亳州中考数学几何压轴题

来我们看这样一道题，哎，这道题属于一个几何的新考法内容，应该是学生我们在之前的学习过程中很少接触的一类题啊，这类题它主要考察了什么？几何的基本性质，以及几何的一个计算，还有 几何的一个图形变化过程的一个分析。所以这样的题我们一般来讲，它是有相应的一个解析的逻辑。所以我们先来读下条件，来阅读一下条件。三角形 a b c 中 b c a 为九十度 啊，这个角是一个直角， ab 等于十，整个 ab 为十，将这个三角形分割成三部分，并且进行二次拼割，形成了图二中的一个菱形 p q m n 不 重叠也无缝隙， 然后若 n h 减 p g 等于二，则 q h 的 长要求 q h。 那这样的图我们很很显然啊，我们的左侧是一个直角三角形，右侧是一个菱形，通常来讲，我们看这样图形，我们一般来讲叫右侧分析左边解， 在整个变换过程中，他是一个全等变换，虽然经过了呃切割和啊二次的一个拼接， 但是整个在变换过程中，他的相应的条件其实并没有改变，所以叫同步的一个什么全等变换。那我们首先的原则就要同步条件，所以我们一边分析一边来总结这个条件。然后我看啊，我们来对比，我们发现 在左侧的 f 应该对应着什么？右侧图中的 g 相当于什么？我三角形 e f b 绕着点 f 旋转形成了 p g n 这样一个三角形，所以我们此时此刻应该什么？我的 f b 应该经过旋转之后与 c f 重合，也就是绿边等于绿边，刚好就是右侧图里边的什么 p g， 对 吧？然后我们接着找其他的一些同步的同步性的条件，我们可以看到， 呃， e b 旋转上来之后，他应该什么 p n， 也就是红边等于红边，对吧？那此时此刻红边就是什么？我们这样一个菱形的一条边，那么 p n 就 应该等多少？ p n 就是 我这个菱形的一条边，对吧？那菱形的边长是什什么？每条边都相等，所以我们的 p n 应该是等于一个 p q 等于 q， m 等于 m n， 当然也等于我们左侧的一个什么啊 e b。 好， 我们接着来对比这样的一个图形， 那我们来看啊，如果说我的一个呃 p n 是 菱形那条边，那我的 q m n 应该是什么？ 我们观察 h m n 其实就是 a d c 三角形平移过来，使 a 与 e 重合，所以我的 a e 就 相当于我这边的什么 q m， 所以 我的 q m 其实就等于什么 a e， 对 吧？所以那我们就可以得到一个结论，就是我的 a e 等于 b e， 所以 如果 a b 是 十，那我的 b e 是 五， a e 也是五，那菱形的边长就应该都是五，对吧？那我们此时此刻我就可以得到什么 e， 就是 这个三角形的什么斜边上的一个中点。那我连接 c e， 连接 c e 之后，我这是一条斜边中线，斜边中线等于什么？等于斜边的一半，如果红边是五，那我的 c e 也是应该是一条红边，它也应该等于什么五， 对吧？然后我左侧的 c 个平移过来，刚好是什么 m n， 所以 我的 c 个也应该是一条红边，它应该也长度也应该是多少？嗯， 所以此时此刻你会发现我们在同步的过程中，哎，条件慢慢的开始就呃，有了一些表示。那这个时候我们看啊，他说 n h 减去 p g 等于二。 n n h 是 哪条边？ n h 是 这条边，它是一条蓝边，那我对应左侧的应该什么？是 a c， 对吧？那如果我的 f 是 一个终点，我的 e 也是一个终点，那我的 e f 就 应该是这这个图形的什么中位线？那我差也是一个直角，对吧？他应该也是一个直角， 他应该也是个直角。并且我们中微线的性质是什么？等于第三边的一半，并且平行于第三边，对吧？那如果我这是一个二 x， 我 设 a c 为二 x， 我 的 e f 就 应该是什么 x， 对 吧？ 然后他说什么 n h 减去 pg 等于二 n h 如果是一个二 x， 那我的 p g 应该多少？是不就应该是一个二 x 减去一个二，所以我的绿边就该等多少？二 x 减二，所以我的 f b 等于二 x 减二。同样我的 c f 也等于二 x 减二。所以此时此刻在 r t 三角形 abc 中，我就可以得到什么 a c 的 平方 加上 bc 的 平方，它就会等于一个什么 ab 的 平方。我可以列一个方程，勾股方程。那就应该什么二 x？ 括号的平方加上一个二 x 减二。 呃，加上二 x， 再减去一个二，它的一个平方等于多少？它就等于十的平方。我们来解这样一个方程， 来，我们来解这样一方程，它打开是四 x 方，加上这边二 x 二 x 四 x 减四。那我的呃，玩具平方之后应该是什么？十六 x 方， 加上一个十六，再减去一个三十二 x， 这边等于一百，我们稍微整理一下，应该就是 二十 x 方减去一个三十二 x， 然后再一百多减，减一个八十四等于零，我们减。这样一个方程，我们先化减一下，我们可以同时除以一个四，那这应该是 五 x 方减去一个八， x 减二十一等于零。我们用因式分解法，五 x x， 这是三 乘以七，那三五十五七刚好，哎，刚好就可以，对吧？所以我的 x 一 解得，什么 叫做负的五分之七 x 二等于多少？三啊，负的舍掉，所以我的 x 就 应该等于多少等于三，所以此时此刻我这里边的条件就可以呃，写出来了，那我这个啊，这就应该什么？这是六二 x 减二等于 四，那两个就是八，所以这是一个六八十的一个三角形，对吧？那这时候我要求呃 q h， 其实就是求左侧图形当中的什么对 e， 我 发现 c 对 等于 c， e， 我 可以做一个三线合一，如果我把这条高求出来，对吧？因为三线合一它垂直 b c 嘛。如果我把 b c 上的高求出来，是不是我的啊？个 e 的 一半，哎，也就出来个 e 的 一半出来了，我个 e 也就求出来，对吧？所以我可以用个面积法，对吧？这个三角形的面积应该等于多少？呃，六乘以八，我们再除以个 呃十，对吧？它就应该等于多少，它就应该等于，嗯，五分之二十四，对吧？ 啊？这个时候如果同学们熟悉勾股数的话，我们就很快就可以解出来了，如果 c d 等于五，它就相当于等于多少？ 五分之二十五，这是五分之二十四，对吧？那我的 d e 的 一半就应该等多少？ 这不是应该是五分之七，对吧？对， e 的 一半等于五分之七，那对 e 就 应该等于多少？五分之十四。所以这道题 q h 商就是五分之十四。

最近和很多学生讲到了中考的题型问题，那今天我们来看一道二五年的中考真题。好，我们来看一下题目。某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带，营造喜庆气氛。如图所示， 甲楼和乙楼分别用于水平地面垂直的线段 ab 和 cd 表示， 彩带用线段 ad 表示。工作人员在点 a 处测得 c 的 腹角为二十三点八度，测得点 d 的 仰角为三十六点九度，已知 ab 等于十三点二厘米，让我们求 ad 的 长度。 读完这一题之后，我们要了解到本题考察的是直角三角形的实际应用。然后 读过题目，我们看过嗯，题目中给的图之后，我们脑子里要有一个思路啊，要想一下我们答题思路。有了解题思路之后，我们再进行答题。那么这一题答题思路可以说过， a 点 做垂线， a e 垂直于 c d， 然后这个时候我们就可以通过 ab 和 c e 的 长度相等，然后求出 a e 的 长度，然后再根据三角形 a e、 d 解这个直角三角形，求出 a d 的 长度。那么接下来老师具体的来讲一下。首先我们过 a 点， 我们过 a 点做垂线， a e 垂直于 cd， 好， 这个时候 ab 和 c e 的 长度是相等的， 等于十三点二厘米，然后 a b， c， e 就 构成了一个矩形，然后我们再通过嗯，弹性的角 c i e。 弹性的角 c i e 好，同学们注意，弹性的角 c a e 是 哪一个角 c a e。 弹性的角 c a e。 也就是 c e 比上 a e， 那 我们要求 a e 的 长度 等于 c e 比上 a e 好， 那 a e 的 长度就等于 ce 除以弹性角 c a e 我 们已经知道了，是十三点 二零，然后除以弹性的角 c i e 弹性的角 c a e 是 二十三点八度，那弹性的二十三点八是约等于零点四四的 零点四四，好，所以最后我们好算出来的答案是，三十 啊，三十点零米。因为题目中要求让我们精确到零点一米，算出 a e 之后，我们这个时候再看到直角三角形 a e d 知道 a e 的 长度，然后我们也知道角 d a e 的 度数，我们可以通过 可以通过 cosine 角 d a e 啊求出 ad 的 长度。因为 cosine 角 d a e 就 等于 a e 比上 a d， a e 比上 a d， 那 么 a d 就 等于 a e 除以好 a d 好， a d 就 等于 a e 除以 cos 三角 d a e 好 a e 我 们在上面已经求出是三十点零米，那就是三十点零，除以 cosine 角 d a e 就是 cosine 三十六点九度。题目中给我们的是 cosine 三十六点九，约等于零点八米， 零点八零。然后最后算出来答案是三十七点五米， 好，也等于三十七点五米，好，同学们，你们听懂了吗？

这个题我劝你不要硬算，硬算是一定算不出结果的，这种题长得像代数式的题，但实际考察的是代数式转化为几何求解。我们来看这道题，求二分之一 x 加根号下 x 方减四， x 加七的最小值， 那么我们要将它转换为几何。先看第一部分，二分之一 x 就 可以理解为有一条线段的长度是 x， 我 们取它的一半， 第二个根号下 x 方减四， x 加七。看到根号，我们要想转化为几何，先考虑到勾股定律， 因为只有勾股定律里面才能转变为一条边的长或者一条线段的长度，那么 x 方减四， x 加七，它并不是一个数的平方加一个数的平方，或者一个数的平方减一个数的平方， 那么我们就先将里面的部分给它拿出来，变成 x 方减四， x 加七，给它进行整理 整理，变成 x 方减四， x， 我 们先给它加四，再加三， 这样的话它就能够变成括号 x 减二的平方加三，那这个部分也就变成了根号下 x 减二的平方加三。 我们就可以理解为有一个直角三角形，它其中一条直角边为 x 减二，另一条直角边为根号三，那么它的斜边就一定是根号下 x 方减四， x 加七的值， 那么这个时候我们就将前面这部分和后面这部分分别都转变成了几何的线段长，我们再将这两条线段的长度拼接到一起， 那这个时候就变成了我们要去求二分之一 x 就是 这条边的长度，再加上这条斜边根号下 x 方减四， x 加七的值，那么这个时候我给他一个字母叫做 a p b c， 那 我们这个题的题目就转变成了要求二分之一 a p 的 长，再加上 p c 的 长度， 那么这个地方最明显的地方在于它有一个动点，就是点 p， 因为 x 的 值是不固定的， p c 的 值也不固定，所以点 p 是 一个在 a b 线段上移动的一个点，那么 ap 的 长就为 x g， p b 的 长就为 x 减二， 这个时候它有一个公共的点，且前面 ap 有 一个系数是二分之一，那它其实就是一个弧不规问题。我们要解决弧不规问题，我们首先要将 含有系数的边变成三引值，所以第一步我们先将它变成三引的一个值，我们要考虑到三引多少度等于二分之一呢？那明显就是三十度，所以一会我们要构建一个三十度的角，那么第二步 我们要去构建这个三十度角，并且把这个三十度角放在直角三角形里面，所以我们在画的时候一定有一个直角三角形。那么我们如何进行构建呢？因为我们要取的是二分之一的 ap， 所以 我们要从这个定点 a 这个地方做一条线，与 ap 的 夹角正好是三十度就可以。 那么第二，因为我们要取二分之一的 a p， 所以 我一定要让二分之一后面的这个字母一定是斜边， 所以我就要以动点 p 往这个地方做一条垂直，叫做 p q。 那么根据三角函数我们可知 sine 三十度，也就是 sine 角 a 这个地方，它其实是等于 p q 比上 ap 的 长等于二分之一，那也就说明 p q 的 长度就等于二分之一的 ap， 那 现在我们这个题目就可以转化为 p q 的 长度就等于二分之一的 ap， 那 现在我们这个题目就可以转化为 p q 的 长加上 pc 的 长， 因为它们有一个动点是 p 点，所以它的最小值应该是 c q 的 长度。但这个地方还有一个难点，因为 x 是 一个不固定的值，那么 p 点也是一个动点， 所以点 q 它的本质上也是一个动点，那么 c q 的 最小值一定就是垂线段 最短，所以我们可以延长这条线，从点 c 这个地方往这儿做一条垂直，这就是点 q 的 位置，并且这儿是垂直的，所以这个题最终我们只需要求出 c q 的 值，当然这儿一定要做垂直， 那现在我们就要去求 c q 长。这个题目中我们唯一知道的线段就只有 b c 这条边， b c 的 长度是等于根号三，所以我们所有的信息都要从根号三这里去推导，因为这个地方是三十度，刚才强调过这儿是九十度，所以这儿一定是六十度， 那么这个地方的长度数也就是六十度。因为脚臂这儿是九十度，所以这个地方就是三十度。 根据三角函数，三十度角所对应的边等于斜边的一半，且 bc 这条边，它们三边的比为一，比二，比根号三， bc 等于根号三，所以它正好是一，这条边的长度就正好是二， 那也就是我们现在这一段的长度就知道了。所以我们要求的 c q 的 长等于二，再加上下面这条线段的长度，那么我们会发现这儿有一个焦点，就是点 p， 就是 点 p 移动之后的位置，那么我们刚才说了 b p 的 长度其实就是等于 x 减二， 那也就是说 x 减二就等于一，那我们就可以求出 x 是 等于三的，所以 a p 这条边的长度就是等于三的，那么这个角又是三十度，所以我们就知道 p q 这条边的长度是等于三的一半，也就是二分之三，那么 c q 值就等于二加二分之三， 也就等于二分之七。这个题就是一个经典的将代数式的题转变为几何的题目，今天你听懂了吗？听懂的记得给张老师点赞和收藏！

看一下今天的题目啊，这是一个圆的综合题，首先呢， b e 是 圆 o 的 直径，那我们的第一个结论，这里又是一个直角， 然后这个 e a c 等于角 abc， e， a c 等于角 abc， 这明显的是不是就是我们的弦切角相等了，对吧？所以它一定是个切线啊， a 得平分， a 得平分，这个角平分线，一定不要放掉它的结论啊，这俩角是相等的， 那么这两角相等的话，角平分线，角相等，互相等，还有啥嘞？是不还有一个垂直啊，对吧？哎，还有一个垂直，在 注意相应的结论，在第一遍读题的时候就把它读全，否则我们这个容易漏下啊。好了，那么首先呢，先来这个正第一问，他说 c a 是 圆的切线，正切线肯定是先连半径，先连接 o a， 哎，连半径好了，那么现在这个我们正切线连完半径，是不是先找一个垂直啊？在这个题目当中的垂直是不只有直径出现的了，对不？所以，那就只能来倒角了，那现在呢，角一等于角二，因为是半径，然后呢，角一又等于角三，那么所以就可以挣出来了啊。第一问，因为 o a 等于 o b， 所以 角一等于角二，那么又因为这个角一等于角三，题目给的啊，所以角二就等于角三，当然你写的时候要写上这个角啊。然后呢，这个又因为 b e 为直径， 嗯，它是一个直径，那么所以角 b a， e 呢？是等于九十度的，那么所以角二 加上角 o a e 等于九十度，那么也就是角三加上角 o， a e 等于九十度，那么所以说 o a 就 垂直于 a c， 那 么所以 a c 为圆 o 的 切线， a c 为圆 o 切线啊。好了，第二问，那第二问看一下这个题目的信息啊，他说 a c 等于八， c e 等于四，那这明显的是不是我们的这个切割线的相似啊， 对吧？首先呢，呃，这个角一等于角三，对吧？然后角 c 等于角 c， 那 所以说这个三角形 a c e 是 不是相似于三角形？这个 b c a 的， 那所以说，母子形相似， c a 方就等于 c e， 乘以一个 c b， 直接就出来了啊，那么也就是说，嗯，六十四就等于四，再乘以一个 c b， 那 么所以我们是不是就求出来直径了？ 嗯，直径就等于十二，所以半径也就求出来了，等于六。那我们的前一问当中，因为角平分线是不说明直角了，所以说我们的得益在一个等腰直角三角形当中啊，六倍根二就是我们的答案啊。好了，那么这是第一题， 那看第二题，第二题呢，他说 a b c 的是这个直径， a b 是 直径，首先，那这里是一个直角， c 的是直径，那应该也有直角出现，对吧？那我们一会呢，再看看需要连谁，那这个呢？ ab 等于 aj， 所以 这是一个等腰三角形，是不是就三线合一了， 对吧？哎，三线合一了，那么这个条件啊，读圆的条件一定要慢慢去读，不要着急看一眼就开始往下走，因为它会隐藏着很多东西啊。首先呢，这个条件， e a 的 e a 的， 那么就是这个角，加上角 e 的 b， e 的 b 是 这个角， 那这两个角肯定没有联系，但是呢，根据同弧倒一下是不就可以了？倒到这里，所以说有这个条件可以得出来的是谁啊？是角得 a b 等于九十度，那得 a b 等于九九十度的话，那又因为前面的等腰三角形，所以说角这个 ga 的 啊，四十五度，这个地方是个四十五度，那么所以 ga 的 呢？也是一个四十五度， 那么所以角 g a b 是 不是就等于九十度了，对吧？那么也就是我们的这个 o a 就 垂直于 a g 啊，所以 a g 是 切线 啊，是切线，这个不难证啊，那看它的第二位，第二位当中呢，先看条件给的条件， b g 等于四倍根五，那所以这些是不是就都是二倍根五啊？ 那这个也是二倍根五，那这个大角四十五度，是不是就直径就是二倍根十，对吧？哎，先从这里先把能找的信息都找出来，半径呢就是根十。 好，那现在最关键的条件来了， sin 角得 a e， 那 我们一直在强调，如果给了你一个角的三个函数，或者给你度数，马上出去找弧就没有用啊，得 a e， 所以 我找到的是得 e 弧， 那么得到的就是得意这条弦，一定把得意这条弦放进去，也就是得意弧所对的角全都一直，所以就两条路可以走了，要么直径，要么垂径。 那如果我们用直径的方法呢，就是过得或 e 做一条直径连接就可以了，那这个垂径的方法呢，就是从 o 向得意做垂弦进行平分。那么所以这个题很明显，是不是直径更容易看？ 哎，那么所以这是一个直角，而这个角呢，就是甚值是一比三。那么所以最终我们的得益 是不就等于因为他是这个二倍根十吗？一比三除以三就可以了，所以就是三分之二倍的根号十。所以这个问题啊，就是我们一直在强调的给你九，然后呢，你应该怎么来用 找到弧，找到弧以后就找到对应的弦，那这个角可以是什么？可以是他给你的度数，可以给的是个三角函数，还可以是三边一直的三角形，用三边一直这个直角三角形当中三四五好了，那么这个角就一直这个角，就一直马上找对的弧就行了啊。 好，然后呢，再看后边那么一个二次函数的一个综合题啊，那么这也是我们还是呃，没有图来进行分析的这种问题。先读明白题目，他说一个点的纵坐标是横坐标的两倍， 那所以说如果我写出一个点的话，纵坐标是横坐标的两倍，那么 m 二 m 呗，那所以很明显咱们前面讲过这个问题，是不是这个点是不就在 y 等于二 x 这条线上，对吧？那么 他说下列函数存在二倍点的，是不是就是来判断哈 y 等于二 x 的 焦点问题啊， 对不？看一下有没有焦点就行了，对不？一看这个平行肯定不行，这个呢，他是正比例位于，呃，一三象限，他是反比例位于二次象限，肯定没有焦点，对不？一个二次函数和一次函数呢？那么我们就连立呗， x 方加 x 减一等于二 x， 看一下它的得儿特，然后呢，这里是减 x 减一等于零，那明显它的得儿特是大于零的，是不？这个是可以的，那再看这个 x 方加上 a 加一 x 减 a 再连立，那就变成了 x 方加上 a 移过来，那就是 a 减一， x 再减 a 等于零呗。判断它的得儿特，就等于 a 减一的平方， 再加上一个四 a， 对 吧？就等于 a 方减二， a 加一加四， a 也就等于 a 方加二， a 加一，那正好是个完全平方式， 所以它大于等于零，那所以这个是不是肯定也是可以的，对吧？哎，就说你只要理解题了，它就不难了啊。那么重点呢？在后边两问，那第二问，第二问，他说 二次函数，它在负二到四的图像上存在两个二倍点，那还是啊，所以第二位依然连立， x 方减二， x 减 c 等于二 x， 所以 就是 x 方减三， x 减 c 等于零。在 x 大 于负二到四上有 两个解就可以了，对吧？哎，有两个解，你先连累，连累完了以后呢？转到这里来，那转到这里来，两个解好解决，是不是就是得它大于零， 对不？嗯，得它大于零，可是它有了一个范围，那么这个题就会变得稍微复杂一点。对于一个二次函数，一开口向上的二次函数，那么我们来简单分析一下，左边是一个负二 负二，右边呢是一个四。好，你的两个解要在负二和四之间，我们大体化一下，那么也就是 x 等于负二的时候，对应的外值是不得是个正的？ x 等于四的时候，对应的外值是不也得是个正的，才能保证他的两个解是不在负二和四之间啊？所以我们这里就会出现三个关系。 那么首先第一个得它大于零，那么这个得它就是九加四， c 是 不是大于零？所以说这个 c 就 大于负的四分之九。这第一个式子，第二个式子 x 等于负二的时候，我们把它带进去，那就是四加六减 c 是 不是也大于零啊？你看负二的时候，外置是个正的呀，所以我们就解出来， c 是 小于十的，那再一个把四再带进去，哎，十六减十二减 c 是 大于零的， 那么所以 c 就 小于四，对吧？哎， c 就 小于四，好了，这三个都得成立，所以说我们最终 c 的 范围就是大于负的四分之九，然后小于四就可以了啊。好了，这是第二个，那么再看第三个， 哎，第三个，第三个还是有两个二倍点。对于任意的常数 b， 那 么咱先不管任意，这个问题，先看有两个，那就是还是连立呗。 a 减一， x 的 平方 加 b， x 加二，然后呢，等于二 x， 好， 整理一下， a 减一， x 的 平方加上 b 减二 x， 是 不是再加二等于零啊？ 那有两个，还是找 d， 它要大于零。所以说你不知道这个题怎么做，那我肯定先找 d， 它先把式子列出来再说嘛。所以就是 b 减二的平方减去四 a c， 那 就八倍的 a 减一，对吧，要大于零。好，整理一下。 b 方 减四， b 加四减八， a 再加八大于零，整理一下，再合并，合并减四 b， 然后呢，再加上十二减八， a 是 不是 大于零？那这个到了这里我们该怎么办？咱们之前也做过类似的问题啊，这里的任意就要起作用了啊。对于任意的常数 b， 然后呢， a 的 取值范围，那么这里我们常用的方法叫做分离变量。 分离变量也就是求谁啊？求的是 a 的 范围，那么把 a 先挪走，把 a 先移走，移向， 也就说把带着 a 的 拿到一边去，然后再来，再来变成啥？变成最值问题啊？这种其实就是来找最值问题。那么所以说，那我们右边拿八， a 就 小于说 b 方减四， b 加十二，所以说 a 就 小于八分之， b 方减四， b 加十二。好了， 无论 b 取何值，那现在你看右边的这个 b 是 不是上面是关于一个 b 的 一个二次的式子？我们知道一个开口向上的二次的式子是不一定会有一个最小值的， 那无论 b 取何值， a 都都得比它小，所以 a 是 不要小于 b， 这个式子的最小值是不就可以了，对不对？所以说我们来算一下 b 方减四， b 加十二， 它的最小值怎么算？首先算一下对称轴负的二乘以一分之负四是二，把二带进去就可以了啊，所以它的最小值是多少啊？是这个四，然后减去八，再加上一个 这个，这个十二正好等于八，对吧？所以我们最终 a 是 小于一的啊，八除以八吗？小于一。那么所以再看一下这个问题啊，出现两个变量， 这两个变量你求某一个变量，而另一个变量呢？无论他取何值，他都得怎么怎么样？所以先求谁，先把谁挪走，然后转换成最值问题就可以了。

噜啦噜啦嘞，我要当电影。欢迎来到瓜豆园里的讲解。那说到瓜豆园里啊，忍不住要说这样一件事啊，不知道你们小时候有没有被罚超过哎，我小时候呢，肯定是被罚超过的， 那罚抄呢，往往不会让你罚抄一遍，对吧？都是两遍起步的，那往往要罚抄两遍的时候呢，我们就想到了这样一个方法，就是我把两支笔啊叠在一起，这样的话呢，我就可以一口气抄出两遍的东西来。 哎，那我们主要的力量作用在下面这个笔的时候呢，哎，上面这个笔就会跟随着下面这个笔的动向去走，他写什么字他就写什么字，那像这样的就叫做瓜豆原理，哎，把它抽象到数学上呢，就是这样一件事情， p 点是在一个固定的轨迹线段 a b 上运动，而屁撇点呢，是从屁点通过一个固定的方式 到达的屁撇点，比如说这里就是屁点向下平移两个单位到了屁撇点， ok， 这是一个固定的方式。那么现在呢，如果说屁点是在 a b 上运动的，那么屁撇点的轨迹 没错，跟你想的一样，和屁点的运动轨迹是一模一样的，所以呢，这就叫做种瓜得瓜，屁点在线段上运动，而屁撇点呢，就跟它一模一样的，也在线段上运动。 好的，那么前提呢，就是这个主动点，屁点到这个从动点跟随着它变化的这个点，从动点 他是通过一个固定的方式到达他的，那固定的这个方式固定的这个变化呢，在初衷包括了像这样的平移，对吧？还有呢 旋转，还有呢对称。好的，那往往呢，在初中数学的比较难的考题当中啊，我们的固定变换呢，都是通过旋转来变换的，那接下来呢，我们来看一个这样的场景，此时呢，这是一个主动点屁， 他在线段 a b 上运动，这是一个从动点屁撇， 那这个从动点屁撇呢，是由主动点绕着外面的一个定点 o 哎，这是一个定点，定点 o 逆时针旋转九十度到达的这个屁撇， 那随着屁在运动，我们来猜一猜屁撇点的轨迹是什么呢？哎，没错没错， 种瓜得瓜，种豆得豆嘛，对吧？主动点在线段上运动，所以呢，从动点跟随着它也是在一个线段上运动的，那我们一起来看一下这样的场景。好的，那么现在呢，我来拖动一下屁点，你观察屁撇点的轨迹， 没错，跟我们想象中的一样，屁撇点呢，是在线段上运动的，种瓜得瓜，种豆得豆。 那接下来呢，我们让主动点换一个运动场景，哎，我们让它在一个圆上运动试试看。 那此时屁是主动点，它在以 a 为圆心的这样一个圆上运动， 而这时候呢，从动点屁是主动点绕着外面的一个定点旋转九十度得到的。那么大家可以来猜一猜，此时屁撇点的运动轨迹又是什么呢？ 没错，肯定是个圆，那是个什么样的圆呢？你知道这个圆到底怎么画出来吗？那我们来看一下动态的过程。好的，那么此时呢，屁点，我们让它在这个圆 a 上运动， 那追踪屁撇点的轨迹，你会发现，屁撇点果然也是在一个圆上运动的吧。 那接下来呢，我们就正式走进刮豆原理，来探索一下刮豆原理的条件，以及刮豆原理能得出来的结论。那首先我们先来看一看在线段上运动的这个 p 点这幅图， 那我们把这个屁撇点的轨迹呢也给他拿下来，那屁点运动到 a 点的时候，屁撇点呢，对应的这个点就是 a 撇点，屁点运动到 b 点的时候呢，屁撇点对应的这个点呢，就叫做 b 撇点。好的，那么此时屁点主动点在 a b 上运动，屁撇点呢，就在 a 撇 b 撇上运动。刮豆原理的这种旋转的版本啊，一定要满足三个定，第一个定呢，就是有一个定点，然后其次呢，从主动点到从动点的这个旋转变化，这个角一定得是一个定角。 ok， 那 这里呢有定点 o 定角呢？九十度，还有呢，固定的比例就是 o p 和 o p 撇，当然这里是因为纯粹的旋转过去的，所以 o p 跟 o p 撇肯定是相等的，它们的长度之比呢，就是一。 好了，那么再来看一下瓜豆对应的结论，首先种瓜得瓜，屁点主动点在线段上运动，那么屁撇点这个从动点呢，也在这个线段上运动。 好。接着我们再来看第二个点，第二个点呢，就是诡计的夹角啊，一定是等于定角的，也就是说我们去延长这个 a b， 它与 a 撇 b 撇对应的这个夹角就是等于定角。 ok， 定角是九十度，这个夹角呢，也就是九十度。另外 p 点运动的这个轨迹的长度一定跟屁撇点运动轨迹的长度之比，正好等于这个定比，而这里的定比呢，就是一，所以呢，这里的 ab 跟 a 撇 b 撇的长度之比也是一， 哎，那这个定比呢，在这种普通的旋转当中啊，单纯的旋转当中呢，都是一对吧，因为你从这里绕的 o 点转过去卡，长度呢，肯定是没有变化的，但是呢，往往考试啊，会增加一些难度，把定比改的不一样了， 这时候的定比呢，就不一定是一了，那我们看一下这样的情况哎，这样的情况呢，就是旋转的基础上，还要再加上缩放。 好，那么我们来看这是一个什么样的情况啊？首先呢，这个 p 点是在线段 a b 上运动，然后这个撇点是作为从动点的， 而这个主动点到从动点的话呢，是绕着这个 o 点逆时针旋转了六十度，那对应的 o p 的 长度呢，是两份，而 o p 撇的长度呢，是它的一半哎，我们把它记住 a 好， 那么这时候我们来看一下啊，它依然是满足瓜豆的，像这样的情况，哎，首先 p 点呢，是绕着 o 点 逆时针旋转了九十度，对吧？然后呢，我再缩放了一半，回到这个屁撇点的位置。好，那么再看瓜豆的条件，看它满不满足呢？这个首先旋转有一个旋转的中心， o 点定点， 然后接着呢，固定的角度是六十度，定比呢，就是二比，一定比是二，满足这样的情况的话呢，他也能得到对应的瓜豆。结论，首先种瓜得瓜 主动点运动的轨迹是一条线段，那么屁撇点从动点运动的轨迹呢，也是一条线段。好的，那么此时呢，我来拖动这个屁点，你来观察一下这个屁撇点运动的轨迹 是吧，也是一条线段，种瓜得瓜。好的，那么接下来呢，我们再来看第二个结论，就是轨迹的夹角是等于这个旋转的定角的，那么此时呢，我们把这个延长一下， ok， 延长一下， 那么此时这两条线的夹角就是这个角，哎，这个角呢，正好是等于六十度的， 哎，当然如果你旋转的角是一百二十度的话呢，那么轨迹的夹角就应该是这个角的补角， ok， 就是 轨迹的夹角是等于定角或者是定角的补角的，因为两条线的夹角一定是一个锐角。好的，那接下来我们再来看前后的轨迹长度， 前后的轨迹的长度之比呢，就是等于定比的，哎，他比他就是等于二。 好的，那具体是为什么？一会呢，我会带大家进行证明，那接下来呢，我们就一起来看一看这个瓜豆原理放到具体的题目里，该怎么样去证明，怎么样去使用。首先，哎，我们要先去找到三定 定点，定角，定笔，然后接着呢要变主从，哎，找到题目里的主动点以及从动点。 好，接下来呢，我们要找到起点，对应的起点，终点以及对应的终点，并且呢要把起点跟终点啊都与这个定点进行连接。 ok， 起点跟这个定点连，还有这边的起点也要跟定点连， 这边的终点呢跟定点连，这边的终点呢也要跟定点去连接，那一旦连接完了之后呢，我们这里就能够成很多的相似了，哎，那不过这道题的话呢，它对应的就是全等，因为它的定比刚刚好等于一对吧，那此时我们会发现， o a p 这个三角形跟 o a 撇 p， 这个三角形是全等的，首先 o a 等于 o a 撇， o p 等于 o p 撇，因为 a o a 撇是九十度， p o p 撇也是九十度，所以呢，我们可以得到这个夹角啊，是相等的，因此呢，我们通过 s a s 得到这两个三角形全等， 同样的道理，我们也可以得到 o p b 和 o p 撇， b 撇，这两个三角形也是全等的。另外呢，大的三角形和大的三角形也是全等的。哎，那这时候呢，就可以去证明出来， a b 和 a 撇 b 撇 正好是相等的，哎，它们之比呢，就是一好的。那么现在呢，我们要去证明， a b 和 a 撇 b 撇的夹角正好是九十度的话，那其实呢，因为 o a b 旋转了九十度，就到了 o a 撇 b 撇的位置， 所以呢，每一条边其实对应旋转的角度都是九十度吧，那因此第三边的夹角也是九十度，直接通过旋转就可以解释出来。好的，接下来我们再来看这边这个形状，那这里呢，也是一样的， 这样一个刮斗也是一样的，我们先去找三定，首先定点，哎， o 点，其次呢，定角 o p 到 o p 撇，这个是六十度，所以呢，此时的定角就是这个六十度。然后接着定比， o p 比上 o p 撇是等于二比一等于二的， ok， 定比也找到了，接着变主，从 p 点呢，是一个主动点，屁撇点呢，是一个从动点。 ok， 那 屁点是从 a 往 b 运动的，那么对应的屁撇点呢，就从 a 撇往 b 撇运动。现在 起点，终点，起点，终点都找到了，那么接下来呢，我们要连接定点跟起点和终点了。首先 o 和 a 连， o 和 a 撇连，哎， o a 和 o a 撇的夹角也是六十度，好，接下来呢，我在 o 和 b 去连， o 和 b 撇也连接起来，那么此时呢， b o b 撇夹角也是六十度。好的，此时呢，我们会发现 o a p 和 o a 撇 b 撇相似， o p b 和 o p 撇 b 撇相似， 还有 o a b 这个大的三角形，和 o a 撇 b 撇相似，也是三组相似，而这三组相似呢，也是 s a s 来判定的， 这两条边对应成比例，然后呢，夹角都是六十度，减去公共角，夹角也相等，同样道理，这个跟这个也相似，这个大的和大的也相似，并且呢，相似比正好就等于定比相似比就是二。 以上呢，就是在一条直着的线段上运动的场景了。那么接下来我们再来看在圆上运动的，那在圆上运动的呢？这种稍微的有一点点难度，但是呢，你只要记住连圆形就可以了。 好，从头来看，首先找三定 p 点作为一个主动点，绕着这个定点 o 逆时针旋转九十度，得到这个从动点屁撇， ok， 那 么所以呢，三定就有了，定点 o 定角九十度，定比选一。 接下来呢，这个是主动点，这个从动点也都定好了，接着要做的事情呢，叫做连圆心， ok， 那 么这个圆心啊和定点进行连线，那我把这个定点和圆心的线啊，也是逆时针旋转九十度之后，我就可以找到从动点的圆心了，那么此时呢，这个 a 撇就有着落了， 接下来圆心已经连了，对吧？那么我们顺便呢，把这个屁点跟 a 点连起来，屁撇呢，和 a 撇连接起来，此时呢，我们就可以找到从动点所在轨迹的圆心 a 撇。好的，那么同样的道理，把屁和 a 一 连，屁撇和 a 撇一连，那么此时我们就可以得到 o p a 这个三角形跟 o p 撇 a 撇这个三角形是相似的，并且呢相似比为二。 好的，那么这样一来的话呢，我们得到了相似，就可以接着用相似或者全等的性质去接着往下做题了。好的，以上呢，就是瓜豆原理的条件结论以及证明了，你都学会了吗？