2024重庆中考几何压轴题b卷

数学课堂激情飞扬，跟着宋老师一起进入思维的殿堂。各位同学大家好，我是火光课堂初中数学的宋老师，我们这周呢给大家分享一下巴蜀初二半期最后一个题的最后一个小问。 好，这个小问呢，同学们在考试的时候可能看这个题目的描述啊，就不想看了。好，那我们今天呢就给大家详细的去分析一下这个题目。好，第三个，它说如图三啊，点 d 呢？在射线 ca 上啊，这句话很重要啊，它是在射线 ca 上， 那也就说 d 呢，它有两种状态，它可以在线段 c a 上，也可以在 c a 的 延长线上。 ok， 它有两种啊，位置情况， 然后点 l i 是 线段 b c 上的两个定点啊，不与 b c 重合，然后去连接啊。呃， a l a i l 加上角 al i， 再加上二分之一的角 b a c 是 等于一百八十度的。好，那我们根据三角形的内角和，我们可以知道啊，这个角 a i l 加上角 a l i， 再加上角 i a l， 它是等于一百八的。那也就是说我们就可以知道自己的呃，角 i a l 呢，它就等于我们这里的二分之一的角 b a c。 而题目告诉我们啊，这个三角形 a b c 呢，它是一个等边三角形，所以说 b a c 呢，它就是六十度。那所以我们就可以知道 i a l 这个角呢，它是三十度啊，它是等于三十度的。 好，接着往下看，他说啊， m r s 分 别是线段呃 l i， a i 和 a l 上的一点，然后去连接 m r r s m s。 当 m r s 这个三角形的周长最小的时候。好，来第一个问题，我们先解决 这个三角形啊， m r s， 它的周长什么是最小？好，来，我们看，我们要去算这个周长的最小值啊，我写在哪？呃， 好，我写这吧。好，来算周长的最小值。三角形啊， m r s 啊，它就等于我们的 m r 再加上 r s， 再加上我们的 ms， 好， 来，要求三条线段和的最小值，哎，那这里我们就，呃，会想到我们可以去利用将军一马模型去做，对不对？好，但是这里问题来了，哎，我们将军一马问题呢，它至少会有 一个定点啊，但是这里呢， m r s 它三个点都是动的，哎，有人说老师它都是动的，我就处理不了。好，那你看，那既然我们哎要用将军密码模型去解决，然后这里呢，又要这三个点其中有一个点是定点，那你就去 确定一个呗，你就假设一个点固定不动呗。好，那么这里假设哪个点不动呢？哎，对，我们就假设这个 m 点不动啊，假设 m 点不动，因为为什么呢？因为 m 它的位置比较特殊嘛，对吧？它在 b c 这条线段上啊。 ok， 好， 那我就假设这个 m 不 动， 好，那你看，就变成什么，哎， m 不 动，我就要去求 ms 啊， rs 要求 mr 这三条线段合得最小值来， rs 是 动的， m 不 动。哎，那这里，哎，我们就 用我们将军印码模型最基础的呃，解决问题的逻辑，对吧？就是去做定点关于动点所在直线的对称点，哎，打 我们要求和的啊线段啊，给它连成一条折线，就是把要求和的两条线段，比如说，哎，求 rs， 求 ms 和的 最小值，哎，要把求这两条线段和最小值，我就把这两条线段放到动点所在直线的 e 测去，哎，这样子我才能，哎给它形成折线，然后我才能够给它连成，呃，线段，根据两点之间线段最短，去求我们的最值，对不对？好，那这里来，我就去做 m 点，关于这个 a l 的 对称点， 我把它记作 m 一， 然后呢？再去做 m 点，关于这个 ai 的 对称点，我把它记作 m 二， 好，然后呢，我再把这里的 m 二 r 和这里的 s m 一 给它连起来， 好，那这里我们就可以知道来，呃，这个 ms 是 等于 m 一 s 的 mr 是 等于 m 二 r 的。 好，那这里 这是 r s。 好 了，你看，这里，我们要求这三条线段回到，回到最小就变成了 mr， 它是等于 m 二 r 的， 然后 r s 不 变，然后 m s， 它是等于 m e s 的。 好了，你看，我要求一撇加两撇加三撇，哎，这三条线的合角值就变成了，哎，求这个一撇加两撇加三撇，哎，求这三条折线合的最小值。什么时候最小呢？ 哎，那就是把我们的 m 一 m 二连起来，它就最小了， 啊， 它就小于等于 a， 哦，不对，不是小于等于啊，它这里我用最值嘛， 啊，它的最小值啊，就是它的最小值。 好，就是这三条线段和的最小值，哎，就是我们这里的 m 一 m 二。好，那么这个问题来了， m 一 m 二什么时候最小呢？哎，因为这里你看 m 点它，其实， 哎，它是不是也是动的？只是我们假定它不动，对不对？好，那这里 m 一 m 二什么最小呢？好，来这里，我们再去把 这里的 a m 二连起来，把这里的 a m 一 连起来，然后再把这里的 a m 连起来。好，把这三条线段连起来之后，我们可以知道，哎，这个 a m 二， 它是等于 a m， 哎，它是等于我们这个 a m 一 的。你说这三条线段呢？都是相等的。好，这里注意哦，然后，啊， 啊，然后我们来看这里，相等的话，你看这个角，哎，这两个粉色的角，啊，这两个粉色的弧角是相等的，然后呢，还有这两个， 还有这两个粉色的圈角也是相等的，也就是说呢，哎，根据我们对称的性质，这个角 m 二 a i 和 m a i 它是相等的，然后这个角 m a l 和这个 m e a l 这两个角相等的。好，然后你看这里啊，一个粉色的弧角加上圈角，它是等于我们的 i a l 是 等于三十度的。好，那这里我们就可以知道，这个角 m e a m 二，它就是等于 i a l 的 两倍，它是等于六十度的。 好，那它等于六十度，那这里 a m 二又等于 a m 一， 那所以说 a m m 二，它就是一个等边三角形，哎，有一个角是六十度的等腰，它就等边嘛。好，那这里我们就可以知道， m 一 m 二，它其实呢就是等于谁的呢？就是等于我们的 am 一 等于 am 二，而 am 一 am 二是等于 am 的。 好，那你看这里，我们要去求啊，这 m 一 m 二和的作用值， 那我们其实就是去求 am 和的最小值。来，这个时候，哎，那这个就转化成我们，哎比较熟悉的一个最值问题了，哎，就是定点到动点距离，什么是最小？哎，那肯定就是过这个定点 a 去做这个动点 轨迹的垂线不就好了吗？所以说来，那 a m 尺寸最小，那就是去过 a 点去做这个 b c 这个垂线，那这个呢，就是我 a m 最小的位置，那就是 m 一 m 二最小的位置，那也就是我这个三角形周长最小的位置。那所以说这个时候我们可以知道，此时啊， a m， 它应该是垂直于 b c 的。 好，那这里我们就找到了 m 点的位置。 ok， 这是第一个锥子模型，将军一马问题去解决好，这个解决之后，我们接着往下看。 好，然后做 m 点关于 a c 的 对称点 n。 好，那这儿啊，在这儿他给你做了啊，然后连接 a n 啊，点 p q 呢？分别在射线 a n 和 b d 上一点好，然后连接 c p， a q， 然后既 a， b d 呢？等 r 法，哎，若 a p 又是等于 b q 的， 哎，则当 a q 加 c p 最小的时候，用 r 法去表示 p a q 的 角度。好，来，这里，哎，呃， p o q 都是动点，然后还有一组位首尾相连的等线段，哎，这就是我们的逆等线模型， 对吧？好，这是第二个对折模型。好，那这里呢，这个一等式模型怎么去做啊？这个图呢？啊，太复杂了，我们把它分离出来啊，这里我只需要这个图的作用，我只需要去找到 m 的 位置就可以了。好吧，来， m 在 哪？就是在这垂的时候。 好，这 m， 然后呢，我再去做 m 点关于 a c 的 对称点啊， 啊，大概在这个位置。假设呢，这个是我的 n 点啊，这是 n 点好，然后把它连起来。 好，他要说的是射线 a n 嘛，那我就画长一点。好啊，他说啊，连接 a n 点， p q 呢？分别是射线 a n 和 b d 上的一点啊。呃，那假设在这儿，这是 p 点的位置 啊， q 呢？是 b d 上一点好，然后 a q 等于啊， a p 等于 b q， 那 这就是 q 好， 那这里呢？它是等于它的好，然后我们去连接 c p， 连接 a q， 好，然后这里呢？ a b d 啊，它是等于 r 法的好，然后他要问，我们去叫我们去问啊，这个 a q 啊，加上这个 c p 值最小的时候，好来 a p 和 c q 啊，什么时候值最小？ 那这里呢？哎，我们说了逆的一些模型呢，我们还是要把它转化成我们的，哎，将军一马模型去做，那我们说将军一马模型去求两条线段合的最小值呢？哎，那他们一定会有一个公共的端点，并且呢这个公共的端点呢？哎，还得是那个动点。 好，那这里你看，这里 p 和 q 是 动的，那所以说，哎，我就得让 p 和 q 重合，那这里怎么重合呢？哎，那我就去呃构造啊，一个三角形 呃和。哎，题目中包含 a q 和 c p， 以及包含这一组等线段的其中一个三角形全等就可以了，哎，这就是我们一等线的呃 啊，解析模式啊，或者说解析套路都可以。好，那这里呢？你看，哎，我要去求和的，或者说我要去转移的线段呢，要么是 a q， 要么是 c p 啊，就看你转移谁好，那这里呢，我们就我就统一去转移 a q， 对 不对？好，我去转移 a q 啊，然后呢， 你看，呃与 q 点相连的等线段呢？是谁？是 b q， 那 你看 b q 和 a q， 你 就只能放在 a b q 中去，那所以说我就需要去在哎这个 a p 这里去构造一个三角形，和这里的 a b q 全等，从而把这个线段 a q 呢给它转移到呃这个 c p 的 位置去，就是让 q 点和 p 点这两个动点呢？去重合。 好，那这里你看，那这里我们就去构造全等三角形。好，那首先啊， b q 和 a p 有 一组边相等了。好，那然后呢，我是在 a p 的 上方还是下方去构造一个三角形和 a b q 全等呢？ 哎，那这里我们说了嘛，我们要去用将军印码问题去解决，那将军印码问题最基础的解决方案就是，哎，把两条求和的线段放到动点所在直线的 e 侧去。好了。你看，屁是动点，动点所在直线呢？是 a n， 那 就要放到 e 侧，你看 c n 已经在 a n 的 下方了，那我就把这个 a q 给它放到上面去。 所以说我就是以 a p 为边，在啊这个 a p 的 上边去勾搭一个三角形和 a b q， 它是全等的。好，那有边了，那接下来我就勾搭一个角相等，那你看以 b q 为边的角，哎， 有两个 a q b 和这里的 a b d， 你 看一下哪个角是固定的？哎，很明显的， a b d 是 固定的吗？它告诉你等于 r 法。哎，那所以说，哎，我就去做这个角。 好，我就去做一个这个角啊， p a 假设 a b c 是 对 d 嘛？ 啊？有 d 了，那就 e。 好， 我就去做这个角啊， e a p 是 等于 a， b q 是 等于啊，阿尔法的啊，这个是阿尔法。 好，那你看，我要去构造旋转三角形，已经有两种条件了，来， b q 呢？ b q 等于 a q 一 组边，然后阿尔法角一组角，那所以说我就只需要再去构造一组条件，哎，怎么呢？就去看，哎， 呃，这个以阿尔法角这个阿尔法角的两边，对吧？呃，这个 b q 已经相等了，我再使这个阿尔法角另一边相等不就好了吗？哎，那就是这个阿尔法另一边 a d 和这个阿尔法角另一边 a e 大 小相等就可以了，所以这里我就去使得并截取啊，这个 a e 呢，是等于我们这里的 a b 的。 好，然后呢，怎么办？再把这里的 p e 连起来啊，连起来之后呢，那我马上就可以知道。哎，有两个三角形是全等的。 好，那我们马上就可以知道啊，三角形这里的 a p e， 它就是全等于我们的三角形 b q a 用边角边去乘全等。好，根据这组全等之后，我们就可以知道，来这里 p e 呢，就等于我们这里的 a q。 好， 所以说我就把这里的 a q 呢就转移到 p e 这去了。那我们再看一下 p 和 q 它是否重合了，来看一下 p e 的 对应点是 q 点没有问题。好，那所以说这个题目要让我们去求的啊， a q 加上 c p 和的最小值，那其实就是去求 我们这里的 p e 再加上 c p 和的最小值。 好，然后你来看来要求我们这里的 p e 加上 c p 这两条折线和的最小值。而那就是只需要干嘛？哎，根据我们两点之间线的最短，把它拉直就可以了，所以说我就只需要去把这里的哎 c e 给连起来就可以了 啊，那其实就是我们这里的 c e 的 长度。好，那这时候啊，它不是让我们去求这个直径小多少？它让我们去啊，用 r 法表示 p a q 的 这个度数来， p a q 是 这个角。好，来，这个角怎么去表示呢？ 好，刚才我们说了啊， m 点在什么位置呢？ m 点就是在这里啊，刚好垂直于 bc 的 时候。好，这个 abc 呢，它是一个 等边三角形啊，根据等边三角形啊，三线合一的性质嘛，那我们可以知道 a m， 它是顶边上的高线，还是顶角的角平分线，所以说这两个角呢，哎，它都是三十度。好，然后呢？呃， 这个 a n 怎么来的呢？是做了 m 点，关于这个 a c 的 对称点，得到了 n 点，那说这个角呢，也是三十度。好，那我们这里就可以知道 b a n 呢，这个角啊，或者说 b a p， 这个角呢，它就是九十度。 好，那这里，呃，要算这个 p a q， 哎，那就是九十度，再加上这个角叉角就是这个 b a q 就 可以了。好，那然后你看一下这里的 b a q 是 等于谁的？ 好，那这里我们就可以知道。来，根据我们这里刚才的这个全等啊，这里的角啊， b a q 啊， b a q， 它就是等于我们的 a e p 的。 好，那所以我就只需要去把这个 a e p 算上就可以了。 a e p 怎么算呢？好，那你看，这连起来之后啊，其实这个点呢，就是我的这个 p 点。 好，这里注意哈， p 和 n 啊，它们不一定是重合的啊，只是这里图画的比较像，它们像重合的啊，那这里其实就是我 p 点，那其实呢，这个角，欸，这个角就是我的这个角啊。 a p。 好， 那这个角怎么去表示呢？来，这里， a e 是 等于 a b 的 a b 呢，是等于我们的 a c 的， 所以说 a c e 呢，它是一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶角呢，是在这儿。哎，它是三十度啊，换个颜色，这个颜色 看不太清楚啊，那这个它的顶角呢，是三十度，再加上 r 法好，那所以说它的每一个底角呢？这个角，哎，就是我们的七十五度，再减去二分之一的 r， 法好，那所以说这里我们就可以知道 这里的角， 这里的角 p a q 啊，它就等于我们的这里的角 p a 啊， b a p， 再加上这里的角 b a q， 那 其实也就是等于 b a p 呢，是九十度，再加上 b a q 呢，它等于 a p e 是 等于七十五度，再减去二分之一。而法 好，那就九十度，再加上七十五度，减二分之二法就等于多少呢？哎，一百六十五度，再减去二分之二，法 好，那这里呢？有同学可能啊，做的出来一个答案，哎，他就沾沾自喜了，但是下来考试下来一会发现，哎，老师，这个题为什么会有两个答案呢？好，这就是我在一开始读题的时候就跟你说了这个问题 来，他说了点 d 是 在射线 ca 上，那他既，那他就有两种情况，一种情况就是在 ca 的 延长线上，还有一种情况就是在线段 ca 上，所以说这道题目应该有两种情况来，这是第一种情况， d 在 ca 延长线上， 好，第二种情况， d， d 在 线段啊， c a 上， 好，那时候来，我们重新画一个图，我感觉我把可以把这个图我给它放那边去一点，放个颜色啊，这个白的里边黑的吧。好，把它换过来， 这也换过来， 好，那这里还是一样的，我就还是去做 m 啊，这是垂的。好，然后我还是做这个对伸点啊，我就直接随口画啊，好，这个 n 应该是在这个位置的。 好，然后这个时候呢来 d 呢，就在 c 上， 好，那这是 d， 然后这个呢是 f 好，然后 p 呢？在这儿还是取个 p q 呢？在这儿 好，然后我把它连起来，把 a q 和这个 c p 连起来。好，这里还是啊 q 的 啊， b q 啊，等于 ap 好，还是要去求这两条蓝色线段和的，这样子还是一样的啊，我这里还是去转移 a q 嘛，还是以 a p 为边啊，在它的上方呃，去构造，呃，一个三角形和 a b q 全等，那还是一样的， 那这里构造一个角， 往下放一下， 好，假设这个是 f， 那 去构造一个角啊， p a f 呢，它等于我们这里的 a b q 啊，是等于 r 的 好，然后呢再去在 a f 上面截一段啊，这个 a f 呢，它是等于 ab 的 好，然后呢我再去把 p f 连起来啊啊，这个构造的方式呢，就跟我们这种情况是一样的。好，那这里啊要去求我们这里的 呃， a q 加 c p 和最小值，那其实还是一样的，这里呢就是三角形。谁啊？三角形 a b q 嘛，三角形 a b q 啊，它就全等于三角形 a b， 那 就是 f a p 啊，边角边正的全短。那这里我们就把这里的 a q 呢给它转移到这里的 f p 这里去了啊，那所以还是一样的 a q 再加上 c p 和的最小值啊，就变成了我们的 f p 加上 c p 和的最小 啊，还是把这里的 c f 连起来就最小啊，那时候这个把它连起来 啊，还是一样的啊，这连起来之后，这里的 p 和 n 啊，不一定同和啊。啊，那这个呢就是我的这个 p 点的位置啊，点的位置 啊，还是一样的，他要求什么？他要去求这个角啊， p a q。 好 了，这个时候你会发现啊， p a q， 他 在这个角 b a p 的 里边了，这个角 p a p 呢？还是多少度呢？还是九十度没有变？那说这个时候你发现啊，这个角 p a q， 它就应该是等于我们这里的角。呃， b a p 啊，再减去我们这里的角， 这里的角 b a q。 好， 那这个角 b a p 呢？还是九十度，那 b a q 呢？还是一样的来，这里的角 b a q， 它是等于什么的呢？角 a f p， 那 也就是还是一个角，那你看这个 a c f， 它还是一个顶角，为多少度呢啊？这儿是三十啊，还是顶角为 三十度加 r 法的一个等腰三角形，那这个顶角啊，这个这个底角 a f p 呢？还是七十五度，减去二分之一 r 法好，那这里呢，就变成了我们的九十度减去七十五度，减去二分之 r 法，那就等于十五度在 加上我们的二分之 r。 好， 那所以说这就是这个题目啊，它有我们的两个答案好，为什么会有两个答案呢？就是各位同学在读题的时候啊，一定要仔细啊，一定要仔细，就是在色写 c a 上，好吧， 好，这就是我们这个啊，八数初二半期啊，最后一个题目的最后一个小问啊，其实就考察了，呃，两类对子模型啊，一个是将军印马模型，然后呢？一个是我们的逆等线模型，好吧，然后呢，还考察了一个，对吧？大家这个审题的仔细程度， 好吧，这就是这个题目，给大家简单分析到这，好，我们下期再见！点赞加关注，金刚校考不迷路！

好的，各位同学好，我是你们的杨老师。然后今天的话呢，给各位同学呢讲一道几何压轴题啊，然后呢，有一段时间没给各位同学讲题了，然后呢，最近比较忙， 我今天抽一点时间的话呢，给各位同学讲一下这一道题，那么这道题呢，是希腊副中他们上周哈考的这个几何压轴题。好，那么这道题的话呢，我们一起来看一下。 呃，这里呢，我就只放了第三问哈，你就说在前面题目上的话，它相当于就只给了一个 a b 等于 a d 这个条件。好，然后呢，我们呃，接着读题， 他说 c 点在这个 b c 的 延长线上啊， c 点在 b c 的 延长线，然后连接 a c， 然后这里给了一个角 b， a， d 等于九十度啊，这里等于九十，那么也就是说只要前面这个条件啊，那么 a 三角形 a， b d， 它就是一个等腰直角三角形嘛。好，然后又给了角 c 等于十五度。 好， b， d 等于二，那么这个条件的话，其实我就可以算出这个 a b 和 a d 嘛，那么其实在这个地方的话，其实我们也可以推导出这个角，它实际上是等于三十度的啊，等于三十度，也就是说你这个角等于四十五度嘛。好，那么接着。 然后呢，以 e 哈为这个直角顶点做等腰直角三角形，这个 e 的 话呢，是在这个注意啊，它是在直线 a c 上啊，它在直线 a c 上，它不是在 a c 这个线段上面，然后 e 呢？以， 呃，在这个上面就是一个动点，然后呢，以 e 为直角顶点，然后去做一个等腰直角三角形 d e m， 那 也就是说 e 点呢，它是动点，那么 m 的 话其实也是一个动点，那么这个呢，就符合我们在讲的前面讲的这个瓜豆里面的，那么这个 e 就 我们称为一个主动点，那么这个 m 我 们就成为一个从动点。 好，那么也就是说 m 它的一个轨迹啊，我们就可以通过我们前面学的瓜豆这个模型给它找出来。因为 e 呢，它是在 a c 这个直线上动， e 点的轨迹是直线，那么也就是说 m 的 轨迹呢，也是一条直线。 好，我们继续好，他说线段 a m 取最小值的时候啊， a m 取最小值，那么也就说从这个地方的话，其实我们就可以看得出，那么接下来我们需要去找的就是去找出，就是要去找 m 的 一个轨迹， m 的 一个轨迹，那么第二个呢，就是去去探讨出这个线段 a m 它什么时候最小。 好，那有的时候对于这个就是把它这个写成两个部分啊，那么前面部分的话，我们需要完成的就是去找出 a m 的 一个轨迹，并且探讨出线段 a m 什么时候最小， 好，什么就是最小，然后呢这个地方后边的话呢，它实际上是跟这个 m 有 关系吗？它是连接 m h 吗？那也就是说我们要探讨出 m 最小， a m 最小的时候， m 点它的一个位置。好，那我们这个地方的话，我们就来一起来看一下怎么去画这个 m 的 轨迹哈， 那么其实前面我们在讲这个挖豆的时候呢啊，其其实就讲到这个原理嘛。呃，其实我们可以把主动点的话，他是连接的地点嘛，主动点是连，也是连接的地点，那么其实这个地方就相当于 是是主动点连接地点的这一根线，也就是第一这个线段啊，第一，然后呢他 进行顺时针旋转的四十五度。好，并且扩大了根号二倍，根号二倍，也就是 d e 通过顺时针旋转的四十五度啊，并且扩大了根号二倍，然后变到了这个 dm。 好， 那么其实的话，我们就可以通过这个原理去从 e 点转换到 d 点，那么其实这个地方的话呢，我们就需要去找出这个 呃这个 e 点它的一个特殊的地方，特殊点嘛，相当于是，那么其实呢，我们就可以去做一个， 做一个 a c 的 一个垂直，那么 e 点的话呢，它是可以运动到这个地方来的话，它相对是一个特殊的嘛，那么此时的话呢，我们就是相对于把这个特殊的第一撇，然后呢进行旋转四十五度，并且扩大一个啊，扩大一个根号二倍， 那么也就说此时相当于就是，呃，以这个 d 一 撇儿为直角边嘛，这个 e 一 撇儿为直角顶点，去做一个 呃等腰直角三角形，好，那么也就是说呢，这个地方零四十五度，这个地方也零四十五度，那这里相当于是 m 一 撇嘛？ 好，那因为我们又知道 m 它的轨迹是一条直线，对吧？ m 轨迹是一条直线的话，那此时我就可以，此时我就可以把 m 的 轨迹给它画出来，它实际上就是这个样子嘛，这个是 m 的 它的一个轨迹， 好，那么 m 的 轨迹找到了之后，那么此时我在 m 相对于在这个蓝色的线上面动嘛，然后我们要算这个 a m 的 一个最小，那相当于就是过 a 点去做一个这根线的一个垂子嘛？好，那么 m 一 撇， 好，那么这个地方啊，红色的这个 m 就 相当于是这个 a m 最小的时候，它的 m 的 一个位置啊， m 的 一个位置， 那么我们在，我，那么我们在画这个地方的时候呢，我们需要把它进行一个，呃，进行一个还原嘛？还原相当于就是把把从这个复杂的图我还原到这个一个简单的图上面来。简单的图上面，那其实简单的图上面的话就应该怎么去画呢？ 啊？那由于我们知道这个作图是怎么做的嘛？所以说相当于就是呃，先过地点向这边做一个 a c， 做一个垂直， 好，然后呢？然后将这根线其实我们也可以逆时针旋转一个九十度，其实变成这个样子，其实也可以。好，然后再连接这个 m 和这个点，然后相对再做一个垂直吗？ 下面再做一个垂直啊，就是这么做出来的，这里就是我们的一个 m， 好， 那么做出 m 之后，那其实我们这里的话，还需要去把我们此时的一个 e 点给找到，那 e 点的话呢，就相当于是连接此次的 d m， 以 d m 为斜边做一个，做一个等腰直角三角形， 好，相当于是这个样子好，这个样子好，这里就是我们的 e 点，好，也就是说啊，它的图就是这么去做出来的。好，那我们一起来看一下。这边呢，我画了一下图，图就是这个样子， 那么也就是说 e 点它在 ac 这根线上面去动， ac 这根线上面去动，我们要找出 e 点的轨迹的话，那么此时我们就需要去过这个 d 点，向 ac 做一个垂线， 好，向 a、 c 做一个垂线，我们把这根垂线给它画出来，换一个颜色，好，画出来之后呢，然后此时我们就相当于就是把这个线绕着这个点，就是逆时针旋转一个九十度，逆时针旋转一个九十度啊，旋转一下，逆时针旋转九十度， 好，旋转到这里来之后，那么此时这个点跟 m 啊相连所组成的直线，那么就是我们的一个轨迹嘛，就这个样子，然后呢我们再过这个 a 点，向这根线做一个垂直， 好，然后这个点呢，其实就是我们的一个 m 嘛，这个点就是我们的一个 m， 好， m 点就在这个地方， m 点就在这个地方，那我们此时要找出 e 点，对吧？找出 e 点的话呢，其实就跟我们刚才讲解的一样去画嘛，然后这里连接 dm， 连接 dm， 然后以 dm 为斜边做一个， 以斜边做一个等腰直角三角形嘛，等腰直角三角形，那其实的话可以这么来做哈，因为等腰直角三角形这个地方就相当于是转了一个四十五度嘛，顺时针转一个四十五度，所以相当于是绕着这个点顺时针转一个四十五度， 好，那么其实这个交点的话呢，就是我们的一个异点嘛，那么其实这个交点就是我们的异点，所以说的话，我们就可以把异点给画出来了， 好，把 e 点给它画出来，好，其实的话呢，就是这个样子，那么 e 点在动的过程中，当 e 点动到这个点上面来的时候，那么此时就满足我们的一个条件嘛，啊，它的图就是这个样子啊，它的图就是这个样子， 好，那么原理完，原理画好了之后哈，那么那么我们就，我们就接着进行下一步了哈，进行下一步了，我们还是把这个图给它放过来，这个图给它放过来这里的话呢，就 好，把这个 e 点通到这个点上面来，好，差不多，那么他的图的话呢，就是这个样子，图的话，标准的图哈，那其实的话呢，就是这个样子。哎呀，最近有点感冒了哈，各位同学要注意身体。 好，然后，嗯，好，就是这个样子嘛，好，我们接着往后边哈，看后面半截， 他说呢，此时这个 h 在 直线 bc 上移动点哈，这 h 就 在这个直线 bc 上面一个动点 就在这个直线上，然后呢连接 m h， 连接 m h， 那 我们随便找个点吧，这里是 h， 我 们要连接我们的一个 m h， 然后还要连接 a h， 连接 a h， 然后呢他说将三角形 a e m h 沿着这个 a e h， 然后呢啊进行翻折，翻折到这边来啊，那我们大概大概画一下，大概画一下，那么翻折的话呢，就大概在这个位置吧， 啊，就这么就这么翻折过来，好，翻折过来之后呢，呃，这边呢，就是形成一个 a b 这个平面，然后呢得到三角形 a h n 嘛， a h n， 那 其实这个点就是 n 点，然后呢此时我们再连接我们一个 b n， 好， 把 b n 连起来，好，然后呢他说当 b n 取最大值的时候， b n 取最大值的时候， b n 取最大值，然后要我们算这个三角形呃， b b e n 的 一个面积哈， b e n 的 一个面积，那么其实第二部分的话呢，其实跟前面差不多了哈，前边的话呢，它是要我们算这个 am 最小， am 最小的话呢，相当于是 a 点是一个定点。 好， m 是 一个动点嘛，那其实一定一动就找动点的轨迹嘛，那其实这里也是一样的， m b 点它是一个动点啊， b 点是一个定点，然后 n 点呢，它是一个动点。好，你那我们此时相当于是去找 n 的 一个轨迹嘛，其实 n 的 轨迹就比较简单，我们翻折里面是不是常常会涉及到有 引元涉及到的一个什么定角定弦，那对不对？好，那么定角定弦的话呢，也就是说 这一边定角定弦，还有我们的一个呃，定角定高，还有什么定点定长， 还有还有等等的一些东西嘛，对吧？好，那么其其实这个地方的话呢，它涉及到的就是一个定点定长嘛，翻折里面常常会出现一个定点定长，也就是说它翻折过去过，这个 a 点实际上是没变的。 那么 a m 这个长度，由于我们前面已经确定了是一个垂直嘛，也就说 a m 的 话，它是一个定长，那也就说 a n 呢，它也是一个定长，也就说 n 点呢，它的轨迹相当于是在以 a 点这个轨迹， a 点这个轨迹呢，它相当于是在以 a 为圆心， a 为圆心，然后呢 am 为半径的一个圆上哈，啊，当然这里这里是我平手画的哈，可能画的画的不太标准哈，那么其实的话呢，这个 m 应该在这个圆上面才对头，在这个圆上面才对头，应该是这个样子啊，这个样子。 好，你就说 m 是 在这个上这个上面吧，那也就说此时你想要，你想要你的这个 bm 最大的时候，那是不是应该是 b m a e 是 不是三点共线的时候才会最大呀？对吧？那么此时的话呢，应该是这个样子啊，这个样子，那么这个地方呢，应该是一个 n 点，那么就是这个样子， 然后这个图呢，就是我们啊，我们需要的这个是最小的时候嘛，然后这个 b m 最大的时， b n 最大的时候，然后另外这里要我们算的是这个 b e n 的 一个面积， b e n 的 一个面积，然后此时连接 e 点啊，再把这个 n 点连起来，那么现在的话，相当于是去让我们去算这个面积嘛，这个面积好，那么这么画的话呢，看着还是有一点抽象哈，我们在这上面，来吧，这上面给各位同学画一下，好，然后这边的话呢，我们其实呢是画了一下图哈，画了下图， 好，也就说你这个 n 在 动嘛， n 在 动，好， n 在 动，然后呢，这里呢，我是删了一些线段啊，把这些线段给添起来。尾头线段。好，这里呢是连接 a h 和 n 嘛，然后呢再把 h m 给 h m 连起来，好，它相当于就是这个三角形嘛， 上面就是这个三角形和这个三角形，然后它是进行翻折嘛？进行翻折啊，有时候 n 点在运动的时候呢，这两个三角形始终是处于一个翻折的状态。好，那么那么这里呢，我还是把它给删了哈，方便观察一些好，方便观察一些 好，然后这个 n 叉的轨迹呢，就是在以 a 为圆心嘛，然后 am 常为半径的一个圆上，一个圆上啊，就在这个上面啊，那么也就是说当 b n 与 a 点 重合的时候，或说边经过 a 点的时候，那么此时这个图呢，就是我们的一个最小值的一个图，这个图呢就是我们的最小值图，能不能把它放到这个放到这边来，哈，用这个图好，用这个图 啊，这个图呢，就这个样子啊，就这个样子，好，那么我们我们一起来大概总结一下哈，这个图是怎么画出来的？首先第一个 e 点在动吧，好，它是在 a c 上面动，那么此时呢，它是把这个呃 d 一 相当于是 d 一 绕着这个地点，然后呢顺时针旋转一个四十五度，好，并且扩大一个根号二倍，达到这个 m 好， 达到这个 m 之后呢， 然后呢他要求这个 a m 最小，那我们通过我们的一个瓜豆作图嘛，去确定出 m 的 一个轨迹， 去确定出 m 的 轨迹，就是这个这根，那么此时就相当于是过 a 点做 m 的 一个，做这个线的一个垂直。好，那么这个点就是 m， 好， 那么第二步的话呢，就是，呃，就是这个三角形 a b m 啊，它是绕着这个，就是绕着这个 a h a h m 啊，照着 a s 继续翻折，得到证明呢，是一个 n 点啊，那么这里呢，就是我们的一个定点定长，定点定长的话，也就是这个 a 点为定点，那么长呢就是 a m， 那 也就是说 n 点的轨迹就是在以 a 为圆心， a m 长为半径的一个圆上。 好，然后要求我们的这个 b n 最大，那么也是 b n 经过圆心的时候，它就最大。好，那么这个图的话呢，就是这个样子啊，就这个样子。好，那我们搞清楚怎么画图了之后，那么接下来呢，我们肯定是要去把 把这个玩意给他计算出来，因为我们最后要算这个，这个带颜色的这个三角形的一个面积吗？但这个图的话稍微有一点小啊，那么这边的话，我把这个图给他，给他截，截大一点啊，就相当于是把它放大一点，放大一点再算， 放大一点再算。好，那么从这个图上面来看的话呢，其实我们我们要求的话，我们要求的就是这个三角 s 三角形 a、 b、 n 的 一个面积嘛，这个等于多少啊？那么我们在算这个的时候的话呢，其实有几个步骤啊？有几个步骤？ 好，我们一起来看一下。好，那算这个面积的话，我们肯定首先得确定一个方法嘛，就是要么底层高嘛，要要么就是用一些其他的方法，当然我们一般都是底层高嘛，那其实在这个图上面的话呢，其实还是很比较好算的嘛， 比较好算的。好，我们首先我们还是一起来推导一下，我们从最开始这个作图来看，作图来看，因为我是这边做了一个垂直，然后呢旋转了一个四十五度吗？那也就说这个角是四十五度，这个角也是四十五度。 好，又因为又因为我这一根线哈，就是这里是垂直的吗？好，那么其实的话呢，这个地方也是垂直的哈，这个地方也是垂直的，那么也就是说什么呢？这个角也是四十五度， 这个角也是四十五度，然后我这的这个地方是垂直，那么这个地方我就可以得到，比如这里标位点哈。呃，为，比如这里标位点哈，为 q 点，算了，换一个，换一个，后面可能会用到，那么我们这个换成一个 k 点， 换成一个 k 点，那么也就是说这里这个三角形 a m k， 它实际上是一个 r t 三角形，并且是一个等腰 r t 三角形，等腰 r t 三角形，那有时候这个角等于四十五度嘛？啊，这个角等于四十五度。 好，我们接着接着。那么这个地方的话呢，我们还能推导出一些什么呢？呃，就是前面推导出这个角等于三十度嘛，这个角是三十度。好，那大概知道这些之后的话呢，我们就来尝试着去算一些东西呗。 好，因为我要算这个三角形的面积，那么其实我可以考虑就是，呃，这里明显的话，其实我们可以算出这个 b n 的 一个长度，考虑去算 b n， 考虑去算 b n， 那 b n 的 话，它实际上是等于 ab 区加上这个 a n 嘛，那那通过前面推导的话呢，这个 a n， 它实际上是等于这个 a m， 那 也就是说，也就是我们就可以接下来我们就相当于是去算 a m 等于多少。 好，那么我们根据前面给的长度嘛，这个 a b 的 话呢，是等于二，那么也说 abd 等于二，那也说 abd 的 话是等于根号二。好，那我们就相当于算 am， 那 么算 am 的 话呢？呃，这个地方我们可以考虑去算一下这个 a k 嘛，算一下这个 a k， 因为 a k 它是一个等腰直角三角形嘛，你算这个 a k a k， 它其实也很好算嘛， ad 的 话呢，也等于根号二呗。 然后这里我们不是推到数等于三十度吗？那也就说这根长度，这根长度是不是就可以算了？好，这个我标过 q 这个长度的话，它实际上是等于一个二分之根号二吧？那这里是不是也是二分之根号二？那其实我们可以顺时针算出这根零一吗？ 好，这里是二分之根号二，然后这个 a q 是 不是就出来了？ a q 是 不是应该等于二分之根号二乘以高三，是不是二分之根号六？也就是说 a k 的 长度是不是应该是二分之根号二加上二分之根号六， 对吧？好，那也就是说我们现在呢，是算出了这个，算出了这个 a k 了噻，那么我们其实就可以算出这个 am 了吧？好，此时呢，我们就可以算出这个 am。 好，然后呢，这个 a m 的 话呢，相当于就是 a k 除以根号二，除以根号二的话，它相当于就是二分之一加上根号三。好，也就是说这个三角形的底已经出来了， 底。好，那么是相对算高嘛？那算高的话，是不是应该是过 e 点去做这个 a n 的 一个垂直，对吧？好，过 e 点做这个 a n 的 一个垂直，然后呢，这个地方的话是 f。 好，那么相当于就是去算这个 a f 等于多少？那么算 a f 的 话呢？这里其实有个角哈，不知各位同学能不能看得出来？就这里是直角，这里是三十度，那这个角是应该是六十度，也就说角 f a e， 它是等于六十度， f 一 等于六十度的话呢，那我们其实呢，就是 f 一 等于六十度，那么其实我们是不是就可以直接去去转换到算这个 a 一 以一的长度呢？对吧？如果我们能算出 a 一， 那么是不是接下来就啊就比较简单了 啊？接下来就比成简单了，那算 a e 的 话呢？那这个地方，呃，其实不是很好去算这个 a e 哈，因为这里呢会涉及到要算很多东西啊，那我们还是一起来看一下吧，算这个 a e， 好，那么首先的话呢，这里我们这里哈，不知各位同学能不能看得出来？这个地方哈，就是这个 e、 d k 和 m 这四个点，它实际上是四点共圆的嘛， 四点公园啊，就是因好，然后加上这就是因为这个角是直角，这里也是直角，它是四点公园，然后这里又是平分，那么其实呢的话，它也是一个对角互补模型 好，那么具体不知道对角互补模型是什么的话，那各位同学的话呢？还是下来去复习一下，我们就不在这里啊，过得去迅速了，那么它里面有一个结论，就是说一 k 去加上 mk， 它实际上是等于这个根号二倍一 k 的 根号二倍一 k， 好， 那么我们这里的思路就是什么呢？思路就是我要用整个 a c 去减这个 c k， 再去减这个一 k， 他 实际上就等于这个 a e 嘛，就这么来算的，这么来算的啊，所以说这里的一 k， 我 们通过前面这个对角互补去算好，然后 c k 和 a c， 我 们就通过减直角三角形去算嘛，减直角三角形去算 好，怎么来算呢？好，我们这个地方看一下啊，就这里是四十五度，然后呢，你这里是一个六十度嘛，那其实这里就应该是一个三十度嘛，我们就可以推导出，其实可以通过这里十五度其实也可以算哈，那其实呢，这个地方的话呢，我们就可以呃，可以通过这种方式去算一下这个 c k 哈， 解直角三角形的话呢，我们最好不要出现一个呃，十五度的直角三角形嘛，那这里头我们就这么来做嘛，延长这个 d k 啊，我们在做这个解直角三角形的时候啊，通常就是这么来做的话啊，这么来做嘛？ 然后呢？呃，过 c 点哈，做这根线的一个垂直，做垂直好，比如说这里是一个 a 点嘛，那其实这样的话呢，我们就可以算了嘛， 其实就可以算了。然后呢，我就设这边为 x， 这边为 x 啊，也就是说根号三 x 是 应该等于一加上 x。 好， 那我们是不是就可以直接算了？我们 x 解出来的话呢，它实际上是等于二分之根号三加上一的啊，其实是跟这个 a m 是 相等的哈，那 a 跟 a m 相等啊，也比如说这个长，比如说嘛，这个长度就是 ic 零，这个长度 好，它跟 am 相等，那此时我们是不是可以得到这个三角形 a m k， 它是全等于这个三角形 a k c 的， 那 a k c 的 话，那其实我的一个 k c 是 不是应该等于这我们的一个 ak 啊？ ak 等于我们的一个 ak 吗？ 好， a k 的 话，我们长度实际上是算出来的嘛， a k 的 话， a k 等于这个长度嘛，那也就是说这个长度它是等于二分之根号二加上根号六，那我们 a c 是 不就出来了？ a c 是 不相当于是呃，两个，两个 a k 嘛，对吧？那那我们的 a c 就 出来了， a c 呢？实际上是根号六去加上根号二嘛。啊，那么上面这个长度呢？ d k， d k 等于一 mk 呢？ mk 的 话，它实际上是跟这个 x 嘛，就是 x 嘛，对吧？那其实我们就可以算这个长度了呀，就是一加上二分之根号三加上一，等于根号二倍一 k， 那 我们是不是可以一 k 把它给算出来，对吧？等于根号二倍一 k， 好， 我们来算一下，算一下这个一 k 算出来等于多少？ 呃，一 k 的 话呢，算出来等于四分之根号六，加上三倍根号二， 好，那么其实到这一步的话呢，我们差不多就全部快算完了哈，那我们直接算 a 一 吧， a 一 的话呢，它就等于我们一个 a c 减 c k 减一 k， 好，他就等于根号六加上根号二，减 c k， c k， 我 们算的在这个地方吧，减二分之根号二，加上根号六，好，然后再减这个一 k， 就 减四分之根号六，加上三倍根号二， 好，那此时的话呢，我们 a 一 算出来的话呢，它是一个四分之根号六减根号二。 a c 出来了，那么我们就可以算这个 e f 了嘛， e f 的 话，相当于是 a c 除以二，再乘以杠三， 那么它就等于八分之三倍根号二，减根号六，好，这是我们的 e f， 关键的 e f 就 出来了，那么我们此时的这个 s 三角形 a b n， 它就等于二分之一乘以 b n， 再乘以 e f， 好， 那么就在它就等于二分之一乘以 b n b n， 我 们算呢？在哪个地方？ b n 好 像 边好像还没算吧？ b n 的 话呢，它应该等于这个 ab， ab 是 根号二加上 a， 加上二分之根号二，加上根号六，好，然后再乘以八分之三枚根号二减根号六，这就是这个嘛，好，那我们就可以 啊，这个 b n 好 像有点问题啊， b n 好 像算错了 b n 的， 呃，这个 b n 的 话呢，是在这里哈，我们看错了哈， b n 在 这个地方， a n 哈， a n， 哦，等会，等会，哦，对对对，这个 b n 哈， b n 的 话呢，它是 b n， 它是等于 ab 区加上 a n 嘛， a b 是 他吗？ a n 的 话，我们看错了，因为 a n 跟 am 相等吗？ a n 的 话应该是这个长度，那么它是一个零二分之一加上杠三啊，这里时候看错了，然后最后结果算出来，就是十十六分之 六减二倍根号三，加上根号六。好，这就是这个最后的结果哈，最后的结果。那么这个题目方法其实算的还是有一点复杂啊，有点复杂。那各位同学，呃，其实我在讲这个题的时候呢，有些同学呢，他可能会说，有没有更简单的一点的方法来算这个长度呢？ 啊，其实简单的方法还是有哈，有哈，怎么来算呢？嗯，我们可以通过这个图哈，这个图其实呢，它也是有一点规律的哈，有什么规律呢？首先，因为我们这里不是说了这个等腰直角三角形吗？那其实这里还有哈，就是这个 e d m 三角形， e d m 和这个三角形 a d n， a d n， 这里不是 n 哈，就是我们要把它延长出去， 延长出去交到这个点啊，这个点，比如说是 h 有 h 了，比如说是那个 p 嘛？啊，这个这个的话呢，才是我们的一个，就是 a d p 才是一个等腰三角形啊， 等幺 r t 三角形啊，那么也就说这里就正因为没有延长，所以说很多同学呢，他他看不出来这个地方啊，那这里就有个相似嘛，什么相似呢？比如说你这一边，你这一边 是一比根号二嘛，那么其实呢，我们 a d 和这个 d p 啊，它也是一个一比根号二的关系，那么其实呢，我我们此时就可以去算出这个 pm， 然后 pm 除以根号二，它就等于 a e 嘛， 好，它就等于 a e， 好， 这种的话呢，要简单一点啊，要简单一点，那么其实呢，这里也是一个四点公园嘛， d k p a 嘛，就是这个 d k p a 也是一个四点公园。 好，那么其实我们通过这种方式的话呢，也可以去就是去算成这个 d p 啊， d p 出来之后就得到这个 a e 啊，这种方法其实要比我们讲的这种还要稍微简单一点，那么这里相对是一个法二，那么这边呢，就是我们的一个法一。 好，那么各位同学的话呢，可以下去去研究一下，研究一下这第二种哈，算 a e 的 一个方法 好，但是不管哪种方法，我们只要能算出这个题啊，我觉得就是，呃，还算是一个比较好的方法，好的方法好，那么今天的话呢，我们还是出了一点时间哈，给各位同学呢讲了一下， 讲了一下这个，呃，习大附中哈，他们上周考的这个十二月月考的一个几何压轴题啊，因为最近比较忙啊，没太多时间来给各位同学录这些题。好，那么今天的话，稍微空一点啊，给各位同学呢录一下这个几何压轴题的一个讲解哈， 压轴题的一个重点。好，那么我们后续的话呢，也会讲一些这些直属校的一些几个压轴题啊？几个压轴题。那么今天的话呢，我们就到这里啊，今天的话我们就到这里。好，我是你们的杨老师。好，各位同学，再见。

不当作题加，照样上重点。小伙伴们，今天我们来看二零二五年重庆市中考数学的倒数第二题。原题是这样的， 在平面直角坐标系中，抛物线 y 等于 x 的 平方加 b， x 加 c， 与坐标轴交于 i， b c 三点，抛物线的对称轴是 x 等于二分之五。 第一问，求抛物线的表达式。第一问，非常简单，很快我们就知道抛物线的表达式是 y 等于 x 加一，乘以 x 减六。 第二问，点 p 是 射线 b c 下方抛物线上的一个动点，连接 o p 与射线 b c 相交于点 q， 点 d， 点 e 是 抛物线对称轴上的动点 d e 等于四。当 p t 与 o two 的 比值最大时，求点 p 的 坐标和 b d 加 p， e 的 最小值。我们先看一下点 p 在 抛物线上运动时， p、 t 与 o two 的 比值何时最大。 为了看的更清楚，我们只看 o p 这条线，试着看一下应该在中间一点的位置， 具体在哪里呢？尝试表示出两段长度来，都在 o p 这条线上，就是向量的横坐标或者纵坐标的比值。我们假设点 p 的 坐标是 t， t 加一乘以 t 减六，是不是需要求出 q 点的坐标？ b c 这条线的表达式也很好算，点 c 的 坐标是零负六， b c 这条线就是 y 等于 x 减六。 同时我们发现 o c 的 长度是六， o q 和 o c 都在三角形 q c 内， p q 与 o q 的 比值是否可以转移到其他线段的比值？ 很容易想到过，点 p 作一条线，平行于 y 轴，与 b c 交于点 f， 点 f 的 坐标就是 t， t 减六， p f 的 长就是 t 减六，减 t 加一乘以 t 减六， p g 与 o g 的 比值就是 p f 与 o、 c 的 比值就是 t 减六，减 t 加一乘以 t 减六，比上六。稍微整理一下，这个分子就是负的 t 平方加六 t。 题目中有个条件，点 p 在 b、 c 的 下方， t 的 取值范围就是零到六，最大时很容易求，就是 t 等于三的时候，接着点 p 的 坐标就来了，是三负十二。 现在点 p 已经知道，接下来看如何计算 b、 d 加 p、 e 的 最小值。两个线段的最小值，一般的计算方法是两点之间线段距离最短。 同样我们只看 b、 d 和 p、 e 这两条，我们能不能把这两个线段挪到一个三角形里面？ 点 a 和点 b 是 关于对称轴对称的， b、 d 的 长其实就是 a、 d 的 长。 已知第一的长度是固定的，是不是相当于我们把 a、 d 向下平移第一的长度？我们假设 a、 d 平移后得到 a 一 撇一，这时就可以用两点之间线段距离最短的规律来计算了。 这里勾股丁里的计算不难算出来，是四根号五。最后我看一下第三问，在 p、 q 与 o、 c 的 比值取最大值时，将抛物线沿着射线 b、 c 方向平移二根号二，得到新抛物线。弯一撇， 点 m 为点 p 在 新抛物线上的对应点。点 n 为新抛物线 y 一 撇上的一个动点。若角 n a、 b 等于角 o、 p m 减四十五度，写出所有符合条件的点 n 的 坐标 服从。下手的时候，我们先看看已知条件。这两个角度数相差四十五度在哪里呢？我们把它们标出来，角 o、 p、 m 在 这里，这个角是固定的，度数四十五度角有办法表示出来吗？ 不难发现，抛物线是沿着射线 b、 c 方向移动的， b、 c 的 斜率是一，所以 p m 的 斜率也是一。我们把点 p 向 y 轴做垂线，垂足为 g， 这个角 g p m 就是 四十五度， 角 o p m 减四十五度就是角 o p g 就 等于角 an a 比。另外我们发现 p g 是 与 x 轴平行的那错角相等，也就是角 o p g 等于角 p o b 等于角 an a 比。 这里一下子就简单了，我们尝试让这个点 n 运动起来，看一下点 n 在 哪些位置的时候会让两个角相等。 我们看到有两种情况，第一种是 a n 与 o p 平行的时候，角 p o b 和角 and a b 是 一对同位角，两直线平行，同位角相等， 这种情况很好计算。首先要写出新抛物线的表达式， y 一 撇是圆。抛物线 y 沿着射线 b、 c 方向平移了二根号两个单位， b、 c 的 斜率是一，所以就相当于所有的点向左向下分别移动了两个单位， 就相当于原抛物线表达式中的 x 变成了 x 加二， y 变成了 y 加二， y 一 撇的表达式就应该写作 y 加二等于 x 加二加一，乘以 x 加二减六。这里不熟练的小伙伴可以去 up 主页搜索平易相关知识的讲解。 接下来写出 a n 这条直线的表达式不难，是 y 等于负四， x 减四与新抛物线的方程连立，就能计算出这个 x 有 两个值，一个是二，另一个是负五。 负五的时候其实是角 a b 等于一百三十五度，不符合要求，要舍去此时点 n 的 坐标，很容易二负十二。 到这里我们不难发现还有一种情况，如果直线 a n 关于 x 轴的对称图形与新抛物线 y 一 撇的交点也符合要求。此时直线 a、 n 的 表达式是， y 等于四， x 加四 与新抛物线的方程连立， x 的 直解出来是二分之五加减根号九十七。这里和第一种情况一样，二分之五减根号九十七的时候，角 n a b 等于一百三十五度，不符合要求，要舍去， 此时点 n 的 坐标就是二分之五加根号九十七，十四加二根号九十七。两种情况都算出来了，第三问比第二问要相对基础一点，小伙伴们你们做对了吗？ 这道题考察的其实还是常规的知识点，两点之间线段最短的公里，两点一线形最短路径。问题，两点在直线的两侧时直接连接，两点与直线的交点就是要求的点。 两点在直线的同侧时，先做其中一点关于该直线的对称点，再连接对称点与直线的交点就是要求的点。这里中间有一段固定的距离，需要巧妙地平移一下。 还有就是图像平移对称的知识点，平移和对称就是图像上的所有点都按照某个规律移动，把点的移动计算出来，带入原表达式就可以了。 好了，今天的视频就到这里，有什么问题请在评论区告诉我，如果觉得讲解还不错，欢迎关注、转发、收藏哦，我们下期视频再见！

各位家长朋友们好，不知道你有没有发现，近几年重庆中考物理的压轴题题型和考法越来越灵活了，很多孩子平时基础不错，但一遇到压轴题就容易丢分，这到底是怎么回事呢？ 我们一起来对比一下近三年的真题。二零二三年考了电阻丝的阻值计算和发热坐垫的热量分析，还结合了电能表的实际应用。 二零二四年 a 卷和 b 卷的压轴题都考了弗里亚强，与现实问题结合。而二零二五年则通过电炖锅的电路图考察电路设计和档位控制，甚至要求学生自己来画防干烧的电路。 这些题目有一个共同特点，不再是单一知识点的考察，而是把物理知识和生活场景、科技应用紧密的结合，比如家电维修、深海探测、厨房电器等等，要求孩子学以直用，灵活运用多个知识点来解决问题。 很多家长反映，孩子觉得压轴题难、读题难、信息量大，我们需要从文字、图表甚至电路图当中提取关键数据，再结合公式推导。如果平时只刷基础题，缺乏综合分析能力，考试时必然是容易慌乱的。 针对这个趋势，我们调研部特意整理了中考物理题压轴题训练的电子版。 这份电子版我们可以帮助孩子突破难点，每周抽出一个小时的时间，用这份资料做专项训练。先让孩子独立读题，画关键信息，在引导他讲出解析的思路。比如说这道题到底考了哪些知识点， 第一步该算什么，遇到不会的，对照我们的解析，一起分析错在哪里。其实压轴题再灵活，核心还是基础的知识运用， 只要孩子掌握了方法，多练典型题，完全可以从怕压轴变成抢分点。如果你也需要这份电子版资料，评论区留言压轴题我会分享给大家，让我们一起帮助孩子攻克中考物理的一大难关，记得点赞关注哦！

小宝们，期末压轴题超全大盘点，主包帮你一节课搞定他！最全题型汇总加实战技巧！所有手写笔记和针对性练习主包都放在群里了，完全免费制作，不易麻烦宝子们一键三连，大家的支持是主包最大的动力！哈喽，各位兄弟姐妹，今天我们来讲压轴题。 本节课我们主要分成了两大类，一个是几何压轴，一个是二函数压轴。因为现在我们其实第一学期已经快结束了，你会发现每一次考试最后一道题，要么是几何压轴，要么是二函数压轴，这两道题就像两座高山一样，这约着很多同学们拿高分考满分。 而我这节课，我会尽可能的把压轴题的解析策略，解析方法，还有这些压轴题的类型尽可能给大家讲清楚。所以希望你在听这节课的时候，一定要用心，一定要认真， 你要记住一件事情，兄弟姐妹们，你要记住一件事情，就是我们的题是无限的，尤其是亚洲题，他随便变对吧？亚洲题是无限的，但是我们的题型是有限的。你在听本节课的时候，一定要记住，我们要去听策略，我们要听方法，而不是非得把这一道题听懂。 你你要去学这些解题的策略和方法，因为我们的方法和策略是有限的，我们用有限的方法去解这无限的题，这是你非常重要一个地方。另外还有就是本节课我所讲的所有的内容啊，是适用于我们九年级的上下册的所有的大小考连考，一摸二摸中招， 你记住啊，所有都可以适用的，你认真听，认真记，绝对对你是有帮助的！好吧，闲话不多说，我们来开始今天的课程。如图一，在句型 abcd 中就是我先给你讲一道，然后你你感受一下，就是我们老师们在写这种题的时候是怎么想的啊。 如图一，在矩形 a， b， c， d 中， a 的 等于 n 倍的 ab 啊， a 的 等于 n 倍的 ab， 就 这个矩形的这个长等于 n 倍的宽，然后点 m， 点 p， 分 别在 ab 和 a 得上， m 和这个 p 分 别在两个上面，且 a p 也等于 n 倍的 am。 注意一下啊，这个这个 a， a 的 等于 n 倍的 abap 等于 n 倍的 am， 那 它两个这两个都是点，都是 n 倍啊。也就是说，也就说这两个，这两个， 这两个，这个长，这两个这个句型，它们是相似的啊，是相似的。然后你读到这，你就要往相似上面，相似上面去想了啊，相似， 明白吗？兄弟们？就你读的时候你就肯定要明白，这个题很有可能考相似了啊。继续读，以 ap 和这个 am 为边做句型啊， am am np， 然后连接 an 和 c n， 然后将这个句型 am np 绕点 a 顺时针旋转，顺时针旋转，如图二，然后连接 pd， 连接 pd。 第一问题探讨，呃，探讨我们的这个，在旋转过程中，求这个 c， n 和 p d 的 数量关系，让我们求这两个数量关系。第一问，特殊化，当 n 等于一时， c， n 与 p d 的 数量关系是什么？ n 等于一， n 等于一的话，那就说明这个 a 的 等于这个 ab 嘛，对吧？ n 等于的时候，说明 a 的 等于 ab， 那 这都是相等的。也就是说， a 的 等于 ab 的 话，这不就变成一个正方形了吗？对，然后这边这边也是一个正方形，对吧？ 它意思说如果是两个正方形的时候，请问这个 c n 和这个 p d 的 数量关系是什么？ 来，兄弟们， who can tell me？ 你 自己画一下，你自己画一下。当 n 等于一的时候， c n 与 p d 的 数量关系是什么 啊？我带你审题，然后心研纽硕，对，你看他俩就非常快，他俩非常快的想到了 c n 等于根号二的 p d， c n 等于根号二的 p d。 对 啊，非常好， c n 等于根号二的 p d。 我， 我们你看一下这个，我给你把这个图给你大概画一下，就是你看我们画一个正方形 a， b， c， d， 然后，对吧？这个这边也是个小的小一点正方形啊，小一点正方形，然后它在旋转，对吧？它在旋转，比如说我们让小的正方形旋转到这个位置， 好，我们让这个小的正方形选到这个位置， 好，标上 a， m， n， p， 然后它说连接这个 c n 和这个得 p， 然后让我们求的是，呃，如果是正方形的时候， c n 跟得 p 的 关系，那么你通过我画就是，虽然我画的这个正方形还有点不标准，但是你一定会发现它不是相等的关系，对不对？它不是相等关系， 你要连接，我们写的时候我们要连接，连接 ac， 你 看如果你连接 ac ac 的 话， 因为题干中的话，让我们也连接了一下这个 a n， 题干中已经把 a n 给连出来了，这个时候你来观察这个三角形， 给你描一下，对吧？你能看出来吧？兄弟们，是吧？这，这两个三角形你能看出来吧？相似，你能看出来吧？我给你画到这个程度了，我给你画到这个程度了，对吧？ 因为为什么要往相似上面去想呢？因为在题当中也给你说了这个 n 倍、 n 倍吗？对不对？这就是你读题的时候，你要去想，你要往上面去想，明白吧？你想到相似的话，然后又是又是正方形吗？我们来看怎么去正它俩相似。 就是我们在写这种题的时候，你不但要去写出来这个根号二，而且你要去，你要大概想明白怎么去根号二，因为他的第一问，第二问他都是连贯性的，你会把第一问挣出来，怎么去挣，那么你第二问自然也会挣了，明白吧？你第二问也自然会挣了啊。 我们怎么挣呢？就是因为是正方形吗？我们的 a n 比上我们的，比上我们的 ap 等于根号二，是吧？你看我们的 a n， a n 是 这个小正方形的对角线， a p 是 我们小正方形的边长，对吧？一比一比根号二嘛，对吧？所以说我们的 a n 比上我们的 a p 是 根号二。 我们再来看这个，我们再看这个大的，对吧？这个大的话，是不是 a、 c 比上这个 a 的 也等于根号二？ a c 比上 a 的 也等于根号二？好，我们这个时候又得到一个比例，两边乘比例，再来看加角相等，那你们现在都会了加角相等非常简单，角一、角二、角三，对吧？角一加角二等于四十五度，角二加角三等于四十五度，所以说角一等于角三，再加上加角相等， 因此的话，我们可以得两个三元相似。既然相似的话，那你这个 c n 比上这个 p、 d 肯定也等于根号二， 明白吧兄弟们？所以说我们的第一问就出来了，第一问出来之后，我们再来看第二问，它说的是当 n 等于二十，当 n 等于二十， n 等于二的意思，就是说这个 a 的 等于二倍的这个 a b 啊，当 n 等于二的时候， 请救图二，求出 c、 n 与 p、 d 之间的数量关系。请请救图二，说明 c、 n 和 p、 d 之间的数量关系。好，你自己想一下， 你自己想一下， n 等于二的时候，我们的 c、 n 和 p、 d 的 数量关系是什么？模仿着你想一想我们的图一我们是怎么挣出来的，那么我们的图二就要类比啊，我说了，这种题我们要类比， 然后心妍说的是，嗯，二 c， n 等于根号五 a 的 啊，那你，心妍，你如果遇到这种题的话，你直接把那个二移过来，直接写 c n 等于二分之根号五 a 的， 明白吧？我们习惯性的这样写啊。啊，心妍已经想，心妍是已经想明白了， c n 等于二分之根号五 a 端，那其他同学你需要想一想啊，对吧？你看人，人家为啥能这么快想出来这是二分之根号五呢？ 类比啊，类比着图一，你看看我的图一是怎么做辅助线的，那么你的图二就怎么做辅助线。兄弟们，这种题叫类比拓展探求啊，类比 好，来看一下吧，大家来看，因为这个，因为在这个图一中，我们连接了 a， c， 我 们构造了三元相似 啊，国二国二也是二倍的 c， n 等于根号尾的，嗯，好，国二也非常棒啊， very good， 所以 非常好。那么来听我讲，听我讲啊，没有想到的也看黑板，都通通看黑板，通通看黑板啊，就是我们在写这种压轴题的时候，你记住啊，对于在座的各位来讲，压轴题的前六分几乎是送你们的。 再说一遍啊，压轴题的前六分几乎是送你们的。你们一定要想明白，就是我的第一个空我是怎么出来的，那么我接下来的第二问，我一定是也是按照这个大致的思路去出来，明白吧？就你要有这样一个观念啊，所以我们在写拿到一道压轴题的时候，我们先去想第一问啊，先去想第一问。 所以说，既然第一问我们连接了 ac， 那 么我现在第二问我也要连接 ac， 我 把图放大一下，兄弟们啊，我把图放大一下，那么我们的第二位也要连接 ac， 我的第二问连接完 a c 之后，能看出来吧？你看兄弟们是不是能看出来吧？这两个三角形是不是它，它它又相似了？而且它俩的相似跟我们刚刚证明的这个相似是几乎一模一样的， 几乎一模一样的，你看怎么正呢？就是我，我们的这个，我跟你现在说一下，怎么去正他俩相似啊？就是这个 an 比上这个 a p， 是 吧？我们接下来想，这个 a n 比上 a p 等于几？因为现在它的这个 n 等于二，对吧？这个 n 等于二，那么那么我比如说我把这个地方当做一，然后这是二，这是不是根号五，对吧？所以说我们的 a n 比上我们的 a p 就是 根号五比二。 好看一下啊，兄弟们，兄弟们看好了啊， a n 比上 a p 就 等于根号五比二， a n 比上 a p 的 根号五减根比二，那么同理，你这是一，这是二，这边也是根号五， a、 c 也是根号五，所以说你的 a、 c 比上你的 a 的 也等于根号五比二， ac 比上 a 的 也等于根号五比二，然后再加上，对吧？这这两角一，角二、角三，这个角一、角二、角三，这个我都不用想了啊，对吧？角一加角二等于角二加角三，然后加上加角相等，角一等于角三， 那么这样的话，你就可以得到它们的比例出来了啊。因此我们的 c n 比上 n、 p 也等于这个根号五比二，我们的 c n 比上得 p 也等于根号五比二，所以说我们的第二题答案出来了， 等于这个二分之根号五 p、 d， 然后过程的话我就不写了啊，你们自己简单写下过程就行了。好吧， 所以你要明白，我为啥第一节课我就给你讲这道题呢？因为我想在你的脑子里面， 你必须得有一颗，就是就像一个小树苗一样，你必须要明白，我们整个中招阶段，尤其是在这种大型的期末考试，第一次模拟考试，第二次模拟的中招考试，在我们这种大型考试的时候，它这种压轴题，它一定是那种 类比拓展探索。就你的第一问是怎么想的，那么你的第二问和你的第三问，你就要大致的按照你第一问的思路去想明白吧？你一定要在你的脑子里面有一个这样的观念才行，这样的话你才能稳稳的拿到这些压轴题的分。压轴题是十一分， 那么你对吧？你正常来讲，你只要拿到八分或八分以上就是合格了，对吧？好，这就所谓的类比拓展探讨。然后接下来我们来看第二问，从特殊到一般在旋转过程中， c、 n 与 p、 d 的 数量关系是几比几 啊？它的意思就是说 n 不 等于一， n 也不等于二了，对吧？它就是意思就是它就得到一个 a 的 就等于 n 倍的 a， b， 让你用含有 n 的 式子来表示这个 c， n 与 pd 的 数量关系， 让你用让你用 n 的 代数式表示这个 c、 n 与 pd 的 数量关系。再说一遍，类比拓展探求，你还是要连接 ac 啊，兄弟们，开始啊，自己想想，你还是要连接 ac， 你还是要去连接 a， c， 还是要连接 a， c。 把图放大一下啊，你卷子上也有纽硕说的是 c， n 等于 n 分 之根号五 p、 d， 然后这是纽硕小朋友的，反正肯定是跟 n 有 关系，应该跟根号五也有关系。但是我，因为，因为我也没看这题，我一，我们一会我也要推一下啊， 呃，有思路的，呃，不是不是，对不起。嗯，现在脑子里边没有太多思路的，不知道该咋写的，扣一下，五二零现在没有太多思路的，扣一下五二零。 嗯，疫情好。嗯，看，看黑板看黑板看黑板，兄弟们，看黑板，看黑板，看黑板啊， 你听，你继续听，对吧，因为，因为可能在你之前的学习生涯中没有遇到一个老师这么系统化的给你讲这种几何训练啊，压轴训练。你继续听，你看，我是咋想的啊？首先，第一，在你的脑子里面必须有一个扎根，有一颗小树苗， 慢慢让它长成，长成参天大树。就你必须要明白类比拓展探讨，以后写这种题一定要去想第一问，想明白第一问之后，我们再然后再类比着去想第二问，明白吧？好，我们来看这个题啊，因为他现在是 n 吗？对，他现在是 n， 那 么我们就可以把， 呃，你看，你比如说你可以把这个当做一，然后你这是不是 n 嘛？对不对？你还是把这个当做一，把这个当做 n， 那 这个地方是不是有根号下 n 方加一，我讲这能听懂吧？啊？把这个当做一， 把这个当做 n， 然后这个 a n， 它是不是 n 方加 n， 对 不对？勾股定律， n 方加 n， 所以 我们就得到我们的 a n 比上 ap 就 等于根号下 n 方加 n， n， 根号下 n 方加一比 n， 你 只要能想明白，这你看 v 比拓展吗？对不对？兄弟们？ a n 等于 ap 等于 根号下 n 方加一 b n， 那 么在这个大的 a 的 c 里头，我是不是也可以把这个当做一，把这个当做 n， 然后这边是不是也是根号下 n 方加一，对不对？那这个 a c 比上 a 的 是不是也是一样的比例， 对吧？这 a c 比上 a 的 也等于这个 n 分 之，呃，根号下 n 方加一， 那么剩下这个夹角相等，我就不用写了，你们已经会了了，对吧？所以说这个 c n 比上这个 p d， 答案出来了啊。所以 c n 比上这个 p d 也等于根号下 n 方加一比上 n， 然后你再把这个 p d 移过来，对不对？所以答案就出来了， c n 就 等于 n 分 之根号下 n 方加一乘以 p d， 对 不对？这就是所谓的类比拓展探索，你会第一问你，第二问就类比着去写，你的第三问你也类比着去写，明白了吧？兄弟们，这就是我所给你表达的意思啊， 好，呃， n 分 之根号下 n 方加 e， p， d 对， 心眼小朋友，嗯，太棒了啊，非常好啊，非常好。行，这是我们的第二问，我们接下来看第三问。 先别划，我再思考一下。哎，好好臭宝。 y， l， f 我 们小 f 就是因为他说了嘛， a， d 等于 n 倍的 ab， a， d 等于 n 倍的 ab， 对 吧？那你 ap 也等于 n 倍的这个，呃， pm 嘛叫，叫 p n 嘛。然后你可以把这个当做一，那这边就是 n， 然后斜边的话，就根号线 n 方加一勾股定律嘛，是吧， 然后对吧，这两个对应边比一下， 对吧？然后这个这个上面这个红色的这个边比上蓝色的这边，右边这个边是根号下 n 方加 n 方加一比，对吧？加一比上 n， 然后这，这也是一样的，就是根号下 n 方加一比 n， 然后所以说这个 c， c， n 和这个 p、 d 也是一样的啊，这就所谓的类比拓展研究啊。好，我们来看最后一问，对吧？你离满分就差最后一问了。请直接写出 c， n 的 长 请直接写出 c， n 的 长。兄弟们，跟着节奏一块走啊，兄弟们。 a 的 等于四，我给你放大一下， a 的 等于四， a， p 等于二， a 得等于四， a， p 等于二，然后 n 等于二， n 等于二。啥意思？ n 等于二的话，是不是？他不是说了吗， a 得等于 n 倍的 a， b， n 等于二，那说明是这是四，那这应该是二，对吧？就说明 ab 是 二， 然后你这个 ab 是 二呢？说明 am 是 一，就他就告诉你啊，就告诉你啊，就是这个大的，大的这个矩形长是四，宽是 a， m 是 一。 当矩形 a， m， n， p 旋转至旋转至 c， n， m 三点共线时，请直接写出 c n 的 长 当这个旋转至 c， n、 m 三点共线的时候，请直接写出这个 c， n 的 长。直接写出 c n 的 长。好， 然后 python 代言说的是，为什么要乘以 p d？ 因为是，呃，这个 c n 比上 p d 嘛。 c n 除以 p d， 然后 p d 要移到等号右边，等号右边，所以让乘以 p d 把它移过来，移到等号右边了，就这意思啊。 好，现在这个第三问我，呃，你们，你们想算，行，我给你点时间算，然后我给你稍微提示一点点，行吧，稍微提示一点点， 好，行吧，我就。我就写四个字，兄弟们，你们现在开始想一想，我看咱们班有几个同学能想出来画图啊？你需要画出来图，画图， 对吧？他说三点贡献，你就画出来他三点贡献的图。画出来图之后，然后再想那四个字，国骨电影这四个字， 嗯，现在我问一下。没思路的扣一下五二零，没思路的扣一下五二零。或者说老师，这种题，我，其实我一直都没思路，我一直都不知道该咋写。 没思路的扣一下五二零。我看一下咱们有多少同学，这样的话，我，我着重，我着重讲讲， 嗯，有数角 f， 嗯，九一，国尔两个答案吧。那，那，那，肯定两答案，你说，这，这，这都亚洲题了，大哥，操，大哥，这都亚洲题了，这，这肯定两答案了， 呃。十九加二，根号，根号十九加二根号十九加二加减二， 其他同学，其他同学还在思考，是吧？兄弟们， 好，就是画两个图，一个是 n 点在勾线，一个是 m 点，好，现在啊，就是兄弟们，现在所有人 everybody。 看我，看我，看我，不要再去看你的另一侧了，不要再去看你的本。 听好了啊，你听好了，我现在给你讲的非常重要， very very 重要，记住了啊，就如果说你在正题上一直卡壳，我教你啊，我教你， 就是你写这种题，你记住，就是我们在整个中招阶段，我说是中招啊，我们在整个中招阶段。你去写这种题的时候，他，他这类题，他的解析思路是极其固定的， 就这种题难，他其实就是一个一个旋转的，一个一个一个旋转，对吧？但他的解析思路是极其固定的，就是考试的时候你就画图加勾股定律，或者是相似， 就是几乎百分之百，懂吧？几乎百分之百都是这样的，只要是这一类的，只要这一类的。然后那么我跟你说这个意思什么呢？就是我们在考试的时候能给你提供一个思路上的指引， 能够给你提供一个思路上的指引。为什么？有些同学，对吧？他画完图之后他能出答案，为什么有的同学他画完图之后，他还不知道该怎么写？ 区别就在这以后，兄弟们，你画完图之后，你就直接去想勾股定律，或者是直接去想相似，你往上面去想， 这就是思路。因为题是千变万化的，但是他的核心，他的思路是不变的，明白吧？题是千变万化的，但是他的核心是不变的。我们来看题，现在第一种情况， 它不是说 c、 n、 m 三点共线吗？第一种情况，我，我们就画，我们画一下啊，我这个已经非常像了，对吧？这个，这个图已经非常像了啊， c、 n、 m 三点共线 啊，那这是 n， 这是 m， 这是 p， 我 们给第一步先给它画图，画完之后，然后你看，因为我们的前面 兄弟们，我，我们前面的话，我，我们，是不是，我们是不是都连接了这个 a、 c， 对 吧？我们前面都连接了 a、 c， 所以 说这道题我们还是要连接 a、 c， 明白吧？我们还是要连接 a、 c， 我 们连接 a、 c 之后看，这个时候你就要去这，这，这是九十度，对吧？这是九十度，这是垂直， 就是垂直，看好了啊，然后你这是不是二，你这是二，你这是四，那你的 a、 c 是 不是就出来了？你的 a、 c 是 不是就是根号？呃，四个平方加上，呃，四个平方加二，平方二十二倍根五， 好，这个时候我们的 a c 就 等于二倍根号五，还是要往 a、 c 上去想，还是要往 a、 c 上去想？二倍根五， a c 是 二倍根五，然后你再看，再看这个直角三角形， 在 r、 t 三角形 a、 m、 c 中，在这个直角三角形中，你发现没有？你的斜边是不是二倍根五？你的直角边是一，那么你的 c m 是 不是出来了， 对不对？你的 c m 就 等于二倍根号五的平方减一的平方再开方二倍，根号五是二十二十减一是十九，根号十九，就像刚刚那个心妍所说的，就像刚刚那个心妍心心，心妍所说的 根号十九，然后根号十九的话，然后你，你这个，你这个 m n 是 二，对不对？你这个 c m 是 根号十九，根号十九减二，那我们的 c n 不 就出来了吗？对不对？我们的 c n 就 等于根号十九减二， 对不对？根号十九减二。而这种题如果你写多的话，你发现另一个答案大概率就是根号十九加二了， 那这个根号十九加二是咋来的呢？就是因为我们现在是让 n 点在这个 c 点和 m 点的中间嘛，就是这个之间嘛。那么还有种情况，是不是我让这个，我让这个句型就是旋转，对吧？旋转到这个这个样子，旋转这个样子， 对吧？旋转到这个样子，让这个 m 点让这个句型这样转，让这个 m 点 转到这，然后 n 点就在这， n 点在这，然后大概 m 点在这转一下，对吧？然后你看你这个地方是不是根号十九，对吧？你这是不是二？那这个时候的话，我们的 c n， 我 们的 c n 是 不是变成了根号十九加二 啊？你看能想明白吧？我把图给你画一画，就如果你想不明白的话，我把图给你画一画，让你更加清晰一点。 嗯，我还用虚线啊， 嗯，还用虚线。 a a 在 这， c 在 这，然后 c 在 这，然后这个这个长方形画一下， 这个，这个有点不好画，这个反而有点不好画。大概的话就是你要记住，大概的话，就是根号是这个，这样是根号是九，然后 m m 在 这边， m 在 这边， m 在 这，这样的根号十九啊，好， 就这个你要想象出来啊，因为像这种这种题的话，你就要想象出来， 就这样子， m n 是 吧？然后这边是这个，呃，这个 a c 是 二倍，根号五，然后这是一，然后你，你这个 c m， 你 看你这个 c m 是 不是就根号十九， 对吧？然后你这边这个 m n 它是二嘛？然后因此的话，此的话，我们到 c n 这个根号十九加二就出来了。 好，就是你，你写这种最后疑问的时候，你就要考虑到就是画图加勾股定律或者是相似，就是你就往上面去想，对吧？你想到就可以了啊，你只要能想到就行了。好，这是我们这个最后疑问， 懂吧？就是最后最后一道大压轴题为啥讲的比较慢？就是以后我会带你多练很多类似的题， 懂吧？以后的话，包括我给你留的作业里面也有很多类似的题，那么你再去写这种类似的题的时候，在你的脑子里面，兄弟们，在你的脑子里面，你必须要有一个像一个种子一样，你必须有一个种子一样，就是第一，我要类比，我写这种题我要去想一遍，我第一问怎么出来的，那么我们的第二问就怎么出来， 知道吧？我们第一问怎么出来，那我们第二问怎么出来？类比，对吧？类比着去写。而且既然第一问、第二问都用到了连接 a c， 对 吧？都连接 a c， 那 么那么我们接下来第三问，我肯定还要往 a c 上去想，明白吧？因为肯定这个题 a c 就是 一个非常特殊的边， 那么我就要去往 a c 上去想，然后我再写最后一问的时候，对吧？第一你要往 a c 上去想，第二，画图 写这种最后一个的时候要画图，画完图之后求边长，就是百分之百，就是勾股定律或者是相似，对吧？我说的就这么绝对。如果说你练题练多了，你会发现几乎都是这样的， 可能有极个别的题可能需要用那些函数的思想怎么乱乱八糟的，但是绝大部分都是要用到就是画图加勾股或者是相似，明白吧？ 我们先读题，已知在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，点 e 是 b、 c 上的一个动点，点 e 是 一个动点，连接 a、 e， 点 f 在 直线 b、 c 上一个上方的一个点，然后他又说连接这个 连接 a、 e、 af、 c、 f， 就 把它都连一连，然后有一个非常重要的信息，就是角 a、 e、 f 等于角 abc， 这两个角，这两个角相等，这是非常重要的啊，我们是从第一问可以用到第三问，这是大体干，告诉了你一个 aef 等于角 abc 往下读题，如图一，当平行四边形 a、 b、 c、 d 为正方形时，若 a、 e 等于 ef， 如果说这个平行四边形是一个正方形，若 a、 e 等于 ef， 直接写出 cf 比上 b、 e 的 值，直接写出 cf 比上 b、 e 的 值。好，那我我们在写这种题的时候，在我们讲课的时候也说过了这种题类比拓展探究我们这个第一问他，其实你可以非常迅速的知道是根号二，但是你要想明白为什么是根号二 啊？你你你是往这里过点 f 往下做垂直，然后证明 a、 b、 e 全等于 e， 假如说这个是点 g， 这个是点 g， 然后我能感受到你的思路，我能，我是能感受到你思路，你是证明出来这个 a、 b、 e 全等于 e、 g、 f， 然后利用全等，然后我们从而挣出来， 挣出来这个 b、 e 是 等于这个 f、 g 的， 挣出来 b、 e 等于 f、 g 之后，然后再根据底下这是一个等腰直角三角形，然后一比一比根号二，然后挣出来这个 c、 f 比上 b、 e 是 根号二啊。你的思路非常好，但是 你有一个问题，就是你这个思路的话，你去挣第一问和第二问其实都还好，因为我刚刚简单看了一下你的过程和步骤啊，都还行， 但是，但是你再去写第三问的时候，你这个思路就你会感觉到就是越写就越不顺，对吧？那么我们这个题你看一下，你看一下老师的思路啊，你看一下老师的思路， 就是我现在在这个 ab 上，我截取一个点记，我在 ab 上截取一个点记，使得这个 a g， 我 截取一个点记，使得这个 a g 是 等于 c e 的 啊，截取啊，我直接截取， 截取 a g 等于这个 c e， 截取完之后我也能挣出来，然后我再连接这个 e、 eg， 我 也能证出来 a g e 是 全等于这个 ecf 的， 这边我也能证出来全等，全等之后的话，那么我们就可以把这个 cf 转移到了 eg 的 位置， 把 cf 转移到 e g 之后，然后因为你现在正的是正穿全等之后，正穿全等之后，然后再结合，因为它它是正方形嘛，然后这边也是一个等腰直角三角形，然后一比一比根号二，我们就也能得到这个 e g， 是 这个比上这个 b e 等于根号二，所以说 cf 比上 b e 也是根号二。 我这样写的好处是一会写第二问也也可以用写第三问也可以用。好，我们来看第二问，既然你的第一问你是截截取了一个这个点击，那么我们第二问，我们肯定还是要往这个截取点击上去想哈。第二问，他说的是如图二，当 他说如图二，当平行四边形为句型时，当这个 a、 b、 c、 d 是 一个句型的时候，若这个 a e 比上 ef 等于 ab， 比上 bc 等于一比二。好，他现在给了你比值 啊，他既然给我们两个比值的话，那我肯定要往相似上去想了。看到这个地方，那我就要去往相似上面去想了 啊，那么这个题的关键就是，我，我，我去，怎么去正这个相似？他既然有一个一比二，一比二，那这个时候你截的时候你就有讲究了哈。你看 这个短边 ab 是 长边的，就是他们两个比是一比二，然后这个 a e 比上这个 ef 也是一比二。那我再去截这个点 g 的 时候，我是不是就开始截截 ag 是 这个 c e 的 二分之一，我也截一下。所以这个题的第二问啊，我们再去截， 点击的时候，它就等于这个 c e 的 一半，大概我点一下啊，这个记点 好，然后正出来一个，然后我截完这个 a、 e、 g 是 一比二。我，我先简单写一下过程，第二问的过程就是截取 a g 等于二分之一的 c e， 结完之后的话，我们往相似上面去想，我们往相似上面去想，观察这个三角形， 观察三角形 a、 e、 g， 你 观察在这个 a、 e、 g 里面跟哪两个跟谁相似，对吧？这个 a、 e、 g 是 跟谁相似的， 你观察一下， 观察一下能看出来吧？好，这个我们会得到三角形，这个 a、 e、 g， 它是相似于这个， 这个 e、 e、 c、 f 啊，这两个三角形是相似的，我给你描一下，描出来。 好，然后我们接下来看怎么正它俩三角形相似啊。首先这个 a g 等等于这个 e c 是 一半，然后这个 a e 比上 af 也是一比二，对吧？然后 a g 比上 e c 也是一比二， 这个时候我们其实就已经得到了，就是这个两边是，对吧？这个两边两边是成比例的，然后再来看夹角怎么正，它俩的夹角相等， 然后接下来就正正他俩夹角相等。夹角相等的话，其实就是利用咱刚刚大体看中说的这个这个角是相等的， 现在他他是不一定这个地方是直角，然后这个地方也是直角，然后这边也是直角，然后我就用角一 加这个角，角二等于九十度，然后角三加这个角二也等于九十度，因此可以得到角一等于角三，等量代换，明白吧？我们写一下啊， 角一，然后把这个角变成角二，把这个变成角三，好让我们得到角一加角二等于九十度， 角二加角三也等于九十度，等它再换，所以可得可以得到角一等于角三，这是加角， 再加上 a g 比上 c e， 等于这个 a e， 比上我们的 e f 是 一比二，再加上我们的这个两边两边成比例，所以说得到这个红色的三角形和蓝色三角形相似， 所以三角形 a g、 e 相似于三角形 e、 c f， 那 么它俩三角形相似之后， 那么它俩三角形相似之后，我们就可以得到呃，这个 c f 也一定是这个 eg 的 两倍了，对吧？就另外一条边肯定也是一比二了，对不对？就这个 eg 比上这个 c cf 肯定是一比二，也就是说我们可以得到这个 cf 一定是两倍的 e g， 这个一定是两倍的，这个是两倍的话，然后我们接下来再看，因为大题看中还说了一个 ab， 看大题看中给了一个 ab 等于比上 bc 也是一比二， ab 比上这个 bc 也等于一比二， 好，再加上这个 ab， 就是 这个，也就是说这个再加上 ab 比上 bc 一 边，也就是说 bc 就 等于二倍的 ab， bc 也一定等于二倍的 ab， 好， 然后我们再来看，我们再来看 这个 b e b e 这个短边就等于我们的 bc 减去 c e， 对 吧？你注意观察啊，就是 b e 这个短边就等于 bc 减去 c e bc， 因为 b e 等于 bc 减去 c e。 好，然后这边的话是角一所对的，是角一所对的边是 eg， 然后这个角三所对的边是 c f， 然后 eg 是 等于二分之一的 c f 的， 然后我们还可以得到这个 ag ag 等于二分之一的 c e， 对 吧？这不都一比二吗？ ag 也等于二分之一的 c e， 好， 然后把 c e 也可以换一下啊，在这边写上这个 c e 也等于二倍的 a g， 也写上，这样的话我们可以代换。你看，我把这个 b c 是 可以代换成二倍的 a b， 我 把 c e 就 可以代换成二倍的 a g， 这样的话可以代换一下， 好，我们可以得到 b e 就 等于二倍的 a b 减去二倍的 a g， 然后我们可以把二提出来，从而得到 ab 减 a g， 明白吧？ ab 减 a g， 好，然后我们接下来再来再次发现，哎，看图啊，这个 ab 减 ag， 它刚好等于 bg， 这个 ab 减 ag 刚好等于 bg， 就是 边之间在转换啊，就刚好等于二倍的 bg， 刚好等于二倍的 b g， 这个时候我们会得到一个信息，就是 b e 等于二倍的 b g， 对 不对？ b e 等于二倍的 b g。 这是这道题它第二问，它难就难的，它的边在互相转化，它的边在互相转化。 我们如果得到这个 b e， 兄弟们，我们如果得到 b e 等于二倍的 b g 的 时候，那很明显是不是一比二比根号五了，对不对？然后这样的话，我们是不是非常迅速可以得到这个 b g 比上这个 b e， 再比上我们的 e g， 它这三角形的三个编织比就等于一比二比跟五，对不对？一比二比跟五 好，得到它们三个编，三个编织比之后，因为这个题它让我们求的是 c f 比上 b e， c f， 你 看 c f 比上 b e， 它要求 c f 比上 b e， 我 们既然知道它是，之后，这个 c f 是 不是等于二倍的 b e， 对 不对？因为咱呃， c f 是 等于二倍的 b e 乘以，从而得到 c f 就 等于二乘以 二分之根号五，再乘以 b e， 对 吧？二乘以二分之根号五 b e， 算一下，算出来是根号五 b e， 因此我们可以得到 c f 比上 b e， 就 一定等于根号五，这是这个题的第二问， 它难，它其实就是难在这个边再转化的。我我觉得这道题最关键的就是这个这个地方， 这个地方你的边，你要想到这个边是这样转化的，想到之后的话，那剩下都简单了，你只要想到这个是一比、二比跟五，对吧？只要想一比二比跟五，然后那这个题就出来了。好，好， 然后这是这是这个第二问，第三问，你如果能想明白，第二问，我们是还是？你看这个第一问是在 a b 上截取一个点记，那么我们的第三问，我们肯定还是要往 a b 上截取，明白吧？ 就是，这就是所谓的类比拓展探究，你只要会思考这种类比拓展探究，抓住这种答题思路。那么第三问的话，我们往下去想哈，我们往下去想一想。我，我把这个图挪一下，这边写的有点挤了， 把这个图挪一下 啊。第三问，他说的是，如果这个 a、 b、 c、 d 是 一百二十度，那这是非常特殊啊，一百二十度出来了， ab 等于三倍根三 菱形的边长给我们了，然后又说了一个 a e 等于 ef 等幺，这是个等幺，然后这没啥用，然后他又说了一个，得 g 比上 g c 等于一比二，得 g 比上 g c 一 比二。看到比例大概率还是要往相似上去相， 所以这个第三问肯定大概率是往相似上去相，这个一比二，他让我们求的是 b e 的 长，求这个短边 b、 e 的 长。好，我把图给它挪到这边啊。第三问， 这差不多够写行。第三问 啊，他说了 a、 b 等于三倍根三，然后这，这是这两个边是等腰的，然后这个角是一百二十度的，大体概中告诉我们这个 a、 b、 c 等于这个 a、 e、 c， 这可以继续用啊，所以这边也是一百二十度，这是一线三等角啊。 然后他又说啊，得记比上 gc 等于一比二啊，他还有一个，这个得记比上这个 gc 是 一比二。这个我给他把信息都给他描出来啊，好，别的没啥信息了。 好，那么这个题我们还是要截，截的时候怎么截呢？比如说我现在在 ab 上截取这个 an 等于 c、 e， 我 截一个全等出来，我先截出来一个全等出来，这个三倍跟三。往外边写一点。 好，假如这是 n 点，我截 a n， 然后等于这个 c e， 然后我再连接这个 n e 啊，因为我如果截相等的话，那么这两个三角形它肯定是全等的哈，它肯定全等的。简单写下过程就是截取 a n 等于 c e， 截取完了之后，呃，这个，这个不挡脸了啊，不，挡不住了，就可以把脸露出来了。 a n 等于 c e， 截取完了之后，你看这是一个边相等了，然后 a e 等于 e f， 这又是一个边相等了，两两边相等了，对吧？两边相等，然后再看加角，咱刚刚已经说过了，对吧？假如这是角一，这边是角二，这边是角三， 角一加角二等于六十度，角二加角三等于六十度，所以角一等于角三啊，我就简单写啊，角一等于角三， 我这样写，你懂啥意思就行了。然后再加上这个 a n 等于 c e， 再加上 a e 等于 cf 等于 ef， 再加上 a e 等于 ef， 那 么我们自然可以得到三角形 a n e 就 全等于三角形 e、 c、 f 边角边， 边角边得到全等之后，得到全等之后，我们看看能得到什么信息啊？全等之后的话，咱就得到这个角，这个 a、 n e 这个钝角一定等于这个 e c f 这个钝角，我们得这两个钝角就一定相等了，对吧？我标一下啊，这两个钝角一定是相等的，而且我们还能得到这个 c f， 这个 c f 这个边，它一定是等于这个 n e 这个边的等于 n e 这个边的。一会的话就有用啊，从这得到角 a n e 等于角 e、 c、 f 这两个钝角相等，而且还能得到这个 n e 这个边等于 这个 c、 f 这个边，这两个边也相等，这两个边也相等，边相等之后，然后接下来继续往下走， 你注意观察哈，你看这个这个地方就要简单说一下，你看这个 n、 b、 e 这个地方，你要能想到它是一个等腰，如果你想不到这个地方是一个等腰的话，这个题你就基本上还是写不出来啊。这个，因为这是最后一道题的最后一道，最后一问， 最后一道题最后一问，你要想到这个 n、 b、 e 是 一个等腰，怎么正？它是等腰呢？怎么正？它是等腰。你看，嗯，我们看这个角度，我把它标一下， 我把这个角角一、角三，我把这个标成角四，好，然后把这边这个角度标成角五，我们来看角四，它等于角一，加上这边这个特别小的这个角，我们把它标成角六， 角四等于角一加角六，对吧？角五等于角三加角五就等于一百八十度减角三，再减一百二十度，再减角六， 而这个角四等于角一加角六，那，那他一百二十度减一百二十度消掉了，那相当于得到这个角五等于角三加角六， 所以说我们就相当于一个，而且这个角三跟角一还相等，又是等的代换，我们就可以得到这个角四跟角五是相等的。角四角五相等之后，我们就可以得到这是一个等腰三角形。写一下啊，写一下，往右边写， 就是得到这个三角形 b、 e、 n 为等腰。 这个三角形如果是等腰三角形的话，它这个顶角是一百二十度，那这两个底角就出来了，都各是三十度，所以得到角角四等于角五 等于三十度，都等于三角四等于角五等于三十度的话，然后接下来我继续，那得到这个钝角 a n e 就是 一百五了，对不对？这个蓝色的钝角是一百五， 蓝色的钝角是一百五，那这边这个蓝色的这个钝角它是相等吗？这边也是一百五，对吧？这边也一百五，这边是一百五的话，然后，然后它是一个菱形啊，对角 b 是 一百二，那这边这个小锐角角 c 的 这个，这边小锐角就六十，对吧？互补嘛，六十，这边就六十度， 就是很多特殊角度就全出来完了啊，标一下，然后这边这个角度就是六十度，然后你又到一百五十度，你又看到六十度，那你是不是想到了这是一个垂直。 哦，原来就是我们可以得到由这个三十度可以非常快得到这个角 gcf 等于九十度，这个九十度是解析的关键，明白吧兄弟？这个九十度是解析的关键，你得到九十度之后， 而且你，你看到什么六十度呀？这些特殊角度三十度，你是不是肯定往三八三八台上去想了？他让我们求的是 他给我们这个菱形的边长是三倍跟三，他让我们求的是这个 b e 的 长啊。这个题让我们求 b e， 求这个这个地方的 b e 啊，求 b e， 怎么求呢？整个题里面是不是还有一个一比二没用的？ d g 比上 c g 一 比二没有用？然后接下来过点 a 做垂直，往这边做啊，往这边做 过点 a， 往这边做一个垂直。呃，假如说这个是呃点，就是 m， 这个是 m， 好， 然后做一个垂直，做一个垂直之后， 你这边跟这边都是九十度，对吧？然后你这个是六十度，因为它平行嘛，然后这边是不是也六十度？然后这边也是六十度，然后你这个 a 的 它是菱形的，边长是三倍跟三，菱形的边长三倍跟三，然后接下来一比跟三， 比二，比例比一下，那这个地方是三倍跟三，那这个的 m 就 等于二分之三倍跟三的 m 就是 二分之三倍跟三， 然后这个 am 是 得 m 的 根号三倍，所以再乘以根三就等于三三，二分之九， am 就 出来了， 这样的话我们可以得到非常多的边长，对吧？ am 得 m， a 得全都有了，非常多的边长全都出来了，全都出来之后我，我写一下啊，就 am 等于二分之九，这个 m 得等于这个二分之三倍，根号三， 然后 a 的 等于三倍，根号三。我写一下哈，写完之后你再观察，你再观察，你观察我做的这个辅助线，你观察一下， 他是不是说了，这个得记等于这个 c 记是一比二，我们接下来就从这个一比二上做文章， 我们接下来就从这个上面做文章啊，这个整，整个这个得记 就是整，就是整个这个边长的三分之一，对吧？因为这个 c 的是边长三倍跟三，三倍跟三的话，然后那这个得记是占一半，所以得记是不是等于根号三了？ 所以得记就想就是根号三，然后这个 c 记的话就是二倍跟三，二倍跟三。好，那这样的话我们是不是就知道了，这个这个整个这个 g m， 这个边长 g m 就 有了， 从这得到 g m 就 等于根三加上二分之三倍根三等于二分之五倍根三 g m 就 出来了， g m 是 二分之五倍根三。然后我们再来看 gm 有 了之后，你观察这个三角形，这个 a g m 这个三角形和我们的这个 f g c 这个三角形，因为它都有直角、直角，对吧？然后还有个对顶角， 那这两个，这两个画出来这两个三角形，它其实就像一个八字形相似一样，画出来这两个三角形，它是相似的 三角形 a m g 相似于三角形 f c g。 你， 你这个时候你需要想的是它俩三角形相似才行，想相似想出来这两三角形相似之后，你看这个 a m g 这个三角形，它的呃， m g 这个边是二分之三倍跟五，然后这是二分之九，这都有，这都有，然后我们让它比一下， 你看这边这边这个短边只有，那这样的话我们可以求出来这个 c f， 对 吧？我们让边长比一下，让这个上面这个三角形的较长边，比上较短边，就等于下面这个三角形的 c f， 比上这个 c g， 我 们比一下， 我们可以得到 am 二分之九，比上这个长边，上面这个三角形的较长直角边，比上下面这个直角三角较长直角边 c f 就 等于上面这个直角三角形的较短较短直角边 二分之二分之五倍根号三比上下面这个直角三角形的最短直角边二倍根三交叉相乘，这个我们是可以非常快算的，因为整个式子中只有一个 c f 啊，我们可以算出来这个 c f 等于五分之十八， c f 等于五分之十八，算出 c f 标上去五分之十八，你算出你的 c f 之后，这个时候你离你的答案就非常近了啊，因为 c f 是 五分之十八，那么这个这个 e n 因为全等嘛，对不对？咱不是说过这是全等吗？对，这个题前面得到全等，得到全等之后的话，那你 c f 是 五分之十八，那这个 e n 是 不是也是五分之十八了？ 然后你推出来这个这个 e n 也等于五分之十八， e n 也等于五分之八。标一下啊，标一下这个 e n 也等于五分之十八， 好， e n 是 五分之十八之后，而这个 b e n 这个三角形是老三，三十度三数一百二十度是老三，然后是一比一比根号三，对不对？ b e 比上我们的 n e 刚好是一比根三，所以答案出来了， 我们可以得到这个 b e 比上这个 n e n e 就是 五分之十八，就等于一比根三，然后再次交叉相乘，我们就可以算出 b e 五分之六倍根号根号三，五分之六倍根号三。好，这道题它的第三问我觉得确实有难度啊，能把第三问写出来的全是考场上 首先一点的话，就是大部分同学，其实你如果说你跟着拔高班去听课的话，大部分同学你这个点 n， 你 这个点 n， 这个这个点你应该是能能找到，但是找到之后，但是你要你要找到点 n 之后，关键之关键就在就在于你要想到就这是一个等腰三角形，想到等腰之后的话，然后接下来一百二十度，三十度，然后巴拉巴拉，然后再做辅助线，这样才能出来。 所以这道题的话确实有一定难度的啊，有一定难度的题。 ok， 兄弟们，今天的话我们主要讲了几何压轴的解析策略，尤其是类比拓展探究。你要去掌握这种解析思路和解析思想，这个思想是非常重要的。好吧，我们今天就讲到这里，下节课的话我们继续给大家讲二次函数压轴 啊，然后包括二次函数的解析的一些方法策略都会给你讲清楚。好吧，非常感谢大家。拜拜。拜拜，兄弟们，拜拜。再见。再见。拜拜。