山东初中数学公开课一次函数的图象

我们来看一下今天的一次函数的图像与性质啊，在同一坐标系中，一次函数 y 一 等于 mx 减掉 n 和 y 二等于 n， x 减掉 m 的 图像可能为多少？那这一题啊，它其实是考察了这个一次函数的图像和性质，我们怎么样来去做？根据一次函数的图像来确定相应的系数， 哎，定系数，我们来定系数，然后呢，我们来比较，最终找到矛盾，这个题啊，就能解掉了。你比方说像这个 a 选项啊，你看这个 y 等于 y 等于 mx 减掉 n， 不是 吧，对吧？你看他的一个图像是什么样子的？他这个图像是不是 这个 m 是 要小于零的吧？ m 小 于零， m 小 于零，你看它的角点，它和 y 轴的一个角点在这个正半轴上在正半轴上，那你这个负 n 负 n 是 大于零的，负 n 大 于零，那么就是 n 小 于零， n 小 于零，对吧？那么这个是 y e， 我 们来看这个 y 二这一块啊， y 二这一块， y 二现在是什么样子的？ an m n x 减掉 m 减掉 m， 那 么你这个负 m， 那 他和 y 轴的交点也在这个 y 轴的正半轴上， y 轴的正半轴上，那你这个负 m， 哎，负 m 这一块看到了吗？负 m 的 话，他还是大于零的，哎，他是大于零，负 m 大 于零，然后 n 呢？他系数吗？ n 大于零， n 大 于零，这个负 m 大 于零的话，那么 m 小 于零，你看 m 小 于零， n 大 于零，这两个，哎，不服，有矛盾，对吧？那错了。然后第二个，我们也按照这种方法来去分析啊，按照这种方法来去分析，那么你去 分析这个图像， y e 的 一个图像，你看它和 y 轴负半轴相交，对吧？ m y e 啊， m 大 于零， n 负 n 负 n， 是 吧？负 n 小 于零，负 n 小 于零的话，那你这个 n 是 大于零，嗯， 那就 y 二这一块看， n 小 于零， n 小 于零， n 小 于零，然后你这个负 m 负 m 啊，和这个 y 二和 y 轴的正半轴相交，负 m 是 大于零，那么你 m 是 小于零。哎，看， 不服啊，那有矛盾啊。我们接着来看这个 d c c 选项， y e 这一块， y e 对 吗？ y e， 那 么这个 m 大于零， m 大 于零，负 n 呢？负 n 也是大于零的，负 n 也是大于零，那么你这个 n 是 小于零。哎，这样写一下， y 二这一块， y 二 n 小 于零， n 小 于零，负 m 负 m， 你 看它和负轴相交，负半轴相交小于零，那么 m 是 大于零。哎，看到了吗？ 是享福的啊！ c 选项是对的， d 选项这边用同样的方法就可以了啊。我们接着来看这个图像啊， 一列快车从实验中学开往锦绣中学，实验中学开往锦绣中学，然后一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，哎，然后两车同时出发，设快车离锦绣中学学的距离为 y， 然后慢车离锦绣中学的距离啊， 为 y 二，都是距离锦绣中学的距离啊，那么行驶时间为 x， 两车之间的距离为 s， 两车之间的距离为 s。 y 一 y 二与 x 的 函数关系如图一所示，那么 s 与 x 的 函数关系向图二所示，则判断啊，下边给的四个限定条件是否正确啊？ ok， 我 们来看一条条来看啊。 首先我们来分析一下这个图啊，来分析一下这个图，那么你这个 y e 啊，你看啊，对吧？ y e 是 随着 x 的 增大而减小，那是因为你这个快车啊， 是从实验中学往锦绣中学去，你这个 y 一 表示的是与锦绣中学的距离，所以这个距离啊，会越来越小，哎，他这个走势是这样子的，那么你 y 二呢？表示的是慢车离开锦绣中学，在这个距离啊，会越来越大，距离会越来越大，哎，这样子的啊，那么第一位我们看一看第一个圈一啊，图一中，哎， 等于三， a 等于三表示什么意思？你看 a 不是 时间吗？ a 是 时间啊， a 是 时间，那这个是什么意思？这个是他们相距处时距离啊，处时是相距三百千米，三百千米，然后到 a 这个时间之后距离为零了，那是不是说明我这个已经到了，我这个车已经到了，对吧？我们这个锦绣中学和实验中学相距三百千米，三百千米，然后我花了 a 这个时间，哎，我就到了 啊，是这样的一个判断啊，那么你这个当 a 等于三的时候， a 到了，就是当 a 等于三的时候，这个快车啊，到了锦绣中学，我们来看一下这个里边图，分析一下。图二 这个 a b 这一段， a b 这一段啊， a b 这一段表示的是什么？ s s 表示的是两车的距离，两车的距离一直在 缩小，一直在缩小，一直在缩小，到达 b 点这个点的时候，两车之间的距离为零了，那么这不是两车相遇了吗？对吧？那么 a b 表示的就是相遇之前， bc 呢？ bc 所表示的是就是相遇之后，相遇之后那快车接着行驶的一个图啊， bc 表示的是快车接着行驶的，因为你这个快车到达 a 点的时候，花了这个 a 十的时候，它就已经 到了到锦绣中学了，那么你这个后边这个五啊，你看这个五表示什么？慢车啊？你慢车的话，你花了五个小时到三百公里，它的速度，你看速度等于三百除以五等于六十， 表示的是我慢车。在你快车到达锦绣中学之后，我这个慢车还在行驶， 那我一共花了五个小时才到，所以这个后边的图像 cd， 这个图像是慢车行驶的图像啊。 bc 表示的是相遇之后快车行驶的图像，快车花了多长时间？ x 表示时间吗？三个小时，所以点 a 这边是三，哎，这个是对的，那么第二个啊，当 x 等于百分之十五的时候，两车相遇，两车相遇，我们来看图像， y 一 与 y 二，当他们相遇的时候，就他俩就有交点了，有交点的时候是有相遇，那么你这个就借助 函数关系式，把这两个直线的函数关系式求出来，然后让另他俩相等，这样来纠结，对吧？这样来纠结，因为你看这有点，这有点，那是不是都是可以来用，对吧？ y 一 y 一 是一次函数，我们设这个 y 一 等于看一 x 加上 b 一， 我们分别就把这个零到三百和这个三到零代入， 三到零代入，那么你这个函数表达式不就有了吗？函数表达式，你这样你去解，解出来的话 k 等于负一百， b 等于三百，那么这个 y 一 的一个解析式就是负一百， x 加上三百，对吧？你这个 y 二 y 二这一块，你看它是经过原点的 正比例函数，经过原点的正比例函数，那么它过了哪个点？还除了过原点之外，还过哪个点？五到三百，这个点五到三百。把这个正比例函数设出来， y 二等于 k， x 把五到三百带入进去，解出来开二等于六十，那么你这个 y 二呢？就等于六十， x 两两车相遇了嘛？两车相遇，哎，相遇的话，你就令 y e 等于 y 二啊，你这个 y e 等于 y 二就截出来，负一百 x 加上三百等于六十， x 截出来的话，就是 x 等于百分之十五，这是对的，这个是对的。 来看圈三啊，当这个 x 等于二分之三的时候，两车相距六十公里，两车相距六十，我们先看一下 x 等于二分之三的时候， 它是怎么样来表述啊？那么你这个快车大概是到这样的一个位置，大概是到这样的位置，那么它距离锦绣中学呢？ y 二， y 二，所以这个就是红色的一个部分啊，红色的这一部分就是他相距的， 他们相距多少公里，对吧？相距多少千米？那你把这个 y， 把这个 x 等于二分之三，你带入到这个 y 一 和 y 二里边去，那么你能分别求出来这两个车相距锦绣中学的一个距离，你再用 y 一 减掉 y 二， 对吧？你用 y 一 减掉 y 二，那就是一百五十，减掉九十等于六十，哎，这个就是它相距的 啊，接出来就是这样子的，第三个是对的啊，第三个也是对的。那么来看第四个，你当这个 x 等于八分之五，或者是八分之二十五的时候，两车相距二百千米，二百千米，那么这个时候我们需要去分类来讨论，怎么样来讨论啊？就你两车相遇之前， 你两乘相遇之前，对吧？你就比方说像我们刚才做第三问的时候，就是相遇之前，那你这样子，这中间这个就是 y 一 减掉 y 二，这个红色的部分是他们想差想距的一个，就是想距的一个距离啊， 那么你就是 y 一 减掉 y 二，你把这个啊，把这个截出来的就是负一百 x 加上三百减掉六十 x 等于二百，然后截出来的 x 等于八分之五， ok， 这个没问题啊，那么还有一个情况呢，就是两车相遇之后了啊，你两车相遇之后，你这个快车啊， 快车你行驶到这，那么你慢车呢啊？慢车可能行驶到这，对吗？那么这个时候， 这个时候你这个慢车 y 二，那就大， y 二就大，然后你这个快车的 y 一 啊， y 一 就小，对吧？那你用 y 二减掉 y 一， y 二减掉 y 一， 你分别把这个代入啊，代入之后，你得到的话 x 等于百分之二十五，但是，但是啊，你这个百分之二十五 是大于三的，为什么要大于三？因为你这个快车啊，三个小时就已经到达了这个锦绣中学，三个小时已经到达了终点了，到了锦绣中学了，对吧？那么我这个快车就不再走了，后边的距离全靠慢车来走，全靠慢车来拉开这个距离， 那么就当快车啊，就是到三个小时，行驶三个小时，到达终点的时候，慢车离开起点，他三个小时吗？慢车离开起点，我们知道速度是六十，花了三个小时离开起点就是一百八，一百八十千米， 一百二十铅笔，他们，他距离二百铅笔呢，还差二十二百减一百八，等于还差二十。那我只要再算出来我这个慢车行驶二十铅笔花多少时间就 ok 了，对吗？那么就是路程除以速度等于十点三分之一小时， 那总共就花了多长时间呢？是三加三分之一个小时，等于三分之十个小时。所以这个啊，你看前一个是对的，但是后边一个不对，所以这个最终是一二三是对的。

好，我们今天来讲利用函数图像比较反比例函数与一次函数值的大小， 这种题型在反比例函数的应用中非常的常见，但是很多学生做的不熟练，我们今天来具体的看一下。先来看我们的函数图像，我们的平面直角坐标系中有一条直线，也就是一次函数 y e 等于 k， x 加 b 的 图像对不对？ 然后双曲线是我们 y 二等于 x 分 之 m 的 函数图像，它一般的问法呢，会问咱 y 一 大于 y 二十， x 的 取值范围是什么？ y 一 小于等于 y 二十， x 的 取值范围是什么？ 或者是它再进阶一下问咱。比如说像这种 k x 加 b 大 于 x 分 之 m 的 解集，包括下面这个解集，很多学生见到这种问法都不知道是怎么去求了啊，我们今天一起来看一下。 做题方法呢，其实很简单，关键是我们要会去看函数图像。来这里边我们的依次函数和反比例函数，它们有两个焦点对不对？一个是点 a， 告诉咱们它的横坐标是 x 等于一， 还有一个焦点是点 b， 告诉咱点 b 的 横坐标是 x 等于负三。这里边我们只需要用到点 a 和点 b 的 横坐标就行了，如果题上没有给咱的话，需要先把点 a 和点 b 的 坐标给求出来， 然后接着怎么做呢？我们知道点 a 和点 b 是 我们这两个函数图像的焦点对不对？ 那也就意味着我的 x 等于一的时候，我们看一下啊，我的 x 等于一的时候，就是我对应的 y 一 和 y 二的值其实是相等的。 同样的， x 等于负三的时候，我们对应的 y 一 和 y 二的值也是相等的， 那这样的话，我们的点 a 和点 b 其实就是我们这整个函数图像的两个分界点，对不对？所以我们做的时候，就以我们的点 a 和点 b 这两个分界点，先来画两条竖直的线出来，这个非常有助于我们后边去看图啊，我们把它给画出来， 这样的话，我们的这两条蓝色的线和我们的外轴这三条线一起，把我们整个函数图像分成了四部分，对不对？分别是哪四部分？我们来看一下啊。第一部分就是这条线的左侧，看到没？ 这条线的左侧这一部分。第二部分呢，就是我这条线和外轴之间的这一部分，就是这之间的这一部分。然后第三部分就是我外轴和这条线他们两个之间的这一部分。 第四部分就是我们这条线右边这一部分，相当于我们这三条线把我们的函数图像分成了四部分。现在我们来看每一部分所对应的外一和外二的大小。 好，我们先来看第一部分啊，也就是这条直线左侧的部分，那你看这个是不是外二的 函数图像，对不对？底下这条直线呢？是外一的函数图像，此时我们很容易能看出来，我们的外二是不是始终在外一的上方呀？对不对？那这个时候我们的外二就一定是大于 外一的。举个例子来看一下，比如说好，我取一个 x 的 值在这里好不好？比如说 x 等于负四吧，行不行？那我过这个点往下做 竖直线对应的这个点的纵坐标是不是就是 y 二的值，对应的这个点的纵坐标是 y 一 的值， 很明显我们能看出来，我最后我的 y 二一定是在外一的上方的，那我们外轴上数越往上是越大的，所以我们也能比较出来， y 二是大于 y 一 的，其实就相当于两个字，高大， 也就是谁的函数图像越高，它所对应的函数值就会越大。好，我们比较完 y 一 和 y 二的大小之后呢，我们要去看此时它所对应的 x 的 取值范围。 我们来看一下哈，在这条直线左侧的时候，不管你在这个反比例函数图像上也好，一次函数图像上也好，找任何一个点，你会发现它的横坐标都会落在负三的左侧这部分 x 轴上。 所以我们此时所对应的 x 的 取值范围就是 x 小 于负三，也就是这两段函数图像上的点，它们的横坐标都是小于负三的。 第一部分咱们相当于就判断完了啊，是 x 小 于负三的时候，我们的 y 二是大于 y 一 的。接着我们来看第二部分，也就是这条线和 y 轴之间的部分，此时我们的直线是不是在这里啊？ 这是谁？是 y 一 的函数图像对不对？好，这是 y 一 的函数图像。然后呢，我们的反比函数图像是不是在这里？ 这是 y 二的函数图像对不对？结合咱刚才说的，谁的函数图像高，它所对的函数值就越大。很明显我们能看出来，在这个区间内啊，就在这一部分， 我们的 y 一 是始终在 y 二的上方的，对不对？所以这一部分我们的 y 一 一定是大于 y 二的， 那此时 x 的 取值范围是什么呢？我们看啊，就这条直线也好，还是这个反面函数图像也好，上面任意取一个点，它所对应的横坐标，也就是 x 的 值肯定会落在负三和零 之间的这一段 x 轴上，也就是我们的 x 的 值一定是大于负三小于零的。继续第三部分，第三部分就是外轴和这条线之间的这一部分。好，我们来看这是谁？ 这是 y 二的函数图像对不对？然后呢，这个是外一的函数图像，很明显 y 二在外一的上方，所以我们此时对应的是 y 二大于 y 一， 那 x 的 取值范围呢？我们看一下啊，这上面任何一个点，你去找任何一个点，它们的横坐标都会落到零和一之间，所以我们此时 x 的 取值范围是大于零小于一的 最后一部分呢，也就是这条线右侧的这一部分，很明显，这是不是 y 一 对不对？这是不是 y 二？ y 一 始终是在外二的上方，那么我们 y 一 的值就会比 y 二的值怎么样 大？好，那 x 的 取值范围呢？这两段函数图像上，他们所有的点横坐标都会落在一的 右侧，一的右侧的数 x 轴上，一的右侧的数肯定比一大嘛，所以此时我们对应的 x 的 取值范围是 x 大 于一，这样的话，我们就把这四部分所对应的 x 的 取值范围和 y 一 和 y 二大小是不是都比较出来了？ 接下来我们来填空就可以了。来，第一个问的是， y 一 大于 y 二，是 x 的 取值范围，我们就去找吧， y 一 大于 y 二，这是不是有一个 x 的 取值范围是不是大于负三小于零，对不对 啊？除此之外，还有一个是哪？这是不是也是 y 大 于二，取值范围是不是 x 大 于一？所以我们最终 y 大 于 y 二时， x 的 取值范围我们要写 x 大 于负三小于零或 x 大 于一。 接下来这个呢？外一小于等于外二。好，我们先去找外一小于外二是 x 的 取值范围啊，外一小于外二，相当于就是外二大于外一，对不对？也就是这一个啊， x 小 于负三，我先把它给写上哈，我们一会再看等号放哪里。 另外一个，外一小于外二呢？是不是在这里就是 x 大 于零小于一？ 好，我们这个写的是外一小于外二的取值范围。但是我们这个提上要求是不是有等号呀？也就是我的外一也是可以等于外二的。咱刚才一开始就说了 点 a 和点 b 这两个交点，它们所对应的外一和外二的值是不是相等的？ 所以就是我的 y 一 和 y 二相等的时候，我们的 x 是 可以取负三档，也可以取一，但是零，这不能写等号， 因为我们的反比例函数图像永远不会和 x 轴、 y 轴有交点，也就是我们的 x 和 y 都不可能为零。反比例函数图像中啊， 接下来这两个问法，很多学生一看到说，啊，这个不是求不等式的解集吗？我要把它给解出来。那你去看吧，我们这里边一二三四个字母，你去解这个不等式能解出来吗？ 所以它不是想让咱去解不等式解出来的啊，它还是让咱去看函数图像的，怎么看也非常的简单。我们这个 k x 加 b 是 不是就等于 k x 加 b 吗？对不对？ 那我们的 x 分 之 m 是 不是就相当于是 y 二呀？因为我的 y 二就等于 x 分 之 m 嘛，所以这个本质上问的还是 y 一 大于 y 二是 x 的 取值范围。因为我这个不等式求解集嘛，求解集是不是就是求这个 x 的 范围， 所以它相当于就是变形了一下，本质上还是问咱的是 y 一 大于 y 二是 x 的 取值范围啊，所以我们的答案就是哪个就是这个 x 大 于负三小于零或 x 大 于一。不要再去解不等式了。好吧，看到我们问解集的这种题，它也是想让咱去根据函数图像来看的，和它的问法是完全一样的。 然后接下来这个呢啊，它又变得更加高级了一点，但我们仔细看的话就会发现，哎，这是减 k x 减 b 对 不对？但我们题上是 y 等于 k x 加 b 嘛，对吧？那我把这个移项移过去，它不就会变成 k x 加 b 吗？对不对？你看我把这个移向给移过来，那不就变成了 x 分 之 m 大 于 k x 加 b 吗？相当于是什么？相当于是 y 二大于 y 一 时 x 的 取值范围，所以和哪个 是不是和这个是一样的啊？但是这不能写等号了哈，因为我这没等号，是 x 小 于负三或 x 大 于零小于一， 都是让咱根据函数图像去看的啊，这种题型一定得会做好。我们最后来总结一下方法，我们看到这种比较 y 一 和 y 二的大小，或者是这种不等式求解集的这种题的时候，我们都要知道是想让咱根据这个函数图像来做的。 那怎么去看函数图像呢？首先我们以它两个分界点，就是两个焦点为分界点， 做两条竖直的线下来把我们的函数图像给分一下区，这样的话我们在每一块内看这个函数图像，我们都很容易能看出来谁高谁低，对不对 啊？接着就是我们记住谁的函数图像高，它所对应的函数值就大。然后呢，把它们所对应的 x 的 取值范围给写出来就行了，我们这里边的 y 的 值都是表示的是图像上点的纵坐标， x 的 值都是表示的是图像上点的横坐标。然后我们把这四部分所对应的 x 和 y 的 大小都写出来之后啊，你去填空就行了。 好吧，后边做手链之后你就可以直接去看了， y 大 于 y 二十函数图像在哪里？ y 小 于 y 二十函数图像在哪里？好，这是我们这种题型。

把这道看似简单的题搞明白，那你就知道初中数学应该怎样学，怎样练知识，怎样去积累和串起来。我们看这道题啊， 设直线 n， x 加括号， n 加 y 等于根号二， n 为正整数与两坐标轴围成的三角形，面积为 s， n， n 等于一等于二的一直等于两千。教你求 s 一 加 s 二，一直加到 s 两千的值啊！这就是一次函数 里面求面积的办法，但是它的解析又与众不同啊，因为我们学一次函数当中求这个面积解法，比如说 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那么若 k 小 于零， b 大 于零，那么在这个图形当中， 我们分三角形， aob 的 面积就等于二分之一的 oa 乘以 oob， 令 x 等于零，那么 oob 这段就等于 b， y 等于零，那么 oa 这段就等于绝对值的开分之负 b 啊！这是我们在一次函数中求面积的这个通用办法啊！而这道题我们看一下， 那么作为一次函数，那么我们依然按照前面的思路，令 x 等于零，得到 y 等于 n 加一分之根号二，令 y 等于零，得到 x 等于 n 分 之根号二。按照前面的这个思路，那么 s， n 也是面积等于二分之一的 n 加一分之根号二，乘以 n 分 之根号二，等于 这个式子啊！这个式子。虽然这个题是在八下去学习，但是在陈老师以前讲的课程当中，以及我们在七年级都学习了这个列项，那么就等于 n 分 之一减去 n 加一分之一啊！ 那此时我们继续回过来， s 一 加 s， 二加 s， 两千就等于一减去二分之一。我们带进去 n 等于一的时候， n 等于二的时候，那么一直进行这个相消啊，消到一减去两千分，两千零一的分之一等于二零零一分之两千。 我们看到的奇回顾一下，他不是单纯的给你一个求面积方法，是综合知识体系的这个构成 有七年级的，有八年级的，所以在未来学习过程当中，需要我们把这个知识点要扣透，弄明白它的灵活运用。 未来学习这个点我们就要清楚把知识要串联起来后，进行各种题型的练习，这样才能高效的解析，对于我们的思维，数学思维的学习会有极大的帮助。

我们在解函数和方程题的时候，根本一个方程都没有解，就是通过我们判定一下是 y 等于零还是 x 等于零，找到与函数的交点，那交点情况上图里面一找就有了， 哎，此类题都是考大家这个图像的性质，不是考你解方程哎，所以很快的能把它给秒掉，哎，掌握好方法，这题求起来就很简单， 大家在做函数题的时候会遇到类似这一种，前面是告诉你函数后面什么方程的解，哎，这也是方程的解，函数图像函数图像方程的解。 我们把这一大类哈，全部归成函数与方程的问题，就像我封面上写的一样，他就是一个令 c 等于零的问题啊。很简单，我们今天先看第一类哈，叫做求一个方程的函数， 这几行大家还记不记得，就是前段时间在给大家讲函数求坐标的时候，就分成了这三个，第一个是求函数与 x 轴的交点坐标，那就令 y 等于零。 第二个求函数与 y 轴的交点坐标，那就令 x 等于零啊。第三个我们一会再说，我们就先看前两个啊， 就是求与 x 轴的交点和与 y 轴的交点啊，就是另另外两个等于零啊，就这么简单 来，先看第一题，这有一个函数， y 是 ax 加 b， 经过这两个点，那么关于 x 的 方程， ax 加 b 等于零， 大家对比一下哈，这是 y 等于 ax 加 b， 这里是 ax 加 b 等于零，那么是我们讲的这里面的两条里面哪一个 是不是就是令 y 等于零了，对吧？哎，就是令 y 等于零，那既然是令 y 等于零，是不是就是求与 x 轴的交点， 所以与 x 的 交点是哪一个？题目里面明显告诉你了吧，负三都零，所以 x 就是 这个负三，好搞定了。哎，就这样就找出来了哈。哎，就找谁等于零的问题。好，再看第二题， y 等于 k， x 加三和 k x 加三等于零， y 等于 k， x 等于零，那是不是就是令 y 等于零的问题？ 令 y 等于零，那就是这一个事。求与 x 轴的交点，所以从图像上面看，负三到零，这是不是与 x 轴交点，所以 x 就 等于负三， 这就搞定了。解方程都不需要解啊，从图像上面找一下，我到底是求的与 x 轴交点还是与 y 轴的交点，找到就行了， 我们再试一个看行不行啊。啊，这是 y 等于 k， x 加 b， 那 y 等于 k， x 加 b 和三， k 加 b 等于几？是不是就让你求这个，所以你对比一下这个东西什么意思？ 那是不是就是 x 等于三的时候，对吧？让你求 y， 那 就是当 x 等于三的时候， y 等于几？ 那找呀，三是不是在这 x 等于三的时候，这个坐标是不是三都零？哎，所以 y 等于零？ 好，这就找到了，大家看啊，方程不需要解方程啊，哎，从函数图像上去找方程的解。再看第四题啊， k s 加 b 等于零，得解是 x 等于三， 大家对比一下啊， k x 加 b 和 k x 加 b， x 等于三的时候，它等于零，那是不是就是 y 等于零， 这是不是就是 y 等于零， x 等于三，那这就就是是不是与 x 轴的交点，所以就是三到零， 对吧？哎，与 x 轴的交点是三都零，那找一找，哪个题是与 x 轴的交点是三都零，那只有 c 吧。 第五题， y 等于 k， x 加 b 和 k x 加 b 等于零，这是不是就是令 y 等于零，那就是与 x 轴的交点？找一找是不是在这个位置，二都零吗？所以 x 就 等于二。第七题， y 等于 ax 加 b， 然后他说的是 a x 加 b 等于零，这又是一个送分题。 y 等于零，那既然是 y 等于零，是不就求求与 x 轴的交点，那通过观察发现，负三对零是不就是与 x x 轴的交点，所以 a 就是， 哎。负三。 第七题， y 等于 k， x 加 b 和 k x 加 b 等于零，那不就是 y 等于零吗？跟刚才一样，就是求与 x 轴的交点，那在这一找哦，负二都零，哎，所以 a 是 负二。 这一题， ax 加 b， ax 加 b 等于零，是不是又是令 y 等于零的问题？与 x 轴的交点，找一下谁 是不是 b 点负二负零，所以就是这个答案吗？我们在解函数和方程题的时候，根本一个方程都没有解， 就是通过我们判定一下是 y 等于零还是 x 等于零，找到与函数的交点，那交点情况上图里面一找就有了，哎，此类题都是考大家这个图像的性质，不是考你解方程 哎，所以很快的能把它给秒掉，哎，掌握好方法，这题求起来就很简单，这一类大题啊，我们就演示到这里，我们下面再来看第二大类哈，与两个函数有关的方程， 哎，刚才说了，第一个是与 x 轴交点，第二个是与 y 轴的交点，哎，这个是刚才一个方程的，我们刚才解过了，我们今天看第二个哈。 求函数与函数的焦点，那怎么求函数与函数的焦点？解决方法就是连立方成组，求出 x、 y， 这里我简单说明一下啊，什么叫连立方成组？比如说让你求 y 等于 k 一， x 加 b 一 和 y 等于 k 二， x 加上 b 二，求这两条函数的焦点，比如说这有一个坐标系，这是 y 一， 这是 y 二，让你求这个焦点坐标， 那怎么求焦点坐标？我就把它俩连立成方程组，然后呢，把它的 x 等于几和 y 等于几给求出来，所以那这个焦点的坐标是不就是 x 和 y 的 值？哎，我们求函数与函数的焦点都是这样做的， 但是这个哈，我们给他反过来看一下啊，或者用汉语来给他描述一下，我要求这个叫焦点的坐标，那我就得连立方程组，然后方程组的解是不是就是焦点坐标， 对吧？好，那反过来，我如果告诉你，哎，有个方程，它的它的 x y 就是 这个坐标，那么反过来这个坐标是不是就是方程组的解， 对吧？哎，它俩是双向箭头的哈，我再重复一遍，方程组的解就是焦点坐标，焦点坐标就是方程组的解， 方程组的解就是焦点坐标，焦点坐标就是方程组的解，这句话我们一会会反复的用啊，这句话我给大家展示，在这一会做题的时候，我们就用这句话来做啊，焦点坐标就是方程组的解， 方程组的解就是焦点坐标啊，这两个是一样的，我们下面来看题目啊。第一第一题，如图，在坐标系中，这个函数和这个函数相交于屁，然后让你求这个方程组的解， 方程组的解就是谁，哎，就是焦点坐标，所以这个方程组的解就是 p 的 坐标， p 的 坐标是不是 x 等于负三， y 等于一，所以 x 等于负三， y 等于一选 b， 这就完了。有些同学可能还没回过神来哈，哎，怎么就做完了？好，就是这句话的啊。方程组的解就是焦点坐标，所以让你求方程组的解，就是看看这个焦点的坐标是几，那么这个焦点从图上看是不是负一和三，所以这里就直接选了负一和三， 这就把题目给秒掉了。所以解方程的题目不一定非得让你解方程啊，会知识点哎。这题就很简单 来看第四题，他说函数与函数相交于 a， 然后让你求这个方程值，解是几，这个方程是从哪来的？是不是就是 y 等于 mx 加 n 和 y 等于负二， x 两个连立得出来的， 那这个连立的方程组的解，方程组的解就是焦点坐标，所以我们只要把 a 的 坐标给找出来， 是不是 x 的 值就确定了啊。但是这 a 有 a 等于四， a 等于四， a 不知道怎么办，要求坐标找函数，所以把它给带进去。四等于负二乘以 a， a 是 不是就等于负二？ 所以这个方程组的解就是 x 等于负二选 a。 第三题，这两个函数图像如图所示，然后这个方程组的解是解，方程组的解是谁？就是焦点坐标。但是你看这一个东西，哎呦，他俩怎么了？ 平行，那平行有焦点吗？哎，没有焦点，那既然没有焦点，那这个方程组有解吗？哎，没有解，所以他零个 啊，零个没有解。第五题，已知两个函数相交于 p， 那 么问你方程组的解是谁？哎，这句话再搬出来，方程组的解就是焦点坐标，所以这里是负四和二。 选负四和负二，哎呦，选 a。 第六题，函数与函数相交于 p， 那 么这个方程组的解是几？哎，同学们应该会了啊，方程组的解是谁？哎，就是焦点坐标，所以这题焦点坐标是不是 p 是 m？ 都四， 那我只要把 m 求下去不就行了吗？那怎么求坐标啊？代函数四等于 m 加二， m 等于二 啊，所以是不就是二和四选 c， 函数与函数两个函数的方程其实就是找他们的焦点坐标，从图上一下就找出来了。这节课我们就上到这里哈，拜拜。

都不杀死鬼，自己的心，作弊。

我们来看一次函数这块的快速求 k 法，好了一次函数的基本的定义和性质我们要非常熟悉，在此基础上我们要掌握一些好的方法，比如这个快速求 k 法。好，我们来看一下什么叫做快速求 k 法啊？我们来往这看。 首先呢，我们要知道一这样的一个概念，也就是斜率 k 的 概念。首先给定，我们一定要一条直线 y 等于 k， x 加 b， 给了两个点， 这个直线上两个点啊，点 a 和点 b， 坐标已知。注意， x 一 不等 x 二，为啥不等于？等于的话，他俩的连线就成一条垂直的垂直于 x 轴的直线了啊。 好了，那么根据求 k 的 公式，也就是斜率 k， 注意这两个表达式都对，你都得记住， 也就是 ab， 比如说 b 的 横坐标， b 的 重坐标减 a 的 横坐标除以 b 的 重坐标减 a 的 重坐标 y。 二减 y 一， 再除以 b 的 横坐标减 a 的 横坐标，可以吧， 你也可以反过来写，用 a 的 重坐标减 b 的 重坐标除以 a 的 横坐标减 b 的 横坐标，都可以。所以我们得看到这个 k 的 意义是什么呀？ 他就是纵坐标之差比上横坐标之差，具体是点 a 在 前，点 b 在 后还是点 b 在 前，点 a 在 后，无所谓，都能求出来。 好吧，好了，那我们把这个 k 的 绝对值叫什么呀？叫做直线的纵横之比。你看这个图，再看这个图，你看 a b 重坐标之差，是不是就是带带带，一个绝对值，外 a 减外 b 的 绝对值，横坐标之差呢？来是不是也要带个绝对值？那你看绝对值之比，也就是我们说的纵横比， 同理， a 在 靠左边是一样的，纵坐标之差绝对值比上横坐标之差的绝对值，这就叫纵横比 k 的 绝对值，是吧？来，把绝对值去了，它就叫斜率。那这个 k 的 绝对值决定了什么呢？ 纵横比这个概念我们看到了，是不是这个 k 的 绝对值越大，这个直线的倾斜程度也就越大呀？ 哎，你想想，是不是这 k 越大，你这个直线倾斜的程度也就越大，在这里也就越陡峭。好了，我们掌握这些基本概念，我们来看看 快速求 k 法具体怎么用好了。比如来看第一个例题，说以此函数 y 等于 k， x 加 b， 它的图像经过 m， n 两个点，求 k 的 值。太简单了。 来，第一个题，是不是太简单了？来，我们是不是 k 直接就等于纵坐标之差比上横坐标之差，谁在前谁在后无所谓。你看，比如说，用 m 的 纵坐标 减去 n 的 纵坐标三减二，再用 n 的 横坐标减去 m 的 横坐标， a 减零，减出来多少？减出来是不是一啊？ 那你又说老师换过来对不对呢？你再看，我们换过来写一下啊，用 m 的 横作重坐标，减去 n 的 重坐标，二减三， 再用 m 的 横坐标减去 n 的 横坐标零减一，这是多少？上面是负一，下边是负一，哎，是不是最后还是一？所以你看，我们说了，用谁在前，谁在后，谁减谁都可以解出的答案是一致的。好了，这就是第一个题， 我们再看，往后看，来继续快速求给法。来看零二说已知直线 过点 a 和点 b， 看图，点 a 和点 b 坐标已知了，求解析式，你看。但是这个求解析式的方法很多啊，你不一定先求 k 是 不是？来，那我们先用求快速求 k 法来求一下吧。好吧，这个 k 能不能求啊？当然可以求 来，比如说用 b 点的重坐标减 a 点的重坐标二减零，再用 b 点的横坐标减去 a 点的横坐标零减三， 减出来是多少？是不是负的三分之二？好了，学斜率。知道了，那你下一步咋办呀？哎，你注意，我们 e 函数有一个性质，这个 e 函数的图像与 y 轴的交点是什么呀？ 是不是就是你那个 y 等于 k， x 加 b 就是 那个 b 的 值啊？你现在 k 求出来了，是负三分之二， b 的 值不就是二吗？ 所以我们直接就能写出来， y 等于负的三分之二， x 加多少？ b 的 总坐标是几就加几加二。 来，你看快速求 k 法是不是可以快速求出解式？那用待定系数法可不可以求出来呢？也可以，好不好？我们再用待定系数法写一下这个题， 我们把它的解析式设成这样， y 等于 k， x 加 b， 那 你咋办？把 ab 带进去啊？来，将 a， 我 不写坐标了吧，将 ab 两点的坐标带入好不好？我们就带入上市吧。我们来看看什么三零带进去，这是不是就是零等于三？ k 加 b， 把三零带进去，你再把零二也带进去，是不是二等于 b？ 哈，来，那你看，所以 b 等于二，你把 b 等于二，再带到上面这个式子 上面。这个式子 k 是 不等于负三分之二，这不又出来了吗？所以 k 就 等于负的三分之二， b 就 等于二。所以这个表达是不一样的吗？ y 就 等于负的三分之二， x 加二。 好，来，两种方法你都要掌握一种方法，先求出 k， 然后再把一个点的坐标带进去，求解析式，或者把两个点直接带入你所设的这个解析式，用待定系数法，说白了就是解方程组的方法，解出 k 和 b， 这个方法你要掌握 好，那我们就继续来往后看啊。来看这个例三，说已知直线过点 a， 点 b， 求直线的解析式，同样是不是还是两种方法呀？哎，它还是两种方法，我们甚至都可以不画图了， 哎，如果你熟练了，你是不是就可以不画图了？那有的同学说我不熟练，要画图可不可以？可以，其实想想跟你画不画图没关系。来二，一点 a 在 这里，点 b 呢，是负一 负三，来点 b 在 这里，那这条直线以此类数，是不是这个样子呀？来，我们手工把它画下来，是这个样子。 好了，我说了，你只要会这个方法，不画图也可以。你看，我们是先用快速求 k 法，这个 k 我 们来求一下 k b 点纵坐标减 a， 点横坐标负一减二， 这减出来是多少？上面是负四，下面是负三，这个解出来是不是三分之四好了。然后呢？ 所以这个一函数解析式，就是就是三分之四倍的 x 加 b， 然后呢，我们随便带一个点，将点 a 吧二一带入上面这个解析式，我们不就求出来这个 b 了吗？是不就是一等于三分之四乘以二，再加上 b， 所以 这个 b 等于多少啊？一减三分之八就等于负的三分之五呗。好了，所以 b 就 等于负的三分之五 好了，那所以整个这个解析式就出来了， y 等于三分之四， x 减去三分之五。 好了，这是先求快速求 k 法啊，先把 k 求出来，再把一个点带进去的方法。快速求 k 法，那我们就再用一个方法，就是我们说的待定系数法，我们来看看求出来答案是不是一样的啊？那我们同理呢，还是设他的解析式， y 等于 k， x 加 b 来，然后呢，咱们将点 a 点 b 带入，好吧，我简写一下，带入上市，那我们是不是就得到了一个方程组啊？来，二一带进去就是一等于二， k 加 b 来，再带谁？ 再带负一负三，负三等于负， k 加 b 来带进去，负一负三带进去，那两个式子你咋办？加减消元带入消元任你选，这不就成解方程了吗？好吧，来，那所以我们写到这了，比如说我们来个一式减二式，你看能得到什么？ 左边减出来是谁？一减负三减出来是四，二 k 减负， k 减出来就是什么呀？是不是减出来就是三 k， 哎，减出来，所以 k 是 不是等于三分之四？哎， k 等于三分之四 好了，然后呢，将 k 等于三分之四，我们给他带入两个式子，你随便带。比如带入一式吧，三分之四，那就是一等于 二倍的三分之四，一乘以二倍的三分之四再加 b， 所以 b 是 不是就等于负的三分之五， 是不是等于负的三分之五？所以你看，跟上面解出来一样啊，解析式不就出来了吗？ y 等于三分之四， x 减去三分之五。 好了，你看两种方法解出来的答案是不是一样啊？哎，第一种方法，先求 k， 再带点。第二种方法，设出解一式，两个点一起带进来，解方程，解出 b 和 k， 搞定，来，这个快速求 k 法，我们就讲到这。

哈喽，大家好，我是石老师，今天我们来学习一次函数几何压轴问题。对于一次函数，很多时候啊，大家对于简单的图像性质都是有所了解的，但是一旦它涉及到特殊图形的存在性，很多同学就无从下手，那我们今天就来讲其中 一个特殊图形的涂在线，是什么图形呢？是等腰三角形。我们就来看一下，当一次函数它和等腰三角形结合起来考察的时候，我们应该怎么去处理 好。首先我们还是边读题边翻译题目。在平面这条坐标系 x o y 中 o 是 坐标原点直线 y 等于五分之十二， x 加十二，与 s 轴交于 a， 与 y 轴交于 b， 也就是说 ab 这条直线是 y 等于五分之十二， x 加十二， 那 b 点它的坐标我们就知道了，是零到十二，对不对？好，那 a 点的坐标我们也能读出来是负五到零。 现在若点 c 在 坐标轴上，哎，他说在坐标轴上有没有说是 s 轴或者是 y 轴呀？没有对不对？所所以说明这个坐标轴 s 轴也是可以的， y 轴也是可以的。且三角形 abc 是 以角 abc 为顶角的。等腰三角形 a、 b c a、 b c 这个角为顶角。等腰三角形啊，这个角为顶角，那谁是底角呢？ b a c 和 b c a 对 不对？也就是说它的隐含意思就是这个等腰三角形里边， b a 它等于 bc， 对 吧？好，它是等腰三角形，则 点 c 的 角坐标为多少？好，那此时我们来看一下，既然要求 b a 等于 bc， 那 我们是不是就可以看作以点 b 为圆心，以 b a 长为半径的一个圆， 哎，我们做一个圆，我们看它和坐标轴交于哪些点，是不是就可以了，对吧？好，这时我们找等腰线和思路，首先我们要知道 谁和谁是相等的，找到谁和谁相等，我们就可以。嗯，把它转化成以它为圆心，然后他们的长为半径做一个圆，然后和如果说在这个坐标轴上有焦点，那这个焦点就是他的另一个动点。 好，那你看 o a 长度是五， o b 长度是十二，哎，勾股定律，我们知道 b a 长度就是十三，那我们此时现在就以点 b 为圆心，以十三为半径做一个圆，它会是得到什么样子呢？做一个圆，大概是 大概，它它它，它是不是大概应该是这个样子啊？这个圆做的可能不太不太规范， 这表格可能有一些不太规范，大概是这个样子的，对不对？好，那我们来看一下它和它到底有哪些焦点呢？首先第一个焦点 很明显是在这点，对不对？对称过来的，然后它这个是十三，那它这个也应该是十三，十三，十二，这是十三，这是十二，那这里就应该也是五，所以说点 c 的 第一个坐标就诞生了，就是五斗零，对吧？ 那我们来看点 c 的 第二个坐标呢？哎，我们一直向上，向上，所以我们发现它和外轴有一个交点在这里，对不对啊？好，这是 c 二，这是第二个点坐标，我们发现啊， c a b a 等于 bc 二，是不是？然后他们又是一个等腰三角形，它是十三，那这里也是十三了，对不对？好， 因为这时候我们知道 c 二和 b 之间的距离是十三，并且呢， b 的 坐标是零到十二， c 二在它的上面，那就是十二，加上十三应该就等于二十五，所以说 c 二的第二个坐标就是，哎，零到二十五。 好，接着我们继续检查，哎，他过来，过来的时候是不是和 x 又有一个焦点，但是此时这个焦点是 a 点，再过来的时候他和 y 轴又有一个焦点，对不对？我们令它为 c 三，那此时我们发现 b a 是 十十三，那 bc 三也是十三，对吧？那 b 的 坐标是十二，零到十二，那我们知道 十二减去十三，它就等于负一，所以说 c 三的坐标就找到了点， c 的 三个坐标是 五到零，零到二十五和零到负一。好，这就是一次函数和等幺四幺形结合的时候。我们的方法是什么呢？就是看他的 让他让，看他是以谁让，哪两个边是相等的，哪两个边相等，那我们以这个公共点为圆心，然后以他们已知的边长为半径，然后作圆，然后去找他这个动点 c 就 可以了。好吧，同学们听明白了吗？

同学们好，我们来看一道初二的一次函数问题， 嗯，来看一下题，已知一次函数图像经过点 a 是 四逗一，点 b 呢是零逗五。那么第一问求一次函数的表达式，那这一问是比较简单， 我们知道求一次函数的表达式的，一般的方法就是待定系数法，将坐标带入我们的一般式，就可以把这个关系式表达式求出来，我们来写一下啊。先设 一次函数表达式为 y 等于 k， x 加 b， k 能为零，那么下来将点 a 四度一点 b 零度 带入 y 等于 k， x 加 b， 可得 四， k 加 b 等于一， b 等于五，那么这个方程组解得 k 等于负一， b 等于五，所以一次函数的 表达式为 y 等于负 x 加，那么到这里第一问就全部解完了。下来我们来看一下第二问。 第二问是一个动点问题，那么动点问题啊，我们这会一定要。嗯，了解一下动点的一个解析思路，我一般给学生讲， 不管是一次函数还是我们后面是二次函数动点问题，先设动点坐标，那么动点它在什么位置上？考试的话，一般的话就在 x 轴在 y 轴上，在直线上，在抛物线上等等。那么点 p 在 哪个位置上？我们去先设坐标，比如点 p 在 x 轴上，我们一般设 m 斗零， p 斗零， a 斗零都可以，那么点 p 如果在 y 轴上，我们可以设零斗 m 零动 b 等等。那么这个题呢，它的点 p 是 在我们的一个已知函数上面，我们已知刚才第一问求出来已知函数的关系式， y 等于负， x 加五，那么 下来我们可以设点 p 坐标，已知点 p 在 直线 y 等于负 x 加五上，所以先设点 p， 坐标为 x 动，那此时千万不能设成 x y， 那 么如果设 x y 的 话，那你这个坐标里面的嗯未知数就比较多，所以我们一般设 y 是 等于负 x 加五，所以我们可以设 x 动，负 x 加五，那这样咱们的坐标里面只有一个 x 这一个未知数，那么这样的方程的话就比较简单， 下面我们来看一下。已知 y 等于负 x 加五，点 a， 点 b， 我 们可以把这个函数的图像在坐标系里面画一下， 这是点 b， 四度一，这是点 a， 我 们来这个画一下，画完以后你看 那么点 p， 它一直在 这个直线上，因为动点在什么位置我们不确定，所以把这类问题问题的话啊视为，嗯看成动点问题，那么因为点 p 在 什么地方不知道，所以我们在直线上可以任意位置标一下，大家可以看一下啊，已知 p o p 的 面积 是 aob 的 二分之三倍，我们把 aob 简单画一下，由图可知的话，我们可以看一下这个 aob 的 这个面积是可以算出来的， 那么为了你们好理解啊，我把这个分开来讲一下，我们可以先算一下三角形 aob 的 面积， 三角形 a o b 的 面积是二分之一， o b 乘以个，我们以 o b 为底的话，那高的话就是刚好是点 a 的 横，坐标是四，这样我们可以算出来， a o b 的 面积是 o， b 是 五，二分之一， 二分之一乘以个 o， b 是， 再乘以个四，我们可以得出来面积是十，那么这样 就可以把 a o b 的 面积算出来， a o b 的 面积是十，那么根据这个我们可以得到 三角形 p o b 的 面积是二分之三倍的 s， 三角形 a o b 可以 算出来是十五， 到此我们就可以把三角形 p o b 的 面积算出来是十五，那么因为 p 它是一个动点，任意点，我们来看一下， 因为点 p 在 哪里不知道，我们可以任意位置飘点 p， 可以 在这我们可以看一下 p o b， 那 么点 p 也可以在这边 p o b， 那 么我们根据图像可以把 p o b 的 面积列出来 s 三角形 p o b 等于二分之一， 那么由图可知 p o b 的 话，这个三角形我们可以以 o b 为底， 那么 o b 为底的话，我们可以看出来 p o b 的 这个高 刚好是点 p 的 横坐标，那么点 p 在 哪个象限是不确定的，所以这个横坐标它可能是正，可能是负，但是我们的高它是没有负的，所以这里给它的这个横坐标一定要加上绝对值。那么这样 我们就可以把 p o b 的 面积用代数式列出来，二分之一 o b 是 五 x p， 那 么因为 p o b 的 面积是十五，我们刚才已经算出来了，那这样我们就可以进一步列一个方程了， 所以我们可以算出来二分之一乘以个五，乘以个 p 的 横坐标的绝对值等于个十五，那这样就可以解出来， x p 等于个六，那么 x p 等于正负六，那这样我们可以算出来 减 p 的 横坐标有两个值，一个是正六，一个是负六。那么算完以后，我们再将 x 等于六 或 x 等于负六带入我们点 p 坐标 x 动负 x 加五，那么这样我们就可以得到点 p 坐标，第一个六动负一， 得到第一个坐标，点 p 坐标六到负一， 那么 然后再算一下第二个坐标， 我们把负六带进去是负六，负六带进去以后是负六到十一，那到这我们就可以把点 p 坐标全部求出来， 最后点 p 左边有两个六逗，负一和六逗十一两个答案。那到这咱们这个一次函数就全部讲了。 那么像这种一次函数的动点问题啊，是初二，嗯的一个重点，也是难点，很多学生啊，对这种动点，嗯，还是没有掌握，没有理解。 那么这一课啊，是咱们面积问题，一次函数动点，关于面积的一个典型例题，咱们可以简单的，嗯，给大家讲一下。那后面的话啊，我们会把难度再加大一点。那到这咱们就讲完了啊，同学们，再见。