数学函数压轴题八年级上册

看看这个怎么做？关于一次函数，它的图像与性质这块呢，是重中之重，但是很多娃掌握的并不扎实，咱们借这道去年的期末选择压轴题来帮助你查漏补缺，看看掌握的咋样。说给了这两个一次函数的图像，让你判断下边三个哪个是正确的。 先看第一个， a， d 加 bc 大 于零，显然得判断它们的正负，也就意味着你必须得掌握这个 y 等于 k， x 加 b 这个一次函数 kb 对 图像的影响。 那 k 呢，决定它上升下降嘛，所以这里的 a 它是下降的， a 是 负的，这 c 呢，上升的就是正的。从左往右来看的，那这个 b 就是 x 得零时， y 等于 b， 决定和 y 轴的交点， 所以 y 一 这里和 y 轴交在正半轴，它是正的。 y 二呢，和 y 轴交在负半轴， d 就是 负的。那这样你看 a 乘 d， a 乘 d， 两负的相乘，显然它是正的， b 乘 c 呢，两正的相乘也是正的，所以相加大于零。第一个是对的， 那接着看第二个，其实如果你实际碰到啊，观察四个选项都有二，那显然它是对的嘛。不过呢，我们要看看为什么那像这种呢？你就看看它们转化之后和解析式之间有什么关系。你看，咱把括号去一下，变成三 a 减三， c 等于 d 减 b， 现在和解析式还看不出来直接关系，因为这边 ab 是 一伙的，所以咱把 b 给它拉过来，三 a 加 b， 这边 c 过去，三 c 加 d。 那 这样你去观察这两个式子和解析式的关系，是不是发现了，这不就是 x 等于三的时候吗？ 咱只要把 x 等于三代入这俩解析式，就得到三 a 加 b 和三 c 加 d， 那 这两个式子就是对应的 x 等于三十，这对应的函数值。显然在图像里观察 x 等于三十，图像有交点， 说明此时函数值相等，那这个二就是对的。所以像这种出现了比例系数还有常数的，可以把它化简之后观察一下和解析式的关系。 那第三个 x 的 值每增加一，这 y 二减 y， 一 的值呢？增加 d 减 b， 这句话啥意思？咱举个例子，比如说给一个解析式， y 等于二， x 加一，这 x 每增加一呢？比如我们取 x 等于一和二， 此时这 y 分 别等于多少？一的时候，二乘一加一，这边呢？是二乘二加一，那你会发现这个 x 它每增加一，这 y 呢就增加了二， 是不是和前边这个系数有关系？那反过来，如果是 y 等于负二， x 加一， k 是 负的，咱知道 y 随 x 增大而减小，也就是说 x 每增加一，这 y 呢就减小二了。 那这样的话，我们只要把 y 二减 y 表示出来就可以了。那回到这两个相减，解析式分别代入 c， x 加 d 减去 ax 减 b， 那刚才说了和 x 的 系数有关，所以咱把它提一块，得到 c 减 a 倍的 x 加上 d 减 b， 那 观察一下，这里是 c 减 a， 上边选项是 d 减 b， 那 他俩的关系在圈二就发现了 三倍的 a 减 c 等于 d 减 b， 那 c 减 a 的 话，是不是提个符号，那把圈二变形得到三倍的负的 c 减 a， 等于 d 减 b， 把这符号和三都移过去， c 减 a， 就 等于三分之一的 b 减 d， 那 把它再带回来，就得到了 三分之一的 b 减 d 乘 x， 加上 d 减 b， 那 就意味着 x 的 值每增加一，这个 y， 二减 y 的 值呢？它就增加三分之一 b 减 d， 或者说增加 c 减 a， 因为 c 是 正的， a 是 负的， b 也是正的， d 是 负的，两相减显然是正的，所以小圈三就是错的。这题只选一二，也就是 a， 那 就到这每天进步一点点，咱们下一题见。

这道题呢，是去年泰州的期末考试题，他的难度系数呢？四颗星，要比上面一道题稍微难一点。这道题虽然他也考察的等腰三角形存在性问题，跟上面这个第九题考察的知识点其实是一样的，但是他们是有区别的，区别在哪里？ 上面这个题目中的等腰三角形中三个点，三个顶点啊，只有一个顶点是动点，另外两个顶点是定点。但对于这个题目而言，你看一下啊， 他所要考察的得到的三角形是等腰三角形的三个顶点，他都是动点。那我们一起看题目，在平面直角坐标系中， a 点 b 点坐标都给我们了，那直线 ab 的 解析式我们肯定是能求出来的。 那么过点 c 呢？ c 是 线段 ab 上，并且不能超过这个 a 的 上面，也不能跑到 b 的 下面去，而且不能与 ab 重合。 那么过点 c 做 ab 的 垂线，与 x 交于点 d， d 撇是 d 关于 y 轴的一个对称点哦，我们发现最后问你这个三角形是等腰三角形时点 d 的 坐标哦，最终居然求点 d 的 作，不是求点 c 的 坐标，那这个题目你就可以把它想象成点 d 是 y 轴负半轴上的一个点，是吧？ 那么过点 d 做一条 ab 的 垂线，垂足为 c， 然后呢，点 d 关于 y 轴的对称点为 d 撇。所以此时此刻这个三角形问你什么时候为等腰三角形，那 这时候点 d 的 坐标是什么？那么对于这个问题，我们看一下，我们最终既然要求点 d， 那 我们要设的是点 d 的 坐标，那我不妨设这段长，或者设这个长度是什么？你比如说设它的点坐标，横坐标是 m， 纵坐标是零啊，但是我们看一下，对于这个题目呢，既然 我们在设坐标的时候，其实影响不是很大的情况，我们也可以设线段长，比如说设这个线段长是 m， 这个线段长也是 m， 这样我们的 m 到就是正数，可以理解吧，没有涉及到负数的问题。好，那这时候如果这个三角形是个等腰三角形而言啊， 是这个三角形是等腰三角形，那么有几种情况呢？首先看一下能不能是 dc 等于 d 撇， c 这两个能不能相等，你想想， 肯定不能，为什么？因为你 d 和 d 撇是关于 y 轴对称，那如果要呃到我们线段两段距离相等的点在线段的垂直面上， y 轴是 b、 d、 d 撇的垂直面线，所以 c 点必须出现在 y 轴上， 而 c 点很明确的告诉我们，在线段 ab 上，并且不与 ab 重合，所以 c 他 不可能跟 a 重合，所以此时 c、 d 跟 c、 d 撇永远他俩不可能相等，那么所以这两个三角形为等腰三角形。只剩下两种情况呢，第一种就是 c、 d 等于 d、 d 撇， 第二种情况就是什么呢？哦， c、 d 撇等于 d， d 撇，就这两种情况，那我们一个一个看，如果是 c、 d 等于 d， d 撇，哦， c、 d 在 这 d、 d 撇我们已经设为二 m 了，那么 c、 d 是 不是也是二 m？ 那 关键我们要求的是什么呢？我们要求的是 m 的 值，那 m 的 值怎么求呢？那感受一下，因为这个题目告诉我们这段长度是几是六吧。哦，那这个长度是六， 嗯，那这个长度是多少？我们能算出来是不是六加 m 啊？所以很快就知道，原来我们说的这段长度是不是就是六加 m 啊？我把它画出来，这段长度就是六加 m， 那 有什么用呢？注意，这个三角形，其实他的名字叫什么？用我们之前老师讲的黑魔法，五大黑魔法来解决这个问题的话，你是不是瞬间能够发现，这个三角形他有个名字，他有个最好听的名字，我们最喜欢听的名字，他的名字叫三四五三角形吧。 那么三四五三角形的大角在这，哦，那对于这个直角三角形而言，你看他的大角又跑到这个直角三角形里面，哎，两个直角三角形，他的大角居然是一样的，所以这个三角形是不是也是三四五啊？三四五， 所以由此可见，这条边与这条边的比值是不是就是四分和五分的关系啊？所以从而我们就能够列出一个关系式，什么关系式呢？ c d 比上一个 b d 是 不是就是四比五的关系啊？ 哦，很快我们就有了。 c d 是 什么？ c d 是 二 m 比上 b d， b d 是 六加 m 等于四比五，所以我们瞬间就能求出 m 的 值，那 m 的 值是多少？这个就是同学们可以口算一下， 这边交叉十 m， 这边是，呃，六四六二十四，二十四加四 m， 那 就六 m 等于六，所以六 m 等于二十四啊，所以 m 等于四， m 等于四，所以立刻就有点 d 的 坐标就是负四零，注意，我 m 设的是线段长哦。好，下面接下来我们继续看。如果是 c d 等于 d d 撇呢？这种情况呢？ c d 撇等于 d d 撇，哎，这两个相等，要你像直角三角形斜边上的某一个点和直角顶点连线，跟这段相等，啥意思啊？ 哎，这个地铁一定是 b 地的终点，同学们能不能想明白为什么是终点？来，我们证明一下，如果这条边跟这条边相等，是不是意味着这个角跟这个角相等啊？来，我们标一标用红色的笔。这个角一不就立刻等于角二了吗？ 看得懂吗？而角三跟角二是互余的，角四跟角一又是互余的，那等角的与角相等，所以是不是就能得到角三等于角四啊？角三等于角四，所以 c、 d 撇不就等于 b、 d 了吗？哦， c、 d 撇又等于 d d 撇， c、 d 撇又等于 b、 d， 所以 我们的 d、 d 撇不就等于 b、 d 吗？ 从而就能够得到。哦，原来我们的 d 是 b、 d 的 中点，是吧？那这个证明我就简单的写一下，因为角一等于角二，哎，很快就能得到角三等于角四，那有角三等于角四，所以立刻就得到 c、 d 撇就等于 b、 d 撇 得到 c、 d 撇等于 b、 d 撇，所以，又因为什么？又因为 c、 d 撇等于 d、 d 撇，所以立刻终点就有了啊！有了这个终点，那接下来这个题目就简单了呀。既然是终点，所以我们的 d、 d 撇不就等于二分之一的 b、 d 吗？所以这个就是我们的 d、 d 撇等于二分之一 b、 d， 那 代入数据就是二， m 就 等于二分之一，括号六加 m。 解一下方程，二分之一，括号六加 m， 所以 m 很 快能够得到。 m 就 等于二，所以 m 等于二的话，立刻就有了。 d 点的坐标是负二零，最后的答案就可以写出来了，负二零或 四零结束，所以这个题目比刚才上面道题稍微难一点点，不像上面那个，你直接用两点间距离公式就能解决。对于这个题目，你必须对它进行分类讨论，然后每一种情况单独去分析，找到它们的关系式。

江苏八年级的小同志看一下，这个数形结合呢，是初中非常重要的数学思想。那这个小题就是关于一次函数和二元一次方程的数形结合，他也是之前呢无锡的中考一模一样题。咱们来看看这里边有什么门道。说华洛庚先生曾说，数缺形时少，直观 形缺数实难入微。这句话在七年级学乘法公式的时候见过，那后边两句就是数形结合百般好割裂，分家万事非。我们来看看怎么用数形结合搞定。它说已知函数给了个分段函数，且关于 x， y 的 二元一次方程， 告诉你有两组解，问 a 的 范围。那你得知道二元一次方程和咱们学的一次函数有啥关系？ 那我们知道一次函数是 y 等于 k， x 加 b 这样的形式，那我把 y 给它一个项， k x 减 y 加 b 等于零，这不就是二元一次方程了吗？所以回到这，把这个二元一次方程 y 给它一项， 就得到了 y 等于 a， x 减二 a， 这就是一个一次函数的直线。现在说这个方程呢，有两组解，它是关于 x， y 的 x， y 呢？也满足这样的函数关系，那就意味着这个直线和上边的分段函数有俩交点呗。 那咱就找找有两个焦点时 a 的 取值范围。所以要先把分段函数化出来，那就是 y 等于 x 往上移一个单位，如果正常来画 y 等于 x 加一呢？它长这个样，但是分段函数注意它的自变量取值范围只是 x 大 于等于零， 也就是只取到这一半。当然这是无限延伸啊，那至于 x 小 于零的，这边就不取了， 那接着画 y 等于负 x 减一，也就是 y 等于负 x 往下移一个单位，大概长这样也是同理，它只取这里 x 小 于零的部分， 对于 x 大 于零这边的一半呢，他就不取了，同时注意这里的等号取在上边，下边没有，那分段函数画好了，刚才说这个直线和分段函数有俩焦点，那该怎么画呢？这平面里边有很多各种各样的直线呀，显然不是乱画， 我们要从这个解析式， y 等于 a， x 减二， a 入手。你这样理解， a 的 值一变，这个直线就跟着变。那如果我们想找他有没有固定过的一个点，是不是只要和 a 无关就行了？可以用七年级学过的与 a 无关的方法来找过的定点， 那都知道与谁无关，这谁前面的系数为零吗？所以让 a 前面的系数为零，那把这 a 提出来， x 减二 a， 所以 当 x 等于二的时候， a 前面系数为零了，无论 a 怎么变，这 y 呢，它都是零， 所以它一定过的点就是二到零。那既然过了，定点就好找了吗？我们把点标出来，这是一负一， 二斗零，大概在这这个直线呢，要过二斗零，还得和这两个分段函数有俩焦点，我们就找找他的临界范围。什么意思？比如说你看我随便画一个， 这样的话，有几个焦点，显然只有这里一个，因为他是分段的，到这就没了，所以我们把这个绿线给他转起来 看一看，到哪的时候会有两个焦点，还得过二斗零啊。那其中一个临界值是不是和下边这条线平行的时候？在平行的时候，我只和上边有焦点，和下边没有， 但是我一旦往下走一点，那就和这里有了焦点，和上边这延长出去之后啊，就肯定有了。我画的斜一点啊，没地方画。那他接着从这走，走到哪里的时候就只有一个焦点了呢？ 你看到这显然就只有一个，所以再往上一点，是不是正好过这个零豆一的时候，我们能和零豆一有交点，和这条直线也有交点， 所以找到了范围就在这两条直线之间。那接着去找 a 的 范围啊，你看这个 a 呢？我们对比这个一般的解析式， y 等于 k， x 加 b， 他 既出现在 k， 这也出现在 b 的 位置，所以我们两个方向都可以。 比如我把这个图像和 y 轴的两个焦点算出来，那这个 b 的 范围就在这一段，也就对应负二 a 的 范围，在这一段就能得到 a 的 范围了。那我们先用这个试试，显然下边已经出来了，这是一嘛，而这个图像呢，和 y 轴的焦点是零度负二 a， 所以 我们这个负二 a 得比这个一要大，大于一，那你看能取等不？因为这里是实心，刚才的等号注意了， 所以等于一的时候呢，他正好过这里的零豆一有一个焦点，和这边图像也有一个焦点，所以可以去等。那接着上边这里上边这条绿线和下边这个是平行的，所以斜率我们知道和这里的负一一样， 它就是 y 等于负 x， 这个加的 b 该怎么算？你可以这样去把它过的二逗零的代入， x 是 二， y 是 零，所以 b 等于二，那就负 x 加二，那这里的这个焦点呢？就是零逗二， 我们刚才说了，负二 a 是 要比这个二要小的，不能取到等号，所以负二 a 小 于二 取等号就平行了吗？和下边这里没有交点了，把这个解出来， a 的 范围就出来了，这边除以负二呢？不，等号变号小于等于负二分之一，下边除以负二， a 大 于负一。那当然咱们还可以从这个 k 来入手，也就是它的倾斜程度，斜率吗？ a 出现在了 k 的 位置，我们把这两条绿线的 k 算出来，在这个范围之间就行了。那上面这里我们刚才算过了，他和下边这个平行，所以他的 k 是 负一， 那下边这条呢？他过的点是零豆一同时过二豆零，你待定系数呢？能直接算，不过我们也可以口算，这个 k 是 等于一减零，除以零减二，也就是负的二分之一， 那直线呢？在这两个 k 之间，所以 a 的 范围就在负一到负二分之一之间。那取等号的时候要注意，我们是可以取到负二分之一，这里 刚才说过了，这是实心的吗？所以小于等于负二分之一平行的时候只有一个焦点取不到，所以不能等于负一，最终和这边一样，那就到这每天进步一点点，咱们下期见。

哇哦，刚才有一个初二学员问了我这么一道题，那我一看，竟然是要求比例系数的范围，这个在初中里考的并不多啊。那这道题呢，对于绝大部分孩子来说都是比较困难的。 在讲这道题目之前，我首先需要做一些知识铺垫。学过一次函数的同学都知道啊， y 等于 k， x 加 b， 对吧？当然，这个 k 是默认不等于零的， 这个 k 呢，我们把它称之为比例系数。 k 的正负其实决定了直线的倾斜方向。当 k 大于零的时候呢， y c， x 增大，而增大 体现在图像上呢，直线是上扬的。比如我们可以来看这样的三条直线啊， y 等于二分之一 x， y 等于 x 和 y 等于二 x， 他们的比例系数 k 呢，分别是二分之一、一和二，这个 k 呢，都大于零，你看直线是不是都是上扬的？同样 的啊，如果当 k 小运的时候，比如我取三条直线，当 k 等于负，二分之一负一以及负二的时候，我们发现这三条直线都是下降的。所以我们说啊， k 的正负决定了直线的倾斜方向，这个是都能理解的。 但我接下来要说的这个知识点，可能大部分同学呢，是没有思考过的。我们看这三条直线，他们虽然都是上升的，但是他们的倾斜程度不一样，比如这条直线呢，相对比较平缓， 这条直线呢，更加陡峭，换句话说，他更偏向我爱轴。这个是由谁决定的呢？其实也是由这个比例系数 k 决定的，这个 k 从二分之一到一到二呢，是在逐渐增大，直线呢，也是更加陡峭。那我们能不能说 k 越大，直线越陡峭呢？ 这句话是有问题的，只能说当 k 大于零的时候，这个结论是成立的。但是当 k 小于零的时候，我们让这个比例系数从负二到负一到负二分之一，他是不是在逐渐增大？可是这三条线是在逐渐变平缓的， 也就是当 k 大于零和小于零的时候，它结论是相反的。那如何统一呢？也简单，我们只要说当 k 的绝对值 增大的时候，直线越陡峭，或者说越偏向 y 轴，这个是没有问题的。大家看啊，从负二分之一到负一到负二，他的绝对值是在增大的呀，对吧？那他确实越来越陡峭啊。所以我们理解 k， 不仅仅要从正负角度来理解， 还要从他的绝对值的大小角度来理解。当 k 的绝对值越大，直线越陡峭，越偏向瓦尔轴。这个知识点呢，书上没有明确说，很多同 同学呢，也没有深入思考过，而这道题却需要用到这个知识点，让我们一起来看一下吧。已知依次函数 y 一，他是含有参数 a 的直线啊，这个 a 呢，就相当于是 k 是一个比例系数， 还有一条五二二呢，是确定的直线。如果两条直线交点在第三项线，要我们直接写出比例系数 a 的取值范围。这种题目啊，肯定是首先抓不变量，我们发现五二二的图像完全是确定的，那我们先把它绘制出来，就是图中这样的一条 直线啊。然后我们聚焦 y 一这条含餐直线，因为它有参数啊，所以它的直线是不确定的，但也不是完全无需变化的，这条直线在变化过程中是有不变的东西的，它是横过一个定点的，我们可以找到一组 x y 的值，使得这个等式呢，横成立，也就是跟 a 是没关 关系的。那我们只要把 a 拎出来，大家看啊，这条直线可以写成 y 一等于 x 加三倍的 a 加二，对吧？跟 a 无关，我只要让他前面的系数 x 加三等于零， 那么 x 是不是就等于负三了？ x 等于负三的时候， y 它始终都是二，所以它横过一个定点负三二，这是本题的关键。所以这条直线啊，它其实就只要穿过负三二这个定点就行了，它表示的就是这里面所有的穿过负三二的 线。当然，由于本题是依次函数，那这里面要扣除两条，一条是竖直线，还有一条是水平线。他说两条直线的交点要在第三象限，我们把这个交点找到，此时呢，这两条直线是有交点的，对吧？交点确实在第三象限。好， 我们晃动一下这条红线啊，我发现这个时候他们的焦点就不在第三象线了，对吧？我们再晃一下，那我们其实可以找到这条红线的范围。首先这个应该是一个临界位置吧，往上的话呢，焦点就不在第三象线了，往下的话呢，焦点还在啊，那我们就往下继续走吧。啊，逆时针转吧， 这时候焦点没问题，对吧？走走走，走走走。哎，走到这个时候，我们发现焦点他不在第三象限了，对吧？然后 直至回到刚才的临界位置。那这里的交点为什么会从第三象限突然间跳到这个上面去了呢？实际上他经历了中间这么一个临界位置，也就是这两条直线平行的时候打开， 对吧？此时呢是没有焦点的，如果这条直线往这边来一点，他其实会交代第三象限，当然现在 我们看不到，对吧？只要往这边来一点的话呢，就会交到上面去了，所以平行又是另外一种临界的位置，实际上这条直线呢，他就应该在这么一个范围内啊，就这么一个范围内，对吧？从平行的临界位置，一直到 这么一个临界位置，哎，这个范围就是这条直线的范围，我们只要在这个范围里面确定出比例 c 除 a 的范围就可以了。 那这个比例系数 a 到底是什么范围呢？那就要讨论。因为此时的直线啊，它既有上扬的，也有下降的，也就是这个比例系数 a， 它既有大于零的情况，也有小于零的情况，对吧？那我们就分类讨论，比如我们先看 大于零的情况，我们先让这条直线啊竖直，像是一个裁判一样啊，从这个位置我们转转转，转到平行的位， 是呢，此时的直线都是上扬的啊， a 都是大于零的，那么这时候的 a 的范围是什么呢？大家看啊，当他们平行的时候呢，他们的比例系数应该相等，所以这个 a 跟这里的这个一应该相等， 也就此时的 a 是等于一的。那从这到这呢，实际上直线是越来越陡峭，大家看从这个地方走过来，是不是越来越陡峭了，所以他的 a 呢，是越来越大的。刚才我们说过了，当 k 到零的时候， k 越大， 直线越陡峭，所以这段红色区域，它指带的 a 的范围呢，应该是 a 大于一， 不能取等啊，因为取等的时候刚巧平行，没有焦点，那么这个是 a 大于零的情况。接下来我们再考虑 a 小于零的情况。同样的，我还是把这条直线啊放在竖直的位置，然后我将它换一种颜色啊，大家可以看得更 加清楚啊，换成绿色，此时的直线呢，应该是走这么一段范围，那这里 a 的范围又是什么呢？我们先看这个临界线的 a 的值，这个焦点应该是负一零，对吧？又经过负三二，那不难算出此时的 a 等于负一。 然后我们看啊，从这到这，直线是越来越陡峭的，也就意味着 a 的绝对值是越来越大的，而 a 本身小于零，那么 a 本身它是越来越小的。所以在 a 小于零的时候啊，它对应的范围是 a 小于负一，能不能等于负一呢？ 不行，因为等于负一时，这个焦点刚巧落在 x 轴上，不属于第三象限，对吧？所以本题的答案就是 a 小于负一或 a 大于一。

这道题呢，难度系数五颗星，难度比较大啊，主要考察的是一次函数的面积问题。当然，如果说你做的比较熟练之后啊，这种题目对于很多很多这个比较优秀的孩子来说，还是比较容易的啊。但是对于初学一次函数或者说一次函数刚刚学没多久的这个题目，其实难度比较大啊，因为它毕竟是我们 苏州去年的期末考试的一道压轴题。那我们看一下啊，在平面直角坐标系中，直线 l e 的 解析式， y 等于 k， x 加四哦，这个 k 不知道，但是 k 小 于零，记住这个结论啊， k 小 于零，每一个细节都要注意到位，与 y 轴交于一点 a， 那 么由此可见， a 点的坐标是不是立刻就知道了是零四 哦， a 点的坐标是零四，它是个固定点，不随 k 的 改变而改变。那与 x 轴交于点 b， 那 点 b 的 坐标呢？一定是会改变的吧， 因为随着 k 的 改变会改变啊，那么并且与直线 l 二 y 等于 x， 这条直线是 y 等于 x， 一 条直线相交于一点 c 点 p 呢，是直线 a o 上的一个动，嗯，动点，它在直线 a、 o， e 上的动来动去的在哪里？我也不知道。 那么过点 p 呢？做一条平行线，与 l 二交于 q， 那 么这个地方有个非常重要的，就是，如果我们做一条竖直线，那么这两个焦点的纵横坐标相等，那如果做一条水平线，那这两个点的纵坐标相等。要牢牢记住一句话啊，所以 p 和 q 这两个点的纵坐标是相同的。继续， 呃，接下来就连接什么。记，某两个三角形的面积是 s 一 s 二， s 一 是 o， c， p， o 在 这， c 在 这， p 在 o， 这个三角形的面积。第二个是 a， c， q， a， c， q， o 这个三角形的面积。那么注意，在我们求平面直角坐标系中表示一个三角形面积的时候，首先你观察这个三角形的三边，这句话很重要，记下来，这个三角形的三边有没有水平线或者数值线。首先看这个三角形， 这个三角形的三边他有没有水平线或者数值线啊？来，我用，我用一个那个绿色的线把它框出来，也就是说这个三角形的三边，同学们仔细看一下，哎呀， 这个三角形的三边对于我们而言，他有没有出现水平线，或者说，哎，他有没有出现水平线或者数值线？很明显没有吧，他的三角形三边分别是 o， p， a， o， c， 还有一个 pc， 这个三角形三边没有哪条边与 x 轴平行，也没有哪条边与 y 轴平行。那么我们在解决这个三角形面积的时候，一定不能直接用公式二分之一底层高，而是要用 割补法，那我们看一下把它放在哪个三角形里面呢？这就类似于我们的牵垂法，之前讲过的一个牵垂法，求面积的一个方法。 好，那么我们看哦，我在我们的周周练里面还没讲，因为这个千句法比较简单，直播课上有讲过的。后面我们在嗯，周周练上，我们再找机会把千句法给大家再讲一遍啊， 那么这个面积我在表示的时候，你会发现这个三角形减这个角形是不是可以啊？但你看啊，题目上我们画了这条过动点的线，那我为什么不能用这条线表示呢？ 用这个三角形减去这个三角形，是不是可以表示他？那为什么用这个更好一点？因为他最终是求两个面积的比值，对不对？ 那么题目再看到这个三角形跟这个三角形合起来，是不是就是我们要求的 s 二啊？所以 s 一 s 二在表示的时候都是利用什么呀？利用割补法来表示的，那么下面我们看这是看完题目的时候，我们内心的一些真实想法。既然题目出现了 s 一 s 二，是不是我们当时就要想到怎么把 s 一 和 s 二表示出来？那么下面直接看题目， 若点 c 的 横坐标为一，而点 c 是 在 y 等于 x 这条直线上，所以点 c 的 横坐标为一，那么纵坐标是不是也是一样？所以 c 点的坐标我们可以直接标出来是一一， c 点的坐标我们可以直接标出来是一一，那 a 点坐标又是知道的是零四，所以把 c 点带入直线， y 等于 k， x 加四这条直线里面，立刻就能求出这条直线的表达是 y 等于负三， x 加四， 这条直线的表达式是有了。那么题目要求的是什么？ s 一 与 s 二的比值，那我们看 s 一 s 二，刚刚我们说了 s 一 啊，这个可以直接写等于负三啊，太简单了。那么 s 一 s 二的比值，它是不是定值呢？那我们先看一下 s 一 等于什么？ s 一 是不等于 s 三角形 o p q 减去 s 三角形 c p q o p q 等于什么？二分之一，那我们这么一割补之后，这个三角形有没有水平线？很明显有水平线吗？ p q 是 水平线，所以它是二分之一底一，这个 p q 就是 它的底，二分之一乘以底， p q 再乘以高，这个高是什么呢？来，我们来画一画。其实的高就是 o 点到 pc 的 距离吧，这段长度就是 o 点到 pc 的 距离，那么我们把它叫做 h 一 吧，为了方便表示，那这个地方我给他命名为 h 一， 或者说你就是在这地方 延长 p q 交 y 轴于一点，这一点给他取个名字叫 h 点，那此时此刻我们立刻就有了他这个线段直接就是乘以 o h， o h 可以 表示出来，再减去下面一个三角形是二分之一，什么呀？ p q 底乘以高，这个高是什么呢？这个高我们也可以把它画出来，这个高我们可以标个名字叫 cm 吧，这个点我们就给它取名叫 m。 好， 那此时此刻这个是不是乘以 cm 二分之一 p q 提取，提取， 一旦提取之后，就变成了二分之一。 p q 里面是什么？ o h 减去 c m， 而 o h 减 c m， o h 是 这一段，减 c m 是 这一段，而这一段恰恰就是 c 点的纵坐标吧，就是 e， 是 不是？所以就乘以的就是 y c 的 纵坐标，这个东西就是 y c 吧，这个东西。来，我说一下，这个就是 c 点的纵坐标 y c， 能看懂吗？啊？所以这个 c 点的纵坐标，而 c 点的纵坐标它肯定是个正数吗？为什么？因为这条直线它的 k 是 小于零的，小于零它是不是一定是这个方向的？你往这个过点，也往这个方向与 l 二的交点，这个交点是不是只能在第一项线？所以 c 点的纵坐标它一定是个正数啊， 这都毋庸置疑的，所以 y c c 点纵坐标相当于，那我们就知道了。好，那这时候这是 s 一， 那 s 二呢？再表示一下， s 二是不是等于两个三角形的和 s 二在哪里？是不是这个三角形？来，我用紫色的线把它框出来。 s 二指的是这个三角形。 好，那么这个三角形的面积，我们很快发现可以表示成这个和这个吧，因为这个三角形它的三边也没有水平线或者竖直线，所以我们也把它割补法，割成这个三角形和这个三角形，这个三角形的面积之合，可以吧， 所以这个三角形的面积就等于 s 三角形 a p q 加上 s 三角形 c p q， 那 此时等于二分之一 a p q d 是 p q 高是 a h， 再加上二分之一，这是 p q p q 是 d， 高是什么？高是 c m， 所以 很快就能得到二分之一 p q 提取出来后面是什么东西呢？哎，我把这个挪一下位置吧，这个 y c 把它放到这边来，这个指的是 y c 啊，好，那接下来这个是 a h 加上 c m。 好， a h 加 c m 是 什么？同学们感受一下。 a h 在 这， c m 在 这。哦， a h c m 这段长是不是相当于就是这个长度，这个长度是几啊？是不是 a 点的纵坐标减去 c 点的纵坐标？哦，也就 a c 两点纵坐标的差， 能看得懂吗？所以这个地方我们可以直接写下来啊，当然我们做个标记吧，就这条线段指的是 a c y a 于 y c 的纵坐标。差的绝对值，我们可以加个绝对值，因为 y a y c 你 不知道谁在上，谁在下，当然从这个图中目前看出来是 a 在 哦，永远都是 a 在 上啊，他因为这个 k 已经明确小于零了，你不可能这样，你这样的话， k 就 小于零， k 就 大于零了，肯定不行的。所以你的 呃， k 既然小于零，所以 c， 它一定是在 a 的 下面，好理解吧。所以这个绝对值也可以不用加，直接去掉这个绝对值，所以这段长度就是 y c 减 y a， 那 我们把这个绝对值去掉啊。好了，那么此时此刻题目要求的是 s 一 比 s 二的比值是什么呢？ s 一 比上 s 二，那不就是这个比这个吗？这个比这个。哎，这是 y c 比上 y a 减 y c。 哦， y c 比上 y c 比上 y a 减 y c y c y a 都知道 c 点中的标是一， y a 是 四减一，那就等于三分之一结束，好简单吗？哎，这个还是比较简单的，这个跟这个就咔咔掉了。好，下面我们重点看第二小问， 这个题目简单，它是个定值，因为这个 k 都给我们了，对不对？但是下面这个 k 并没有给我们，那我们怎么去处理呢？一样的处理方式， 我们既然它不过它加了一条线，叫 o p 等于 o q， o p 等于 o q， 我 们知道 q 永远都是在直线这上面的一条点，这个点 q， 那 你看 o p 如果等于 o q 的 话，而且 p q 它们的纵坐标又相等， p q 的 纵坐标相等，它俩要相等的话，那就意味着什么？你想这个角，这个 p 反正是一条是跟 q 的 水平线上 p， 那 这个角又永远是四十五度吧，为什么？因为这条直线 y 等于 x， 这个角是四十五度，如果你做一条水平线，这是一定是垂直的，所以这个角也是四十五度哦， p u 在 上面，这两条边相等， 所以你想一下， p 是 不是一定在这条直线上，而这条直线是不是二四相线的角平分线？所以这条直线的解析式对于我们来说，是不是一眼就看出来？就是 y 等于负 x 吗？ 能不能看明白？也就是这个角也必须是四十五度，所以 p 点的轨迹在哪上面哦，我们已经非常明确了， p 点其实就是 y 等于负 x 这条直线上的某一个点，这就是 p 点的轨迹。 那么 p 点在哪里？我也不知道，没有人知道，是吧？等算出来之后才知道。那么也就是说，我们的 p 和 q p 点是既在 l e 上，又在 y 等于负 x 这条直线上，所以 p 点就是 y 等于负 x 和 l e， y 等于 k x 加四这条直线的交点，这就是 p 点。 而 q 点和什么 q 点在哪里？ q 点在这个位置， q 点和 p 点它们的纵坐标相同，这是 q 点，那此时又要保证咱俩相等，那么这这个 p 点的轨迹它一定在这条直线上吗？ 理解吧，那此时它告诉我们， s 一 与 s 二的比值是等于一比二，那么 s 一 是谁呢？ s 一 刚刚题目已经说了，是 oc p o c p o c p o c p 这个三角形是不是在这？那么这个面积怎么表示？是不是用 c p q 减去一个 o p q 的 面积，所以就等于二分之一的底层高，再减去二分之一的底层高，所以这段函数依然是 c 点的纵值表，所以跟这个结果应该是一模一样的， 看得懂吗？好，如果依然没看懂的同学，我把它写下来， s 一 是等于 s， 三角形 c p q 减去 s， 三角形 o p q， 那 就等于二分之一抵一 p q 乘以高，这个高是什么？高？是不是这一段？ 哎，我给他标一个字母，这叫 m 乘以 c m 再减去这个角 h， 再减去二分之一 p q 乘以高。高是什么？高是 o h， 那 就等于这个地方我们可以写出来，或者说往下来一点点，有点撞到了， 我们很快就能够得到。把二分之一 p q 提取出来，里面就是 c m 减 o h， 同学们感受一下。 c m 在 这 哦，减去尾去，那不就是 c 点的纵坐标吗？是不是跟刚刚那个一样，是不是也是二分之一 p q 乘以 c 点纵坐标？好，另外一个 s 二其实算出来应该也是跟它一模一样的，跟这个十字一模一样。那么一样的，我们看一下 s 二是哪个三角形？三角形 ac q a c q o 这个三角形面积，此时此刻它不能用两个面积之合了，而是用三角形 a p q 减去三角形什么 cpq 吧， apq 减 cpq， 能不能看明白？好， s 二是什么？我把这条线连起来， s 二是等于 s， 三角形 apq 减去 s 三角形 cpq， 那 么计算方法一样的，二分之一 ap 底乘以高是 a h， 再减去二分之一 pq 乘以高，高是 c m 就 等于二分之一 ap p q 啊，提取出来，里面是 a h 减去 c m， 同学们观察一下， a h 在 哪里？在这减去 c m， 哦，这两边的差，下面这个大家都一样，所以其实就是这段减这段，这段减这段，不就是 a 点纵坐标减 c 点纵坐标，是不是一模一样？哦，所以它依然等于二分之一。 p q 乘以什么乘以？里面是 y a 减 y c 就是 a c 两点的纵坐标。那现在告诉我们，它们两个的 面积之比是一比二，那就意味着 y c 与 y a 与 y c 的 差值之比是一比二吧。哦，那因为 s e 比上 s 二就等于一比二，所以我能够立刻得到 y c 比上 y a 减 y c 的 比值就等于一比二。接下来我们只要求出这个 y c 就 可以了。 y a 是 已知的， y a 是 多少 o y a 我 们是知道的是 c 四对不对？所以也就能够得到。哦，四比上四减 y c 等于一比二，所以 y c 等于多少呢？ y c 是 不等于几？这个我们可以算一下啊。呃，它应该是 y c 比上四减 y c 等于一比二，所以很快能够得到。这边乘过去就是三个 y c 等于四减一个 y c， 两个 y c 等于四减一个 y c， 所以 三个 y c 等于四， y c 等于三分之四。 oh y c 点的坐标是三分之四，而 y c 是 哪两条直线的交点？是 y 等于 x， 这条直线和 y 等于 k， x 加四这两条直线的交点。那接下来 y 等于 x 和 y 等于 k， x 加四，这两条直线我们就可以连立方程，很快就能够得到。 x 等于多少， y 等于多少。因为 x y 相等嘛，所以求出 x 就是 求出 y 是 一模一样的，所以 x 它就等于一减 k 分 之四， y 也等于一减 k 分 之四。而题目又告诉我们， y c 是 等于三分三分之四的，所以立刻就有一减 k 分 之四就等于 三分之四，所以我们的 k 很 快能够算出来。 k 等于负二， k 等于负二，那题目要求什么？要求 p q 的 长度，哎呀，太简单了，那么一旦 k 知道了之后，那么 p q 的 长度我们好求吗？哦， p 点坐标是什么？ p 点坐标是 y 等于负 x 和 y 等于 k， x 加四的交点，那 k 都知道了，所以这两条之间的交点 p 点轻松算出来。那么这个呢？这个 q 呢？ q 点坐标哦， p 点跟 q 点的 重坐标相等， p 点坐标知道， q 点自我自然做的，知道的吧。好，接下来我们把这个 p 点坐标来求一求，因为 k 我 已经得到了，是负二，给它稍微调小一点啊， 要不然写不下，有点，哎呀，什么情况，往这边来一点好了。那么有了这个坐标之后啊，下面我们就是要求 p 点坐标了， k 已经知道的是负二，就是 y 等于负二， x 加四 和 y 等于负 x， 连立方程之后，很快就能够得到， x 等于四， y 等于负四， x 等于四， y 等于负四， 所以我们就能得到 p 点的坐标就是四，负四，而 q 点坐标跟它纵坐标一样，就是负四负四，所以 p q 的 长度就是八，所以最后这个答案就是八结束。 对于这个题目呢，可能很多同学难就难在哪里呢？对于这个就是三角形面积的这个推导过程，这个推导过程要非常熟悉啊，这个过程可能很容易，就是觉得，哦，这个过程我不会推导， 那么第二小问，如果你会推导，第二小问可以轻松解决。那第三小问的问题是什么？就是 o p 跟 o q 相等，这个条件不会使用，就题目中你要看清楚 o 是 什么？ o 是 圆点， q 是 什么？ q 是 直线 一三项线的角平分线。哦，这个居然跟它相等，那么说明另外一条线它一定是在二四项线的另外一个点，一定是二四项线角平分线一个点啊，对不对？所以你这个条件你要能够发现，能够把它翻译成 p 点在直线 y 等于负 x 这条直线上，那这个题目你基本上都能做出来。 所以这道题你要把它翻译成 p 在 y 等于负 x 这条直线上，你如果能翻译出来，那这题就结束了。