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只对复合函数高一期末大题十五到十七分,你还在用低效的硬算,浪费时间,马老师教你一个由内而外的满分逻辑,轻松涨二十分。这期视频我们来看一下只对函数在解答题当中的一个应用,那它主要呢,是会跟复合函数进行一个结合, 也就是 y 等于 f g x 的 形式。那这个指数跟对数呢,它既可以作为内层,也可以作为外层。那我们今天主要说的是对数函数作为一个外层函数,内层呢是一个二次函数的解决方式。 那我们所有的复合函数啊,他都是要令内层 t 是 等于 g x, 然后呢,外层 y 就是 等于 f t, 那 他们两个的联系就在于这个 t, 那 复合函数呢,也会有四个考点。 第一个是值域问题,我们先要通过 t 等于 g x, 先求出来一个 t 的 范围,这时候是第一次求值域,然后再通过 t 的 范围再去求解 y 等于 f t 的 范围,对不对?所以说值域呢,主要是两次 求解。单调性,那就是同增异减嘛。 好,所以说我们在知道单调性之后,它经常会让我们干嘛呢?去解不等式, 然后也可以通过单调性去研究函数的图像,哎,研究函数的图像,我们也可以得到一种直域。 第三呢,是对称性,对称性主要还是利用定义来去解决问题,那其中有一个比较常用的结论呢,是内偶则偶, 内偶则偶,它说的是当你的内层函数呢,呈现对称性的时候,你整个这个复合函数就会有对称性。 零点问题是一个比较复杂的专题,我们会专门的用新的视频来去说明,那所以这期呢,我们通过这样的一个例题,把前面的三个来去看一下是如何在对数函数这样的题目当中应用的。 好,我们来看。第一问,说 f x 的 值域为 r, 那 我们先分析这个函数呢,把它的内层和外层写出来,内层 t 等于 ax 平方减四, x 加 a, 外层 y 呢,就等于 log 以 a 为底 t 好, 它的值域想要是全体实数,我们就会要求这个 t 啊,它是得能取到大于零的所有数, 所以我们在知道这个之后,对于这个内层的二次函数来说,他怎么才能取到大于零的所有数?那是不是就会要求这个二次函数呢?他实际上是应该与 x 轴有交点, 所以我们只需要让他的判别式大于等于零就可以了。判别式德塔等于十六,减去四, a 方大于等于零, a 方小于等于四,然后负二小于等于 a 小 于等于二,再结合 a 大 于零,且 a 不 等于一这个条件,所以我们可以得到最后 a 的 范围呢,就应该是 a 属于零到一,并一到二。 第二问,前面给了关于 a 的 一个方程,让我们去求解 f x 等于二的解集,所以前面这个方程呢,它应该是可以去求解出来 a 的 值的对不对?但是好像我们也不会求解,那这种方程呢,叫做超越方程, 所以说我们就只能干嘛呢?只能进行一个猜根了。后面三是一个整数,前面有根号,那你不想有根号,那我们就可以从零开始嘛,比如根号零,根号一,根号 四,对不对都可以把根号给去掉,那如果 a 等于零的话,那是不成立的,那 a 等于二分之一的时候, 就是根号一加上四的二分之一,次方就是一加上二刚好是等于三,所以 a 的 值就应该是二分之一, 但是呢,这样的不严谨,对吧?所以说我们还需要去把这个前面的看作是一个函数,来去分析一下是不是只有唯一的零点,也就是我们可以令 h a 是 等于根号二 a 再加上四的 a 四方,我们发现它是单调递增的,那肯定有零点,就会只存在一个嘛,所以说 a 就 只能等于二分之一,所以我们把二分之一代入,把函数的解析式给写出来,它等于二, 所以这个时候我们进行一个只对互化,也就是二分之一 x 平方减四, x 加上二分之一,就等于二分之一的平方,也就是四分之一。然后我们再把这样的一个式子左右呢,同时乘以一个四,画成整数的形式,会得到 二 x 平方减十六, x 再加上一等于零,那这时候就只能利用求根公式来去求解了。 x 呢,就等于十六加减根号下十六的平方二百五,十六,减去四 a, c 就是 减去八,然后呢再除以四, 那这边有个根号下两百四十八,我们可以写成是一个根号下四乘以六十二,那就只能开出来一个二,那结果就是四加减二分之,根号六十二。 哎,那这个就是这个方程的解集也比较简单。第三问,当 a 等于五分之八的时候,这个函数呢?具体都给到我们了,让我们去求解这个图像的对称轴方程,以及这个不等式,对吧?就要解不等式了。好,那这个对称轴是不是?那你的内层函数就是具有 对称性,我们就可以直接来说哈。那首先我们来去判断一下, a 等于五分之八的时候,我们把函数写出来内层这个二次函数,它的对称轴是负的二乘以五分之八分之负四,那也就是 四分之五,所以说这个函数的对称轴就是四分之五,这个可以直接说。然后我们接下来要去解这个不等式,所以我们需要从第一步来去分析一个函数。我们应该优先分析定义域,也就是五分之八 x 平方减四, x 加上五分之八是大于零的 啊,那同时乘以五就是八 x 平方减二十 x 再加上八大于零,这边我们可以拆成二四,嗯,四和二。 所以呢,我们可以最后写出来,二 x 减四,再乘以四 x 减二是大于零的,也就是定义域,我们可以得到它是小于二分之一和大于二, 那我们把这部分计算的擦掉, x 小 于二分之一或 x 大 于二是它的定义域, 然后再结合同增异减来去分析这个函数的单调性。函数以五分之八为底的对数函数是单调递增的,那层二次函数在小于二分之一时单调减,大于二的时候是单调增,所以这个函数 f x 就 会在 富无穷到二分之一单调解。哎,二到正无穷是单调递增的啊,记得对称轴是四分之五,所以对于这种具有轴对称的特征来去解不等式,我们要看的是括号内的整体到对称轴的距离。 如果函数先减后增,谁离对称轴越远,谁的函数值越大,那如果是先增后减,那就是刚好相反的情况,那这道题是先减后增嘛?那所以我们需要去满足 x 加上四分之五到对称轴的距离,它比二 x 加四分之一到对称轴的距离要小。 但是这个式子列完之后,最后的解集肯定不是它,为什么?因为我们可能会忽略定义域啊,这个再强调一遍,一定要考虑定义域,也就是我们还需要满足 x 加上四分之五小于二分之一, 或者是 x 加上四分之一,或者是 x 二, x 加上四分之一是大于二的, 或我们就取个并集,然后这三个式子一二、三是要同时成立的,最后我们去取个交集就可以了。我们来去算一下第一个, 那就是 x 的 绝对值小于二, x 减一的绝对值平方, x 平方小于四, x 方减四, x 再加一, 那么移过来之后就是三 x 方减四, x 加一是大于零的,那三 x 减一, x 减一是大于零。所以第一个式子我们会解出来 x 小 于三分之一,或者是 x 大 于一, 这个我们解出来是 x 小 于负的四分之三,这个我们解出来是 x 大 于四分之三, 这个我们解出来是二。 x 小 于四分之一,那就是 x 小 于八分之一,这边是二 x 大 于四分之七,那么 x 呢?就会大于八分之七嘛?那所以我们最后的解集呢,就是负无穷到负四分之三,再并上 一到正无穷。总结一下,我们对于复合函数来说,一定要了解它直域、单调性、对称性的分析方式, 那么具体函数呢?我们一定要看到定义域和性质对于这个函数图像的影响。关注我用正确的方法搞懂数学。

