对偶式的八种构造方法

今天和各位同学分享一个老师不一定讲的方法，构造对偶式。首先我们来看一下常见的对偶式有哪些？ 二、 a 加三 d 和三 a 减二 b， 赛引阿法和扩赛引阿法。根号 a 加根号 b 和根号 a 减根号 b。 那队友是可以运用在哪些题型呢？ 我们来几个例题。第一个三角函数求值，已知阿法属于实数，赛引阿法加两倍扩散引阿法等于根号五，求摊进阿法的值。 这道题解题方法有非常多种，今天我们只分享构造队友的方法。我们设 a 等于赛引阿法加两倍扩赛引阿法， b 等于扩散引阿法减两倍赛引阿法。我们把 a 方加 b 方列出来，展开 前后削去一个四倍赛引阿法，乘扩赛引阿法，结果等于五倍的赛引阿法，平方加扩赛引阿法，平方等于五。由于 a 等于根号五，所以 a 方等于五，所以 b 等于零，即扩赛引阿法等于两倍赛引阿法，所以摊减阿法等于二分之一。 第二种根是函数求值域，求函数 y 等于三倍的根号下 x 减一加根号下八减二 x 的值域，我们把根号下八减二 x 提出一个根号二，那么 y 等于三倍的根号下 x 减一加根号二乘根号下四减 x， 一提一。函数定义誉为一到四，且 y 大于零，我们构造队友是 c 等于根号二乘根号下 x 减一减三倍，根号下四减 x， 那么我们可以计算出 y 方加 c 方等于三十三。由于 z 在定义域内单调递增， 所以 c 在 x 等于一和四时取得最小值和最大值，这样我们可以求出 c 的值域在负三倍，根号三到根号六， c 方属于零到二十七，所以 y 方属于六到三十三。又因为 y 是大于零的，所以 y 的值域在根号六到根号三十三。 第三种不等式，最值实数 x， y 满足 x 方加 y 方等于五，求 x 加 r， y 的最大值，我们设 a 等于 x 加 r y， b 等于二， x 减 y， 那么 a 方加 b 方等于 x 加二， y 的平方加二， x 减 y 的平方展开前后消去一个四 x y， 结果等于五倍的 x 方加 y 方等于二十五。由于二 x 减 y 的平方大于等于零，所以 a 方小于等于二十五，故 a 的最大值为五。 第四种解特殊方程，题目告诉我们，这两个东西相减等于二，要我们求 x 的值。如果用常规方法，这个计算量是非常大的，我相信没有同学愿意这样去做。今天我们分享对偶式巧解这个方程。 我们设 a 等于这个构造，他的队友是等于这个，那么 a 乘 b 就等于八 x， 由于 a 等于二，所以 b 等于四 x， 又由于 a 加 b 等于两倍。根号下 x 方加四， x 加五等于二加四 x， 所以 根号下 x 方加四， x 加五等于一加二 x， 这样我们可以解得 x 方等于三分之四，解得 x 等于正负三分之两倍。根号三，由于 b 是两个根式相加，且等于四 x， 所以 x 要大于等于零，负值要舍去。怎么样，学会了没？给老师点点赞吧！

两种方法教你秒杀这道代数最值。问题我们来看说三 m 加四 n 等于二十四，让你求 mn 的最大值。那么第一个方法还是构造队友式，我们怎么队友呢？ 三 m 我让它等于十二加 a， 而四 n 我让它等于十二，减去一个 a， 我的目的是让他们俩一相乘的时候，就会有平方叉，平方叉直接秒出一百四十四减 a 方， 再利用平方的非负性，你 a 方大于等于零，那负 a 方就小于等于零，所以这个整体叫小于等于一百四十四。 好，那也就是当 a 等于零的时候，三 m 乘四 n 的最大值就是一百四十四，那三乘四是十二，一除过去 mn 就有最大值十二。

三角函数求最值构造对偶式的方法呢？最省时，那么怎么样构造对偶式呢？下面我们一起来看一下这道题。 已知 sine alpha 加上两倍的 sine beta 等于二，则 cosine alpha 加 beta， 它的最大值为多少？ 那么我们拿到这个式子之后，就可以去构造它的一个对偶式，怎么样来构造呢？就是我们只要把这两个函数名都改变，变成扩散扩散 alpha 和扩散 beta， 然后中间的加号呢？变减号，最后当然它等于的值我们不知道，我们就可以假设它等于的是 m， 那 么它的一个对偶式就是扩散 alpha 减去两倍的扩散 beta 呢，等于 m。 然后接下来呢，两个柿子同时平方再相加，就会得到一个非常漂亮的柿子了。 我们先构造出对有式这个形式，然后这个式子完全平方之后，就会得到一式， 同样我们把原式呢，也把它左右两边同时平方，就会得到二式，一式和二式相加，像这里可三阿法方，三阿法方相加就等于一，同样这里面呢，相加也会等于一，前面有个四倍，所以呢相加就是一加上四。而后面部分我们先把照抄下来， 得到括号内部分，括号内部分是不就是余弦的两角和公式啊，所以我们就可以把它整理成余弦的两角和是扩散 alpha 加上贝塔， 而最后要求的就是扩散 alpha 加贝塔，它的一个最大值，其余部分呢，我们都可以挪到右边去，就会变成一个函数的形式了。 我们把这个式子化简之后，就得到扩散阿法加 beta 呢，等于四分之一减 m 方， 而要求它的一个最大值 m 方呢，是大于等于零的，所以要求它最大值是不就是 m 方等于零的时候， 而 m 等于的是扩散阿法减两倍的扩散 beta， 很 显然它是可以等于零的，所以也就是 m 方等于零的时候，取到最大值是四分之一。 所以构造队友式的方式是不是特别的省时省事？如果之后你也拿到两个三角函数相加减的时候，那么也不妨去试一下构造队友式。

全国正确率只有百分之一的题目，已知 x 方与 y 方的和为十三，要我们求二 x 加三 y 的最大值。这道题的难点在于如何鉴定二 x 加三 y 与已知条件的联系。 常规的方法是判别示法，我们令二 x 加上三 y 等于 t， 二 x 移过去，三 y 就等于 t 减二 x， 从而得到 y 等于 t 减二 x。 然后我们将这个式子带入到已知条件，得到一个关于 x 并含有参数 t 的一元二次方程，从而方程的判别是德塔菲夫求出 t 的取值。 这个方法计算比较复杂，那有没有简单一点的做法呢？还真有，那就是对偶构造，何为对偶呢？例如二 x 加上三 y， 那么他的对偶式就是三 x 减二 y。 问题来了，为什么要构造对偶式呢？因为我们发现 队友式的平方和为一个长数，具体说就是，二 x 加三 y 的平方等于四 x 方，加十二 xy 加上九 y 方。三 x 减二 y 的平方等于九 x 方，减十二 xy 加上 四 y 方。我们将这两个式子相加，左边与左边相加，右边与右边相加，就可以得到，二 x 加三 y 括号的平方。加上 三 x 减二 y 括号的平方等于十三倍的 x 方，加上 y 方。别忘了， x 方加 y 方等于十三，从而他就等于十三的平方等于一百六 十九。此时这道题就会变得特别的简单，二 x 加上三 y 的平方就等于一百六十九，减去三 x 减二 y 的平方。很显然，当三 x 减二 y 等于零时，也就是三 x 等于二 y 的时候，二 x 加三 y 的平方最大，从二 x 加上三 y 的最大值就为根号一百六十九，也就是十三。