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大家好呀,今天我们来一起攻克初中数学里一个非常重要的内容,一次函数。很多同学啊,觉得一次函数有点难,图像解析式性质感觉一团乱麻呀。 别担心,今天我就用最接地气的方式,带大家把一次函数彻底搞明白啊!第一个核心概念,什么是一次函数? 首先我们得知道它长什么样。意思函数的标准照是 y 等于 k, x 加 b 这个形式啊,也是它一般形式。这里面有几个关键点,第一个, x 和 y 是 变量,就像一对好朋友一样,我一个变了,另一个也跟着干什么改变 k 和 b 呢?就是吗?常数我们称之为参数啊,这两个参数是一次函数的灵魂,决定了它的一切。 k 叫做比例系数,它掌管着函数整个图像的方向和坡度的啊。 b 叫做常数项,它掌管着函数图像与 y 轴的交点位置。最重要的条件, k 绝对不能等于零。如果 k 等于零了,那式子就变成了 y 等于 b 了,是不是 这是一个常数函数了?图像就是一条水平的直线了,就不是一次的了啊。而 b 呢,可以是任意实数, 包括零的。那当 b 等于零的时候,一次函数就变成了 y 等于什么? k x, 这就是我们。呃,前面学的 y 等于 k, x 是 正比例函数。所以说啊,正比例函数是特殊的一次函数,那么它图像的性质亦是一条什么直线。 那么这条直线的脾气是谁来掌管的呢?一次函数的图像是一条直线。再记住啊,画直线只需要确定什么两个点,所以我们通常用两点法来画啊。那这条直线的脾气,也就是 它的性质是由谁来决定呢?当然是 k 和 b 是 不是 k 的 作用看方向。定向线。当 k 大 于零的时候,直线从左往右是什么上坡的啊? y 的 值是随着 x 的 增大而增大的,当 k 小 于零的时候,直线从左到往右呢,是下坡的, y 的 值随着 x 的 变化增大而干什么减小?是不是啊?一句话口诀, k 正右呢?上斜看负呢?右下斜,那么 b 的 作用看它的焦点啊,定高低的。当 b 大 于零的时候,直线与 y 轴的焦点在 x 轴的上方,也就是 y 轴的正半轴。当 b 小 于零的时候,直线与 y 轴的什么啊? 焦点在 x 轴的下方,也就是交与 y 轴的负半轴。那么当 b 等于零的时候,直线经过圆点零零。 那么下面我讲一下他的高频考点和易错点。第一个考点,根据 k 和 b 的 符号判断直线经过的象限 非常考的非常非常多,比如说 y 等于负二, x 加三的图像经过哪些象限呢啊?首先我来看 k 等于负二,是不是小于零呢?所以直线是什么下坡的?再看一下 b 是 不是等于三, b 大 于零,他交于 y 轴的什么正半轴。 所以我们可以想象一下,一条从左上方向右下方倾斜的直线,还穿过了 y 轴的正半轴,那他肯定经过一二四象限,是不是 啊?易错点是哪些呢?比如说只看 k 或者只看 b, 漏掉了一个,导致判断的错误了啊。记住,要 k 和 b 联手起来,才能够确定它的象限。 第三个知识点就是解析式的求解了啊,如何确定 k 和 b 的 值呢?这是考试的重中之重,题目通常会给你一些条件,让你求出函数的解析式, y 等于 k, x 加 b, 核心方法就是用待定系数法,因为 k 和 b 是 待定的吗 啊,解析步骤,第一步就是是表达是 y 等于 k, x 加 b 是 不是?第二步就是待,根据题目的条件 啊,通常是两个点的坐标啊,带入解析式就可以了,得到一个关于 k 和 b 的 这种方程组。第三步就是解这个方程组就可以了,求出 k 和 b 的 值。第四步就是把 k 和 b 带入到 y 等于 k, x 加 b, 写出最终的解析式。那么 第四大点就是实际应用了生活中的一次函数,这也是比较难的一点啊,一次函数在生活中无处不在,比如打车计费,水电费计算手机套餐等等,这类问题的关键是要读懂题意,找到变量之间的关系, 那么它的解析思路,第一步一定要审,仔细阅读这个题目,搞清楚谁是自变量 x, 谁是因变量 y。 第二步,找,找到题目中的等量关系,列出 y 与 x 的 关系式,注意区分固定费用就是对应的 b 和变动的费用,对应的 k x 啊。 第三步,解,根据关系式进行计算或纠结。第四答,写出答案,并检查是否符合实际意义。那么这里的易错点,在解决实际问题的时候,一定要注意 x 的 取值范围啊, 比如时间不能是复数,物品数量必须是整数等等啊。最后总结一下,一次函数啊,就像一个三剑客,解析是 y 等于 k, x 加 b, 图像直线和性质,它们三者紧密的相连的,知道其中一个就能推导出另外两个学习一次函数啊,关键就是抓住 k 和 b 这两个核心的参数,理解他们的几何意义。 好了,今天的分享啊就到这里,希望嗯,大家听完之后对一次函数有了更清晰的认识,多做练习,把这些知识点啊内化于心,你会发现一次函数其实非常有趣的啊。

同学们好,今天我们来看看速读版八年级数学微课,那么我们今天讲的是第五章一次函数的第五小节,一次函数的概念啊, 我们这个微课呢,更加适合咱们镇江的学生,如果有需要领取讲义或者配套练习的话,可以加个群。好,我们首先看这个知识讲解,但什么是一次函数呢?就是一般的形容 y 等于 k, s 加 b 这样的函数,我们都称之为一次函数啊。举个例子啊,比如说 y 等于二, x 加三,对吧?啊,比如说 y 等于二, x 减三, 哎,这些我们都称之为一次函数啊。那其中 kb 是 常数, k 不 等于零,常数就指的是所有的数啊,就是一个固定的数,那 k 不 等于零,指的是前面不能为零你比如说 y 等于三,这个我们就不能称之为一次函数啊。呃, 常数不为零就可以,这是他唯一的要求啊,要求就是这个啊,不是 k 不 能为零就可以啊,唯一的要求。那么比如说我们这个里面的 k 就 等于二 啊, b 就 等于三,对吧?那这个里面呢, k 就 等于二, b 就 等于负三啊。区分一下啊,比如说我再写一个负二, x 减三呢,就这样的话, k 就 等于负二, b 也等于负三啊。好,那这个就是我们一次函数的定义。那什么叫还有一个概念叫正比的函数?就一次函数当中呢?有一个特殊的函数啊,就 y 等于 k, s 这个东西呢?呃,它其实也是一次函数, 它只是一次函数里面的一个特殊情况,对吧?啊,那么它叫什么?叫正比例函数?那比如说 y 等于三 x, y 等于负七 x, 或者说 y 等于 x, y 等于负 x, 这些我们都称之为正比例函数啊。好, 我们先看一些例题啊,例一下列函数中 y 是 x 正比例函数的式,我们看一下第一个,第一个 y 的 人,五 s 减一,这个不对,这个是什么?因为它是一次函数啊,这 k 是 五 b 等于负一,第二个 y 的 三 x 方,这个也不是为什么,因为它是三 x 方,对吧?这是二次函数啊,第三个,第三个,对,对吧?这 k 等于什么? 等于二分之一啊,所以选 c、 d 的 话,反面题函数不错的。好,我们看第二。我们都知道乌鸦喝水的故事, 杯中有一定量的水,假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子,就每次投的都一样。 在水面高度达到杯口边缘之前,每枚石子都浸墨水中,从头放第一枚石子,开始计数。水面高度与投入的石子之间满足的函数关系式。什么意思呢?就最开始啊,这是个水杯,简化一下啊,本身它有一定高度的水,我们假设这个高度就是 b, 他每头一个石子呢,他的高度就会增加一些啊,增加一些,假设增加的这个叫 k, 头一个增加 k, 那 头两个呢?他就会增加 两个 k, 对 吧?啊,也是 k 啊,就二 k, 一 共增加二 k。 那 么他问我们水面高度这高度我们设为 h, 它 h 等于什么呢?等于 b 加上 n, k 就是 n 个十字吗?那我们整理一下,就是 h 等于 k 乘以 n 加 b 啊,这是我们呃投入的高水的高度以及石子个数之个数之高度。我们一般写成 依次函数的形式啊,选 b 选项啊,这题就是,呃,把 n 写成 x, h 写成 y, 我 们只是用 y 去表示高度,用 x 表示个数。啊,好,那所以它是一个现实情况的一个依次函数。好,我们再看例三,例三是下列函数中表示依次函数的。有, 有什么?有这个是吧?啊,这个不是,对吧?这也是,这个也不是,所以几个两个啊,这个里面值得注意的是什么呢?就是有的题目会问你啊,假设我加一个,那觉得这个是不是一次函数? 注意啊,这个不是,这个一定要注明 k 不 等于零,因为他写了 y 等于 k, s 加 b, 他 别没有说 k 不 等于零,万一 k 等于零,他就不是了。所以如果有这个选项,大家注意不要选啊,不要选。再看例四,在依次函数中,依次向系数和常数 b 的 值分别是多少?那这个当中呢?他乍眼看不出来啊,所以关于这种题的做法,我们需要把它化简开来, 化简成我们需要的,或者说我们能看出来的形式,对吧?哎,加减减,减一,是不是减一加 x 来化解一下啊?等于二分之三, x 减一,所以这样的 k 的 话,就是二分之三, k 是 二分之三,然后 b 呢?是负一。啊,这个,这个写错了啊,这个 c 选项应该是我们需要的, k 是 二分之三,不是三分之二。啊,好,所以选 c 选项 好,例如已知函数,这个啊,这个是关于 x 的 一次函数,则 m 的 值。好,我们看一下啊,这个是关于 s 的 一次函数,也就意味着什么?意味着它的 一次项的系数应该是一,对吧,也就意味着什么? m 的 绝对值等于一,那 m 等于 正负一,要注意一下,我们要验证一下这个正负一是不是都符合题,比如说什么时候就不符合呢?我们改一下啊,假设这个是 m 加一,乘以 x 的 m 的 绝对值加五,那这样的话,当我们解的 m 等于正负一之后,我们的 m 的 负一要舍掉。 为什么要舍掉呢?因为这个 m 加一,如果 m 等于负一, m 加一就是零了,那这样的话它就不是一次函数了,那这题呢,我们都得保留,所以选择 c 选项啊。好,那回忆一下我们今天讲的内容,今天讲的是一次函数的一个概念啊,就是长什么样东西它是一次函数 啊,那么一定要注意。呃,他那个 k 不 能零,然后意思函数当中有一个特殊的就是什么?就是正比例函数啊,正比例函数就是那个 b 为零啊。好,那这节微课呢,我们就讲到。

看看这个怎么做?关于一次函数,它的图像与性质这块呢,是重中之重,但是很多娃掌握的并不扎实,咱们借这道去年的期末选择压轴题来帮助你查漏补缺,看看掌握的咋样。说给了这两个一次函数的图像,让你判断下边三个哪个是正确的。 先看第一个, a, d 加 bc 大 于零,显然得判断它们的正负,也就意味着你必须得掌握这个 y 等于 k, x 加 b 这个一次函数 kb 对 图像的影响。 那 k 呢,决定它上升下降嘛,所以这里的 a 它是下降的, a 是 负的,这 c 呢,上升的就是正的。从左往右来看的,那这个 b 就是 x 得零时, y 等于 b, 决定和 y 轴的交点, 所以 y 一 这里和 y 轴交在正半轴,它是正的。 y 二呢,和 y 轴交在负半轴, d 就是 负的。那这样你看 a 乘 d, a 乘 d, 两负的相乘,显然它是正的, b 乘 c 呢,两正的相乘也是正的,所以相加大于零。第一个是对的, 那接着看第二个,其实如果你实际碰到啊,观察四个选项都有二,那显然它是对的嘛。不过呢,我们要看看为什么那像这种呢?你就看看它们转化之后和解析式之间有什么关系。你看,咱把括号去一下,变成三 a 减三, c 等于 d 减 b, 现在和解析式还看不出来直接关系,因为这边 ab 是 一伙的,所以咱把 b 给它拉过来,三 a 加 b, 这边 c 过去,三 c 加 d。 那 这样你去观察这两个式子和解析式的关系,是不是发现了,这不就是 x 等于三的时候吗? 咱只要把 x 等于三代入这俩解析式,就得到三 a 加 b 和三 c 加 d, 那 这两个式子就是对应的 x 等于三十,这对应的函数值。显然在图像里观察 x 等于三十,图像有交点, 说明此时函数值相等,那这个二就是对的。所以像这种出现了比例系数还有常数的,可以把它化简之后观察一下和解析式的关系。 那第三个 x 的 值每增加一,这 y 二减 y, 一 的值呢?增加 d 减 b, 这句话啥意思?咱举个例子,比如说给一个解析式, y 等于二, x 加一,这 x 每增加一呢?比如我们取 x 等于一和二, 此时这 y 分 别等于多少?一的时候,二乘一加一,这边呢?是二乘二加一,那你会发现这个 x 它每增加一,这 y 呢就增加了二, 是不是和前边这个系数有关系?那反过来,如果是 y 等于负二, x 加一, k 是 负的,咱知道 y 随 x 增大而减小,也就是说 x 每增加一,这 y 呢就减小二了。 那这样的话,我们只要把 y 二减 y 表示出来就可以了。那回到这两个相减,解析式分别代入 c, x 加 d 减去 ax 减 b, 那刚才说了和 x 的 系数有关,所以咱把它提一块,得到 c 减 a 倍的 x 加上 d 减 b, 那 观察一下,这里是 c 减 a, 上边选项是 d 减 b, 那 他俩的关系在圈二就发现了 三倍的 a 减 c 等于 d 减 b, 那 c 减 a 的 话,是不是提个符号,那把圈二变形得到三倍的负的 c 减 a, 等于 d 减 b, 把这符号和三都移过去, c 减 a, 就 等于三分之一的 b 减 d, 那 把它再带回来,就得到了 三分之一的 b 减 d 乘 x, 加上 d 减 b, 那 就意味着 x 的 值每增加一,这个 y, 二减 y 的 值呢?它就增加三分之一 b 减 d, 或者说增加 c 减 a, 因为 c 是 正的, a 是 负的, b 也是正的, d 是 负的,两相减显然是正的,所以小圈三就是错的。这题只选一二,也就是 a, 那 就到这每天进步一点点,咱们下一题见。

我们来看一下今天的一次函数的图像与性质啊,在同一坐标系中,一次函数 y 一 等于 mx 减掉 n 和 y 二等于 n, x 减掉 m 的 图像可能为多少?那这一题啊,它其实是考察了这个一次函数的图像和性质,我们怎么样来去做?根据一次函数的图像来确定相应的系数, 哎,定系数,我们来定系数,然后呢,我们来比较,最终找到矛盾,这个题啊,就能解掉了。你比方说像这个 a 选项啊,你看这个 y 等于 y 等于 mx 减掉 n, 不是 吧,对吧?你看他的一个图像是什么样子的?他这个图像是不是 这个 m 是 要小于零的吧? m 小 于零, m 小 于零,你看它的角点,它和 y 轴的一个角点在这个正半轴上在正半轴上,那你这个负 n 负 n 是 大于零的,负 n 大 于零,那么就是 n 小 于零, n 小 于零,对吧?那么这个是 y e, 我 们来看这个 y 二这一块啊, y 二这一块, y 二现在是什么样子的? an m n x 减掉 m 减掉 m, 那 么你这个负 m, 那 他和 y 轴的交点也在这个 y 轴的正半轴上, y 轴的正半轴上,那你这个负 m, 哎,负 m 这一块看到了吗?负 m 的 话,他还是大于零的,哎,他是大于零,负 m 大 于零,然后 n 呢?他系数吗? n 大于零, n 大 于零,这个负 m 大 于零的话,那么 m 小 于零,你看 m 小 于零, n 大 于零,这两个,哎,不服,有矛盾,对吧?那错了。然后第二个,我们也按照这种方法来去分析啊,按照这种方法来去分析,那么你去 分析这个图像, y e 的 一个图像,你看它和 y 轴负半轴相交,对吧? m y e 啊, m 大 于零, n 负 n 负 n, 是 吧?负 n 小 于零,负 n 小 于零的话,那你这个 n 是 大于零,嗯, 那就 y 二这一块看, n 小 于零, n 小 于零, n 小 于零,然后你这个负 m 负 m 啊,和这个 y 二和 y 轴的正半轴相交,负 m 是 大于零,那么你 m 是 小于零。哎,看, 不服啊,那有矛盾啊。我们接着来看这个 d c c 选项, y e 这一块, y e 对 吗? y e, 那 么这个 m 大于零, m 大 于零,负 n 呢?负 n 也是大于零的,负 n 也是大于零,那么你这个 n 是 小于零。哎,这样写一下, y 二这一块, y 二 n 小 于零, n 小 于零,负 m 负 m, 你 看它和负轴相交,负半轴相交小于零,那么 m 是 大于零。哎,看到了吗? 是享福的啊! c 选项是对的, d 选项这边用同样的方法就可以了啊。我们接着来看这个图像啊, 一列快车从实验中学开往锦绣中学,实验中学开往锦绣中学,然后一辆慢车从锦绣中学开往实验中学,哎,然后两车同时出发,设快车离锦绣中学学的距离为 y, 然后慢车离锦绣中学的距离啊, 为 y 二,都是距离锦绣中学的距离啊,那么行驶时间为 x, 两车之间的距离为 s, 两车之间的距离为 s。 y 一 y 二与 x 的 函数关系如图一所示,那么 s 与 x 的 函数关系向图二所示,则判断啊,下边给的四个限定条件是否正确啊? ok, 我 们来看一条条来看啊。 首先我们来分析一下这个图啊,来分析一下这个图,那么你这个 y e 啊,你看啊,对吧? y e 是 随着 x 的 增大而减小,那是因为你这个快车啊, 是从实验中学往锦绣中学去,你这个 y 一 表示的是与锦绣中学的距离,所以这个距离啊,会越来越小,哎,他这个走势是这样子的,那么你 y 二呢?表示的是慢车离开锦绣中学,在这个距离啊,会越来越大,距离会越来越大,哎,这样子的啊,那么第一位我们看一看第一个圈一啊,图一中,哎, 等于三, a 等于三表示什么意思?你看 a 不是 时间吗? a 是 时间啊, a 是 时间,那这个是什么意思?这个是他们相距处时距离啊,处时是相距三百千米,三百千米,然后到 a 这个时间之后距离为零了,那是不是说明我这个已经到了,我这个车已经到了,对吧?我们这个锦绣中学和实验中学相距三百千米,三百千米,然后我花了 a 这个时间,哎,我就到了 啊,是这样的一个判断啊,那么你这个当 a 等于三的时候, a 到了,就是当 a 等于三的时候,这个快车啊,到了锦绣中学,我们来看一下这个里边图,分析一下。图二 这个 a b 这一段, a b 这一段啊, a b 这一段表示的是什么? s s 表示的是两车的距离,两车的距离一直在 缩小,一直在缩小,一直在缩小,到达 b 点这个点的时候,两车之间的距离为零了,那么这不是两车相遇了吗?对吧?那么 a b 表示的就是相遇之前, bc 呢? bc 所表示的是就是相遇之后,相遇之后那快车接着行驶的一个图啊, bc 表示的是快车接着行驶的,因为你这个快车到达 a 点的时候,花了这个 a 十的时候,它就已经 到了到锦绣中学了,那么你这个后边这个五啊,你看这个五表示什么?慢车啊?你慢车的话,你花了五个小时到三百公里,它的速度,你看速度等于三百除以五等于六十, 表示的是我慢车。在你快车到达锦绣中学之后,我这个慢车还在行驶, 那我一共花了五个小时才到,所以这个后边的图像 cd, 这个图像是慢车行驶的图像啊。 bc 表示的是相遇之后快车行驶的图像,快车花了多长时间? x 表示时间吗?三个小时,所以点 a 这边是三,哎,这个是对的,那么第二个啊,当 x 等于百分之十五的时候,两车相遇,两车相遇,我们来看图像, y 一 与 y 二,当他们相遇的时候,就他俩就有交点了,有交点的时候是有相遇,那么你这个就借助 函数关系式,把这两个直线的函数关系式求出来,然后让另他俩相等,这样来纠结,对吧?这样来纠结,因为你看这有点,这有点,那是不是都是可以来用,对吧? y 一 y 一 是一次函数,我们设这个 y 一 等于看一 x 加上 b 一, 我们分别就把这个零到三百和这个三到零代入, 三到零代入,那么你这个函数表达式不就有了吗?函数表达式,你这样你去解,解出来的话 k 等于负一百, b 等于三百,那么这个 y 一 的一个解析式就是负一百, x 加上三百,对吧?你这个 y 二 y 二这一块,你看它是经过原点的 正比例函数,经过原点的正比例函数,那么它过了哪个点?还除了过原点之外,还过哪个点?五到三百,这个点五到三百。把这个正比例函数设出来, y 二等于 k, x 把五到三百带入进去,解出来开二等于六十,那么你这个 y 二呢?就等于六十, x 两两车相遇了嘛?两车相遇,哎,相遇的话,你就令 y e 等于 y 二啊,你这个 y e 等于 y 二就截出来,负一百 x 加上三百等于六十, x 截出来的话,就是 x 等于百分之十五,这是对的,这个是对的。 来看圈三啊,当这个 x 等于二分之三的时候,两车相距六十公里,两车相距六十,我们先看一下 x 等于二分之三的时候, 它是怎么样来表述啊?那么你这个快车大概是到这样的一个位置,大概是到这样的位置,那么它距离锦绣中学呢? y 二, y 二,所以这个就是红色的一个部分啊,红色的这一部分就是他相距的, 他们相距多少公里,对吧?相距多少千米?那你把这个 y, 把这个 x 等于二分之三,你带入到这个 y 一 和 y 二里边去,那么你能分别求出来这两个车相距锦绣中学的一个距离,你再用 y 一 减掉 y 二, 对吧?你用 y 一 减掉 y 二,那就是一百五十,减掉九十等于六十,哎,这个就是它相距的 啊,接出来就是这样子的,第三个是对的啊,第三个也是对的。那么来看第四个,你当这个 x 等于八分之五,或者是八分之二十五的时候,两车相距二百千米,二百千米,那么这个时候我们需要去分类来讨论,怎么样来讨论啊?就你两车相遇之前, 你两乘相遇之前,对吧?你就比方说像我们刚才做第三问的时候,就是相遇之前,那你这样子,这中间这个就是 y 一 减掉 y 二,这个红色的部分是他们想差想距的一个,就是想距的一个距离啊, 那么你就是 y 一 减掉 y 二,你把这个啊,把这个截出来的就是负一百 x 加上三百减掉六十 x 等于二百,然后截出来的 x 等于八分之五, ok, 这个没问题啊,那么还有一个情况呢,就是两车相遇之后了啊,你两车相遇之后,你这个快车啊, 快车你行驶到这,那么你慢车呢啊?慢车可能行驶到这,对吗?那么这个时候, 这个时候你这个慢车 y 二,那就大, y 二就大,然后你这个快车的 y 一 啊, y 一 就小,对吧?那你用 y 二减掉 y 一, y 二减掉 y 一, 你分别把这个代入啊,代入之后,你得到的话 x 等于百分之二十五,但是,但是啊,你这个百分之二十五 是大于三的,为什么要大于三?因为你这个快车啊,三个小时就已经到达了这个锦绣中学,三个小时已经到达了终点了,到了锦绣中学了,对吧?那么我这个快车就不再走了,后边的距离全靠慢车来走,全靠慢车来拉开这个距离, 那么就当快车啊,就是到三个小时,行驶三个小时,到达终点的时候,慢车离开起点,他三个小时吗?慢车离开起点,我们知道速度是六十,花了三个小时离开起点就是一百八,一百八十千米, 一百二十铅笔,他们,他距离二百铅笔呢,还差二十二百减一百八,等于还差二十。那我只要再算出来我这个慢车行驶二十铅笔花多少时间就 ok 了,对吗?那么就是路程除以速度等于十点三分之一小时, 那总共就花了多长时间呢?是三加三分之一个小时,等于三分之十个小时。所以这个啊,你看前一个是对的,但是后边一个不对,所以这个最终是一二三是对的。