八年级数学一次函数书签

大家好呀，今天我们来一起攻克初中数学里一个非常重要的内容，一次函数。很多同学啊，觉得一次函数有点难，图像解析式性质感觉一团乱麻呀。 别担心，今天我就用最接地气的方式，带大家把一次函数彻底搞明白啊！第一个核心概念，什么是一次函数？ 首先我们得知道它长什么样。意思函数的标准照是 y 等于 k， x 加 b 这个形式啊，也是它一般形式。这里面有几个关键点，第一个， x 和 y 是 变量，就像一对好朋友一样，我一个变了，另一个也跟着干什么改变 k 和 b 呢？就是吗？常数我们称之为参数啊，这两个参数是一次函数的灵魂，决定了它的一切。 k 叫做比例系数，它掌管着函数整个图像的方向和坡度的啊。 b 叫做常数项，它掌管着函数图像与 y 轴的交点位置。最重要的条件， k 绝对不能等于零。如果 k 等于零了，那式子就变成了 y 等于 b 了，是不是 这是一个常数函数了？图像就是一条水平的直线了，就不是一次的了啊。而 b 呢，可以是任意实数， 包括零的。那当 b 等于零的时候，一次函数就变成了 y 等于什么？ k x， 这就是我们。呃，前面学的 y 等于 k， x 是 正比例函数。所以说啊，正比例函数是特殊的一次函数，那么它图像的性质亦是一条什么直线。 那么这条直线的脾气是谁来掌管的呢？一次函数的图像是一条直线。再记住啊，画直线只需要确定什么两个点，所以我们通常用两点法来画啊。那这条直线的脾气，也就是 它的性质是由谁来决定呢？当然是 k 和 b 是 不是 k 的 作用看方向。定向线。当 k 大 于零的时候，直线从左往右是什么上坡的啊？ y 的 值是随着 x 的 增大而增大的，当 k 小 于零的时候，直线从左到往右呢，是下坡的， y 的 值随着 x 的 变化增大而干什么减小？是不是啊？一句话口诀， k 正右呢？上斜看负呢？右下斜，那么 b 的 作用看它的焦点啊，定高低的。当 b 大 于零的时候，直线与 y 轴的焦点在 x 轴的上方，也就是 y 轴的正半轴。当 b 小 于零的时候，直线与 y 轴的什么啊？ 焦点在 x 轴的下方，也就是交与 y 轴的负半轴。那么当 b 等于零的时候，直线经过圆点零零。 那么下面我讲一下他的高频考点和易错点。第一个考点，根据 k 和 b 的 符号判断直线经过的象限 非常考的非常非常多，比如说 y 等于负二， x 加三的图像经过哪些象限呢啊？首先我来看 k 等于负二，是不是小于零呢？所以直线是什么下坡的？再看一下 b 是 不是等于三， b 大 于零，他交于 y 轴的什么正半轴。 所以我们可以想象一下，一条从左上方向右下方倾斜的直线，还穿过了 y 轴的正半轴，那他肯定经过一二四象限，是不是 啊？易错点是哪些呢？比如说只看 k 或者只看 b， 漏掉了一个，导致判断的错误了啊。记住，要 k 和 b 联手起来，才能够确定它的象限。 第三个知识点就是解析式的求解了啊，如何确定 k 和 b 的 值呢？这是考试的重中之重，题目通常会给你一些条件，让你求出函数的解析式， y 等于 k， x 加 b， 核心方法就是用待定系数法，因为 k 和 b 是 待定的吗 啊，解析步骤，第一步就是是表达是 y 等于 k， x 加 b 是 不是？第二步就是待，根据题目的条件 啊，通常是两个点的坐标啊，带入解析式就可以了，得到一个关于 k 和 b 的 这种方程组。第三步就是解这个方程组就可以了，求出 k 和 b 的 值。第四步就是把 k 和 b 带入到 y 等于 k， x 加 b， 写出最终的解析式。那么 第四大点就是实际应用了生活中的一次函数，这也是比较难的一点啊，一次函数在生活中无处不在，比如打车计费，水电费计算手机套餐等等，这类问题的关键是要读懂题意，找到变量之间的关系， 那么它的解析思路，第一步一定要审，仔细阅读这个题目，搞清楚谁是自变量 x， 谁是因变量 y。 第二步，找，找到题目中的等量关系，列出 y 与 x 的 关系式，注意区分固定费用就是对应的 b 和变动的费用，对应的 k x 啊。 第三步，解，根据关系式进行计算或纠结。第四答，写出答案，并检查是否符合实际意义。那么这里的易错点，在解决实际问题的时候，一定要注意 x 的 取值范围啊， 比如时间不能是复数，物品数量必须是整数等等啊。最后总结一下，一次函数啊，就像一个三剑客，解析是 y 等于 k， x 加 b， 图像直线和性质，它们三者紧密的相连的，知道其中一个就能推导出另外两个学习一次函数啊，关键就是抓住 k 和 b 这两个核心的参数，理解他们的几何意义。 好了，今天的分享啊就到这里，希望嗯，大家听完之后对一次函数有了更清晰的认识，多做练习，把这些知识点啊内化于心，你会发现一次函数其实非常有趣的啊。

同学们好，今天我们来看看速读版八年级数学微课，那么我们今天讲的是第五章一次函数的第五小节，一次函数的概念啊， 我们这个微课呢，更加适合咱们镇江的学生，如果有需要领取讲义或者配套练习的话，可以加个群。好，我们首先看这个知识讲解，但什么是一次函数呢？就是一般的形容 y 等于 k， s 加 b 这样的函数，我们都称之为一次函数啊。举个例子啊，比如说 y 等于二， x 加三，对吧？啊，比如说 y 等于二， x 减三， 哎，这些我们都称之为一次函数啊。那其中 kb 是 常数， k 不 等于零，常数就指的是所有的数啊，就是一个固定的数，那 k 不 等于零，指的是前面不能为零你比如说 y 等于三，这个我们就不能称之为一次函数啊。呃， 常数不为零就可以，这是他唯一的要求啊，要求就是这个啊，不是 k 不 能为零就可以啊，唯一的要求。那么比如说我们这个里面的 k 就 等于二 啊， b 就 等于三，对吧？那这个里面呢， k 就 等于二， b 就 等于负三啊。区分一下啊，比如说我再写一个负二， x 减三呢，就这样的话， k 就 等于负二， b 也等于负三啊。好，那这个就是我们一次函数的定义。那什么叫还有一个概念叫正比的函数？就一次函数当中呢？有一个特殊的函数啊，就 y 等于 k， s 这个东西呢？呃，它其实也是一次函数， 它只是一次函数里面的一个特殊情况，对吧？啊，那么它叫什么？叫正比例函数？那比如说 y 等于三 x， y 等于负七 x， 或者说 y 等于 x， y 等于负 x， 这些我们都称之为正比例函数啊。好， 我们先看一些例题啊，例一下列函数中 y 是 x 正比例函数的式，我们看一下第一个，第一个 y 的 人，五 s 减一，这个不对，这个是什么？因为它是一次函数啊，这 k 是 五 b 等于负一，第二个 y 的 三 x 方，这个也不是为什么，因为它是三 x 方，对吧？这是二次函数啊，第三个，第三个，对，对吧？这 k 等于什么？ 等于二分之一啊，所以选 c、 d 的 话，反面题函数不错的。好，我们看第二。我们都知道乌鸦喝水的故事， 杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，就每次投的都一样。 在水面高度达到杯口边缘之前，每枚石子都浸墨水中，从头放第一枚石子，开始计数。水面高度与投入的石子之间满足的函数关系式。什么意思呢？就最开始啊，这是个水杯，简化一下啊，本身它有一定高度的水，我们假设这个高度就是 b， 他每头一个石子呢，他的高度就会增加一些啊，增加一些，假设增加的这个叫 k， 头一个增加 k， 那 头两个呢？他就会增加 两个 k， 对 吧？啊，也是 k 啊，就二 k， 一 共增加二 k。 那 么他问我们水面高度这高度我们设为 h， 它 h 等于什么呢？等于 b 加上 n， k 就是 n 个十字吗？那我们整理一下，就是 h 等于 k 乘以 n 加 b 啊，这是我们呃投入的高水的高度以及石子个数之个数之高度。我们一般写成 依次函数的形式啊，选 b 选项啊，这题就是，呃，把 n 写成 x， h 写成 y， 我 们只是用 y 去表示高度，用 x 表示个数。啊，好，那所以它是一个现实情况的一个依次函数。好，我们再看例三，例三是下列函数中表示依次函数的。有， 有什么？有这个是吧？啊，这个不是，对吧？这也是，这个也不是，所以几个两个啊，这个里面值得注意的是什么呢？就是有的题目会问你啊，假设我加一个，那觉得这个是不是一次函数？ 注意啊，这个不是，这个一定要注明 k 不 等于零，因为他写了 y 等于 k， s 加 b， 他 别没有说 k 不 等于零，万一 k 等于零，他就不是了。所以如果有这个选项，大家注意不要选啊，不要选。再看例四，在依次函数中，依次向系数和常数 b 的 值分别是多少？那这个当中呢？他乍眼看不出来啊，所以关于这种题的做法，我们需要把它化简开来， 化简成我们需要的，或者说我们能看出来的形式，对吧？哎，加减减，减一，是不是减一加 x 来化解一下啊？等于二分之三， x 减一，所以这样的 k 的 话，就是二分之三， k 是 二分之三，然后 b 呢？是负一。啊，这个，这个写错了啊，这个 c 选项应该是我们需要的， k 是 二分之三，不是三分之二。啊，好，所以选 c 选项 好，例如已知函数，这个啊，这个是关于 x 的 一次函数，则 m 的 值。好，我们看一下啊，这个是关于 s 的 一次函数，也就意味着什么？意味着它的 一次项的系数应该是一，对吧，也就意味着什么？ m 的 绝对值等于一，那 m 等于 正负一，要注意一下，我们要验证一下这个正负一是不是都符合题，比如说什么时候就不符合呢？我们改一下啊，假设这个是 m 加一，乘以 x 的 m 的 绝对值加五，那这样的话，当我们解的 m 等于正负一之后，我们的 m 的 负一要舍掉。 为什么要舍掉呢？因为这个 m 加一，如果 m 等于负一， m 加一就是零了，那这样的话它就不是一次函数了，那这题呢，我们都得保留，所以选择 c 选项啊。好，那回忆一下我们今天讲的内容，今天讲的是一次函数的一个概念啊，就是长什么样东西它是一次函数 啊，那么一定要注意。呃，他那个 k 不 能零，然后意思函数当中有一个特殊的就是什么？就是正比例函数啊，正比例函数就是那个 b 为零啊。好，那这节微课呢，我们就讲到。

看看这个怎么做？关于一次函数，它的图像与性质这块呢，是重中之重，但是很多娃掌握的并不扎实，咱们借这道去年的期末选择压轴题来帮助你查漏补缺，看看掌握的咋样。说给了这两个一次函数的图像，让你判断下边三个哪个是正确的。 先看第一个， a， d 加 bc 大 于零，显然得判断它们的正负，也就意味着你必须得掌握这个 y 等于 k， x 加 b 这个一次函数 kb 对 图像的影响。 那 k 呢，决定它上升下降嘛，所以这里的 a 它是下降的， a 是 负的，这 c 呢，上升的就是正的。从左往右来看的，那这个 b 就是 x 得零时， y 等于 b， 决定和 y 轴的交点， 所以 y 一 这里和 y 轴交在正半轴，它是正的。 y 二呢，和 y 轴交在负半轴， d 就是 负的。那这样你看 a 乘 d， a 乘 d， 两负的相乘，显然它是正的， b 乘 c 呢，两正的相乘也是正的，所以相加大于零。第一个是对的， 那接着看第二个，其实如果你实际碰到啊，观察四个选项都有二，那显然它是对的嘛。不过呢，我们要看看为什么那像这种呢？你就看看它们转化之后和解析式之间有什么关系。你看，咱把括号去一下，变成三 a 减三， c 等于 d 减 b， 现在和解析式还看不出来直接关系，因为这边 ab 是 一伙的，所以咱把 b 给它拉过来，三 a 加 b， 这边 c 过去，三 c 加 d。 那 这样你去观察这两个式子和解析式的关系，是不是发现了，这不就是 x 等于三的时候吗？ 咱只要把 x 等于三代入这俩解析式，就得到三 a 加 b 和三 c 加 d， 那 这两个式子就是对应的 x 等于三十，这对应的函数值。显然在图像里观察 x 等于三十，图像有交点， 说明此时函数值相等，那这个二就是对的。所以像这种出现了比例系数还有常数的，可以把它化简之后观察一下和解析式的关系。 那第三个 x 的 值每增加一，这 y 二减 y， 一 的值呢？增加 d 减 b， 这句话啥意思？咱举个例子，比如说给一个解析式， y 等于二， x 加一，这 x 每增加一呢？比如我们取 x 等于一和二， 此时这 y 分 别等于多少？一的时候，二乘一加一，这边呢？是二乘二加一，那你会发现这个 x 它每增加一，这 y 呢就增加了二， 是不是和前边这个系数有关系？那反过来，如果是 y 等于负二， x 加一， k 是 负的，咱知道 y 随 x 增大而减小，也就是说 x 每增加一，这 y 呢就减小二了。 那这样的话，我们只要把 y 二减 y 表示出来就可以了。那回到这两个相减，解析式分别代入 c， x 加 d 减去 ax 减 b， 那刚才说了和 x 的 系数有关，所以咱把它提一块，得到 c 减 a 倍的 x 加上 d 减 b， 那 观察一下，这里是 c 减 a， 上边选项是 d 减 b， 那 他俩的关系在圈二就发现了 三倍的 a 减 c 等于 d 减 b， 那 c 减 a 的 话，是不是提个符号，那把圈二变形得到三倍的负的 c 减 a， 等于 d 减 b， 把这符号和三都移过去， c 减 a， 就 等于三分之一的 b 减 d， 那 把它再带回来，就得到了 三分之一的 b 减 d 乘 x， 加上 d 减 b， 那 就意味着 x 的 值每增加一，这个 y， 二减 y 的 值呢？它就增加三分之一 b 减 d， 或者说增加 c 减 a， 因为 c 是 正的， a 是 负的， b 也是正的， d 是 负的，两相减显然是正的，所以小圈三就是错的。这题只选一二，也就是 a， 那 就到这每天进步一点点，咱们下一题见。

我们来看一下今天的一次函数的图像与性质啊，在同一坐标系中，一次函数 y 一 等于 mx 减掉 n 和 y 二等于 n， x 减掉 m 的 图像可能为多少？那这一题啊，它其实是考察了这个一次函数的图像和性质，我们怎么样来去做？根据一次函数的图像来确定相应的系数， 哎，定系数，我们来定系数，然后呢，我们来比较，最终找到矛盾，这个题啊，就能解掉了。你比方说像这个 a 选项啊，你看这个 y 等于 y 等于 mx 减掉 n， 不是 吧，对吧？你看他的一个图像是什么样子的？他这个图像是不是 这个 m 是 要小于零的吧？ m 小 于零， m 小 于零，你看它的角点，它和 y 轴的一个角点在这个正半轴上在正半轴上，那你这个负 n 负 n 是 大于零的，负 n 大 于零，那么就是 n 小 于零， n 小 于零，对吧？那么这个是 y e， 我 们来看这个 y 二这一块啊， y 二这一块， y 二现在是什么样子的？ an m n x 减掉 m 减掉 m， 那 么你这个负 m， 那 他和 y 轴的交点也在这个 y 轴的正半轴上， y 轴的正半轴上，那你这个负 m， 哎，负 m 这一块看到了吗？负 m 的 话，他还是大于零的，哎，他是大于零，负 m 大 于零，然后 n 呢？他系数吗？ n 大于零， n 大 于零，这个负 m 大 于零的话，那么 m 小 于零，你看 m 小 于零， n 大 于零，这两个，哎，不服，有矛盾，对吧？那错了。然后第二个，我们也按照这种方法来去分析啊，按照这种方法来去分析，那么你去 分析这个图像， y e 的 一个图像，你看它和 y 轴负半轴相交，对吧？ m y e 啊， m 大 于零， n 负 n 负 n， 是 吧？负 n 小 于零，负 n 小 于零的话，那你这个 n 是 大于零，嗯， 那就 y 二这一块看， n 小 于零， n 小 于零， n 小 于零，然后你这个负 m 负 m 啊，和这个 y 二和 y 轴的正半轴相交，负 m 是 大于零，那么你 m 是 小于零。哎，看， 不服啊，那有矛盾啊。我们接着来看这个 d c c 选项， y e 这一块， y e 对 吗？ y e， 那 么这个 m 大于零， m 大 于零，负 n 呢？负 n 也是大于零的，负 n 也是大于零，那么你这个 n 是 小于零。哎，这样写一下， y 二这一块， y 二 n 小 于零， n 小 于零，负 m 负 m， 你 看它和负轴相交，负半轴相交小于零，那么 m 是 大于零。哎，看到了吗？ 是享福的啊！ c 选项是对的， d 选项这边用同样的方法就可以了啊。我们接着来看这个图像啊， 一列快车从实验中学开往锦绣中学，实验中学开往锦绣中学，然后一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，哎，然后两车同时出发，设快车离锦绣中学学的距离为 y， 然后慢车离锦绣中学的距离啊， 为 y 二，都是距离锦绣中学的距离啊，那么行驶时间为 x， 两车之间的距离为 s， 两车之间的距离为 s。 y 一 y 二与 x 的 函数关系如图一所示，那么 s 与 x 的 函数关系向图二所示，则判断啊，下边给的四个限定条件是否正确啊？ ok， 我 们来看一条条来看啊。 首先我们来分析一下这个图啊，来分析一下这个图，那么你这个 y e 啊，你看啊，对吧？ y e 是 随着 x 的 增大而减小，那是因为你这个快车啊， 是从实验中学往锦绣中学去，你这个 y 一 表示的是与锦绣中学的距离，所以这个距离啊，会越来越小，哎，他这个走势是这样子的，那么你 y 二呢？表示的是慢车离开锦绣中学，在这个距离啊，会越来越大，距离会越来越大，哎，这样子的啊，那么第一位我们看一看第一个圈一啊，图一中，哎， 等于三， a 等于三表示什么意思？你看 a 不是 时间吗？ a 是 时间啊， a 是 时间，那这个是什么意思？这个是他们相距处时距离啊，处时是相距三百千米，三百千米，然后到 a 这个时间之后距离为零了，那是不是说明我这个已经到了，我这个车已经到了，对吧？我们这个锦绣中学和实验中学相距三百千米，三百千米，然后我花了 a 这个时间，哎，我就到了 啊，是这样的一个判断啊，那么你这个当 a 等于三的时候， a 到了，就是当 a 等于三的时候，这个快车啊，到了锦绣中学，我们来看一下这个里边图，分析一下。图二 这个 a b 这一段， a b 这一段啊， a b 这一段表示的是什么？ s s 表示的是两车的距离，两车的距离一直在 缩小，一直在缩小，一直在缩小，到达 b 点这个点的时候，两车之间的距离为零了，那么这不是两车相遇了吗？对吧？那么 a b 表示的就是相遇之前， bc 呢？ bc 所表示的是就是相遇之后，相遇之后那快车接着行驶的一个图啊， bc 表示的是快车接着行驶的，因为你这个快车到达 a 点的时候，花了这个 a 十的时候，它就已经 到了到锦绣中学了，那么你这个后边这个五啊，你看这个五表示什么？慢车啊？你慢车的话，你花了五个小时到三百公里，它的速度，你看速度等于三百除以五等于六十， 表示的是我慢车。在你快车到达锦绣中学之后，我这个慢车还在行驶， 那我一共花了五个小时才到，所以这个后边的图像 cd， 这个图像是慢车行驶的图像啊。 bc 表示的是相遇之后快车行驶的图像，快车花了多长时间？ x 表示时间吗？三个小时，所以点 a 这边是三，哎，这个是对的，那么第二个啊，当 x 等于百分之十五的时候，两车相遇，两车相遇，我们来看图像， y 一 与 y 二，当他们相遇的时候，就他俩就有交点了，有交点的时候是有相遇，那么你这个就借助 函数关系式，把这两个直线的函数关系式求出来，然后让另他俩相等，这样来纠结，对吧？这样来纠结，因为你看这有点，这有点，那是不是都是可以来用，对吧？ y 一 y 一 是一次函数，我们设这个 y 一 等于看一 x 加上 b 一， 我们分别就把这个零到三百和这个三到零代入， 三到零代入，那么你这个函数表达式不就有了吗？函数表达式，你这样你去解，解出来的话 k 等于负一百， b 等于三百，那么这个 y 一 的一个解析式就是负一百， x 加上三百，对吧？你这个 y 二 y 二这一块，你看它是经过原点的 正比例函数，经过原点的正比例函数，那么它过了哪个点？还除了过原点之外，还过哪个点？五到三百，这个点五到三百。把这个正比例函数设出来， y 二等于 k， x 把五到三百带入进去，解出来开二等于六十，那么你这个 y 二呢？就等于六十， x 两两车相遇了嘛？两车相遇，哎，相遇的话，你就令 y e 等于 y 二啊，你这个 y e 等于 y 二就截出来，负一百 x 加上三百等于六十， x 截出来的话，就是 x 等于百分之十五，这是对的，这个是对的。 来看圈三啊，当这个 x 等于二分之三的时候，两车相距六十公里，两车相距六十，我们先看一下 x 等于二分之三的时候， 它是怎么样来表述啊？那么你这个快车大概是到这样的一个位置，大概是到这样的位置，那么它距离锦绣中学呢？ y 二， y 二，所以这个就是红色的一个部分啊，红色的这一部分就是他相距的， 他们相距多少公里，对吧？相距多少千米？那你把这个 y， 把这个 x 等于二分之三，你带入到这个 y 一 和 y 二里边去，那么你能分别求出来这两个车相距锦绣中学的一个距离，你再用 y 一 减掉 y 二， 对吧？你用 y 一 减掉 y 二，那就是一百五十，减掉九十等于六十，哎，这个就是它相距的 啊，接出来就是这样子的，第三个是对的啊，第三个也是对的。那么来看第四个，你当这个 x 等于八分之五，或者是八分之二十五的时候，两车相距二百千米，二百千米，那么这个时候我们需要去分类来讨论，怎么样来讨论啊？就你两车相遇之前， 你两乘相遇之前，对吧？你就比方说像我们刚才做第三问的时候，就是相遇之前，那你这样子，这中间这个就是 y 一 减掉 y 二，这个红色的部分是他们想差想距的一个，就是想距的一个距离啊， 那么你就是 y 一 减掉 y 二，你把这个啊，把这个截出来的就是负一百 x 加上三百减掉六十 x 等于二百，然后截出来的 x 等于八分之五， ok， 这个没问题啊，那么还有一个情况呢，就是两车相遇之后了啊，你两车相遇之后，你这个快车啊， 快车你行驶到这，那么你慢车呢啊？慢车可能行驶到这，对吗？那么这个时候， 这个时候你这个慢车 y 二，那就大， y 二就大，然后你这个快车的 y 一 啊， y 一 就小，对吧？那你用 y 二减掉 y 一， y 二减掉 y 一， 你分别把这个代入啊，代入之后，你得到的话 x 等于百分之二十五，但是，但是啊，你这个百分之二十五 是大于三的，为什么要大于三？因为你这个快车啊，三个小时就已经到达了这个锦绣中学，三个小时已经到达了终点了，到了锦绣中学了，对吧？那么我这个快车就不再走了，后边的距离全靠慢车来走，全靠慢车来拉开这个距离， 那么就当快车啊，就是到三个小时，行驶三个小时，到达终点的时候，慢车离开起点，他三个小时吗？慢车离开起点，我们知道速度是六十，花了三个小时离开起点就是一百八，一百八十千米， 一百二十铅笔，他们，他距离二百铅笔呢，还差二十二百减一百八，等于还差二十。那我只要再算出来我这个慢车行驶二十铅笔花多少时间就 ok 了，对吗？那么就是路程除以速度等于十点三分之一小时， 那总共就花了多长时间呢？是三加三分之一个小时，等于三分之十个小时。所以这个啊，你看前一个是对的，但是后边一个不对，所以这个最终是一二三是对的。