山东齐鲁名校联考数学立体几何大题

我岳云鹏用十分常规的间隙解决齐鲁名校二零二六届十二月联考的压轴填空题，设三角形 a、 b、 c。 在 面阿尔法上的投影分别为 a 撇、 b 撇、细撇。根据题设三角形 a 撇、 b 撇，细撇是直角三角形，由此可如图，间隙写出相应点的坐标。 我可以继续并 s 等于并减呢？ t 等于 c 减啊，由此可以这样表示，向量被比 a c， b， c。 三角形 abc 为正三角形，由此可以写出这两个等式。我可以继续求出面 abc 的 法向量，进而求出相应锐二面角的余弦。 接下来一和二式可以分别整理为三和四式。三式减去二倍的四式可得关于 t s 的 其次等式，进而 t 可以 用 s 表示，且有两个情形， 对于第一个情形，代入至四式，可以求出 s 的 二次方，进而求出 t 的 二次方以及目标二面角的余弦。对于第二个情形，可以验证该情形不成立，由此便能写出答案。

基础大连考啊，我们高三数学整体的一个试卷，我们做一个简单的分析哈，然后整体的一个试卷的难度呢，它是属于中等的啊，它的一个难易度的一个占比大概是在六比五、比四，那大部分呢，都是属于基础性的问题，或者说是中等啊，变形的一个问题。 那比较偏难的一些题，比如说我们的第八题，第十一题，第十四题确实偏难一些，再一个就是大题里面的第十八题，然后他的第二位和第三位，那十九题确实都是比较难一些的题，那这些题如果想拿分的话，他确实是有一定的难度。 然后呢，本次考察对于我们学生一轮复习各个章节的一个基础知识点的掌握情况，进行了一个全面的比较深入的一个考察。你比如说他涉及到几何逻辑、不等式、平面向量、负数啊，函数三角、函数减三角、倒数列和立体结合，唯独没有涉及到的就是我们的一个解析结合。 那这些题目大部分在我们日常练习的过程中，其实都已经涉及到了。那对基础内容的一个考察呀，尤其是我们啊定义概念的一个理解啊，考察的会比较深入一些，重点还考察了我们学生的一个基本功，尤其是对于运算方法的一个掌握程度呀，准确度啊，考察的会比较重一些。 这套试卷的话，如果说我们有一个红线，分数大概是在九十分左右，如果说是在九十分以上，基本上就说明他的整体的基础比较扎实。那如果说是在八十分以下，那基本上就是基础题型啊，课内的偏中等往下的题型掌握的还不是特别的熟练。关注张老师，及时了解中高考升学政策。

好啊，各位同学大家好，我们这个拿到了这个齐鲁名校大连考第三次这个考试的，应该是昨天刚考完的，是十二月十六号考完的， 然后今天呢给大家我看一下这个试卷啊，给大家呢简单分析一下。这个试卷分析的时候呢，我们会从以下几个方面来分析啊。呃，第一个就是，呃，这次试卷呢，他的题目的难易程度呢，跨度是比较大的，有的题呢就会非常容易， 有的题呢就会比较难，非常难，然后甚至呢还有超纲的题目， 哎，就是说他的难易，他的中档题呢，其实分布的并不是特别多，但是这种从中档到难，然后到突然跳到一个特别难的时候，这个跨度有点大，我会简单分析一下哪些题会特别难。第二个就是这里边的真正的难题，我刚才看了看，大概得有三十分左右， 这个三十分左右的题其实是很难拿到分的，对于绝大部分同学来说，但是也有个别同学可能程度比较好，或者是我对于竞赛方面有一定基础的同学，这个三十分可能得到一部分，但是对于绝大部分同学来说，想拿到这三十分还是有相当的难度的。 所以说这次估计啊，成绩不会特别好，尤其是高分段的，但是中中档分段的成绩应该不会特别差，比如我平时就考九十多，一百一百零几的这些同学，这差不多，但是我平时能考到一百二的同学，这次估计会受到一个比较大的打击啊。一会咱们看一看，哪些题有问题啊，哪些题就是问题比较多啊。 第三个就是什么呢？我们重重点来分析一下整个题目分析一些，主要是分析下做题思路，包括难易程度这些，所以这个视频呢，可能会稍微有点长，大家呢可以根据自己的需求呢来看一看。 首先我们来看前面的选择题啊，其实选择题没有难题啊，这个答案呢，我会随着就说一下。像这种第一题就比较简单，第一题就是 b 啊，第二题就是 d， 这种题都非常简单，就是基本上看看就行，念第四题 是吧？第四题呢，是选的是第二个，这就是直接的向量的运算，这种题我就不说了，第五题呢，是 a， 哎，第五题开始有容易错的了，为什么呢？因为这求的是正四棱台的体积，你正四棱台的题，他告诉你是侧棱长，有些粗心的同学有可能就算错了， 我正四棱台的体积，体积公式，我们当时始终在反复的强调体积公式，这是 什么？三分之一是吧？ s 一 加上一个根号下 s 一， s 二加上一个 s 二乘 h， 这个 h， 它不只不是这个侧楞长， h 是 高，你要求侧楞长，你还得在这做一个结面来求侧楞长， 这个第五题容易做错，在这里第六题呢，选的是 a。 第六题，这个题不是很难，你挨着根写一写就行，你可以把 a n 算出来，可以把 b n 算出来，然后就代数，代数一个一个做就可以啊，这个就是你就通向啊，你比如说我把 b n 的 通向求出来， 嗯，或者是把 a n 的 图像取出来，这是都可以的啊，你比如我举一个例子，比如我求求 a n 吧，这是 a n 加一减去 b n 等于，那我就把 b n 算出来，你看 b n 等于什么？ b n， 呃，就是套第二个，第二个看 b n 加一减去 a n b n， 那 么就等于 a n 减一， 加上一个 n 减一，对吧？然后把这个带到上面去，那么所以说我就得到了一个 a n 加一 a n 加 e， 减去一个 a n 减 e， 减去一个 n， 加上一个 e 等于正 e， 所以 说就得到了一个 a n 加 e 减去 a n 减 e 等于 n。 哎，把这个往里带一带就行了。这个题也不是真的啊，第六题选的是 a 选项，就是单元题的前六个。那我来看，从第七题第七题也很简单。为什么很简单呢？它这个地方来告诉你， alpha 和 beta 是 二分之派，这里有一个 cosine alpha， 这里有一个 cosine alpha 减 beta， 那么这个时候很明显这考的是诱导公式的一个逆向应用，对吧？那我比如说我 cosine alpha 可以 写成什么 cosine alpha？ 或者我把 cosine alpha 减倍，它可以写成什么？它是不是你能够写成是 cosine， 我 可以把它考虑写成二分之派，减去一个阿尔法减倍它 啊？当然还有一个，对吧？你，当然你还可以写成是 cosine， 这是一个阿尔法减贝塔，再减二分之派。但是这个上面这个做出来好像不对啊。这完了之后来看，那么所以说我就得到了一个阿尔法等于一个二分之派，减去一个阿尔法减贝塔， 所以说我就能得到二倍的阿尔法，再加上一个贝塔，等于一个二分之派。所以你带入进来，带入一下，算一算，这个 d 就是 对的，所以这个题选 d。 其实这个题不难啊，就是遇到公式的一个直接一个逆向应用而已，这种题咱们应该见过很多次， 那么来看第八题，第八题呢，这是一个函数的问题，这个函数问题呢？其实我看到这个题的时候，我直接就是构造的，构造的话，你可以秒杀的很快，就是什么呢？他说 f x， 他 问你 f x 是 不是记函数，所以说我通过这个呢，来得到一个大概的一个 构造的一个情况，我让 f x 就 等于 x 加上一个常数 c， 为什么这么做？因为你看看这个里边这个算式啊，这是 f 二， x 减去 f x 减去减去 x， 你 这个往里一带，那么做着来就是 f 零等于一， f 零等于一的话，那就证明什么呢？那就证明 c 啊，它是等于一的， c 等于，所以说这个 f x 解一式我就算出来了， f x 解一式，它就等于 x 加一啊，这个明显是一个单调函数，这个是没有问题的。那我构造完了之后呢，我就往里边代入一下，算一算，这做做完了之后，只有 c 是 对的 啊，只有 c 是 对的。所以说 a 呢，我就直接构造呢，可能不是特别的严谨，但是确实做题是没问题的， 说前八道题都比较简单，都都没有什么特别大的难度，那第九题，哎，这种就更不说了，对吧？第九题 a c 答案，我直接直接给大家说了，这道题就直接代数就行，还有第十题，第十题是 abd， 第十题，你无论是看图啊，你无论是第一个是投影啊啊，或者是怎么样，或者是直接算坐标，我觉得算坐标太麻烦了，直接换图就行。这个题也不难啊，所以前十道题都会特别简单，那么来第十一题就比较难了 啊，这个第十一题，这个六分确实不好得，为什么呢？因为它给了一个定义域，给了一个值域，然后它让求 f x 等于这个东西，它让你来确定这里边 m 和 n 的 值， 那么这个我一求倒。很多同学，如果说你一求倒来看， f 一 撇 x 等于三倍的 x 方，加上一个二 m x， 我 天，这东西要求最大值，最小值，那你不得分类讨论吗？对不对？因为你要求它单调性的话，三 x 加二 m， 我现在根本 m 的 任何范围都没有，所以说这个就需要分类讨论。那你分类讨论的话来看你第一个这还是个确定的值，我们分类讨论只能做的是一个定值，是吧？所以这个 a 选项就不好做，做 a 选项他用了一个比较巧妙的方法，他就是 就是你 x 大 于等于负一，小于等于正一，就是他把 f 负一和 f 正一都带进去了， 就是第一个，他是怎么做的呢？他就是一个 f 负一是大于等于负一，小于等于正一，那么你坐上来这个 f 一 呢？他也是大于等于负一，小于等于正一。这个确实不好想啊，为什么要往这块？因为你无论是正一还是负一，但是之后你看 都是 m 加 a， 对 吧？你正 x 方，他是，所以说这个时候呢，他就得到一个这个不等式，不等式呢，只有一个驱动条件，所以说 a 就是 对的， 那么 b 我 如果想要做对，那我就只能分类讨论了啊，不分类讨论这个做不出来啊。 c d 的 话也是一样的，所以说这个第十一题确实计算量很大， a 选项的虽然简单，但是不好想，哎，但是不好想，所以这个题比较难，我认为起码这个这个题应该是 abd， abd 啊，起码这里边 d、 c、 d 选项是非常难算的啊，比较消耗时间。然后来看填空题，所以说那个选择题啊，前十道题，我认为 正常来说你成绩好的话都不应该丢分。嗯，都是没有特别难，也没有说特别绕，你在这对不对？就就是基本上也是常见的东西啊，没，没有说特别不常见 好。然后来看填空题的部分，填空题第十二题也比较，十二题是常规题啊，就是直接算一算，就是 log 二分之一 x， 它就是 log， 二分之一就是负的 log 二 x 负的 log 二 x 就是 log 二 x 负一次方就是 x 一 x 分 之一，然后这个你算算就行了，这个结果是大于一啊，一到正无穷。应该是，所以这个也比较简单，这是凑分的题。那么来看十三题，哎，这就是典型的一个构造，对不对？这是一个构造 和均值不等式一的代换，因为这个构造太明显，我那边前面乘以二， 就是二 a 加上二 b 等于二，然后我还需要一个二 a 加一，那我就构造出一个二 a 加一，然后加上一个二倍的 b， 这不就等于三吗， 对不对？我把这个直接带进去，这不就是一的代换吗？除以三三分之一就三分之这个东西和它相乘吗？啊，这个答案是三分之四， 哎，这种呢，我觉得，嗯，确实比较低，就是一的代换，是军事不等式当中的最经典的考法嘛，对不对？但是你说我这个题我看不出来，我就想要 代入啊，就我们前面讲过的代入，就我让 a 呢等于一减 b， 用这个方法不好做，比较难，比较费事啊。主要是为什么说比较费事呢？你看他把 a 呢等于一减 b 带进去， 那么就变成三减去一个二倍的 b 分 之一，加上一个二 b 分 之一啊。但是你这个能够看出来它有一个代换也行，你如果接下来，但是我也可以怎么着？我也可以通分，对吧？通分就是二 b 就是 三减去二 b， 哎，它等于三， 是吧？这个他要求最小值，这个东西有一个最大值就是二次函数，是吧？这个也行啊，这个也行，但是这个我觉得不如不如第一个好做啊，这个是我们讲过的，课上讲过的所谓的军事不等式的万能方法。哎，所以这两个应该是都行。所以说十二、十三这题都不难， 都是相对来说常规当中的长，因为我们常规题考的可能要稍简单一点。那我来看第十四题，哎，十四题就比较难了，十四题这个题他考的是一个等边三角形在底面上投影，他给你三个边的长度， 而且这三个边呢，应该是一个直角三角形。他然后他问你这个二面角这个地方呢，我们可以间隙，也可以直接就是二面角，就等于面积之比，是吧？哎，这，但是这个呢，我们二面角的解法咱们做的不多啊，但是无论是间隙还是刚才说的那个面积之比， 都要考虑一个什么事呢？都要考虑他这个图形到底是什么样的，这个图我应该怎么画？ 呃，我估计有些东西做不出来，或是这个题就没看啊，他的主要问题就是画图的问题。来看我简单把这个图画上画一下，我是怎么画的呢？我要把它画在一个三棱柱里边， 这个三棱柱呢？侧棱直的三棱柱，侧棱和底面是垂直的，这么画，那么这么画完了之后来看我，假如说这里就是一，这里就是根号二，这里就是根号三，哎，就是他的投影啊， 那我来看我，我再画画一个等边三角形就可以了，对不对？那么这个等边三角形是怎么画的？我假如说我别让他旋的太高，我就让他有一个点和这个点就已经结合到一起了。那我来看你短的这个边所对应的这个肯定是比较长，因为他不是等边三角形吗？对不对？那么这个呢？就是稍微短一点， 那么这个呢，就是另外一个边，那么来看就是这样的一个图，这样的一个图完了之后，我们来看我如何来求？不得先求边长啊，我不知道边长怎么求面积，或者我算坐标也不好做吧，对不对？那我来看我假如说他这个等边三角形的边上就是 m， 那 么这里就是 m， 这里也是 m， 好，那我来看看这个边，看这个边，这个边是不是等于根号下 m 的 平方减减二，那么这边这个边呢？就等于根号下 m 的 平方减一，那我来看我背面这个东西就变成这样的一个梯形，这个是个直角梯形， 看这个长度是一个根号三，这个长度是根号下 m 的 平方减二，这个的长度呢，是根号下 m 的 平方减一，这个长度是 m， 那 么来看，我通过这个图能不能把 这个这个这个 m 取出来是可以的，对不对？你看，哎，我往这一做垂线，那我来看这个长度，这个长度就是根号下 m 的 平方减三， 加上下面这个根号下 m 的 平方减二，它刚好等于根号下，它就是二，等于根号下 m 的 平方减一， 哎，我就做出来这样的一个图了，就是这样一个方程，这个方程呢，我去求出 m 来，然后再用面积四分之根三 m 方，哎，这个好像很简单，是吧？但是坐到这一看，我天，这东西你得解方程，这个方程不好解， 对不对？因为你这时候解方程，我只能是两边平放，你好像也想不出什么特别好的办法来，关键是求出来的这个 m 的 值呢？还是一个求根公式的题，哎，所以说这个十四题，我觉得能做出来的同学确实比较少。首先你这个图你可能得画一会， 你还得知道这个二面角的余弦和这个面积之比有关系。第三个就得还得来解这个麻烦的方程，这个最后的结果好像是二分之根六减根二。我觉得这个题做出来的同学应该是非常少的 思路呢，虽然简单，但是我即使来算这个方程，你也得算一会，所以这个不好算啊。好，我们来看，其实填空题呢， 相对来说也比较好做，十二十三也非常简单，十十四题难是正常的难啊。所以说我们来看选填题当中的十一题和十三题和十四题，这两个题想要做对，我觉得难度是非常大的啊。十四十一题呢，我可能 这个 b 选项可以做了， a 选项的就得看你灵光一现能不能想到 cd 基本上不好做。这个十四题，我觉得计算太难，主要是其实思路好，说， 计算的难度太大，这也比较符合咱们山东的老师出的题啊。就是对于计算呢，有一种执念，就是计算的地方，他特别喜欢出难题啊，就是对于计算的复杂性，他老是整的这块比较难，就是以前山东卷的那么一个特点，相当于是 啊，这个就是选择题，所以说选择题呢，这里边的七十多分，七十四分，大概是七十四分当中的基本上就是有十分左右 是比较难的，但是其他的这六十多，六十六十多分吧，应该还是比较好得分。所以说选择填空的这个地方，你至少得控制在分数比较高，比如说我考到五十分，五十分其实我觉得也不算高， 考到六十分可能还还算是比较高的啊，所以说这个也比较大家注意啊，他这个考试，嗯，这个考试并不是他乱出啊，他并不是他想怎么出怎么出，他也是比较参考于二零二五年的高高考题啊。二零二五年的高考题，就是这么一个情况，前面的题确实比较简单啊，后面的题就相对来说难一些 啊。来看我们来看这个解答题的部分，解答题的部分，解答题的部分，十五题非常简单，对吧？这种题考试之前有的同学还在问我，还问我一些非常复杂的那个，那个构造待定系数，我说这个不会考那种 啊，就会这种普通的就行，你想他让你证明他是一个等差数列，那其实我是不是就要算一算， a n 加一分之二的 n 次方减去一个 a n 分 之二的 n 减一次方等于常数，你这往里一带，他就等于一啊。 所以说这第一问不就完事了吗？第一问，这个 a n 就 就是一个二的 n 减一次方，比上一个 a n， 他 就等于 n 吗？应该就是，对吧？ 哎，所以说这个第一问确实是非常简单啊，就是 a n 呢，就等于 n 分 之二点减一怎么？呃，也不一定是第一道解答题，第一道解答题还是送分的题，来看第二问， 对吧？第二问，这是典型的错位相减，错位相减，错位相减，大家注意啊，错位相减之前的时候高考基本上是不考的，但是二零二五年考了，我在课上已经反复说过错位相减。咱们在后期的期末考试还有一门考试当中，都是非常侧重于出这个东东西的 啊，等到这个二模就不怎么出了，因为他一模和期末考试呢，还是倾向于来来来，来，模仿二零二五年的高考题啊。这个是十五题，这个分不应该丢啊，就是你基础稍微好一点，这就是明明着告诉你要考的题，这种题不应该出错。那么来看十六题，十六题，第一个 是吧，连讨论都没有讨论，直接就让你求单调区间，这个 x 是 大于零，你注意定域。然后这种题啊，已经练过无数遍了，练过无数遍了，对吧？包括第二问， 注意，他说没有极点，这个极点也是我们在上课的时候反复强调的。那么极点代表什么？没有极点就证明 f 一 撇 x 没有编号零点 啊，但是它可以有零点，对不对？可以有零点。这个地方你求完了导之后，这个 f 一 撇 x 求完导，比如说就是三比上 x 减一减去一个 x 平方分之 a， 然后这个时候我只看一看分母就是 x 平方分之负 x 方减去一个 a， x 加三 啊，就是负 x 方，哎，不对不对不对，负 x 方减去。这地方我写的有问题 啊，因为比比写的还简单，加上一个三， x 减去一个 a， 那 我来看它说明这个二次函数就是分子的，这个二次函数与 x 轴没有交点，或者是只有一个交点，那它这开口向下的对不对？它是不是只能是这样或者是这个样子， 但是这个地方你不动就算嘚，它小 a 等于零啊，因为这你还得 x 大 于零嘞。所以说这个应该考的是什么？考概率分布。第二个考的就是， 呃，那个分摊对不对？然后等于零，然后让 a 等于负 x 方加上三 x， 它是开口向下的，要求比这个 a 的 值比这个最大值要大呗，对不对？这个分摊咱们德州的同学已经连续考了呃，从期中考试就开始考，期中考试的模考也考，这已经考了无数次了，但是你说我考跟着分步行吗？也行，对吧？跟着分步也可以。 根的分布你就考虑他第一种情况就是没有根，第二种情况如果有两个根的话，你这两个根是不是你都得是负值啊？这个，这个思路是比较多的，这个思路比较多，所以我觉得分三还是比较好做的。这个题答案是四分之九的整数，求 这个一分三。这个题就非常简单了啊，你这个最大值一求 x 等于二分之三吧啊，所以十六题也是比较简单的，这个题也不应该丢分，因为咱们对于倒数已经练到无数次了。 那么十七题呢？十七题的第一问啊，这个就是一个简单的化简啊，就是变化角，然后呢和差公式，把这个 c 呢变成三， a 加 b 这种，也就是也是练了无数遍了， b 等于四分之派， 这答案啊，第二个来看，哎，有了角， b 有 了变成 b， 让你求 a 加根号 c 的 范围，这个东西考的明显是变化角，对吧？变化角加辅助角公式那种。这种题咱们从暑假就开始讲 啊，就是除了什么中线，除了角平分线，除了求面积最值，中长最值之外的就是求范围的题，这就属于经典当中的经典题目，这个题的答案是二到二根十 这个地方得求一下那个角的范围，这是 b 区间， b 区间。好吧，这个我们来看解答题的部分，解答题的部分十五，十六，十七， 这就是已经是非常简单的题目了，嗯，就是你不应该出错，或者是只能够扣一点点分啊，就是比如扣个一分两分也是正常的啊，这个就是解答题的最简单的题，那么来看，我们来看这个 解答题，解答题后边的十八，十九，十八，十九呢？这两个题难度比较大啊，我们先来看第十八题， 那么十八题第一问呢，还是比较简单的，因为十八题第一问，但是不能间歇啊，那个这再次给大家告诫一下，那种 梦想着我第一问平行，这个平行垂直，我证明的时候我不会那个定义记记不住，判定性质，判定方法和性质，我想用间隙来做的，同学，这是不现实的啊，历年高考当中只有一年好像能够让你间隙。 我们来看这个，第一问这个它让你证明 p e 平行于 d c， d f， 这个很明显，我去连接这里，对吧？假如说这个点为 a b c， d e， 这 p q 吧？假如说，假如说它是 q， g 应该是 g， 是 吧？因为后边还有用可能。假如说这个点是 g， 那我来看，我要正平行，很明显我要正 d q， d， d， j 和 pe 是 平行的，那我平行的时候呢？ d 呢？是中点，那我只要正出来点， j 是 中点就可以了，对吧？这是一个中点的证明，其实这是一个平面图形的问题，那么这个平面图形我们来看，你画出来下面这个平行 等边三角形应该是 abc， 呃，这个应该是怎么做的？ f 呢？是它的三等分点， 然后呢，这个 e 呢？是他的一个终点，相当于我连接一下 e， 那 么他们两个焦点是 g， 哎，我要来证明这个 g 呢，应该是这个 f c 的 一个终点啊，就是我的目标呢，就是正这个东西。 那我来看我这个证明呢，应该是怎么证啊？这个证明呢？这个如果用向量来做，我认为用向量来做这个题会很麻烦，因为有向量的话，你得用三点攻线，然后得解方程的思路来做就可以了。但是第二位我觉得不用用向量来做，这个应该用平面图形的思路就能就能做的出来。 就这种呢，甚至初中生都有，都有，都有所那个那个设计，你看我把这两个点一连，假如说这是 h， 那 么我们来看这个 h e 是 不和 f c 是 平行的， 这没问题啊，是中位线的问题吧，这是一个中线的，也就是一个终点吧，因为 h 呢是它的另外一个终点，所以说 h e 呢，和这个 f c 是 平行的，这是第一个思路，对吧？那我来看，我现在再换一个思路，那么是不是就能其实它就等价于这个 f g， 哎，和 h e 平行，就是这这个线，这个东西和这个东西平行，是吧？因为 f 呢是 a h 的 终点，所以 j 呢就是 a e 的 终点，对吧？ 那么来看，那么 j 既然是 a e 的 终点，那是不是就整完了？哎，所以这个第一问呢，比较简单，但是不好想，我觉得对于有些基础不太好的同学，这个题有可能做不出来，但是基础，嗯，没问题的同学，这个应该做着很简单。 所以到这呢，到这的话题都一直都非常简单，就会像前面的选择填空一样，然后就突然到了第二本，我天，这题就突然就变难了，我们来看这个第二本到底难在哪里啊？但是这个题有可以有一个巧妙的做法， 他说呢，底面是一个等边三啊，第一个没有等边三角形，第一个也不用等边三角形，看第二个，他说底面的是一个等边三角形，他说 p 呢到 a c abc 的 中点，这个距离到这个面的距离是二分之七，然后 p 在 底面上投影呢，是 cf 上的 cf 上。但是我们来看第一个问题，你要搞得清楚，这个点 p 它在 fc 上投影，并没有告诉你确定的位置，所以说 f 是 一个 p， 应该是一个动点 啊，这个大家要要明白这个事啊，屁，首先是一个动的点，它不是一个静止的点啊，我们这明白第一个道理，那么来看，那么来我要求正切值，那么这个地方我就要来间隙，那么间隙的话，间隙的还好间，那你点屁的坐标怎么设？这就是这道题当中的一个最大的问题。 好，那么我们来看这个题，我给大家讲一下这个基本的思路啊， 这个后边这个地方往后放啊，我们来看这个，呃，这个地方呢，我为了方便大家来理解这个东西，我把这个图呢稍微改一下，它画成什么样的来看，画成这样的一个直的一个三棱柱， 这个三棱柱呢，剩下两个面呢，都是一个等边三角形，就是等于把这个题呢，我把它补出来一个柱，为了方便大家来理解，那我来看这是 a b c， 然后来看这个 f 呢，我让它在这里大家来看 f， 在 这 f 是 三等分点，那我们来想它这个点 p 呢的投影刚好在这个 c f 上，假如说我这个三楞柱呢，是一个直的三楞柱，那么你想想 f 点，我在上面也取三等分点， 那么这个点 p 是 不是就是上面这个东西，这个点的一个动点就是点 p 在 这里，对不对？大概的思路应该就是这个没问题的思路应该是没问题，点 p 肯定就在这个位置上，就是在这条直线上动，假如说这里是 c e f e， 这是 a e， 这是 b e， 我们来看你首先能不能理解这一点，就屁在这上面动的一个点，那么你既然是一个动的点，那么你就要来试试来点屁的坐标啊，这是一个最大的问题，这个点屁的坐标怎么设？但是呢， 这个地方我们在设坐标的时候，他考察了一个比较难的一个点，因为我们正常来说，在立体几何当中，我们设坐标，我们是怎么设呢？我直接你看，你看，比如这个屁点，这个屁点我在设的时候，假如说我设的是什么呢？ cep 向量等于 lamb 的 倍的啊，这个 c e f c e f e， 我 们倾向于这么设，你这么设出来的话，你点 p 的 坐标会非常麻烦啊，会非常非常的麻烦。这个题，所以说如果用这个方法来做，你估计基本上就不太现实能做出来了，因为数字太大 啊，你看，比如我间歇，我在这里呢是 x 轴，我在这里呢是 y 轴，我向上呢是一个 z 轴。 那么来看，你比如说 f 的 坐标吧，你 f 的 坐标就很难写，因为你 f 呢是一个三等分点。这个地方我给大家直接写一下这个我算的坐标是啥？这具体过程不给大家写了。这个 f 的 坐标，我们来看，你这个 f 的 坐标做出来是这样的，是六分之七跟三 和六分之七零，呃，这是 f， 那 么 f 一 的坐标，我们来讲， f 一 的坐标当然也是一样的，就是六分之七、零三和六分之七，那么这个零呢，就是一个二分之七，因为这个高是二分之七，那么 c 一 的坐标就是零 七和这个二分之七二分之七。那么你来想，我要射出来这个 p 点坐标，那么这个向量 o p 就 应该等于这个向量的 o c 一 加上 lamb 的 倍的向量， c e f e， 你 可以看一看，这个 o c 一 呢，就是这个零七和二分之七， 而这个 nums 的 c 一 f 一， 那么 f 一 呢？减去 c 一， 它就是六分之七跟七，然后呢这是一个负的六分之三十五和零， 你会发现这个 o p 这个坐标，你写出来它是非常复杂的一个东西，然后你要在这个技术上设出来，你看它这个做出来就是横坐标，就是六分之七跟七栏目的，然后呢这里是一个七，减去六分之三十五栏目的， 然后呢下面是一个二分之七，所以说我们来看点屁的坐标，如果我按照这个思路往下做的话，当然也能做出来，但是对于你的计算能力是要求是非常之高的啊， 这个是我们正常做，所以说他解，你要看答案，答案他直接设的点屁的坐标，他为什么那么干？因为我直接设出来点屁的坐标就会比较简单 啊，直接设点 p 坐标就简单多了，但是我这个点 p 坐标我应该如何来设？哎，所以这个地方得需要你有一定的思路了，这时候怎么想啊？你可以把这个 c f 当做一条直线，把它放在平面直角坐标系里来设，你看 可以这么来设，你看这里是 x 轴，这里是 y 轴，这里是 c， 这里是 f， 对 吧？我把 f c 的 直线方程设出来，那么我这样的话设出来就简单多了，那么我可以往下算，嗯，就是能减轻一点计算量，就是这个问题， 那我来看，当然这个第二个有没有巧妙的做法，其实也是有的，为什么呢？因为你嫌你点 p 是 在上面随便动的，对吧？就是在这个 c e f e 上动，那我来看我点 p， 我 是不是可以取它的？没问题啊，那么 因为他说了，这个正贴值应该是不变的，那么点 p 如果在 c 一 上，你做出来结果不是一样吗？你就让他在 c 一 上不就完了？对，我实际计算的时候，我就让他在 c 一 上做，这也是可以的，这个做出来结果是对的，但是你得稍微证明一下，因为 cf 一 呢和这个东西平行， 所以说呢，这个二门角是不变的啊，就是 p i c f 和 d 这个二门角其实就是呃 c e 这两个面的加角，对吧？这个稍微证明一下，用这个特殊法也行，所以这个比单列的，单列的计算呢要好做啊。这是第二位，我觉得这个第二位对于 大部分同学的要求是非常高的，这个不好做这个题。那么好了，我们来看第三问啊，第三问，这个他说就是球面，这也是二五年高考的一个特殊情况，就是呃外界球呢，考到了，考到了这个，这个， 这个这个解答题当中啊，他说呢来看，他说的是 a e c a e c 这个 e 呢是在这里的。 那我们来看 a e c 这个三角形，它是一个直角三角形，这个地方你得知道什么呢？就是外界球的球心在底面上的投影，应该是投到它的外心上， 那么投到它的外心上，所以说来看这个 a e c 这个三角形的外心刚好就是直角三角形，是斜边上的中点是它的外心，所以说这个地方 o 一 呢，就是它的投影，那么来看我球心 o 呢，大概就在这个位置上，那我来看我如果能够试出来半径大二， 那么我们来看这个 o 点的坐标，球心 o 的 坐标，它在 x 轴上呢，就是零，在外轴上呢，就是一个二分之七，在 z 轴上呢，就是根号下半径的平方，减去一个什么呢？减去一个二分之七的平方， 哎，我们来看我，这样的话，我很快把球心就坐标就算上来了。球心坐标做上来，球心的半径是不是等于 o p， o p 的 长度，它是不是刚好就等于这个半径， 对吧？你想想我的 o p 点坐标，我是不是已经设过了，然后我一带入是不就行了？ o p， o p 的 膜就这个东西的平方应该等于这个半径啊，这是这是 o 点坐标，这是 o 点坐标， o 点坐标是这个东西，然后呢，你这个也能做也没问题啊，这个计算量也不是很大，所以说这个呢，你得来回这一点才能继续往下做。 估计呢，大部分同学就看不到这这道题了啊，因为在这个地方第二个的时候就卡住了，如果稍微能够转化一下呢，我就不设坐标，我就直接让这个点是 c 一 或者 f 一， 希望这个图呢，通过这个图大家呢来更好的理解，来这个倒数第二题 哦，我们来看最后一道题，最后一道题的难度也比较大，这这这两道题难度就是突然这种有一个增加来看这个是什么呢？这个他考了，我认为这是一道竞赛的题，竞赛当中同学可以做做过这种关于 y 等于 x 对 称的来做，这个要好一些。 我们来看他说的是什么意思啊？我给大家画一画这个图，他说第一个呢，他给了一个 c 一 这个直线，他说他关于 y 等于 x 对称，就是反函数嘛，对不对？那我来看 c 一 啊，它这个方程啊，它是这样的，它的图像这个地方呢，咱们后面是可以证明的，那么 c 二呢，它的图像就应该是这个样的，这里就是 c 二，大概的图像就是这样的啊， 那我来看他说他这个 p 和 q 和 n 是 怎么来的？就是比如说 p 一， 我假如说在这 p 一 是在这 p 这之后呢，它做了一个对称，相当于关于 y 等于 x 对 称呢，我就得到了 q 一 这个坐标了，然后 q 一 呢，再向下做垂线，就是平行于外轴嘛，那么与 c 二的交点呢，就是 p 二， 哎，然后 p 二再重复，不停的重复，就是这样的一个图像。那我们来看第一个，它讨论呢， c 二呢，与直线 l 的 这个与这个 y 等于 x 的 公共点， 这个地方来看 c 二的这个直线方程，我们写不出来，为什么呢？因为你这是什么？ e 的 x 方，如果把 y 换成 x， 这个你表示不出来，所以说呢，这个地方你第一问你得会转化，那么要看 l c 二和 l 的 交点个数，其实就是看 c 一 与 l 的 交点个数 啊。第一个要转化，由 c 二转到 c 一 上，它两个应该是一样的，然后呢，交点个数就是什么呢？就是一的 x 方减去一个二分之一， x 方减一，它如果等于 x， 它的这个根或者就是零点有多少个， 对吧？然后我就构造出一个新的函数， g x g x 做出来就等于一的 x 方减去一个二分之一， x 方减 x 减一等于零，那么我要来看一看它的零点个数，这好像是大啊，没有大于零，这直接求倒就可以了，对吧？所以这一撇 x， 你 这样做出来，等于一的 x 方减去 x 减去一个一， 哎，这一看，这是我们是不是放松啊，对吧？这太简单了，对吧？这个当然做到，这说明人技术比较好，所以我讲的就快一点放松。什么意思？二一求导呗，那不就是一的 x 方减一吗？他不大一等于零吗？说明这东西是增函数吗？对不对 啊？说明呢，他就是一个单调递增的啊，他是单调递增的，然后呢，你就来证明他是，既然是一个增的，他的图像大概就是什么样的啊？这个，这个就比较简单了， 那么他既然是单向递增啊，你这个零点就看出来了，对吧？这个零点呢，做出来就是零，所以说原函数呢，就是先减再增的， 他的这个极小值或者是最小值呢，就是零，所以说把零带进去呢，他也是零，所以说他就有一个零点。这是第一问，第一问是比较简单，这个你看就看出来了。那么这个题第二问就有点难，第二问他说的是什么意思？这个第二问我觉得超纲了，这个题考的是函数的这个 凹凸性啊，应该是，应该是凹凸性。那我来看，我简单解释一下这个题什么意思？他考的，他说第二个，他说 o p， o p n 和 c e 在 q 处的这个切线斜率呢？要大于这个一，那我来看 o p n， p n 呢？就是假如说我这就是 p 一 嘛， o p 一， o p 一 等于什么 o p 一 呢？来看这个 p 的 坐标，我这个 p 的 坐标呢？假如说 这地方你还不能设 p 的 坐标，因为 p 一， 因为 c 二这个直线方程咱不知道，我们还得设 q 一 的坐标，所以这个它就是老是在这来回转化。那么来看我，假如说我设的 q 一 的坐标是 x 一 和 y 一 的话， 那么来看这个 p 一 的坐标是不是就是反函数吗？ y 一 和 x 一， 对吧？所以说来看这个时候 k o p 一， 它就等于 x 一 减零，比上 y 一 减零，哎，它等于这么个东西啊，就等于这么个东西，就是 y 一 x 一 比上 y， 那 我来看它说第二个，就是说在 c 一 在 q n 处的这个切线的斜率， 就这个地方的斜率，他说呢要大于一，那么来看这个地方斜率是什么？这个地方斜率是不是？假如说我这是 k 二 k 二呢？其实就是 y 一 撇，我们正正常算的话呢，就是 f x 一 撇，对吧？ 那我来看这两个东西，他说相乘要大于这两东西相乘就是什么呢？第一个呢，就是 x 一 比上一个 f x 一 乘以一个 f 一， 一撇要大于一，哎， f x 一 一撇大于一，那么其实我就是算什么？就是来算让你算 f x 一 撇要大于 f x 一 比上 x 一， 哎，这，这是什么？这是不是凹凸性啊？哎，这个，这个，我认为这是正的凹凸性，你只要能够挣出来 f 两撇， x 大 于等于零， 就证明它是一个 o 函数就行了，就能证出来这个东西，所以说这个能做到这个东西就是超纲的知识了，我认为超这个好像这个，这个，这个为什么是这个东西？就是凹凸性的问题啊？因为你这个你如果是 向上 o 的 这么一个函数啊，那么你看这个点它的斜率，这个切线是这样的， 而这个和点 o 的 这个斜率就是这样的，所以说是这么整出来的啊。但是这个他这个解析上写的啊，我估计他也没让你正凹凸性啊，因为咱没学凹凸性。这这在这就直接出结果了，我觉得这个正的，反正你如果用凹凸性再正就太复杂了。 那我来看第三个，第三份这个就非常难了，我觉得这个第三份咱们大概有十来万，十一二万同学来考试，能做出来同学应该不多，非常少。应该是，他说是什么呢？他说，呃，二 n 呢？是 p n 和 q n 的 一个终点，就这个终点，假如说他是二 n， 然后呢？他说二人加一，二人加一，就上面这个就是二人加一，下面呢，这个就是二人减一，你需要把这两个点的，把这三个点的坐标都求出来，然后再证明这个计算量太大了啊。好吧，这个第十九题，我简单说一下，这个我认为第二份就开始超纲了，第三份就太难了。 好，我们来看，我们总结一下这个解答题的部分，解答题的部分十五、十六、十七，这都是基础到不能再基础的题，就是见过无数次的题，而且比我们见的题要稍微简单一些，计算量也比较低。那么这个地方大概有三四十多分，四十三分，对吧？你这里有四十三分，包括前面加上这六十分， 这个就是一百来分，一百一十分左右了，这时候就这个一百一十分应该是非常好得啊，就是相对来说，你只要基础没问题，计算过硬就行。嗯，难度不大，但是从十八题开始。但是十八题第一问我认为也是没有问题的，因为第一问这个地方就考了一个初中的这个， 初中的这个，这个，这个证明平行啊。你如果用向量来做，哎，就走弯路了。用向量，用那个什么三点攻线，然后列方程，这太难了。 不，不提倡这样啊，所以说这地方第一位你只要稍微转一转就没问题。那么第二位，哎，第二位的第一位我估计应该能够难到百分之九十九点九的同学 啊，呃，这个地方呢，你这个设坐标呢，就是一个大的难点，我觉我觉得很少有同学能够直接设他的横坐标是多少，纵坐标是多少，用直线方程来设，这个不现实啊，不现实。 那我来看，如果你能够看出来他这个跟我画的这个图一样，上面是个动点的问题，哎，让屁点在 c 一 上，哎，这个第二份呢，也可以行， 对吧？啊？第三问，但是你第三问你还是得设坐标，你不设坐标，这个题还是做不出来，就是无论怎么样，你还得设出来点屁的坐标，然后你还得知道围棋的问题。但是我觉得大部分同学坐在这，这个这个精力就不够了，可能 这个是比较难的。然后来看十九题的最后一道题，这道题整道题呢？其实第一问还是比较简单的，因为你只要知道他是反函数吧，反函数之后就等于是 c 一 和这个东西的 就两个数，这个就是常规题，是吧，这典型的出现了经验放缩的经典，经典算式了都已经。这个证证明就很简单，不过这个都是四分，十八题和十九题，第一问都是四分。那么第二问呢？我觉得这个做出来，普通同学这个是不可能能做出来的。 为什么？因为奥数性的话，这个就牵扯到微积分了是吧？就高等数学，你得多学一点才行。不不，多学一点，这个题没希望做出来，基本上 啊，第三问我觉得就希望更渺茫了，就是计算，所以说我们刚才说了这套试卷呢。嗯，第一难易，就是区分特别大，就简单题就特别简单，难的题就特别难，这是一个。第二个就是计算的要求会非常高，计算的要求太高了。 嗯，你像这种填空题的最后一个对吧？选择多选题的最后一个，还有包括后面这两个题，计算能力和要求是非常高的啊，这个就是咱们但是山东的试卷向来就是这样，其他的话就是还是模仿二零二五年的高考。 嗯，这里边呢，有三十分的比较难的分，这分得到的话，对于大部分绝大部分同学，百分之九十五以上的同学吧，这个考验是非常大的，是不太现实能做出来的。 好吧，这个就是咱们对整体这次名校大联考的一个整体分析啊，有什么个性化的问题吗？再问我。好吧，这节课讲到这，同学们再见。

这道题的难点在于，根据题目的描述把空间关系找出来，只要是我们能把空间关系找出来，以后呢？题目做起来就比较简单。 已知平面 alpha 交平面 beta 等于 l， 那 么这是两个平面，一个是 alpha， 一个是 beta 交于它的直线 l， 一个求 o 与直线 l 相切于 a 点，那么这是一个求 o 与这个直线 l 相切于 a 点，那么这两个都是 a 点。平面 alpha 与 beta 分 别结，求 o 所得结面圆的半径分别为一根三。就是这两个 平面 alpha beta 啊，结得这个圆所得的结面圆的半径啊，这是一个结面圆的直径，这是一个结面圆的直径，那么它的半径分别为根三 一啊，那么这个就是根三， 那么这个就是一。若这个二面角 alpha l beta 的 大小为六分之五 pi， 则求 o 的 半径为多少。 那么我们在这个二面角上，我们就设这点 o 就是 这个球的球心， 那么既然这个球与它的交线 l 相切于 a 点，所以说连接球心 o 与这个切点 a， 那 么这个 o a 就是 球的半径 r， 那 么很显然，这个 o a 又是垂直于这个交线 l 的。 我们从这个球心 o 分 别做一条直线，垂直于这个平面阿尔法和垂直于平面 bet 啊，那么我们得到的这个垂足分别为 b 和 c， 那 么这个 b 点和 c 点，也就是这两个结面圆的圆心， 那么很显然，这个 o c 是 垂直于这个平面 bet 的， 那么这个 o c 垂直于这个平面 beta。 我 们又知道 o c 就 肯定垂直于 l 啊，这样的话，那么 l 肯定就垂直于这个面 o a c 啊，那么我们就得到了 l 肯定是垂直于 a c 的， 就是这个 l 垂直于 a c， 那 么同理呢，我们又知道这个 l 垂直于这个 a b， 那 么所以说那么这个角 b a c 就是 这两个面的二面角，那么它就等于个六分之五 pi， 接下来呢，我们就在这两个直角三角形 o a b 以及 o a c 当中来进行研究，那么这两个直角边这个 a c 等于根三，就是这个结面圆的半径，那么这个 a b 等于一，就是另一个结面圆的半径，那么我们设这个角 o a b 就是 这个角，我们设它等于 r 法，那么这个角 o a c 和弦就等于六分之五 pi 减 r 法 就是这个角，那么我们知道 cosine alpha 就 等于这个 a b 比上这个 o a a b 是 个 e， o a 就是 这个求的半径 alpha， 那 么很显然 cosine 六分之五 pi 减 r 法，就等于这个根三除以二，根三除以二。 接下来呢，我们就把这个打开，这个打开以后就是 q 三六分之五 pi， q 三 r 法， q 三六分之五 pi 就是 负的二分之根三 q 三 r 法加上三阴六分之五 pi 就是 二分之一 sin 阿尔法，那么这个打开，那么它除以这个 cosine 阿尔法，除以这个 cosine 阿尔法，那么相当于就是等一个 cosine 就是 这两个相比，那么根据这个我们就得到一个式子，就是 sine 阿尔法 等于三倍的根三 cosine 二法，那么 cosine 二法方加 cosine 二法方等于一个一，就是 cosine 二法方，就是二十七倍的 cosine 二法方加上一个 cosine 二法平方，它等于个一，那么 cosine 二法平方 就等于个根下二十八分之一， 但前面已经说了， cos、 阿尔法等一个一除以 r， 那 么这个 r 就是 丘的半径，那么很显然 r 等于根下二十八，那么它就等于二倍根七。

我岳云鹏讲二零二六届齐鲁名校第二次大连考的鸭肉单选择题。这里很显然角 a 不 等于角 b， 不 妨设 a 大 于 b 题设实际上是口西尼 a 减 b 等于口西尼，派除以二减 c， 且 a 减 b 和派除以二减 c 均为锐角，进而这两个角相等，进而角 b 等于四十五度。 此时锐角 a 大 于 b 等于四十五度，进而 tangent 大 于 e。 tangent c 可以 用 tangent 表示，接下来目标可以用 tangent 表示，使用基本不等式即可求出其最小值。

三种联考他的一个区别啊，第一种是齐鲁名校联考第一，他的人数是最多的，十万人左右，成绩是最具有参考性的，我们可以看到他的特招线和高考特招线基本上是差不多的 啊，所以说齐鲁名校联考的成绩是最具有参考价值的，这是第一个原因，就是人数最多。第二个原因，齐鲁名校联考的题和高考题型基本一致，和高考题型基本一。 所以说齐鲁名校，咱们东营啊，这几个学校，比如说是一中，广饶一中、垦利一中、河口一中啊，都是参加了齐鲁名校下一个联考啊，山东名校联考 只有东营，应该是只有由二参加了，这个考试整体难度要比齐鲁名校难度大，参考价值并不是很大。你看他的特招线是四百六十七啊，他的特招线比高考特招线呢少了将近五十分。 所以说啊，考山东名校的啊，整体分数会偏低一点，他的考试人数四万人左右，四万人左右好，最后一个九五协助都是高分学校考的 啊，他的人数最少，分数参考价值不大。如果考九五协助，油田一中、一城二中、聊城一中这些学校参加了啊，基本上都是山东省排得上号的学校。那这些学校参加九五协助的啊，我们重点看校排名，九五协助的，你看他的线差，五二一减四四二 四四一减三五八，它有八十多分的限差，这个分数差太大了，就说明这个成绩其实是不准的，看笑牌好吧。

二零二五年十二月高三山东名校联考九科全七路名校联考更新中。

顿元法秒杀抽象函数问题。注意到 f 零等于一，因此 f 二 x 减 f x 减 x 等于零，已知 f x 等于 x。 加一是方程的一个解问题，立刻解决 a b d 显然错误。

刚刚结束的齐鲁名校大联考，总参考人数一共是超十一万的，除了大部分山东的高中参加以外，还有江苏和浙江，一共是十八所高中参加， 其中咱们山东省总参考人数是九七六七四人。需要注意的是，这次考试很多高中的实验班、清北班或者创新班，也就是咱们所谓的重点班，他们是没有参加此次考试的，所以这次考试是不包含很多高校重点班学生的数据， 咱们可以简单看一下啊。本次考试的特控线，也就是均点线，上线分数是五百一十六点五分，上线人数是二零五四一人， 特招上线率是百分之二十一点零三，为什么这么低？刚才咱们也说了，很多学校里面重点班他们是没有参加此次考试的， 本科线也就咱们说的一段线是四百四十七点五分，上线人数是四九四六三人，本科上线率是百分之五十点六五。 然后咱们德州的一中，月华还有云天中英们都参加此次考试了，但是二中和实验是没有参加此次考试的。距离高考还剩一百七十天了，所有高三的孩子们，咱们需要加油了。

大家，哈喽，大家好哈，这里面呢，我们用特例法来解决一下啊，这次七路名校大联考高三第三次考试的第六题，还有第七题，第八题，那如果说我们不用特例法的话，那么他的思维强度是挺大的，而且用时比较长， 那我们考试呢，是在规定的时间内得到最高的分数，那么这个时候呢，我们可以要用各种方法，只要你能把题做对就可以了，当然不能抄题，不能作弊啊，我们自己呢要用 更灵活的方法。好的，我们看题，那么先看第六题，在这边呢，他告诉你， a n b n 满足 a n 加一减 n 等于 n， 让我们求 b 四加 b 五减 a 一 减 a 二。 那么我们读完题目呢，我们立马就有感知，什么呢？在这里面， a n 和 b n 它们分别为不定数列，那什么叫不定数列呢？就是说 只是根据这些条件，我是求不出解析式来的。那么像这种情况下，我们就可以通过破例法啊，比如说我们在里面，我们可以令 b n 和 a n 的 首项都为一 啊，如果不符合，我们再换一组啊。那么如果说 b 一 是一的话，看题目，那么 a 二减 b 一 等于一，所以 a 二等于二， 同理， b 二减 a 也等于一，那么 b 二也等于二， a 三减 b 二等于，那么 a 三等于三，那么 b 三减二等于二，那就等于四，以此类推啊，我们把该求的啊都求出来， 那这样的话，我们求 b 四加 b 五等于六，加九减一减二，好，等于十二。第六题搞定，用时不到一分钟就可以做完。好，我们来看第七题，同样道理啊，我们仍然可以用克利法去解决， 那么在这里面，他说 alpha， beta 都属于零到二分之 pi， 然后呢？口三 alpha 等于三 alpha 减 beta， 那 么很明显呢，我们能得到 alpha 为锐角， alpha 减 beta 呢，它也为锐角。而且在这里面，因为我们知道的常识性问题有什么，就是若 alpha 加 beta 等于二分之 pi， 那 么三 alpha 就 会等于口三 beta， 同样道理，那么 sine 也会等于 cos 二 f， 这什么意思呢？就是只要两角互余，那么其中一个角的正弦就等于另一个角的余弦，那么在这里面就很明显， f 加 f 减 bet 等于二分之 pi， 那 我可以举例子了，是吧？就相当于二 f 减 bet 等于二分之 pi， 那 么这边我们可以用角度表示，那会更快一些哈。比如说我可以让 f 呢，等于五十， r 等于五十的话， b 等于多少？等于十度了啊？ r 等于五十度，那么 b 等于十度，那么很明显， a 不 对， b 不 对，套道理， c 也不对。 当我排除 abc 的 时候， d 不 用，那直接选 d 了，因为单选吗？好看。第八题，他说 f f 不 定义 r 的 单调函数，这点很关键哈，单调就是我们学过的哈，就是具体的函数，能在 r 上具备单调性的无非就是 m 函数，还有指数函数 啊，就被常见的啊。那么在这里面，根据这个式子，它肯定不能是密函数啊，不能是指数函数了，那么只能是密函数的一个类型啊，或类就是类密函数啊。那么 f 二 x 减 f， x 减 x 等于一，那么这边呢，我可以让 f x 等于 x 加一， 那么看一下是否符合这个关系式，那么 f 等于二， x 加一的话等于 x 加一的话，那么 f 二 x 就是 二， x 加一， 那么二 x 加一减 x 减一减 x 就 等于零啊。 f 零是恰好等于符合题，那么我勾到这个函数就可以。 然后看一下 a 选项不对， b 选项 f 一 是二， f 二是三， f 三是四，二加三不等于四， b 不 对。好， c 选项 三分之一减十，二分之一等于四分之一， c 正确。我们再看一下 d 选项从零加到十是吧？ f 零等于一，一加二，一加到零加到十一 等差除以首项加末项乘以项数除以二，对吧？应该等于六十六，所以 d 不 对，答案选 c。 好， 这样的话我们用克利法，一个题不到一分钟就搞定了。好，谢谢大家。

今天给大家分享一下这次一中体系我们的九五联考数学试卷的一个整体情况哈，那这套试卷的简单中等和难的一个比例呢？大概是七比五比三 啊，然后它比较难的题呢，相对来说没有那么多，比如说我们的第十四个题就是我们的填空最后一个题，还有就是我们的大题，比如说我们第十八题的第三问，以及我们的十九题啊，偏难的题型会少一些，所以对标我们七六大连考这个试卷来说，它整体的难度会比七六大连考的试卷要偏简单一些。 那他依然也是考察了我们这次一轮复习呃，过的所有的内容，除了我们的解析几何和概率，之前复习的所有内容都复习到了，也是重点考察了我们一些概念的深入理解和基本的一个运算，跟七六大连考试卷考察的一个方向还是比较一致的。 然后对标我们两个试卷呃，来看看这次两次大的一个联考来看，我们基本上是贴合于高考的一个考试的一个方向，就是确定性的一些题型，加上选拔性的一些题型。 在接下来一轮复习的后半段，以及我们接下来整个的一个面向高考的学习规划过程中，大家一定要找到自己的重点，有问题找张老师，我们私信张老师就可以。

九题，如图，在三棱柱 a b c a e b e c e 中，道是 a a e 的终点，哎，这是一个终点， e 是 c 道的终点，这又是一个终点， 点 f 在 a e b 上，并且啊，告诉我们了 a e f 等于三倍的 f b 有，这是一个四等分点。第一问，证明 e f 平行平面 a b c， 那么我们呢，可以连接 a e e， 将 a e e 连接延长交 a c 与点 j 做的辅助线是连接 a e e 延长交 a c 哎，于点 j， 并且过一点做 a a 一的平行线， 交 a c 与点 h， 要过一点做 a a e 的平行线， 交 a c 与点 h。 啊，因为 题目告诉我们 e 为 door c 的终点， 所以 h 为 a c 的终点， 也就是说， e h 应该等于二分之一 a 到也就等于四分之一 a a 一， 那我们可以由三角形 j e h 相似于三角形 j a e a， 我们就能得到一个比例关系，也就是说呢，是 e j 比 e a e 等于 e g 比 a e g 等于 e h 比 a a e 也就等于一比四， 那么显然他又等于 是不是 b f 比 b a year， 那么所以就得到了 e f 是不是就平行于 b j？ 又，因为 e f 哎，不在平面 a b c 中，而 b j 在平面 a b c 中，所以 e f 平行平面 a b c。 所以说呢，实际上就是证明一点，也是 a e g 的四等分点就可以了。呃，这是啊，第一位，我们再来看第二位。第二位呢， a a a 垂直平面 a b 又垂直 a c 这样 a a 一 a b a c 是变成了两两相互垂直的三条线，所以就可以见坐标系了。以 a b 所在直线， 以 a b 所在直线为 x 轴，以 a c 所在直线为外轴，以 a a、 e 所在直线为 z 轴。哎，建立空间值较多，标细， 那么建立坐标系 以后，我们就应该写点子坐标，其中这个地点坐标是零零二分之一， 那么一点坐标是零二分之一，四分之一， 那么这个 f 点坐标显然是四分之三， 零四分之一，而 c 一的坐标 是不就是零一一？那么上平面倒一， c 到 e、 f 与平面 e、 f、 c 一的发向量 分别为 n 一、 x 一、 y 一、 z 一 n 二坐标为 x 二、 y 二、 z 二。 那我们先求出平面道义 f 内的两个不贡献的香量， 那么可以求出，向量到 e 等于零二分之一，负四分之一。向量到 f 等于四分之三，零负四分之一。那么由 向量 n 一点乘向量到 e 等于零，向量 n 二点成向量到 f 等于零，那么就会解出法向量 n 一，坐标为二、三、六。 那我们再写出平面 e、 f、 c、 e 的两个反向量， c、 e、 e 坐标为零，负二分之一，负四分之三。 而 c、 e、 f 坐标为四分之三，负一，负四分之三。 那么同样道理，由 n 二点成向量， c、 e、 f 等于零， n 二点成向量， c、 e、 e 等于零。推出法向量 n 二 为负二，负三二。那么平面平面的夹角用 ct 表达，因为夹角一定是锐角或直角，所以 cosine ct 等于绝对值 n 一点成 n 二，比 n 一的模长， n 二的模， 那么 a 一点成 a 二，显然是负四减九加十二，也就是说呢，是负一，加，绝对值呢就变成一了。 那 n 一的膜是七， n 二的膜根号下 十七，等于一百一十九分之根号下十七。

关于山东高三十二月联考，齐鲁名校大联考和名校联盟联考已经出分了，划线也公布了齐鲁名校大联考划线情况，和高考匹配，有一轮复习的锻炼价值。特招线五百一十六点五分， 对标高考五百二十分左右，一段线四百四十七点五分，对标高考四百四十分左右，相差不大，上下不超过十分的限差，可以说命题难度系数把控的是相当高了。在这里王老师，恭喜所有参加齐鲁名校大连考的所有学生，至少一轮复习，复习阶段的检验价值 很高。第二个名校联盟联考就不是很友好了，一是参加名校联盟的高中整体太强了。嗯，临沂的郯城一中，烟台的木平一中，济南的章丘四中， 山师附中、威海实验高中，再比如我们淄博的十一中，淄博七中、环城一中也悉数参加。二是考的太难了， 跳槽线低至四百六十七分，一段线三百九十一点五分，线差对比高考相差五十多分。 换句话说，副科三科是负分制，不受试题裸分这个高低的影响。那么造成这个线差的因素很简单，就是主科语数英太难了， 主要体现在数学上，难度系数是零点三八，很可怕。特招线七十点五分，一段线四十九分，估计大部分孩子数学都考的没信心了。语文难度全科最低，还零点六二， 英语零点五四都比高考难。再看妇科，除去历史地理稍微简单一点，其他妇科物化生正难度系数都是低于零点五的， 但妇科难度系数基本不影响划线，划线低还是主科太难的缘故，我们淄博的三所重点高中特招上线人数，淄博七中四百七十二人，淄博十一中四百三十六人，环台一中则也是破四百了，四百零六人。 淄博十一中的上线率是高于淄博七中和环城一中的，能看出来十一中的两级文化比较小，生源质量很好，在张店仅次于市实验，同时这几年的 发展也是很稳定，也祝愿以上高中越来越好吧。总之，这个联考的套套线达线率比实际的高考要低， 所以没有考到特招线的同学们也不要气馁。接下来的一个多月里，一轮复习要收官了，大家要好好准备期末考试，也是为一轮复习画个圆满的句号， 给寒假预留出弯道超车的机会。寒假不会规划或者没有规划的淄博的同学们也可以参加王老师的寒假军训营，快速高效的也能拼下不辱分， 更为了下学期开学后的一模考试、二模考试做准备，只要一模二模考试发挥正常，基本高考就稳了。祝同学们学习进步， 步步为营！未来的时间里，王老师会持续给大家分享高考备考的干货，也希望更多的高三家长能刷到教育的目的，是你们并肩共成长。

我们来看一下这个第十八题。在四面体 a、 b、 c、 d 中，平面 abc 垂直于平面 abc， 这个直接用它的性质定理， 如果已知条件给出的是这个垂直，我们就用性质定理。如果让我们正垂直，用判定定理啊，三角形 abc 是 以 a、 c 为斜边的等腰直角三角形，这是一个等腰直角三角形 e 为 ac 的 终点啊， e 为 ac 的 终点，让我们证明 d 一 垂直 b 一， 这个很好证。首先我们要知道性质定律是什么？两个平面垂直性质定律就是我们首先找到他们的交线，我们找到他们的交线啊，一个是 a、 d、 c 啊，和一个是 abc、 abc， 这两个平面是垂直的，他们的交线是啥呢？交线就是 ac 在其中一个面中找一条线，只要垂直于交线，它就垂直于另外一个平面。我们找 d 垂直于这个交线，垂直于另外一个平面。好，那接下来我们来书写一下过程，因为这个 a、 d 是 等于这个 dc， 一 为 ac 的 中点， 所以我们三角合一就得到 d， e 是 垂直于 a、 c 的。 我们再说明这个直线具有特殊性，它就是两个面面垂直的交线，又因为平面 a、 b、 c 垂直于平面 a、 d、 c。 平面 a、 d、 c， 它等于 a、 c， 所以 我们就可以得到 d、 e 就 垂直于这个平面 a、 b、 c 得到垂直这个平面就垂直这个平面中所有的线。我们要求的这个 b、 e 就 在这个平面 a、 b、 c 里面，所以这个 d、 e 就 垂直于 b、 e， 这就正好啦， 这是第一问，然后第二问，他说 a、 c 等于二， a、 c 等于二， a、 e 等于 e， c 就 等于一， b， a 等于 b， c 等于根号二，这个是根号二，这也是根号二，我们根据三角一，它也垂直，那这个也是呃 b， e 也是等于一，这个 f 是 b、 d， e 呃 b， d、 c 内部的内部或边界上的动点， e、 f 平行于 abd， e、 f 平行于 abd。 啊，就这个条件是重是最重要的啊，要分析明白这个条件，这个题目就可以解。分析不明白这个条件，这个题目没法解。 然后设直线 b、 f 与这个平面所能角至 c 大 c 大 的区域范围。好，这后面就是中规中矩了，只要只要搞明白这个条件， e、 f 平行于 c， b、 d 这个条件一切都好看。好，那接下来我们怎么做啊？接下来我们首先 因为啊，这个什么呢？ b， a， 它是等于 bc 的， e 为 ac 的 中点，我们就可以得到这个 e、 b， 它垂直于 a、 c、 d 的， 所以我们可以得到这个 d， e， a， c， e、 b 两两垂直，得到这个两两垂直，我们该怎么办呢？直接就间隙了啊，间隙如图，我们简写了啊，间隙如图， 这是 x， 这个是 y， 这个是 z 啊，间隙如图。完了之后呢，我们把它坐标都写一写，这个一点坐标是一零零， 这个一 b 呢，我们可以算出这个一 b， 这个长度呢，是等于一，所以呢，这个 b 点的坐标也可以算出来等于零一零，然后 c 点呢，是负一零零，然后 d 点呢？ d 点也可以给它算出来是等于多少呢？ 这个 d、 a， 它等于 dc， 等于根号二，这个 d、 e 呢，也可以算出来等于一，所以这个 d 点坐标是零零一啊，零零一就是所有的坐标咱都给他写出来啊，写出来。然后接下来咱们就分析这个最重要的这个条件， ef 平行于 abd 该怎么弄？ 也就是说这个 f 是 个动点，现在我们知道 e、 f 平行 abd， 像这种这种，我们就要站在更高的维度上去去去想想问题。什么维度呢？就是线面平行的话，我们去找面面平行， 如果是线线垂直的话，我们找线面垂直，常考的就是这两种，一个是线线垂直，知道线线垂直，我们就考虑线面垂直，如果知道线面平行，我们就考虑面面平行啊，面面平行，那怎么考虑呢？我们可以选这个 b、 c 的 中点是 h， 然后 d、 c 的 中点是 k， 然后连接这个 e、 h、 e、 k， 中点是 k， 然后连接这个 e、 h、 e、 k 连接 e、 h、 e、 k、 h、 k， 我 们就可以可以正得正得这个平面 e、 h、 k 平行于平面 a、 b、 d。 那 我们来写一下过程啊，我们可以取取什么呢？取 bc 的 中点 h、 c、 d 的 中点 k， 然后 e 正 亦正，这个 e、 h， 它平行于平面 a、 b、 d 平于平面 a、 b、 d。 然后呢，这个 e、 k 呢？它也平行于平面 a、 b、 d。 然 e、 h 交 e、 k 是 等于一，所以说我们就可以得到平面 平面，这个 e、 h、 k 平行于平面 a、 b、 d。 那 所以我们知道这个 f 呢，它必然是属于这个平面 e、 h、 k 的， 又因为这个 f 属于这个平面 b、 c、 d 的 啊， f 又属于这个平面 b、 c、 d。 然后这俩平面是什么关系呢？相交于相交于一条线，就是 h、 k。 平面 b、 c、 d 交平面 e、 h、 k 的 啊， h、 k 的， 它既然这个 f 又属于这个平面啊，也属于这个平面 f 又属于这个 b、 c、 d 这个平面，它就一定属于他们的交线啊，交线，所以这个 f， 它就属于这个 h k， f 属于 h k， 然后我们利用三点共线 可以设这个 f 是 x 零， y 零， c 零。现在这个 h 等于什么呢？ h 就是 b 和 c 的 中点，那就是负的二分之一，二分之一零，然后 k 是 c 和 d 的 中点， c 和 d 的 中点就是负的二分之一零 二分之一，这是 k， 然后我们就可以得到这个 h f 向量是等于 lambot h k 向量，其中 这个 lambot 是 属于零到一，因为他说了这个 h f 的 范围， f 的 范围他只能在这个平面里面活动，又知道这个 f 是 在这个 h k 这条线上， 如果 f 跟 h 重合，这个拉姆德就等于零。 h 如果 f 和 k 成重合，这个这个拉姆德就等于一，所以这个拉姆德范围是零到一哈，零到一。 然后我们翻译一下这个啊，直接翻译 h f 呢，就是 x 零加上二分之一逗号 y 零减去二分之一逗号 z 零，它就等于 h k 向量，那就是 零。负的二分之一，二分之一，就这样了。还有个 number 啊，还有个 number， 然后，然后 横坐标等于横坐标，这个 x 零实际上就等于负的二分之一，然后这个 y 零 就等于二分之一，减去二分之一，那么它这个 z 零就等于二分之一，那么它所以这个 f 点的坐标就出来了啊。 f 点坐标就是负的二分之一，二分之一减去二分之一，那么它 然后二分之一，那么它得到这个地方啊，这接下来就变成一个常规的问题了啊，常规的问题， 然后他要求什么呢？他要求线面角的正弦值啊，线面角的正弦值，我们来画一个四意图，然后指引呢？我们去做题，这，这是个平面啊，这是一条直线，这是一条直线，我们做出这个这个平面的法向量啊，法向量， 然后这样连一下，这个就是线面角，呃，这个是它与法线的夹角的夹角啊，所以这个 sin theta， 实际上啊，实际上就是这条线啊。 b、 b、 f 这条线 sin sine， 它时间就是 cosine 二法，那时间就等于 cosine， cosine 什么呢？这个 b、 f 向量与法向量夹角 cosine 这个角，然后因为 cosine cosine b 是 正的嘛，所以是加个绝对值啊，加个绝对值， 所以那接下来我们就找 b、 f 和发向量啊，发向量找到，那咱们找一找啊，找一找这个 b、 f 向量，我们用 f 点坐标减去 b 点坐标，那就是等于啥呢？等于负的二分之一逗号，呃，逗号， 负的二分之一减去二分之一拉姆塔，然后就是二分之一拉姆塔，这个是 b、 f 就 算出来了。然后这个 n 向量， n 向量， 我们来看一下 a、 d、 c 的 反向量， a， d， c 的 反向量，看一下能不能直接看出来。那结果我们知道哈，因为这个 e、 b 呢，是垂直于平面这个 a、 c、 d 的， 所以这个一 b 向量就可以作为平面 a、 c、 d 的 法向量啊。一 b 向量可作为平面 a、 c、 d 的 法向量。 这个一 b 向量等于什么呢？一 b 向量就等于零一零啊，零一零。 ok， 那 接下来一题， 做一个 sin sine theta， 实际上就等于 cosine b、 f 向量，然后 e、 b 向量 夹角余弦值的绝对值，它就等于 b f 向量点成 e b 向量， 它的数量，数量级的膜比上它的膜基 b f 向量乘以 e b 向量，这样的好，我们来乘一下啊，乘一下上面等于啥呢？上面就是 二分之一加上二分之一拉姆塔啊，二分之一加上二分之一拉姆塔， 然后下面咱们来看一下它等于啥？然后比上 b f 的 膜， b f 的 膜就是等于四分之一加上四分之一 number 的 平方，然后再加上二分之一 number， 再加上四分之一加上四分之一 number 的 平方。 呃，我们可以整理一下，整理一下就二分之一乘以一加上 number， 然后下边就是 根号下二分之一 lm 的 平方加上二分之一 lm， 再加上二分之一， 然后分母题一个根号二分之一，所以呢，就可以变成二分之根号二，有二分之一除以根号二分之一，二分之根号二， 然后把这个一加阿拉伯写到根号里面去，写到根号里面去，那就是一加上阿拉伯的平方，然后比上阿拉伯的平方加上阿拉伯再加上一。这一步呢？呃，同学们尽量自己去写一写啊，自己写一写， 如果你不写的话，有可能会听不懂啊。二分之二，然后就把这个上面展开，那就是阿拉伯的平方加上二，阿拉伯再加上一，然后下面就是阿拉伯的平方加上阿拉伯再加上一，然后 把这个二阿拉伯给它写成，给它写成加上阿拉伯，后边加个阿拉伯，然后就可以把它变成二分之根号二，根号下一 加上阿拉伯除以阿拉伯的平方，加上阿拉伯再加上一，那我们知道这个阿拉伯如果等于零的话，阿拉伯等于零的话，这个呢 c 减 c， 它呢实际上就等于二分之根号二乘以一就二分之高二， 如果这个阿拉伯它不等于零，阿拉伯它是属于零到一的话啊，零到一的话，我们可以把这个阿拉伯除下来啊，除下来这个 c 减 c， 它就变成了什么呢？就变成了二分之根号二，再乘以根号下一加上一，除以 阿拉伯，加上阿拉伯分之一，再加个一，这是一个对勾函数，在零到一上是个递减的，放到分母上就是递增的，所以说我们可以知道它的 他的那个啊，取值范围如果趋近于零的话，趋近于零的话，那这一部分啊，这一部分就趋近于无穷大，无穷大的话，那这一部分就趋近于零，那就整个就是二分之高二啊，所以呢他他就属于 上那个下边界就二分之高二，然后上边界就是那么的等于一，那么的等于一的话，那就是带进去，那就是一加上一，再加一，那是三，三分之一加上一，三分之四，三分之四开根号，就是三分之二倍的根号三，也就是 二分之根号二，乘以三分之二倍的根号三，我们就可以得到是三分之根号六啊，三分之根号六，这个可以取到，可以取到。 那这个二分之根二，能不能取到？二分之根二也可以取，那么等于零的时候再取二分之根二，然后那么不等零的时候又可以取这么多，所以把这两个范围综合起来啊，综合起来，综上所述， 综上所述，这个三眼 c 塔，他就属于二分之根号二到三分之根号六，这就可以了。好，这就是最终的结果。那本题最重要的一个关，最重要的一个一个点是什么呢？就是如何分析这个线面平行？ 我们通过一个更高的维度面面平行，找到 f 点的轨迹，然后通过三点共线，得把这个 f 点画成单变量。然后就是一个常规的操作。啊，常规的操作。好的，这就是第十八题。

在昨晚我们的齐鲁名校大连考刚刚结束，你是学生的话你可以直接划走，你是家长的话，停下来一定要听我说，就三个重点，第一，这次的分数什么时候出，我直接告诉你，已经在出了，很快我们的机构的老师全程在和负责命题阅卷的学校在进行对接。第二， 由这么多名校高中参加的这场联考，到底给来年高考的分数，到底怎么换算成高考成绩？这是最直接最重要的。来我直播间直接进。