等腰三角形垂心怎么画

过直线外一点做垂线，用齿规作图的方式如何操作呢？在直线上任取一点 b 以 b 点为圆心，任意长为半径，画一个圆弧。圆弧与直线相交于 c 和 d， 连接 a 和 c 两点。 a、 c 和圆弧交于 e， 连接 a 和 d 两点。 a、 d 与圆弧交于 f， 连接 d 和 e 两点，再连接 c 和 f 两点。 注意 d、 e 垂直于 a， c、 c、 f 垂直于 a、 d。 这是因为直径 c、 d 所对的圆周角为九十度。 d、 e 和 c、 f 交于记点， 连接 a 和 g 并延长直线 a、 g 垂直于直线 c、 d。 其原理非常的简单， 利用的是三角形的垂心。除此之外，你能想到其他方法吗？

同学们，你们好，今天我们一起来做一道三年级的数学题， 看一下。要求在第一次图中利用一右三角形画出一个等腰三角形， 这是钉子图，这是一右的三角形。 请你根据这个 yu 的三角形画出一个等腰三角形吧，给你一点时间想想吧。 好了，接下来听我讲解。 我们以中间的这一条作为对称轴，数一数这一个点到这个这一条对称轴有几个方格， 一个、两个，那如果有两个的话，我们就以这个对称轴作为起点，反着方向数两个，一个，二个， 那么就以这个点作为等腰三角形的另一个点点，把它们连起来。 简单来说呢，就是我们画出了一个折对称图形等腰三角形，那他其实就是一个折对称图形。

大家好，今天我们来讲一下高考数学中的平面相量于四心问题。什么是四心呢？主要指的是三角形的四心啊，三角形的内心、外心、垂心，还有重心。 那你看封面上这样一个图形啊，如果说点 h， 在三角形 a、 b、 c 这样一个平面里头有一个点 h， 满足什么呢？满足这样一个条件，他就等价于 h， 实际就是垂心。如果说是第一个式子的话，那就表示随着栏目的变化呀，这个点屁终究会穿过垂心的，就这样一个意思，那 为什么会这样呢？你别着急，我们先来讲三角形的内心。三角形的内心和平面相量是这样的，在说这个平面相量之前，先说一下什么叫三角形的内心啊。三角形的内心指的就是三角形内切圆的圆形，是内切圆，不是内结缘啊，没有内结缘这样一个名字，有个外结 啊，内切圆。什么叫内切圆呢？内切圆指的就是一个圆啊，跟三角形三条边都是相切的，他就叫内切圆了。 那显然如果说切点分别是 d、 e、 f 的话，那你连接这个 o、 d、 o、 e、 o、 f 之后，他这三条切线肯定是一样长的，对吧？ 那常用的结论是什么呀？常用的结论就是三角形的面积等于二分之一周长乘半径。那为什么会这样呢？首先根据相切，所以肯定九十度，这个不用多说，我们事实上呢，可以把这个三角形 abc 拆成三个三角形，一个是三角形 oab， 另外一个呢是三角形 o、 b、 c， 还有最后一个，我们可以拆成三角形 o、 c、 a。 那这样写的话，你看如果我们以 a、 b 为 d 的话， a、 b 为 d。 事实上你看好了，在这样一个 三角形里头，以 ab 为底，他这个高是多少高？就是 of 吧，所以说这个 of 是多少来着？刚才已经说过了，是半径二，那同样的道理，二分之一 bc 成半径， 然后再来一个二分之一 ca 成半径，那最后呢？把这个二分之一你应该知道怎么回事吧？把这个二分之一啊提出来，这个括号里头呢，正好就是 ab 加上 b， c， 再加上 c、 a， 你说括号里头是什么？括号里头不正好是三角形 abc 的周长吗？然后这个公式呢，就出来了，但是这节课重点讲的并不是这个呀，这个在初中初三就肯定学过了，你讲缘的时候， 那现在我们重点要说的是项链表示里头内心的创造条件，就是说在平面里头啊，如果有一个点点 o， 他满足怎样的项链条件？满足 ov 点成 他，哦，等于 ob 点成他，等于 oc 点成他，这三个部分呢，都是等于零的。那现在我们来说一下，这个地方应该改成内心，对吧？ 确定内心只需要三个搅盆盆线？为什么三个角盆盆线好说呀？ od 等于 of， 你说是不是角盆盆线？ ob 是角盆盆线啊，那现在继续这个 od 等于 oe， 那你说这个 oc 是不是角盆盆线是同样的道理， oaoboc 都是角盆盆线。 既然是搅平平线的话，其实我们只需要证明这个 o 同时是三个搅平平线就行了。怎么证明搅平平线呢？嗯，其实很好理解，你看你说这个东西他叫什么？ 每一部分这个括号里头都是类似的，这两个东西相减，对吧？你说这个 abb 上他的膜，这个叫什么呀？这个他是称为谁？称为 跟 ab 方向相同的什么项链成为 ab 这个项链的单位，单位不用多说吧？单位方向项链， 这个其实很好理解，本来限量他只有大小和摩长两个维度，现在你看，如果我们拿出大小这个维度来，上下这个大小肯定是一样的呀，一样大小比上一样大小， 最终结果肯定等于一，这个呢是魔场这样一个维度肯定是这样的。再说你最后算一下，他这个魔场肯定是等于什么？肯定是等于一的，没有什么问题啊，好， 单位就指的是长度为一，方向向上呢，一样啊。你现在你看分子是一个相量，分母是一个数字，我们完全可以把它看成栏目的乘一个数字，乘 ab， 而且这个数字呢，还是一个正数，所以你说这个整体其实也就是这个整体，他跟 ab 的方向一样，不一样， 一样。所以说单位方向项链的意思就是长度为一的项链，而且这个项链啊，跟 ab 的方向相同，原来是单位方向项链的意思啊。单位方向项链，那我们还不如 把画圈的这样部分分别写成一一项链和一二项链呢。那么这么写有什么好处呢？单位方向线呢，他来的长度必须严格的一致，你画图的时候也要注意， 那你要注意的是一一减一二，一，一减一二实际上相当于什么呀？相当于。哦，我知道了，我现在事实上只需要谁啊？ a 一一，这就是一一减一二吧。括号里头啊，这个括号里头就是一一减一二， e 一减一二这两个项链，它其实就等于等于这个 a e 一，减去 a e 二，根据三角形法则，它实际上就等于这个 e 二 e 一。 我有点懂什么意思了，但是写之前的话，我还想让你表示一下，一一加上一二， 这什么玩意啊？哦，平行四边形法则，那我们不妨把这个平行四边形给画出来吧。画出来了啊，再这样一个平行四边形，哪个平行四边形中呢？再这样一个平行四边形， 平行四边形 a e 一。这一二中，我已经画出这个图来了啊，在这样一个平行四边形中，实际上他的零边这个 a e 一是等于 a e 二的，因为你都是单位方向下，长度都等于一，所以事实上其实这个平行四边形零边相当他就是一个菱形， 那既然是零型的话，一一加一二啊，一一加一二，他是等于 aj 的。我写这么多，你可能心里就在想啊，老师，你说你写这个东西有什么用呢？好说，现在看 看好了啊，同学，你现在看我画圈的整体，其实画圈这个整体，他就完全等价于这个 o a 点成，谁等于零？ o a 点成 e 二 e 一等于零，看图中的 e 二 e 一，你想啊， 他这样一个菱形对角线什么性质啊？菱形的对角线本来就是互相平分的，或者你不画这个菱形的话，上半部分他是一个等腰三角形， a 一一二八 等腰三角形的话，他你看好了啊，所以说此时点乘等于零，就是 oa 垂直于这个底边一一一二的意思。在等腰三角形中，我根据这个三线合一， 你底边上的高也是底边上的什么线也是底边上的中线也是顶角的角盆盆线，这个时候我们去角盆盆线啊，根据三项合约可以得出来， oa 他是平分哪个角的？平分角 bac 的理解我的意思了吧。那等到最后的话，你当然需要多写几个了啊，光有一个角盆盆线不行，你只要两个角盆盆线的焦点就可以确定这样一个内心了， 所以我们现在只需要写一个同理可得，此时 ob 呢，他也是平分谁的平分这个角号 abc 的，其实你也可以多写一个 oc 评分角号 acb。 所以说三个内角的角平线，你说是不是内心，当然这个内心就是点欧，点欧就是内心了，就是这样来写的，一定要清楚啊。画圈部分这个整体他是什么？他是单位方向向亮，剩下就非常简单了，那继续往后看啊。 嗯，那接下来的话有另外一种表示方法，他在考试的时候更加常见。那为什么有这样一种表示方法，他是怎么去证明的呢？现 我们来说一下啊。在证明这个括号二之前，我们先来看一个结论，这个结论很好说， 刚才哈，我们这个位置是什么？是减号，现在呢？括号二就下边注意的这个部分呢，是加号，加号，减号，这可不一样，我还是表示出来，这个就是那个一一，这就是那个一二啊，我已经表示出来了，其实你这个一一 加上一二，你说是什么东西啊？一一加上一二是那个菱形的对角线呀。哦，我有点明白什么意思了。根据平行四边形法则， 实际上现在这个括号里头如果是加法的话，他就相当于栏目的 aj。 哦，懂你的意思了，既然一加一二等于这个 aj 的话，现在你看 aj， 他这条线是不是就在脚盆盆线上？原因很简单，因为菱形的对角 本来就是平分一组内角的，此时这两个角差相等啊，所以说 aj 是平分角 bac 的，也就是说点，这在角盆盆线那条直线上，随着蓝色的变化，不就是这条贡献的意思吗？这条直线肯定会穿过这个内心的，就可以了。 那现在我们就要证明一下这个括号二了啊，这样一个题目啊，他这么说，一只小 a， 小 b， 小 c， 他指的是三条边的长度啊，这个是小 a， 这个是小 b， 这个是小 c， 小 c 指的是 ab 的长度。然后呢，他现在让你证明的是，如果满足这样一个条件啊，那最终点哦，就是内心，这个怎 推着内心呢？别着急，慢慢来啊，我们这样吧，先把谁呢？我们先把这个 c 啊写到单独的一边，也就是说负小 c 乘这个 oc 相量，它是等于 a 倍的 o a 加上必备的 ob 的，这个是等价的啊，跟意志条件。但写成这样子，我并不满意，你左边有一个副号对不对？ 副号就是相反相量的意思，那所以我把这个左边的副号去掉之后，就变成了 co 项链了。那写成这个项链之后，再接下来你想一个问题， cooacoob 啊，有点意思了， 那我左边的话，其实只需要再给他加一个 a 倍的 ceo， 再加一个 b 倍的 ceo。 原来就有一个 ceo 的 ceo 啊，这个不用多说，那现在是不是就变成了 a 倍的？注意啊，你左边加上 a 倍的 ceo， 右边是不是也要加上小 a 倍的 ceo， 所以就变成了 ceo 加上 oa。 同样的，左边是不是加了一个必备的 co， 那右边也得加上一个必备的 co。 那写完这个之后的话，你应该知道什么含义了吧？ 事实上呢，你这个第一个括号里头就是 c a 的意思啊，我大概明白怎么回事了。然后第二个括号里头呢，就是 cb 的意思， cacb cacb 我有点清楚你这个内心不就是一定要穿过脚平衡线的意思吗？ 如果我能够证明谁啊？如果我能够证明这样的点 o 肯定是穿过角平平线，或者说 oz 就是角平平线，那就很简单了。哎，怎么办呢？角平平线，角平平线你得出现谁啊？你 出现单位方向向上，把蓝门的背的那样一个 e 一，再加上一个蓝门的背的 e 二，这个才能说明这条直线经过脚盆盆线。怎么办呢？好说，其实你这个 ca 的摩长是谁？同学们， ca 的摩长他就是 b 啊。哦，懂这个意思了，他的长度呢，应该处于 b， 他的长度呢，应该除一个 a。 那既然如此的话，我还不如左右两边同时除一个什么呢？我还不如左右两边同时除一个 a 乘 b 呢，就可以达到要求了。左边的话咱们就再抄一遍就行啊。除了一个 ab， 然后右边的话就变成了你除了一个 ab 不就变成了 ca 出商 b？ 但是这个 b 我看不顺眼啊，我就直接改成 ca 的长度这样一个意思了。 然后右边的话， cb 他应该除小 a 吧，小 a 他其实就是 cb 的长度，你说这个是不是单位方向项链？单位方向项链的话，我就这样来写了啊，这就是 ca 这样一个项链的单位方向项链，再加上这样一个 cb 方向的单位方向项链。哎， cacb 不妨咱们画出来吧， c a 项链，单位方向项链，他就是这了啊，咱们就写成一一吧，就这个意思，然后还有一个一二单位方向项链，然后 你相加之后是不是角平分线啊？根据这样一个构成的特殊的菱形，肯定是角平分线啊。所以现在我们就可以说 oc 呢， 是平分原来的三角形的内角角 c 的同理吧，你再多写一个同理吗？ oa 是不是平分谁？你如果一开始的时候我们选择的是把 ov 当中领出来，那最后验证的就是 oa 平分三角形的内角角 a 了， 后边其实你不斜也行，因为两个脚平平线已经可以确定谁呀？所以现在呢，两个脚平平线已经可以确定 o 点就是三角形的内心。就证明完了。我们继续来看外心，三角形的外心呢？什么是外心啊？ 外心，外心，外心指的就是三角形外接圆的圆心。那三角形外接圆的圆心是怎么确定的呢？是由三角形三条边的中垂线确定的， 这个非常容易理解，你看，如果说点欧是这样一个外界人员心，那 oubuc 肯定都等于外界人的半径吧。 那既然 ob 等于 oc 的话，你看到两个端点距离相同，点一定在重视线上，所以点 o 在 bc 重视线上。同理啊， oe 等于 oc， 他也在 ac 重视线上，点 o 也在 ab 重视线上，他是一个 y， 就像这样一个性质决定的， 所以你只需要证明，点 og 过 b， c 的重水线，点 o 呢，也过这个 a 的重水线，两个重水线的焦点就行了。 长的结论就是我们后边即将要讲到的挣钱定理，重点不是前头，而是后边这个限量表示。这个限量表示也太直观了吧，这不就是 o a， o b 这三个魔长相当的意思，其实这三个魔长他就是谁呀，就是外救援的半径，然后平方肯定 也相当难，因为平方就等于魔场的平方。这个不用多说，我们直接来看一道题，这个题不太直观，我既然放到了外形的位置，这个题肯定是选四例的，但是考试时候人家不会提示你啊，你还是得想清楚，为什么这样一个玩意呢，他就是 表示穿过外星了，哎，啥意思呢？别着急，第一个啊，第一个啊，第一个入手的地方我知道了，第一个画圈部分，这不就是三角形的中线公式吗？我们看图中啊，假设这个就是点 o o b， o c， 那此时我们假设谁呢？假设这个终点点 d 啊， 他就是 b c， 他的终点。那所以说我们第一个画圈部分，红色画圈部分，实际上就是谁啊？所以啊， od 项量中线公式啊，他就等于二分之 ob， 再加上 oc。 也就是说，原来这个式子呢，我们成功转换成了 op， 等于 od 项链，再加上栏目的背的啊，谁加谁，这个里头我就不抄了啊，太多了。那再继续看吧，我们可以把这个 od 挪过来啊， o p 减去 o d， 它等于蓝不能背的，里头没有变过的啊，还是抄一遍就行了。嗯，那你说 o p 减 o d， o p 减 o d， 它就是 d p 啊，那接下来我越来越有感觉了，它里头的话，现在就可以抄一下了。那写到这之后的话，想一个问题同学们， 你说呀，你在那么多平面相连的基本公式里头，哪个公式里头他是有扣散的？肯定是数量计，这个公式里头，他是等于磨长乘磨长，再乘口散夹角。这个 c 的指的是 a 和 b 的夹角，所以我现在有点清楚了，那还 不如直接成谁呢？你已经有 a b 啦，已经有 a、 c 啦，但是三角形它是有三条变的啊，所以，尤其是根据什么，尤其是根据数量机。看我画蓝色部分啊，蓝色的这个圈啊，强烈的提示我们呢，应该给它点成一个 b、 c 就好了。好，我就成全你啊！此时 d p 左边点成了一个 b c 项链，那右边肯定也得点成一个 b、 c 项链。我们先来看这个分子啊，第一部分，这个分子的话， a b 的摩长乘 b c 的摩长，后边肯定成一个夹角，但这个夹角的话呢，注意 b c 的方向， a b 的方向，他来的夹角可不是角 b 啊，是角 b 的补角。 主角的话，事实上后边就应该等于富的扣三角币。那你现在分子有了分母易除，最后剩下个什么东西啊？剩下一个负号，还剩下一个 b、 c 的膜吧。所以说我们这个柿子呀，再往后边斜，其实第一批 点成 b、 c， 他就等于咱们的背的负的啊，负的 b c 的磨长后边。同样的道理啊，但是此时这个 a c 和 b c 他的夹角是什么？你 a、 c 这个方向和 b c 这个方向，他的夹角就是内角角 c， 所以他后边应该是加上一个 b c 的磨长， bc 的磨长再减去 bc 的磨长，最后等于零。谁等于零？原来 dp 点成 bc 等于零啊，那不就等价于这个 dp 是垂直于 bc 的意思吗？那我现在应该懂你的意思了，看了啊，同学们，现在我再画两个圈点， d 是终点吧， dp 还垂直于 bc 吧。 所以你想啊，随着栏目的变化你说怎么样？所以此时啊 dp 他就是 bc 的中垂线，没有任何问题的。所以说动点点屁，随着栏目的变化肯定会穿过什么心，肯定会穿过外， 因为外心就是中垂线的焦点，所以这个时候我们选四 d 就可以了。那现在我们来看三角形的重心和平面项链重心考察最频繁，三角形三条中线的焦点就是重心，然后重心有个特点啊， 重心呢？他一定，比如说啊，你此是中线的话，点地也是中点， ad 就是中线了吧，然后点也是中点 b e， 还有这个 cf 都是中线，那么如何去证明这样一个？哎，其实好说，我们其实只需要过什么 过点一，做一个平行吧，过点一做完平行的话，比如说你的长度 b 等于二， c 等于二，然后根据相似，因为你这个 e h 是平行于谁的？平行于整个 b c 的， 看这相似吧， a h e 相似于 adc， 所以这个 e h 的长度肯定等于一。不用多说什么 eh 长度等于一的话，那你继续来看刚才 这个三角形用到了吧，相似的话不就得出来这个 h 一比上 b d 等于一比二吧， 那根据上下这两个红色的小三角形呢，是相似的，所以说这个 e g 比上 b g， 他也是一比二的关系。既然都是一比二，那剩下就很简单了，应该理解了吧。第二个结论呢，是三条中线六等分面积。为什么说六等分面积？六等分就指的是图中啊 这六个叉，这六个三角形呢？他面积都是相等的，这个非常简单，你自己等比例转换一下就行啊。我们重点是讲这个重心，他的项链表示 j a， j b 加上 j c 等于零，为什么呢？这个特别容易正反， 这个 g b 加上 j c 就是三角形中向公式，它是等于二倍的 g d 的，这个不用多说什么。然后你想啊， g a 和 g d 方向相反，长度之比是二比一的关系吧， 你加上一个系数二，不就是等于零项链？因为画圈这两部分我是把二涵盖进去的啊。画圈这两部分，这个整体呢，是相反，项链加起来肯定是零项量。但现在我们做一道题，他现在问你，如果满足这个要求，一定穿过什么心，一定穿过重心，为什么呢？ 是这样的啊，我们现在第一部分，第一步，你先把这个 ov 移过来呗， ov 如果移到等号左边，就变成了 ap 相量了，对吧？ ap 相量等于兰博德 v 的 ab， 再加上 a c， 此时我们画一个图，画完这个图以后一目了然啊，你说 a b 加 a c 是什么呀？根据中线公式，实际上它就是等于二倍的 a d， 其中点 d 呢？肯定是什么点？肯定是终点，是终点的话，随着栏目的变化应该理解吧。随着栏目的这样一个正数的变化点 p 肯定是在 ad 这条射线上运动的，所以当咱们的等于几的时候，肯定是等于三分之一的，你可以自己求一下啊，此时点屁呢，他就是重心了。我们继续来看一下垂心。什么是垂心呢？简单来说就是三角形三个高所在的直线的焦点啊，这个点呢，就称为什么心垂心。 那么垂心有一个性质，就是如果是直角三角形，我们看第一个图，他的垂心肯定是在三角形内部的，但如果你遇到的是钝角三角形，此时角 a 显然是个钝角，你看 b e， 他这个高是在外部吧？ cf 这个高呢？也是啊，他是在外部的，延长之后才会有这样一个焦点。 a 指点， 此时钝角三角形的垂心肯定是在三角形的外部，那如果是直角三角形呢？直角三角形你自己画图表示呗。其实啊， ab 是个高，然后 ac 呢，也是个高， 那此时 ad 也是个高，三个高肯定教育什么，教育这个直角顶点，所以直角三角形的垂心肯定在直角顶点上，但是我们主要研究后边这个结论 dnh 如果是垂心的话，封面上的结论就有了吧。那为什么是这样一个结论呢？很好证明，现在不妨我们来证明一下。你看 h a 点 hb， 首先我们把后边这样一个 hb 呢拿过来，拿出来， hb 点成 hc， 你把 hb 啊拎出来，然后括号里头呢，就变成了 ha， 减去 hc， 其实也就是相当于什么？相当于 hb 这样一个项链，点成 ca 项链，它是等于零的，等于零不就代表什么，不就代表 bh， 它是垂直于谁家？就代表 bh， 它就是 垂直于 c 这条边的 bh 所在的直线。哦，那我懂了，所以说 bh 延长之后呢，点 h 肯定是在这样一个以 ac 为底的高上，那同理可得呀， 同理可得，你不仅这个 bh 在高上哦， bh 是高，对吧？然后 ch 呢？也是三角形的高，然后 ah 也是三角形的高，三个高的焦点。所以这个时候我们直接说是锤心不就结束了吗？那现在看最后一道题啊。最后一道题更奇怪，他后边好像跟前头还是有点相似的， 但是他不是二分之十加谁，他是这个 oa。 显然我们把 oa 移到左边来。移到左边来之后呢？那直接就变成了什么了？直接就变成了 ap 了。这个不用多说什么啊，后边的话抄一遍，抄完这一遍以后的话，你看后边吗？强烈提醒你，得点成一个 bc 吧。原因之前那道题也说过了，所以我们左右两 左边呢，点成一下 bc， 右边每一部分也得点成一下 bc， 对吧？点成 bc， 然后点成 bc， 一样的道理啊。 你说 ab 和 bc， 他的夹角是角 b 吗？不是，他是角 b 的补角，所以会有一个负号产生声，这个里头最终销量是负的 bc 的魔长，这没什么可说的。 后边的话你继续来看啊， a c 和 b c 这两个项链，它的夹角就是角 c 吗？就是角 c， 所以是正的。 b c 的磨长最后啊，等于零，两个项链点成等于零啊，所以相当于这两个项链是什么关系啊？是互相垂直的关系， 那相当于平面里头 a p 是垂直于 b c 的。其实得出来这样一个结论以后，我们就直接可以说点 p 啊，当这个难不得等于某一个特殊的证书的时候，点 p 肯定是穿过什么新的， 肯定是穿过三角形的。垂心的应该理解了吧，因为此时 ab 所在的直线就是垂直于 bc， ab 如果延长之后的话，那不就是 bc 的高吗？三个高的焦点就是垂心。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下集课再见。