直角三角形的垂直平分线怎么画八下

八年级数学轴对称第七题，如图，已知三角形 a、 b、 c 的 面积等于二十四， a 达平分角 b a、 c， a 达，这是平分，两角相等， 这是当 a 达垂直于 b 达求角， a 达 c 的 面积。 这个题呢有点难，就是考察你对图形的这个敏感程度，一个角平分线，一个垂直。 这个题呢可以从两方面来讲，一个是呢，就是说对你对角平分线的熟练程度， 咱们一个角平面线，我在这划一个角，这是角平面线。咱们说一个角平面线的话，常见的常见的做辅助线的形式，就是有一种，就一般都说，哎，根据角平面线的性质，在这做一条垂线，这做一条垂线，这俩相等， 这俩角相等，这不这两个边相等，然后做一做这个，这个显然不是那种情况呢。还有一种做辅助线的方法，就是来一刀垂直， 那在讲角偏分线，这个这个这部分内容的时候，那老师的学校的老师都会讲说针对角偏分线做辅助线， 这是一种，这是一种。当然还有一种有这个角边线，往这这么着，他说一直有，这，一直有这条线，然后在这个边上呢找一条，找一个点，使这个这个等于这个，然后也是全等， 基本上都是一个角平分线，大概其就是这么做辅助线的话，有这么三种形式，这种形式如果你要是印象比较深的话，就是给它延长， 要把它延长花了一半啊，这对这个图形来说，它只花了一半，它得延长出去， 这是基于这个角平分线的做辅助线。还有一种呢，就是说呢，也是这么做的，这个这个也是这么延长必达， 你看这是 e 延长到 e， 还有一种做辅助线的，这个那啥就是说有个垂直，只要是有个垂直，那做辅助线就是延长， 延长使这个边等于这个边，然后然后这样话构成一个等腰三角形，边角边呢？边角边全等啊，构成一个等腰，这个这个边等于这个边。 这个题呢，咱们就是说延长必达，呃，角 a c 一 点，然后呢就是说这俩角相等，这个延长之后，这也直角啊，这拱边呢？角边角啊全等，全等完了之后意味着啥呢？两个三角形全等， 那对应边相等，对应角相等。还有一个呢，就是面积也相等，两三角形全等就完全一样的， 那面积肯定是一样的。你说这个面积等于这个面积，它不是这样的针对面积这方面吗？已知也有面积二十四，也是求面积，求二 c 的 面积，然后这边一等，一等完之后延长它，延长它之后这两个三角就边 角，边角、边角全等，全等完了之后两个面积也相等，然后这个边就等于这个边，这边等这个边意味着啥呀？ 看你能不能左看一眼，能不能往外看一眼。这两边相等的话，你再你再往这看，这个属于这个三角形 b c e 这个大三角形，这个答案相当于是 b e 的 终点，那这个面积等于这个面积， 这个面积等于这个面积。这个面积。现在求 a 加 c， a 加 c， 是 这个加这个 这个讲这个也就是 a 加 c 的 面积的，应该等于这这个四边形的面积。因为它和它相等，它和它相等啊。 有时候这 abc 只分了这部分，它和它相，它和它相加，等于它和它相加，那么这个面积就是二十四，除以二十二， 因为把它看成两部分，分成两部分， a、 a 大 c 是 一部分， a、 b、 c、 d 是 一部分的，对应的都相等啊，那这个 a 大 c 的 面积肯定是整个面积的一半。 这道题呢，有点难。这道题有点难呢，但是有些好手能能很快做出来，要是水平一般的话呢，可能 语文一般的话，有的时候看状态。这道题呢，就是在校下上课的时候也老给学生出，就说呢，有些中等的水平呢，他发育好的话，他也能做出来，但是大多情况下中等水平都做不出来， 把它擦掉。 第七题，刚才刚才讲的这道题等于十二啊，它的 a 加 c 的 面积是整个面积的一半， 对角平分线和垂线灵活运用，组合起来应用这道题。下面这道题第八题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， a， b 等于 a， c， 角 c， a， b 等于九十度，等于角。三角形，答是 a， 答是 a， c 上一点 c， e 垂直，必答 交 b。 答，延长线以点 e， 且 b， e 等于二倍的 c， e。 求证 b 答是三角形 a 四角 a， b， c 的 平行线。 这个题都是说在学生们做题的时候，感觉到这题比第第七题要难一点，这道题呢，做出来的人比较少使用。这两道题的思路是一样的，今天我举这两道的例子呢，就想说明它们思路一样。 第七题呢，是已知垂线，求是角平分线，但它又多别的条件呢，此路是一样的。 咱们刚才在这讲说一到一个垂直的时候，我刚才在这写着，一到一个垂直的时候，常见的锁线都是延长这个，延长这个，使这个距离等于这个，然后再连起来，这样三角形全等这个边就等于这个边，构成一个等腰三角形。 遇到垂直的话，常见的辅助线也可以这么做，试一把就是不行的话再换呗，反正这是一种常见的一种一种辅助线的方法。有垂直的话，延长一个边，等距离延长一个边， 这个时候呢，你的等级的延长 c、 e， 使这个到哪搁这去上等，别那么着，要不你还得跟它结合呢。延长延长 c、 e 和 b a 交于 f 点， 延长 c、 e 和 b， a 交于 f 点。见见这种曲线的延长， 所以也没这个让这个等于这个，让这个等于这块，你还得使这条线延长，之后你再正它那相等就行。 这道题呢，是有点难，比第七题感觉有点难，这题就 a、 b 等于 a、 c 的 例子， a、 b 等于 a、 c c 只要四十五度，四十跟四十五度这个关系不不太大。 咱们说在做在做全等这个题的时候，如果一到两三边相等，或者等腰三角形，或者等腰直角三角形， 或者是等腰三角形有两边相等的话，有一种思路，就是让这两个边，让等腰三角形的两个边，看看能不能在分别这两个三角形里边，然后作为这个三两个三角形全等的一个条件。边边相等， 这是一个常见的思路，说全等的时候，老师都应该强调这点，如果有相等的两条边，看看这相等的两条边是不在，是不是在分别在两个不同的三角形里边。然后呢，能不能全等，能不能往全等的方向走，这两边相等也是一个条件呢， 这是一个常见的思路。 ab 等于 ac， a、 b 在 哪三角形里边呢？这 a、 b 在 三角形里边多了，既在这个大三角形里边，又在这个小三角形里边，那就在这个小三角形里边，那 a、 b 也在这，在这个小三角形里边。两个小三角形比较去， 首先这个这个直角有个有，有个角相等的，然后有个边相等的，再找个边，或者再找个角， 两个直角相交的时候， 在这个线下讲课的时候，我特别爱把这句话写黑板上，两只脚相交，必有等角， 而且遇到这种情况的时候，这个往往是解题的一个思路， 从这样下手解大部分题，在我感觉在百分之九十以上的题，有两个角相交的话，你肯定能找着等角的，而且这等角呢，往往是解题的一个方向，应承两回解大部分题都这样，这个题两个直角，他加他等于九十度，他加他等于九十度， 这俩相等，所以这个角肯定等于这个角，两只角相交的话，肯定能找，肯定能找出等角。利用八字形啊，利用别的啥的都不能找，这是八字形啊，利用八字形可以找，这个等于这个， 这俩也相等。咱们说这个 a、 b、 d 和和这个 a、 c、 f 这两三角形，咱们整全等，那这有一个边，这个直角，这这两角相等，角，边角角，边角全等 一圈，等完了之后，你看这任意条有必答呀，那必答就等于 c、 f， 都是都是斜边，斜边相等， b 答等于 c f， b 答还等于二倍的 c e， 也就说 c f 是 二倍， c f 是 二倍 c e， 那 就说明 e f 等于 c， 这两边相等，这两边相等。咱不正对角平分线吗？是这两边相等， 这是直角啊，那当然延长出来也是直角啊，还这股红边呢，边角边全等，边角边全等全等，这个角等于这个角，它是角平分线。 这第八题实际上和第七的思路是一样的，都是你这个，你这角平行线了，你你你延长，给他来一刀， 那正角平行线的时候，你也给他，这也也有这意思了，你看也到一半了，你也延长。所以解题思路是一样的。但是说第八题从这个向下来看的话，第八题明显是比第七要难， 比第七要难，第八题做出来的很少，就第七题呢，有做有人做出来，第八题做出来的人不多。 那通过这两个例子呢，咱们应该就是说这种做辅助线，一道垂直做延长 是百分之百习惯。那肯定不是说有不行的话，再换呗，再换别的方法呗，谁看题的话一下子都能看到底了，底子都都都都是选择的特别正确啊。往往他说，哎，选的不对，再换别的法。 他说试一下角平分线的时候有这样来一刀的垂直的，你正角平分线的话，你也可以按这走啊，你也按这走。 这种角平分线和垂直这种这这种题的辅助线，这两个实际上是一样的，都是延长。 就是这两道题呢，都是都是跟等腰三角形有关系。第七题呢，是推出一个等腰三角形的。 第八题呢，第八题呢，是已知等腰直角三角形，略等腰直角三角形，都是跟这方面有关系，跟等腰三角形有关系。那咱们选这两道，呃，多少有点难度这种这种，这个初中几何题呢？一是左减题， 左减题是一方面，另外一个呢，就是说对这些题应该静下心来，反复观察这个图形， 反复体会这道题。别着急，做完之后都都做下边的。你要是起初做一道题，如果这道题你当时不会做，或者说你你这个用了很长时间才把这道题做出来的，那肯定这道题 需要的一些思维你可能不具备。那就静下心来，好好的看看这道题，好好的体会这道题。你要是在那啥，对这种题的图形，你多研究研究。 初中几何给学生的感觉太难了，老师也有这种感觉，学生们觉着学着特别费劲， 啥题都有，或者什么难度的题都有，多坚持，多体会。今天就讲这么多，下课。

好，来，同学们，前面我们讲过说你在直角三角形里面遇到特别角度的话呢，你怎么去构造辅助线？比如说这时候如果里面遇到十五度，遇到二十二点五度的话呢，通常我们是去做中垂线， 好，我们这时候来看一下具体的一个题目。比如在直角三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 b、 c 等于九十度，角 c、 a 但等于四十五度，角 a、 c、 b 等于六十七点五度的时候呢， a、 b 等于十四，此时此刻他让你求说 c、 d 等于多少？好，这时候怎么办？你会发现今天的六十七点五度跟四十五度，它们是有交叠在一起的，也就代表说我可以求出上下这个角，它其实是 二十二点五度。好，并且呢今天这个六十七点五度的这个 c、 a、 b， 它其实是作为直角三角形当中的一个锐角，那已经代表说另外一个锐角。今天的这个 a、 c、 b， 我 也可以求出来它有没有达到二十二点五度？好，这时候有没有发现今天出现的角度，是不是？我们前面有说过，你怎么去做辅助线的特别角度？好，这时候怎么办呢？ 过 a、 c 去做中垂线，好，交出我们的 c、 d 为一点交 c、 a 为 f 点。好，这时候呢把我们的 a、 e 连接 好，此时此刻你就会发现，今天的话呢，我们会产生 a、 c、 e 这个等腰三角形，并且呢我们会知道说我们要求的这个 c、 d 啊， 它这边当中被分成了 c、 e 跟 e、 d， 也就代表说这边当中 c、 e， 它其实是等于我们的 a。 好， 这时候继续往下会发现今天这个角度二十二点五度，这个角度它也是二十二点五度，也就意味着它今天的一个外角，此时此刻这个 a、 e、 b 就 会达到四十五度。 好，你会发现四十五度它今天是不是跟我们的直角搭配在一起？所以这时候你的 a、 e、 b 这个三角形，其实是一个等腰直角三角形，那这边当中此时此刻你的 a、 e、 b 是 不是我们的零出来增十四，所以意味着你的 b、 e 他就等于 ab， 就 等于四，好，继续往下这个当中。前面题目呢，里面还跟你跟我们提到说这边的一个 c a 大 是等于四十五度，那我们是不是已经拿走了二十二点五度？打比方说剩下中间的这个 e、 a 大 这个角度，他就会拿到二十二点五度。好， 这里有二十二点五度，这里也有二十二点五度，以及说这边呢还有产生一个直角，所以我们这时候可以知道，其实你的 a 大 可以看成说是今天的一个 e、 a、 b 的 角平分线，所以角平分线具备什么特性呢？他就会发现角平分线上的点到我们的一个两边距离，也就代表说它今天一到这个 a、 b 的 距离， 第一点到 a、 b 的 距离其实是 d、 b， 然后呢第一点到说我们 a 的 距离，其实这时候我们要做一个辅助线，所以这个里面它会产生说 f 点垂直距离啊，所以此时此刻你就会发现今天的这两个三角形， a 当 b 跟 a 当 f， 其实就会干嘛呢？全等好继续往下 这边当中刚才我们说了，这个地方有一个产生了一个垂直关系，以及说这个地方它是不是有一个四十度角？所以你就说有没有发现今天的这个 e f 大 这块三角形，其实会是一个什么三角形呢？等腰直角三角形，所以说这时候我是不是这边当中对应的 继续往下？好，这里面我们刚才说了前面 b e 等于 ab 等于四，那我这时候是不是可以知道 a e 其实是等于根号二倍的 ab 会等于说四倍的套二？好，这时候有没有发现刚才我们这块子等腰式的三角形当中，是不是已经得到出它们的一个三边的一个长度？好，那前面是不是又讲你的 a 当 b 跟说 a 当 f 成的，也就意味着你的 m 实际上会等于说 ab 或等于十四？好，继续往下， 这边当中 e f 是 我们新构造出来的一个等腰直角三角形，等一条边，那我们会知道说 e f 其实就等于说 a e 减去出 f， 所以呢这时候还会等于四倍，根号二等于十四，好，继续往下。题目当中我们大家已经知道了， 你要求的 c d 其实是由说 c e 跟 e d 来构成，那 c e 的 话呢？这边呢？还有等于 a e a e 是 不是我们前面已经有求出来了？在这里， 好，那这时候是不是差了一段 e d？ 好， 这时候 e d 的 话呢？是不是作为说这块等腰直角三角形的斜边？所以根据说等腰直角三边关系，我是不是已经知道说它的直角边是多少了？那我这时候就可以求得说它的这条斜边就会等于 根号二倍的直角边，所以等于根号二乘上说十四倍，根号二减十四，也就代表说这出来的结果会等于二十八减十四倍，根号二。好，最终我们想要求的这个 c d， 它会等于说 c e， 加上说 e d， 也代表说最后结果会等于二十八。这个是我们遇到说特别角度的时候呢？你怎么去构造辅助线？

今天来给大家讲一个初二的垂直平分线和角平分线限制的这种题啊，我们看题如图，在三角形 a、 b、 c 中， a i 平分角 b a、 c 还有呢？ b i 平分角 abc 点 o 是 a c b c 的 垂直平分线的交点。为了让大家那个看啊，我把这个图分成了两个部分，其实这两个 o 点和 a i 点是在一个三角形中的好平分，这个是平分线的交点啊， 连接 aobo， 若角 c 是 阿尔法，这个角 c 是 阿尔法则，角 aib 和角 aob 的 度数分别是多少？这个就是让你用阿尔法来表示的啊。我们先看第一个， 但是角平分线，那这两个角，比如说这是角一和角二相等的吧，那角三和角四呢？这角三和角四也是相等的， 而且我们要求的这个 a、 i、 b 是 不是可以等于用三角形的角和是不是等于一百八十度减掉角二，减掉角四啊？ 而角二和角四分别是这个 b、 a、 c 和 abc 的 一半，而这两个角加起来是不是在等于一百八十度减掉角 r f i。 那 我们可以用这个之间的转化来看一下啊。我们看这第一个啊， 我们可以因为是因为 a i b i 是 角 b， a、 c 是 角 b a、 c 的 平衡线， 所以我们角一等于角二，角三等于角四， 嗯，这个角一等于角二，应该等于角，等于二分之一角 b a、 c 角三等于角四，就等于二分之一角 a、 b、 c。 好，我们再看这个 a、 b、 c。 在 三角形 a、 b、 c 中，角这两个角加起来，角 b a、 c 加上角 a、 b、 c， 再加上这个角 c 就等于一百八十度，所以这两角加起来就等于一百八十度减掉 r 法呀，所以角 b、 a、 c 加角 abc 就 等于一百八十度减角 c 就 等于一百八十度减 r 法， 好，这两个角，这两个角加起来等于一百八十度减 r 法啊，这角二加角四等于它的一半呀！ 再看这个 a、 i、 b 就 等于一百八十度减角二角四，所以角 a、 i、 b 就 等于一百八十度减掉角二加角四， 角二加角四是不是等于二分之一？也就等于一百八十度减掉 二分之一角 b、 a、 c 加角 abc 等于一百八十度减掉二分之一的一百八十度。 一百八十度减 r 法。好，一百八十度减这二分之一减九十度，然后再加啊，二分之一 r， 它就等于九十度加上二分之一 r 法，好，这个就是九十度， 九十度加二分之一 r 发啊，九十度加二分之一 r 发，这里面就是用的角平分线的，它的定义等于它的一半。 还有呢，我们用了三角形的内角和用了两次，这是第一个啊，我们来看第二个。第二个它是什么？是垂直平分线的交点， 垂直平分线是什么心值啊？是不是到 线段垂直平分线上的点，到线段两边的距离相等，那我们这里面他是 a c 和 b c 的 垂直平分线，那我们连把 o c 连起来， 然后呢？再延长，交叉于 d， 为什么要延长呢？等一下给大家讲，你看着啊，这是如果也，这是连接之后呢？它是这个垂直平分线，那我们这个 o a 是 不是等于 o c 啊？还有是一个 是 bc 的 垂直平分线，它的在这也是，那这个就是 oc， 又等于 o b， 我 们这第二个啊，因为 o 是 a c bc 垂直平分线的交点， 根据垂直平分线的性质，就是垂直平分线上的点到 线段两个的距离相等，所以 o a 就 等于 o b。 还有呢， o b， o a 等于 o c 啊，等于 o c， o b 等于 o c， 所以 就是 o a 等于 o b 等于 o c， 这三个都相等，那这，这是不是等腰三角形，这也是等腰三角形，那下面这个呢，也是等腰三角形，所以我们可以看这啊，我们可以可以标上这个，在这里面标角一、角二，角三、角四， 所以角一等于角二、角三等于角四。 好，我们这延长的看看，大家看看这个角 a、 o、 d 是 什么呀？是这个三角形 a、 o c 的 外角呀，这是外角，等于这两个角之和，那这一边右边部分是不是也是一样的？这个等于这两个角三加角四。 因为角 a、 o d 等于角一加角二。我们要转化成什么呢？角是要转化成 r 发的一部分呀，这角二是不是 r 发的一部分？然后角三也是 r 发的一部分，就等于两倍子角二。还有呢，角 b、 o d 等于角三加角四，等于两倍子角三 啊，角三加角二等于什么呀？等于阿尔法呀，所以我们角 a、 o d 就 等于这两个角之和。角 a、 o d 加角 b， o d 就 等于两倍子角二加角三， 是不是就等于两倍角二加角三呀？角二加角三，就等于 r 发呀，所以就等于二 r 发，所以这个角 a、 o b 就是 二 r 发。 好，我们通过这个角 c、 r 发，我们是图出这两个角的跟 r 发的关系。如果我们给个题里面他给其中任意一个角，那么是不是可以反推出，反推出这两个角的度数啊？比如说给这个 这是什么角？平分线的焦点知道它的度数，那我们是不是可以推出角 c 的 度数？我们知道角 c 的 度数已经求出来之后，我们就可以求出角 a、 o、 b 的 度数，这就是题里面要活用，把这三个关系搞懂了之后，就可以用来解题了。 好，今天就讲到这了，大家如果还有什么其他的问题可以私信我，或者在评论区留言，我们一起讨论一下。