江西九年级下册数学反比例函数闯关卷

挑战一个视频带你快速搞定初三反比例函数十大必考题型，多学一道，多拿五分！弹幕里打出，我要逆袭，我们直接开始题型一、反比例函数的定义 以下函数， y 是 x 的 反比例函数，个数有一， y 等于 x 加 b， 所以 一是依次函数， 不是反比例函数。二， y 等于负， x 分 之十二。我们知道反比例函数的通式呢，它是 y 等于 x 分 之 k 二，所以呢， k 是 等于负十二二四的。再看三， y 等于三分之 x， 它这个上下调转了，所以不是反比例 四， y 等于 x 分 的负一次方。好，我们知道这个负一次方呢，就是相当于分数线分之一，也就 y 等于 x 分 之一啊，它是法比例函数啊，所以四四的 好霸气！给大家总结一下反比例函数表达式的表示方法。第一个最常见就是 y 等于 x 分 之 k， 其中 k 要不等于零。第二种呢，我们可以把它变成乘法关系 x， y 等于 k 啊，这是第二种表达方式。第三种呢，还有是 y 等于 k 乘以 x 分 之负一次方啊，因为这一个 x 的 负一次方呢，负一次方相当于分母线分之一，那再乘以 k 就 相当于 x， y 等于 x 分 之 k 啊， 所以呢，我们看回这一个选项，是 y 等于 x 的 负一是吧？这个是反比例函数啊，只不过 k 呢，是等于一省略掉而已，对不对？你看把它 变形也是 y 等于 x 分 之一， k 呢，就是一了啊。好，所以四呢，它是反比例函数。 那我们看第五，负 x， y 等于三，我们变形下， x， y 是 不是等于负三呢？ 那 y 等于 x 分 之 k， x， y 等于 k， k 是 等于负三的，所以呢，这个也是反比例函数啊，只要满足 x， y 等于 k， k 不 等于零，这个也是反比例函数啊，我们刚刚已经中过了三个 y 的 x 分 之 k， x， y 等于 k， y 等于 k 乘以 x 的 负一，是吧？这三种表达方法都是反比例函数？好，那么看六六肯定是错的啊，为什么呢？虽然它类似于 y 等于 x 加一分之二，但是它并不是 y 与 x 的 反比例函数，它是 y 是 x 加一的。关于 y 是 x 加一的函数，所以六呢，是不能选的啊，是不是 y 与 x 的 反比例函数？好，那我们再看 七七的话，看到平方肯定是错了，你看这里全部都是 x 是， 呃，一次方，这个负一只不过是分 x 分 之一而已啊，所以看到平方呢，也不选不是反比例函数。呃，看到这个 y 等于五， x 平分之一加一，这个也不是反比例函数啊，看到二次方的都不是，所以这个答案呢，就只有二四五选 c 啊。我们看第二题，已知这一个函数的式是反比例函数，则 m 的 值为多少？ 反比例函数呢，有三种表达方式， y 的 x 分 之 k， x， y 等于 k， y 等于 k 乘以 x 的 负一次方，其中这上面的 k 都不能等于零的哈，好，那我们看 这一个的表达方式是不是满足 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方，对不对？所以我们就有反比例函数了。第一个 m 加二就相当于 k 的 这个位置，不能等于零。第二个 x 的 右上方，这个要等于负一，所以 m 的 平方减五等于负一。为什么这里要等于负一呢？因为 y 等于 k 乘以 x 的 负一方，就相当于 k 乘以负，一看成分数线 x 分 之一，就相当 x 分 之 k， 那 这个才是 y 等于 x 分 之 k 才是一个反比例函数啊，所以要把它记住啊。前面 k 不 等于零，这个指数等于负一。好，那我们所以算得第一个， m 移过去，不得负二。好，第二个，我们算一下 m 的 平方 负一加五，那就等于四，五减一等于四吗？好，把它开出来， m 的 平方等于四，那就 m 等于正负二，一个等于正负二，一个不能取负二，所以负二呢，你要舍掉，不能取 m 呢，就取正二。 所以这道题主要考的是反比例函数的表达方式， y 等于 k， x 的 负一次方，这个 k 不 能等于零，然后 x 的 指数这个要等于负一。 题型二，反比例函数的图像与性质反比例函数 y 的 x 分 之 k， k 不 等于零的图像经过二。一，下列说法错误的是， 首先图像经过点，那可以把这个点带入到它的表达式里面， x 等于二， y 等于一带进去呢，也就是 x， y 等于二乘一等于 k， 那 算出来 k 呢，就等于二， a 是 对的啊。 那我们看 b， 图像分布在一三象限，我们算出来 k 等于二，也就是 k 大 于零。反比例函数 k 大 于零，图像在一三象限，所以 b 也是对的。 好，那我们看 c d， 当 x 大 于零的时候，就看 x 的 重半轴。重半轴这一部分的图像，你看它是下降的，下降的话应该是 y 随 x 增大而减小。所以这道题很明显呢，就是选 c d 选项，当 x 大 于零时候， y 随 x 增大而减小，而 d 是 对的。题型三，反比例的增减性 已知反比的函数 y 的 x 分 之 k 的 图像，在同一图像内， y 随 x 增大而增大，增大而增大的是一样的变化，那也就它是上升的趋势。图像是上升趋势，那只有这个反比函数只有是二四象限， 那反比例函数在二四项线的话，他的 k 呢，就要小于零，那我们看这一个表达式， y 等于 x 分 之 k， k 呢，就相当于 n 加三这个位置，也就他就二四项线，所以 n 加三呢，要必须满足小于零，那算得 a 呢， 就小于负三，那我们看一下罢。结总结哈，这个反比例函数的增减性，如果 k 大 于零，那么这个图像是在一三象限， 你看它是下降的， y 随 s 增大而减小，那如果 k 小 于零呢？那它的图像是上升的，在二四象限， y 随 s 增大而增大一样的变化。 题型四，比较大小反比例函数 y 等于负 x 分 之二的图像上有两点， p 一 和 p 二。如果 x 一 小于零，小于 x 二，以下结论正确的是 这一道题呢，它没有图像，所以我们要自己画图。 y 等于 x 分 之 k， 这个 k 呢，等于负二小于零， k 等于负二小于零呢，那么这个图像是在二四象限。 好，那他大概的走向就是这样子的，那我们看标出 x 一 x 二的关系， x 一 小于零，那 x 一 是在负半轴，点一下，零在这里， x 二在这里。好，它们对应的是 y 一， 上面这个对应的是 y 一， 对着这个 y 轴，哈，那这个 x 二对应的是 y 二，你看 x 一， 它对应的 y 一 很明显是在正半轴，那所以 y 一 呢，是大于零， 而 x 二对应的是 y 二，它是在负半角负数，所以呢，我们就有 y 二是最小的，然后再再到零，小于零，小于 y 一 y 一 是最大的，它大于零，所以呢，我们就选 y 一 大于零，大于 y， 二选 d。 提醒五， k 的 几何意义？如图，点 a， 在 双曲线 y 的 x 分 之 k 上， ab 垂直， x 于 b。 好， 题目告诉你，三角形 a o b 的 面积 s， a， o， b 等于二，这个面积等于二，他问 k 的 值是多少？好来做这种题呢？首先我们把这个 a 点设为 x y， 那我们知道 y 等于 x 分 之 k 这个反比例函数，我们可以把公式推倒一下，变形一下，可以得到是把 x 移过来，就 x 乘 y 等于 k， 而我们看图这个三角形的面积 s， 三角形 a o b 呢，它是等于二分之一， 底层高直角边这一段刚好是 x， 这一段刚好是 y， 所以 这个面积呢，就是等于二分之一，底层高就二分之一， x 乘 y 等于二。 好，二分之一， x 乘 y 等于二。我们再看刚刚变形了，我们知道 x， y 等于 k， 所以 我们把 x y 带进去，就等于二分之一，乘以 k 就 等于二了，所以 k 呢，两边同时乘二，就等于四， 而选四还是负四呢？大家一定要注意反比例函数，注意符号啊，因为这个反比例函数是在二四象限， k 是 小于零的，所以呢，我们要选 d 负四。 好，我们再看题型。六不等式与反比例函数的运用 如图一，次函数 y 一 与反比例函数 y 二都经过这两点， a 点和 b 点， a 点是负一二， b 点是二负一。结合图像，它问 x 加 b 大 于 x m 的 解集式。 做这种题我们要学会看图啊，你看 case 加 b 呢，相当于是 y 一， 有些题目他会问，你是 y 一 大于 y 二的解集啊，那我们看 y 一 呢，就相当于是依次函数，也就直线比双曲线要大。 我们记住一句话啊，谁大谁的图像就在上方。你看 k x 加 b， 我 们先从这个呃分界点看哈这个负一来看，因为你要求解析是求 x 的 范围，所以你只要看负一和二这个分界点 x 的 坐标 来，我们看 x 这个 a 点左右两边看，你看向左走向右走，谁大谁的图像就在上方，就选谁。你看这个是不是依次函数，也就是直线 比反比例函数要大，对吧？这个这个不等式啊，那我们就找直线比反比例函数大的那一个范围，你看 从左走呢，从这个负一往左看呢？是不是直线在这方面函数的上方延长一下看对不对？所以呢，第一个范围就是 x， 所以 就取负一的左边，负一越往左走越小，所以 x 小 于负一。好，这个是第一个解集。 好，我们再看第二个点， b 点也是看横坐标啊，因为你要看是 x 的 范围二向左走还是向右走呢，谁大 谁在上发，也是要看一次函数直线在上发，向左走的话，哎，左走的话，就是这条直线在反比例函数上方，所以是二的左边，所以 x 小 于二。但是你这样写是错的， 因为反比例的图像是不能等于零的， x 是 不能等于零的，你看它这里无限接近零，所以是在零到零到二之间，所以呢，要补上大于零到二之间。 所以这道题的答案呢，就选 c。 那 如果我把这道题换一下，变成是 k x 加 b 小 于 x 分 子 m 呢？怎么看呢？那这个就变成是直线， 就依次函数直线的图像，要什么呀？小于反比例函数下， 那反比例喊谁小就谁在向下方喽，对吧？这个就变成下方，反面来说变成上方。那我们再看， 也是从这个分界点负一看，向左转向右走，你看向右走就反比例比直线大，是不是要比负一要大右边。所以呢，第一个第一个解集就是 x 大 于负一，但是不能取零，所以就要小于零，这是第一个范围。 好，第二个范围看 b 点或者 b 点哈，分开两段的 b 点，你看向左走还是向右走？反比函数比较大呢？ 是不是向右走反比函数就比直线大了，所以就取它了，所以二的右边，所以 x 大 于二 啊，这是 y 一 小于 y 二的情况。好，大家无论怎么考也要会啊！好，我们继续看题型七，依次函数和反比例函数的图像问题。 依次函数 y 的 k 四减二与反比例函数 y 的 x 分 之 k 可能的图像是。好，那我们要判断 k 的 大小符号，因为 k 它是不确定的。 呃，我们先来做一个排除法，这一个一三函数是 y 等于 k， x 加 b 的 通式来的，而这个 b 呢，它表示是与 y 轴的交点， 所以我们看 b， 在 这里，它是等于负二的，那它是不是与 y 交于负半轴，对不对？负半轴就是下方，要交于下方，所以我们很明显就排除 a 选项，因为它是交于上方， b 大 于零，而这个小于零矛盾了，所以 a 不 选 好，舍去 a 之后，我们再看 k。 第一种情况，我们要分情况啊， k 大 于零或小于零吗？第一个，当 k 大 于零的时候， 我们自己去画一下吧。当 k 大 于零的时候，它反比函数很明显是在一三项线的好确定的反比例函数了。我们再看一三函数，当 k 大 于零的时候，它直线是上升的， 对吧？而 y 是 负二。哦哦， b 是 负二，与 y 轴交于负半轴，所以它这个应该是这样子的。那我看看有没有得选啊？一三象限， a 没有得选了，所以 k 大 于零这个想法不成立。那我们再看 k 小 于零， 那我们先看反变函数，小于零呢？很明显是二四象限，而这个一次函数 y 等于 k， x 减二， k 小 于零的话，它就是下降的，然后与 y 交于负半轴，因为 b 等于负二嘛，所以它就是这样子的。 那这一个道题呢，很明显只有第一选项是符合的。二次象限下降与 y 加负半轴，所以选 d。 好，霸姐给大家总结一下一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像的情况。首先， k 大 于零呢，它图像是上升的， k 小 于零呢，图像是下降的， 而这一个 b 呢，是与 y 轴的交点， b 大 于零，与 y 轴交正半轴， b 等于零，那就交圆点 o， b 小 于零呢，那就与 y 轴交负半轴。 好，那举个例子啊，你看这一条直线，第一个就是 k 大 于零上升的，而 b 与 y 交正半轴，那就是 b 大 于零的， 而这一条呢，就是 k 上升，也是大于零的，而 b 等于零，而这条直线呢，也是上升， k 大 于零，但是 b 与 y 交负半轴， b 是 小于零的。三种情况， 而如果 k 小 于零， b 大 于零，这个图像怎么画呢？ k 小 于零，下降的 b 大 于零，与 y 交于正半轴，那这条直线就是这样子画的。 k 小 于零， b 等于零呢，也就是下降并且经过圆点的 k 小 于零， b 小 于零呢，那就是图像下降的与 y 交于负半轴啊，这是第三种情况。 好，那我们再看反比例函数啊，反比例函数呢？ k 大 于零，那就在一三象限，这是 y 等于 x 分 之 k 的 这个图像的表示。那如果 k 小 于零呢？那就是在二四象限。想要更多必考题型，大题和难题讲解，那么你来报我的系统题分课，大姐只要三百六十五块 就能学好初中数学代理数学考高分，感兴趣的话，通过微信公众号霸解数学就能找到我的联系方式啦！题型八，待定系数法求解析式！ 已知反比函数 y 的 x 分 之 k， 图像经过这一个点，求 k 的 值。 图像经过点，可以把这个点带入到这一个反比的函数上。哈，那因为照抄这个条件，因为反比的函数经过这个点，所以好，就有带进去， x 等于一带进去啊，所以就有这个 一分之 k 等于 y 呢，就是二 k 加五。好，那我们再查个值算一下啊，那 k 除以一等于 k 喽。二 k 加五啊，把 k 移过来， k 减二， k 等于负， k 等于五， k 呢，就等于负五，所以减的 k 等于负五。 第二问是判断这两个点是否在这个函数图像上，并说明理由。好，我们由刚刚一得反面的函数解析式为， y 等于 x 分 之负五， 那我们就可以把这个点带进去这个函数上。呃，所以当 s 等于一时，把它带进去啊。 y 等于负五，除以一等于负五，那很明显，一负五和一五是不相等的， 那所以负五不等于五呢？那则点一五不在反比例函数上， 我们再把第二个点带进去，加 x 等于负三分之五十， y 等于负五， 除以 x， 我 们把这个分数线把它化成除号，除以 x， x 就 负三分之五除以负三分之五加括号啊，因为它有个符号，负负得正。 这个怎么算呢？再教大家一下，负负得正就不用看负号了，五除就变成乘这个数的倒数，那刚好等于三。 那既然刚好等于三和上面匹配的话，那所以这个点负三分之五，三是在这个 y 等于负负哦。 x 分 之负五的图像上，好，就做完了 提醒九法比例函数的实际应用。好，某药品研究了一种新药，好，它用于一个事业呢，他发现成人服用后，这个血液中的浓度 y 与这个服药的时间 成了一个函数的关系，如图所示。好，它还提醒你，在 x 四到十之间， y 与 s 是 成反比例函数，也就这一段是反比例函数图像，而这一段是直线经过原点是正比例函数的图像。 好，他说，第一个问，根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 的 函数关系式，也就是他让我们求出这个上升阶段的表达式，还有下降法比例函数的表达式。 那么在这个题目呢，他完全没有提示解析式。所以我们第一步要先设地段， y 等于 k 一 x， 那我们看这一段呢，是反比例函数，我们就设 y 等于 x 分 之 k 二，注意 k k 二要分开写下标啊，因为不同的图像 k 是 不一样的。 好，我们看，观察一下，这一个重比例函数是在零到四之间，所以我们写过程要注意分开写。当 x 带等于零到四时，设 y 等于 k 一 x， 那 其中 k 一 是不等于零的， 因为这一个直线经过点四八，所以把点带进去啊，把点四八带入到 y 等于 k， x 得好，把 x 换成四，也就是 k 一 等于 y 换成八， 那就解得 k 一 呢，就等于二。所以呢，这个函数表达式就是， y 等于这个 k 一 换成二二 x， 那么它的范围是在零到四之间哈， x 在 零到四之间。 好，第二段呢，就是在四到十之间，当 x 大 于等于四，小于等于十的时候，设 y 等于 x 分 之 k 二， k 二不等于零。 在第二段反比例函数上，它也经过这个四八，所以把点四八代遇到 y 等于 x， 分 之 k 二，得，那也就是四分之 k 二等于八， 那就减的 k 二就等于三十二，四八三十二，那所以这个函数 y 就 等于 x 分 之三十二， 那它是在四到十之间，把它标明出来它的范围啊。最后下个总结论，把这句话抄下来。所以血液中药物浓度上升和下降阶段， y 与 x 的 函数关系是分别为，第一个是 y 等于二， x 是 这个重比例函数，写出它范围 在 x 在 零到四之间。第二个是反比量数， y 等于 x 分 之三十二，它的 x 是 在四到十之间。好，第一个问就做完了。 好，我把第一问的结论写在这里哈，我们接下来做第二问好，他问这个血液浓度不低于四毫克，四微克毫升，持续多少小时？那不低于呢？就是 大于等于四微克每毫升。我们看这个图啊，你看这个是微克每毫升，也就是当这个 y 是 大于等于四，不低于嘛？大于等于四好，比如说四在这里，对吧？四， 你把这个点给算出来，大于等于四，它持续多少小时？所以你把这个四 a 这个点是当 y 等于四的时候， x 是 等于多少？ w 这个 y 等于四的时候， x 等于多少？好，这个这个时间减，这个时间它就是它持续的时间，所以我们关键要把 y 等于四这两个点给求出来。好，那我们看 第一个图像，就是正比例函数，这个我们刚刚求了直线 y 等于二 x， 那 所以你看， 当 y 等于四，再画一遍啊，当 y 等于四的时候，那我们就第一个方法，把 y 等于四，使代入到 y 等于二， x 得，那就可以得到二， x 呢，等于这个四。 好了，我们就解得在这个直线上，当 y 等于四的时候，它 x 呢是等于二小时两小时的时候。好，一样的方法，我们也是把这个 y 等于四大于到这个反比例函数上， y 等于 x 分 之三十二， 那我们就可以得到 x 分 之三十二等于四，且得呢 x 等于八， 那所以这个点呢，对应下来就是八小时。好，题目让我求的是药物浓度不低于，也就是大于等于四上面图像持续的小时，那我们直接就用这个八减二等于六小时， 这个六小时就是代表大于等于是上面这一段图像浓度持续的时间，所以最后答他，这个持续时间就是六小时 题型时反比例函数的综合应用，如图，点 a 负四二点 b， n 负四两点是在依次函数和反比例函数的两个交点。 好，第一个问，让你求一次函数反比例函数的解析式，我们从图像可以知道，反比例函数经过点 a， 所以 把点 a 负四二代入到 y 等于 x 分 之 m 可以 得到 负四分之 m 等于二。把 x， y 换掉。哈，那么解得 m 呢，就等于负八， 所以反比例函数解析式为， y 等于 x 负八，把负号拿出来， y 等于负 x 分 之八。 好，我们知道一个点坐标带进去可以求反比例函数，而两个点坐标可以求一次函数。题目告诉我们一个点 b 点是不知道，所以我们接下来就求 b 点坐标，也是在反比例函数上，把 b 点带入到反比例函数， 所以把 b 点代入到 y 的 负 x 分 之八可以得到。呃，这个负，这个 x 换成 n， 负 n 分 之八就等于这个 y 是 负四， 这个四值呢？符号去掉呢？ n 呢？就等于二，二四得八嘛。所以解的 n 等于二。 好，这两个 a， b 点知道，我们就可以带进去求一次函数了。把 a 点负四，二 b 点二负四带入到 y 的 k， x 加 b， 可以 得到两条式子，第一条负四换成 x 负四， k 加 b 等于二。 第二条二 k 加 b 等于负四。好，那我们再朝后只算一下这两条式子啊，我们把这两条式子进行相减，因为 b 和 b 一 样，那我们就用二减一，二，四减一，四。好，下面减，上面二 k 写在这里吧，二 k 减，注意，它本来就有符号减四 k， 那 也就是这个是二加四，那就是六 k， b 和 b 约掉了， 那这个是负四减上面减二就等于负六，所以 k 呢，就等于移过去六，负六除以六负一，所以 k 呢，就等于负一。 好，我们再把 k 等于负一带入二式中，这个变成负一呢，就是负二，负二加 b 等于负四，我带第二条啊，那 b 呢，就等于负四，移过来加二，那 b 就 等于负二， 所以呢，依次函数解析式为， y 等于把 k b 带进去， y 的 case 加 b， 那就是 y 等于负 x 减二。所以第一个问就做完了。我把第一个问的两个结论写在上面啊，因为我这里不够位置写第二问呢。好，那接下来我们看第二问，求上写 aob 的 面积。 我们观察一下这个三角形的面积啊，它是一个不规则图形，那我们要把它画成一个规则图形去求。你看我们把这个三角形把它分割成 a、 o c 和 b o c 去求就可以了。你看，为什么是分割成这一个呢？你看 a o c s 三角形 a o c 是 不是等于底层高？ oc 可以 求这个高呢，就相当于 a 的 重坐标， 这个 o c 呢，直接把 c 点坐标求出来就行了。然后我们再看这个三角形， b o c 也是这条底，而 y 的 重坐标为高。哎，它就等于我们要求的三角形 a、 o b 的 面积了。 好，那我们写过程关键是先把 c 点坐标求出来。 c 点是在依次函数 y 等于负 x 减二的图像上，所以令它的重坐标 y 等于零。 好，已知依次函数的解析式为， y 的 负 x 减二，令 y 等于零，则负 x 减二等于零， 那也就负 x 等于移过去等于二， x 就 等于负二，所以 c 点坐标为负二零。 那我们就可以求面积啦。所以 s 三角形 a o b 的 面积呢，就等于分开两个小的三角形。二三角形 a， o c 加 s 三角形 b， o c。 好， 上面这个三角形呢，就等于二分之一，从底从高， 你看这个底呢？ o c 呢，是等于，因为 c 点这边是负二零，所以 o c 这段就等于二，所以二分之一乘底二再乘以高。就 y 的 重坐标， y 坐标乘以二，加上二分之一 b， o c 呢，也是以 o c 为底，所以也是乘以底二再乘以高。是这个造型高在外面是 b， 也是 b 的 重坐标， y 坐标，所以乘以四，那这个它就等于二和二约掉，就等于二加上四，等于六。 第三问，观察图像，直接写出 k s 加 b 大 于 x 分 之 m 的 解集。 那大姐教过大家，求这种不等式的解析呢，就是谁大谁的图像就在上方。那 case 加 b 对 应的是依次函数直线， 对吧？直线的图像，所以直线直线图像就在上方，就是它解析了。好，那我们关键是求直线 和反比例函数的交点。先先把这两个分界点找出来。好，只看 x 的 坐标，这个点。对了， x 坐标是负四啊，这个是负四。 好，那我们看从这个点向左或向右看，我们先向左看，向左看刚好向左边看啊，这个点向左边刚好直线在它上方。哎，所以就满足啦。你看直线在上方，就是它姐姐，所以第一个就是 x 小 于负四， 就他截集了。好，或者再看另外一段，从这个 b 点看，他对的 x 坐标是二， 好，向左或向右看，我们向右看，是反比例函数在上方，那反比例函数要比直线大，不是我要的，我要直线在上方。 那我们再看向左看，你看左看，是不是这条直线在反比例函数上方。哎，就是这段距离了，也就 x 小 于二。但是这是反比例函数，不能取零啊，所以要加上大于零。所以呢，第二个情况是 x 大 于零，小于二。 ok， 以上就是今天分享的全部内容啦，如果大家总是学不好数学分数没有太大变化，你想数学提分，你想期末逆袭，那么你来报我的系统提分课，大姐只要三百六十五块就能高分逆袭期中期末考试，帮你从学渣变成学霸。 就连报名的学生都说花三百多块就能补出三千多块的效果，省下高价补习费。感兴趣的话，直接点击我的头像或者公众号，霸姐数学就能找到我的联系方式呢！

这是江西师大附中初中部九年级这个月的月考数学试卷，这张试卷相对来说整体还是比较基础的，主要考察一些基本概念、原理的理解与应用， 有一定的区分度，但是基础分应该占到一百零五分左右，难度适中。我们现在来一个一个来看一下。我们先来看一下选择题，选择题的话，第一题到第五题是最基础的啊， 这是没有什么问题的。第六题也是我们常见的啊，常说的题目就是这个二次函数与反比函数、一次函数混在一起考的，我们只需要理解，或者只需要去利用二次函数、一次函数、 反比函数的一些知识点，基本概念、基本原理就可以解决。然后第七题我们看一下填空题，第七题到第十一题也算是比较基础的。第七题呢，考察的是我们，呃，初二、初二其实初一就学过啊，初二上学期或者是那个初一下学期学过的。 然后第八题这边的话，英式分解八年级下册的内容比较基础的。第九题也是比较基础的啊，这个不内向的问题，初一上学期的内容。第九啊，第十题是我们这个学期学会的内容，上学期的一个面积，我们这里是不是可以用啊？这个公式的应用对于我们解决这个问题还是比较有帮助的。然后第十一题也是一些基本概念的理解啊， 我们注意这是我们宣誓这一段的内容，没什么难度，相对有难度的话是第十二题，第十二题的话有点难度，这边的话可能需要去分情况讨论，对于基础比较扎实的学生来说，他这里是一个拉分题。 第十三题，第一、二两个问题难度也不大，可以说基本上中等学生都能做对。第十四题也是数分题，第十五题，同样数分题。第十六题这边的话，第一问数分题，第二个的话，需要那个需要转变一点思维，转一点点小弯， 有一点点小难度，但是也不是太难。第十七题考察反比例函数，也是数分题。第十八题这边的话，手拉手模型全等的问题啊，还有那个勾股定律的一个应用，这边也是比较简单比较基础的。第十九题也是比较基础的数分题，然后第二十题相对来说也是比较基础的数分题。 第二十一题这边的话，呃，看一下第一问竖分题，第二问的话相对要转变一点点思路，第三问也不是太难，只要把第二问第一问做好了，第三问再稍微思考一下还是可以做的。然后第二十二题 回归到我们那个课本上的是不是圆的内接四边形的对角互补的这么一个问题来啊，以及我们这边要知道圆心角和圆周角之间的关系。第一问是竖分题，第二问的话证明这个我们平时也做过啊，我相信。 然后学校的老师，初三学校老师也带班上的同学正过。然后第三个问题也是比较常规的问题，我们这边正切线，正切线的问题连半径正垂直就可以，比较简单，只需要认真观察就可以解决。然后第二十三题， 第二十三题的话，这边第一问是送分题，第二问的话相对来说有一定的难度，可能对于中等上下的学生来说不利啊。然后第三题对于中等上下的学生来说不利。第二问和第三问算是一个拉分的两个问题啊，算是拉分的两个问题。然后我们说一下，这边对于比较拔尖的学生来说，大概考到多少分是比较理想的状态呢？我们再来看一下，首先这边 选择题基本上可以全对啊，然后，呃，填空题也基本上可以全对，这是对于基础好同学来说。然后有一点点难度的，我看啊，基本上就是最后一个问题的第二、三分会有点难度。然后这张试卷 个人预估的话，大概考到多少分之间？扣掉，扣掉一个八九分的样子，大概能够考到一百一十二分左右的学生，算是比较好的学生。当然拔尖的学生这段时间可以考个满分。然后对于中短的学生啊，可以考个九十到一百零五分之间，大概就是对这段时间的一个分析。

同学们，今天我们来看一题，根据反比例的图像去做一些范围取值的一些问题。大家好，我是只会讲解思路的选择老师，首先我们看一下，他说反比例的解析式已经告诉我们了，第一问简单对不对？把它带进去，就是 x 等于负二，所以 y 呢， 是等于六除以负二，也就等于负三，这题没什么问题，很简单。 好，然后我们再看一下第二问，他说二到四的发尾取五 x， 那 我们这里呢，尽量的能用竖形结合去做这一题，我们知道他 k 是 大于零，所以他是在一三象限。 好，我们知道他说二到四， y 是 二到四，我们这是四，这对应的四 二。好，我们看一下这个点对应的，我们把它带进去，这里是六除以二，这里对应的 x 为三， 那么这里呢，我们把它六除以四，得到的 y， 得到的 x 呢？就是一点五，其实就是二分之三，所以我们根据这个我们知道它是在这个范围内，所以我们马上就可以知道 x 呢是大于一点五， 小于三，把你自己写成二分之三也是 ok 的， 所以这是一题，根据数形结合去做即可。 当然了，同学们也可以根据它的趋势对不对？我们知道这里 x 越大反而越小，所以呢，我们就取这两个点，反过来就可以做到这一个。那我们继续来看，他说 x 在负一和一之间，而且不等于零，求 y 的 取值范围，我们同时也是可以画个图，为了不跟上面，我们就另外再画一个草图。 好，我们现在是 x 是 负一到二之间， 那我们一样的，这里负一对应的是在这里把负一带进去，所以 y 呢，是等于负六的二带进去呢，我们知道 y 呢，是等于三的，对不对？所以这里我们就要知道了，他要的是这个范围吧， 是这一个，因为他要的是这一个范围，所以对应的 y 呢，是小于负六的，所以这一边呢， 这一边当他自己是挖掉一个零的，对不对？这一边呢，是在哪个范围？是在这一个范围之内对不对？所以挖呢，也是大于三的，所以中间用个或来表示，那么这就是这一题的答案。 x 呢，是小于负六，小 大于三两个范围，所以这就是这一题的答案。同学们如果对数形结合熟悉，那么这一题还是不难的，同学们掌握了吗？

这两天有点事，没有及时给大家更新视频，那么今天给大家说几个我们反比例函数当中比较常见的模型结论，大家能记住更好，其实我们主要去体会的啊，还是我们当中的一个证明思路。 那么第一个就是我们的一点一垂直模型，那么这个其实很简单，我们直接写了啊，在这里我们求的是阴影部分的面积，比如说三角形 p u、 a， 它的面积其实就是我们二分之 k 的 一个绝对值。然后第二个我们之前也说过了，比较简单啊，它在这里求的是我们矩形 s 举 a、 b、 o、 c 的 一个面积，它其实就是我们 k 的 一个绝对值。 那么从第三个开始啊，我们简单的给大家来证明一下，在这里我们求的啊，还是我们三角形的一个面积，那么怎么去求我们三角形的面积？它就是我们二分之一乘底，乘高就 ok 了。 那么第一个我们这个三角形 a、 b、 c 的 面积等于多少？我们用二分之一底是谁啊？在这里我们标了这里有一个垂直， 我是不是可以以 bc 为底啊？然后我们做一下延长线，我过 a 点做一条勾，就是 a h， 那 么这个三角形的面积它就是二分之一乘 bc， 我们再乘 a， 这就可以了吧。那么具体是多少呀？我们来观察一下这个图啊。在这里我们 ab 这条直线是过圆点的，所以说我们 ab 关于圆点肯定是乘一个中对称的，如果说我 b 点的坐标是 x， 逗号 y， 那 么 a 点的坐标肯定就是负 x， 逗号 负外，所以说 bc 的 长度我们是不是有了呀，它就是我们 b 点的一个横坐标，就是 x b， 然后我们乘什么？是不是乘 a h 啊？ a h 的 长度等于什么呀？我们是不是在图里面可以看出来，其实就是我们这一段加上我们这一段啊？那么我们找一下呗， 这一段多长呀？我先看看啊。这个 h 点的坐标，纵坐标就是 b 点的一个纵坐标， 说负 x 的 话 y， 所以 说这一段其实就是 y， 对 吧？然后下面这一小段呢？我要正的，所以说这里我们应该是一个负 y 的 对值吧，所以说在这里我们乘的应该是一个，我直接化简了，我是不是乘一个二 y 就 行了呀？ 那么所以说这我再写一个，就是二分之一，是不是 x 乘二 y， 然后你这个二一消，那么他就是 x 乘 y， 也就是我们的 k 了，对吧？当然啊，你这个图我们过的是一个一三相线，你这里 k 是 大于零的，我直接写 k， 可以。 那么如果说我们过的是一个二四相线，你那个 k 是 不是小于零了呀？ 那么在这里一样呢？我们做的话，我还是把 b c 沿出去，我们过 a 点做一个垂线，你 a c 两点是不是也是关于圆点成对称的呀？所以说在这里我们三角形 abc 的 面积，它就是二分之一乘 bc， 我 们再乘一个 a， 是 了吧？ 然后你二分之一乘 bc， bc 多长呀？它其实就是我们 c 点的一个纵坐标吧，就是 y b， 然后你 a h 多长呀？其实就是这一段，我是不是加上这一段了？这两段 我肯定是相等的，对吧？跟刚才是一样的啊，那么我们是不是乘一个二倍的，是不是 x a 就 行了呀？那么在这里啊，你一乘这是二分之一，我们直接化简乘以 y， 是 不是再乘二倍的 x， 那么最后就是 x， y 也是等于 k， 那 么注意这里是我们过的是二次向量，所以说 k 我 们应该加一个绝对值，然后第三个是我们求我们一个平行四边形的面积，在这里还是看面积，我们这个平行四边形的面积是不是它就等于底乘高啊？ 所以说我们找的话，我们把这个平行四边形的底和高是不是找出来就 ok 了呀？一样的啊，还是观察一下我 b、 d 两点是不是这条直线，我过的是圆点，对吧？所以说它们俩肯定也是关于圆点成正对称的。那假如说 b 是 x， 逗号 y 的 话， 你第一点就是负 x， 逗号负 y， 对 吧？那么你平行四边形 a， d， c b， 那 么它就是等于我们的 ab， 然后我们过 c 点，是不有一条高，就是我们乘一个 ac 就 可以了吧？ ab 是 多少？他就是我们 b 点的横坐标，就乘个 x， 然后 ac 呢？其实他就是我们的 这一段，是不是加这一段了呀？然后你这一段他就是 y 了，对吧？那你这一段呢？他的长度是不是负 y 的 一个绝对值，对吧？所以说我们去节用 x 去乘一个二 y 就 行了吧，所以说这是二倍的 x， y 也就是二 k， 然后下面还是一样的啊，在这里我们过的就是我们的二十四向下了，那么它的面积等于多少呀？还是 s a， b， c， d 一 样的啊，我们可以以 ab 为底，然后以 b、 d 为高吧，我去找它的长度，你 ab 的 长度还是我们还去设一下吧，假如说 a 点是 x 多少 y， 那 你这就是负 x 多少 y， 然后 ab 多长，它是不是就是我们 a 点的一个中坐标，就是 y 了，对吧？那你 b、 d 呢？找一下，是不是就这一段加上我们这一段啊？那么它多长呀？你这一段就是我们 a 点的一个横坐标吧，是 x， 那 同样的这里 我们是不是也是 x？ 注意啊，你这 x 是 不是小于零的呀？所以说在这我们乘的应该是一个 二倍的 x 的 一个绝对值吧，那么它就是二 x 的 值，我们再乘一个 y， 那 么也就是我们二倍的 k 的 一个绝对值。这第四个模型， 那么接着我们再看另一个，还是我们的两线两垂直，这是另一个了另一种模型了，那么这个面积其实也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也好看，它就是我们二分之一乘 c、 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 bc， 我 们找它们的长度就行了，对吧？还是一样的，你 a、 b 肯定关于原点对称，那么你这段长度，如果说你设 b 是 x 的 话， y 的 话，那你 c、 b 肯定就是 二 x 了吧，你 c 肯定就是二 y 了吧，所以说它就是二分之一乘二 x 乘二 y， 也就是我们二倍的 x， y 也就是二倍 k 的 绝对值，那么后边这个图也是我们不难想，它肯定也是我们二倍的一个 k 的 对值。 第五个两条同号 k 值曲线加一个平行线，然后围成了我们的一个矩形，问我们这个矩形的面积是多少？在这里我们说看两条曲线的对吧？假如说上面是 y 一 等于 x 分 之 k 一， 那 y 二我们是不是等于 x 分 之 k 二，那么这个矩形面积我们怎么求啊？ 那么我们可以通过做差法去表示一下我们这个面积，那么我们怎么做差啊？我们可以因为你这个 d、 c 和你的 ab 是 平行的，我们可以过 cd， 我 们做下延长线，那么你这是肯定也是垂直的呀，标一个点 g 吧， 那么我们这个 s， d， c， b， a， 它的面积我是不是可以转化成为我们矩形 s， c， b， o， g 减去我们矩形的另一个矩形，就是 d， a、 o， g 的 一个面积， 你 c、 b、 o， g 是 不是相当于我过外面的一条，我往 y 轴，往 a 轴做垂线，那么它的面积是不是就是我们的 k 一 了呀？然后你这个 d， a、 o、 g 呢？是过地点，你往 y 轴和 a 轴做垂线，那么你这个面积是不是就是我们的 k 二了呀？所以说你 d、 c、 b， a 的 面积就是我们 k 一 减 k 二，然后这还剩我们在 d 一 象限的，你 k 大 于零的，我们这样写，可以，那么如果说你在 二次相切呢？那么其实这里是一样的，我们还是过 c 点，我们做一个垂线，你这个矩形 d， c， b， a 的 面积，它还是等于我们我们这个大矩形啊，就是 a、 o、 g， d 减我们这个小矩形 b、 o、 g， c 吧，你大矩形面积在这里我们就需要加一个绝对值了，你外边这个还是 y 等于 x 分 之 k 一， 你里边这个是 y 等于 x 分 之 k 二。 你大的减小的，是不是还是我们 k 一 减 k 二啊？只不过我们过的二次相线，所以说在这里啊，我们加一个极对值，那么下一个在这是让我们求一个三角形面积，已知你的 a、 b 和内轴还是平行的，你是不是我们也可以做一条延长线呀？就是我们的 a、 d 也是垂直于我们的 y 轴的，在这里你求我们阴影部分的面积，假如说还是一样的，这外面这是 y 等于 x 分 之 k 一， 里面这是 y 等于 x 分 之 k 二。我们是不是也可以用一个做差法去确定啊？ 在这里你三角形 a、 b、 o 的 一个面积，它是不是就是我们这个大三角形 a、 o、 d 减，你那个三角形 b、 o d 啊？你 a、 o、 d 的 面积在这是多少呀？它 a 点，在这个图像上，你是不是过 a 点做 a 轴外轴的一个垂线，所以说它的面积就是我们的 二分之 k 一 吧，那么你另一个就是我们的二分之 k 二了吧，那么这是第一种，那么这是在一三下线，那么如果说在二四下线呢？一样的，你过这里我们做一条垂线， 那么你 s、 a、 b、 o 的 面积是不是还是等于你这个 s a、 o d 减去 s 三角形 b、 o、 d 啊？ 那么在这里你就需要加一个绝对值了吧？还是一样的，就是我们外面这个是 y 等于 x 分 之 k 一， 里边是 y 等于 x 分 之 k 二，那么它就是我们二分之 k 一 的一个绝对值，是不是减去我们二分之 k 二的一个绝对值了？那么继续往下一个两条异号 k 就 取线， 这个我们怎么求啊？方法其实很简单，跟刚才一样，在这里，假如说我们右边这个是 y 等于 x 分 之 k 一 啊，你左边这个是 y 等于 x 分 之 k 二啊， 你 ab 和 ab 平行，所以说在这我都是垂直的，那么所以说你这个 s a、 o b 的 面积，三角形 a、 o d， 我 们设的是一个点 d， 是 不就是 a o d 加上三角形 b o d 了呀？ 你 a、 o d 的 面积就是我们二分之 k 二的一个绝对值吧，然后你再加上二分之我们 k 一 的绝对值就可以了吧，然后第二个也一样， 所以这个焦点是 d 啊，你 a b 和 y 轴平行的，在这里是，所以说在这我们是不是也是垂直的？那你 x 三角形 a、 o b， 它就等于 s 三角形 a o d 加 s 三角形 b、 o d， 设一下，上面是 x 分 之 k 一，下面是 y 等于 x 分 之 k 二， 那么所以说它的面积就是我们二分之 k 一 加上二分之 k 二吧，你可以都加个绝对值， 一样的啊。然后下一个求矩形了，你矩形也一样，你就是我们稍微简单点讲了啊，你这是 s 一， 这是 s 二啊，你 s 一 加 s 二，你这是这个 k 值是 k 一， 你这个 k 值是 k 二，那么你算的话，是不是也就是 k 一 的一个绝对值？假设我们 k 二的一个绝对值啊？ 然后在这里一样，这是 s 一， 这是 s 二，那你 s 一 加 s 二，它也是我们 k 一 的一个绝对值，加我们 k 二的一个绝对值了。接着我们看第七个梯形面积模型，在这里它也可以叫做圆点三角形， 那么这个图形的面积我们怎么去求啊？如果说我们用常规的方法去求你这个三角形，它是一个不规则的，对吧？你用常规的方法求它肯定不太好求，我们怎么去做呢？我们可以过 a 点往下做一个垂线， 你交 o、 b 有 点 c， 交 a 轴有点 d， 你 再过 b 点往下做一个垂线，你交 a 轴有一点 h， 其实 很简单，我们是不是可以得到我们这个三角形 a、 o、 t 的 面积，肯定是等于三角形 b、 o、 h 的 面积啊？ 你在这里你会发现啊，我们这两个三角形是不是有一个重合的部分呀？就是我们的三角形 o、 c、 d， 对 吧？那假如说你 o、 c、 d 上面我这个三角形是 s 一 啊，然后你 o、 c、 d 右边这是不是 s 二啊？你 a、 o、 h， 它是不是 s 加上你这个 s 蓝色的部分呀？那么你 b、 o、 h 它是不是 s 二，加上你这个 s 蓝色的部分，那么所以说我们可以得到 我们 s 一， 它肯定等于 s 二了。所以说你 a、 d 这条直线啊，你左边红色的阴影部分，我是不是可以放在我们右边去了呀？那么这我们是不是就不要了？ 这里我们是不是不要了呀？所以说我们求面积，我们求的是三角形 a、 o、 b 的 面积，在这里它是不是应该等于我们梯形 b、 h、 o a 的 一个面积？所以说我们求它是不是就可以了呀？那么也就是 b h 加 a d 阔起来，你乘个高高就是 d h， 你 再乘二分之一就可以了吧？这是一个转化啊。那么继续我们看右边这个图，在右边这个图当中，它只不过就是在每一条曲线上给我们取了两个点，然后我们连接它，我们并与点 o 相连，在这里我们还是有一个三十的面积， 那么这个面积我们如果说直接去求的话，也是不太好求的，那么这个我们怎么做呢？给大家说一下啊，你在这里我们有点 b， 哎，我 b o 是 不是连上了呀？那么我是不是可以 过 o 点哎，我给它延长出去啊？你看啊，那么你与这个坐标轴我是不是还会交了一个点？那么假如说啊，我们这个点是点 c 啊，然后你再把谁连上呀？你再把这个 a、 c 连上， 那么你现在有两个三角形，一个三角形是 s， 三角形 a、 b o， 另一个三角形是 s， 三角形 a、 o、 c， 那 它的面积是什么关系呢？你知道你这个 b 点和我们这个 c 点关于圆点肯定是对称的，所以说我们在这里可以得到我们 b o 肯定等于 o c， 对 不对？所以说你在这个三角形 abc 当中，你 b o， 我 们是不是等于 oc 了呀？所以说你这个 a o 它是不是就是我们底边 bc 上的一个中线的呀？那么中线有什么性质啊？比如说在一个三角形里边啊， abc， 我 取一个中点，我是不是可以得到我们这个三角形 abd 的 面积， 肯定等于三角形 a、 d、 c 的 面积啊？中线我们是等分面积的，所以说在这里啊，我们 a、 b、 o 的 面积肯定等于我们 a、 o、 c 的 一个面积，然后我们求红色阴影布的面积，我是不是可以转化成求我们 绿色阴影布的一个面积，那么绿色阴影布面积怎么求啊？哎，它是不是和我们第一个图就一样的呀？那么你绿色阴影布的面积，我是不是可以给它转化成一个梯形的面积啊？你过 a 点， 你往下做一个垂线，你过 c 点往下做一个垂线，那么你蓝色左边这个绿色的面积，我是 s 一 啊，然后你这个空白部分， 我是 s 二啊，那在这里啊，我们 s 一， 我是不是等于 s 二的呀？所以说我们求 a o c 的 面积，我们就可以让 x 二加 s 三就行了吧，我是不是又转化成了一个梯形的面积啊？所以说这是我们的梯形面积模型啊。第八个，双曲线穿矩形模型。在这里我们先说一下这个图的一个结论， 第一个就是我们用 b f 比上 fc， 它是应该等于我们的 a e 比上 ec 的。 第二个就如果说把 ef 连上，再把 ab 连上，你这个 ef 跟 ab 是 一个平行的关系，那么具体的啊，我们怎么去正一下它呀？那我看这个图 ef 两点啊，我们都是在这个反比函数上的，那么如果说我们过 e 点，我们往下做一个垂线， 然后我们会得到啊，你这个矩形整个的就是 a o b c， 它的面积就是我们矩形 a o h e， 是 不是加上我们这个矩形 e h b c 啊？这个也没问题，对吧？那么还是一样的，你 f 点是不是也在这个图像上的呀？哎，我们如果说过 f 点，你再做一条垂线，这是一点 m， 那么我是不是可以得到你这个矩形 a、 o b c 也是两个矩形相加，对吧？它就是我们的矩形 b o m f 加我们的矩形 a c f m 吧，那么你这两个矩形我们看一下啊，你 a o h e 和你的 b o m f， 它的面积是不是都是我们 k 的 一个绝对值啊？所以说通过这两个调节，我们可以得到你这个矩形 e h b c， 它肯定就是等于我们矩形 a c f m 的， 那么这两面是相等的，那么我们再看这里啊，我们正一个比的关系，那么我们正比的关系我们可以怎么正？也就是说我们看第一组啊，你正 b f bfc 在 这里啊，我们是通过一个矩形的面积是正的啊，你在这里，我们矩形的面积我们用哪一个？你在这里我们先看一下这个 b f、 m o 啊，然后比上我们这个矩形 a c m f， 那 你矩形面积怎么求？你 b f m o 在 这里，我们是不是可以用我们的 b f m o 在 这里，我们是不是可以用我们的 b f m o 呀？那么比上谁？你 a c m f， 他 在这里是不是就是我们的 f c 去乘我们的 m f 呀？你 m f 约掉在这里，我是不是得到了 b f 比上我们这个 f c 啊？那么另一组也是一样的啊，我们要谁比谁，是不是要 a e 比 e c 啊？那么我是不是可以用我们的矩形 a e h o 比上我们的矩形 e h b c 啊？那么它就是用我们的 a e 乘 a o 比上我们下面这个就是 e c， 是 不是乘了 a o 啊？ 那么 a o o 约掉他，是不是就来了一个 a e b e c 啊？那么为什么他们的比值相等啊？你前面我们刚才说了，你这两个矩形的面积是相等的，所以说我们可以得到你这两个矩形的面积是不是也是相等的呀？所以说我们通过前面这几个条件啊，我们是不是可以得到 我们的 b f 比上 f c， 它就应该等于我们 a e 比上 e c 了呀？那么这是第一个啊，它的一个边的一个比例，那么第二个我们怎么去称啊？在这里啊，我给大家连上， 用黑色的，我们把 e、 f 还有 a、 b 跟它一连，那么为什么说它是平行的呢？那么刚才我们第一个结论我们证出来了啊，你两条边是成比例的，哎，在这里啊，我们有一个直角，如果说你 b f 比 f c 等于 a， e 比 e c 的 话，那么我是不是可以得到？ 就有这个条件，我是不是可以得到我们的 a c 比上我们的 e c 肯定是等于我们的 bc 比上一个 fc 的 呀？然后其中我们这个角 c 是 公共角啊，那你这个角 c 是 公共角，它是不是等于九度？所以说通过它我是不是可以得到我们三角形 abc 是 相似于我们三角形 e、 c、 f 的 呀？那么我们用的是啊，是 s、 a、 s 边角边吗？如果说相似的话，我们得的话，是不是就是这两个角肯定相等了呀？然后你这两个角是不是也相等的呀？然后内错角相等，是不是两直线平行，所以说我就可以得到我们的 e f 是 不是平行于 a b 了呀？ 第九个双曲线穿直线模型。在这里我们先说结论，它的 c b 肯定是等于 a、 d 的， 我们怎么去证它是相等的呀？那么肯定是证全等呗。那么在这里啊，我们就需要构建一个全等向量形，怎么去构建？我是不是可以过 b 一 点， 你往这里做条垂线，假如说这是 b h， 然后你过 a 点，你往下做垂线，这是 am， 那 么你是不是可以正 b c h 全等于我们去正三角形 b c h 是 不全等于三角形 a d m 就 可以了呀？那么我们找找条件啊，在这里就是指向，然后你这两个角再除以 alpha 和 b， 它，那么我们是不是有 alpha 加 b， 它肯定等于九十度啊？那么我们这个 b， 它啊，是不是加上你这个角 m a d， 他也等于九十度啊？由此我是不是可以得到我们这个角 m a d 肯定就等于我们这个角 r f 了吧？所以说我们标一下，这个角就是 r f， 由此你这个角是被他了呀，然后 你这个角是被他，你这个角是被他。哎，我是不是可以得到？再推一步，那么是不是 h b， 我 们就平行于我们这个 md 了呀？ 然后你正全等在这里，我们有角等了，三个角都是相等的，那么我是不是找一组边就可以了呀？在这里啊，我们找谁？我们找的是 h b 和 md 是 相等的，因为这里有一组平行了吧。那么如果说我们把谁连上，我们把这个 h m e 连， 我们去正，我们有一个四边形了吧？就是我们去正啊，你这个四边形 h b d m， 我 们是一个平行四边形就可以了吧？你有一组边是平行了，我是不是要另一组边是平行就可以，它就是一个平行四边形了？那么我们平行四边形是不是肯定有对边？肯定是相等的呀？我们 h b 是 不肯定就等于 md 了呀？ 那么我们怎么去证它是平行四边形呢？在这里我们就需要用到我们上一个模型的一个结论，我们把它摘出来看一下啊，比如说我们坐标系当中 简单给大家画一下，这是垂直，然后这有一个点，这有一个点， 我这做了个垂直，然后过这里做了个垂直，我连接了它，然后又连接了它， 那么它就类似于我们上个模型，哎，这是垂直的啊，这也是垂直的，我是不是可以把它延延长出去啊？我是不是可以给它补成一个矩形，然后放在我们这个模型当中，也就是说我们过 b 点，我们延长出去，然后你过 a 点，我们再延长出去， 它也就是我们那个双曲线穿矩形的那个模型了吧？我们刚才正了啊，我们这个 b a， 哎， 在这个模型当中是不是肯定是平行于我们这个 hm 的 呀？所以说这个平行形我们就挣出来了，利用的就是什么啊？我们刚才那个双曲线穿矩形， 那么我们正得我们这个 b a 是 不是平行于我们这个 hm 的 呀？由此我们是不是可以得到我们这个 m d 肯定是等于 b h 的 呀？那么它既然相等了，也就说我们这个三角形是不是全等了呀？所以说最后我们退出来，我们这个 c b， 我 们是不是等于我们这个 a d 的 呀？

今天我们再来分享一个中考专题，关于反比例函数，读一下题，如图，反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 图像经过 a， c 两点过点 a， 做了一个垂直 y 轴交于点 b 过点 c， 做了一个 c， d 垂直 x 轴交于点 d， 连接 o， a， o， c 和 a c 组成这个三角形啊，这个三角形它的面积是四， 然后给了我们 cd， cd 比上 ob 是 一比三，让我们求 k 的 值啊。读完这个题啊，我们的这个切入点就应该是这个面积啊，从几何，因为有了图像，我们要从几何的 思维切入，也就是它可以列出一个方程，我们采用一个割补法， 也就是延长 b， a 和 dc 交于点 e， 这样，因为这垂直，垂直，垂直我们得到了一个矩形， 那么三角形 a， o， c 的 面积就等于我们矩形的面积减去这个三角形，这个三角形和这个三角形三个三角形的面积，这样是利用面积列出一个方程，那 要求面积列方程，我们就需要知道线段的长度，也就是 a， e 啊， c， e， c， d， o， o， d， o， b 这几个线段长度需要 表示线段长度，我们可以去设点坐标，然后通过点坐标表示线段长度啊。在这里我们假设我们设点 a 啊，我们可以设 点 a 的 坐标 m， 那 它的重坐标 m 分 之 k， 有 了点 a 的 坐标，我们 ab 就 可以表示出来，对吧？也就是 ab， 它是我们这个点 a 横坐标啊，当然这个 m 是 一个负数，所以我们的 ab 应该是负 m， 那 ob 就是 它的重坐标 ob 就 等于 m 分 之 k， 那有了这个线段，有了这个线段啊，那我们再去利用线段之间的关系 啊，因为 cd 啊，我们就能得到 cd， cd 它等于啊，三分之一的 o b， o b 是 这个，那我们就应该是 三 m 分 之 k 啊， c d， 我 们就表示出来，那 c d， c d 的 长度有了，那 c d 这个长度不就是点 c 的 重坐标吗？所以我们就是点 c 的 重坐标啊，也就是三分之 m 啊，三 m 分 子 k 啊，它就等于 x 分 子 k 啊，所以我们就能得到啊， x， 也就是 x c 啊， x c， 我 们横坐标， 它等于 y 的 c 啊，所以我们的这个横坐标，它就应该等，呃，等于这个三 m 三 m 好 点， c 的 坐标啊，有了横坐标，横坐标有了，那我们的这个 o d， o d 不 就是横坐标？但是有负号啊，因为我们的 o d 就 应该是负的三 m， 好， 我们有了 o d， 换一个颜色，我们有了 o d， 有 了这个 c d 啊， ab ob 啊，这个线段 a b， 这个，这个，这个都有了，那我们再去表示 a e 啊， a e， a e 和这个 c e， 那 我们的 a e， 它是不是就等于我们的 o d 减去？因为矩形 o d 就是 b e 啊，它是等于 b e 减去 a b 的 啊， b e 就 等于 o d， o d 是 负负。三 m 减去我们的 a b 减去一个负 m 啊，它等于负的二 m a e 我 们也表示出来，那我们再来表示一下 c e 啊， c e， c e 是 不是等于我们的 d e 减去 c d， 那 d e 是 不是就 o b 啊？就 o b 啊，也就是 m 分 之 k 减去我们的 c d 啊， c d 也就是减去三 m 分 之 k 啊，呃，它等于 三 m 分 之二 k 啊，有了这几个边，我们都表示出来，那么这几个三角形的面积我们 都能拿到了，我先先把这个矩形的面积 s， 矩形的面积啊，它就等于啊 o， b 乘以一个 o， d 啊， o， b， 我 们是 m 分 之 k， o， d 负三 m 啊，它就等于等于我们的三 k 啊，三 k 啊，负三 k， 负三 k 啊！矩形的面积有了，我们把每一个小三角形的面积再写出来啊，也就是 s。 三角形 a， c， e， 它就等于二分之一的 a 乘以 c 啊，你的二分之一乘以负二 m， 再乘以 三 m， 二 k， 负三分之二 k 啊，这个面积有了，我们 s， 三角形 a， b， o 等于二分之一的 ab， 再乘以 o， b， 啊， ab 有 了，就是二分之一乘以负 m， 再乘以 m 分 之 k， 它等于负二分之 k。 然后继续这个三角形 c， o， d 等于二分之一的 c， d 乘以 o d。 好 c， d， 我 们的 cd 啊，等于二分之一乘以三 m， 分 之 k 乘以 o d， 负三 m 啊，它等于也等于负的二分之 k 啊，这样我们 几个面积都表示出来了，然后我们利用面积就得到 s， 最后结果， k 等于负三。答案选 d， 希望这个题对你有帮助。

一般的形容 y 等于 k， x， k 为常数， k 不 等于零的函数叫做反比例函数 inverse proportional function。 其中 x 是 自变量， y 是 函数，自变量， x 的 取值范围是不等于零的一切实数。 一般的，当 k 零时，对于反比例函数 y 等于 k， x 由函数图像，并结合解析式，我们可以发现，一函数图像分别位于第一、第三象限二，在每一个象限内随 x 的 增大而减小。 一般的，当 k 零时，对于反比例函数， y 等于 k， x 由函数图像，并结合解析式，我们可以发现，一函数图像分别位于第二、第四象限二，在每一个象限内， y 随 x 的 增大而增大。

反闭的函数是九年级马上要开始了第三次月考，必考的题目，有的学校可能已经是第四次月考了，那哪些题目是高频考点的？我带大家捋一下。首先这个题目是你必须要掌握的，这个题目是二零二三年安徽省中考的填空题的最后题，填空题的压轴题， 你这次月考有可能会半圆题上去，所以这个你是必须要做的。那么下面的题目是什么呢？我们把反比例函数的题型分为两类，一类呢是考的 k 的 几何意义，主要是考图形的面积了，比如说这些题目，其实这个知识点还是有点难度的 好，这些题目你看一遍。那么还有一种呢，是考反比例函数的解答题，例如这个题目，这个题目是最经典的，也是最高频的考点，很多题目都在这个题目上进行那个改变，例如二一年的这个题目，二一年的安徽省的中考题的第十九题考的这样的。 然后再例如后面的这些题目都是在这个基础上进行了个改编，所以那个题目你是必须要会的，后面这个题目你看一遍，大家把反闭的函数题目全部看一遍，如果这里面有你不会的，你要进行下线来去做一做。

今天我们来看一道九年级上册关于这个反比例函数这章节的练习题。好，咱们来看一下题目 如图，依次函数 y 等于 k， x 加二的图像与反比例函数 y 等于 x 分 之 m 的 图像交于点 a， 二和 n 啊，这个 a 点的坐标是二和 n 与 y 轴交于点 b 啊， y 轴交于点 b 与 x 轴交于点 c， 负四和零啊，这个 c 点坐标是知道的，负四和零，咱们标一下啊， c 点坐标是这个负四和零啊。第一问， 他说求 k 和 m 的 值啊，这个题很简单，为什么？因为这个什么点 c 的 坐标是知道的，这个点 c 看图，它的带什么？在依次函数这个图像上，依次函数是这样一个解析式，只有哪个不知道啊？只有 k 不知道。就说咱们把点 c 的 坐标带到依次函数的解析式，就能求出 k 的 值，对不对？好，咱们来带一下啊！首先把这个负四和零带入这个 y 等于 k， x 加二里面啊，这个很简单，我直接写了吧，解的 k 有 多少？解的 k 等于这个负的二分之一好，然后还差什么？还差求 m 的 值， m 在 哪里？ m 在 这个 反比例函数图像里面，对不对？但是这个反比例函数图像上的点我们只知道了一个，只知道点 a， 而且这个 a 的 什么纵坐标是不知道的。就说我们要先怎么样先要求出，求出这个点 a 的 坐标， 然后这个点 a 的 坐标怎么求呢？因为这个点 a 它同时在反比例函数和一次函数的图像上，对不对？就说它就同时满足反比例函数的解析式和一次函数的解析式。那么咱们求出这个 k 的 值之后，就能得到这个一次函数解析式 y 怎么样？ y 它是等于二分之四，不是负二分之一啊，这里啊，哎，刚才写错了啊，这个不是负的二分之一啊，是这个二分之一啊，就说 这个一次函数解析式 y 就 等于二分之一， x 怎么样加上二。好，这个点 a 的 坐标在一次函数这个图像上带进来，怎么样就能求出这个 n 的 值，对不对？好，这个很简单啊，带进去得到什么？ 解的 n 等于三，一个解，一个一元。一次方程很简单啊，好，得到 n 的 坐标，咱们就知道是二和多少，二和三，然后点 a 的 坐标，在反比例函数图像上把二和三，怎么样 的反比例函数的解析式就可以了。同样的啊，带进去它也是一个什么，也是一个一元一次方程很简单，咱们就很能很容易。怎么样解出这个 m 等于几啊？ m 是 等于六的啊？啊，这个第一问啊， 第二问，他说如果点 p 是 a 和零，点 p 的 坐标是 a 和零，咱们标一下啊，这个点 p 的 坐标是这个 a 和 零，它说为 x 组成的一个动点。然后当三角形 a p b， 找一下三角形 a p b， 这个三角形的面积是二分之七的时候，然后求 a 的 值，也就是求这个点 p 的 横坐标，对不对啊？首先 告诉我们一个，这个三角形的面积是二分之七，我们肯定怎么样？肯定要把这个三角形 a、 p、 b 的 面积怎么样表示出来，如何表示？很简单， 我们先写一个思路啊，这个三角形 a、 p、 b 的 面积，这个它怎么样？这个三角形它是不特殊的，对不对啊？它是不特殊的，为什么呢？因为它没有一边和 x 轴或者 y 轴重合，对不对？怎么办？我们就要想到用其他的面积去减或者加，对不对？ 很明显，我们可以用三角形 a p c 这个大长方形的面积 a c p， 对 不对？减去三角形 b c p 的 面积，就得到三角形 a p b， 对 不对？好，写一下啊。也就是这个 s 三角形 a p b 它的面积，它这等于这个大长方形的面积 s 三角形哪个 a c p 对 不对？好，然后减去哪个呢？ s 三角形，小的一个 b c p 啊， b c p。 哎，等一下啊， 呃，这个地方数学家减去 s 什么呢？减去 s 三角形哪个？这个 b c p。 那 么我们现在就怎么样转化成表示这个三角形 a c p 大 三角形的面积和三角形 b c p 这个三角形的一个面积。大三角形 a、 c p 的 面积怎么样？很好，求三角形的面积公式。等于二分之一。什么？底层高，对不对？那么这个底是多少底？就是 c p 的 长度啊。那么这个 c p 啊， 因为这个点 p 它是一个动点，然后这个 a 怎么样？ a 是 它的一个横坐标，所以这个 c p 的 这个长度啊，它就有什么？有两种情况，第一种点 p 在 这个 负半轴，第二种点 p 在 这个 x 的 正半轴，有两种情况，对不对？就说 c p 的 长度怎么表，怎么表示呢？因为这个点 c 的 坐标是负四，对不对啊？那么长度怎么样？长度它就是一个 长度，就是一个什么呢？就是一个正的值，对不对？所以说这个 c p 的 长度怎么表示为多少呢？我写在这旁边啊， 这个 c p 的 长度长度，它是一个正的值，加上一个绝对值，然后点 c 的 坐标是负四啊，这里就是四，怎么样加上 a 啊，这个就是 c p 的 长度，它是等于一个什么呢？等于一个啊，四加 a 的 一个绝对值啊，绝对值。好， 那么得到这样一个 c p 的 长度之后，咱们就可以表示 s 三角 s 三角形 a， c p 的 一个什么面积了啊，咱们来写一下啊， s 三角形 a， c p 的 面积等于二分之一，什么等于这个加等于二分之一底是这个 c p 的 长度，对不对啊？ c p 的 长度就是这个 绝对值，这个四加上 a 怎么样？底乘什么底？乘以这个高啊，那个乘号啊，一个乘号高是多少呢？高就是这个点 a 的 什么坐标？ 点 a 的 重值标是几啊？是三啊，就是乘以减，乘以三。好，然后减，减去哪一个？减去 s 三角形 b， c p 的 一个面积也是一样的，三角形的面积公式等于二分之一，怎么样？二分之一底，它的底怎么样？还是 c p， 对 不对啊？乘以这个 四，加上 a 怎么样的一个绝对值，然后乘以高，他的高就是点什么？点 b 的 一个重坐标是多少啊？点 b 的 重坐标在这里，对不对？咱们没有求这个点 b 的 重坐标，对不对啊？这个，那么这个点 b 的 重坐标也很好求，怎么办？ 这个点 b 它在 y 轴上，它是这个一次函数与 y 轴的一个交点。什么等于零？是 x 等于零，那么当 x 等于零的时候， y 等于加 y 就是 等于二的，对不对？就说这个点 b 的 坐标就是多少？ 就是这个零和二啊，也很简单，就说高就是 g， 高就是二啊，高就是二。好，它的面积怎么样？减出来等于这个 s 三角形 a p b 的 面积，题目告诉等于二分之七啊， 就是等于二分之七，那么这就是一个什么？这就是一个一元一次方程对不对啊？一元一次方程，那么解法也是很简单啊，解出来怎么样？ a 有 几个值啊？ a 有 两个值啊，一个值怎么样？ a 是 等于几啊？ a 是 等于三， 另外一个字 a 怎么等于几啊？ a 是 等于负的一十一啊，一十一。好，那么这个题啊还是很简单的啊，嗯，那么在这个解这个含绝对值的这个应用式方程的时候，如果不会的同学啊，很简单怎么办呢？就是说你这个绝对值符号怎么样？ 他有两种情况，第一种里面怎么样？大于零的情况下他就怎么样，直接是四加 a， 直接去掉绝对值符号，如果里面小于零的话怎么样？ 小于零的时候，那么就变成他的相反数，懂了吧？就说这两个绝对值，他有两种情况，第一种怎么样？都是这个 正数，直接去掉绝对值符号，第二种都是负数，要变号啊，就说解的 a 有 两个是，一个是三，一个是负的一十一。如果说对这个方程啊，都有这个有问题的同学啊，可以这个在评论区私信我啊，我给大家这个讲解一下，具体讲解一下。好，那么今天这个内容啊，咱们就讲完了，大家听懂了吗？

好，同学们，今天呢，我们看一下这个反比例函数类的这一个概念的相关的一个题型啊，我们知道这个反比例函数的这个啊，这个是 y 的 什么 x 分 之 k 的 k 呢，不等于零，或者我们可以写成 y 的 什么 k 乘以 x 负一次方，对吧？同样的 k 呢，也是不能为零的啊，那么根据它的这个表达式呢，有的一起乘以 x 乘 y 等于 k 啊，就是说常见的呢，是这两种形式啊。好，我们看一下它的第一个 例题啊，等于说，若函数 y 等于 x 二， m 减四次方，是 关于 x 的 反比例函数，则 m 的 值等于多少？好，你看，首先这个像这个题，你看你这个题我要满足什么呢？你看 m 加一对吧，不能等于零，对不对？然后呢，这一个 啊， i m 减四啊，你看可以负一对吧啊，同这个看的，你看 m 怎么样，不能等于负一对吧，这个你看 i m 负四移过来的话，四啊，你负一加负三， m 等于多少 啊？二分之三。好，你看从这个上面一个 m 不 等于多少， m 不 等于负一啊， m 不 等于负一和 m 等于二分之三，它不互相保证，那么所以说我们这里就把 m 呢就为二分之三啊，三分之三。 好，那你看 v 二的具体比如说入反比例函数啊， y 等于 m 加二，括起来除以 x 的 m 的 平方减十啊，你看 m 的 平方减十啊，你看 的图像分在第二四象限内，则 m 的 指数多少，你看从我们这个来看，一样的，你看 m 的 平方减十等于多少？负一，对吧，你看 m 加二，这里面它就 啊，不是说是不等于零就 ok 了，你看它分不在哪里第二次相切的啊，我们都知道，你看 y 等于的话， x 分 之 k， 如果 k 大 于等于一三相切，对不对？ k 小 于零的，在二次相切。好，那你看这个，它分布在二次相切，就说明什么呢？说明我们的 m 角是零的，小于零的啊，你看，从这个来看呢，你看 m 的 平方等于啊，你虚估计等于多少九 m 呢，等于多少 正负三，对吧？你看这里啊，可以看得出来，你看 m 呢，你看是小于号负二，所以说我们呢 m 呢，只能去多少 负三，对吧？啊，这个呢，它是有条件的啊，像第二题的这个是有条件的，就说它三不在第二次向前，就是以隐藏条件，如果他没有说，就说正负三都 ok 的。 所以这个答案是多少负三啊，就是我们的这一个。呃，反比例函数这一部分呢，就容易靠类似的这种填空题考到这个概念啊，又考选择题了，这部分题呢，就是我们把这个概念记熟了以后呢，基本上就没有什么问题了， 同学们，就有这个，有不会的人在评论区跟老师说吧，老师教你把这部分题呢，就是做会。