2025黄冈八上数学几何试卷

各位同学大家好，我们来看一下本次月考的最后一道压轴题啊。嗯，这两天问的人比较多啊，因为我这两天感冒嗓子不舒服，所以讲的稍微晚了一点，那么接下来我们来看这个题。首先原题当中告诉我们，第一问说这个角它等于六十度， 这个大的角 c 等于九十度，那么这个时候我们能够推出角 b， 它是不等于三十度，对吧？接下来的时候 这个 c d 它平分这个角 a c e， 也就说我们能够得出这两个角它各自等于多少？等于四十五度，对吧？角一和角二相等啊，这个图画的已经比较看不清，接下来 他问大家这三个线段之间的数量关系是什么？那我们上课的时候给大家讲过了，但凡出现三个啊，这个线段之间的数量关系，在初二上册的话，就是最长的这个边等于另外两个边，两个边的和，对吧？所以第一问的结论他就是 bc， 他 等于谁？等于 ac 加上 ad 啊？那这个时候如何来进行证明？他第一问当中也给大家了，他说在啊，小明的解析思路是 怎么样在这上面截取啊？截取这两个边的长度线是相等，我们拿蓝颜色进行替换一下啊。首先 a c 他 和 a e 的 长度线是相等，对吧？那么接下来下一步 他说可以证明这两个三角形全等，那全等的理由也非常简单，那这两个边相等，角一它是不是等于角二，加上中间还有一个共边啊？所以这两个角它对应的是不是等于角 a 相等，是不是等于六十度？ 那角 b 有， 刚才我们第一问的过程当中说了它等于三十度，那所以根据三角形的外角能够推出角 e、 d、 b， 它是不也等于三十度？那么这个时候我们能够推出什么东西啊？ 这个小的三角形，它是一个等腰三角形啊，也就说这两个边的长度，它现在是相等，那整个 d、 e 它是不还和 a、 d 相等，对吧？那这个时候你自己来看一下整个的 bc， 它是由蓝线和红线共同构成的， 那这个时候蓝线和蓝线相等，红线和红线相等啊，当然这个里面的蓝线不包括中间这个公边 c、 d 啊，这是我们刚才 所画的，所以第一个我们非常轻松的能够证明 bc 它是不是等于谁？ c， e 加上 b e， 对 吧？那这个时候它是不是可以被转化成 a、 c 加上 a、 d， 所以 第一个我们就证明结束。 那总结起来，第一步就四个字，什么呀？截长补短，对吧？啊？这我们上课讲过的典型例子，截长补短。 那么接下来我们来看第二步。第二步他说在图三的过程当中，点 e 是 整个 b、 c 边的中点啊，这里面点 e 是 个非常特殊的点，是个中点，接下来又有平分产生啊，这里面又有 啊，这个角一它和角二相等，然后这边多了个九十度啊，然后问你解决一下他们三者之间的数量关系，那你大胆猜测一下，这里面的数量关系仍然是最长的 a、 d， 它是不等于 ab 加上 c、 d 吧，对吧？如果我们基础差一点的同学啊，三班或者四班的同学，就你平时考啊七十多甚至七分以下的人，你只要记住我们当时所讲的截长不短的结论，这个 这一步你是能够拿到分数啊，因为可多同学也就证明不了你。像第三题可能学习非常好的一百零几的人，他可能做起来也比较困难，所以我们在这一步就可以和其他人把分数进一步的差距缩小。那接下来我们来看如何来证明？我们先讲 这个截长不短吧，老师当时讲了，截长的话，你尽可能去截长，对吧？那怎么去截呀？我们在最长的边 a d 上来进行截取，比方说现在他是 b 片了，那这个时候我们把谁啊？ b e 连接一下，那这个时候这两个三角形它很明显会出现全等，对吧？全等的理由是什么？我刚才说了，我的 ab 它是不等于 ab 片，角一它是不等于角二，再加这块有个共边，所以这两个三角形它会全等。那么全等结束之后， 我们只需要再一次换一下思路，证明这两个三角形全等，它是不就可以了？那么刚才说了， b e 它是什么东西啊？ 啊？它和 c e 它是相等，因为点 e 是 终点，对吧？ bc 的 终点，所以 b e 的 长度它会和 b 撇 e 的 长度相等，那这个时候它是不是也等于 e c 了？那再加上这个公边啊？ d e， 所以 我们只需要凑一个条件，凑哪个条件？凑这个角三，它等于这块的角四，它是不就可以？ 那角三为什么等于角四呀？我们来看一下，我们刚才说了，这两个三角形全等的话，这块的角五会和这个角六什么关系？他俩是不会对应相等，对吧？而原来的题当中告诉我们，这个角 a e、 d 它等于九十度，也就是说角三加上角六它等于九十度， 那这个时候还能得出来角五加上角四，它是不也等于九十度，对吧？那这个时候 角五和谁是相等？他和角六是相等，那么角三自然而然就对应的和角四他是不是相等了，这叫什么呀？这叫等角的与角相等。那么这个时候我们来看一下边角边五是不是就可以证明这两个三角形它是不是全等，对吧？啊？那两个三角形我拿荧光笔画一下啊，是不这个三角形它和这个三角形全等， 那么这个时候我们来看一下最长的 a、 d 他 是不是等于这段，对吧？那这段和谁相等？是不和他相等？ 那这一段是不和它相等，那这个时候我们就可以证明刚才所猜的结论， a、 d 它就等于这两个边的和，对吧？这是一种办法。那么这个讲完之后我们再来说一下啊，我们当时上课还讲过什么东西，还讲过被长中线啊？因为点 e 它是个终点，这里面就有可能会牵扯到被长中线，那这个时候怎么办？我们来看一下 倍长中线，我们当时说的结论很简单，我只需要把 a e 怎么样延长出来，对吧？到哪里到？比方说我们现在所说的 a e 撇这个位置上，然后连接一下这个 c a e 撇就可以。 那这个时候你自己来看一下这两个边它怎么样？是不是相等？那点 e 作为中点，这两个边它是不是也相等？再加这个对顶角，这两个三角形它是不是就全等？所以整个 这个 ab 的 长啊？我们换个颜色， ab 的 长，它是不是就会等于 c a 撇的长，对吧？那这个时候我们来再来看一下。原题当中还告诉我们，这刚才我们所说的角一等于角二，我说没用到。那刚才三角形全等的时候，角一和这个角三它是不是相等？那这个时候角二就和角三相等， 对吧？那角二和角三相等之后，这一块不是还有个九十度吗？刚才我们是延长 a e 至 a e 撇，那所以这边是不是也有个九十度？那再加上中间这个公共边的话，所以这两个大的三角形它也会产生全等啊，哪个三角形是不？这个蓝颜色的三角形， 对吧？它是不会和背靠背的这个绿颜色的三角形它是不会产生全等。能看明白，那这个时候产生全等之后，我们你看一下 a d 它的长度 他等于谁？他是不等于 d a 撇，那是不等于 c d 加上 c a 撇， c a 撇的长度和 b a 的 长度相等啊。这个时候第二位也可以用这种思路去做啊，这是整个调。 那么接下来我们来看一下难易程度最大的第三位啊，第三位你就记住，这就典型的数学考试题，你前面两份用了接长不短，那这这一份仍然用的是接长不短，那接下来我们来看一下，他告诉大家说 角 a 等于六十啊，各位同学你要好好听啊，这个你就记住，绝大多数人他是做不了的，那你想一想，我做不了的情况下，我怎么能够多拿分，这是最关键。然后这个边的长度他等于一百三啊，这个同学在旁边已经写出来，接下来又告诉你说 这是个角平分，这也是个角平分，对吧？它俩分别是大小 b 和大小 c 的 角平分。那这个时候各位这是不是有我们上课所讲过非常典型的双角平分线模型，也就是说我就不会做，我也能够推出这个角 c p b， 它等于多少？是不是等于一百二十度，对吧？你自己简单的把过程整理一下， 它就能够拿到分数啊，因为其他人都写不了了，你但凡写了，它都会给你分数。那么接下来 他说整个 b m 的 长度等于八十啊，这个边的长度等于八十， c n 的 长度等于十五。接着告诉你说啊，需要，呃弄一个什么步道啊？ m n， 并且满足点， p 是 m n 的 重点，那就这两段的长度，它俩是相等，对吧？那这个时候问你说 求 m 的 长度，那求 m 的 长度，我只需要求出其中任意一个不倒的长度，它是不就可以了？那这个时候和刚才一样啊，我们看一下新得出来这个一百二十度怎么用啊？以及刚才我们所说的这些什么一百三呀，十五呀，八十呀，这些东西到底怎么样？ 那方法和刚才一样，我们前面用了截长不短，那这块是不是同样用截长不短，那这个时候怎么办？我们在你看 这一块呢，我们把它标作角一吧。啊，这个标作角二，角一和角二它是相等，那中间又有个公边，那和上面一样，我在这上面可以截取个什么东西 啊？这个笔不太好画了啊，因为比较比较小，图比较小，我在整个 bc 上截取一个 c n 撇的长度，它和 c n 的 长度相等，那这个时候我连接一下这个 p n， 那 各位同学，我先问一下你 这个蓝颜色的三角形啊，和这个绿颜色的三角形，他俩会不会出现全等？明显会。为什么这两个边的长度相等是我自己截出来，角一等于角，二是题当中有的，以及这个我们边线有，那么这个时候 这个边和这个边长度是不就相等，对吧？也就说那个十五可以转移到这来啊？那各位同学，这个时候这段的长度它是不就等于十五？那同样道理，底下照猫画虎。再来一遍，我在这个 b c 上再截一个，谁啊？再截一段， 再截一段，这个 b m 撇的长度它和 b m 的 长度相等，再把它连接起来。那各位同学一样的道理， 底下这个绿颜色的三角形，他是不是同样和这个蓝颜色的三角形，他也会产生全等？全等？理由继续啊？这两个边是我们截截出来 这两个角相等是题当中告诉的，这是不是还有个共边，所以这两个三角形也全等，那么这个时候 这段的长度他是不就等于八十了？能看明白，那一百三减，八十减十五，我是不能够得出这段长度，对吧？相当于一百三减个多少啊？九十五，对吧？那么这个时候我们能够得出中间的长度，它等于多少？是不等于三十五？ 能听明白，那有的人可能会说，那老师你刚所得到的这个一百二十度咋用？你刚不是说这个大的角它等于一百二十度，那各位，这个时候关键点就来了，你看下，既然证明三角形的全等，那这个时候这个角和谁是相等？是不和这个角它是相等，对吧？或者看这 更厉害一点的办法，这一块的角五它是不会产生相等，那同样道理， 角六它是不等于这块的角七吧，对吧？这个角七指的哪个角啊？可能看不清了，指的是这个角和这个角七它是不相等，那这个数角六加角七，角四加角六，在这个三角形当中，它是不等于一百二十度。那同样道理， 角五加上角七，这两个角是不等于一百二十度，所以这块他会有六十度产生，对吧？那刚才说了这两个边相等，那这两个边他是不是也相等？那再加这个六十度之后，我们现在所新构造的这个三角形，荧光色的三角形，他是不就会是一个等边三角形？ 各位同学能听明白，那它既然是个等边函数，这两个变量是不各自等于三十五，那三十五加三十五等于七十，也就是说 m n 的 长度它等于七十。这题就结束了啊，其实非常简单的，截长不等我们就可以解决，这也就是升学考试题当中属于 比较常见的所谓的亚洲题吧。啊，只不过这个时候放在初二，对大家来说难度稍微大一点。 好了，各位同学，这个题我就讲到这啊，总体来说还是稍微带一些难度，但是如果你把我们上课所讲的接长不短啊，背长、中线这些常见的辅助线，有时候听明白，做这些题对你来说也不会特别难。 好了，各位同学，因为嗓子原因啊，你看今天的视频当中，可能听的大家没有那么仔细啊，你结合视频自己多听一听，多看一看。好了，这个题我就讲解到这，各位同学再见。

啊，各位好，今天我们讲一个网络热题啊，初二的，因为我看到有一些老师在讲这个题目，所以我也觉得这个题目比较好啊， 可以作为八年级的新课啊，以及，呃，九年级的中考复习。都可以啊，都可以，现在我们正题啊，进入正题。 rt， 三角形 a b c d 中 ab 等于二啊， ab 等于二， 那个 cd 等于 b， d 等于一。哎，那意思顾名思义，这里也是二啊， 那说明这是个等腰直角三角形， e f 为动点，这两个点在上面动啊， d 为中点啊，它它是个定点啊，一定两动，那么这个一定两动要求 e f 加 tf 的 最值， e f 加 tf 的 最值在哪里？ 最小值啊？因为 e 跟 f 它同时在动，那我们能不能够直接找到它的对称点，你构造一个正方形，那不就可以找到它的对称点，对吧？ 哎，那么 d 点的对称点在这儿，那么 e f 跟 d f 的 最值，那动到哪里？ 那就相当于在这里运动是不是，那么这个 f 在 这个上面运动，这个在这个上面运动，还是不能定下来，还是不能定下来啊，因为它在它上面动，这样啊， f 到这，嗯， 这里勾到一个正方形，这是最短的吗？ e f 加 f d 得二啊， e f 加 f d 对 吧？ 啊，那么这一个呢，就是这里垂直，这里是中点啊，那么它两边之和大于等于第三边，这貌似好像是可以的啊， 但是忘了后面一个条件呢？始终满足 b e 等于根号二 cf 呀， 如果没有这个条件，这个答案是对的，那么 e f b e b e 始终等于根号二 cf 什么意思啊？根据一比一比零二，那 b 一 是斜边的时候， c 一 是直角边，这才是一比一比零二，那么这种情况，那 cf 就 成了什么？这种情况 cf 就 成了斜边，那如果我把它打平移过来， cf 是 不是比 a b 还大， 这样就得到一个矛盾啊，这就是我们这种试错性分析，所以这个是比较费时间的啊，所以这个题我们怎么做？死死的抓住这个中心思想， 把它作为切入点啊，把它作为切入点呢？我再说一遍，把它作为切入点， b 一 等于根号二， cf 来 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g， 这个是一比一比根号二，那根号二 cf 就 它为一，它为一，它是根号二， 那么根号二 cf 就 等于根号二，乘以根号二得二，这是可以， 那意思就是 b e 是 f g 的 两倍哈，那么借坡下驴， 这样切过来，这是不是一，哎，这样就解决了问题啊啊，这里设设它为 a， 这里设它为 a， 这里根号二 a 啊，这里是两个 a， 因为总长度是实实在在的二啊， 这个是实实在在的二，所以这里不能够用两份的二啊，所以这里二 a 了，这里是一个 a 了，这里是一个 a， 如此 我们就发现这是一个垂直平分线，垂直平分线上的点到这条线段，两个端点的距离相等，所以 f 一 就等于 f 一， 这是很关键的啊， 所以我们就把一定两动就演变成了什么一动两定，所以这就体现了一个几何当中的转化思想来， f 一 加 f d 的 最小值就演变成了 f b 啊，我用红颜色写啊，抢眼一点， f b 加 f d， 这才是实际的，什么实际的一定两定一动，一定两动变成一动两定啊，这个是定点，这个是定点，这个是 f 点。哎，那么剩下的就 ok 啦，将军引马 相因引码问题啊，那就是找对称，就是回归到我们第一次试错性分析当中的这一个 b 点，关于直线 a c 的 对称点， 那么 f b 就 等于 f d f p， 所以 f d f p 就 可以移到这里来，这才是可以解决问题啊，所以它的值就应该是等于大于，等于 d p， 等于编号五。为什么是编号五呢？这是一个一，这是个一，这是个二， 所以这是个一，这是个一，这是个二。勾股定力编号五。这个题就 ok 了啊，为了节约时间，我稍微降的稍微快一点啊， 哎，那么以前我都忘记了啊，我自己做了一个详细的一个图，把它拉过来，大家可以看一下，就是这个啊，答案编号五啊。好，下课，晚安。

hello， 小 伙伴们，大家好，邓女士和同学们一起轻松学数学的曾哥。今天是二零二五年的十二月十五号，我们一起来看一下今天的这道题。在一个平面直角坐标系 x、 o、 y 当中，告诉我们 a、 b 两点的坐标，其中 a 点的 纵坐标为零，所以 a 点的横坐标为零，所以 b 点在纵轴上。 现在说平面内有一点 c， 能够使得三角形 abc 为等腰直角三角形，让我们去找到 c 的 位置。题目读完之后，我们清晰的知道这是一个等腰直角三角形的存在性问题。 根据两点坐标求第三点的坐标，我们在十二月十一号的时候和大家讨论了等腰三角形的存在性问题，对应的结论或者方法是两元一线。 在十二月十二号的时候和大家讨论了探讨了直角三角形的存在性问题，对应的结论方法是两线 一元。那么对于这样的一个等腰直角三角形存在性问题，我们只需要将等腰三角形的两元一线和直角三角形的两线一元相结合就可以了。好，具体怎么利用，我们具体来分析 题目，告诉我们 ab 两点的坐标，根据坐标的性质，我们可以转化出图中 a 和 o 是 两点之间的距离，也就线段 o， a 的 长度对应的等于 a 点的横坐标， b 点的坐标为零三，我们可以得到 o、 b 两点的距离呢，是等于三，也就是这条线段 等于三。进一步呢，我们能算出 a、 b 两点之间的距离，两点之间的距离。公式好了，现在就是已知一条边， 那么这条 a、 b 边到底是等腰直角三角形的什么边呢？它可以是 腰，也可以是底边，当然对于直角三角形而言，它可以是直角边，也可以是斜边。好，那么我们来分析第一种情况，当 a b 是 一条腰的时候，那么还有谁可以作为腰呢？ a c 可以 作为腰， bc 也可以与 ab 同为腰。好，下面来看，当 ab 与 ac 同为等腰三角形腰的时候，我们以 a 点为圆心， ab 长为半径，画这样的一个圆，对应的就是 a， 它就是直角的顶点。我们过点 a 做 ab 的 垂线，这条线和这条圆， 二者的焦点就是所求的 c， 那 有两个焦点，所以他是 c 一， 他是 c 二，分别在第一项线和第三项线内啊，具体要如何求出对应点的坐标呢？我们连接 b c 一 和 b c 二，那么对应的等腰直角三角形就是这样的三角形。好，那如何去求点呢？我们通过构造全等三角形的模型，用几何的方法来求减， 我们要求改点的坐标，根据坐标的定义，我们向横走去做垂直做垂线，那么这个这个这个三个垂直， 三个垂足在一条线上，这就是一线三垂直，那这个是等腰，这个抱歉，这个是平面直角坐标系本身的直角，这是等腰直角三角形的直角，那这是我们的构造。那么这样的两个三角形呢？有 是可以通过角角边，也可以通过角边角来证明全等。比如说 在这个直角三角形中，二者互余，那么这是直角，这两个角也是互余。根据同角的与角相等，这两角相等，所以就有角角边角角边 全等，也可以用两次同角的与角相等，刚刚证明这两个角相等，那这两个亦是同理。在这个直角三角形当中，锐角互余，刚刚这两角以证明相等，所以角边角 角边角的全等，那么根据全等有对应的边相等，进一步的计算转化出点的坐标， 那这里也是有一线三垂直，这是等腰直角三角形的垂直，这是平面直角坐标系的垂直，这是我们求点的坐标，根据坐标定义做的垂直， 一线三垂直啊，当然这个垂直我没有画出来，那由于 b 和 c 他 们这样的两点在 一线，就是三个垂足共线的这条线所在的线的一侧，他在上方，而他在下方，那么这个呢，也叫做 l 型的 一线三垂直啊，当然本质都是一样的，具体我不再重复，不再赘数，也能够通过全等的性质得到对应的边相等，从而进一步的计算转化出坐标， 那么得到的 c 一 和 c 二第一项线和第三项线，他们的重坐标是互为相反数的。好了，我们再来看， 当 ab 和 bc 同为等腰直角三角形的腰直角边的时候，那么对应我们也画出它的图像，那么我们先根据等腰三角形， 以 b 点为圆心， ab 长为半径，画一个圆，再根据直角三角形， b 点 是直角顶点，我们过点 b 做 a b 的 垂线，那么这个圆和线二者的交点就是所求的 c 点有两个交点，这是 c 三， 这是 c 四，那么下面就是计算，我们连接 a c 三，连接 a c 四，得到两个等腰直角三角形， 同样的也是通过一线三垂直来构造全等，进一步的计算 这里的垂直是要求该点的坐标向 y 轴，根据坐标定义做的垂直，这是等腰直角三角形的直角顶点，这是平面直角坐标系本身的垂直，一线三垂直，这样的两个三角形 全等。那么一和刚刚的全等是一样的角角边或角边角 右侧是 k 型的一线三垂直，也就是同侧一线三垂直。那么这个部分呢？是一侧一线三垂直，请在 c 和 a 这两点啊，分别在这条线的左侧和右侧，那对应的一线三垂直，就是 等腰直角三角形的垂直，要求该点坐标向 y 轴做的垂直，这是平面直角坐标系本身的垂直，两个三角形全等。 那有同学提出，那我们能不能通过这个地方呢？八字全等已知第一种情况，能不能进一步求算第二种情况呢？当然可以，比如说刚刚第一题，第一种可能性也是有这样的，八字全等， ok， 那 么对应算出的两点的坐标分别是三四和负三二，这两点的横坐标会相反数，正好对应的图当中这两段是相等的，与我们说的 这个八字裙的呼应。那么这是前面的一种情况啊，两种可能性，那就是 ab 是 作为腰 直角边来出现的，那么 ab 还可以充当这个等腰直角三角形的什么角色呢？它可以作为底边和斜边。那么进一步我们画出图，首先 根据等腰三角形，我们做出底边 的中垂线，做 ab 的 中垂线垂直平分线，那么对应的这样一个垂足，我们标为 p， 再根据直角三角形 做这样的一个圆，以 ab 的 中点，就是 p 为圆心二分之一 ab 也就是 pa 或 pb 长为半径， 画这样一个圆，那么直角顶点就是在这个圆周上，我们在十二号当中和大家具体讨论的这个问题，那么这个圆和线呢，有两个交点，那一个就是我们要找的 c 四五，一个要我们我们要找的 c 六，那么进一步的计算呢，就也是 把等腰直角三角形给它画出来，也就连接 bc 五， ac 五，连接 bc 六和 ac 六，在右侧同样的一线三垂直 去得到利用权等转化，这里呢也是利用一线三垂直，那当然呢，这样的两次 或者两组一线三垂直都是同侧的，叫做 k 型的权的， 那具体的计算比刚刚的两种情况相对复杂一点，刚刚全等的直接转化就可以了，对应边相等，涉及的计算量很小，只有简单的加和减。 呃，这种情况之下呢，我们怎么去做这个题目？请看这里和这里是全等的， 我们设角长的直角边为 x， 那 么它也就是 x， 有 b 点的纵坐标为三，我们刚刚已经表示出或者得到 o b 是 等于三，因此 d e 就是 等于这条线段，就是等于三的，这是 x， 这就是三减 x， 那 也有对应的全等的角短的直角边对应相等，这是三 x， 这也是三 x a 有 这是 x， 这就得到 x， 它是 x， 它是三减 x， 我 们就可以表示出 o a 的 长， 为什么要去表示 o a 日常呢？因为我们设未知的目的是为了构造方程，而构造方程的前提是找到等量关系，等量关系哪里找图中的已知量去找，我们 根据这个他的纵坐标为三，也就这个长度为三，射出了未知数，那要根据这样的已知量为一去构造方程，围绕着他，换句话说，就是用 x 去表示他， 从而得到这样的一个关于 x 的 一元一次方程。那具体的过程呢？我们同学你自己跟我对照一下，即可解出方程对你的根，对你的减为 二，那就是 c 点的横坐标为二，这是二，这也是二，重标坐标也是二，因此 c 五的坐标就是二二，那同理，在右侧也是如此，设它为 y， 它也是 y， 那 为什么设它为 y 呢？ 因为你可以站在这个角度，这两个都未知，他们相等满足最为直接的两关系，直接就相等，所以它是 y， 它也是 y， 你 还可以根据这是三，这是三， 设他为 y， 他 也是未知的，就可以用 y 去表示，都是可以的。那关键就是构造方程列方程在哪练呢？ 已知 o a 是 等于一，所以我们就要去把 o a 表示出来，用谁表示？用我们所设的未知数 y 去表示，这里是三减 y 对 应的角长的边，我用黄色的表示了，那对应相等，你是三减 y， 我 也是三减 y， 那 么它是 y， 它也是 y， 就 可以得到三减。 o a 的 长度 是三减 y， 再减去 y， 它是 y， 它是 y， 就 一开始设的这个和这个相等，长的减短的表示出 o a 的 大小。三减二， y 等于一，得到一个关于 y 的 一元一次方程， 解出对应的根，对应的解是一，所以 c 六的横重坐标相等，横坐标对应着得与负一重坐标对应着。这个地方写错了，而不是负一是一， 但是第二项线的点 ok， 那 最后呢，我们来总结一下等腰直角三角形的存在性问题，就是将 等腰三角形，请看红色的辅助线，就是对应的等腰三角形，我也用的红色的文字，这个去交代辅助线的叫做两元 一线，蓝色的辅助线以及蓝色的说明文字性的说明也是对应着直角三角形存在性问题叫两线 一元。那么具体涉及到的考点知识点有什么呢？这里有 垂直的定义，由垂直得到直角边，那么在勾这里是全等三角形的 性质，那前提是全等三角形的判定，怎么判定？在这过程当中涉及到了等腰三角形的性质，有直角三角形的性质，锐角是互余的等等，那还有坐标的性质， 点的性点的性质去转化，那辅助线为什么或者如何去构造这样的全等，那也用到了坐标的定义。 c u。

哈喽，小伙伴们大家好，这里是和同学们一起轻松学数学的曾哥。今天是二零二五年的十二月十二号，我们一起来看一下今天这道题。 在平面直角坐标系 x、 o、 y 当中，已知 ab 两点的坐标， a 坐标为一一， b 坐标为五三，它们的横纵坐标都是大于零的，所以 ab 两点在平面直角坐标系的第一项线。 在坐标轴上面，现在有一点点 c， 能够使得三角形 a， b， c 为直角三角形， 请求出 c 的 坐标。那么题目读完之后，我们晓得这是一个直角三角形存在性问题， 已知两个顶点坐标，要求第三一个点的坐标。好了，下面我们具体的从条件出发来进行初步的分析。 已知 ab 两点坐标，我们能够计算什么呢？我们能够计算直角三角形的一条边，已知的边 ab， 它的长两点之间距离公式本质是勾股定律。我们再帮大家回顾一下。 过点 a 做 am， 垂直于 bm， 垂直呢？垂直弯是 m 点， 那么 am 这条直角边就是 m 和 a 两点的横坐标作差。由于这是一条铅垂线，与外轴是平行，与 x 轴是垂直的，所以他俩的纵坐标横坐标。抱歉，横坐标是相等的，所以 m 点的横坐标减 a 点的横坐标就是 b 点的横坐标。解决 a 点的坐标横坐标。 再来看另外一条直角边 b m 要求这一条线段的长，只要将 b 和 m 这两点的纵坐标做差就可以了。那么由于 am 是 一条水平线，与横轴平行，与纵轴相互垂直，所以 这两点的重坐标相等，我们用 b 点的重坐标减去 a 点的重坐标，即可算出 b m 这条线段的长度，那么两条直角边 已知，那么斜边勾股定律即可啊，具体的我们一会再算好，那现在呢？我们通过刚刚的计算就明确了，已知 ab 是 直角三角形的一条边，并且知道它的长度到底 是什么边呢？那直角三角形有两种边，一是直角边，二是斜边。 好，所以我们现在就是先判定几何，就是基于判定去分析有关的性质，从而记一步记。计算好了， 那 ab 它可以作为直角边，也可以作为斜边。那如果 ab 是 直角边， 谁是直角顶点呢？ a 和 b 都有可能，我们分，我们先讨论第一种可能性， 当 a 点是直角的顶点的时候，那么 ac 就是 与 ab 同为直角三角形的 直角边，所以 a c 就是 与 ab 相互垂直的，我们过点 a 做 ab 的 垂线就可以了。 那么 c 就是 在这样的一条线上面，除了 a 以外的一切的点，比如说 c 点在这 abc 直角三角形，比如说 c 在 这 abc 直角三角形。 当然题目说了 c 在 哪？在坐标轴上面，我们找直线与假设，它是 m 与 横轴纵轴的两个点，先横后纵，分别标 c 一 和 c 二，这就是所要求的坐标。好了，下面具体怎么求呢？我们把斜边给他连出来，放在直角三角形当中 去计算就可以了。直角三角形当中怎么计算呢？这很明显就是用勾股定律，我们刚才回忆的勾股定律这样的代数计算的方法，方程的方法即可。 比如说 c e， 我 们设出它的坐标，假设假设横坐标为 x， 纵坐标为零，因为它在横轴上面， 那由此我们就可以根据 a、 c、 e 两点的坐标算出这条直角边的长。 同理，根据 b 和 c、 e 两点坐标，我们能算出直角三角形斜边的长，仍然是 两点之间距离公式，而 a、 b 我 们刚已经算过了，放在这里面勾股定律解方程即可。同样的道理，我们连接 b、 c 二， 设出它的坐标，放在这样的一个直角三角形当中，用勾股定律计算即可。由于时间关系，我已经把必要的计算 需要的过程做了一个梳理。我们首先根据条件呢，算出 o， a， b 是 等于二倍根号五的，那么 ab 就是 根号五， ab 的 平方就是二十 两种可能性。当这里这个三角形角 b， a、 c、 e 是 直角的时候，我们设 c、 e 的 横坐标，用一个字母去表示，当然呢，我就用的 x、 c、 e 符号去表示，也就是一目了然 c、 e 的 横坐标，然后将它它 表示出来，算出平方，把不需要改根号，因为我们勾股定律本质就是平方，平方求和，再平方 放入，带入这个等式当中，得到一个关于 x、 c、 e 的 一元一次方程。解一元一次方程就可以了， 它的根或者它的解是二分之三，就意味着 c、 e 的 横坐标为二分之三。那么 第二种情况是一样的计算，我就不一个一个去读了，不对数思路，还是勾股定律这样的 代数计算的方法解方程好了，我们再来看 ab 作为直角边存在的第二种可能性，那就是直角顶点不是 a 了，而是 b， 那 么此时此刻 也是一样的，我们把另外一条直角边给他找到，给他画出来即可。那么另外一条直角边是谁呢？就是 bc， 因此我们过点 b 做 ab 的 垂线，这样的一条直线啊，这个坐标轴呢，我们再给他延长一下，这是纵轴，外轴， 这是 ctrl。 那 么 c 点就是在这样的一条直线上，为了方便迅速呢，我们标一个小 n， 除了 b 点以外，这个直线上一切的点都是能够使三角形 a、 b、 c 为直角三角形的。但题目说了 c 点在坐标轴上面，因此我们要去找蓝色的直线 n， 它与横轴 与纵轴的交点，先横后纵，我们发现有两个交点，那进一步的去标注这个呢？就用 c 三表示，这个是 c 四 连接对应的斜边 a c 三。那么进一步，我们在这样一个直角三角形当中，同样的，用勾股定律可以计算出对应的 c 点的横坐标，还是用方程设它的横坐标，然后呢， a、 c 两点坐标求出 这条斜边的长度，在平方用 a 用 b 和 c 三这两点的坐标求出两点之间距离公式， 平方求出或者表示出直角边的平方，那 ab 呢？在这里它的平方是二十勾股定律计算，那连接 a、 c 四直角三角形的斜边下面还是一样的，在直角三角形当中，不怕麻烦，去利用勾股定律构造方程，设出未知数构造方程去解方程 时间关系，我已经写出来了，那么这种情况下，也是有两个点是符合条件的，那么对这个题目而言，就又多了两种 情况，进一步的去表示，从而用勾股定律解两个关于 它的横坐标，它的纵坐标的一元一次方程对应的结， 那么 c 站的坐标是二分之十三，零 c 四的坐标呢？应该我这个地方写错了，应该是零十三，因为它是在纵轴上的。好了， 这两种情况呢，就是 a、 b 为直角边，我们做了两条垂线，做了两条线， 那还有第二种可能性，第二大类，那这个 a b 已知的边，它并不是直角三角形的 直角边，而是斜边。那么如果 ab 是 斜边，我们怎么去找两个直角边，或者怎么去确定一下 直角顶点呢？很简单，我们以 ab 为直径，画一个圆就可以了，也就是 以 ab 的 中点，假设是 p 为圆心，二分之一 ab 长 pa 或 pb 长为半径，画一个圆， 那么 c 点就是这个圆圆周上除了 ab 两点以外的所有的点。比如说这个是 c 点， 此时此刻 abc 就是 一个直角三角形。为什么？下面开始解释， 因为我们是初二，还没有学过原有关的性质，这个初三才会学。 他首先说结论，就是圆当中直径所对的这样一个角，他等于九十度，是一个直角，那这个角的顶点在哪呢？一定要在圆周上面，那这个角呢？叫做圆 周角，了解一下即可。那下面开始解释为什么 c 点在以 ab 为直径的圆周上的时候，那么角 a c b 或者角 c 就是 九十度，我们连接，我换一个颜色， 我们连接这个圆心，我们用的 p 表示，我们连接 p c， 这是一个什么三角形？这是一个等腰三角形。为什么？因为圆的性质，我们五年级学过半径相等，等 腰三角形就有等边对等角，假设这个角是 r， 那 么这个角呢？他也一定是 r 法。再请看在这一边，同样的也有等腰三角形，因为半径相等， 等腰三角形就有等边对等角。假设这个角是北塔，那么这个角呢，肯定也是北塔。那么放在整个三角形 abc 当中，我们利用 角的性质，角三角形内角和定力内角和，等于一百八十度，那么就有阿尔法加北塔，再加上这样一个角，也就是阿尔法与北塔的和， 也就是两个阿尔法加上两个北塔两倍的阿尔法与北塔的和，那么孩子他是一百八十度，所以阿尔法与北塔的和就是 九十度，一百八十度的一半，从而他一定是直角。 ok， 所以 请大家先理解，在理解的基础上，记住刚刚这个结论。什么结论呢？那就是圆周上 这圆的直径所对的这样一个圆周角是九十度，所谓圆周角就是他的 顶点，要在圆周上。 ok， 好， 这个说完之后，下面呢，我们就是计算了怎么去计算符合题目要求或者满足题目条件的坐标轴上的 c。 我 们刚刚说了，圆周上除了 ab 以外， 所有的 c 所有的点都可以使得三角形为直角三角形，但是 题目说了 c 在 坐标轴上，因此只能是这样的两点。那接着刚刚的标注应该是 c 五和 c 六，那么具体怎么计算呢？我们还是 画出它对应的直角三角形的边，也就是连接 a c， 连接 b c。 我 们先放在这个 abc 五这个直角三角形当中考虑， 那么这是直角边，这是直角边，这是斜边，我们还是根据勾股定律来计算吗？同学，你可以暂停或者现在来写一写， 看一看能不能计算出答案。如果初三我们是可以计算出来的，但目前咱们是初二计算不出来，因为你用勾股定力的话， 你会得到一个一元二次方程，我们还没有系统的学过一元二次方程的解， 那怎么办呢？这个地方有一个非常巧妙的处理，请看我们利用的还是我们刚刚讲的圆的性质，半径相等， pa 和 p 五以及 p 就是 pc 五以及 pc 六，还有 p b 都是这个圆的半径， 那么他们的长度是相等的，那平方肯定也是相等的。我们已经在一开始算出 ab 的 长，那么 ab 一 半也就是 pa， 这个长我们就可以表示是二倍。根号五的一半是根号五，那么 pa 以及 pb， 它的平方就是根号五的平方，也就是五。 那么 p 的 坐标怎么表示呢？这叫中点坐标，横坐标为端点横坐标 的平均值，重坐标为。我说重点的重坐标为端点两重坐标的平均值。这我们课上讲过，对应着 p 点的横种坐标就是 三二，那么我们下面设 c 点的坐标当然是横坐标，因为它是在横轴上面，那就可以把 pc 表示出来，那其实对应的我们图就是 pc 五和 pc 六， pc 用勾股定律两点就是本质是勾股定律，两点之间距离公式， 横坐标左叉平方，纵坐标左叉平方再开根号，那算的是两点之间距离或线段长，那现在我要求平方根号就去掉，对应着得到带入数据以及我们所设的未知数，就得到这样一个 结果， p c 的 平方是它，而 p a 的 平方是五，我们说了半径相等，那半径的平方也必然相等，所以就能得到一个方程。 同学说，老师，这也是一元二次方程，你看看要去括号吗？五等于几加四，很显然是一加四。那么谁的平方是一？这完全是我们八年级学习的， 谁的平方是一？正负一的平方是一，他什么时候等于正一 横坐标为二的时候，他什么时候等于负一横坐标 c 的 横坐标为四的时候。所以我们得到 c 五和 c 六的横坐标，分别是二和四。 这就是我们 ab 作为直角三角形斜边计算的方式，对应着是一个圆，这个圆的圆心是线段 ab 的 中 心点，中点也就是 ab 为直径的一个圆。好了，最后来总结一下我们直角三角形存在性问题，他是两线 一元，跟我们等腰三角形的结论既类似又相反。等腰三角形存在性问题是两元一线，直角三角形是两线一元。那么最后呢，再做一个提醒，做一个总结。具体涉及到的计算， 当已知的线段或者已知的边 ab 是 直角边的时候，我们就是用勾股定律，用方程，用代数，用计算的方法 去求解对应的坐标，那放在哪里？用勾股定律就是直角三角形 abc a b c a b c。 那 么最后呢？当已知的边 ab， 它作为一个斜边的时候，我们画出圆，最后用的是 半径相等来计算。当然也可以用勾股定律，用直角三角形勾股定律，只不过目前我们初二呢，算不出来。 ok， 那 最后呢，算出的就是这六个答案。 这个蓝色的第四个情况应该是零十三。

宝子们，今天来聊聊二零五届湖北省新八校协助题高三二月联考的数学卷情况，不包括最后那道压轴题，整体难度比二零二四年新高考一卷是稍高那么一点，知识点综合运用还有思维深度，要求更严格，计算量还挺大的。 先说说例题，几何题，他在倒数第二题的压轴位置可得重视起来，而且最后一题不是新定义压轴题了， 换成传统的导数压轴题。再看单选择题，一到三题是比较基础的，考的是集合运算、复数运算，还有函数奇偶性与单条性的判断。四到八题难度逐渐增加。 第八题是树立地推关系，求通向呢，还得分奇偶情况来考虑。接着是多选择题。第九题是三角函数的基础题。第十题是一道函数中档题，其中地选项得留意了，给对称中心加了层外壳呢。第十一题看似复杂，其实不难， 通过替换方程中的变量来判断对称性，还得求范围连立直线与曲线方程来判断情况。通过设直线方程，用斜长公式求 b 线段的最小值。填空题这边，前两题都是基础题。 第十二题用组合数计算三个小区的人员安排方案数。第十三题得先确定直线过的定点，再结合曲线过的点，且单调递增得出切点， 通过导数求出直线斜率，进而得到直线方程。这题可值得重视，常规求切线和观察思考后动手做，可是不一样的效果。 第十四题根据三角形面积公式，得出点横纵坐标之间的不等量关系，然后结合椭圆方程分类讨论，就能求出整点个数了。计算量有点大，属于中等难度大题部分。 第十五题和第十六题都是基础题。第十七题是非对称式问题，得用反微答定理解题。第十八题例题几何放在这儿，坐标系那部分。第三问运算量挺大的， 而几何法就简单很多了，二零二五级的同学务必重视起来。第十九题是一道导数与三角函数结合的传统压轴题。 第一问那就是送分题了。第二问构造函数也是基础题，难度不大。第三问有难度，还有计算量，得利用第二问的结论和常用切线放缩，放缩的目的是为了用错位相消来求和。这类题虽然有难度，但基本属于有套路的题。 核心解析思路大家还是很有必要掌握一下的。重点做做咱专题，训练数列于导数、概率统计等教会综合问题含解析的资料。