数学高二抛物线公式大全

同学们好，又来到了侠女的数学课，今天我们去学习的是第三章圆锥曲线的方程。三点三点一，抛物线及其标准方程 学习目标一，抛物线的定义焦点，准线方程的定义二，抛物线的标准方程的推导四种不同标准方程的简单应用 情景导入 抛 物线小故事 在加粒子之前，人们一直认为抛体，比如投掷石头、射箭的运动轨迹是先直线上升，再垂直下落。但是加粒子通过反复实验和计算，发现了不一样的结论。 他在比赛斜塔下观察抛体运动，又用鞋面实验模拟重力作用，最终证明忽略空气阻力时，抛体的运动轨迹是一条抛物线。 这一发现不仅推翻了传统认知，还让抛物线成为描述运动的重要数学模行为。后来的经典力学定定的基础 生活中无处不在的抛物线新课探究 作图利用信息技术作图如图，点 f 是 定点直线，摇鲁是定直线，这里要强调就是我们这个定直线不经过点 f， 这样的话呢，我们在直线摇鲁上找一个点 h， 然后呢，我们做 m h 垂直于直线摇入，再连接我们 h f。 在 h f 的 话呢，我们去做我们这个垂直平分线 m， 而这个垂直平分线呢， m 跟我们 h m 交于一个点，这个点我们记为 m 点， 拖动 h 点 m 随之运动。我们一起来看看动画， 从刚才的一个动画，你能发现点 n 满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 首先我们可以知道的是，我们这个点 n 是 如何形成的呢？这个点 n 的 形成，首先它是 h m 垂直于直线绕路， 那么 h f h f 的 垂直平分线 m， 垂直平分线 m 与我们这个 h m 这两条直线的交点 m 就是 交点 m， 那 么我们移动这个 h， 在 直线 l 移动 h 的 时候，那由于这个直线 m 蓝色这条直线 m， 它是垂直平分线的，那么由垂直平分线的一个性质，我们可以知道这里的 h m 和 m f 这个长度是一样的，几何条件是 m f 的 模长等于 m h 的 模长， 而点 m 的 轨迹形状与二次函数的图像相似，它是一条抛物线。 另一已知动点 p 满足，则动点 p 的 轨迹是什么？我们要判断动点 p 的 一个轨迹，这里方法有很多，那么这道题利用的是定义法。 而根号下这个东西，它是指我们点到点的距离，那它是指我们 s y 这个点 s y 是 选谁点呢？就是我们的 p 点啊，到我们二一这个点的距离， 那我们记为这个是 a 点，而后面这个又是指什么呢？ 后面这个是指我们点到线的距离，那它指哪一个点呢？它是指点 p s y 到哪条线的距离呢？三 x 加四 y 减七等于零 这条线的距离。那么由这里我们可以知道它的意思说我们这个点 p 到定点 a 的 距离和它到定直线的距离是相等的，那么这个就是我们抛物线的定义了。 并且呢，我们这个点 a， 我 们把点 a 带进来这条直线，发现点 a 不 在直线上的，那说明这个点 p 的 轨迹就是抛物线。 由折翼可得。前面这个根号下，它是指点 p 到定点二一的距离 啊，后面这个他是指这个点 p 到定直线的距离相等，并且我们这个点 p 二一，并且我们这个点二一不在这个直线上。所以由抛物线的定义可知，点 p 的 轨迹为抛物线 定义。我们把平面内与一个定点 f 和定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。这里要强调是我们这个定直线不经过点 f， 意思我们这个点 f 不 在定直线摇撸上， 那其中我们这个点 f 叫做抛物线的焦点，直线摇撸叫做抛物线的准线。 f 是 定点幺六，是经过 f 的 定子线。我们刚才说我们这个定点 f 是 不在定子线幺六上的，现在呢，那如果这个定点 f 在 定子线幺六上呢？ 同样也按照我们刚才的一个运动，那此时点 m 的 轨迹是什么呢？我们来看一下图， 其实我们这个定点 f 是 在直线摇辘上的， 我们随着随着 m 的 一个运动，始终也是保持我们 m h 是 等于 m f 的， 那指着这个点 m 的 轨迹是什么呢？点 m 的 轨迹是一条直线， 是过点 f 垂直于直线摇辘的一条直线，就是我们红色的这条直线。 思考比较椭圆双曲线标准方程的一个建立过程，你认为如何建立坐标系？可能所求的抛物线的方程形式更简单。 根据抛物线的一个几何特征，如右图，我们可以取经过点 f 并且垂直于直线 l 的 这条直线为 s 轴， 经过点 f 并且垂直于直线入的为 s 九，那垂直这个为 k， 那 么 k f， 这里我们取它的中点即为圆点。尽力平面加坐标系会使得抛物线的方程形式更简单， 根据以上间隙尝试着用直接法求动点 m 的 轨迹方程，那我要求动点 m 的 轨迹方程的话呢，首先我们要先写出呃点的坐标和直线的方程，首先我们求点动点 m 的 轨迹，那我们设动点 m 的 坐标为 s y， 要的话呢啊，由于我们这个 k f 啊，这个 o 是 k f 的 中点，那此时我们可以设我们这个 k f 的 长等于 p 等于 p 的 话，从而写出我们 f 的 坐标是二分之一 p， 逗号零， 从而又写出我们定值域幺六的方程为 s 等于负二分之一 p。 那么由抛物线的一个定义，我们可以知道 m a m f 的 距离，它是等于我们这个点 n 到定子线的距离，那么点 n 到定子线的距离即为 d。 所以 并且呢，我们这个 m f 的 长就是等于根号下 x 减去二分之一 p 的 平方，加上 y 方，而点 n 到定值线的距离低，它是等于 x 加上二分之一 p 的 绝对值。然后这两个是相等的，所以就得到根号下 x 减二分之一 p 的 平方，加上 y 方，就等于 x 加上二分之一 p 的 绝对值。那我们将这个方程化解整理即可。 那首先是有代号，所以我们两边平方，两边平方得到 s 减去二分之一 p 的 平方，加上 y 方，就等于 x 加上二分之一 p 的 平方。 好，那么我们化解一下 s 平方减去啊 p x 加上四分之一 p 的 平方，再加 y 放，就等于 s 的 平方 啊，这里是加上 p， x 也是加上四分之一 p 的 平方， 那么从这里我们就可以约到这个 s 方，还有我们这个四分之一 p 的 平方，那么从这里整理掉，就是 y 方，就是等于将减 ps 移过来，那就是二 p x。 设 k， f 的 长等于 p， p a 是 等于零的，从而得到交点 f 的 坐标为二分之一 p 到二零，准线摇入的方程为 s， 等于负二分之一 p。 设 m 是 抛物线上的任意点，点 m 到准线遥有距离，记为 d。 由抛物线的一个定义可得，抛物线是点的集合，那么这个点 m 的 集合满足是 m f 的 长等于 d， 求出 m f 的 长和距离 d。 然后这两个相等，将上述两边平方并化解，得到了 y 方等于二 p x p 代领。 由上述过程可知，抛物线上任意一点的坐标 x， y 都是方程一的解，以方程一的解为坐标的点都在抛物线上。 我们把方程一叫做抛物线的标准方程，它表示的是焦点是在 s 轴的正半轴上，焦点是 f 二分之一 p， 符号零，整件是 x， 等于负二分之一 p 的 抛物线。 第二，已知抛物线 y 方等于 mx， 过点二，根号五，则抛物线 c 的 准线方程为多少？ 这样这个抛物线是过点二，根号五的，所以我们可以将这个点倒啊带进来，那就得到呃，这个 y 方就是根号五，平方就五就等于二 m， 从而求出 m 是 等于二分之五， 从而得到我们抛物线的方程为 y 方是等于二分之五 x， y 方等于二分之五 x。 那 么它这个图像它是这样画的，它是呃，开口向右的一个抛物线。 好，那开口向右的话呢？那么这个有一个交点 f 一 在这里了。好，那么这个准线方程就是在这里了。 好，那子线方程的话，应该是 x 等于多少，所以这里的话 q 和 d 是 排除了，而且这里的话它是在负呃负半轴的，所以这抛物这个子线方程就答案是选 boy 了。 探讨在建立椭圆双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系，我们得到了不同形式的标准方程。抛物线的标准方程有哪些不同的形式呢？请探讨后填写下表。 当我们这个抛物线开口向右时，那么此时的标准方程为 y 方，等于二 p x p 代零，那其中焦点坐标为二分之一 p。 逗号零，准线方程为 x， 等于负二分之一 p。 当我们抛物线的开口向左时，那标准方程为 y 方，等于二 p x， p 大 于零，其中焦点坐标为负二分之一 p 都和零。卷线方程为 x， 等于二分之一 p。 当我们这个抛物线开口向上时，那标准方成为 s 方，等于二 p y， p 代领，焦点坐标为零，逗号二分之一 p， 准线方成为 y， 等于负二分之一 p。 当我们抛物线的开口向下时，标准方程为 s 方，等于负二 p y p 大 于零，焦点坐标为零，逗号负二分之一 p。 准线方程为 y， 等于二分之一 p。 那么从刚才的一个标准方程，我们发现，抛物线的标准方程有四种形式，分别为一个是 y 方等于负二 p x， s 方等于二 p y， 然后是 s 方等于负二 p y。 那 么其中这里 p 都是恒大一点，因为这里的 p 是 指线段长。 那么抛物线这四种标准方程的形式，那我们如何去判断呢？首先第一个它分为二次项和一次项， 那么二次项就是指我们的 y 方和 x 的 平方，那么 y 方和 s 的 平方，这个平方前面的系数是等于正一的。好，剩下的是一次项，那一次项就是指 x 和 y 了，那么 x 前面的这个系数 啊，可以正，也可以是负，那这是第二。那所以抛物线的标准方程的形式，第一个是等号左边是二次项 s 方和 y 方，并且奇数为一，等号右边是一次项是 x y， 这是第一个形式，那第二个形式的话呢？啊，焦点位置的一个判断，当我们抛物线等号右边是 y 方时， 此时 power 线的图像是关于 s 轴对称， 那么关于 s 轴对称的话，那么此时 power 线开口的方向是，要么是向左，要么是向右。开口方向向左或者是向右， 那么什么情况是向左，什么情况是向右呢？当焦点位置为负的时候， 那就是向左，焦点为正的时候，那就是向右，那也也可以理解成是 当我们这个 y 方，这个这两个式子，这两个标准方程，它是都关于 s 轴对称的，那么都是呃，开口是，呃， power 线的开口是向左或者向右，那么什么情况是向右呢？那就是 x 前面的那个系数为正的时候，那么就是 power 线开口是向右的， 那么焦点就落在我们 s 轴的正半轴上，那么当 x 前面这个系数为负的时候，那么说明抛物线开口是向左的，那此时焦点是落在啊 x 轴的负半轴上， 同理，那么 x 方，那说明这个抛物线它是关于 y 轴对称的，那既然关于 y 轴对称的话呢，那此时抛物线的开口方向为向上或者是向下， 那么什么情况是向上呢？那就是 y 前面的系数为正的时候，那开口是向上的， y 前面这个系数为负的时候呢？那么此时开口是向下的，这是我们抛物线标准方程的形式。 你能说明二次函数 y 等于 a， x 的 平方的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标和准线方程。 只有我们清楚抛物线的一个标准方程的一个形式啊，它是等号左边是 x 的 平方或者是 y 方，那就是二次项等号右边是一次项的，所以我们对二次函数先化为是抛物线的标准方程， 那么可化解可得式 s 方等于 a 分 之一 y x 平方的话呢？从这里可以知道，我们的这个抛物线它是关于 y 轴对称的。 那既然关于 y 轴对称的话呢，那说明这个抛物线的开口方向是要么是开口向上，要么是开口向下了，那是分成两类。那么什么情况下是向上呢？那主要是看依次向前面的系数， 所以从这里可以分析，当 a 大 于零时， 那说明我们 a 分 之一就大于零，系数是大于零，那么此时抛物线的开口方向是向上的，那它的图像为， 那么这个是它的一个准线方程，焦点是在这里。那么首先我们的标准方程的一个形式是 s 平方等于二 p y， 所以 这个二 p 就是 等于 a 分 之一了， 从而求出 p 是 等于二 a 分 之一，而我们这个焦点的话，它是零逗号二分之一 p， 而这个准线方程是 y 了， y 等于负二分之一 p， 所以 得到式二分之一 p 就 等于 四 a 分 之一，所以这个焦点坐标为零。四 a 分 之一，准线方程为 y 等于负二分之一 p， 当 a 小 于零时呢？当 a 小 于零时，那其实 y 前面的系数是为负的，那只是抛物线的开口方向为向下， 那么指出焦点是落在这里，而这个是我们的准线方程了，那么这个准线方程 y 是 等于二分之一 p， 而这个是叫做是零逗号负二分之一 p， 所以它的一个焦点坐标为零逗号负四 a 分 之一，要 y 是 等于啊，这里带进来是负的四 a 分 之一啊，这里带进来是四 a 分 之一。 由 y 等于 a x 的 平方得到 s 平方等于 a 分 之一 y， 当 a 带零时，表示开口向上的一个抛物线，那么此时二 p 就是 等于 a 分 之一，从而求出 p 是 等于二 a 分 之一，进而求出我们二分之一 p 是 等于四 a 分 之一，从而求出焦点坐标和准线方程。 当 a 小 于零时，同样也求出焦点坐标和准线方程。 第三，已知抛物线 c y 等于二 s 平方，那它还不是我们标准方程的一个形式，所以的话，我们化成是 s 方，它是等于二分之一 y， 那 么从这里的话，我们可以知道这个抛物线的开口方向是向上的， 那此时的话，我们看一下，它求的是抛物线 c 的 交点，这个 c 啊，这个交点到准线的距离，交点到准线的距离， 那不就是 p 吗？所以这里的话呢，我们这里可以知道二 p 是 等于二分之一的，从而 p 是 等于四分之一，所以答案是选成 boy。 应用新知，已知抛物线的标准方程为 y 方等于六 x， 那 么 y 方等于六 x， 首先它是关于 s 轴对称，那么它的开口方向是向右的， 那么这个焦点是在这里，而这线就在这里了 啊，所以的话，从这我们可以得到二 p 四等于六，从而得到 p 四等于三啊。这个焦点是二分之一， p 都耗零，所以要把二分之一 p 出来，所以得到二分之一 p 是 等于二分之三， 从而得到我们焦点坐标为二分之三都耗零啊，得到我们这个准线方程为 x 等于负的二分之一 p， s 等于负的二分之三。 总结，根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程。第一步，标准化，先将抛物线方程标准化。第二步求 p， 令标准化后的一次项系数等于二 p， 即可求出 p。 第三步写对应的焦点坐标和准线方程，求满足下列条件的标准方程。第一个是这个抛物线是过点负二三， 首先我们这个点是在哪呢？负二三它是在第二项线的，那我们的抛物线经过第二项线的话呢，那么它的开口方向分为两类，那么第一类是开口方向是向上， 那么开口方向向上持，那此时这个抛物线它是关于 y 轴对称的，那么此时射出来的标准方程为 s 方等于二 p y， 那所以的话，我们可以将这个点带进来得到，是啊，这个横坐标是 s 方了，那就二的平方四等于啊，这个 y 是 三的六 p， 从而求出 p 是 等于三分之二， 所以得到的是 s 平方就等于啊，二乘三分之二， y 就 等于三分之四 y。 好，那么除了这个抛物线开口向上之外呢，那么此时还可以是抛物线是向左， 开口方向向左，那开口方向向左的话呢，那此时设这个标准方程为 y 方等于负二 p x， 那 我们依然把它带进来，那么这个 y 方就是三的平方是九了，就等于负二， p 乘以负二， 那么这既得到四 p 等于九，从而得到 p 等于四分之九，所以得到 y 方是等于负二乘四分之九 x， 那 就等于 y 方，就等于负二分之九 x。 所以下结论可得，我们这个抛物线标准方程为 s 方等于三分之四 y， 或者是 y 方等于负二分之九 x， 焦点在直线 x 减 y 加二等于零上。首先我们要清楚的，抛物线的焦点都是在落在坐标轴上的， 所以的话呢，我们把呃这条直线与坐标轴相交的那两个点的坐标先求出来，从这里画就可以列 x 等于零时，我们求出 y 四等于二， 所以这个焦点可能是零二，令 y 等于零时，那么此时得到 x 是 等于负二，那么此时焦点是负二零，所以当焦点在，所以当焦点为零二时， 那为零二的话，这个零二它是在我们 y 轴的正半轴，那 y 轴的正半轴，那说明此时抛物线的开口方向是向上的，那此时射出这个抛物线的方成为 s 方， 等于二 p y， 那 么焦点为零二，那此时这个二就是二分之一， p 是 等于二的，从而求出 p 是 等于四，所以就得到 s 平方，就等于八 y， 当焦点为负二零时，那么此时抛物线的开口方向是向左的，因为它是焦点落在 s 轴的负半轴上， 所以设出的标准方程为 y 方等于负二 p x， 那 么其中我们这里的二分之一 p 也是等于二，从而求出 p 是 等于四，从而得到 y 方是等于负八 x， 所以 抛物线的方程为 s 方等于八 y， 或者是 y 方等于负八 x。 例题二，一种卫星接收天线如下图所示，其曲面与轴表面的交线为抛物线，在轴表面内的卫星波束呈正视平行于状态射入行为抛物线的接收天线 经反射聚集到交调焦点处，如图所示。已知天收接收天线的口径为四点八米，深度为一米，是建立适当的坐标系。求抛物线的标准方程和焦点坐标 是建立适当的坐标系，那我们怎么去建立适当坐标系呢？那我们取这个这个为顶点， 这个直径的话呢？我们啊平啊，平行于直径，并且呢啊跟这个相切，这个是这个顶点作为圆点，这个顶点作为圆点，这样，那么这个是 y 轴，然后的话呢，我们这个这个圆点呢？拧过来，那么这个是作为 s 轴 啊，这样间隙的一个好处我们看一下啊，那由于他直径为四点八，那么这个是 a 点，那么这个是 b 点， 要深度为一米，深度为一米的话，那这里就单位长度是一了，所以的话，从而写出我们点 a 的 坐标，横坐标是一，那由于他直径四点八，那他这个是终点吗？那一半那就是二点四，对吧？那么抛物线已经知道是一个点，是一逗号二点四了。 首先的话呢，从这个呃间隙的话呢，我们很明显可以知道这个抛物线的焦点是落在 s 轴的正半轴的，那 s 轴的正半轴的话呢？那我们就可以射出抛物线的标准方程为 y 方，等于二 p x， 那 我们再将这个点内带进来，那就是二 p 等于二点四的平方，所以得到 p， 它是等于二点四的平方，除以二， 那从而得到 y 方，是等于那 p 除出来的，那么把它带进来，得到是二点四的平方 x， 那 这个就是我们的标准方程了啊。这个焦点坐标的话了，那我们看一下，我们 p 是 等于这一个的，那得到是二分之一 p， 那 就是等于四分之一二点四的平方， 所以就得到是四分之一二点四的平方。都好，你那我们把二点四的平方算出来就可以了啊。 如右图，在接收天线的轴结面所在平面内建立直角坐标系，是接收天线的顶点，即抛物线的顶点与圆点重合。焦点在 s 轴上 设，抛物线的标准方程为 y 方，等于二 p x， p 大 于零。有已知条件，我们可以得到点 a 的 坐标为一，逗号二点四，代入方程可得 p 等于二点八八，所以所求抛物线的标准方程为 y 方，等于五点七六 x， 焦点坐标为一点四四，逗号零。 总结，求抛物线实际应用题的一般步骤，第一步，解析，根据题目的适当的坐标系。 第二步，设方程，根据题设出合适的抛物线标准方程。第三步，求 p， 根据条件求出参数 p 的 值，得出抛物线标准方程。第四步，求解，求出所要求的量。第五步，翻译，将所要求的量翻译成实际含义，从而解决问题。 例六，如图一，太阳照是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物线形的反光镜。镜的轴洁面是抛物线的一部分，如图， 那我们即以镜的轴表面这里建立平面角坐标系。送水或食物的容器放在抛物线的交点处，则该容器就有六根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。 图中 f 点为放置容器处，其六个焊点在进口圆上，已知进口的圆的直径为十二 dm 进深为二 dm， 建立适当的坐标系。求抛物线的标准方程及焦点坐标，那么这个还是挺好，我们在这个 这个这个顶点为圆点进行间隙，这个是 y 轴， 是焦点落在 s 轴上，那么写出这个点的坐标，那这个总共是说，那就横坐标是六二六了。那么从这里的话，间接的话，我们发现抛物线的焦点是落在 s 轴的正半轴的，所以射出的方程为 y 方，等于二 p x， 其中 p 代理 好这个抛物线经过点 a 的， 所以我们将点 a 带进来就得到啊，这个是六的平方，就三十六，就等于啊 x 是 等于就四 p， 从而求出 p 是 等于九， 从而得到。我们标准方程为 y 方，等于十八 x， 所以 得到焦点坐标为二分之一， p 等于二分之一九，就等于四点五，所以焦点坐标为二分之一九，逗号零。 如图，在反光镜的轴节面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点，即抛物线的顶点与圆点重合。 s 轴垂直于进口，直径有已知可得点内的坐标为二，逗号零， 从而射出抛物线的标准方程为 y 方，等于二 p x， p 代零，把点 a 带进来，求出 p 等于九，从而得到抛物线的标准方程为 y 方等于 spa x， 即可得到焦点坐标为四点五到零。重要题型 题型一，根据抛物线方程求焦点坐标，求准线方程，所以我们对这个抛物线进行一个标准化，那么 y 方就等于把负四分之一处过来，那就是负四 x， y 方等于负四 x， 那 么这个 y 方它是关于 s 九对称的，所以它的开口方向是向左，那向左的话呢？那么焦点位置 就是在 s 轴的负半轴了。好，它的一个准线方程都处在这里了，那从这里我们可以得到这个二 p 是 等于四，从而求出 p 是 等于二，从而求出二分之一， p 是 等于一，所以它的准线方程为 x 等于一。 等一下调问，求抛物线 s 方等于负八， y 的 焦点坐标 s 方等于负八 y s 方，说明这个抛物线是关于 y 轴对称的，负八 y， 那 么它是开口向下的一个抛物线， 那么从这里的话呢，我们这个八是等于二 p， 从而求出 p 是 等于四，进而求出我们二分之一 p 是 等于二的，那所以它的焦点坐标为零负二， 你看下三好， y 方等于八 x， y 方，说明 y 是 有对称，那么八 x， 那 么是开口方向是向右的 啊。交点到准线的距离，交点到准线的距离就是 p， 那 这里的二 p 是 等于八的，从而求出 p 是 等于四，是距离为四。 分别求满足下列条件抛物线的标准方程，准线方程为这一个。那我们化解一下，是 y 是 等于负二， y 等于 four， 这条线是怎么画的？我们一起来画一下。 y 等于 four， 就是 这条直线了，所以这个抛物线它的开口方向是向上的， 所以竖出来这个标准方程为 s 方等于二 p， y 好， y 是 大于零的啊，这个二就是我们的二分之一 p 了， 所以求出 p 四等于四，所以得到标准方乘以 s 方等于八 y， 我 们看下第二个过点三四，这个点三四在第几象限呢？它在第四象限，这样是在第四象限的话呢，那么这个抛物线的开口方向可以是向右， 也可以是向下，那当它是向右时，那么设出这个标准方程为 y 方等于二 p x p 代入，那我们再将三复式代入，求出 p 即可。 同样道理，开口方向向下的时候，那么此时射出标准方成为 s 方，等于负号 p x p 大 一点，然后我们再将三负式带入，求出 p 即可。 我们看一下第三好，焦点在直线上。首先我们清楚，我们抛物线的焦点是在坐标轴上的，所以的话呢，我们对这个直线，把它与坐标轴的那两个焦点求出来， 那首先令 x 等于零，求出 y 四等于负五，所以它的一个焦点为零负五，令 y 等于零，求出 x 等于负十五，所以另外一个焦点为负十五都好，零，当焦点为零负五时， 焦点零零负五，零负五，它是在 y 轴的负半轴，那此时开口方向为上下， 那为相加的话呢，数出的方程为 s 方等于负 p， y y 大 于零，把 p 求出来，而这个五是二分之一， p 四等于五，求出 p 四等于十，所以得到 s 方等于负二十 y， 当焦点为负十五，逗号零时，负数逗号零时，此时这个焦点是在 s 轴的负半轴，那么所以这个抛物线开口方向是向左， 那只是射出抛物线的方程为 y 方等于负二 p x， 同样我们这个食物就是二分之一 p， 二分之一 p 是 等于十五，求出 p 是 等于三十，从而得到我们 y 方，它是等于负六十 x。 我 们一起来看看答案。 根据抛物线的方程求参数，若抛物线的焦点，这个抛物线并不是我们标准方程，所以我们对这个抛物线进行标准化，那么 s 方等于两边同时乘 m 等于 m y， s 方等于 m y， 那 此时这个抛物线的开口方向是向上或者向下，说明焦点是在 y 轴上的， 他说到直线 y 等于一的距离为一， 他的焦点到直线 y 等于一的距离为一。所以我们刚才已经分析了我们这个抛物线的焦点是在 y 轴上的， 那么首先我们将这个焦点求出来，那从这我们可以知道，这个二 p 是 等于 m， 求出 p 是 等于二分之一 m， 进而求出二分之一 p 是 等于四分之一 m 的， 所以它的一个焦点坐标为零，等号四分之一 m。 好，那不管这个交点在 y 轴上的，那么不管它这个开口方向是向上还是向下也好，那么这个交点到直线 y 等于一，这里是 y 等于一， y 等于一的话，那么这个是零四 a， 四分之 a 在 哪里？有没有问题？那么它的距离应该可以写成是我们用四分之一 m 减一的举例，值等于一， 你要把这个去掉绝对值就得到是四分之一 m 减一等于一，或者四分之一 m 减一等于负一，那么这里四分之一 m 就 等于乘二，求出 m 四等于八， 这里四分之一 m 等于零，求出 m 等于零，然后这里的 m 不 可能为零，所以求出 m 四等于八。 题型四，根据抛物线定义求动点轨迹，点 p 到直线 y 等于三，那像这种题目的话，我们可以通过画图， y 等于三 的距离比它到点 f 零负一，零负一，这个是负一，这个是点 f 的 距离大二， 那我们抛物线的一个定义，它是呃，点到线的距离和它点到点的距离是相等的，那不就是可以理解成是它比它大的话，那不就是它到 y 等于一的直线不是一吗？相等了吗？ 所以的话呢，那说明这个点 p 到 y 等于一的距离，它是等于它到点 f 的 距离是相等的， 相等的，那相等的话呢，所以的话呢，这个点 f 是 焦点， y 等于一是它的轴线方程的，这个焦点是落在 y 轴上的，那所以关于 y 轴对称，那射出这个抛物线方成为 s 方 等于，而且它的焦点落在是啊， y 轴负半轴，所以负二 py， 所以 从而这里排除了我们 a 和 b， 甚至也排除了 k。 答案是去选哦，算都不用算， 根据提意设点 p s y， 且点 p 在 y 等于三的下方，故点 p 到直线 y 等于一的距离和它到点 f 零一的距离是相等的，所以这个轨迹它是以焦点为零，负一，然后呢， y 等于一为准线的一个抛物线， 从而达到点 p 的 轨迹方成为 s 方等于负四 y， 这个这个一就是我们二分之一 p 四等于一，求出 p 四等于二，那么这个 y 方是等于负二 p x， 所以 得到是 s 方就等于负四 y 了，所以答案是对到 提醒物抛物线上的点到定点和焦点距离的和与差的锯齿。 好，那我们将这个抛物线画出来。 好，首先我们就求出这个抛物线的焦点坐标。二 p 是 等于十六， p 等于八，所以二分之一 p 是 等于四，所以这个焦点坐标是这个一 好三四四在这里，那么这个 f， 那 么就是零负四了。二好点 p 是 抛物线上的一点 m 点是负二三 负二三是大概这个位置的，对吧？他问我们这个啊，动点 p 到点 n， 就是 p m 嘛，与 f 距离之和最小值加上 p f， 其实这两条线段加起来是最小，就是这个点在哪里的时候。 那一般来说的话，什么才是距离之和最小呢？就是它把 p m 加 p f 刚好是一条线段，刚好一条线段，但有些时候可以是连接 m f 延长这里，那延长这里的话，它这也不是最小，因为 p m， 这里 p f， 它有重合了， 只有我们可以知道，是啊，抛物线的一个定义啊，这个 p 点是在抛物线，那 p f p f 的 这个距离，它到点的距离，它等同于到线的距离，所以这里我们要画一个线， 那么这个 x 哦， y 是 等于四，那么此时 p f， 它等价于把这个 p m 加上 d， d 是 指什么呢？这个点 p 到这条线的距离， 那么点 p 到这条线的距离，那么可以是这里，这，那么这两个加起来要最小，加起来最小，那假设这个点 p 在 这里， 那这个到这个线的距离和到点 f 的 距离是一样的，那么此时连接起来，对吧？那就是 d， 但是它换了，你看一下，这里连接起来还不是一条一条直的线段，那此时我们还可以是这里做垂直下来的时候， 那垂直下来这个距离就是最小了。所以点 p 在 这里的时候， 你看这个，这个为 n 啊， 从这里我们可以知道，就是啊，比如我们这个点 p 在 这里，那此时这个 p n 加上 p f， 它就是等于我们这个 p n 是 不变的，就加上 p f 就 等价 p n 了 啊， p m 加 p n 就是 等于 m n， 对 吧？这个 m n 就是 最短的啊，那么 m n 最短是多少呢？首先我们这里是啊，这里是四，这个 m 点是负二三，那么这里是三，加起来就是七 记。抛物线的准线方程为 l 点 p 到直线 l 距离为 d， m n 做垂直于 l 与 n 点 p m 加 p f， p m 加 p f 等于啊，低加 p m 就 大于等于 m 等于七。 当前仅当 p 为 m n 与抛物线的交点时，等号成立，就是我们这个点 p 在 这里的时候，那么此时是最短的。 总结，抛物线上的点到定点与焦点距离的和最小值条件，定点与焦点在抛物线的同侧。 方法，利用抛物线的定义，将曲线同侧线段和的问题等价转化为曲线异侧线段和的问题，然后利用三点共线时和最小得出锯齿，如图所示。 例题，抛物线 s 方等于十六， y 的 交点为 f 点， p 为抛物线上的动点点 a 为二零，则 p f 减 p 的 最大值是多少？那首先的话呢，我们这种题目还是竖形结合把图画出来。 从这里我们可以分析出来这个抛物线，它是关于 y 轴对称的，那么所以开口方向是向上， 那首先我们把它这个焦点 f 求出来，那就是二 p 就 等于十六，求出 p 四等于八，求出二分之一， p 就 等于四， 那么求出来这个是焦点，所以写一个焦点，那就是零四，那么焦点零四知道的话呢？我们也把这个啊准线方程求出来，就 y 等于负四， 好，然后它点 a 是 二零，这里问我们这个点 p 在 哪里时，点 p 是 在抛物线，那我想问一下点 p 在 哪里的时候，此时 p f 减 pa 的 长度是最大值呢？ 首先我们可以理解时，假设我们随意一个点 p， 这个点 p 是 一个动的啊，可以移动，那么 p f 的 长， 因为我们这个点 p 点 f 点 a， 它们是同侧嘛？这样是同侧的话，这三个点，那我们就换一下， 换一下是异侧的，那么此时这个 p f 的 常用可以转化成是点 p 到线的距离，那点 p 到线的距离，那么就是点 p 到这条直线的距离了， 那这个距离的话呢？我们这为，这里是呃，为 d， 那 这里是为 m 点，那就换成是 d 减去 pa， 好， 这个 d 就是 指我们的这个 pa 减去 pa， pa pa， 我 们要这三个点是共线的， 这个 a 是 定下来的，但是这个 p 是 动的，那 p 是 动的话，我们可以动到哪里呢？可以动到我们点 a 的 上方，这里，那垂直下来， 那这个 p 点在这里，这个 m 点在这里，那么这三点共线的嘛，所以从这里我们可以得到这个 p m 减去 p a 就 得到的是我们的 a m a m 的 长数多少呢？这是 s 九，而这里是 y， 等于负四，所以这里是四。答案是四，所以最大值为四。 总结抛物线上的点到定点和焦点距离的差的最大值调鉴定点与焦点在抛物线的一侧。 方法利用抛物线的定义，将曲线异侧线段差的问题等价转化为曲线同侧线段差的问题，然后利用三点公线时差最大得出最值， 如图所示。课堂小结抛物线及其标准方程抛物线定义 到定点的距离与它到定直线的距离之比为一。标准发场焦点在 s 轴正半轴时， y 方等于二 p。 x p 代领焦点在 s 轴负半轴时， y 方等于负二 p x p 代领 焦点在 y 轴正半轴时， s 方等于二 p。 y， p 代领焦点在 y 轴负半轴时， s 方等于负二 p。 y， p 代领焦点坐标及其准确发场 焦点在 s 轴正半轴时，焦点坐标为二分之一 p， 倒数零。准确方程为 s 等于负二分之一 p。 焦点在 s 轴负半轴时，焦点为负二分之一 p， 倒数零 x 等于二分之一 p。 焦点在 y 轴正半轴时，零逗号二分之一 p， y 等于负二分之一 p。 焦点在 y 轴负半轴时，零逗号负二分之一 p， y 等于二分之一 p。 抛物线的简单应用。

抛物线焦点先公式，你能熟练使用吗？ 记得点赞与推荐！

抛物线的交半径和交点弦公式是我们圆锥曲线的一个重难点啊，那么不知道同学们掌握的怎么样？ ok， 那 么今天呢，给大家分享的这个交半径和交点弦公式是什么呢？话不多说，我们上结论 好了，在这里面呢，我们把 a 点啊，如图所示， a 点到 f 的 距离我们叫做焦半径， b 点到 f 距离也叫焦半径，那么过焦点的弦长我们叫做什么弦呢？焦点弦？然后呢，除了题目中给的这些公式之外呢，我们还有哪些公式呢？在这啊，同学给大家写一遍，就 a f， 它等于 x 零加上二分之 p， x 一 加二分之 p， 然后呢，等于 p 来除以一加上 cosine theta 啊， b f 呢，等于 a x 二加上二分之 p， 然后等于多少 p 来除以一减 cosine theta， 那 么 ab 的 话就等于多少嘞？就等于 a x 一 加 a x， 二加 p， 再来等于二 p 除以 cosine theta 的 平方。 好来，这是我们的结论。好，记住这个结论之后呢，同学们，我们再来看吧，你看这个题你该如何写？先点个暂停来看一看。 ok， 来，我们来看看，如图所示啊，他所讲的是有一个点 是三斗 a 某，他到交点 f 的 距离呢，等于四，我知道 p f 等于四，对不对？然后呢，他的总切法在这，我们如何来求 p 呢？由我们椭圆的定义可知， p f 是 等于多少的？ 是等于 pm 的， 那么 pm 的 值是不是就等于三来加上二分之 p 啊，对不对？所以说，那么就四就等于三加上二分之 p， 推出来，我们的 p 等于几？ p 等于二？好了，第一问我们就结束。 ok， 来，我们来看第二问，第二问说的是在我们的抛物线中，过交点的直线 a l 与抛物线交于 a b 两点，而且 a b 的 长度为八，对不对？然后呢，由我们的交点弦公式就能得到， a b， 它是等于二 p 来除以三 in c， 它的平方等于几？等于八，二 p 等于讲四来除以三 in c， 它的平方等于八，那么三 in c， 它的平方就等于多少吧？八分之四，那么三 in c， 它就等于多少， 所以就等于二分之一，那么 c 的 平方等于二分之一，那么三以 c， 它就等于多少啊？所以二分之根号二对不对？那三以 c， 它等于二分之根号二的话，那么这个 c 它要么等于多少度？四十五度，要么 c， 它等于多少度啊？等于我们的多少度？一百三十五度。那我们可以知道斜率 k 等于一和 k 等于多少？ 负一对不对？好，那么交点坐标呢？又是等于多少呢？等于一斗几啊？一斗零。然后呢，用点斜式我们可以得到， y 减零等于一倍的 a k 十减一，那 y 就 等于 a k 十减一。 还有一个 y 减零，等于负一倍的 a k 四减一，那 y 就 等于负， a k 四加一。 ok， 好 了，这条直线方程 a 二就求出来了，同学们明白了吗？ ok， 那 么这就是给大家分享的交半径和焦点线公式，希望对同学们有所帮助，我们下期再见吧，拜拜！

抛物线焦点先公式，你能熟练使用吗？觉得有用别忘了给老师点个关注。

抛物线神奇结论，高二必会！

高中常考抛线重要公式！看黑板这几个公式啊，在抛线里边常常要用到，一定要会推到啊！一定要点赞收藏，学会关注，罗老师数学更上一层楼！

长跑的结论，秒下抛物线小题过焦点了，所以咱们所有的公式都可以用了，这个题非常简单。好，咱们用讲过的长跑的结论秒下抛物线小题，咱们先看第一题，那已知 o 为坐标，原点过抛物线这个的焦点 f 做直线， l 交抛物线与 a b 两点，那么给定条件是， o a 乘 o b 等于负的四十八，现在求的是九分之 b， f 减去 f 分 之四的最小值为多少？ 好，咱们先画图看一下题， a b 过交点 f g， a b 是 交点弦，它现在给了一个条件叫 o a 乘 o b 等于负四十八，对吧？相当出现，咱们用什么东西呢？哎，用坐标对吧？咱们设 a 点，坐标是 x 一 y 一， b 点坐标是 x 二 y， 则 o a 乘上 o b 就 等于 x 一 乘上 x 二，加上 y 一 乘上 y 二， 那这个只等于负四十八，那正常呢，咱们需要把 a b 和抛物线连立，得到 x 乘 x 二， y 乘二，对吧？但是呢，咱们有结论，咱们直接用结论可以直接秒掉。好， x 乘 x 二等于一个四分之屁方， 而 v 乘二的一个负屁方，所以减去屁方就等于一个负的四分之三屁方，那等于负的四十八， ok， 好， 那可以得到屁方的六十四，所以呢，得到屁 等于八， ok， 所以 利用结论的我，轻轻松松的把第一个条件处理完了，得到抛物线的方程了， ok， 那 第二个条件，这个市里边有 bf 和 f 的 吧？那我就要想，哎，哪个公式里边有 f 和 bf 的 关系式，那么代入是是不是可以统一变量，从而求它最值是不是？好，那我们看一下哪个市里边有 f 和 bf， 是 不是？咱们知道 f 分 之一 加上 b f 分 之一等于 p 分 之二，那就等于四分之一。 ok， 好， 那么这样的话，我是不是可以把这里边的 f 或者 b f 呢给带掉了，对吧？ ok， 好， 那么这边有 f 分 之四，那我就把 f 保留，那就 f 分 之一 就等于四分之一，减去 b f 分 之一。好，我把式子带入咱们所求条件里边，那所求的式子是九分之 b f 再减去 f 分 之四，那就等于 九分之 b f 再减去 f 分 之一等于它，那就减去四倍的 四分之一，减去 b f 分 之一。 ok， 那 等于九分之 b f， 再加上 b f 分 之四，减去一横列前面是个均值等式。好，它就大于等于二倍的根号，加它两相乘，那就九分之四， 再减去一。好，那九分之四可以三分之二，那三十四减一就是三分之一。 ok， 好， 那么所以最终结果是三分之一。好，咱们总结这个题其实是一个非常简单的题，那么首先呢，由于它过焦点了，所以咱们所有的公式都可以用了，对吧？ 好，那么 o i 乘 o b 等于负的四十八，那么转化成坐标，那坐标的话，立马可以算出 p 等于八，这样的话，抛物线方程就知道了。 好，再看，他求的是 f 和 b f 相关的一个式子的最值，那我就找到 f 和 b f 的 关系，那就是 f 分 加 b f 分 一等于 p 分 之二。好，那么然后呢？代入之后呢？用均值不等式就搞定了。好，所以这个题非常简单啊，希望大家掌握一下。

抛物线的钟点线公式用于点叉法，同学们记得住吗？ ok， 如果说不知道，那么就跟着刘老师的脚步走起来吧！哈喽，各位同学，我是数学刘老师，那么在前段时间呢，我们讲了椭圆和双曲线的钟点线公式，那么今天呢，我们来讲一下我们抛物线的钟点线公式。 ok， 话不多说，直接上结论。 我们在这呢只讨论两种情况，一种是焦点在 a k 十轴的正半轴啊，一个焦点在 y 轴的正半轴。然后呢，我们有两个焦点线公式，一个是 k 乘以 y 零等于 p， 一个是 k 分 之一乘以 a k 十零等于 p， 这里的 k 表示的就是直线的什么律 斜率，这个 y 零就是讲的是这个焦点吗？它这个弦长的终点坐标，我们说是 a k 十零多多少 y 零。好，有了这两个结论之后呢，同学们，你们来看看这个题如何写？ ok， 来花两分钟暂停一下看看。 ok， 来，同学们来看一看啊，这个题目中讲述一下，抛物线 y 方等于四 x， 那 么二斗一啊，是我们抛物线过什么二斗一条直线与我们的这个吗？抛物线交于 a b 这条弦 对不对？好，那么 a b 这条弦，我们知道它的中点多少嘞？ p 点呢？二斗一还是它的中点？那我们怎么来求 a b 这条直线的表达式嘞？ 同学们，我们来看一看啊，那么我们首先呢，我们可以得到什么呢？就是由我们的什么钟点线公式的 k 乘以 y 零等于 p， 对 不对？那这里的 k 不知道 y 零等于几啊一，那 p 等于几啊？ p 等于二，那么 k 就 等于几啊， k 就 出来了，同学们，那么求它的直线方程怎么办啊？对不对？那么接下来我们就什么 y 减一等于二倍的 a k 是 减二，对，那 y 就 等于二， a k 是 减几减三？好了，同学们，我们的中点弦公式就讲完了，那如果说同学们啊，再问大家一个问题，嗯，如果说你不知道中点弦公式， 那么你如何来写这个题？好，把这个问题留给大家，欢迎同学们在评论区踊跃发言。 ok， 那 么刘老师这一期的分享就到此结束了，我们下期再见吧，拜拜！

八条结论，秒下多选择题 a、 b、 c、 d 四个选项可以直接套公式得到了。好，咱们利用咱们讲过的八条结论，秒下多选择题。 咱看这道题说抛物线 c y 方等于二。 ps， 交点是 f 过交点 f 的 直线 l 与抛物线 c 相交于 a， b 两点交抛物线 c 的 准线与点 d， 那么核心条件是 b 的 等于二倍的 b f， 那 就说 f 是 b 的 中点，并且它告诉你 fa 还等于二。好，咱们处理一下条件，那么 b 的 等于二倍的一个 b f， 那 么 f 是 b 的 的中点 啊，那也说明 b f 是 也等于二分之 b 的 吧。好，而 b f 可以 转化成一个 b b 撇， 那也就说 b d 等于二倍的 b b 撇好，姐，就可以得到这个角等于一个 三十度。哎，三十度所对的直角边等于斜边一半，是吧？如果这个角等于三十度，那我立马可以得到这个角就等于六十度。 好，也就说倾斜角我知道了。好，那咱看一下第二个条件，它告诉 fa 等于二，那么 a 在 下面 fa 的 话就等于 p 除以一，加上 cosine r 法。 好，那就等于 p 除以 cosine 数等于二分之一，所以这边等于二分之三，它等于二，那立马可以得到 p 就 等于三。 ok， 这样的话，抛物线的方程就知道了。咱们看各个选项， p 如果等于三的话，焦点 f 应该是二分之三到零，所以呢， a 就 错了。 好，那么直线 ab 的 方程也有了吧。倾斜角知道点，知道，那就是 y 等于根号三倍的 x 减去二分之三。 ok， 所以呢，二 b 是 正确的。 再看一下，说点 b 到准线距离就是 b b 撇，而 b b 撇就等于 b f， 那 么 b f 就 等于 p， 除以一减去 cosine r 法好， p 等于三，那么一减 cosine r 法等于二分之一，所以得出 b f 就 等于六好，所以呢， c 是 正确的。再看四 d 选项， 问的是三角形 a o b 的 面积， ok， 这个特别熟悉吧。 a o b 的 面积就等于一个屁方，除以二倍的 a sin r 法， 那么屁方等于九，二倍的 sin r 法等于二分之根二三，所以呢，就等于一个根二三 好，所以就等于三倍根二三好，所以呢，四 d 也是正确的。所以这个题选的是 b c d 好， 咱们总结这个题，那么这个题给了两个条件， b d 等于二倍的 b， f 以及 f i 等于二。那咱们根据第一个条件，加上定义转化，可以得到倾斜角等于六十度，好在由于告诉 fi 了，那就可以算出 p， 进而得到抛物线的方程。 ok， 得到抛物线的方程呢？ a b， c d 四个选项，那就可以直接套公式得到了。好，这是关于这个多选题。

hello， 各位数学家，咱们今天讲一个抛物线的焦点弦问题，那么这个题呢，是去年高二上学期实验滨海期末的最后一个填空题，还挺重要的啊，咱们一块来讲一下啊。 那么咱们呢，讲这个焦点弦之前呢，先铺垫一下基础知识，咱们就以 y 方等于二 p x， 把开口朝右的这种抛物线为例来说一下交点弦怎么去算。那其实呢，这个交点弦长啊，指的就是线段 m 的 长度，这条直线呢，是过抛物线的交点的，交于 m 两点 m 的 长度就是所谓的交点弦。那么我们在算交点弦的时候呢，其实有两种算法，有两种算法啊，最常用的是第一种，也是第一种定义法啊， 那我们知道抛线上点呢，到交点的距离等于到准线的距离，所以啊，咱们在这个图里边呀， 我们知道这个 m n 的 长度由两段组成，一个是 m f， 一个是 n f， 那 这个 m 点到 f 点的距离呢？ m f 是 不是可以表达成 mm 一， 对不对？然后这个 n f 呢，就是 n n 一。 好，那我们再看，那 m m 一 是不是也可以分成两段呢？一段是 m 一 到 y 轴的距离，也就是二分之 p， 还有一段呢，是 m 点到 y 轴的距离，也就是 m 点的横坐标 x 一。 那同理， n n 一 的距离呢，也是由两段组成的，一个是二分之 p， 一个是 x 二，对吧？ 那也就是说 m m 一 可以写成 x 一 加上二分之 p， 同时 n n 一 就是 x 二加上二分之 p， 那 我们现在给它整合一下，就可以表达成 p 加 x 一 加 x 二。 好，那现在我们会发现啊， p 加 x 一 加 x 二，其中有这个 x 一 加 x 的 结构，那是不是就是用直线方程和抛线方程连立之后的尾答，就可以得到这个 x 一 加 x 二啊， 对吧？所以呢，我们为了下一步计算 s 加 s 二，就可以选择用直线方程和抛线方程连立的方式啊。来，你看这个直线，比如说它这个斜率，咱们给它设成 k 吧，那么它过焦点过的是二分之 p 零，所以咱们这个直线方程 l 就可以写成 y 减零等于 k 倍的 x 减二分之 p， 然后和外方等于二 p x 去连立。那我们通过尾答 啊，我们通过尾答再带回到刚才这个 m n 表达式里边，就可以求九两弦了，是吧？那这个过程呢，我后面就不再算了，一会结合咱们这个实一体去算一下啊。好，这是第一个方法定义法，也是最常用的啊，那么咱们还需要再补充一个第二个方法。 第二个方法是啥呢？是倾斜角，是倾斜角。 那咱们来看啊，这个直线 l 经过了焦点 f， 那 么直线的倾斜角就是直线向上的方向和 s 轴正半轴所形成夹角，所以这个倾斜角的位置是不应该在这啊，对吧？咱们假设这个角是 c， 它， 那我现在给大家补充一个结论啊，那这个时候 m f 的 距离啊，这段长度啊，咱们可以用 p 除以一减 cosine theta 来表达， 然后这个 n f 呢，就可以用 p 除以一加 cosine theta 来表达，一个一减，一个一加。这个我就不再给大家推导了，大家可以记住这个东西啊，那这个 theta 角呢，就是直线 l 的 倾斜角啊， 那它有啥用呢？你会发现我这个时候再算 m n 的 时候可以怎么算了？是不是可以用 m f 和 n f 直接相加，就是 p 除以一减 cosine c 的， 再加上 p 除以一加 cosine c 的， 然后咱们再通分，这个分母呢，是一减 cosine c 的 乘一加 cosine c 的， 然后这个分子就是 p 乘一加 cosine， 加上一个 p 乘一减 cosine。 好， 然后我们再给它整理一下，这个分母是平方乘公式，就是一减余弦的平方，那就得到正弦的平方，是 cosine 的 平方，对吧？ 然后这个分子整理完之后呢， p 乘以 cos 的 正好消掉了，所以分子就剩二 p 了，那你会发现，我是不是可以直接利用带倾斜角这个表达式去计算 m 的 长度啊，对吧？那也就是说，如果题目告诉我直线斜率的话，我就能知道 倾斜角的正切值，我再通过正切值算出正弦值就可以了，对吧？好，那么交点弦呢？主要有这两个算法啊，然后咱们结合这个实一体来看一下啊。 那么首先他告诉我外方等于四 x， 所以 这个焦点坐标呢，应该是一零，对吧？应该是一零。 然后这个直线呢，是 y 等于 k s 减 k， 那 你会发现这个把 k 提出来是 k 倍的 x 减一，他一定会过一个定点，是不是过一到零这个定点呢？也就是说过抛物线的交点，所以这个 a 选项肯定是对的，是吧？ 然后 bc 两个选项都是取 k 等于一的时候，对吧？然后我们去算一下这个焦点弦。那首先呢，我先用定义法来帮大家写一遍啊，那你看定义法，那我们就需要连力了，对不对？所以这个时候直线 l， 它的方程是 y 等于 x 减一， 然后这个抛线的方程呢，是 y 带入再平方以下，就得到 x 方减二， x 加一等于四， x 也就是 x 方减六， x 加一等于零，那此时它的尾答， x 一 加 x 二等于负的 a 分 之， b， 是 应该等于六啊，对吧？等于六。那么此时的 m n 的 弦长就是 p 加 x 一 加 x 二， 咱们带去啊，因为外方等于二， p x 二， p 等于四，所以 p 等于二，然后再加上六，这个时候它的焦点弦就是八，对吧？ ok， 那 我们把这个写完之后呢，就知道这个 c 选项肯定是对的，然后这个 b 选项呢，横坐标之和就是 x 一 加 x 二，对不对？ 那他这个和呢，应该是等于六的，所以这个 b 选项就错了，对吧？好，那刚才呢，咱们就是用第一个方法定义法来写的，那我们再试一下第二个方法，用倾斜角来写啊。 那你看，那现在我们已经知道这个斜率 k 等于一了，那意味着斜率 k 等于角的正切，它的 c 的 就等于一，所以这个 c 的 角呢，应该是四十五度，那么他的正弦值就是多少，就是二分之根号二。 然后我们再把它带到公式里边，你就会发现， m n 等于二，屁是四，再比上二分之根号二的平方，对不对？ 所以它就等于四，再比上二分之一等于啥？等于八？哎，那这样和咱们刚才咱们算的这个结果是吧？都是一样的，用定义算的都是一样的 啊，但他一个缺点是什么呢？就是没法知道横坐标之和了。那这个时候呢，我们这个 x 一 加 x 二，其实我们可以反推一下，就可以用 m n 再减去 p， 可以 自己算一下，对吧？就是八减二，应该等于六， 这样也能算出来， ok， 那 这个焦点嫌长呢？用这两个方法应该都给大家讲清楚了啊。那这个题还有最后一个选项，就是以 m n 为直径的圆， 他说这个圆呢，要和准线相切，这个其实也是一个结论，这个是对的，是一个结论。这个怎么做呢？大家可以这样来理解，首先以 m n 为直径的圆，那么这个圆的圆心一定是 m n 的 终点，对吧？那此时呢，咱们找出它的终点，比如说这个终点在这吧， 对吧？点 p 是 它的终点，那么如果我要去验证 这个圆和准线是否相切的话，那我是不是应该算一下圆心，也就是点 p 到准线的距离啊？对吧？所以我们接下来需要算的长度就是什么呀？就是点 p 到准线距离，验证一下这段距离和半径之间的关系，如果等于半径，就肯定相切嘛，对不对？ 好，那首先我们知道这个半径 r 呢，肯定是等于什么呀？肯定是等于 这个 m n 焦点弦的一半，因为 m n 是 直径嘛，这等于二分之一 m n 的， 那这个 m n 呢，又是 x 一 加 x 二加 p， 然后再除以二，好， ok， 然后我们再看啊，这个点 p 啊，到准线的距离，比如说这个垂足是 p 一 吧，好吧，是 p 一 吧，那此时这个 p p 一， 它其实也是两，它其实呢，是不是相当于一个梯形的中位线呢？对不对？这个梯形的上底就是 m m 一， 这个下底是 n n 一， 那是不是相当于是上底加下底的和再除以二，就正好是这个梯形中位线的长度啊？对吧？好，那此时我们会发现，那我们再结合定义啊，这个 m m 一 加上 n n 一， 是不是就转化成了 m f， 再加上 n f， 对 不对？所以在结合刚才咱们讲这个定义，是不是就直接等于二分之 m n 呢？ 对吧？好，那现在我们是不是得到了一个结论，就是 ppe 正好和半径相等的，也就是说圆心 到直线的距离正好和半径是相等的。那我是不是可以通过哎，刚才咱们这个方式 验证出这个四 d 这个选项也是对的，是吧？其实它就是一个结论。这个结论呢，也不难理解，是吧？就是通过梯形的中位线去检验就可以了。 ok， 那 这个题应该给大家讲清楚了。

难倒无数学子学不会，你打我。