余弦定理的公式

那些你不可不知的公式定理余弦定理任意三角形 c 平方等于 a 平方加 b 平方减去二、 ab 乘以角 c 的余弦值 证明一点， a 为圆心， ab 为半径做圆延长 e， b 是直径，所以角 d 等于九十度 b， d 等于 b 乘以角 b 的余弦值 b、 d 和 o、 p 是两条相交弦，根据原内相交弦定理可以知道 d c 乘以 c， b 等于 o， c 乘以 c p。 这里我们浅浅证明一下。根据同弧对应圆周角相等， 可以证明这两个蓝色三角形相似，对应编程比例就能证明。如图， 图把各线段的数值标上，根据相交弦定理可以得出同理可证。

大家好，今天来跟大家讲一下鱼弦定律。鱼弦定律呢，在初中阶段考试当中基本不会遇到，在大题当中也不能直接使用，讲这个主要是为了拓展大家的知识点，也为了万一在小题型当中遇到这类题，方便大家快速计算。比如说给定三角形三边的长度， 求某个边上的高或者高，把底边分割成的这两个线段的长度。鱼弦定律的基本结论就是， 三角形 a、 b、 c 角， a 对 应的边长为 a 角， c 对 应的边长为 c 角， b 对 应的边长为 b， 那 a 方等于 b 方加 c 方，减去二 b， c 乘以 q 三 a， b 方等于 a 方加 c 方减去二 a， c 乘以 q 三 b， c 方等于 a 方加 b 方减去二 ab 乘以 q 三 c。 也可以说， q 三 a 等于二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方。 q 三 b 等于二 a， c 分 之 a 方加 c 方，减 b 方。 q 三 c 等于二 b， 二 ab 分 之 a 方加 b 方减 c 方。 那这个结论是怎么来的？ 咱们假设 b、 d 为 a， c 边上的高 d 点，把 a、 c 分 割成了 ad 和 dc， 那 ad 的 长度就是 c 乘以 q 三 c 乘以 q 三 a， d， c 呢，就等于 b 减 c 乘以 q 三 a， b， d 呢？ c 乘以三 a， 那 a 方就等于 b， d 的 平方加上 d， c 的 平方就等于 c 三 a 的 平方。三 a 的 平方加上 b 减 c 扣三 a 的 平方展开之后，就等于 c 方 散 a 方加上 b 方，减去二 p， c 扣散 a 加上 c 方。 cos a 方就等于 b 方加上 c 方乘以 cos a 方加上 cos a 方，减去二 b， c cos a 就等于 b 方加上 c 方。因为三 a 方加上 q 三 a 方等于一，再减去二 b、 c、 q 三 a， 结论就得出来了。那 a、 d 呢？ 就等于 c 乘以 q， 三 a 就 等于 c 乘以二 b， c， b 方加 c 方加 a 方， 那 a、 d 得到了，那 d， c 就 能求出来， b、 d 也能求出来。同时呢，这个余弦定力还能推导出来另一个公式。 那另一个公式叫什么呢？海伦公式。海伦公式呢，是根据三角形三边的长度求三角形的面积。 它的结论就是给定三边长度， 假设 s 等于周长的一半， a 加 b 加 c， 那 三角形的面积就等于根号 周长的一半，乘以减 a， 再减 b， 再减 c。 这个海伦公式的结论怎么推导出来？以后有时间再给大家讲一下。

今天我们来讲一下求解外接球难题常用到的一个小技巧。三、遇线定理我们假设直线 ab 穿过平面阿尔法，点 b 是直线和平面的焦点，然后在平面阿尔法内做 ab 的投影 bc 之后，我们在平面内 做任意一条过点 b 的直线，然后过点 c， 像这条直线引一条垂线垂足为点 d， 那么很显然 cd 是垂直于 bd 的。然后因为 ac 是垂直于平面阿尔法的，所以 ac 也垂直于直线 bd， 那么 bd 就垂直于 cd 和 ac 所在的平面 acd， 所以可得 bd 是垂直于 ad 的。此时我们将倾斜平面内的角 abd 设为 c， 他 将数值平面内的角 abc 设为 ct 一，将水平平面内的角 cbd 设为 ct 二，那么我们可得 coceinctel 等于 bdb ab， cdc 等 等于 b c 比 a b。 口算 c 太二等于 b d b b c。 之后我们将口算 c 太一与口算 c 太二相乘，经过化解会发现他们的成绩等于口算 c， 他就是我们刚才所说的三余弦定理，而这个定理的应用场景就是题目中出现投影或者关于平面对称的集合体。 下面我们通过一道立体来进行详细的讲解。根据题意，我们可得三角形 abc 和三角形 abd 是两个全等的三角形，然后因为底面三角形 cbd 是等腰三角形， 所以我们可以说这个四面体是一个对称的集合体，或者说 ab 的投影是会落在角 cbd 的角分线上，这里我们做 cd 的终点 e， 那么点 a 在平面上的投影 o 就一定会落在线段 be 上。 显然题目当中出现了投影，我们就可以利用三预选定义来进行求解，所以我们设数值的角 abo 等于 cte 一，水平的角 obc 等于 ctr， 请 鞋的角 abc 等于 cta， 那么就有口算你 ceta 等于口算 cet 一乘以口算你 ceta2， 而 cta 二也就是角 obc 等于三十度， cta 也就是角 abc 等于六十度，所以可得 coat ecta 一等于三分之根号三。而在支架三角形 abo 当中，口算 cet 一又等于 ob 比 ab， 而 ab 等于三，所以我们解得 ob 等于根号三。而根据题意，我们知道 be 也等于根号三，所以我们可得点 o 与点 e 是重合的，那么我们就可以推理出平面 acd 是垂直于平面 bcd 的， 这里我们就得到了一个面面垂直模型，就可以利用双半径单交线的公式去求解。因为底面 bcd 是一个等边三角形，所以其外绝缘半径等于三分之根号三倍的边长，也就是三分之二倍根号三。而在直角三角形 aob 当中，可以解得直角边 ao 等于根号六。在直角三角形 aoc 当中，比解得斜边 ac 等于根号七，那么三一角 acd 就等于对边比斜边等于根号七分之根号六。那么根据正线定理，在三角形 acd 当中，二倍的 r 二就等于根号六分之七，而 而两个锤面的胶线 cd 等于二，所以带入公式就可以解得外界球的半径，最后求出外界球的表面积下课。

今天给大家讲一个非常妙的公式，那这个公式实际上在初中阶段属于拓展内容，所以如果想要拔高了，哎呀，赶紧把这个公式收藏起来。他说如果已经知道任意一个三角形的三个边是三五七，那么问 阿尔法这个角得多少度？常规方法去解决它的话很难的，那么有没有比较好用的方法能够把它给解决了呢？有，今天呢给大家介绍两个。第一个方法叫什么？叫于弦定理， 我们在初中的拓展里边呢，会发现知道三边长求于弦怎么找？这个于弦定理 教大家一个快速记忆的方法，也就是说如果我要求阿尔法，我就来个扣塞，阿尔法扣塞的是谁，你就把他对的这个边的平方给他减掉， 那剩下两个边构造什么？构造的是完全平方公式，那么也就是三方加五方，还有乘积的二倍方和方放分子，那么乘积二倍放分母，那你在这里面就可以知道 扣三呀，阿尔法在这里面就应该得负的二分之一，那阿尔法就得一百二十度。这个方法适合什么样的孩子用？咱们想拓展八高的一定要注意了，余弦定理的记忆方式，扣三呢？谁把谁的平方给减掉，另外两个边构成完全平方公式。 那除了这个方法以外，这个题还可以怎么求呢？还有一个更好的啊，也就适合于所有的孩子都可以想的，也就是 如果你在这里面过你的这个点，往这做垂直利用等级转换，我把高求出来一样可以先求杯的等于多少度，再求补角等于多少度。那这个方法如果有兴趣的同学，咱们可以挑战一下。