石门坊中的圆有哪些数学6年级上册

哈喽，同学们好，我是小林老师，今天我们讲圆的认识。好，我们看一下 在这些物体上有都有什么几何图形，我们看一下第一个图，我们可以在这图中找到圆形，第二个图是摩天轮，我们也可以在图上找到圆形， 第三个图也一样能找出圆形，第四个图也是，所以呢，在生活中我们经常见到圆形的存在，例如时针呢，时针啊，还有呃， 茶杯上的水面上也有圆形，还可以在自行车两个车轮上找到圆形。 还有呢，在硬币上也能找到圆形。那这个圆形跟我们以前学习过的图形有什么不一样呢？以前学过图形都是有 几条线段所围成的封闭的平面图形。那圆形呢？它是由几条由曲线所围成的封闭平面图形，区别就是一个是由直线段围成，一个是由曲线围成的。好， 那我们如果要在纸上画圆，应该怎么画呢？有同学会想到，哎，我用茶杯的盖子画圆，可以，也可以用三角尺上有一些，三角尺上面有一个圆，他也可以画，但这些都是借用了食物来画圆，他不能够 画出圆的大小，只能画出圆的形状，这是有缺点的。那我们怎样去画圆呢？哎，我们可以用圆规来画，那我们先认识下圆规这个物品，那圆规呢，有两条角，第一条角是带有针尖的角 啊，另一条角呢？它是带有铅笔的角啊，那如何画圆呢？ 我们首先，哎，要固定好两脚尖的距离。第二步，将带有针尖的角固定在一个点上。然后呢，将 装有铅笔的那条角旋转一周，画出一个圆，这样子圆就能画出来了，那圆上的 o 还有小 r， 它表示什么意思呢？还有用圆规画出的圆，大小为什么不一样呢？我们看一下 那圆上面，它有用圆规来画圆呢，也。针尖所在的点叫做圆心，我们通常用字母大 o 来表示。 好，那连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用小 r 来表示，一定是连接圆心， 而且还是圆上任意一点，一定要在圆的上面。哎，这个红色的曲线上面的任意一点的线段一定是线段好， 叫做半径，通常用字母小 r 来表示。半径的长度是，就是圆规两个角之间的长度。角字写错了啊， 半径的长度呢，就是两角尖的距离，圆规两角尖的距离。好，那还有呢？ 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母小 d 来表示。要注意啊，这个 直径呢，一定要是通过圆心的，而且线段两端的端点一定要在圆上面，也一定在曲线上面的，那我们通常用字母小 d 来表示。 用圆规画出不同大小的圆，剪下来，我们可以发现啊，在一个圆内 一个圆呢，它有无数条半径，也有无数条直径啊，那沿着直径对折呢？我们发现两边可以完全重合。 说，说明这个圆是轴对称图形，还说明了它有无数条对称轴，以及 任意一条直线所在的直线都是它的对称轴，那直线就是它的对称轴了啊。好，继续在同一个园内，或者是大小相同的园内，大小相等的园内。 好，它有什么特点呢？ 所有的半径都相等，还有所有的直径都相等，直径的长度是半径长度的两倍。那用字母怎么表示直径？用字母小 d 来表示半径，就是用字母小 r 表示。 d 等于 r， r， 那 反过来 r 就 等于二分之 d。 好， 那把圆沿着 一条线啊，一条直径对折，然后两边是可以完全重合的，这是圆上面的特点啊。那圆心的中间位置，呃，圆的中心位置有什么决定呢？半径决定圆的什么呢？ 哎，我把圆定圆心定在一个点上面，定在一个位置上面，那这个圆的中心位置就确定了。好，例如我把圆先定在这里，那圆的大啊，中心位置我们就基本确定了。那半径决定了圆的大小。 半径是圆规两个角之间的距离，所以他就决定了圆的大小。这也为什么我们画出来的圆的大小不一样，是因为画用画圆的时候，我们用圆规那两角间的距离不一样，所以画出的大小就不一样了。 好，那这节课呢，主要是讲了圆的知识。用字母大 o 来表示圆心用小 r 来表示直径，用小 d 来表示的是。 呃，用小 r 表示半径，用小 d 来表示直径，那半径和直径的关系就是 d 等于二 r， 也就直径等于的长度等于两倍的半径长度，或者 r 等于二分之 d， 半径的长度等于两二分之一分之几直径的长度。还有 画圆，我们学了画圆，画圆的时候用圆规的两个角分开的距离就是半径的长度，针尖一角的固定的点就是圆心。圆心用字母小 o 来哦，大 o 来表示。好，做一下题，练一练。 用圆规画一个半径是两厘米的圆，并且用字母 o、 r、 d 表示它的半呃圆心半径和直径。好，那我知道半径是多少，所以我们用 尺子量出圆规两脚尖的距离。好，是两厘米啊，圆规的 两脚尖距离就是这个针尖与这个呃铅笔的距离是两厘米，然后再定好圆心的位置，画出来， 标好圆心字母大 o， 然后半径就是圆心和圆上 任意点的距离，就是半径的长度，用小 r 表示，并且标出来是两厘米，那直径就是通过圆心，并且两端都在圆上的 线段，它就是直径。用小，而用字母小 d 来表示。好，下面哪些是半径，哪些是直径，哪些什么都不是。为什么？我们观察一下， 首先半径有哪些？半径一定是在圆心到圆上任意一点，所以 o 圆呃线段 o、 c 是 半径， 线段 o、 c 是 半径，还有哎，线段。 我们观察一下，线段 o、 d 是 不是也是半径呢？好，线段 o、 d 也是半径，还有没有呢？再看一下半径 o、 g 也是半径， 所以圆心到哎圆上的任意一点的距离叫做半径。我们找到只有这三条线段，那直径呢？直径是通过圆心，而且两个端点在圆上面。看一下，只有线段 c、 d 是 有点延迟啊， 线段，哎 g， d， 哦 c， 不好意思，卡住了，重新写， 只有线段什么呢？ c 和 d 对 吧？线段 c、 d， 它是圆的直径，那其他的是不是圆的 直径的话，半径呢？其他就不是了。剩下那几条它没有在圆上面啊，也没有，或者是没有经过圆心，而且 它那个点也没在圆上面，你看这个 o h， 它这个 h 这个点就没有在圆的上面了，所以它也不是直径，那直径只有一条是线段， c、 d 是直径，其他都不是。好，我们继续往下走。 好，看一下。第一题，在同一个圆内可以画出一百条直径， 在一个圆内，圆的直径数量是无数条，所以第一题错误。第二题，所有圆的直径都相等，对不对？不对，只有在同一个圆内直径都相等。错误。第三题 啊，这个在同一个圆内啊，只有在同一个圆内才有直径相等。 好，那第三题，两端都在圆上的线段叫做直径，对不对？不对。为什么呢？因为这个两端都在圆上，而且 经过通过圆心的线段才叫做直径，他定义不要漏了啊。第四，直径是三厘米的圆，比半径是两厘米的圆还要大。好，我们看一下，半径是两厘米的圆，那它直径是多少？直径就是二 r、 d 等于二 r 就 等于四厘米。那三厘米和四厘米谁大呀？那肯定是四厘米大啊，对吧？所以 这道题直径是三厘米的圆，比直径。是啊，半径是两厘米的圆，大成错误的啊。下一道题， 直径长度是半径长度的两倍。不对，要在同一个圆内，或者是在等圆内，或者也就说等圆就是在相等大小的圆内，半径的 长度是直径长度的二分之一，或者是说长直径长度是半径长度的两倍。好，第六题，在一个圆内，从圆心到圆上任意点的线段。啊。对，任意点的距离都相等。 好，从圆心到圆上任意点的长度就是直径，那圆上的同一个圆上的直径长度都相等。好，这题是对的。我们继续 画一个直径四厘米的圆，那圆规两角尖的距离应该是四厘米，不对，为什么呢？因为 圆规两角尖的距离是半径的长度，这里应该是半径， 半径就是二分之一的，应该是四厘米。好。 第八题，等圆的半径都相等，哎，大小相等的圆内半径长度都相等。好。第九题，半径是射线，直径是线段。不对，半径和直径都是线段。 好，继续，圆心决定圆的位置，半径决定了圆的大小，正确，这个刚讲过。好。第十一题，经过圆心的线段都是直径，不对，哎，刚好跟上面有一道题刚好 误补了一下，一个是只说了经过圆心，另一个只说线段在圆的两端一定是经过圆心，而且两端在直线啊，在圆上面才的线段才叫做直径。它有三个要点啊，好。十二题， 时钟的分针旋转一周形成的图形是圆，这里是正确的啊。我们继续看图填空，我们看下第一题， o 到，哎，原先到圆上一点的距离是半径，半径是三厘米，那它直径就是二，二就是三乘二或者二乘三等于六厘米。好。第二题， 这个直径标出来是六厘米通过圆心，而且线段两端在圆上，然后所以这条是直径，那直径是六厘米，那半径呢？就是二分之二，也就是六除以二等于三厘米。好，继续。 这个圆在正方形里面，而且直径的长度等于圆啊，这个正方形的边长也就是直径等于十厘米，那半径呢？就是十厘米除以二等于五厘米。 好，下一道，这个圆呢？在这个梯形里面，然后这个圆的半径长度是跟这个梯形的高相等，所以半径是等于三点五厘米，直径就是三点五厘米乘二等于七厘米。 那我们本节课学的哪些知识点呢？我们学习了圆心，那这个圆心呢？它是针尖所在的位置，它叫做圆心，用字母大 o 来表示，它决定了圆的位置。好，我们还学习了 圆上面有无数条直径，也有无数条半径，它都可以决定圆的大小。半径用字母小 r 来表示，而直径呢，用字母小 d 来表示。半径的定义就是由圆心到 哎圆上任意点的距离，就是的线段叫做半径啊。直径呢，它表示的是经过圆心，而且 这个线段两端在圆上面才叫做它的线段，才叫做直径。 以及在同一个圆内画等圆中，这是大小相等的，圆中直径的距离是半径的两倍啊。那半径的距离长度是直径的一半，也就用字母表示， 字母表示就是 d 等于二 r 好， r 就 等于二分之 d。 好， 那本节课呢，知识点就讲到这里，我们下节课再见。拜拜。

呃，各位同学，各位家长，大家大家好啊，呃，欢迎回到小胖老师的数学课堂， 那么上一个视频呢，咱们说，呃这个关于圆的基础和圆的一些周长面积的公式，以及比较经典的应用题，咱们大概说了一下。 今天这节课呢，咱们重点讲这个圆的组合图形，说白了就是涉及到图形的问题啊，比较难的还不是应用题，比较难的就是什么啪，给你一个图形，在这让你求这个组合图形的周长或者面积，大概怎么求？好吧，今天我们来处理一下 来，今天的呃课程咱们就分成这两个部分啊，常见的圆的组合图形以及组合图形求正常面积，咱们怎么处理？来看一下。首先第一种常见的图形是圆环，这个呢，其实咱们 见过好多次看啊，所谓的圆环就是外边一个大圆，里边扣一个小圆，那你出来的中间这个蓝色的这一圈就叫做这个圆环，那么它的面积怎么求呢？很简单啊，很简单。 小胖老师呢，在这里建议同学们在求圆环面积的时候，把这个圆环的 两个半径写出来，内圆也就是里边这个小圆的半径是三厘米，外边这个大圆外圆的半径是六厘米。 咋求圆环的面积呢？那圆环的面积不就是大圆的面积减去小圆的面积吗？ 这里边注意一下啊， pi 我 们一般当成三点一四来求，嗯，来求解，但是三点一四乘以一个其他的数，这个数会变得特别大，你不好算对不对？所以一般来讲，我们就先把 pi 放在这， 把它当成公式提出来，我们括号里边剩 大二的平方减去小二的平方，这样的话，甚至我们口算都能做得出来。比如说大二是六六的平方是三十六，小二是三三的平方是九，三十六减九是二十七， 再乘一个派是不就可以了？如果我们背了派表的话，二十七派是可以求的啊，得八十四点七八。如果， 如果老说我没背咋办？那你没背，那你就得列竖式了噻，三点一四乘以二十七嘛，平方厘米就可以了。呃，图形题如果， 如果不嫌麻烦同学们啊，建议写一下答，因为有的老师要求是同学们这个图形问题要写答的好吧，答阴影部分的面积是八十四点七八平方厘米。这道题就结束了，注意看啊。 首先把两个半径摆出来，摆出来之后呢列圆环的面积公式等于大二的平方减小二的平方，再乘一个 pi， 把这个括号里边直接算出来多少多少 pi， 再乘以三点一四就可以了。那当然了，也不止 图形的问题，也有可能给你出个应用题，说中心有个圆形花池，直径是八米，扩建后直径增加到十米， 面积增加了多少？那你看，原本是中间这个空白部分的小圆，现在呢？你扩大了之后是不是就变成外边这个大圆了？连阴影部分在中间空白部分都是现在的圆形花池了， 那你增大的部分，或者说面积增加的部分，是不是就是阴影部分？好了，按，按照刚才小胖老师说的，两个半径先出来大的半径。注意啊，八米也好，十米也好，都是直径，所以大的半径是十除以二五米， 小的半径是八除以二 四米 好了。然后呢，圆环的面积就是 pi 乘以五的平方减四的平方， 千万注意啊，带平方的这个不是乘以二五的平方，五五二十五四的平方四四十六，二十五减十六九， pi， 这个总应该背得到了吧？二十八点二六 平方米，因为是应用题，必须写答答，花尺的面积增加了 二十八点二六平方米，这道题就结束了。老规矩啊，让我们求圆环，就先把两个半径，两个半径摆出来，摆出来之后再套圆环的面积公式。怎么求派乘以大 r 的 平方减小 r 的 平方，就等于圆环的面积。 好吧，关于圆环，我们就讲到这里啊，来，继续扇形， 扇形的半径是二十四厘米半径啊，圆心角为六十度，此扇形的面积啥意思？什么叫圆心角？这里边说一下啊， 所谓的圆心角，是指以圆心为顶点，注意看这个地方六十度，中间这个尖尖圆心为顶点，圆的两条半径作为这个角的两边， 这两条是半径，中间这个点是圆心所形成的，这个角就叫圆心角， 那圆心角。当然了，你这个角岔开的越大，这个圆心角就越大。那么你看啊，我大概画一下，这个整圆的面积大概是长这个样子的，对吧？画的有点像正方形了，整圆的面积大概是长这个样子的，它是不是一圈正好是三百六十度？ 一圈三百六十度的话，是一个整圆，那你只有六十度的话，对应的是不就是整圆的六分之一？就是三百六十分之六十， 对吧？那我求一个整圆的面积乘以六分之一，是不就是这个扇形的面积？啥意思呢？二十四的平方派，这是不是整圆的面积？再乘一个三百六十分之六十， 这样的话就是这个扇形的面积。好了，来，二十四的平方，还有乘一个六分之一，呃，是这个九十六、 九十六派，那么九十六派是多少呢？这个派表上应该是有的啊，但如果记不到的话，还是要列数字，三百零一点四四 厘米。答，这个扇形的面积是三百零一点四四厘米。 好，首先我们设计到扇形的面积啊，一定要注意，它是整圆面积的几分之几， 整圆面积的几分之几呢，决定于这个圆心角的大小。我们首先求整圆的面积，然后再乘以三百六十分之六十，那这个圆形角是六十，你就乘以三百六十分之六十。如果这个圆形角是九十度，那你就乘以三百六十分之九十，那就是四分之一元。 好吧，这道题就结束了，关于扇形，咱们怎么求？就结束了啊。那么如果，如果什么？如果我们在这个扇形上来一刀， 咔嚓，会切出来一个类似于一张公的图形，我们把这个称之为公形。这个公形的面积是多少呢？咱们怎么求呢？很简单，扇形的面积是四的平方派， 乘以三百六十分之九十度，也就是四分之一圆，这个地方圆形角四分之一圆，垂直的，再减去这个空白，我画红色阴影的这个长方形， 那这个三角形，它是不就是这个角形的面积？这个三角形底是不是正方形的边长四分米，高也是四分米，所以四乘四，别忘了三角形的面积还要除以二的底乘高要除以二啊。 好了，来咱们看一下啊，四的平方是十六十六乘以四分之一还是四，也就是四派 四，四十六除以二得八，那四派减八是多少呢？四派是十二点五六，减去八就是四点五六。 咳咳咳，这个五写的像个六，来啊， 单位是分米，那你这个面积的单位就是平方分米。这道题就结束了。 好，那关于公形呢？其实它就是一个扇形，你别管它多大的扇形啊，就是大概这样的扇形， 然后呢，中间来一刀，把这个三角形给它切掉，剩下的部分就是所谓的公形，因为它涉及到一个圆弧加一条直的线段。这样的图形呢？ 我们怎么求它的面积呢？用扇形的面积减去这个三角形的面积就可以了。继续啊，鱼尾形。什么叫鱼尾形？看这里啊， 阴影，这个紫色的阴影部分呢，看不太出来，但是你看我画红色的部分，再涂一个红色的部分，这个是不是有点像一个金鱼的尾巴色的图形？这种图形我们把它称之为鱼尾形， 和刚刚弓形的部分恰好相反。恰好怎么相反了？刚才弓形的部分是圆，减去三角形，那这个鱼尾形呢？是不是不就是？你看画阴影的这部分是不是就是正方形？ 这个正方形减去这个扇形 就是大概红色的这个阴影部分。那你这边呢，再乘一个二就行了，或者怎么样？或者我直接用长方形的面积减去两个扇形是不是就可以了？好，来我们看一下啊，这是半径八，那么这个地方 就是这个长方形的长，这个地方是不就是圆的直径十六，长是十六，宽是八，那你的面积就十六乘以八呗。 来，那你十六乘以八的话是长方形的面积，八的平方派是整圆的面积， 一个扇形这是九十度，那你是不是四分之一圆，两个是不是二分之一圆，也就是半圆？整圆面积算一半 除以二或者乘以二分之一，这个就是长方形的面积，这个就是两个扇形，一个半圆的面积一减是不就是这个，这个，这个。呃，两个鱼尾形的面积，或者说整个阴影部分的面积是多少呢？ 一百二十八减去八的平方是六十四，除以二是三十二倍， 一百二十八减去一百点五六等于二十七点， 哎，不对，三十二派不是一百点五六是吧？哦，三十二派是一百点四八，所以呢，一减得二十七点五二， 算算啊，一百点四八，哎，对的，平方厘米 阴影部分就求完了答，就可以了啊。 答，所谓的鱼尾形啊，就是一般来讲就是一个正方形减去一个扇形，那当然了，如果给你出多个鱼尾呢，就是你用更大的长方形减去半圆，或者说比如说给你出一个整个的大正方形的这种，你就用大正方形减去整圆的面积就可以了。 好吧，来，接下来呢，咱们组合图形啊第二个部分了，组合图形求周长和面积， 那么我们需要分别就去考虑周长怎么求，面积怎么求。首先看周长啊，这里是一百，这里也是一百，这两条直的线段给我们了，直接就一百乘以二呗。 问题来了，你这和这还有两条圆弧呢，能够凑成一个整圆的周长，这个圆弧和这个圆弧凑成一个整圆的周长，直径是六十，对不对？那你周长是不是就是六十派？ 组成这个组合图形的四条线的部分，两条直线段，两条圆弧，是不是就都算起来了？加起来就行了，二百 加上一百八十八点四， 得到三百八十八点四 厘米就是周长啊，就是周长面积呢， 面积。其实这里边一定要注意啊，这里边小胖老师建议同学们呢，在我们求面积之前，我们首先确定一点，确定一点什么？这个圆的半径你求了没有？ 直径是六十，半径就是三十，你先用六十先除以二啊，三十单位是厘米。 好，然后呢，再求整个组合图形的面积，中间这个长方形的部分，长是一百，宽是十啊，宽是六十，那么长方形的面积就是一百乘以六十， 外边还有两个半圆，正好拼成一个整圆的面积，整圆的半径是三十，那么面积就是三十的平方派， 加起来就是组合图形的面积。六千 容易出错的地方来了啊，三的平方得三乘以三的九，三十的平方可不得三十乘以三啊，三十的平方是三十乘以三十的九百 九百派，九派是二十八点二六，九百派是两千八百二十六，加起来得八千八百二十六平方厘米，没有小数点啊，整数的 答就可以了。答，这个组合图形的周长是三百八十八点四厘米，面积是八千八百二十六平方厘米就完事了。 好，看，下一个。这个组合图形的周长和面积咱们怎么求呢？还是一样的，周长和面积分开来，首先看周长， 一条一百，两条一百，第三条八十，所以它的周长是三条直线段的部分，就是一百加一百加八十 好了，还有条圆弧，这是半圆弧对不对？整圆的周长是八十派， 但注意，这是整圆的周长啊，你这只有半圆弧，对不对？所以是除以二的 这条线一加是不是组成整圆的？组成这个组合图形的四条线，你已经加到一起了，前面是二百八十，加上四十派 正圆，是啊，不对，呃，四十派是十二，一百二十五点六，再加二百八就是四百零五点六 厘米。 周长就求完了。面积呢？还是老规矩啊。就像刚才小胖老师建议同学们的，你先把半径确定一下，比如说老师这道题的半径有，那你就写一下这道题的半径没有 直径是八十，那么你的半径就是四十 四十厘米。写一下啊，写一下，这样的话比较方便。我们求面积啊，来整个长方形的面积， 算上阴影部分的这块半圆，是不是就相当于整个长方形的面积是一百乘以一百乘以八十？ 但是阴影部分这个半圆其实是没有的，是我们后来把它涂上去的，对不对？ 实际上没有这个半圆的，所以你在最终求它的面积的时候，是不得把它减掉，所以你要减去这个半圆的面积。四十是半径，四十的平方 pi 是 不是整圆， 再除一个二才是半圆？为啥小胖老师让同学们先求半径？就是这个道理。如果你这个地方写什么二分之八十括号套平方，再乘一个 pi， 哎，这个地方我除以二了，后边我就不用除了。那你不除可就错了。为什么？因为八。如果你写成这个， 这除以二是因为它本身八十是直径，所以除以二你得半径，你后边不再除以二的话，你这算的就是整圆的面积。可问题是在于，如果你不先把直径摆出来的话，你这个地方就容易和半圆的除以二和半径的除以二 就混淆了，所以特别容易出错啊这是。所以小胖老师建议同学们先把半径求一下，然后再求你求半圆就后面除以二，求整圆就不出就完了。八千 四十的平方是一千六百，不是一百六十啊。一千六百除以二是八百八百派 八百拍是两千五百一十二，用八千一减五千四百八十八平方厘米， 这道题就结束了。答，这个组合图形的周长啊，是四百零五点六厘米，面积是五千四百八十八平方厘米。这道题就结束了。好，来，继续啊。 这个视频里最后一道题，也是今天呢比较难的一道题了啊。组合图形的周长和面积。来，我们还是分开求啊，先求周长 看说阴影部分。这周长咋看呢？如果同学们不会的话，就把铅笔拿出来，把铅笔拿出来在图上描一下啊。这一条 是阴影部分的周长，对吧？它是整个这个大圆。看我比划的这个大圆周长的四分之一是四分之一的圆弧，对吧？ 这个大圆的圆心在这里，圆心在这里，它的半径是四，所以四乘以二派 是这个整个大圆的完整的周长。但因为这条圆弧只占完整周长的四分之一，所以你除以四 是不就是我画的这条红线的长度，这条圆弧，对吧？好，继续，这个部分加这条， 这个部分加这一条，这两条半圆弧是不是把剩下的硬部分一起围起来了， 对吧？哎，一起围起来了，那这两条半圆弧是不是整，正好组成一个整圆的周长？但是这个整圆看好 这个半圆弧在这，那么这个地方就不再是这个半圆弧的半径了，是这个半圆弧的直径，因为圆形在这里嘛，直径是四四分米，所以它的整圆周长就是四派， 整圆周长就是四派，这条半圆弧加上这条半圆弧加起来正好就是整圆的周长， 所以呢，加起来，哎，就是整圆。嗯，就是阴影部分的周长，前边是前边的这个是这一条， 后边的四派是这两条加起来的。好，来，四乘以二派，八派除以二。呃，除以四。二派，二派加四派得六派。六派是多少？十八点八，四， 单位是分米。 好，周长求完了，求面积，咱们把图擦一下啊，搞的挺乱的，好吧，来，好， 这回图干净了。好，我们看一下这个面积。咋求这个地方啊？我们拉一下， 然后呢，这个地方切一下，把这个这个部分下边这部分切成了两个公形，然后补到这边来， 这个地方中间这个地方是不是就变成空白了？你的整个图形是不是就变成一个 大的公形，对吧？公形的面积刚才是咱们求了，怎么说了，怎么求的？咱们，咱们来看一下啊。圆心在这里，你扇形在这，那么扇形的面积是四的平方派整圆面积除以四， 这垂直的吗？对不对？哎，所以是整圆面积的四分之一除以四，但这是整个扇形的面积，你是不是还得减去你这个地方的等腰直角三角形，面积是四乘以四 除以二，一减就可以了。 十六除以四，四派十六除以二八。哎，这个数咱们之前是不是见过？我记得好像之前咱们做过四派减八的嘛，得四点五六的嘛。 单位是平方分米面积的吗？答，就可以了。答，阴影部分的周长是十八点八四分米，面积是四点五六平方分米。 好吧，来，先不着急往前走啊。呃，这儿咱们今天学了两个部分常见的圆圆的组合图形，包括了圆环、 扇形、 弓形以及鱼尾绳这四种常见的 最最常见的圆的组合图形咱们怎么处理？那如果给我们的不是那么常见的，又让我们求周长怎么办呢？呃，就像后边老师说的，你就求周长，就用 就用什么？就用一条一条的线，哎，这条是直的，它是一百，我就加一百，这条是直的， 他是一百二十，我就加一百二十，对吧？好，那么如果是圆弧呢？圆弧你就按照圆的周长来求呗，对吧？整圆周长的四分之一，你就整圆周长除以四呗。整圆周长的六分之一，你就整圆周长除以六呗， 对吧？那面积呢？面积就还是一样的这个面积，哎，这个图形，这个图形的面积等于啥呢？等于长方形加一个半圆，你就加半圆吗？那这个图形呢？ 你长方形减去半圆，那你就减去半圆呗，对吧？哎，组合图形的面积相对来说，呃比较好求一些周长稍微麻烦一点。好吧 好了，那么今天呢大概的课程咱们就上到这里啊，上到这里主要是， 主要是啊，咱们涉及到组合图形的时候，呃，如果有需要第一个，咱们求周长描线啊，求这个图图形的时候，来老师帮你们把一个两个三个线描出来了，意思来做，如果求求面积呢？有必要的话再把它剖开，把它填补一下， 这样求面积就比较好求一些。好吧，好，各位同学，各位家长，今天的课程就到这里，同学们大家下期再见。

hello， 大家好，我是小林老师。今天我们讲第五单元元的整理与复习，那我们这个单元呢？学习的 哎，定义啊比较多，我们先来通过定义来填空复习一下我们学习的元包括哪些知识点。好，我们看一下第一题， 圆是一条什有所，一条什么围成的封闭图形呢？它是由一条曲线所围成的图啊，围成的封闭图形叫做圆。好，那连接圆心和圆上任意一点的线段叫做 半径。图中的半径有哪些？我们看一下这个图里面半径连接圆心，而且点一定在圆上面，那只有线段 o a， 线段 o b， 还有线段 o d。 为什么线段 o c 不是 呢？因为 c 点没有在圆上，所以它不是圆的半径。好，第三个空。第三题，圆是一个什么样的图形？对称轴有几条？那这里说到对称轴了，那它肯定是轴对称图形，那有多少条对称轴呢？有无数条对称轴， 一个圆的半径和直径也有无数条，而且直径的长度是半径长度的两倍。好，用字母怎么表示呢？ d 是 等于 二 r， 那 反过来 r 是 等于二分之 d。 好， 我们继续。什么决定了圆的位置，原先是决定了圆的位置，那半径就决定了圆的大小。 那你这个知识点能不能把它写出来呢？那我们继续往下走了。好，再来填空复习这个知识点， 来回忆一下啊。圆的周长，他的定义是什么呢？什么是圆的周长呢？哎，是围绕圆一周的曲线，它的长度叫做圆的周长。 测量方法有两种，那当时讲过的用圆纸片在纸尺子上滚一圈叫做滚动法，还有一种用绳子把它 原子片绕一圈，这个方法叫做绕线法，都可以测量圆的周长，那圆周长的是直径的 pi 倍，那记着是圆周率。 pi 一 般取值是三点一四。注意 pi 是 无限不循环小数， 无限不循环小数。 为了计算方便啊，我们才用了。呃，去派为三点一四啊。 好，那圆的周长公式可以等于什么呢？它的公式是怎样子的？如果知道直径，那圆的周长是等于直径乘圆周率，如果知道半径，那就是 半径乘二，再乘圆周率。用字母表示 c 等于派 d， 或者是 c 等于二派 r。 好， 半圆的周长。怎么？求这个补充一下。半圆好，圆的一半， 那就是肯定是周长的一半呢，对吧？也就是圆的半个圆的周长，圆的周长的一半好用，圆的周长除以二，但我们要记住要加上这条直径的长度才算是半圆的周长啊。 好，继续往下走。圆所占的什么的大小叫做圆的面积，圆所占平面的大小叫做 圆的面积。圆面积的大小跟半径长短有关，要求圆的面积必须要知道半径，那圆的 面积公式为 s 等于派 r 平方。好，圆环的面积公式是怎么求啊？用啊，外圆的面积减去内圆面积，也就是 s 等于派大 r 平方，减去派小 r 平方。或者是用 派去成大圆半径的平方减去小圆半径的平方，它们的差。好，这 s 等于派成大 r 平方，减小 r 平方的差。好，我们继续往下走。 好，看一下，他说这个是叫做扇形，那扇形的定义就是一条弧和经过这条弧两端的 两条半径所围成的图形叫做扇形。那在同圆画等圆中，这是同圆画等圆中啊，在同一个圆画的是大小相等的圆中 好，扇形的大小跟这个圆的圆心角的大小有关，也跟它所在的圆的半径有关系。如果扇形的圆心角为 n 度，那扇形的面积公式为 s。 扇形是等于 三百六十度分之 n 度乘 pi r 平方。好，我们可以约分化减一下，是等于三百六十分之 n 乘 pi r 平方。好，那它的周长呢？ 周长公式，扇形周长啊， c 周长是等于 r， r 加上一百八十分之 n 乘 派 r 好。 我们要注意什么呢？要注意的是，这个 n 是 什么意思？ n 是 圆心角的度数，好求的时候可以不用带单位。 好，环形的面积公式为，环形，那。呃，上环的面积公式为，上环相当于哎圆环，对吧？只是这个是上环，那是圆环相对应的，我们直接用 哎大的上环减去小的上环的面积就可以了。那 s 上环是等于三百六十度分之 n 度乘 pi 乘大 r 平方，减小 r 平方就行了，它们的差啊。好，继续， 我们开始做练习题。那一个圆环哦，圆形餐桌上直径是两米，它面积是多少？那代入公式，圆形面积是等什么？求啊， s 等于 派 r 平方呢？ r 不知道，我们要求半径，半径就是二分之 d 好。 代入公式， s 等于派 r 平方，就等于派乘二分之 d 的 平方。好。 也就是三点一四乘二分之二的平方等于三点一四乘二分之二，就是一的平方，就等于一。那三点一四乘以等于三点一四。单位平方米 好。看一下第二位，如果一个人需要零点五米宽的座位就餐，这个座位大约需要坐多少人？哎，大约能坐多少人？那我要先求什么呢？是不要先求出他周长是多少，然后再去看。 哎，里面有几个零点五米就行了。那周长怎么求啊？圆的周长，要知道直径了，那 c 等于派 d。 好， 它的内式就是三点一四乘二。好，里面有几个零点五除以 零点五，好，就等于三点一四，乘二就等于六点二八，除以零点五相当于乘 二分之一。好，约分一下二和六点二八，约分除以最大公因子。二六除以二等于三啊，等于三点一四，结果为三点一四人。好，有三点一四人这个说法吗？没有啊，所以我们怎么样这零点一四， 嗯，不能凑够一个人，所以约等于三人。大约能坐三人。好， 一定要注意啊，我是要把这个三点一四往前进，一呢，能坐四个人呢？还是说能坐三人？这个要注意，如果是人一个整体一个人，不能说零点四个人嘛。所以我们把那零点四给约掉，说能坐四个人就三个人就行了。好，我们继续往下走。 那第三题第三问就说这个餐桌中央放了一个半径为零点五米的圆形转盘，剩下的桌面面积是多少？那我们求的就是一个圆环的面积了。那如何求圆环的面积呢？ 哎，用大圆的面积减去小圆的面积或者是 s 圆环是等于 哎。 pi 大 r 平方减去小 r 平方就行了。那就是三点一四乘上 大 r， 大 r 是 这里直径是两米，所以刚才我们知道了。哎，二除以二是等于一米， 知道他半径是一米，所以一的平方减去零点五的平方。好，继续，三点一四乘一减零点二五等于三乘啊，三点一四 乘零点七五等于。好，三点一四乘零点七五，可以列一下数字，或者是把它变成分数形式也行啊，那这里就是四分之三。好，约下分除以最大公因子，四四除以四等于一 啊，三点一四。哎，直接列数字吧。三点一四乘零点七五等于 四五二十一五得五加二等于七三五十五啊。四乘七四七二十八，一七得七七加二等于九三七二十一 零七加八十五五加九加一也十五，一加一加一三二。好，四位小数一二三四，结果为二点三五五单位平方米。 好，那这道题呢，我们看一下，要注意区分出来它剩下图形是什么，这个要注意。然后呢，代入公式，公式圆环面积如何？求 用大圆面积减去小圆面积就行了。好，我们继续往下走，判断对错，对的打勾，错的打叉。看一下第一题， pi 就是 三点一四，对不对？不对， pi 是 一个无限不循环小数，也就圆周率是一个无限不循环小数，我们为了计算方便，才会取 pi 的 计算值为三点一四，所以这个是错的。 好，我们继续往下走，圆的半径扩大原来的两倍，周长和面积也扩大原来的两倍，对不对？那我们假设一下，半径为，呃，一，半径等于一， 那我们列一下式子，扩大原来的两倍，那就第二个半径 r r 一 是等于一 r 二，那我们就等于一乘二等于二了。好，第一个先求圆的周长， c 一 是等于二拍 r 一 等于二乘三点一四乘一， 那 c 二就等于二派 r 二等于二乘三，点一，四乘二，看一变成二，你前面的不同啊，没有变，那一变成二，那就是扩大两倍，周长扩大两倍没问题，那面积呢？面积 s 一 是等于派 r 平方就等于三点一，四乘一啊。 s 二是等于 pi， r 二平方等于三点一，四乘二的平方就等于三点一，四乘二的平方就等于四，一变成四，扩大几倍，面积扩大四倍， 那这道题怎么样？错误？好，那我们要注意啊，他这道题呢，你可以举个例子，或者是说，哎，列个公式来算一算，不要盲猜啊，其实这道题不难的啊， 你可以不用算完的，你只要把它给写一写就行了。列个式子求一求就可以了啊。好，半径扩大原来的两倍，周长扩大原来两倍，没问题，面积扩大原来四倍。刚才讲了， 也举个例子啊。好，我们继续。半径相等的两个圆周长相等对不对？正确，为什么周长是半径的两倍？派啊，两派倍， 所以只要半径相等，周长一定相等。如果你不理解，我们列个公式就行了。 c 是 等于派 r 啊，二拍 r 对 不对？一个是 r 一， 一个是 r 二， r 一 跟 r 二相等，那你三点一四，三点一四相等，二也相等，所以它结果怎么样也相等嘛，所以这道题是对的。 好，继续。哎，要记得啊，圆的大小是由直径 和半径决定的，那两个圆的半径相等，周长一定相等，面积也一定相等。那如果直径相等呢？它的半径它的周长也相等，然后面积也相等，这个只要半径相等的话，直径相等，面积周长都一样啊。 好，继续往下走，两个圆的直径相等，它半径也相等，对不对？对，没问题，因为在等圆或者同圆中，直径是半径的两倍，所以半径相等，那么直径也相等，直径相等，半径也就相等。好，继续 用。四个同心圆都是九十度的扇形，一定能围成一个圆，对不对？我们这里有个例子，例子如果这四个圆心角相等，而且这个扇形也是相等，也是九十度的扇形，而圆心角为九十度的扇形，然后大小也一样，那它能围成一个图形，但是 这个图不能围成一个圆。为什么？因为圆心角一样，但它的直径一样吗？不一样啊， 对吧？所以它能围成一个扇形吗？哦，一个圆吗？不能，要注意，我改一下就一定了。那怎么改呢？用四个扇。呃，圆心角都是九十度，且半径相等 且 r 相等的扇形可一定可以拼，拼成一个圆。那就对了。好，这个要注意，扇形的大小由圆心角和半径来决定的。 好，我们看一下下道题，他问，你见过驴拉磨吗？那看一下这个图，如果驴要走一个半径为两一点二米的圆，走一圈要走多少米？那走一圈那就相当于什么？求他的周长。周长怎么求啊？ c 等于二拍啊，也就等于二乘三点一、四乘一点二 啊。那二乘一点二或者二跟三点一四相乘也行啊。二乘三点一四等于六点二八乘一点二 等于六个数字，六点二、八乘。或者我把一点二变成分数形式，就十分之十二除以二就是六，这里五等于五分，哎，就是十分之十二吧， 可以比较更好，约分十除以十等于一，六点二八除以十就等于零点 六二八。哎，再乘十二也有点难啊，还是把它给约分一下啊。约分一下就是六点二八乘五分之六。好，约分五 除以五等于一六除以五，一五得五二五一十。还有剩下二十八。那五五二十五，五六三十一点二五六乘六 六六，三十六，五六三十三十加三等于三十三二六十二加三等于十五一六得六六加一等于七三位小数结果为七点五三六， 单位米，所以这个驴要走这个半径为一点二米的远，走一圈大概就要走七点五三六米。好，那我们继续往下走，本节课的题有点多啊， 好答案，大约需要走七点五三二米。 好，我们看一下手要右图中是一个双面绣的作品，然后呢，中间部分是画直径为二十厘米的圆，要求它的面积求圆的面积。知道了直径，那求半径 啊，那就是用 r 等于直径除以二等于二十，除以二等于十厘米，那面积就等于什么呢？ 哎，面积就是等于 s 等于 pi r 平方，也就是三点一四 乘十的平方，等于三点一四乘一百。哦，横着写吧，打出下来写，三点一四乘一百等于三百一十四单位平方厘米。 好答案，这个浮化的面积大约是三百一十四平方厘米。好，我们继续往下走， 用十米长的贴条做直径为五十厘米的圆形铁环。需要做最多可以做多少个？那我要做这个铁环。那我是不是要先知道这个 圆的周长是多少啊？所以我们要先知道它的周长，然后呢，再用绳子的长度除以它的周长啊。哎，这里周长，这里显示不出来。那我就写出来除以圆的周长。 好，那要注意啊，注意单位换算。这道题如果我不够求出了一是一个小数呢？那我们就要把那小数去掉，也就是去违法 用去违法来去掉它。哎，不要，剩下那部分是小数的就不要了。那这个公式怎么求呢？那先求出圆的周长是多少？哎。 c 是 等 c， 圆是等于 派地等于三点一四乘五十。好，四五二十一五得五五加二等于七三五十五，结果为十五点七厘米。 好，继续往下走啊，那这个绳，这个绳长呢是十厘米对吧？ 啊啊？这是厘米啊，然后呢？长贴条的长度是一啊，是十米。那十米等于多少厘米呢？就十米等于一百厘米。一百厘米里面有几个？ 呃十五点七呢？就一百除以十五点七好算一下。 一百除以十五点七，好，把小数点全部扩大分子，哦不，把被除数和除数同时扩大十倍。那这里呢？我们先上一个， 把一百五十七大概看成是一百六或者是一百五。呃一百五去约分一下 去试啊，去试除一下。那我们看一下应该商一个六试一下。商六的话六七四十二六五三十就三十四， 一六得六六加三等于九。好，一千减去九百二十。呃，九百四十二等于八 啊。九减四等于五，好就五十八。好，后面的我能不能再计算了 啊？还要不要继续计算？不需要了。为什么呢？因为我剩下的绳子，我不管我这里剩下是九也好，还是说剩下四厘米。呃四十厘米也好，都无法去把这个绳子 二十四厘米啊，对，四厘米的绳子也好，我都无法去把这个圆环做出来，所以我们直接约等于就行了。约等于六个，只能做六个，你不能做多了。好好， 我们继续往下走。哎，做题的时候一定要区分出来啊，能不能够不够做一个啊？你这道题如果不够你就不能再做了。 好，继续往下走。那儿童呃乐园需要建一个 环。呃，圆形的旋转木马场地，然后呢，这个木马旋转的范围直径是八米，直径八米，然后周围还要扩大一米宽的小路，并且在围栏上， 外侧围栏围上围栏。问这个场地面积是多少？好，我们看一下。首先这个木马旋转木马场地就是八厘米哦，八米这一块是八米，然后外面这一块呢也要怎么样？ 要围一个路？一米宽的路，那加起来应该是多少呢？是不是要把这个水手木马的场地还要加上的路的场地就是这一整块的场地啊？那就是 求出来求面积。圆的面积是等于 c， 呃， s 圆是等于 pi， r 平方好，就等于 r 是 多少呢？ r 是 八加一等于九 平方，等于三点一四乘九的平方是九九八十一 啊，就等于三点一四乘八十一。嗯，结果呢，算出来三点一四乘八十一，就自个算一下啊，大概是二百五十四点三四平方米 啊，那我们继续往下走，这里不是求路的那个面积啊，是求整个范围啊。好，下一道题。一个羊圈一层而见，从半圆形状求半圆，然后呢直径是哦，半径是五米。求 修这个羊圈需要多长的栅栏？好，我们看一下，我围的是这一圈，对吧？围这个一半需不需要？墙这边也要围啊？不需要，那只要求圆的周长的一半就行了。周长的一半，那周长怎么求啊？ c 圆是等于 二，派 r 好 它的一半。那就是说，哎，二乘三点一四乘五，再除以二就行了。然后这里是三二乘三点一四等于六点二八乘五，再除以二，等于 六点二八乘五是等于三十一点四，再除以二 二乘三点一四，我算一下对不对啊？等于，呃，六点二八，再乘五是三十一点四，再除以二， 结果为，那一二得二二五，一十二七一十四，结果为十五点七米。 那要不要加上半径呢？不需，呃，要不要加直径呢？不需要，是因为在墙那里，墙那里不需要为栅栏。好， 继续。如果他要跨进这个羊圈，要把直径增加两米，那求羊圈的增加了多少？ 好，增加两米。是不是把它增加了，就求一个圆环的面积啊，看一下对不对把它增加。那就是求圆环面积吗？那我先求出这个圆的面积应该是多少？用大圆面积减去小圆面积，就等于增加圆的面积了。那这是一个半圆，所以 我们直接用。哎，先求出大圆面积，先 s 大 圆减去 s 小 圆，圆环 等于派大 r 平方，减小 r 平方好，还要除以二。因为这是半个圆，没有整个圆，所以还要除以二，也就是三点一四乘大圆是半径是六厘六米 六的平方，减去五的平方好，再除以二。好，三点一四乘上三十六，减去二十五，再除以二，等于三点一四乘九。呃，不对， 三十六减二十五，等于十一除以二， 然后算出来三点一四乘十一，结果为 三十四点五四，然后除以二乘出来，等于一二得二二七十四，然后二二得四二七十四，结果为十七点二七单位平方米，这是增加的部分。 好，我们继续往下走。如图，一台压路机的前轮直径是一点七米，如果前轮每轮旋转六周，然后压路机十六，呃，十分钟，然后能全进多少？好，我们看一下。 钱呢？是滚动一周，求的就是什么呢？哎，圆的周长，那周长一圈是？呃，一一个圆的周长，然后知道直径了。那怎么求圆的周长直径？知道那 c 圆是等于 派 d， 那 就是三点一四乘一点七啊。三点一四乘一点七， 大概结果应该是五点三三八单位米啊，旋转多少圈？六圈，也就是 列综合算式吧。三点一四乘一点七乘六圈，然后压了十分钟，仅走多远？还要走十分钟啊？再乘十，那就是刚才算出来，五点三三八乘六，再乘十 等于六八，四十八，三八，呃，三六十八，十八加二，二十二三六十八加二等于二十。 好，五六，三十加二等于三十二点零二八乘十等于三百二十点二八，单位米。 好，要注意啊，他求的是走了多远？那应该是求的是周长啊，不是求面积啊，走一圈，那就是周长。好，看一下最后一道题。最后一道题，这里需要如下图，然后街心公园有两块半圆的草坪，他的周长都是 十二点啊，一百二十八点五米，这个草坪的总面积应该是多少？那两个半圆的周长合起来应该就是一个圆的周长，还要怎样呢？加上它的直径， 哎，两条直径，因为你这一周是这样走的嘛，对吧？好，那也就是说三点一四乘 d， 哎，就派 d 加上两条直径二 d， 等于五点一四 d， 那 求出直径是多少？再求面积了。那刚才看到这里呢？一百二十八点五米，我们是求出来，呃，已经知道的，周长就是用。 那我们应该用什么呢？用一百二十八点五除以 三点一四加二，好，求出直径就等于一百二十八点五除以五点一四，好，算出来。 一百二十八点五除以五点一四，大概是等于二十五， 那直径为二十五米，那它的周面积就是等于三点一四乘二分之 d， 二分之 d， 就 二十分之二十五的平方等于三点一四乘 二分之二十五的平方，就是四分之六百二十五。 啊，四分之呃，六百二十五乘三点一四，好，三点一四和四好像不能约分 啊，能约分啊。三点一四除以四零点四七二十八，然后四二十八，然后三十一减二十八，就等于 三点一四除以，哎，练一下四字吧，口算有点乱了，然后除以四零点四七二十八，然后三十四，三十四，就四八三十二。 好，还剩二十。那零点七八五乘，这里是零点，约下分是零点七八五，零点七八五，再乘六百二十五， 好，这里呢，同学们可以用列式子算一算，大概结果为四百九十点六二五。单位平方米 可以列式计算的。啊，这道题啊，那除了这个方法，我可以把三点一四啊变成分数形式。一百分之三百一十四乘四分之六百二十五。好，上下左右约分四和三点三百一十四， 三百一十四。和四的最大公因数应该是二，那除以二，四除以二等于二，二。三百一十四除以二等于一，二得二，二 五。一十二，七十四，一百五，十七。好，六十五，六百二十五。和十，他们最大公因数是二十五除以二十五等于二十五，一百除以二十五等于四啊，二四得八，那一百五十七 乘二十五是等于呃，三百九，三千九百二十五。 好，然后再去除就可以了。计算是有点难，但是思路理解了就好啊。那本节课呢？知识点讲到这里了，我们下一节课再学习下一个单元。好，同学们再见。

球员的周长、圆环的面积、方中圆圆、中方阴影部分的面积是六年级数学的重难点，但凡期末能拿满分的孩子，都是在考前就把他们给吃透了。有规划的妈妈已经给孩子准备了这本几何模型大全，他把小学阶段必学的三十四个几何模型都整理好了，像孩子看着就头疼的弓形模型、圆环模型、 弯角模型、圆方模型等，每个专项都有模型推导演练、模型规范和模型母题讲解，学完接着做举一反三的练习，循序渐进，稳固巩固，不会的还能扫码看名师视频讲解。 考前把这些重难点内容都给他吃透了，不仅期末稳了，下学期几何也能衔接上了，就连明年的小升初也会更有底气。现在就给孩子安排起来吧！

求圆的周长、圆环的面积、方中圆、圆中方，阴影部分的面积是六年级数学的重难点，但凡期末能够满分的孩子，都是在考前就把他们给吃透了。有远见的妈妈呢，早为孩子准备了这本几何模型大全， 他把小学阶段并学的三十四个几何模型都整理好了。向总难倒孩子的公型模型、圆环模型、弯角模型、圆方模型等， 每个专项都包含详细的模型推导步骤、模型规划和模型，便是学完做举一反三的练习，稳固巩固知识，难度由浅入深，不会的还能扫码看讲解。 考前把这些重难点内容都给吃透了，期末就稳了，下学期几何也衔接上了，明年的小升初也会更有底气给孩子安排起来吧！

求圆的周长、圆环的面积、方中圆、圆中方、阴影部分的面积是六年级数学的重难点，但凡期末能够满分的孩子，都是在考前就把他们给吃透了。有远见的妈妈呢，早为孩子准备了这本几何模型大全，他把小学阶段必学的三十四个几何模型都整理好了， 像总难倒孩子的弓形模型、圆环模型、弯角模型、圆方模型等，每个专项都包含详细的模型推导步骤，模型归类和模型，便是 学完做举一反三的练习，稳固巩固知识，难度由浅入深，不会的还能扫码看讲解。考前把这些重难点内容都给吃透了，期末就稳了，下学期几何也衔接上了，明年的小升初也会更有底气给孩子安排起来吧！

求圆的周长、圆环的面积、方中圆、圆中方、阴影部分的面积。这六年级数学的重难点，想要期末能够满分的孩子，一定要在考前把它们吃透。 有远见的妈妈已经为孩子准备了这本几何三十六模型，他把小学阶段必学的三十六个几何模型清楚地归为九大类，比如难倒很多孩子的弓形模型、圆环模型、弯角模型、圆方模型、捆圆模型等， 每个模型都有详细的模型推导步骤、核心总结和经典母题解析，学完还有举一反三、变式练习，稳固巩固知识，难度由浅入深。 最大的亮点是配有动画视频演示，孩子一看就懂，不会的还能扫码看免费的讲解。再搭配一本练习册，查缺补漏，高效练习，考前能把这些吃透，期末就稳了。而且也衔接了下学期的几何内容，明年的小升初也会更有底气，快给孩子安排起来吧！