五上数学图形面积推导过程绘画

图形的面积公式，同学们一定不要去死记公式，而是要知道这个公式是怎么来的。我们来看一下这个平行四边形的面积公式。看到这幅图如图，每个小正方格的边长为一厘米， 那么既然它的边长为一厘米，那么它的面积就应该是一平方厘米。他说把直角三角形阴影部分来看到这里有一个直角三角形，也就是这里的阴影部分 向右平移多少格，可以把这个平行四边形给它转化为长方形，那我们呢就来把这个阴影部分的面积往这边去平移。注意我们在平移图形的时候呀，其实就是平移它的点，那么三角形有三个顶点， 那么我们以一个顶点为例，假如我们就以这个顶点为例，那我我要往右边进行平移，当我把这个点平移到这里的时候，你看我是平了一格、两格、三格， 那么相对应的其他的点也要向右平移，三格、一格、两格、三格，那我们平移到这个地方，那相对应的这个点就应该在这里。那么此时我们把这个阴影部分的三角形呀给它平移到这里来了， 你看我们是不是就给它组成了一个长方形，而我们的同学都知道长方形的面积公式是长乘宽， 那么通过平移会发现这个三角形啊，和这个三角形的面积是一样的，所以我们平行四边形的面积和这里长方形的面积应该是相等的，因此我们可以得出 平行四边形的面积啊，就是用长乘以宽。但是在平行四边形里面呀，我们不叫做长和宽，而是叫做底和高， 因此我们可以得出平行四边形的面积公式就等于底乘高。 好，所以啊，我们平行四边形的面积公式的推导，其实就是用切割法推导出来的， 把它切割成一个三角形和一个梯形，然后把三角形的这一部分呀，平移成一个长方形，就可以推出我们平行四边形的面积了。那么这个地方呀，咱们就要写出向右平移三格，可以使平行四边形转化为长方形。 转化后长方形的面积是多少呢？你看长是一、二三，宽是二，所以三乘二得到六平方厘米。所以平行四边形的面积可以根据长方形的面积推导。为什么他这里要求用字母来表示，那么平行四边形的面积就是 底是用 a 来表示，高用 h 来表示。它和我们长方形是不一样的，长方形是用 a 和 b 来表示，而我的平行四边形是用 a 和 h 来表示的。所以啊，同学们 啊，我们在求这个图形面积的时候啊，一定要知道它的图形的公式是怎么得到的。这样的话啊，题型在进行变换的时候呀，不管它怎么变换啊，咱们都可以，哎，迎刃而解。

我的地是平行四边形，比你的大。胡说，我的地是长方形，比你的大。嗯，吵架是解决不了问题的。我给你们带来一个法宝， 长方形的面积是长乘宽，平行四边形的面积为什么不能抵成零边呢？ 吾乃刘辉，三国十人，曾铸九章算术推演初入相补之理，精观而等学。平行四边形之面积，其法甚合。无所谓初入相补，便是将徒行切割移补，行变而继不变此法之妙，再以营补虚化位之为一智。

刚才已经给它复制出了一个一模一样的梯形，那么你们想象一下这个梯形我怎么利用起来？转过来一下， 转过来，我们利用旋转的帮忙。好，是这样，是，然后我们给它挪过来的。拼接在一起。好，同学们，现在旋转拼接在一起之后，我们形成了本来是两个散的分散的梯形，对不对？现在拼在一起之后，它形成了一个平行平行四边形，形成了一个平行四边形。 好，老师在复制的时候呢，这老师复制的梯形它大小、形状是一样的，所以我们这里原来图形短的这条是上笔，那同样的，他复制出来旋转了一下之后，他变到哪里来了？上笔变到哪里来了？下笔这里是不是变的到？哎，他原来是上笔，他在这里他还是短的，所以还是上笔。对，他在这里还是上笔。 那同样的，这条长边是转到上面去，是，它是长的，我们都转到下底，所以它即使到上面去了，它也还是下底，还是下底好。所以通过拼接我们看出左边一号 梯形和右边二号梯形，它们两个的面积同样有，它是什么？左边梯形的面积是一号，右边梯形的面积是二号，颜色一样不一样。好， 左翻是我们发现一号图形和二号图形填满之后，刚好填满了我们的平行四边形，所以我们就可以得出平行四边形的面积，其实就是几个梯形，两个梯形，对，就是两个梯形的面积。好，我们来写 得出平行外面，外面是倒四边形，对，外面倒的平行四边形的面积，那它不是等于两个梯形的面积，是不是？是。好，我们一起平行四边形的面积等于什么？底的成高，它是等于底的高的。好， 那他现在一个平行四边形不是等于我们两个梯形的，两个梯形的面积。 好，那我们现在来进行细写，来看一下平行四边形的底在哪里？ 平行四边的底在哪里？三三三，走吧。哎，太矮了。平行四边的底边是不是下面这条边？是，这条边是由一号图形的， 由一号图形的下底和二号图形的下底组成的，所以我们这里就可以写 平行四边形的底是由下，是由下底和上底组成的，但是呢，我们习惯性的把上底写在前面，那我们就说底，它是由上底加下底加下底。好，上底加下底， 它是上底跟下底加在一起，对不对？对，这个底应该是上底和下底的。哦，怎么记的？用括号做起来。好，继续。 然后成高呢？我们的高在哪里？高，是不是原来梯形的高？对，他们是等高的，因为上底下底是一条平行线，平行线之间他们的垂线线段距离最短，垂线线段就是这个梯形的高，同时他也是平行四边形的高，所以我就继续写成高。 好，这个上底加下底乘高是几个梯形的面积？等于两个梯形的面积。 那我们看哟，梯形的面积是要算面积的面积吗？不是，我们只需要求一个梯形的面积，所以这两个一模一样的。那我求一个的话，我还要怎么做？求你干嘛？求二，求二， 也就是说要把我们这个公式要给它进行平均分，把这个进行平均分，那就给他们直接把上顶加下顶的和再乘高拿来，我的第二，好， 也就看出来这就是几个梯形的面积。两，你可以说啊，是几个梯形的面积，一个对就可以得出就是一个梯形的面积，一个梯形的面积， 所以我们得出这个公式，梯形的面积等于什么？上底加下底，横叉带。好，我们再来看这一个， 同样呢，这个直角三角形也是一模一样的，形成了什么长方形？对，他拼接在起形成了一个长方形。行， 好，那么我们再来把它的名称往上调，原来的梯形短边是上底，现在我们算到下面，这里就是他原来的上底， 原来的下底会从左上面，对对对，就是他下下底，这是他的下底。好，我们来看第一个图形，好，我们左边我们给它叫为一号图形，一号梯形，好，右边给它叫做二号梯形， 我们紫色的这部分是我们紫色的这部分是我们白色的这一部分刚好。一号 面积和二号图形的面积填充满之后就是谁的面积。长方形的面积。对，也就可以得出一句话，在这里长方形的面积就是两个梯形的面积。对，好， 长，本来长方形外面是长方形，对不对？长方形的面积等于什么？长方形？长方形的面积等于长成宽。好，那 现在我们来测量长成宽究竟几个平行的面积，两个平行的面积，两个平行的面积，我们测量当然是只需要一个平行的面积，对不对？对，好的来转化， 对，转换长方形的长来，长方形的长在哪里？上，在下面这条，对，也可以是上面这条，下面这条他有第一个原来的梯形的下底和第二个图形的上底加在一起，是不是这个长的就换长了？对，就是说把长的换成了 上笔加下笔。好，我们加是我们的长是下笔跟上笔的和组合起来才是长。对，对，我们这里要用一个画表示的是上笔加下笔的和， 然后呢？他的宽的宽的宽怎么转换原来的宽？我们现在的宽是不是左边这条和右边这条是刚好，又是原来矩形的高？对，所以把长方形的宽转换成了高。 哎，这是几个面积的面积？两个面积的面积上我们只需要一个面积，等于两个面积的面积。 咦，好，我只用一个平行的面中，那变成什么样啊？除以二，那就变成预备停上底三下底的和，这怎么样？和，好，哎，这是两个平行的面，我要的是一个除以二，最后一个 这个三角形，这个梯形我们又如何来创造？如何来选择吧。好，进行分割三角形。哎，停停停，这个梯形被我给它。同样啊，分割分割成了几个图形？两个角形，两个图形都是三角形。好，左边 是一号，左边一号，右边二号，二号，换个颜色当然不一样。好，左边。我们来看，还是那句话， 把我们的梯形分割成两个三角形之后，我们来观察第一号图形的面积是不是紫色最快？是，二号图形是蓝色最快，紫色最快。 一号同学和二号同学填，给他填充之后刚好得到，我们刚好可以得到我们一个什么梯形面积。知道得到梯形面积。是，所以我们又可以得出一个结论，什么 梯形形的面，面形等于。哎，梯形面积等于什么？是等于两个三角形来相加，等于两个三角形，形 等于两个三角形的的面积。好，那么我们现在来进行转换， 第一个三角形它的面积是不是等于底乘高？是第一个三角形的面积等于底乘高。那怎么样 再除以二，再怎么样除以二。好，这是第一个小三角形，一号三角形。那二号三角形呢？二号三角形等于底，再加上二号三角形，底乘高也要除以二。好，朋友们，这里大家会区分一下，我们左边呢是 左边的这个是一号三角形，右边的这个是二号三角形。好，现在继续往下， 继续往下，现在来看我们谁和谁是共有的底？底和高，到底的底在哪里？一号三角形的底在哪里？上底是不是上底？对，记住一号的底就是上底成高，再除以二，加上。好， 二号的底在哪里？下底，三号的底在这，所以就是下底，这个底是下底， 也是要乘高再除以二。好，那我们现在可以得出，我们之前学过了，有乘，有他又有乘，其实就是什么乘法分配律。那把共同的因素给他提出来，谁是共同的？ 高和除以二，高和除以二，共同的因素，我们就把它提出来，放到括号中，后面 写成勾除以二。二。好，那前面呢？还是谁前面是谁？上笔尖尖加谁下笔？第二个图形的下笔乘二，然后再乘勾除以二，出完了去 通过我们三个图形的转化，我们都可以得出同一个结论。什么结论？ 梯形的面积等于上底加下底的合成，高半除以二，再看梯形的面积，哪边梯形的面积等于上底加下底的合成都不一样，再看这里是不是 梯形的面积，是两个三角形的面积，所以可以搞出来了，它就是一个梯形的面积，用字母表示，上底用 a， 下底用 a， b 高还是圆的那个用什么 a？ 所以我们给它写出来就是 a 加 b 的 和乘再除以二。但是这里用不用写？不用这个，这个乘就像不用 就直接写成 a 型的面积，等于括号 a 加 b 的 和 s 除以二可以了，有问题吗？没有， 用字母表示为一个电瓶用 a 和 s。

我们再来回忆一下，昨天我们是如何来推导梯形的面积公式的。好，来，这儿有个梯形， 我们是怎么把它变成我们熟悉的梯形呢？先用一个一模一样的梯形来，老师，把它复制出来，好，看，这儿啊， 来，先用一个一模一样的梯形，然后给它旋转一百八十度。给它旋转一百八十度。什么叫一百八十度？同学们，上边到下边来了，左边到右边来了一百八十度。 旋转一百八十度之后，他就能和原来的啊好，往上面一点啊，他就能和原来的这个梯形拼成一个平行四边形。那平行四边形的面积公式我们学过呀，是不是？那我们来看看哈。这里的平行四边形，请看， 这是平行四边形的底。来，把它高做出来。这是平行四边啊，换个颜色， 这个是平行四边形的高。好，那在这里就涉及到梯形的几条边的名称。我们说一个梯形短的这条边叫做 上底，上底，长的这条边叫做下底，那高呢？它的高的做法实际上和平行四边形是一样的，这上底和下底是一对平行线，一组平行线，我们从上底出发，向下底做垂直线段。好，那请看这个题型， 它叫做上底，到底是上底还是下底？它不是在下边吗？ 对的，这条边无论在上下左右，它都叫作上底。好，这个知道之后，我们来看这个平行四边形的底，它是由什么组成的呀？同学们， 这段是梯形的下底，那这段是梯形的上底，所以它是由梯形的上， 所以它是由梯形的下底和梯形的上底组成的平行四边形的底，因此平行四边形的底就是梯形的上底加下底， 能明白吧？好，那这是平行四边形的高，那这里的高同时也是这个梯形的高，他们共用同一条高， 那平行四边形的面积等于底乘高，这里的底就是梯形的上底加下底的和，这个表示平行四边形的底 底乘高，这个是平行四边形的面积，是不是？那用梯形的上底和下底来表示，就用上底的加下底的和 成高，那这个上底加下底的合成高是平行四边形的面积啊，还要怎么样？矩形，因为这个梯四边形的面积是由两个同样的梯形组成的，因此一个梯形的面积还要怎么样？ 矩形，因此这就得出来了我们梯形的面积推导公式说一遍，梯形的面积等于几？ 梯形的面积等于下底加上底的和乘高除以二。通常情况下，我把上底写在前面哈，上底加下底的和乘高除以二，这个是梯形的面积。提问，我再来提问哈， 请听清楚哟，一起告诉老师，这里上底加下底的和表示什么呀？ 平行四边形的底，这里的除以二，为啥呀？因为这里的底乘高除以底，乘高是平行四边形的面积，我平行四边形面积是由两个梯形组成的，我还要怎么样 除以二？好，推导过程要知道哈，你不仅要知道推导结果，你还要知道推导过程来。接着我们用公式来表示 梯形的面积等于，通常情况下，上底用 a， 下底用 b， 上底加下底的和乘高除以二， 这个是公式是不是？好，那我们逆推呢？逆推呢？已知面积分别求高，上底和下底。怎么求呢？来，我们来先求高， 高等于说面积乘二除以上底加下底的和。这个是高 来再来上底，咋求啊同学们。面积乘二除以高减下底，老师用字母表示来写，要看的懂哈。再来下底怎么求呀？ 面对我们二出一收卷上礼。好，这是梯形的几个公式，要知道 听明白没有？这些公式哈，在上课之前，我随时来抽问，要非常非常熟悉的 说出来。好，我们再来回一下三角形的哈，三角形来，三角形的面积等于一个高除以二。好，那这里很容易错，已知面积，三角形的底呢？等于面积乘二除以二。注意哈，面积要乘二。 三角形的高等于面积乘二除以底。好。

同学们，前面我们学习了求三角形面积、梯形面积，那接下来我们这节课要学的求面积难度就更上一层楼了。为什么这么说呢？ 因为你会发现它不再是简单的利用公式就能做出来的了。我们看题，这道题它属于组合图形中求部分面积的题，那既然是组合图形，我们看它是由一大一小两个正方形拼接在一起， 大家看它像不像一大一小两个人呀？我们把这种一大一小两个正方形拼接在一起的组合图形也称之为负子形。 这道题已知四边形 a、 b、 c、 d 和 g、 c、 e、 f 为正方形，且 ab 等于八厘米。求阴影部分的面积。大家看阴影部分的面积是由三角形构造而成， 那么如果我们直接把这几个三角形的面积给他加起来的话，是不是也可以求出阴影部分的面积？但是大家注意看，这几个三角形的面积能求出来吗？ 你知道它的底和高吗？是不是求不出来？求不出来应该怎么办呢？那同学们在这里的时候，我们就要想起来辅助线的作用， 大家试着连接大正方形的对角线 c、 f， 然后再连接 d、 f， 这样的话我们是不是就构造出来了一个梯形， 构造出来的梯形就是 b、 d、 f、 c， 那 为什么要构造这个梯形呢？我们接下来往下看， 我们做了辅助线之后呢，图中就呈现出来了几个三角形，那么现在大家观察观察三角形 d、 h、 f 和三角形 d、 h、 e 这两个三角形， 你们看一下这两个三角形有什么关系呢？对这两个三角形呢，它是属于同底等高的两个三角形，同底，它们两个的底是共用了线段 d、 h， 对 吧？然后它们两个的高 都是正方形的边长，那么同底等高的两个三角形的特点就是面积相等， 所以说这两个三角形的面积是相等的。下来再看三角形 d、 h、 o 这个三角形属于它们两个三角形的共用部分， 所以说三角形 d、 o、 f 和三角形 h、 o、 e， 它们两个三角形的面积也是相等的。那既然它们两个的面积相等，我们可不可以把三角形 h、 o、 e 的 面积转化到三角形 d、 o、 f 中？ 现在我们在观察，经过转化之后呢，我们的阴影部分是不是发生变化了？现在我们的阴影部分是不是是在梯形 b、 d、 f、 c 中？ 既然它是在梯形中，那我们就要想到在梯形中有一个很重要的一个模型，叫做蝴蝶模型。我们来说一下，什么是蝴蝶模型？ 蝴蝶模型呢？只是在梯形中说啊，大家看这个梯形，你随便画一个梯形 a、 b、 c、 d， 然后你把梯形的对角线 a、 d 和 b、 c 给它连接起来，连接起来你就会发现，哎，这个图形很像一个蝴蝶是不是？ 那么 s 一 部分和 s 二部分就像是蝴蝶的左右两个翅膀，对不对？那蝴蝶模型中有什么结论呢？首先第一个结论就是蝴蝶的左翅等于右翅，也就是说 s 一 等于 s 二，那 s 一 为什么等于 s 二呢？我们先来证明一下， 你看三角形 a、 c、 d 与三角形 b、 c、 d， 它们两个是属于同底等高的两个三角形，那同底等高的两个三角形面积是相等的，那么三角形 c、 o、 d 为它们两个三角形的 面积，也就是 s、 e 的 面积和 s i 的 面积，所以说 s、 e 的 面积就等于 s i 的 面积。 我们清楚了蝴蝶模型的结论一之后呢，我们现在再来看这道题。那你看在梯形 b、 d、 f、 c 中， 谁是 s、 e， 谁是 s、 i 呢？是不是三角形 b、 h、 c， 它就是蝴蝶的左翅，然后 d、 h、 f， 它就是蝴蝶的右翅， 那么蝴蝶的左翅等于蝴蝶的右翅，这是我们刚才证明了的。所以说既然它们两个的面积相等，那我们可不可以再继续转化，我们把三角形 d、 h、 f 的 面积给它转化到三角形 b、 h、 c 中呢？ 好，现在看我们经过转化，阴影部分是不是已经发生了变化，现在的阴影部分就是小正方形面积的一半，对不对？所以说题目的已知条件只告诉了我们小正方形的边长， 那么我们通过小正方向的边长也是可以算出来这个题的答案。我们不怕已知条件给的少，我们一步一步往下探索题，他就会解出来。 好，下来我们总结下这道题，大家做一道题，要对这道题进行总结，然后呢要对这类题进行总结， 以后就说是做一道题，我们要会这一类题，而不是说做一道题只会这一道题。你现在看这道题，这道题呢，它属于一个大正方形和小正方形拼接在一起的图形组合图形，对吧？就是后面我们如果 做到这种由大正方形和小正方形组合在一起的这种图形的话，我们首先要想到啥呢？我们首先啊，一定要想到连接小正方形和大正方形的对角线， 为什么要连接对角线呢？因为只有你连接了它们两个的对角线之后呢，是不是就出现了一组平行线？既然有一组平行线，是不是就可以构造梯形了？ 构造了题型之后呢，那么蝴蝶模型是不是就可以来用？再就是大家也要注意，我们同底等高的三角形面积是相等的，这个一定要牢记，也一定要学会转化。好了这道题就讲到这里。

那回忆我们求长方形、正方形面积的时候，是用面积单位来度量的，是不是用一个平面积为一平方厘米的小正方形来度量？有这样子的几个小正方形，就是它的面积就是几。但是我在求平行四边形的面积当中，我发现 并不是全部都是能整格子竖会出现一半格子，会先角角落落，是不是？那我们是怎么来求它的面积呢？用到的是什么思想？转化到的是转化思想， 把这个平行四边形转化成我们熟悉的长方形，怎么转？ 把它割补，割补下来，然后平移。是不是怎么割补？沿着高？对，要把左边的这一个斜着的这一块剪下来，随便乱剪吗？不是。怎样剪？ 沿着什么高？沿着来？假如说我以这一条为底的话，它的高在哪？ 你们画刀的时候要用指齿画啊，这是他的刀，看明白不？沿着刀剪下来，为什么要沿着刀剪？因为沿着刀剪下来的话，他就是一个指指甲。好老师，现在把左边这个剪下来了之后，平移到哪个地方， 右边给他补上，现在的这个平行四边形就变成了一个长方形。 那我要求平行四边形的面积，就只用求现在这一个长方形的面积。好老师来写一下哈。我简写平行四边形，我写成 s， 给下一个平行四边的图，对，这个图形 它表示为平行四边形的面积，能看懂吧？嗯，好，现在平行四边形的面积等于多少？不知道，但是我知道长方形的面积啊，同学们，长方形的面积等于长城宽。 我首先要提这样一个问题，为什么平行四边形的面积就是长方形的面积呢？ 明明形状都变了呀，为什么他们两个面积相等呢？因为它虽然把这一块平移到了这里这里来，但是整个图形面的大小有没有增加？ 没有，有没有给他缺一块？没有，因此它的面的大小是不变的。那平行四边形的大小，面积大小是长方形面积大小。现在来看啊，这个长方形的长在这是平行四边形的什么东西啊？ 底这一块是长，那平行四边形我们再来一次哈，原来在这个地方这一块，是不是我只是把这一段平移到了右边这里来，它的位置发生了变化，但它的两段之合的长度没有变化，那这里的长就是原来平行四边形的 底。再来长方形的官就是这个平行四边形的冈。 一对应起来之后，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高怎么表示？ h 等于 h 高用 h 表示， 底用 a 来表示。好，这个就是我们平行四边形的推导过程，主要用到的转化的思想清楚吗？同学们清楚吗？那请你告诉老师哈，它的面积 怎么变？周长怎么变呢？来，首先看面积，面积咋变不变？面积不变，因为长方形的面积就是平行四边形的面积。那我们来看周长，周长怎么变？来，我们先把它还原回去哈，到这儿 来。平行四边形的周长有几条线段的长度，四上面两条，还有左右两边斜着的两条是不是？那我们看长方形的周长几条线段， 上下两条，左右两条。首先脚相同点，上下相同还是左右相同上下，不管是平行四边形还是长方形，我上面上下两条边，不就差长和底吗？是一样的，是不是？那我们来比较左右两条边呢？来，请看哈。这是平行四边形， 这是它左右两条边，左边在这。那变成长方形之后，它的左边在哪里呀？同学们 在这里来了。好，那老师把这个拿掉了呦，我把移到旁边来，请看哈。刚才老师画了，这里是直角符号，这个是平行四边形的左右两边，这个是长方形的左右两边。请问谁的长呀？ 平行四边形，因为我们把这两条边放在三角形当中看，这是一个 直角三角形，这一边是三角形的斜边，这一条边是个三角形的直角边，那斜边一定比直角边要长。因此呀，我们的平行四边形左右两边斜着的 肯定比长方形左右两边垂直的要怎么样一些？长一些？因此周长 谁的长？平行的平行四边形，四边形的周长要长一些，正长方形的周长要短一些，这一点能明白不啊？周长是会变的哟，面积不变，但是周长是会发生变化的。

本视频超详细讲述平行四边形、三角形、梯形所有的公式推导过程，视频十三分钟，建议点赞收藏！至此，我们这所有的公式一共十个，全部都搞定了，那哪十个呢？平行四边形三个，三角形三个，梯形一二三四四个，一共十个。 呃，今天我们来讲一下平行四边形、三角形、梯形的一个面积计算它的公式怎么去记忆啊？首先我们学数学啊，我们抛开死记硬背的这种模式啊，一切都在理解的过程中，那么今天我们会讲到一个方法，叫做转化思想， 什么叫转化思想？就是将我们复杂的东西变简单，将我们未知的东西转化成已知的东西啊，所以我们今天取的这三个图形的面积，我们从平行四边形开始，那么一切的源头都会从长方形转化而来啊。首先我们看平行四边形， 我们看到这里有个平行四边形，那么我们底用小 a 来表示，高用 h 来表示，那么长方形我们以前学过的，它的面积公式是 s 等于 ab， 对 不对？ a 是 长， b 是 宽啊，所以这个是我们比较熟悉的，那么平行四边形的面积怎么计算呢？我们将平行四边形进行分割，把这一块往右边平移到这里， ok， 那 么这个图形就变成了什么图形，是不是长方形的样子呢？所以我们来比较一下，变成长方形的样子之后，那我们来看一下这条是不是长方形的长，这条是不是长方形的宽， 对不对？那么我们来看一下长方形的长和长方形的宽跟我们平行四边形有什么关系？长就是这条，这条同时也是 平行四边形的底，那么它的宽呢？就是平行四边形的高，对不对？所以我们这里算平行四边形的面积的时候，它就等于 a h， 其中 a 是 长方形的， 这个长 h 是 长方形的宽啊，是不是就对应成了？所以我们将平行四边形的面积转化为长方形来计算好， ok， 这就是将 未知东西换成已知东西啊，比较简单。那么这个是我们常规的一个面积计算公式，那么反过来，如果已知告诉你， 平行四边形的面积反过来求底，怎么求啊？那我们就用平行四边形的面积去除以高。那这里要强调一下，为什么我们在学新的一个东西的时候，有时候 一些新的名词解释的时候，这名词不是乱命名的，比如说我们在学这一单元叫做面积，那为什么他不叫面差呢？为什么不叫面和呢？为什么不叫面商呢？他偏叫面积呢？你会发现这个长方形，它的面积是不是 长乘宽？哎，长乘宽，它的结果是不是以 g 的 形式出现呢？然后这个平行四边形的面积是不是 a h 啊？底层高，对不对？是，也是以 g 的 形式出现的，所以才叫面积，不叫面和，面差、面商，对不对？ ok 啊，那么既然是以 g 的 形式出现，那我们来看一下，如果说我要求一条底， 那么我是不是就是用面积去除一高？一个因素等于 g， 去除另一个因素，是不是很好记，对不对？那所以这里 h 就 等于平行四边形的面积去除以 d， ok， 那 平行四边形我们有三个公式，是不是相对来说比较好记一点。好，接下来我们来看三角形， 我们如图有一个三角形啊，要计算这个三角形的面积，我们将三角形的面积通过平行四边形的面积来推导啊，那么怎么得到三角形的面积计算公式呢？首先我们在实践过程中，我们会发现啊，任意一个三角形， 我只要画出它一模一样的三角形，并进行重新组合，就能形成一个平行四边形。那比如说这个三角形，我们将这个三角形啊，找到它一个双胞胎， 然后将它重新组合，它是不是就变成了一个啊？平行四边形对不对？那一号跟二号长得一模一样，我把二号脑袋倒过来放在这里，是不是就组合成一个新的图形？ 那这个图形就是平行四边形，那我们来看一下三角形的底，我们用 a 来表示啊，三角形的高我们用 h 来表示，那么我们会发现这个三角形的底就是这个平行四边形底，这个三角形的高就是这个平行四边形的高，对不对？那么现在这个平行四边形的面积是多少？平行四边形的面积就是 h， 但是我们要求的是三角形的面积，怎么办？三角形面积是不是就是这个平行四边形的一半？所以我除以二。好，这就出来了第一个公式，三角形的面积等于底乘高除以二，那么这个相对来说比较简单。那往往有同学会问题出在哪里呢？就是这个 给你一个三角形，然后也告诉你他的面积，告诉你啊，告诉你一条底，现在呢，要求这条高是多少？那同学这个公式 就有点迷迷糊糊了， h 等于什么？其实很简单，我们还是将这个转化到平行四边形里面去求。我们刚刚求这个 h 的 时候，是不是我们用平行四边的面积去除以 d 啊，对不对？那现在还是一样，我们要用平行四边形的面积去除以 d， 但是呢，我们这个平行四边形在这里啊，我们只告诉我们是三角形面积，对不对？所以你要利用三角形面积怎么去求出这个高呢？我是不是 三角形的面积先乘以二呢？是不是？所以这个平行四边形我们转化为两倍的三角形的面积啊，再除以底就行了，那你看两倍三角形面积是不是长这样子， 哎，这个乘以二是不是就变成了一个平行四边形啊？所以啊，我们求高，先将三角形的面积乘以二，转化成平行四边形， 然后利用平行四边形的面积去除以底，就出现高了。那么同样的，如果现在三角形让你去求这个底，先告诉你这个高和面积求底怎么求？很简单，你把这个三角形先转化为平行四边形，那就是两倍的三角形的面积去除以高 就搞定了，所以这简单吗？你看我们这一块很多同学，这个在到就是，这是我们的一个 公式的逆推啊，那么这公式我们怎么来？刚刚是不是说了，将三角形转化为平行四边形的计算对不对？所以都是通过这一个来实现的， 对吧？用面积平行四边的面积去除一条底，就出现一条高，用平行四边形的面积去除一高就出来底了啊。所以我们要将三角形和平行四边形的这个两倍的关系利用起来啊，那么我们接下来来探讨梯形的面积。 首先梯形啊，这条叫做上底，这条叫下底，上底用 a 来表示，下底用 b 来表示。那么这里我先说一下，上底和下底不是指的是位置关系，上底指的是梯形，那条比较短的叫做上底，那么比较长的呢，叫做下底，上底和下底是互相平行的，那这两条叫做腰。 那我们在实践探索的过程中，我们会发现三角形和梯形一样啊，那么只要你画出两个一模一样的梯形，就可以组合成一个平行四边形，那怎么组合的呢？它这样子的， 这个就组合好了，那你看这个上底就跑到下面来了，我们是把它倒立组合在一起啊，对不对？ ok， 这个就是一 啊。那么现在变成平行四边形了之后，我们依旧通过平行四边的面积将梯形的面积推倒出来。那怎么推倒呢？很简单，我们刚刚说了，这个平行四边形的面积是不是等于底层高啊？对不对？所以这个面积将就底层高，我们把高画一下， 这是 h， 那 底现在是多少？平行四边形的底就是现在是 a 加 b， 这条是不是平行四边形的底啊？对不对？那底层高高是几高？是 h 是 不高就是这条 h 啊，我们会发现平行四边形的高跟梯形的高是一样的。 那我现在要算梯形是平行四边形的面积除以二，它就是梯形了，所以底层高除以二就是梯形的面积 是不很简单。好，那么接下来这个最最难的一个点就出来了，现在平行四边形的面积能够推导出梯形的面积，那请问如果题目中告诉我梯形的面积和上底下底怎么去求高， 那也就是说这个 h 怎么去求？那刚刚三角形听明白的同学肯定现在这个 h 迎刃而解， 很简单啊，我们通过平行四边形的面积去除以底，这高不就出来了吗？那你看这个，我要求这个高怎么去除以底啊？我是不是把这个梯形 是不是先乘以二？也就是说把它一模一样的男神兄弟给他先拿出来对不对？所以告诉你这个的面积之后，那么面积乘以二是不是就恢复成平行四边形面积了？平行四边形的面积告诉你了，怎么去求高，你去除以底哦，底是不是 a 加 b 对 不对？ 所以这里还是一样的跟三角形，先把它的这个梯形的面积扩大两倍啊，扩大为原来的两倍，那么它现在就变成平行四边形的面积，对不对？这时候去除以底，底是 a 加 b 了， 好，这个是我们这一单元的比较难的一个公式了啊。那么接下来还有两个相对来说也是比较难的一个公式，也是在梯形里面的，如果现在告诉你梯形的面积，告诉你梯形的高，那么也告诉你上底怎么去求，下底呢？也就说这个 b 怎么求呢？ 一样的，你先把它恢复成什么东西？平行四边形，那么我要求这条 b 是 多少？我只要用平行四边形的面积去除以高， 就算出这一条底了，对不对？然后用整条底去减去其中的一部分 a， 是 不是算出 b 了，对不对？所以这里还是一样用两倍的梯形面积 来，我用图简单画一下啊，比如说这是一个题型，现在呢？告诉你高 h 了，那现在这个 a 也告诉你了，现在求这条 b 怎么去求？先将这个题型 乘以二，变成平行四边形的面积，对不对？然后我们利用平行四边的面积去除异这个 h， 算出这一整条 底，那这整条底出来之后呢？我减去这条上底 a， 是 不是这条下底 b 就 出来了？这样子讲能听懂吧？所以它 b 就 等于两倍的面积 去除以高，算出上底加下底的和，也就是说平行四边形的这条底，然后我们减去其中的这一部分，也就是说减去上底 就出来了。所以这里记的方法很简单，我们求下底，我们用两倍的梯形的面积 去除以高，算出所谓的平行四边形的底，也就是说梯形的上底减下底的和，那你要求下底就减上底，那你如果求上底呢？那就是两倍的梯形面积去除以高， 算出所谓的平行四边形的底，然后你求上底，我就减下底。这时这里十个公式都出来了，分别是平行四边形有一二三，三角形有一二三， 题型是一二三四，而题型往往这个这一块啊，很多同学记忆的时候非常痛苦，那真的很难吗？不难，你要 一定要学数学啊，一定要带着理解去学的，你不能去死记硬背的啊，死记硬背背完了之后，你可能还是不会运用的，所以很多同学学数学实际上是很轻松的， 课堂听懂理解了，课后都不用去背，那么题目再落实一下，我们这一块内容就搞定了。 至此，我们这所有的公式一共十个，全部都搞定了。那哪十个呢？平均四边形三个，三角形三个，梯形一二三四四个，一共十个，对不对？特别是三角形的啊，反过来求底和高，或者梯形反过来去求 底和高，都是一大难点，特别是梯形啊，有上底和下底，对吧？公式相当复，相对来说复杂。那么有同学在那里 背的时候，只会什么 h 等于二 s 去除以 a 加 b 的 和他，甚至连 a b， h、 s 是 什么都不知道， 这种读书是很可悲的，而且很痛苦，你背完了有什么用呢？有同学 a、 b、 h、 s 连表示的意思都不知道，那你背这个东西的意义何在？你会运用吗？ 所以学数学一定要用理科的思维去学，不要死记硬背啊，死记硬背，学数学很痛苦的，特别是这里这么多公式的情况下，根本就死记硬背，背不了，过两天就忘啊，一定要理解他们是怎么来的。