济南八上数学几何压轴题

各位同学大家好啊，我是张师，今天给大伙讲讲这个二零二四一月份高新区八年级上学期数学这个期末考试真题，这个压轴题的倒数第二个二十五题啊。 好了，一次函数的废话不多说，公式开始综合与探究。如图，一直直线 l， y 等于它过这个负二零和四零，带进去，带进去啊，这个解析式就出来了。 带进去，带进去之后，这个解析式的第一位，它是 y 等于二分之一， x 加这个一啊，第一位出来了啊，在第二位，若直线 y 等于负 a 加四，原交于 b 点啊，这个这个写上，这是 y 等于负 x 加四，这个 b 就是 四了，好了吗？这个 l 是 y， 等于二分之一， x 加二，这个 a 是 个反啊。 然后你焦点到 c 了，这两个一连 d， c 不 就出来了吗？这两个一连 d， c 是 个二六二好吗？他第二位求的是这个 abc 的 面积底，这不六高，这不二六乘二乘二，这不六，这不送一个吗？ 这前两问都太简单。嗯，不像写过程啊，没什么好说的，太弱了啊。再继续，这个在直线 l 上是否存在一点皮啊？这个顶上划一下子啊， 这个 l 长，然后有个 p， 是 吧？然后使得这个 abp 的 面积， abp 的 面积是 abc 的 一半， abp 的 面积是 abc 的 这个一半的话，对吧？然后呢，很明显 很明显这个底是一样的，面积是一半，那高就一半了，那高就是一半了啊。所以这个高是一半的话，这个 c 的 高是个二啊，所以这个 abp 的 高就一嘛。 abp 的 高就是一啊，好了吗？ abp 的 高是个一啊， 高是个一的话，这个直线不也得二零加一了吗？正好这不是那个一了吗？这不 abp 正好底一样 高是一半，面积是一半，对吧？只不过是么呢？ p 可以 在 abp 朝上，是不是？ abp 可以 朝下， 所以那个 p 的 纵不就是个负一了吗？负一再带过来是个代替这个负四，所以 p 一 是个零豆一啊， p 二是个负四豆一，这不两种情况啊。好了，前面这三个小问就很简单，来，第四个啊。 好奇心强的小李同学深入探讨直线 bc 上是否存在一个 m， 使它 abm 为等腰直角三角形啊？等腰直角三角形，然后 这个富有热心肠的你帮小李写出这个，这个直接写出 m 的 坐标来，是吧？然后这个 a， 这不是个负二吗？对吧？ b 是 个四，这个洞洞，然后呢？这个 m， 这不在这个 bc 上吗？ m 在 这个 bc 上啊，在 bc 上，然后这个直线，这不是 y 等于负 x 加四，所以这是个四十五度啊，好了吗？ abm 往下是不可能了， abm 往下，这是个一三五，不能出现九十了，是吧？要不然 abm 这个样， abm 这个样，是吧？ m 点横是个负二负二，再个负的负二是个六，所以 m 点坐标是个负二都六，这不第一种情况可以啊。第二种，第二种情况就是这样做垂直， 这样做垂直，这是个等腰直啊，对不对？然后这样做下来，这是个等腰直，这是等腰直，这是终点啊。所以负二和四的中间就负二加错，这不一了吗？所以 m 另外一个做法是一斗 带进去带一，这不三吗？所以是一斗三一个，负二斗六一个，很简单，处理完毕啊。

各位同学，大家好啊，我是僵尸，今天给大家讲讲这个高新区二零二四年一月份八年级数学上学期的数学期末二、真题，今天给大家讲讲压轴最后一个二六题，几何压轴啊！ 好了，开始在学习全等三角形知识数学新小组发型模型，它是由两个共顶点的共顶点且顶角相等构成的啊，手拉手嘛，手拉手，上课已经数了无数遍了啊！ 来，第一个，如图一，两个等角三角形， a b c 和 a d c a d c a 得等 e 是 吧？这两个顶角还是相等的， 相等的是吧？然后呢？如，如果把小等腰的两个腰长看作手大等腰大手，是吧？这不小手拉大手啊！手拉手啊，这，这个 a b 的 划一下啊，这个 a b 的 这个三角形，这个三角形很明显它是和这个三角形， 这不全能吗？这不小手二法加公共角，这不大手，这不小手公共角加二法，这不大手， s a s s a s 全能的啊！所以这个三角形 a 写对应了啊， a e c 写对应了啊！此时这个彼得和 c c 一 数量关系，全能吗？下等 第一位处理完毕啊！来，第二位，入团，两个等腰直角三角形，两个等腰直啊，这个等腰直。 然后 ab 等于 ac， a e 等于 a， 得，这九十度啊！九十度连接一下，比得和这个 a e 判断一下，比得和 a e 的 数量关系和这个位置关系啊。然后，你这不那个小手， 这不拉大手，这不那个等下，这不这个三角形了吗？对不对？这不小手公共电，这不大手， 这不小手九十度拱角大手，小手拱角九十大手， s a s s a s， 这不全等了吗？全等之后，这个彼得和 c、 e 它们的数量关系不是相等了吗？对不对？未知关系啊，未知关系， 位置关系的话，这个比特，这不黑二是吧？ c 一， 这不是黑二啊，黑二。因为刚才的那个两个全等，所以这个角不等这个角了吗？对不对？然后看这个 两个三角形，我上课说过，手拉手完了立刻跟八到角这两个角相等，对顶相等，所以这个角跟这个角，这是个等角值。题目告诉你的，这是个九十，所以这是个九十，所以垂直关系前两问处理完毕啊， 来吧。第三题，如图三 abc 完成。以 abac 为边往外做等边啊。以 abac 为边往外做这个等边啊，做等边。 这是个得，这是个等边啊，这是个边。然后再以这个 a、 c 往外做，等边啊，做等边。 a、 c、 e 也是个等边啊，然后连接这个 b、 e， 连接这个 b、 e 和这个 c 得， 它们相交于这个 p 点来，并直接写出这个 b、 e 和 c 的 数量关系，这个数量关系相等不？刚才不 s、 a、 s、 s 不 说多少遍了，不说了啊，以及这个 p、 b、 p、 b、 c 这个角啊， pvc 这个角和这个 pcb 这个角啊，这个角，它俩的夹合是多少，是吧？对吧？因为刚才那个 s、 a、 s 的 全等啊，刚才那个全等，所以这个这个角， 这个角不等于这个角了吗？对不对？我说过，整完全等之后，立刻要玩八字倒角，玩八字倒角 这两三行啊，这有个对顶，这个像你这个，所以这个角等于这个角，这是个等边六十，所以这角也是个六十，这不外角吗？二号的北塔，这不外角六十等于三了吗？所以他俩加起来这不外角这不六十吗？处理完毕啊？

各位同学大家好，我们来看一下本次月考的最后一道压轴题啊。嗯，这两天问的人比较多啊，因为我这两天感冒嗓子不舒服，所以讲的稍微晚了一点，那么接下来我们来看这个题。首先原题当中告诉我们，第一问说这个角它等于六十度， 这个大的角 c 等于九十度，那么这个时候我们能够推出角 b， 它是不等于三十度，对吧？接下来的时候 这个 c d 它平分这个角 a c e， 也就说我们能够得出这两个角它各自等于多少？等于四十五度，对吧？角一和角二相等啊，这个图画的已经比较看不清，接下来 他问大家这三个线段之间的数量关系是什么？那我们上课的时候给大家讲过了，但凡出现三个啊，这个线段之间的数量关系，在初二上册的话，就是最长的这个边等于另外两个边，两个边的和，对吧？所以第一问的结论他就是 bc， 他 等于谁？等于 ac 加上 ad 啊？那这个时候如何来进行证明？他第一问当中也给大家了，他说在啊，小明的解析思路是 怎么样在这上面截取啊？截取这两个边的长度线是相等，我们拿蓝颜色进行替换一下啊。首先 a c 他 和 a e 的 长度线是相等，对吧？那么接下来下一步 他说可以证明这两个三角形全等，那全等的理由也非常简单，那这两个边相等，角一它是不是等于角二，加上中间还有一个共边啊？所以这两个角它对应的是不是等于角 a 相等，是不是等于六十度？ 那角 b 有， 刚才我们第一问的过程当中说了它等于三十度，那所以根据三角形的外角能够推出角 e、 d、 b， 它是不也等于三十度？那么这个时候我们能够推出什么东西啊？ 这个小的三角形，它是一个等腰三角形啊，也就说这两个边的长度，它现在是相等，那整个 d、 e 它是不还和 a、 d 相等，对吧？那这个时候你自己来看一下整个的 bc， 它是由蓝线和红线共同构成的， 那这个时候蓝线和蓝线相等，红线和红线相等啊，当然这个里面的蓝线不包括中间这个公边 c、 d 啊，这是我们刚才 所画的，所以第一个我们非常轻松的能够证明 bc 它是不是等于谁？ c， e 加上 b e， 对 吧？那这个时候它是不是可以被转化成 a、 c 加上 a、 d， 所以 第一个我们就证明结束。 那总结起来，第一步就四个字，什么呀？截长补短，对吧？啊？这我们上课讲过的典型例子，截长补短。 那么接下来我们来看第二步。第二步他说在图三的过程当中，点 e 是 整个 b、 c 边的中点啊，这里面点 e 是 个非常特殊的点，是个中点，接下来又有平分产生啊，这里面又有 啊，这个角一它和角二相等，然后这边多了个九十度啊，然后问你解决一下他们三者之间的数量关系，那你大胆猜测一下，这里面的数量关系仍然是最长的 a、 d， 它是不等于 ab 加上 c、 d 吧，对吧？如果我们基础差一点的同学啊，三班或者四班的同学，就你平时考啊七十多甚至七分以下的人，你只要记住我们当时所讲的截长不短的结论，这个 这一步你是能够拿到分数啊，因为可多同学也就证明不了你。像第三题可能学习非常好的一百零几的人，他可能做起来也比较困难，所以我们在这一步就可以和其他人把分数进一步的差距缩小。那接下来我们来看如何来证明？我们先讲 这个截长不短吧，老师当时讲了，截长的话，你尽可能去截长，对吧？那怎么去截呀？我们在最长的边 a d 上来进行截取，比方说现在他是 b 片了，那这个时候我们把谁啊？ b e 连接一下，那这个时候这两个三角形它很明显会出现全等，对吧？全等的理由是什么？我刚才说了，我的 ab 它是不等于 ab 片，角一它是不等于角二，再加这块有个共边，所以这两个三角形它会全等。那么全等结束之后， 我们只需要再一次换一下思路，证明这两个三角形全等，它是不就可以了？那么刚才说了， b e 它是什么东西啊？ 啊？它和 c e 它是相等，因为点 e 是 终点，对吧？ bc 的 终点，所以 b e 的 长度它会和 b 撇 e 的 长度相等，那这个时候它是不是也等于 e c 了？那再加上这个公边啊？ d e， 所以 我们只需要凑一个条件，凑哪个条件？凑这个角三，它等于这块的角四，它是不就可以？ 那角三为什么等于角四呀？我们来看一下，我们刚才说了，这两个三角形全等的话，这块的角五会和这个角六什么关系？他俩是不会对应相等，对吧？而原来的题当中告诉我们，这个角 a e、 d 它等于九十度，也就是说角三加上角六它等于九十度， 那这个时候还能得出来角五加上角四，它是不也等于九十度，对吧？那这个时候 角五和谁是相等？他和角六是相等，那么角三自然而然就对应的和角四他是不是相等了，这叫什么呀？这叫等角的与角相等。那么这个时候我们来看一下边角边五是不是就可以证明这两个三角形它是不是全等，对吧？啊？那两个三角形我拿荧光笔画一下啊，是不这个三角形它和这个三角形全等， 那么这个时候我们来看一下最长的 a、 d 他 是不是等于这段，对吧？那这段和谁相等？是不和他相等？ 那这一段是不和它相等，那这个时候我们就可以证明刚才所猜的结论， a、 d 它就等于这两个边的和，对吧？这是一种办法。那么这个讲完之后我们再来说一下啊，我们当时上课还讲过什么东西，还讲过被长中线啊？因为点 e 它是个终点，这里面就有可能会牵扯到被长中线，那这个时候怎么办？我们来看一下 倍长中线，我们当时说的结论很简单，我只需要把 a e 怎么样延长出来，对吧？到哪里到？比方说我们现在所说的 a e 撇这个位置上，然后连接一下这个 c a e 撇就可以。 那这个时候你自己来看一下这两个边它怎么样？是不是相等？那点 e 作为中点，这两个边它是不是也相等？再加这个对顶角，这两个三角形它是不是就全等？所以整个 这个 ab 的 长啊？我们换个颜色， ab 的 长，它是不是就会等于 c a 撇的长，对吧？那这个时候我们来再来看一下。原题当中还告诉我们，这刚才我们所说的角一等于角二，我说没用到。那刚才三角形全等的时候，角一和这个角三它是不是相等？那这个时候角二就和角三相等， 对吧？那角二和角三相等之后，这一块不是还有个九十度吗？刚才我们是延长 a e 至 a e 撇，那所以这边是不是也有个九十度？那再加上中间这个公共边的话，所以这两个大的三角形它也会产生全等啊，哪个三角形是不？这个蓝颜色的三角形， 对吧？它是不会和背靠背的这个绿颜色的三角形它是不会产生全等。能看明白，那这个时候产生全等之后，我们你看一下 a d 它的长度 他等于谁？他是不等于 d a 撇，那是不等于 c d 加上 c a 撇， c a 撇的长度和 b a 的 长度相等啊。这个时候第二位也可以用这种思路去做啊，这是整个调。 那么接下来我们来看一下难易程度最大的第三位啊，第三位你就记住，这就典型的数学考试题，你前面两份用了接长不短，那这这一份仍然用的是接长不短，那接下来我们来看一下，他告诉大家说 角 a 等于六十啊，各位同学你要好好听啊，这个你就记住，绝大多数人他是做不了的，那你想一想，我做不了的情况下，我怎么能够多拿分，这是最关键。然后这个边的长度他等于一百三啊，这个同学在旁边已经写出来，接下来又告诉你说 这是个角平分，这也是个角平分，对吧？它俩分别是大小 b 和大小 c 的 角平分。那这个时候各位这是不是有我们上课所讲过非常典型的双角平分线模型，也就是说我就不会做，我也能够推出这个角 c p b， 它等于多少？是不是等于一百二十度，对吧？你自己简单的把过程整理一下， 它就能够拿到分数啊，因为其他人都写不了了，你但凡写了，它都会给你分数。那么接下来 他说整个 b m 的 长度等于八十啊，这个边的长度等于八十， c n 的 长度等于十五。接着告诉你说啊，需要，呃弄一个什么步道啊？ m n， 并且满足点， p 是 m n 的 重点，那就这两段的长度，它俩是相等，对吧？那这个时候问你说 求 m 的 长度，那求 m 的 长度，我只需要求出其中任意一个不倒的长度，它是不就可以了？那这个时候和刚才一样啊，我们看一下新得出来这个一百二十度怎么用啊？以及刚才我们所说的这些什么一百三呀，十五呀，八十呀，这些东西到底怎么样？ 那方法和刚才一样，我们前面用了截长不短，那这块是不是同样用截长不短，那这个时候怎么办？我们在你看 这一块呢，我们把它标作角一吧。啊，这个标作角二，角一和角二它是相等，那中间又有个公边，那和上面一样，我在这上面可以截取个什么东西 啊？这个笔不太好画了啊，因为比较比较小，图比较小，我在整个 bc 上截取一个 c n 撇的长度，它和 c n 的 长度相等，那这个时候我连接一下这个 p n， 那 各位同学，我先问一下你 这个蓝颜色的三角形啊，和这个绿颜色的三角形，他俩会不会出现全等？明显会。为什么这两个边的长度相等是我自己截出来，角一等于角，二是题当中有的，以及这个我们边线有，那么这个时候 这个边和这个边长度是不就相等，对吧？也就说那个十五可以转移到这来啊？那各位同学，这个时候这段的长度它是不就等于十五？那同样道理，底下照猫画虎。再来一遍，我在这个 b c 上再截一个，谁啊？再截一段， 再截一段，这个 b m 撇的长度它和 b m 的 长度相等，再把它连接起来。那各位同学一样的道理， 底下这个绿颜色的三角形，他是不是同样和这个蓝颜色的三角形，他也会产生全等？全等？理由继续啊？这两个边是我们截截出来 这两个角相等是题当中告诉的，这是不是还有个共边，所以这两个三角形也全等，那么这个时候 这段的长度他是不就等于八十了？能看明白，那一百三减，八十减十五，我是不能够得出这段长度，对吧？相当于一百三减个多少啊？九十五，对吧？那么这个时候我们能够得出中间的长度，它等于多少？是不等于三十五？ 能听明白，那有的人可能会说，那老师你刚所得到的这个一百二十度咋用？你刚不是说这个大的角它等于一百二十度，那各位，这个时候关键点就来了，你看下，既然证明三角形的全等，那这个时候这个角和谁是相等？是不和这个角它是相等，对吧？或者看这 更厉害一点的办法，这一块的角五它是不会产生相等，那同样道理， 角六它是不等于这块的角七吧，对吧？这个角七指的哪个角啊？可能看不清了，指的是这个角和这个角七它是不相等，那这个数角六加角七，角四加角六，在这个三角形当中，它是不等于一百二十度。那同样道理， 角五加上角七，这两个角是不等于一百二十度，所以这块他会有六十度产生，对吧？那刚才说了这两个边相等，那这两个边他是不是也相等？那再加这个六十度之后，我们现在所新构造的这个三角形，荧光色的三角形，他是不就会是一个等边三角形？ 各位同学能听明白，那它既然是个等边函数，这两个变量是不各自等于三十五，那三十五加三十五等于七十，也就是说 m n 的 长度它等于七十。这题就结束了啊，其实非常简单的，截长不等我们就可以解决，这也就是升学考试题当中属于 比较常见的所谓的亚洲题吧。啊，只不过这个时候放在初二，对大家来说难度稍微大一点。 好了，各位同学，这个题我就讲到这啊，总体来说还是稍微带一些难度，但是如果你把我们上课所讲的接长不短啊，背长、中线这些常见的辅助线，有时候听明白，做这些题对你来说也不会特别难。 好了，各位同学，因为嗓子原因啊，你看今天的视频当中，可能听的大家没有那么仔细啊，你结合视频自己多听一听，多看一看。好了，这个题我就讲解到这，各位同学再见。

八上数学压轴系列之求线段长度第一题如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b， a、 c 等于九十度，这里是一个直角， b、 c 的 垂直平分线，交 c， a 的 延长线于点 e 相当于 d， e 是 bc 边的垂直平分线，这里是个直角，这两条线段分别相等， a、 c 等于二， bc 等于二倍的根号 角 b， a、 e 的 平分线，交 d， e 于点 m， 也就是 am 是 这个角的平分线。这里同学们注意一个细节啊，这里是一个直角，那 am 是 它的角平分线，所以这里我们应该把这个四十五度角给它标出来啊，因为这里是个特殊角， 求线段 am 的 长度。同学们可以暂停视频思考一下。这是一道八上数学的几何题，那在八年级上学期，我们要想求一条线段的长度，那最常见的方法要么是勾股， 要么就是通过三角形全等实现一些线段的转化。如果是初三同学来做这道题，那么就会简单很多，因为到了初三，我们还会学一个新的几何关系，叫做相似。 但是现在对我们初二的同学还没有学过相似，大概率就要从勾股或者说全等这些方向来入手。思考这个问题，具体怎么办呢？当然我们还是要来看条件啊。首先告诉我们，这里是一个直角， 这条线段和这条线的长度有都知道，所以根据勾股定律，我们不妨来把 ab 边算一下。这个计算也很简单， bc 的 平方 减去 a、 c 的 平方就等于 a、 b 的 平方，所以算出来线段 a、 b 的 长度应该等于四。我们标记一下啊，通过这个条件和这个条件可以得到线段 a、 b 的 长度等于四。 继续看，通过这个条件，我们又能知道 d、 e 是 这条边的垂直平分线吧。所以根据垂直平分线的性质连接 b、 e， 于是就得到了一个等幺三角形 b、 e、 c。 因为线段垂直平分线上的点到这个线段两个端点的距离相等，考虑到这里又是一个直角，通过等腰三角形三线合一，我们知道这俩角也是相等的。到了这里呢，我们似乎又找到了一些新的线索， 同学们把目光聚焦到直角三角形 b、 a、 e 当中。在这个直角三角形当中，我们知道 a、 b 的 长度是等于四的。假设我们把线段 a、 e 设为 x 的 话，那么 ec 就是 x 加二，所以 b、 e 也是 x 加二。 利用勾股定律，我们又能建立新的方程，把这两条线段都给它算出来吧。这里的过程我大致写一下啊，在 r t 三角形 a、 b、 e 中， a、 e 的 平方加上 a、 b 的 平方，它是等于 b、 e 的 平方， 也就是 x 方加四的平方等于 x 加二的平方。那解一下这个方程就能算出来， x 是 等于三，那 x 等于三，也就意味着 a、 e 等于三， b、 e 等于五。 但是我们现在要求的是线段 am 的 长度，感觉求出来的这些结论并不能直接解决我们这个问题吧。 同学们看，还有一个条件，到现在还没有用上线段 am 作为角平分线，应该怎么用呢？上课的时候，老师一定跟你们讲过，遇到角平分线，我们一定要想到往这个角的两边做垂线吧。所以下面我们来过 m 点，分别往这个角的两边画垂线， 这里记作 p， 这里记作 q。 同学们看，这里是一个四十五度角，也就是说这个小三角形 m q a， 它是一个等腰直角三角形吧。 等腰直角三角形三面的关系是一比一，比根号二，对不对？所以如果我们能够算出 a q 或者 m q 的 长度，那 am 的 长度也就出来了。 到这里，似乎我们有了一些新的方向，假设我们能够算出这条线段或者这条线段的长度，那么这个 am 就 能求啊。这里写一下 am， 它是等于根号二倍的 m q， m q 的 长度，怎么求呢？ 同学们还记得前面我们提到过，这个角和这个角也相等吧，也就是说 m e， 它也是一条角平分线。哎， 那既然它也是角平分线，我们干脆过 m 点再来做 a b 边的垂线交点，即为 n。 根据角平分线的性质， mp m q m n 这三条线段应该分别相等。 那么有了这一组等量关系，那接下来我们要想求这个 m q 的 长度，实际上就已经有了思路啊。同学们看，我只要再来连一条辅助线，那么接下来这个 m q 的 长度就可以求了。哪一条辅助线呢？ 连接 b m 这个求线段 m q 长度的方法也非常重要啊，叫做面积法。同学们看，三角形 a、 b、 e 是 一个直角三角形吧， ab 边等于四， a 一 边等于三，所以这个直角三角形的面积我们是可以求的。那现在这个三角形 a、 b e 是 不是恰好被分成了三个小的三角形啊？ 同学们看，这个三角形 a、 b、 e 是 不是可以写成这个小三角形？加上这个小三角形，再加上这个小三角形的面积， s 三角形 a， b， e， 它是等于 s 三角形 a m， e， 再加 s 三角形 a， b m， 再加 s 三角形 b e m， 那 这个三角形的面积，它是等于二分之一倍的 ab 乘 a e， 那 就是四乘三。 那 s 三角形 a m， e， 它可以写成二分之一倍的三，再乘以 m q， 那 三角形 a、 b， m 的 面积呢？又可以写成二分之一倍的 四，乘以 m p， 三角形 b e， m 的 面积又可以写成 二分之一，乘以五，乘以 m n， 这三条线段的长度是不是相等啊？最终我们就能算出这个线段 m q 的 长度，它就等于一， 那 m q 等于一，要求的这个 a m 就 等于根号二。那到这里，我们就把这道题给它说清楚了啊。在我刚才解题的这个思路当中，最关键的一个部分就是把这个线段 a m 的 长度转化成了求线段 m q 的 长度。那这个 m q 是 怎么求的呢？ 是通过发现这里是一个角平分线，这里也是一个角平分线。于是我们想到了利用面积法，可以把三角形 a、 b、 e 分 割成三个小三角形，然后通过三角形面积的转换，最终就能求出线段 m q 的 长度。 所以这个面积法求线段的长度，同学们也需要重点给他掌握啊。往往在一些比较复杂的问题当中，这个解题思路还是非常重要的。 ok， 那 这道题我们就说清楚了，同学们花点时间消化一下第二题。在三角形 a、 b c 当中，角 b a c 等于九十度，这里是一个直角， a b 等于 b d， a， e 等于 c d， 这两条绿色线段也相等过点， e 作 e、 f 垂直， a、 d 这两条线段垂直，若 b、 f 等于二， a、 c 等于八，求 d、 f 的 长度，求这条黄色线段的长度。大家可以暂停视频 先思考一会。首先我们还是来探索一下题干当中的条件， a、 b 和 b、 d 相等，那根据等边对等角，所以这个角和这个角相等，我把它们都记作圈角。再看角， b、 a、 c 等于九十度， a、 d 和 e、 f 又垂直， 所以这个角加它等于九十度，那这个角加它也等于九十度，也就相当于告诉我们，这个角和这个角它们也是相等的啊，我把它们都记作角， e 角一加角圈等于九十度，所以这个角也是圈角。通过这三组条件大概能够得到这样的一些新的发现啊，这俩角相等，这三个角分别相等。 继续看， a、 e 等于 c， d， b、 f 等于二， a、 c 等于八。同学们有没有发现剩下的这些条件我们想要使用起来总是觉得非常的别扭，因为这些条件它们都是分散的， 比如说前面我们看到 b、 a 和 b、 d 相等，那么这两条线段是不是共一个顶点，所以通过这两条线段相等，就能得到这两个角相等，还能知道这是一个等腰三角形，那这样的条件用起来它就是比较顺畅的，但是它现在给你 a、 e 和 c、 d 相等， 这两条线段呢，就感觉非常的割裂，并且这个 b、 f 等于二，在这里 a、 c 等于八，在这里感觉也是非常割裂的存在。这些条件对于我们想要求出这个线段 d、 f 的 长度，感觉都没有什么太大的帮助，那这里就是我们这道题当中的第一个难点， 同学们在做几何题的时候，如果发现了一些条件非常的割裂，非常的分散，那么我们就要想办法把这些分散的条件尽可能的集中到一起， 只有当你把分散的条件想办法整合到一起，那么接下来他才能够创造出一些新的解析方向。比如说这道题，我们来看看如何把刚才这些分散的条件整合到一起，这个就是我们这道题非常核心的一个思路，构造三角形全等， 我们往往通过构造三角形全等就能实现这些线段的转化。比如说在这道题当中，同学们看这两条线段相等，那么在这道题当中，我们大概率是要通过这两条边来构造三角形全等。 同学们看，我们可以把 ab 边延长，再把 ef 延长，焦点可以记作 m 点， 角一加圈角等于九十度，这里是九十度，这个又是圈角，所以这个角实际上它也是角一，这个角是不是也是角一啊？对，零角相等，所以这里也是角一，这里是角一，这里是角一 等角对等边，那这样我们就得到了 b f 和 b m 相等的吧，哦，也就是说这里的线段 b m 呢？它也等二。看这个就是当我们做出了 合理的这个辅助线，那接下来往往就是一顺百顺啊，我们通过刚才的这个辅助线的方法，又实现了这两条线段的转化，那现在我们再来看看我们想要求的这个问题，最终我们想求的是线段 d f 的 长度吧， d f 有 了，假如我们能够算出 b d 是 不是就能得到 f d 啊？那 b d 又和 ab 相等， 如果能算出 ab 的 长度，那么这个问题最终也就解决了。如果同学们能够想到这一步，那么这个问题那基本上就已经解决三分之二了。同学们，看， a、 c 等于八，我们到现在还没用到吧， 那这里等于二，那么这个时候我们完全可以大胆的猜想，这个 a、 c 边大概率是和我们的这个 am 相等的八。所以接下来我们还要再来构造一个三角形，来实现 a、 c 和 am 的 转化。 am 是 这个直角三角形的一条直角边，所以接下来我们需要以 ac 为直角边来构造一个直角三角形。这个辅助线的方向就应该是延长 ad， 再过 c 点做 ac 边的垂线， 这里是一个直角的交点呢，我们把它记作 q 点。同学们，看，我们构造的这个直角三角形 ac、 q 和直角三角形 m、 a、 e 是 不是一定圈的啊？这个证明方法也非常简单，这里是圈角，那对顶角相等，这个角 也是圈角，我们又知道角一加，圈角等于九十度，所以这个角呢，也是圈角，这个圈这个圈等角对等边，所以 c、 d 和 c、 q 是 相等的吧，这条边和这条边相等， 这个角和这个角相等，这个角和这个角也相等，所以这个三角形和这个三角形当然是全等的呀，这里我们写一下啊。 最终我们得到了三角形 a、 m、 e 全等于三角形 c， a、 q。 通过这俩三角形全等，我们就实现了 a、 c 和 am 的 转化，它们是相等的啊，等于八， 那 ab 不 就等于六吗？ ab 等于六， b、 d 也就等于六 b f， 我 们又知道它是等于二的，所以最终要求的这个 f d 呢，它的长度就应该等于四。 ok， 那 这样我们就把这道题说清楚了。坦白说，这道题还是相当巧妙的一道题，而且难度也是比较大的。 那么他的核心思路呢？是通过构造三角形圈等实现线段的转化，最终求出了我们要解决的这个问题。 ok， 那 这样的话，我们把求线段长度的这两道题就都给同学们说清楚了啊。 这两道题的整体难度都是比较大的，所以同学们务必要花点时间消化一下。最后给大家留了一道课后练习，同学们可以把自己的答案留在评论区，拜拜。

我们一起来看这道题，这是一道关于正形性质探索的题目，我们要结合全等三角形的判定和性质去看， 综合于探索，用全等三角形研究正形定义。如图，四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 等于 a、 d、 c、 b 等于 c、 d。 我 们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做正形。第一问，性质探索。通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对图一的正形 a、 b、 c、 d， a、 b 等于 a、 d， b、 c 等于 c、 d 的 性质进行研究。一、 a、 b 平行于 c、 d。 二、 a， c 等于 b、 d。 三、 a、 c 垂直平分 b、 d。 四、 a、 c 平分角 b、 a、 d 和角 b、 c、 d。 五角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c。 当中一定正确的有填序号。 首先第一个题我们先来分析一下，那对于这个题来说，我们其实就是要用这个已知去看从一到五这五个性质哪个存在好。我们看第一个，它要判断的是平行，那平行的话我们要找角的关系 好。第二个判断的是 a、 c 等于 b、 d， 它判断的是相等，判断的是边相等， 那我们就要看一下能否进行等量再换。好。第三个判断的是垂直平分线，垂直平分，那现在我们要判断什么？ 他问的是 a、 c 垂直平分 b、 d。 那 首先我们要找一个九十度的角，先去证明垂直，然后再去证明平分，那平分的话就是比如说这里是一点 o 就是 b， o 等于 o、 d， 那 对于垂直平分线来说，它还有什么样的性质？垂直平分线上我们去找一个点，这个点它到两端的距离相等， 所以我们就可以转换一下，我们去可不可以去找一下这个两端距离是相等的，那通过这个两端距离相等这个条件去反过来判定它是垂直平分线也是可以的。好，那第四个我们要找的是角平分线， 这个角平分线是谁呢？是 a、 c， 它平分角 b， a、 d 和角 b、 c、 d。 好。 找角平分线的话，我们可以去找角相等， 还是去找角和角的关系啊？第五个判断角和角是相等的，那第五个呢？我们可以去通过三角形，它全等 去判定角和角是相等的，那现在呢，就是从一到五这些性质我们怎么去判定好？我们先来看一下这里第一个题解。首先第一个性质 和第二个性质，我们可以把它放在一起看， ab 它平行于 cd， 因为在这里呢，我们不知道任何的角是相等的，所以第一个我们没有办法去判定。那第二个我们只知道 ab 等于 ad， 那 c、 b 呢？等于 c d， 那 a c 和 b d 这两个最小线，我们是没有办法判定它是全等的。好，第二个也是错误的，那我们直接可以去写一下一和二，它不一定成立， 因为我们现在没有足够的条件去证明他可能会有一些特殊情况下成立，但在这个题里面他是不成立的，在这个图形当中不成立，所以我们说他不一定成立。好，我们再来看一下第三个。第三个呢，我们要判断他是垂直平分线。好，因为这里因为 ab 它是等于 a、 d 的， 并且 bc 它等于 cd， 所以 我们就可以得到这个 a、 c， 它垂直 并且平分 b、 d。 因为现在我们去看 ab 等于 ad 的 时候，我们可以把 a 点看成垂直平分线上的一点，它到两个端点的距离是相等的， 那我们去看这个 bc 等于 cd 的 时候，我们把这个 c 点看成垂直平分线上的一点，它到 b 点和 d 点距离是一样的，那我们看一下，是不是就说明这个 a、 c 垂直平分于 b、 d 啊？好，那三是正确的， 三正确，我们再来看第四个，第四个呢，我们现在要求角平分线，根据我们刚才说的，我们可以去找什么，我们可以去找三角形全等。好，那现在我们看一下，在 三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 c 当中，我们可以得到哪些对应相等的关系呢？首先是这个 a、 b， 它对应等于 a、 d 以及 b、 c， 它对应等于 c、 d。 还有一条是中间的这个 a、 c、 a、 c， 它是一个公共边，所以获得三角形 a、 b、 c。 全等于三角形 a、 d、 c。 那我们应用的是 s、 s、 s 去证明的。好，那现在我们就可以得到对应角角 b、 a、 c， 它等于角 d， a、 c。 好 b， a、 c， 这个角等于角 d， a、 c。 这个角就说明现在 a、 c。 它平分角 b、 a、 d， 并且可以得到角 b、 c， a。 等于角 d， c， a。 好 b、 c， a， 这个角它等于角 d， c， a。 等于这个角，说明 a、 c。 它平分角 b、 c、 d。 好， 那现在我们就可以说明，所以 a、 c， 它平分角 b、 a、 d 和这个角 b、 c、 d。 好，那现在四是正确的，我们再来看五五，说的是 a、 b、 c， a， b、 c， 这个角它等于角 a、 d、 c， 那 我们通过这个三角形圈头是不是也可以得到这一点呀？好，那这里我们可以写一下。五正确。 好，那现在我们看正确的有谁，正确的有三、四、五，我们把三、四、五序号填上就可以了。我们来看一下第二问，第二问是性质应用，如图二，在正形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 b， c， a、 d 等于 c、 d。 点 p 是 对角线， b、 d 上一点 过点 p 分 别做 a、 d、 c、 d。 垂线垂足分别为点 m、 n， 求证四边形 pm， d， n 是 正形。好，第二问，我们还是先来分析一下。 那我们现在如果去求证它是一个正形的话，那我们就要在这个四边形当中去看一下它相邻的这两组邻边它是不是相等的，那也就说这个 m、 d 它是不是等于 e、 n， 以及这个 m、 p， 它是不是等于 n、 p， 我 们通过去求证这两组邻边相等，然后去求证它是正形就可以了。那现在我们去求证边相等，我们可以通过什么去求证呢？通过这个三角形它全等。好，我们来看一下 第二个题，证明好，首先我们来看一下在大的这个菱形 a、 b、 c、 d 当中， 我们可以得到三角形 a、 b、 d， 它全等于三角形 c、 b、 d。 这是我们在第一文当中已经证明过的，所以我们就可以得到角 a、 d、 b， 它等于角 c、 d、 b。 好， 我们看 a、 d， b 等于角 c、 d、 b 这两个角它是相等的。哦，那现在这两个角相等的话，所以我们就可以得到这个 b、 d、 b、 d 为角平分线， 那角平分线上的点到两边的距离是相等的，所以我们就可以得到 pm， 它等于 pm 哦， pm 等于 pm， 我 们看在三角形 p、 m、 d 和 三角形 p、 n、 d 当中，首先我们看 p、 m， 它垂直于 m、 d 以及这个 p， n， 它垂直于 n、 d， 所以 两个三角形均为直角三角形。 好，那直角三角形的话，我们就可以根据 h l 去证明这两个三角形是全等的。好，在 r t 三角形 p m， d 和 r t 三角形 p n， d 当中，我们可以得到，首先是这个 p m 等于 p n， p m 和 p n 是 直角边，然后就是公共边， p d， p d 等于 p d， 那 p d 呢？它刚好又是一个斜边，所以我们得到 r， t 三角形 p m， d， 它全等于 r t 三角形 p n， d， 我 们利用的是 h l 去证明的。所以现在我们就得到了这个 pm 等于 p n， 以及这里的这个 m， d， 它等于 n d， 所以我们就证明了这个四边形 p m， d， n， 它是为正形的。好，我们再来看一下第三问。第三问拓展应用。如图三，在三角形 a， b， c 当中，角 a 呢？等于八十度角， b 等于四十度点 d， e 分 别是线段 b， c， a、 b 上的动点。 当四边形 a， e， d， c 为正形时，请直接写出角 b， d， e 的 度数。好，第三个题，首先我们先来分析一下，那既然这个四边形它是正形的话，它有几种情况？它是不是有两种情况呀？现在要么我们以 e 点为中心， e， a， 它等于 e， d， 要么就是现在这个 d， e， 它等于 d， c， 那 我们看 e， a 等于 e， d 的 时候，那另两条边是不是就是 c， d 等于 c a， 那现在如果是 d， e 等于 d， c 的 话，那另两条边应该是什么？应该是 a， e， 它等于 a， c， 所以 现在是两种情况。那我们就需要在两种情况下去求解这个角 b， d， e， 它的度数，那我们看两种情况图就是这个样子的。好，我们来看一下第一种情况。 第三个题，那我们现在没有办法直接写出，我们先来写解好第一种情况，那第一种情况呢？就是这个四边形，它是正形，并且 这是 e、 d， 它等于 e、 a， 以及这个 c、 a 等于 c、 d 的 时候。 好，那现在我们可以得到的是这个角 a 的 度数，它是八十度，它是不变的。还有这个角 b 的 度数，它是四十度，这个也是不变的。好，我们看一下怎么去求呢？首先这个角 角 a， 它等于什么？根据我们上面两问的求解，如果现在我们连接这个 c、 e 的 话，那可以求成这两个三角形全等，那么这个角 a 是 不是就等于角 e、 d、 c， 角 a 就 等于角 e、 d、 c， 它是等于八十度的。 好，那现在我们看它等于八十度的话，这个角 b、 d、 e， 它等于，我们看 b、 d， 那我们看一下 b、 d、 e 在 这它和我们求出来的这个角 e、 d、 c 是 什么关系？它们俩相加是等于一百八十度的，所以现在我们就直接用一百八十度， 再减去这个八十度就好了，那它等于多少？它等于一百度的，这就是第一种情况，我们再来看一下第二种情况。好，第二种情况，这个时候呢是 d、 e 等于 d、 c 以及这个 a、 e， 它等于 ac 十。好，那现在我们可以得到哪两个角相等呢？我们现在连接的是不是这个 a 和 d 啊？如果这样的话，那这两个三角形全等，那我们就可以得到这个时候角 a、 e、 d， 它是等于角 c 的。 好，那角 c 等于什么呢？我们把它放在三角形当中去看，在三角形 a、 b、 c 当中，我们可以得到这个角 c， 它等于一百八十度，减去角 a， 再减去一个角 b， 那 么角 a 和角 b 我 们是知道的，所以就是一百八十度，减去八十度，再减去一个四十度。好，角 c 的 度数我们也知道了，是六十度。好，所以我们要求的这个角角 b、 d、 e， 它就等于角 a、 e、 d， 减去角 b。 好， 我们看一下这个角在这里好，角 a、 e、 d， 是 不是在这？这个角是三角形 e、 b、 d， 它的一个外角， 那三角形的外角和它不相邻，两个内角的和是一致的，所以我们现在减去这个角 b， 就 等于我们要求的这个角。哦，那这个角 a、 e、 d， 它等于什么呢？ a、 e、 d， 它是不是就等于角 c， 所以 这里我们就可以直接去写，它应该是六十度，再减去角 b， 角 b 是 四十度， 它是等于二十度的啊，那这里是不是有两个度数？所以在第三文这里，我们可以直接去写一下好，角 b、 d、 e， 它为一百度或者是二十度。 好，具体的解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下。 好，我们来总结一下。首先第一点，这个题呢，它研究了征型，那我们来看一下征型它有什么样的特点。首先第一个就是题干当中告诉我们的，它的这个邻边是相等的。 好。第二点呢，是我们根据我们做题的这个过程可以总结出来，就是它的对角，对角是不是也是相等的呀？那这个对角相等，其实我们是根据这个三角形全等看出来的。那我们还知道什么？我们是不是还知道它的对角线的问题？它的对角线 是相互平分的， 那在这个基础上是不是还垂直呀？相互平分，垂直 好，那这三点呢？我们如果以后遇到这个正形的话，我们可以直接拿出来去用好。第二点，这个题还考察了什么？这个题还考察了一些角的关系，就比如说这个三角形它的外角， 三角形的外角等于什么呢？它等于和它不相邻的两个内角的和好。第三点就是这个题它还考察了一个三角形全等的证明好。对于三角形全等来说，它证明方法有 s， s， s， a， s， a， s， a 以及 a a， s 和 h l， 那 这个 h l 它只用于直角三角形当中，所以我们再去证明，在特别是在第一问的时候，我们去证明这五个性质的时候，我们就要想到我们可以利用三角形全等去证明。好。第四点就是关于这个垂直平分线的问题， 那么垂直平分线他有什么样的特点？那我们这里找的是垂直平分线上的点，他有什么特点呢？他到两边这个距离是相等的，我们找的是等距的这个特点。 是不是在第一问、第二问当中都用到了这个特点？所以我们提到垂直平分线，不要只想到它既垂直也平分，我们也要想到它距离的这个问题。这道题就讲解到这里，同学们再见。