初中所有一次函数的解析式和图像

一次函数当中的特殊角度旋转问题，一定是我们新初二期末考试的必考压轴板块，得分率不到百分之十。这类题的核心难点之处呢，就是把我们的一次函数和全等三角形的辅助线进行了一个 综合考察，难度特别大。来，同学们，我们一起来分析一下。首先呢，来，我们先来读下题哈，他说，把已知直线 y 等于 负二 x 啊，这是已知直线照着一个定点 a 点为二度三，然后呢，逆时针旋转九十度，那么得到的图像，哎，得到图像呢，他应该也是一条直线，对吧？好问，这条旋转以后的直线的解析式，他应该等于多少？ 徐老师已经把依次函数经典题型包括面积问题等，腰三角形存在性问题、背角问题 等点问题、新定义问题等考试必考题型，再结合往年考试专题，优中选优，整理成了一次函数十七大专题，练完考试直接拿满分，需要的家长我发领一份， 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题哈。首先呢，题目告诉我们一个已知直线，它的解析式为 y 等于负二 x， 对 吧？好，我把它设为 l e， 那 这个 l e 呢？绕着一个定点二度三进行旋转，哎，求，旋转以后的 直线的解析式应该为多少？首先呢，我们要明确哈，旋转以后的图像，它也是一个直线，对吧？它的什么形状是一样的，我把它设为 l 二。来，如果我要求这个 l 二的解析式，大家思考一下，我们至少需要知道几个点，那肯定是两个点，因为两个点确定一条直线，对吧？那所以呢，我们需要在椅子直线 l 一 上啊，我们去找两个特殊点， 把它绕着这个定点进行旋转啊，旋转以后呢，这两个点就一定在我们旋转以后的直线 l 二上，好吧，来，我们先去找两个特殊点， 那么题目当中这个直线 l 二，它是一个正比例函数，那么它最特殊的点很明显就是我们的圆点，这个点吗？啊，来，所以呢，我先把圆点绕着 a 点进行逆时针旋转九十度啊，来，我们看一下，那么 o 点绕着 a 点 逆时针旋转九十度，对吧？刚开始在这好转九十度，那么转到这个地方来， 这是什么？这是我们的 b 点啊， b 点，那么你看这个手，这两个边是相等的，而且呢中间还有一个九十度，所以呢，我只要去连接 o b， 就 一定会出现一个非常特殊的三角形，叫做等腰直角三角形， 好等腰值，这里面 o 点和 a 点都知道，那么 b 点的坐标可不可以求呢？当然可以求，所以接下来呢，我们需要用到等腰值当中的特殊的全等辅助线了。那等腰值当中哎，大家最应该想到什么辅助线呢？ 很明显，那就是我们的一线三等角，或者叫什么 k 型全等，对吧？好，那么要构造 k 型全等，哎，我们说应该过直角顶点，所以呢，我可以过 a 点， 哎，先去做一条与我们的 x o 平行直线，那这个时候呢，这里已经有一个九十度了，这里呢，也有一个九十度了，一线三等角，那么我们要去构造三个九十度，那么，哎，你看这个时候呢，所以呢，我应该再过 b 点哎，再过 b 点向这个直线做一条 垂线啊，这个是 t 点，你看没有，所以这个时候呢，我们就会构构造出来这个三角形，跟这个三角形应该是全等的，那么有全等，我们就对应边是相等的，那对应边，你看 a 点，坐标为二到三， a 点的横坐标为二，对应的长度就应该是这个长度为二，重坐标为三，对应的边为二，他也是为二。好，这个为三，这个边也是为三。 拿出来了，我们要求 b 点坐标，那 b 点的横坐标不就是二再加三吗？对吧？所以横坐标应该等于 五。好，重坐标呢？重坐标应该是这段距离 b 点到我们的 x 的 距离。好，这段距离应该是这段长的距离减去这个短的距离，长的距离等于三，短的距离为二，所以我们 b 点坐标。哎，我们就率先什么 给它算出来的话，我把这个点撤掉， b 点就应该为五斗一啊，出来一个点，那这个 b 点呢，一定在我们这个直线 l 二上。好，那我用不用再去求个点呢？其实就没有必要了哈，因为呢，一个直线绕着一个定点旋转九十度，那么 l 一 和 l 二 其实呢，它一定是垂直的，我们可以根据垂直的性质把 l 二的斜率给它算出来，所以要问哈，那为什么这两个直线是垂直的呢？可不可以证明一下呢？来，当然可以证明哈，那么你看，我们刚才是找了一个最特殊的点， o 点旋转。好，接下来 我再去找一个。没有什么特殊的啊，我们随便找个点，比如说这个是我们 m 点啊，随便找个 l 一 三的点， m 点。好，我把这个 m 点呢，同样绕着 a 点进行逆时针旋转 啊，来，转这来转九十度，对吧？好，来，这就是我们的 n 点啊， n 点，那么一样的 a m 和 a n 相等，中间是九十度，那么连接 m n， 我 们就可以构造一个 等腰直啊，等腰直，那么所以旋转以后的 n 点和 b 点呢？都在我们的直线 l 二上，那我只要连接 b n， 那 我们 l 二这个什么图像就已经给他画出来了，这是我们的 l 二啊，这个是我们的 l 一， 对吧？那么我要证明垂直，就要证明这个角来应该等于多少度，应该等于九十度，对吧？来，怎么去证明呢？ 大家看一下哈，接下来又要用到全等哈。所以说为什么一次函数很难，因为他可以把我们所有的几何知识综合到我们的坐标系当中，哪有全等呢？ 大家仔细观察一下，这有一个等腰值，这也有一个小等腰值，两个等腰值都是绕着 a 点这个定点进行旋转的，所以呢，我们可以构造一个手拉手的全等，那这个三角形 跟这个三角形不就是全等了吗？没问题吧？哎，你可以证明一下，很简单哈。来，我们的虚线等于虚线，实线等于实线，这个九十度等于这个九十度减去公共角，所以这个小角跟这个小角应该是 相等的，没问题吧？好，来，所以就得到三角形 a m o 全等于三角形 a n b， 那 全等以后来我们就可以导角了，我把这个角设为 r 法对应角，这个角也是为 r。 好， 这个角是我们 r 法的零补角，我们设为贝塔，对吧？来自你的 r 法加贝塔就应该等于一百 八十度，那么他加他一百八，他又等于他，所以这两个角相加呢，也等于一百八十度，看到没有？那接下来你看这两个角正好在这个不规则的四边形当中，四边形的内角和等于多少啊？ 三百六是不三百六好，这两个对角是互补的，所以这个对角跟这个对角呢，也一定是互补的，正好它等于九十度，那么这个角呢， 也就应该是九十度啊，证明出来了哈，所以呢，这里是 l 二和 l 一， 一定是垂直的哈，所以同学们以后看到这个这种结论哈，只要用就可以了。如果一个直线绕着定点转九十度，那么这两个直线呢，一定是垂直的，用手拉手的全等去倒角。 那如果垂直，我们知道斜率相乘等于负一，就是我们 k 一 乘以 k 二，对吧？他们俩的直线斜率相乘等于负一，那么又知道 l 一 的斜率为负二哎，因为 k 一 等于负二，所以 k 二呢，就应该等于二分之一，哎，相乘等于负一嘛， 那斜率出来了，所以呢，我直接把这个直线 l 二设为 y 等于二分之一 x， 再加上 b 啊，把这个 k 设出来，最后呢，再求 b 就 可以了，那么我们的 b 点正好在 l 二上，把这个点带进去不就可以了吗？所以再加 b 点是五斗一直接带入，带入以后呢，就变的话呢，一就等于二分之五，二分之一再加上 b， b 就 应该等于负的二分之 三。那所以解析式就是 y 等于二分之一， x 再减去二分之三。这道依次函数的旋转问题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

一次函数是初二数学的重点，也是难点，很多同学刚开始都会觉得学起来比较费劲，原因是从数到形的思维跨越不适应，导致概念理解不透彻。本期视频我们会从一次函数的概念、一次函数的图像和性质、一、函数求解析式的方法、 一次函数的平移与对称、一次函数和一元一次方程、一元一次不等式的关系，以及一次函数和二元一次方程组的关系这七大模块来个通关大串讲，用一个视频带你彻底搞懂一次函数的底层逻辑。 ok， 开始上课，先来看依次函数的概念。在讲函数概念之前，我们先来看一个前置的知识点，什么是变量、常量、自变量和因变量变量在一个变化过程中，数值会发生改变的量。简单来说就是会变的量。 常量在一个变化过程中数值始终固定不变的量。自变量在变化过程中主动变化的量。 音变量在变化过程中随着自变量的变化而变化的量。举个例子来说明一下，朱迪兔和尼克湖成为动物城警局的正式警官后，要给新入职的伙伴们采购防咬手套来应对调皮的小行动。 已知每副防咬手套的定价是十八动物城币，朱迪采购的手套数量为 x， 需要支付的总费用为 y， 动物城币则 y 等于十八 x。 在这个式子里，每副手套十八洞成币，这个单价始终不变，这就是常量。而购买了多少副手套暂时不确定可以发生变化，所以 x 就是 变量， 而且这个 x 的 数值是朱迪和尼克根据动物警察局中新入职的小动物的数量来主动自主决定的，所以它又叫自变量，而他们需要支付的总费用。 y 是 随着 x 的 变化而变化的，所以 y 叫做因变量，然后这里的自变量和因变量就统称为变量。 把这几个概念搞懂了，我们再来看看什么是函数。先来看看函数的定义，一个变化过程中有两个变量， x 和 y。 如果对于 x 的 每一个确定的值， y 都有唯一的值与它对应，那么称 y 是 x 的 函数，其中 x 是 自变量， y 是 因变量。 比如上面举的这个动物城的例子，当 x 等于一， y 等于十八，当 x 等于二， y 等于三十六，只要 x 取一个数， y 都会有一个唯一的值与它对应，所以这里的 y 等于十八， x 中 y 就是 x 的 函数。 了解了什么是函数，我们再来看一下什么是函数的图像。你之前已经学过平面直角坐标系，肯定知道坐标系里的每个点都可以用一对有序实数对 x 都 y 来表示，比如 二斗三就表示横坐标为二，纵坐标为三的点。同时我们也明确了函数的核心规则，一个 x 对 应唯一的一个 y， 比如正方形的周长 y 和边长 x 的 关系是， y 等于四 x， 这就意味着当 x 等于一， y 等于四，当 x 等于二， y 等于八，每个 x 的 值都会唯一确定一个 y 值， 而这个 y 就 可以和对应的 x 组成一个有序实数对。那么函数图像又是什么呢？ 其实很简单，函数图像就是把满足函数关系的这些 x 和 y 所组成的有序实数对都转化为平面直角坐标系中的点，再把这些点连成线或曲线后所形成的一张图，比如这里正方形的周长和边长的函数关系， y 等于四 x。 选择满足这个函数关系的几个点，一斗四、二斗八、三斗十二、四斗十六，将它们都在坐标轴上表示出来， 然后连接这些点，就可以得到这个函数关系的大致图像。总结来说，会制函数图像的目的就是要把数变成形，让抽象的数学关系变成看得见的图形， 帮助我们更直观的理解函数的特点和性质。 ok， 讲完了函数以及函数图像的概念，来看两道例题，巩固一下。 第一题，下列关系当中属于函数关系的式，那根据前面的学习，我们已经知道了，在函数关系当中， 对于 x 的 每一个值，那 y 都有唯一的值与之对应，也就是说 x 和 y 之间是一一对应关系。 先看 a 选项，人的年龄与身高，那显然这个肯定不是函数关系，同一个年龄，他可以对应不同的身高，比如说十二岁的某一个同学，他可以是身高一点二米， 也可以身高一点三米，或者呢一点五米，都是可行的啊，所以他们之间不是一对的关系。 b 选项，正方形的边长和面积。哎，显然这个就是标准的函数关系吧，当我们知道了正方形的边长，也就唯一的确定了它的面积。 c 考试分数和学生的姓名，显然这个也不是函数关系，比如说某一次数学考试，那张三考了七十分，李四是不是也可以考七十分， 所以他们之间也不是一一对应的关系啊。 d 选项，某一温度对应天气的状况，当然这个也不是函数关系，比如说今天的天气是二十度，那么可以是晴天，也可以是阴天， 还可以是下雨天。所以这道题正确的答案就选 b。 再来看第二题，下列各图当中，变量 y 是 关于变量 x 的 函数是哪个？这里考察的是函数图像的问题， 还是同样的思路。要看是否满足函数关系，就需要去观察一下每一个 x 的 值， y 是 不是都有唯一的值与之对应。那这里我们只要画一条线，比如在第一幅图当中， 横坐标 x 确定了，那纵坐标 y 也就确定了啊，它就满足 x 和 y 一 一对应。再看第二幅图，显然这幅图当中就不是一一对应的关系了吧。这里的一个 x 对 应了两个 y 值，所以第二幅图它就不是函数关系。第三幅图同样的道理，还是 一个 x 对 应两个 y， 不是 函数关系。第四幅图当中同样的逻辑，一个 x 对 应两个 y， 也不是函数关系。到这里，我相信你大概已经知道了什么是函数。 下面我们来看一个最简单的函数关系，正比例函数叫做正比函数，比如 y 等于二 x， y 等于负三 x， 这些都是正比函数。 正比例函数的图像是一条经过圆点的直线，其中 k 叫做比例系数， k 的 值直接决定了正比例函数图像的走势。当 k 大 于零的时候，直线经过一三象限，比如当 k 等于二十， y 等于二 x， 显然零斗零和一斗二都满足这个式子，所以它的图像一定经过这两点，两点确定一条直线 连接这两点，就得到了 y 等于二 x 的 图像。图像经过一三象限，并且 y 的 值随着 x 的 增大而增大。而当 x 小 于零的时候，直线经过二四象限， 比如 k 等于负二十， y 等于负二 x。 显然零斗零一斗负二都满足这个式子，所以它的图像一定经过这两点，连接两点，就得到了 y 等于负二， x 的 图像。图像经过二四象限，并且 y 的 值随着 x 的 增大而减小。 总结一下，就可以得到下面这个关于正比例函数图像特点的表格，你可以截图保存理解后记忆。 ok， 当我们掌握了正比例函数的特征以后，就可以来学习本节课的重点了。依次函数。先来看依次函数的定义，一般形容 y 等于 k， x 加 b 的 函数叫做依次函数。 注意，这里的 k 和 b 都是常数，且 k 不 等于零。相比刚才说的正比例函数，在依次函数表达式当中多了一个字母 b， 当这个 b 等于零的时候，它就变成了正比例函数。 所以正比的函数其实就是特殊的一次函数，光知道定义还不够，接下来咱们就看看它的图像长什么样，以及图像背后有哪些关键性质。 一次函数 y 等于 k， x 加 b 中的 k 可以 和正比的函数中一样，被称为比例系数，而 b 则是一次函数图像与 y 轴的交点的纵坐标。这句话什么意思呢？我们来看这个式子，可以发现，无论 k 等于多少，只要 x 等于零，那么 y 一定等于 b， 所以零。逗， b 这个点一定在一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像上，而且这个点就是图像和 y 轴的交点，因此 b 就是 这个交点的纵坐标。由此，我们可以知道，一次函数的图像是由 k 和 b 共同决定的。类比正比的函数可知，当 k 大 于零时，对应的图像是一条从左往右看起来上坡的直线， 而 k 小 于零时，对应的图像则是从左往右看起来下坡的直线，依次函数中的 k 也是如此。再结合 b 式依次函数的图像和外轴交点的纵坐标，我们就可以得到下面的结论，当 k 大 于零， b 大 于零时， 那一次函数的图像就是这样一条直线，它经过一、二、三象限， y 随着 x 的 增大而增大。当 k 大 于零， b 小 于零时，一次函数的图像是这样的一条直线，它经过一、三、四象限， y 同样随着 x 的 增大而增大。 而 k 小 于零， b 大 于零时，图像是这样的一条直线，它经过一、二、四象限，同时 y 随着 x 的 增大而减小。 而当 k 小 于零， b 也小于零时，图像是这样的一条直线，它经过二、三、四象限， y 同样随着 x 的 增大而减小。讲到这里，你可能会有疑问，如果 k 的 正负决定了直线是上坡还是下坡，那 k 的 大小又决定了什么呢？ 来看两个具体的例子你就知道。比如下面两条直线， y 等于二， x 加一和 y 等于三， x 加一，它们的 b 相同，都是一，而 k 分 别是二和三。通过描点法可以绘制成它们的图像如下，显而易见，后者的坡度要比前者的更懂 g。 当 k 大 于零时， k 越大，直线的倾斜程度越大，坡度越陡。再比如下面这两条直线， y 等于负二， x 加一和 y 等于负三， x 加一，他们的 b 也都是一 k， 分 别是负二和负三，对应的图像如下， 显然后者的坡度也比前者更陡，即当 k 小 于零时， k 越小，直线的倾斜程度反而越大，坡度越陡。因此我们可以得出结论， k 的 绝对值越大，对应直线的倾斜程度就越大，坡度越陡。 如果两条直线的配相同，那显然这两条直线的坡度一样大，他们也就互相平行。 ok， 以上就是依次函数图像的特点，总结起来就是下面的这张表格，你可以截图保存理解后记忆。还是来看两道例题，熟悉一下刚刚所学的内容。 第一题，直线 y 等于 a， x 加 b， 经过一、二、四象限问，直线 y 等于 b， x 加 a 的 函数图像可能是下列的哪一个选项？通过前面的学习，我们知道， 要想确定这个一次函数的图像，那么我们必须得确定 b 和 a 的 取值范围，那这里 b 和 a 的 取值范围通过这个条件我们就能确定啊。同学们看，这个一次函数图像，它是经过一二、四象限的吧， 所以它的函数图像大概就是长这个样子的。这里的一次函数是不是经过一、二、四象限啊？对应的就是 k 小 于零， b 大 于零，那对应到这个一次函数当中呢？就应该是 a 小 于零， b 大 于零。 已经知道了 b 大 于零，那么这个一次函数图像一定是上坡的吧，所以 c 和 d 排除在这个一次函数图像当中。这里的 a 其实就是函数图像与 y 轴的交点，那 a 小 于零，所以它应该交在负半轴啊，符合要求的选项呢，就应该是 a 选项， 所以这道题答案就选 a。 再来看第二题，已知一函数 y 等于 k， x 加 b， 经过 ab 两点，且 k 小 于零， b 小 于零。 问，当 x 一 小于零，小于 x 二的时候，下列选项正确的是哪些？同学们看，对于这样的一个一次函数，我们已经知道了它的 k 小 于零， b 小 于零，所以它的函数图像 就是这幅图，也就是说，这个一次函数它是经过二三、四象限。现在我们又知道这个 x 一 小于零，所以 x 一 大概在这个点就是 y 一， x 二大于零， 所以 x 二大概在这个位置对应的这里就是 y 二。所以 a 选项 y 一 大于 y 二大于零，这个是错的。 c 选项 y 一 小于 y 二，显然这个 y 一 是大于 y 二的，所以它也是错的。再来看 b， y 一 大于 b 大 于 y 大 于 y 二。前面我们说过，依次函数当中，这里的 b 就是 函数图像与 y 轴的交点，这个点它就是 b， 显然 y 一 大于 b 大 于 y 二，那么这道题的答案就是 b 选项。所以对于一次函数图像的特点，同学们一定要牢牢掌握，掌握了一次函数图像的特点，接下来我们再来看看一次函数的表达式该怎么 求。所谓求一次函数的表达式，其实就是把这个式子当中的 k 和 b 这两个系数的值给求出来。这两个值应该如何求呢？这里有一个通用的方法，叫做待定系数法。一般来说有四个基本步骤。 第一步，只要题目说了是一次函数，那就可以将它的表达式设为 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零。第二步，根据已知条件，把满足函数表达式的点坐标带入表达式当中，得到关于 k 和 b 的 方程或方程组。 第三步，解方程或方程组，求出 k 和 b 的 值。第四步，将所求的 k 和 b 带入到函数的一般形式中，从而得到了一次函数解析式。方法步骤很简单，我们做两道例题，看看具体是怎么应用的。 第一题，在平面直角坐标系当中，一次函数的图像与 x 轴、 y 轴分别交于 a、 b 点的坐标是零， b 点的坐标是零。一求 一次函数的解析式，那么根据待定系数法，设一次函数的表达式， y 等于 k， x 加 b。 第二步，带入 ab 两点的坐标，然后就能得到一个二元。一次方程组解出来， k 等于二分之一， b 等于一，所以这个一次函数的表达式，它就是 y 等于二分之一， x 加一。 这里提醒一下大家，在求一次函数表达式的时候一定要细心啊，当我们把这个表达式算出来以后呢，最好把给到的两个点坐标带进去验算一下啊，检验一下，确保求的这个表达式准确无比。如说这里我们把 a 点带进去，发现是符合要求的，把 b 点带进去也是符合要求的啊。 再来看第二题，在弹性线路内，弹簧的长度， y 是 所挂物体质量 x 的 意思函数 一根弹簧不挂物体的时候，长十二点五米，当所挂物体的质量是二千克的时候，弹簧长十二点五米。 问，当所挂物体的质量为五千克的时候，弹簧的长度是多少？那解决这个问题，首先我们需要把这个弹簧的长度 y 和所挂物体 x 之间这个一次函数的表达式给它算出来啊。那同样的方法，首先还是设出这个一次函数的一般式， 那第二步呢？我们需要根据题干当中给到的条件，稍微分析一下这个依次函数图像所经过的点坐标。先来看第一句话，他说弹簧不挂物体的时候，长是十二点五米， 不挂物体的时候，那不就意味着当 x 为零的时候吗？此时这个弹簧的长度十二点五米，那对应的就应该是这里的 b 吧，相当于这个依次函数图像， 他是经过零斗十二点五这个点坐标，同学们想想是不是这样子的？好，继续看。当所挂的物体质量为两千克的时候，弹簧的长度是十三点五，哎，那不就是说另外一个点的坐标就应该是二斗十三点五？有了这两个点坐标， 接下来我们只要把这两个点坐标分别代入一次函数的表达式当中，就能得到一个二元一次方程组。接下来解这个二元一次方程组，解出来， k 等于零点五， d 等于十二点五， 所以这个一次函数的表达式，它就是 y 等于零点五倍的 x， 再加十二点五代入一个点坐标。检验一下啊，发现当 x 等于二的时候， y 确实等于十三点五啊，所以这个一次函数表达式求的就是正确的。那接下来的问题， 当 x 等于五千克的时候，我们带入这个一次函数表达式当中，就能算出 y 等于十五，此时弹簧的长度就应该是十五厘米。通过这两道题，希望同学们能够熟练一下 这个待定系数法求一次函数表达式的方法。了解了表达式的求解，我们继续回到函数图像，来看看一次函数图像的平移和对称的问题。先来看看图像的平移， 关于平移，你一定要把下面的这个八字口诀记得滚瓜烂熟，上加下减，左加右减，那它到底是什么意思呢？ 我们来试着分析理解一下。假如这是一次函数， y 等于 k， x 加 b 的 图像，如果我把这条直线向上平移一个单位长度后，得到的函数图像的表达式是什么呢？为了解答这个问题，我们可以先在原来这条直线上任取两个点， a 和 b。 显然，当这条直线向上平移一个单位长度后，这两个点也同样向上平移了一个单位长度。而且从图上很容易就可以看出，在平移过程中，这些点的横坐标是没有发生变化的， 纵坐标则都是增加了一个单位长度。既然这样，那我们假设 a 和 b 的 坐标分别为 x 一 斗 y 一 和 x 二斗 y 二，那 a 撇和 b 撇的坐标显然就是 x 一 斗 y 一 加一和 x 二斗 y 二加一。 因为 a 和 b 的 坐标满足这个表达式，所以 y 一 就等于 k 倍的 x 一 加 b， y 二就等于 k 倍的 x 二加 b。 假设平移后得到的这条直线的表达式为 y 等于 k 撇， x 加 b 撇，因为它是由原来的直线平移得到的，所以 k 撇就等于 k。 又因为 a 撇和 b 撇的坐标满足这个表达式，所以 y 一 加一就等于 k 倍的 x 一 加 b 撇， y 二加一就等于 k 倍的 x 二加 b 撇。把这里的 y 一 和 y 二带入左边两个式子当中，整理后就可以得到 b 撇等于 b 加一， 因此 y 等于 k， x 加 b， 向上平移一个单位长度后，直线的表达式就变成了 y 等于 k， x 加 b 加一。口诀中的这个上加就体现在了这里， 如果是向下平移一个单位的话，就是下减，直线的表达式就变成了 y 等于 k， x 加 b 减一。利用类似的方法分析，我们还可以分析出左加右减，这个就留给你们自己去证明了。 我们直接给出整个口诀的结论， e 函数 y 等于 k， x 加 b， 向上平移 m 个单位，就能得到 y 等于 k， x 加 b 加 m， 向下平移 m 个单位，就能得到 y 等于 k 倍的括号 x 加 n 加 b， 向右平移 n 个单位，就能得到 y 等于 k 倍的括号。 x 减 n 加 b。 这个很重要，你一定要记住，不要搞混弄反。 接着来看依次函数的对称性，我们一般研究三种情况，关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于圆点对称， 关于 x 轴对称。它的特点是，对称后的直线上的每一个点与原来相比，横坐标不变，纵坐标变成相反数， x 都 y 关于 x 轴对称，就变成了 x 都负外。比如， y 等于 k， x 加 b， 关于 x 轴对称，图像就变成了这样的直线。因为对称，原来这条直线与 y 轴的交点坐标是零逗 b， 现在就变成了零逗负比， 原来这条直线和 x 轴的交点坐标是负的， k 分 之 b 逗，零对称后保持不变。有这样的两个点，就可以求出对称后的直线表达式， y 等于负 k， x 减 b。 同样的思路可以知道，关于 y 轴对称时，对称后的直线上的每一个点与原来相比，纵坐标不变，横坐标变成相反数， x 动 y 变成负 x 动 y， 直线的表达式也就变成了 y 等于负 k x 加 b。 关于圆点对称时，对称后的直线上每一个点与原来相比， 横纵坐标都变成了相反数， x 逗 y 变成了负 x 逗负 y， 直线表达式也就变成了负 y 等于负 k， x 加 b， 即 y 等于 k， x 减 b， 理解了对称变换的过程。关于这些特点，我也给你提供了一个口诀，叫做关于谁谁不变，关于原点都要变，希望对你的记忆有所帮助。 ok， 我 们同样来看两道例题，巩固一下这部分的内容。 已知一次函数 y 等于二分之一， x 减一，先将函数图像向左平移三个单位，再向上平移五个单位，求最终函数的解析式。 根据依次函数平移的特点，同学们需要注意两个地方，第一个平移的时候，斜率 k 始终不变。第二个熟记平移的特点，左加右减，上加下减。 这个一次函数，它是先向左平移三个单位吧，所以我们就能得到 y 等于二分之一，括号 x 加三，减一， 整理一下，也就等于二分之一倍的 x 加二分之一。接下来我们再把这个一次函数的表达式向上平移五个单位上加，所以是加五， 整理一下就得到了 y 等于二分之一， x 加二分之十一，这个就是一次函数 y 等于二分之一， x 减一，经过两次平移过后，最终得到的函数表达式。 再来看第二个小问题，还是这个一次函数 y 等于二分之一， x 减一。现在呢，我们把原函数图像经过两次平移后，得到一个新的函数 y 等于二分之一， x 加四，其中第一次平移是向右平移两个单位， 问第二次平移的方向和距离，那么这个第二问的处理方法呢？其实是一样的，我们来看一下，原函数是 y 等于二分之一， x 减一，它是经过两次平移，那第一次呢，是向右平移两个单位， 于是就得到了 y 等于二分之一，括号 x 减二，减，整理一下，也就是 y 等于二分之一， x 减二。那接下来呢，我们是把这个函数表达式又经过一次平移，然后最终得到的这个函数表达式呢？它是 y 等于二分之一， x 加四。 同学们观察一下啊，这个函数表达式原来是减二，经过了平移以后变成了加四，从减二变成加四，这个中间的平移过程，他就应该是向上平移六个单位， 对吧？我们把这个一次函数向上平移六个单位，上加下减，那加六，最终就能得到这个新的函数表达式， y 等于二分之一， x 加四，这个就是一次函数平移的特点。下面我们再来看一道题，熟悉一下一次函数对称的特点。 第一个问题，求直线 y 等于二分之三， x， 关于 y 轴对称的直线表达式。根据一次函数对称的特点，我们知道关于 y 轴对称，那么它的特点就是纵坐标不变，横坐标变成相反数。 所以这里我们可以先设原函数上有一个点屁，他的坐标是 x 到 y， 那 么关于 y 轴对称的话，纵坐标不变，横坐标变成相反数，所以这个屁点关于 y 轴对称，就能得到一个屁撇点， 那屁撇的坐标就是负 x 的 y， 接下来我们再把屁撇的坐标带入一次函数的表达式当中，就能得到 y 等于二，乘以负 x 加三，那整理一下，就是 y 等于负的二， x 加三， 这个就是直线 y 等于二， x 加三，关于 y 轴对称的直线表达式。再看第二个问题， 求直线 y 等于二分之一， x 加三，关于 x 轴对称的直线表达式。还有关于圆点对称的直线表达式。同样，根据一函数对称的特点，关于 x 轴对称，那么它的特点 横坐标不变，纵坐标变成相反数。我们还是先来设 y 点关于 x 轴对称，所以这个对称点 a 撇， 它的坐标就是横坐标不变，纵坐标变成相反数，也就是 x 都负 y。 接下来我们把 a 撇点代入到原来的这个一次函数表达式当中，也就得到了负 y 等于二分之一， x 加三，整理一下，就得到了最终直线的表达式 y， 它是等于负的二分之一， x 减三，那这个就是原来的函数表达式。关于 x 轴对称以后得到的直线表达式。 如果是关于原点对称呢？它的特点是横纵坐标都变成原来的相反数，所以 a 点关于原点对称，假设叫做 a 两撇吧，它的坐标就应该是负 x 都负 y， 我 们再把 a 两撇带入原来的直线表达式当中，也就得到了负 y 等于负的二分之一， x 再加三，整理一下 y， 它是等于二分之一， x 减三，这个就是原函数关于原点对称 所得到的函数表达式。好，那通过这两道题，我相信同学们也就熟悉了一次函数对称的特点。 研究完一次函数平行和对称，我们再来研究三组一次函数和方程及不等式的关系。 首先来看一次函数与一元一次方程的关系。根据前面的学习，我们已经知道一次函数 y 等于 k， x 加 b， 描述了两个变量 x、 y 的 线性对应关系，它们的图像是一条直线。而一元一次方程是指形如 k， x 加 b 等于零， 只含一个未知数 x， 且未知数次数为一的方程，它的核心是求让等式成立时 x 的 值。它们二者之间又有什么样的关系呢？ 首先从代数角度来看，解方程 k， x 加 b 等于零，本质上就是求一次函数 y 等于 k， x 加 b 中当函数值 y 等于零，自变量 x 的 极值。简单来说，一元一次方程的解就是 一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像与 x 轴交点的横坐标。 再来看一次函数与一元一次不等式的关系。一元一次不等式是指形如 k， x 加 b 大 于零或者小于零大于等于零、小于等于零这里的式子。其中 k 不 等于零， 它的核心是求使不等式成立的所有 x 的 取得范围。它和一次函数之间的关系同样可以。从代数和图像两个角度来看。 先从代数角度来看，解不等于 k， x 加 b 大 于零，本质就是求一函数 y 等于 k， x 加 b 中当函数值 y 满足大于零时，自变量 x 的 所有趋值。 而从图像上看，不等于 k， x 加 b 大 于零的解集就是一函数图像在 x 轴上方所有点的横坐标 x 的 集合。 不等式 k x 加 b 小 于零的解集就是一次函数图像在 x 轴下方所有点横坐标的集合。好，以上就是一次函数跟一元一次方程以及一元一次不等式的区别和联系。来看两道例题。 第一题已知一次函数 y 等于 ax 加 b， 其中 x 与 y 的 部分对应值如下表所示。求关于 x 的 方程 ax 加 b 等于二的解是多少？ 那这道题考察的就是一次函数和一元一次方程的关系。传统解法我们需要把这个小 a 和小 b 先给他算出来，然后才能解这个 x 的 值吧。 但是假如同学们能够理解这个一次函数和一元一次方程的关系，那么这道题其实一眼就能看出来。我们从代数角度来看这个一元一次方程和一次函数的关系。其实解方程 k x 加 b 等于零，那本质上就是求这个一次函数 y 等于 k， x 加 b 中函数值 y 等于零的时候对应的自变量 x 的 去值。理解了这句话，我们再来看这个问题。关于 x 的 方程 ax 加 b 等于二， 同学们注意看，前面的 ax 加 b 不 就是我们这里的函数值 y 吗？所以要想求这个方程的解， 实际上就是求一次函数 y 等于二的时候对应的自变量 x 的 去值吧，看是不是这样子的。所以我们只要在下表当中找出函数值 y 等于二的时候对应 x 的 值即可。 所以这道题的答案其实就是我们的 b 选项 x 等于零的时候。再来看第二题，如图，直线 y 等于 k， x 加 b， 将坐标轴于 ab 两点，那 a 点的坐标是负三斗零， b 点的坐标是零斗五， 我们在图上标注一下，这个点的坐标是负三斗零，这个点的坐标是零斗五。求不等式 k x 加 b 小 于五的解集是多少？ 那么解决这个问题的关键呢？同学们得从图像的角度去理解这个一次函数与一元一次不等式的关系。同学们看这个 k x 加 b 对 应的是不是我们一次函数当中 y 啊？所以这里我们可以改写一下 这个不等式其实就是指一次函数图像当中 y 小 于五的区域范围。 搞清楚了这个问题，那么接下来我们直接看这个图像，就能写出它的解集。同学们注意看这个部分，这个点对应的数 就是 y 等于五的时候吧。那现在我们要求的是 y 小 于五的时候 x 的 曲值范围，所以此时这个解集 x 就 应该是小于零， 同学们想想是不是这个道理啊？当 x 小 于零的时候，那么对应的这个 y 值呢？它当然都比这个五要小。所以反过来，假如这道题让我们求这个 k x 加 b 大 于五的时候，那么对应的函数图像就应该是这个部分的，那它所对应的自变量 x 的 取值呢？就应该是 x 大 于零。 那通过这道题呢，可以希望加深一下同学们对于一次函数和一元一次不等式的理解。最后我们再来看一下一次函数跟二元一次方程组的关系。 从代数的角度来看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为和值时，两个函数的值相等，以及这两个函数的值是多少。从图像角度来看，解二元一次方程组相当于确定两条直线交点坐标。 简单来说，一、函数 y 等于 k 一， x 加 b， 一 与一函数 y 等于 k 二， x 加 b 二、图像焦点的坐标就是对应的方程组 y 等于 k 一， x 加 b 一， y 等于 k 二， x 加 b 二的解来看两个例题， 第一题已知直线 y 等于 x 减二，与 y 等于 mx 减 n 相交于 m 点， m 点的坐标是三逗币。求关于 x y 的 二元一次方程组，它的解是多少？ 解决这道题，需要同学们理解这个一次函数与二元一次方程组之间的关系，我们只要把这个二元一次方程组稍作变形，同学们看起来就会更清晰啊！看，那这个部分他就可以写成 y 等于 x 减二。 我们把负二移到等式的右边，那同样这个部分它是可以写成 y 等于 m， x 减 n， 其实要求的就是这个二元一次方程组。同学们看，这个二元一次方程组和这两条直线的表达式是不是一模一样啊？根据二元一次方程组合一次函数的关系，这两条直线的焦点它就是这个 方程组的解吧。所以下面我们把 m 点代入到这个表达式当中，就能算出这个 x 等于三的时候， y 等于一。所以这道题的答案就是这里的 a 选项。 再看第二题，这个第二题呢，和我们刚才的第一题他们的逻辑是一样的。第二题当中给到了这个二元一次方程组的解， x 等于四， y 等于五。让我们反过来求 直线 y 等于 x 加一和直线 y 等于 k， x 加 b 焦点的坐标。同学们看这条直线的表达式和这个部分是一样的，这个直线的表达式和这个部分是一样的，所以这两条直线的焦点坐标就是 给到的这个二元一次方程组的解，所以这道题的答案就选 c。 以上就是本期视频关于一次函数的所有内容，同学们一定要花点时间好好消化一下，我们下节课再见！拜拜！

依次函数面积问题三种解析思路，一、割补法，做 x 轴、 y 轴平行线得到矩形， 所求粉色面积为矩形面积，减去蓝色、黄色面积。二、铅垂法，绿色铅垂高，把粉色面积分为黄色、蓝色两部分面积分别做两三角形的高，得到铅垂法面积公式，二分之一的铅垂高， b、 e 乘以水平宽，即 am 两点横坐标之差。三、平行法，根据平行 k 不 变过 a 做蓝色的平行线， 拉窗帘进行等级变换，还经常会求四边形面积，依旧可以补全为矩形做差求面积，还可以分割成两个小三角形求面积下课。

同学们好，我们今天来看一下这道题目，这是道一次函数图像类的问题，他说一次函数 y 等于 mx 加 n 与 y 等于 mx， m 乘 n 不 等于零， 在同一平面内的坐标图像可能是哪一个？那我们这一题就需要进行分类讨论。对于这种抽象类的函数，我们先确定一条函数它是正确的， 然后根据那个正确的函数推断出 m 和 n 的 与零的大小关系，我们就可以推出 m 乘以 n 的 与零的大小关系，对不对？那我们假设 a 选项依次函数的图像是正确的，依次函数的图像是不是这一条 对不对？它能告诉我们的 m 是 不是大于零， n 是 不是也是大于零， 对不对？因为它的截距是不在 y 轴的上方，对不对？它的斜率是这样的，所以它 m 和 n 都是大于零的，那么 m 乘以 n 是 不是也是大于零的？那就导致它的正比例函数 k 这个东西是不是 k 啊？ k 是 不是大于零的？是不是一条这样的直线经过一三项线的对不对？所以一选项就错了？ 那我们再判断一下 b 选项，那 b 选项一次函数的图像是不是这一条？那他告诉我们呢，是不是 m 是 大于零， n 是 小于零的对不对？因为这个点在外周的下方对不对？那么 m 乘以 n 是 不是就是小于零的数，小于零的数，那么一次函数是这样的，那么正比例函数它就会是经过二四象限，对不对？ 所以他证明的函数图像放反了，对不对？所以 b 也是错的。那我们来看一下 c 这是不是一次函数？那他能告诉我们 m 大 于零， n 小 于零，然后 m 乘以 n 就 小于零，那跟我们前面纠正过来的图像是不是一样的？说明这题答案 c 是 正确的，对不对？ 那我们来看一下第一选项，它一次函数，我们要区分一次函数和正比例函数，一次函数肯定它不一定经过原点，正比例函数一定是经过原点的，对不对？我们看一下这题 m 是 不是小于零了？ n 是 不是大于零了？ n 是 不是在这上面？ n 就是 那个函数与坐标轴 y 上面的交点， 这个 n 就是 函数与 y 轴的交点，他如果在 y 轴的上方，那 n 就是 大于零，如果在 y 轴的下方，那么 n 就是 小于零。那我们看一下 m 乘以 n 是 什么关系？小于零的， 那么正比例函数图像就不是这么画的，他应该是过圆一三项二四项线，过圆点的一条直线， 对不对？那所以我们在做这一类的问题的时候，都是假设有一个一次函数的，假设有一个函数的图像是正确的，然后根据那个图像得出 m 和 n 的 与零的大小关系，然后再反推出另一个函数图像，对不对？那好了，那这一题我们就讲到这里结束了，那这题答案是选什么？选 c 对 不对？好了，同学们再见。

大家好呀，今天我们来一起攻克初中数学里一个非常重要的内容，一次函数。很多同学啊，觉得一次函数有点难，图像解析式性质感觉一团乱麻呀。 别担心，今天我就用最接地气的方式，带大家把一次函数彻底搞明白啊！第一个核心概念，什么是一次函数？ 首先我们得知道它长什么样。意思函数的标准照是 y 等于 k， x 加 b 这个形式啊，也是它一般形式。这里面有几个关键点，第一个， x 和 y 是 变量，就像一对好朋友一样，我一个变了，另一个也跟着干什么改变 k 和 b 呢？就是吗？常数我们称之为参数啊，这两个参数是一次函数的灵魂，决定了它的一切。 k 叫做比例系数，它掌管着函数整个图像的方向和坡度的啊。 b 叫做常数项，它掌管着函数图像与 y 轴的交点位置。最重要的条件， k 绝对不能等于零。如果 k 等于零了，那式子就变成了 y 等于 b 了，是不是 这是一个常数函数了？图像就是一条水平的直线了，就不是一次的了啊。而 b 呢，可以是任意实数， 包括零的。那当 b 等于零的时候，一次函数就变成了 y 等于什么？ k x， 这就是我们。呃，前面学的 y 等于 k， x 是 正比例函数。所以说啊，正比例函数是特殊的一次函数，那么它图像的性质亦是一条什么直线。 那么这条直线的脾气是谁来掌管的呢？一次函数的图像是一条直线。再记住啊，画直线只需要确定什么两个点，所以我们通常用两点法来画啊。那这条直线的脾气，也就是 它的性质是由谁来决定呢？当然是 k 和 b 是 不是 k 的 作用看方向。定向线。当 k 大 于零的时候，直线从左往右是什么上坡的啊？ y 的 值是随着 x 的 增大而增大的，当 k 小 于零的时候，直线从左到往右呢，是下坡的， y 的 值随着 x 的 变化增大而干什么减小？是不是啊？一句话口诀， k 正右呢？上斜看负呢？右下斜，那么 b 的 作用看它的焦点啊，定高低的。当 b 大 于零的时候，直线与 y 轴的焦点在 x 轴的上方，也就是 y 轴的正半轴。当 b 小 于零的时候，直线与 y 轴的什么啊？ 焦点在 x 轴的下方，也就是交与 y 轴的负半轴。那么当 b 等于零的时候，直线经过圆点零零。 那么下面我讲一下他的高频考点和易错点。第一个考点，根据 k 和 b 的 符号判断直线经过的象限 非常考的非常非常多，比如说 y 等于负二， x 加三的图像经过哪些象限呢啊？首先我来看 k 等于负二，是不是小于零呢？所以直线是什么下坡的？再看一下 b 是 不是等于三， b 大 于零，他交于 y 轴的什么正半轴。 所以我们可以想象一下，一条从左上方向右下方倾斜的直线，还穿过了 y 轴的正半轴，那他肯定经过一二四象限，是不是 啊？易错点是哪些呢？比如说只看 k 或者只看 b， 漏掉了一个，导致判断的错误了啊。记住，要 k 和 b 联手起来，才能够确定它的象限。 第三个知识点就是解析式的求解了啊，如何确定 k 和 b 的 值呢？这是考试的重中之重，题目通常会给你一些条件，让你求出函数的解析式， y 等于 k， x 加 b， 核心方法就是用待定系数法，因为 k 和 b 是 待定的吗 啊，解析步骤，第一步就是是表达是 y 等于 k， x 加 b 是 不是？第二步就是待，根据题目的条件 啊，通常是两个点的坐标啊，带入解析式就可以了，得到一个关于 k 和 b 的 这种方程组。第三步就是解这个方程组就可以了，求出 k 和 b 的 值。第四步就是把 k 和 b 带入到 y 等于 k， x 加 b， 写出最终的解析式。那么 第四大点就是实际应用了生活中的一次函数，这也是比较难的一点啊，一次函数在生活中无处不在，比如打车计费，水电费计算手机套餐等等，这类问题的关键是要读懂题意，找到变量之间的关系， 那么它的解析思路，第一步一定要审，仔细阅读这个题目，搞清楚谁是自变量 x， 谁是因变量 y。 第二步，找，找到题目中的等量关系，列出 y 与 x 的 关系式，注意区分固定费用就是对应的 b 和变动的费用，对应的 k x 啊。 第三步，解，根据关系式进行计算或纠结。第四答，写出答案，并检查是否符合实际意义。那么这里的易错点，在解决实际问题的时候，一定要注意 x 的 取值范围啊， 比如时间不能是复数，物品数量必须是整数等等啊。最后总结一下，一次函数啊，就像一个三剑客，解析是 y 等于 k， x 加 b， 图像直线和性质，它们三者紧密的相连的，知道其中一个就能推导出另外两个学习一次函数啊，关键就是抓住 k 和 b 这两个核心的参数，理解他们的几何意义。 好了，今天的分享啊就到这里，希望嗯，大家听完之后对一次函数有了更清晰的认识，多做练习，把这些知识点啊内化于心，你会发现一次函数其实非常有趣的啊。

呃今天想跟大家聊一下就是关于我们初二的一次函数，我们怎么去学习啊？下面是呃我总结的呃几个经验。那首先一次函数对吧？我们要明白什么是一次函数，那一次含就是一次函数，不就是 y 等于 k s 加 b 吗？ 对吧？他考的题型要么就选择题，选择题给你两个一次函数对吧？然后让你根据图像走势是判断哪个正确的， 然后呢就是关于呃我们让你求函数的解析式对吧？两点两个点的坐标我们就能把解析解析式给求出来了。然后后面就是难一点的就是说，呃坐标轴与图与一次函数形成的图形问题，这个图形问题可以是周长可以是什么呀？ 啊？面积也可以是可以什么呀？哎，两两两段线段的啊，最直最长或者是最短是多少，这个就考察对吧？考察我们的比较 比较错综复杂，就比较全面的一个知识点，既考察了一个一次函数性质又卡考察了什么呀？三角形的性质，比如说面积，那面积就三角形，你很多同学他都会遇到什么三角形的高不会求，就是说最后我所有都算出来了，对吧？我也知道怎么求，但是就是说在面积这一块他高没有找对 正常的，简单的就是三角形的高在什么呀？三角形内部，哎，我知道怎么去做，但是如果说很多的时候他考我们的时候高都是在延长线上，都是都是在外部的，那外部的时候那我们就一定要找准把这个高是怎么去找 对吧？都弄完了以后才去做。还有就是最简单的一个方法，就是大家可以找，嗯，大概找五套卷子左右找，可以找我们蚌埠的，呃，月考卷、期中考试卷或者周测卷、期末考试卷都可以找到。把五套卷子拿出来，把里面的一次函数我们都给他做一下， 做完以后我们把五张卷子放在一起，我们去看一下这五张卷子，它主要考我们一次函数哪些问题，哪些性质， 哎，我们去总结一下大概是什么样的题型，但是做完以后我们一定要搞懂，就是说我们做每一步我们都要问问我们自己为什么，为什么是这么做的？他用到了什么样的知识点对不对？做五套，做完五套以后 去总结，基本上下一次再做的话，那不就手拿把掐了吗？对不对？我们要落实到做题目当中去，不要说似懂非懂，比如在学校老师讲这一题目，本来我不会的，我一听我听懂了，听懂回去客户，那就不做，对吧？把它放着放着觉得我懂了，其实不是 有一句话叫什么呀？一听就会，一做就废，就是说一定要落实到做，去做题目当中，然后去总结，哎，去分析，这样的话下次哎才就说不会出现那么多的错误，对不对？好的，大家加油。

一次函数的面积问题是我们新初二期末考试的必考高频考点，但是呢，这种类型的题呢，往往它的得分率不到百分之五，那么今天呢，老师就带着大家彻底通透关于三角形面积的动点求法，一起来看这道题。 直线 ab 解析式已知直线交于点 d， 在 直线 c， d 上存在一点 e， 使三角形 a、 b， e 与三角形 a、 b、 o 面积相等，求点 e 的 坐标。 通读完题 e 之后，我们发现了这个三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 b、 o， 它们符合同底三角形哎，都有 ab 对 不对？ 那么同底三角形要想面积相等，想想三角形面积公式，二分之一底乘高，要想面积相等，那么是不是就是说明他们是符合同底等高的呀？来看一下吧。同底同的是 ab， 所以 这个高是不是要和这画一个点 e 点 e， 这个三角形 a、 b， e 的 高也相等， 那么高在出征阶段还表示距离，也就是说明 e 到 ab 的 距离和 o 到 ab 的 距离相等， 那么就说明了 o、 e 两点到直线 ab 距离相等，即直线 o， e 到直线 ab 距离相等。 有思路了吧，所以我们的解题方法就是过点 o 做一条和直线 ab 平行的一条线，我起名 l 二。 好，因为什么呀？因为这个叫直线 l 一， 因为 l 一 平行于 l 二，所以它们的 k 是 相等的，所以我就得到了 l 二的解析式，过原点是正比例函数 y 等于 x， 所以 第一种情况， 这个点是点 e， 我 们就连立 l 二与题里边给我们的这条直线，我起名 l 三，连立 l 二与 l 三，我们就可以解得出来 e 点的坐标来，再思考一下点 e 有 没有可能在 d 的 上方呢？这个三角形 a b， e 可不可以长这个样子？ e 在 这里，三角形 a b， e 长这个形状不是说了吗，要符合同底等高啊。同底等高，底是 ab， 那 高 这段高是不是也可以等于 o 到 ab 的 距离呢？可以做一条平行线，起名 l 四。 l 四和 l 一 是互相平行的，因为 l 四平行于 l 一， 所以我们现在只得到了 k 一 等于 k 四。 那么 l 四它的解析式要如何去求呢？我们此刻呢，就可以过点 b 做垂线， mn 分 别垂直于 l 四和 l 二来看，对顶角和对顶角相等， 九十度和九十度，高和高相等，所以得到三角形和三角形全等，所以我们就可以得到 o b 的 长等于这段距离。好，这个点代表的是不是就是 l 四与 y 轴交点啊？ 好， o b 等于二，所以这个点的纵坐标为四，那么我们就可以得到了 l 四的几何式。因为平行，所以 k 相等， y 等于 x 与外轴焦点纵坐标为四加四。好，现在得到了 l 四的解析式了，连立 l 四和 l 三，我们就可以求出来 e 二的坐标。那么这道题呢，一共有两个点， e， 你 来求一下 e 一 和 e 二的坐标分别是什么？

三十秒带你学会一次函数必会考试技巧，老师不讲，考试必考！今天我们来看比值求 k 法， 什么是比值求 k 呢？我们来看一下实际题目，已知一次函数哎，经过 a 点一负三， b 点四零。问你 k 和 b 的 一个值，在我们学校里面，老师是讲了一个方法叫待定系数法。 什么是待定系数法呢？我们发现因为这个一次函数过 a 过 b， 所以 我们会发现，将 a b 坐标代入，我们得到 k 加 b 啊，等于负三， 而我们的啊四 k 加 b 啊，等于零代入。我们通过求解一个二元一次方程组，我们求出 k 和 b 的 值，这个方法是可行的，但是有没有更快的方法呢？那么今天我们来看一下比值求 k 法。 什么是比值求 k 呢？我们记住一个口诀， k 的 值等于纵差 比横差。那么什么是纵差？纵差就是纵坐标之差等于零减负三， 横差就是横坐标之差，我们这边是四减一，所以整理一下就是三比三等于一，那么 k 的 值就出来了， 这时候你要注意啊，纵差比横差，你的顺序不能改变，你是零减负三，比值一定是四减一，而非一减四，不然你的符号就要有问题了。 那么 k 求出来之后如何求 b 啊？我们发现 k 为一则，这个函数就变成了 y 等于 x 加 b， 随便啊，我们把这个代入啊，代入一把一负三啊，往里代入， 代入得到一加 b 啊，等于负三，则 b 等于负四，所以我们的 k 呢，就是一， b 呢就是负四。那么我们 k 的 求解方法，比值求 k， 大家明白了吗？

好，同学们好，今天我们来看看苏科版八年级数学微课，那这节课呢，我们讲一下第五章一次函数的第六小节，待定系数法，求函数解析式。 那其实这个待定系数法呢，是我们不管是一次函数还是反比例函数还是二次函数，就我们初中会遇到的三个函数的一个呃，共同的一个解法，那么呃我们的微课呢？更加适合的三个函数的一个解法，那么我们的微课呢，需要领取讲义或者配套练习的话，可以加个群。 那什么是待定系数法呢？就是大家可以想一下啊，比如说我们画一个 y 轴啊，再画一个 x 轴， 假设我们在这个平面上呢，有两个点，一个 a 点，一个 b 点，然后有一条，我们知道两点，确定一条直线，那么其实如果有一条直线要经过 ab 的 话，那么这条直线应该是固定的，对吧？ 固定的啊，那么这条直线解析式怎么求呢？它到底是这个 y 等于 k， x 加 b 当中的 k 是 多少呢？ b 又是多少呢？我们的做法，我们比如说这个是，呃，是三三吧， 这个呢是一二吧，我们求解析式，怎么求呢？我们的做法是啊，将这个三三带入我们的解析式， y 等于 k， s 加 b 就是 三， k 加 b， 把一二也代入解析式，就是 k 加 b， 这样的话，我们就可以把这个呃 k 给求出来，对吧？ k 是 呃， k 应该是我们二分之一，对不对？ k 是 二分之一， b 的 话是二分之三， 那这样的话，我们就可以哎，就可以知道我们的解析式， y 等于二分之一， x 加二分之三，那这个就是我们的待定系数法啊，就设表达式，根据已知条件就是得到 k、 b 的 方程组，对吧？解方程组就行了，写出表达式啊。好，我们来看一个题，立异 就是中国象棋历史悠久，如图所示，是某次对弈的残局图，如果建立平面坐标系之后，使棋子帅的位置啊，这个帅位于负二负一， 负二负一，那我们先找到它的这个圆圆点在哪看一下啊？这应该在这个位置吧，因为这个位置的话，如果你做一个 s 轴，对吧？你这样做个 y 轴， 哎，这样的话，这个地方正好是，哎，负二负一，那此时的马呢？就应该在一二的位置，也就是说，呃，有一个，有一个直线从我们经过啊，经过这个 进个率码的一个直线方程到底是多少？哎，他的意思就是这边有个负二负一啊，这边有个点率啊，然后这边有个一有个二，经过这两个点 的直线解析式到底是多少啊？那当然，这个题呢，我们可以把这两个点往里面带，往这个 a、 b， c、 d 带，我们也可以求他怎么求啊？就是设他的 设 l 的 解析式是 y 等于 k， x 加 b， 那 得到一个什么式呢？就是二等于 k 加 b， 负一等于负二， k 加 b， 我 们把这个 k 解一下啊，可以做叉，对吧？做叉做叉就会得到 k 应该等于一，是吧？ k 如果等于一， b 就 等于一啊，好，那这样的话，我们的结果就是 a 选项啊。好，这是我们的待定系处法啊。好，我们再看一个。呃，已知 y 与 s 成正比例，成正比正比例，就是我们就需要设它解析式， y 等于 k x 啊， k x， 那这个时候我们需要一个点，就是我们只有一个未知数 k， 对 吧？所以代入就得到十等于二 k， k 就 等于五。那根据这个结论， y 与 s 的 表达是 y 等于五 x 啊。好，再看例三， 第三说，已知一次函数表达式等于设好了，当 s 等于三十， y 等于五， s 等于四十， y 等于六，我们写一写啊，就是五等于三， k 加 b， 六等于四， k 加 b。 哎，我们做差做差就会得到 k 应该等于 一，是吧？ k 应该等于一啊， b 应该等于二啊，所以解析式是 y 等于 x 加二啊，加二。好，我们看例四 例四说。呃，已知 y 与 x 加二成正比例关系。注意啊，这个 y 等于 x 加二呢， y 与 x 加二，我们注意应该是 y 等于 k 倍的 x 加二，因为他告诉我们 y 与 s 加二成正比例，不是 y 与 x 啊。然后当 s 等于四时， y 是 四，我同样代入就是四等于 k 倍的 四加二啊，得出 k 等于六分之四， k 就 等于三分之二。哎，那这样的话，我们就是 y 等于三分之二，我们求出 k 代入就行啊。 x 加二， 我们这么写也行，或者说我们把它展开， y 等于三分之二， x 加三分之四啊， 这是我们的做法，注意，它是 y 与 s 加二之间的关系。好，我们再看最后一题，最后一题呢，就是一个大题啊，大题书写方式怎么写呢？就说结， 先写个结，他说有一条直线呢，经过点 a 以及经过点 b， 不 管是什么经过两点啊，我们就设 直线 l 的 解析式，对吧？ 为 y 等于 k， x 加 b 啊，则，或者多写一句啊，因为经过两个点，则我们得到一个式子，就是二等于 k 乘零加 b， 然后这个地方是零等于 k 乘四加 b。 好 解啊， b 是 二，因为第一个就是 b 等于二，那 k 就 应该等于负二分之一。 好，这样的话就做完了，是不是啊？这样的话，我们得到解析式是 y 等于负 二分之一 x 加啊，所以你就说所以它的解析式是这个东西。好，那回忆一下我们今天讲的内容啊。今天讲的是， 呃，用代定系数法去求一下函数解析式。那么我们初中讲的所有的函数都可以用这个方法去求啊。那解方法呢？就是设解析式带带两个系数解析式啊，代定系数嘛，然后列方程组，把点带入列方程组。好，那这节课呢，我们就讲到这。

好了，同学们大家好，今天呢，我们来一起学习一下第七章，我们叫做依次函数的解析式，这可是问题，在上节课呢，咱们说已经学了什么是依次函数了，对不对？ 什么是正比函数了，也学了他们的函数图像有什么样的一些特点特征了，咱们现在开始学习依次函数的解析式，该怎么求？ 哎，也就说咱们所要求的这个 y 等于 k， x 加 b 的 这个式子有当中有哪些考点，怎么去解？咱们现在讲的第一个板块啊，我们叫做待定系数法，求解新式，哎，它会告诉你啊，一个一次函数 啊，然后呢，会有一系列的一些条件，让你去把这个一次函数的解析式求出来，也就说把那个 y 等于 k， x 加 b， 把这个式子要写出来，那到底怎么去写这个式子？那我今天来学习一种通用的一种做法，咱们把它称之为 待定系数法。首先这个名字是怎么来的呢？待定系数法，咱们不是讲过了， y 等于 k， x 加 b 当中的 k 跟 b 就是 咱们的系数对不对，常数对不对？ 那么咱们什么叫做待定系数法呢？就是咱们这个系数呢？哎，要求他先别着急啊，我现在把他求他先射出来，再待直，然后呢再求解，哎，就可以把这系数开求解出来了，他的核心做法呢，就是四步，我们叫做射，但求 写。首先呢，第一步射什么意思呢？他会告诉你，哎，这朋友说现在呢，有一个一次函数啊，然后呢，它里边要经过某某某些点，让你求出这个函数解析出来等等这类问题，第一步先射 什么呢？哎，你就第一步就射这个函数为 y 等于 k， x 加 b， 那 么，哎，咱们这就是一次函数解析式， k 跟 b 是 谁？先不要着急， 第二步呢，叫代代入两个点的坐标。同学们，咱们之前讲过了啊， y 等于 k， x 加 b， 它一定会给你两个点的准确坐标的，比如说给你一个 a 是 一个，不说负一逗零，再给你个 b 啊，假设是个一逗啊，四啊，等等啊，假设我随便写这个啊，它一定会给你两个点的坐标的， 因为这两个点坐标呢？两个点坐标，我们才能够求出来这里边的 k 跟 b 的 值。因为 k 跟 b 到目前为止，它是不是还是一个未知的？一个这个方程解不出两个未知数，它两个未知数必须至少得两个方程来解。 所以此时此刻呢，咱们第二步带什么意思？把这两个点带入到咱们设的这个解析式当中，我们就可以得出来个什么呢？ 方程组来把这两个点代入这个当中，咱们前面这个参数，这个是 x 值，后边这个是 y， 那 么当 x 等于负一的时候， y 等于零，再带第一个，我们就零， 就等于什么呢？叫做这个 k 去乘以一个负一，再加 b， 对吧？第二个点带上去之后呢，咱们是不是知道四等于什么呢？咱们这里边的啊，一也就是 k 去乘以一再加 b， 哎，我们是不是就可以得出一个二元一次方程组出来，咱们之前讲过了， 去求他，咱们两种方法叫什么呢？加减消元法，什么带有消元法都可以。你此时此刻呢，把它解出来之后呢，我们是不是就可以得出来 k 到底等于一个谁， b 等于一个谁。那咱们这里边 k 跟 b 是 不是知道了？最后边去写，你就可以把它准确值给它算出来， y 什么等于 k， x 再加 b， 这里边 k 跟 b， 它都是准确已知的一个数值了，咱们就把这个解析式就解出来了，咱们 看一道题，好吧，那道题给你们去讲一讲这个该怎么去做？来，他跟你说啊，如果这个一次函数图像 经过了这两个点，那么他的这个意思函数的解析式是什么样子的？那这个题比较好一点，他是已经告诉你的这是意思函数，并且把解析式已经给到你了。咱们刚才讲这个方法呢，咱们第一步是不是得去设第二步呢？得去带 第三步呢？去求第四步呢？再去写第一步的这个设置板块呢？他已经给你设好了，他的解析式就是 y 等于 k 加 b， 我 们就不需要去设。 那么从第二步开始第二步干嘛呢？带什么呢？咱们把这两个点呢都给他带入到这个依次函数当中，那我们可以得出什么呢？来把这个带进去，带的时候注意啊，前面这个 是 x 值，后边这个才是我们的 y 的 值，不要把顺序搞反了，不要给我写成一个什么呢？二等于负一乘以 k 加 b。 错了啊，前面这个是 x， 后面这个是 y， 在 这个值当中，我们是不是就知道了，负一这个值， 他就等于我们 x 等于二，那就是咱们的这边的 k 去乘以二的时候，然后呢再加上一个 b， 哎，在第二点零到三， y 等于三，那这个时候当我们 k 去乘以零的时候呢，再加上一个 b， 哎， 他就等于三，我们可以得出这样一个方程组解他就可以了。怎么解呢？你看通过这里边这个二式，是不是咱们能够一眼知道这里边的这个 b， 他 是不是就等于三呀？ 三就等于零加 b， b 就 等于三，那把这个三带入这个式当中，那就那就是负一等于二， k 加三， k 就 等于负二 啊，这个是很简单的一个二元一次方程求解它就可以了，那解出来我们就第第三步啊，叫求已经求出来了， k 就 等于负二， b 就 等于三，最后边去写，那么那直接写的时候， y 就 等于负二 x， k 就 等于负二，再 b 是 什么呢？三，那就加上一个三就可以了。那这个题一模一样的，那就选择的是 a 选项了啊，这个题有没有听明白 咱们呢？这种方法呢？我们叫做待定系数法啊，就是我们先把这个解析式先写出来，用我们 k 跟 b 暂时先把它代替掉， 我们最终要准确求出 k 跟 b 的 一个值出来，此时此刻呢，会把这边两个点给他带进去，我们会形成一个二元一次方阵组解，它可以 求出咱们的 k and b 的 值吸取写行了，那如果啊，他跟你说这个题啊，如果他是一个依次函数的话，那就更为简单了，如果他告诉你依次函数图像什么什么经过某一个点，那求这一次函数，这个时候呢，只需要列出 设出一个方程，带一个点就可以了。那咱们设的时候呢，它是不是一定设是 y 等于 k x， 因为正比的函数它是不带后边这个 b 的， 所以 y 等于 k， x 这里边只有 k 一个 参数，咱们随便带入一个点可以，比如说这个点他就经过咱们的这什么二度四啊，假设他就带经过这个点，只要带一个点进来就可以了，那咱们知道四就等于二， k k 不 就等于二，咱们求也求出来了，直接去写 y 就 等于二 x， 这个题就解决了。所以说一般来说求咱们的一个函数，如果题目里边没有告诉你它到底是不是一个依次函数或者正比函数，你直接设依次函数的形式 啊，如果算出来 b 是 个零，那么他就是一个正比例。如果题目这没告诉你准确的，他是个正比例函数，一定要设一次函数，除非他明确告诉。哎，他说一个正比例函数啊，经过什么什么什么的点，你这个时候呢，去设 y 等于 k x 就 可以了。记住了啊，这种题我们一定要学会去做， 而且要注意是，就是目前阶段的话，咱们学的都是一次函数，它是朝直线啊，所以你就可以不加思索的去说 y 等于什么 k x 加 b 种形式。如果后面咱们学了什么抛物线呀， 啊，咱们呢，还学过什么双曲线呀，那么肯定就是经过我们的二次函数或者是反比的函数了。那你注意审题， 他如果给你说的是一个双曲线，那他就是反比例，如果他是一个抛物线，就是二次函数，如果他是条直线，就是一次函数，他题目怎么说，咱们怎么设 就可以了。好吧，这是咱们今天讲的第一个板块待定系数法，求一次函数解析式。