分之一时单调减，大于二的时候是单调增，所以这个函数 f x 就 会在 富无穷到二分之一单调解。哎，二到正无穷是单调递增的啊，记得对称轴是四分之五，所以对于这种具有轴对称的特征来去解不等式，我们要看的是括号内的整体到对称轴的距离。 如果函数先减后增，谁离对称轴越远，谁的函数值越大，那如果是先增后减，那就是刚好相反的情况，那这道题是先减后增嘛？那所以我们需要去满足 x 加上四分之五到对称轴的距离，它比二 x 加四分之一到对称轴的距离要小。 但是这个式子列完之后，最后的解集肯定不是它，为什么？因为我们可能会忽略定义域啊，这个再强调一遍，一定要考虑定义域，也就是我们还需要满足 x 加上四分之五小于二分之一， 或者是 x 加上四分之一，或者是 x 二， x 加上四分之一是大于二的， 或我们就取个并集，然后这三个式子一二、三是要同时成立的，最后我们去取个交集就可以了。我们来去算一下第一个， 那就是 x 的 绝对值小于二， x 减一的绝对值平方， x 平方小于四， x 方减四， x 再加一， 那么移过来之后就是三 x 方减四， x 加一是大于零的，那三 x 减一， x 减一是大于零。所以第一个式子我们会解出来 x 小 于三分之一，或者是 x 大 于一， 这个我们解出来是 x 小 于负的四分之三，这个我们解出来是 x 大 于四分之三， 这个我们解出来是二。 x 小 于四分之一，那就是 x 小 于八分之一，这边是二 x 大 于四分之七，那么 x 呢？就会大于八分之七嘛？那所以我们最后的解集呢，就是负无穷到负四分之三，再并上 一到正无穷。总结一下，我们对于复合函数来说，一定要了解它直域、单调性、对称性的分析方式， 那么具体函数呢？我们一定要看到定义域和性质对于这个函数图像的影响。关注我用正确的方法搞懂数学。