八年级上册数学沪科版角平分线怎么画

好，同学们，我们在现在讲一下关于轴对称这里边的啊，轴对称这一张里边的啊，角平分线这一节角平分线。我想问大家，为什么不？当初学角的时候，或者学三角形的时候， 角平分线就出现了这个定义，为什么要出现在轴对称这个章节？为什么出现在轴对称这个章节？我们带着这个问题去学一下角平分线啊， 好，这里有一个角 a o b， 是 不是啊？七年级就学过这个东西。角平分线，七年级为什么不学呀？对不对？学三角线为什么不学呀？现在来一个 o o m 平分角， a o b 角 a o b。 那 我现在问问你 这个 o b， 如果关于 o m， 如果折叠过去的话， o b 这条线会不会和 o a 这条线重合呀？是不是很明显它会重合了？这个角平分线实际上是什么？ 是不是这个角的对称轴啊？ 啊，现在课本很有意思啊，它放在轴对称这一章里啊，角平分线放在轴对称这章里，却不告诉你角平分线，它就是角的对称轴， 是不是啊？它却没有告诉角的对称轴。好，我们现在知道了，这条 o m 就是 a o b 的 角平分线啊，就是 a o b 的 对称轴 对称轴五对称轴两边会不会出全等啊？是会出全等的，对吧？啊？出全等来，我说这个地方我任意取一点 e 啊，这上面我取一点屁啊，来，我连，我连起来了啊，我连起来了。我说你在 o b 上找上一点，使得啊，找任意一点 f 啊， f 使得 o f p 与 o e p 全等，怎么做？ 这个大家都知道吧，是不是我找个 o f 等于 o e 连起来，这两个三角形就全等了，是不是？ 我只要说啊，做 o f 等于 o e， 是 不是此时连接 f p 啊？此时连接 f p， 那 么三角形 e p o 是 不是就全等于三角形 f p o 了？ 一定是全等的呀，对不对？一定是全等的呀，因为是轴对称嘛，轴对称嘛，这两段一样长啊，这两段一样长，中间一样长。这里还有个角平分线，角角边角是不是 s a s 就 正出来了？好，我再问一个， 假设我过 o a 上任意一点啊，过这一点，向这个 o m 做了一条垂线，做了一条垂线，我叫点 q 吧啊，做垂线， 做垂线，然后你说我只要延长 o p， 是 不是这里也垂直啊？延长 o p 交这里于 r 啊， 也就是角的两个边向角平行线就做了一条垂线啊，这叫垂中间啊，两边垂中间。现在三角形 o p q 与 o p r 全等吗？是不是也是全等了呀？是不是也全等啊？这个怎么正啊？ 角平分线，两个角相等，这里有两个垂，这两个直角加上 o p， 这个公共边是不是角边角边角是不是 a a s 也是全等的？ 还有一个就是我们课本上讲的角平分线上的点到角两边的什么相等啊？是不是距离相等啊？ 距离也相等啊，距离也相等。如果我向两边做垂线啊，取得这两个是 q r w 和 n 吧， w n 吧，那三角形 o p w 是 不是就全等于三角形 o p n 了？ 好，同学们，我们看一下黑白啊，我写了三种啊，三种全等啊，三种全等，我们去总结一下，总结一下这三种全等如何给它起个名字。这个叫什么？我们叫解等长， 这个呢，我们叫垂中间。是不是 q p 和 r p 都垂直于 o m 啊？从角的两边向中间的角平分线做垂线，这叫垂中间。 这个呢？角平分线向两边去做垂线，我们叫垂两边啊，垂两边，垂两边。 好，此时我们就把角平分线可以出现的全等的情况总结到位了啊，你在角的两边截等长，会出现全等， 锤中间会出现全等，锤两边也会出现全等啊，也会出现全等。题目当中考的时候他会这样考吗？他会给你一半，让你去填另一半。我们去看一下还是期中考试啊，压轴题 好。这个二十三题不陌生吧，还是我们期中考试的压轴题啊。压轴题来第一题读题三角形 a b c 中 c e 平分 a c b 啊，这条 c e 啊， c e 是 角 a c b 的 一个角平分线啊， c e 是 角平分线了 啊，这是那条角平分线 a d 垂直于 c e。 哦， a d 垂直于 c e， 也就是过角的一个边向角平分线去做垂线了，是不是啊？做垂线了，使得啊， a d 垂直延长， a d 交 bc 于点 f。 好， 这是我们刚才说的三种的哪一种啊？ 是不是垂中间的情况，这是不是垂中间啊？垂中间呀，由而可以推出什么垂中间？由而可以推出是，是会出现会出全等的，对不对？会出全等三角形的 好，第一问就是让你修 ad 等于 df， 是 不是你出了全等垂等一定会推得？结论， ad 等于 d f 是 不？ a d 等于 d f。 这个要怎么正呢？刚才说了 a a s 是 吧，用一个 a a s 去正个 角边角就可以了啊，直角角平分线的角啊，和一个夹着的公共边 a a 啊 a s a 啊 a s a 是 不是是个夹边就可以正全等了？第一个问题，正全等好， 第二个问题来，我们看他考的什么？如图二，三角形 a， b， c 中 a， b 等于 a， c。 哦， a， b 等于 a， c 来了个等腰三角形角 a 角 b， a， c 等于九度等腰直角三角形 c、 e 平分 a， c， b， c， e。 是 不是又出现角平分线了？出现角平分线了吗？这条线是角平分线呀，好，我们去看他想用哪一种啊？ c、 e 平分角 a， c、 b 交 a， b 于点 e。 啊，交 a， b 于点 e， b， d 垂直于 c， e， b， d 垂直于 c， e 交 c， e 延长线于点 d。 好， 又向角平分线做了一个垂线，求证。 c， e 等于二 b， d， c， e 等于两倍的 b、 d。 这个图像是不是不完整啊？是不是不完整？我们看角平分线，我们学了三种情况，截等长，垂两边垂中间。是不是 这道题截等长了吗？没有，是不是有个垂中间吗？有个垂中间，但是只有一半垂中间，有一半垂中间怎么办？把它补齐，把它补齐会出全等是不？我们延长 c， a， 我 们再延长 b、 d 与 c、 e 交于点 m。 ok， 现在是不是三角形 c， d， m 全等于三角形 c、 d， b。 啊？ 嗯，前面如果听懂了的话，一定知道这个结论了， c、 d， m 是 不等于 c、 d， b？ 啊？啊，因为这是属于垂中间，是不是垂中间就一定出全等？ 垂中间出全等，我们要证什么？现在我们要用 c、 e 等于二倍的 b， d。 现在二倍的 b、 d。 变成什么了？ b、 d 是 不是等于 m d？ 那 二倍的 b、 d 是 不是等于 b d 加 m d， b d 加 m d 等于什么？是不是 b m 是 不是 b m？ 我 们要证的是二。 b d 等于 c e。 ok， 现在把问题转换为 b m 等于 c e 了。想正两个线段相等最常用的什么？是不是正两个？两个线段所在的三角形是全等的？我们看看正哪两个三角形全等比较合适呢？ b、 d 如果想等于 c、 e 的 话， 我们正三角形 b、 d、 a 是 不是个直角三角形啊？ 和 c、 a、 e 是 不是也是个直角三角形啊？我们去证三角形 b、 a、 m 全等于三角形 c、 a、 e 啊，我们只要去证明它全等就可以了，找条件，现在看有多少条件可以用啊？你要证明它全等至少有三个条件，是不是啊？好，我们知道了， ab 等于 ac， ab 等于 ac， 好， 来一个条件， 还有个九十度，是吧？九十度等于九十度。好嘞， 好，我们看一下啊，我们看一下啊，这个这个角啊，这个角是不是两个这样三角的公共角啊？这个角阿尔法，这个角阿尔法，这个角贝塔 是不是他的与角？刚才我们这里是不是做的垂直啊？这个阿尔法在这个三角形当中是不是这个也是贝塔是他的与角 啊？我们叫角一和角二吧。这个是角一啊，这个是角二，这个是角二。好，我们看一下啊，倒一下，角在三角形 a、 b、 m 中啊，角 r 法加角一等于九十度，对不？角 r 法加角一等于九十度，又在三角形 c、 m、 d 中 c、 m、 d 中角 r 法加角二 等于九十度。所以角一等于角二。好，角一等于角二，是不是这个拳头就挣出来了？ 角角边角角边，正出来，正出来了，全等自然就有。 c， e 等于 b、 m 是 不是啊？ c、 e 等于 b m， b、 m 又等于它俩相加，它俩又等于两倍的。 b， d 好， c、 e 等于二， b、 d 自此正。完了啊，这就是这个题的解析思想。 一上来的思想，还是关于角平分线出全等如何使用，还是这个思想跑不出三种可能性，垂两边，垂中线出全等如何使用？还是这个思想跑不出。第三题 啊，我们再看一下第三问，海岸线上有一个观测点码头 b 啊，与 c 相距三点六。海底好题目是这样的啊， bc 相距三点六啊， bc 相距三点六，然后呢， 三点六公里有一个灯塔， d 与观测点 b 相距一点二 b， d 一 点二，好 b d， b， d 啊 b、 d 这条小线段啊， b、 d。 等看，我写在这里啊，一点二 b， c 啊， b、 c 等于三点六。我们先把条件往旁边列一下啊，不方便看 且角 b、 d、 c 等于九十度啊 b， d、 c 等于九十度啊！ b， d、 c 等于九。它给你标出来了，这里有一个垂直给你标好了啊，标好了一个垂直。某颗考船从码头 c 出发，沿 c、 a 方向啊看 看。 d， c， a 等于 d c， b， d， c， a 这个角等于 d， c、 b 等于这个角。好，这两个角相等说明什么？ c、 d 是 角平分线， c、 d 是 角平分线了啊， 以石海里的速度行驶到 a 处，行驶到 a 处，侧得啊，行驶到这里了，侧得角 abc 等于三倍的角 a， abc 等于三倍的角 a 问， c 到 a 处所行驶的时间， c 到 a 所行驶的时间 c、 a 上我们要的时间是不是啊 t c、 a 是 不是啊？ 我们学过速度，时间路程是不是啊？我们学过速度，时间路程，是不是啊？我们学过速度，时间路程是多少 路程？除以 v a c， 是 不是啊？ v a c。 题目已经给到了 v a c 是 十海里每小时啊， v a c 等于十海里每小时，现在就差 s 了，我只要求出 s a c 多长来就可以了。 a c 多长怎么求？是不是啊？我们现在的问题就转化为求 s a c 了， s a c 了，你给我了一个，但是我的全身只有 bc 和 b d， bc 和 b d 离着 a c 老远了，是不？我们怎么去解决呢？我们怎么去解决？我们看一下根据我们学的角平分线的使用方法， 这个题你打算怎么处理？现在角平分线我是要截等长垂中间还是垂两边？ 很明显题目给到你提示了，做了一个垂中间了，给到一个 b d 垂直于 a c 了，这种情况怎么办？延长 b d 是 不是啊？交于点 m 是 不是又出现全等三角形？ c m d 是 不是全等于三角形 c b d 啊？ 是不是全等于三角形？ cbd 是， 是吧？然后 cb 等于什么？ cm 是 不等于三点六？ ok， ca， 我 已经求出 cm 这一段来了， 我现在要求的是什么？我求的是 am 这一段，是不是我还差 am 这一段多长就行了，是不是？我现在的问题只差我现在 s s a c 啊，它等于 c m 加 am 是 不是啊？我因为做了辅助线嘛，我把它分成两段来求了 c m 我 已经求出来了， c m 就是 三点六，三点六加 am 除以十，现在怎么求 am 是 吧？怎么求 am？ 好， 这个全等我看还有用吗？ b d 等于一点二， b d 等于一点二， b d 等于一点二，那么是不是 dm 也得等于一点二？是因为这个全等吧。 dm 也得等于一点二。好嘞， dm 就是 二点四，是吧？ dm 就是 二点四了，这个二点四你想去 am 我 们看一下。还有一个三倍角没有用啊。还有一个三倍角没有用， abc 等于三角 a， a、 b， c 等于三角 a。 如果这个角是阿尔法的话啊，下面这个角就是三倍的阿尔法啊，是三倍的阿尔法。这个大角是不是是三个阿尔法？三个阿尔法啊，这个大角 我们这两个全等，是不是还有一个里边这个角，它等于这个角？这个 c、 b、 m 其实现在是个等， 是个等腰三角形了，是吧？啊，我们把这个角叫做两个角，底角叫 bea 吧，两个底角叫 bea 吧，我们看看啊，现在一个 bea 等于 alpha 加这个角， 对不？现在是不是看底下这个 bea， 这个 bea 等于什么？ bea 等于三个角 alpha 减去角一啊，这个里边是角一， 是不是三个比特加减角一吧，看底下这个比特了吧？角比特。我们再看上面这个角，比特等于什么？上面这个角比特是不是等于上面这个角，它等于阿尔法加角一啊， 是不是？好嘞，角比特是相等的，是不是这两边是相等，左边相等，右边就得相等，是不是？那就是三倍的角阿尔法加减角一就等于角，阿尔法加角一。 能得出一个什么样的结论？来一项看一下。把 alpha 移过去，剩下两个 alpha， 把角一移过来，等于两个角一。 ok， 角 alpha 等于角一了。 原来这个三角形 a、 m、 b 是 个等腰三角形啊，三角形 a m b 是 等腰三角形啊， 是等腰三角形，有什么好处啊？那就是两个腰相等呗。 a m 等于 b m。 刚才说了 b m 等于什么？ b m 等于二倍的 b d 是不是啊？ b d 是 多少？一点二，那二倍的 b d 呢？二点四。好，自此 am 我 们找到了。 am 找到了，是不是啊？他一共就是个三点六，加上二点四除以十，就是我们所用的时间。 t 时间是多少？这个是个六，是不是零点六啊？啊，答案就是零点六。好，这个题整完了，这个是我们压轴题。核心思想是什么？核心思想还是在辅助线，是不是啊？ 角平分线的辅助线的使用方法，一共三种，题目当中给到你的提示，一定要好好去观察，是第一种还是第二种还是第三种啊？还是第三种，然后出圈等，利用这个圈等条件去解决后续的问题。 好，同学们，这是关于角，关于对称轴这一章哈，我们必须要掌握的一些思想啊。必须要掌握的核心思想就是什么？角平分线作为对称轴的话，怎么出圈的？还有就是将军一马作为对称轴的话，怎么出圈的好。

三角要想学的好，角平分线少不了。今天看这道题，已知 b、 d、 c、 d。 平分角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b。 求正角 b、 d、 c。 等于九十度加二分之一角 a。 先连接 a、 d 并延长交 b、 c 于一点， 由内角和定力可得角 b、 d、 c。 等于一百八十度减角 d、 b、 c。 再减角 d、 c、 b。 这个作为一式，再由三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 的 两个外角， 所以这两个角分别等于不相邻的两个内角的和。这样角 b、 d、 c。 就 等于角 d、 b、 a。 加角 d、 c、 a。 加角 c、 a、 b。 这个作为四式，因为 b、 d 和 c、 d 分 别平分角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b。 所以角 a、 b、 d。 等于角 d、 b、 c。 角 d、 c、 b。 等于角 d、 c、 a。 把一式和四式相加，再把相等的相消掉，就得到两倍的角 b、 d、 c。 等于一百八十度加角 c、 a、 b。 等式两边再同时除以二题目的结论就得正。最后归纳一下三角形双角平分线模型，除了我们刚才证明的结论外， 剩下两个结论，宝子们可以截图保留这几个结论。记住，遇到此类的题型，就可以快速得到答案！

我们接着来研究无刻度尺作图问题，看基本作图。四、做线段的垂直平分线。首先我们回顾一下垂直平分线的定义，应该是过这条线段的终点， 并且垂直于这条线段的直线称作是这条线段的垂直平分线。两个条件，一，线段的终点。二，这条直线与已知线段垂直。那么在作图的时候， 我们可以根据定义找中点做垂直，也可以借助于图形特征，比如说等腰三角形，我们知道有三线合一的性质，那么底边上的中线那 也是垂直平分底边的。再比如说正方形或者菱形，它们对角线也是互相垂直平分的， 我们看具体问题，看第一个呃， a b 这条线，那么这个里面 我们可以通过构建，比如说我们取这样的一个点，这个时候我们连完之后能得到一个 咱们腰直角三角形，那么如果能够找到 ab 边的中点，那 ab 边的中点我们看一下， 那就是找线段中点问题，这个前面已经那个欠过了，那这样中点找到了，那此时我们一连这条线，我们看一下，那么这条线就是这条线， 这条线就是 ab 的 垂直平分线， 那么或者是我们做出一个正方形，因为这个正方形以 ab 为对角线的正方形还是比较好做的，那么这里面我们看一下， 做出这样的一个正方形，然后我们这就可以去掉那么连接 这个里面的对角线，那么这条线就是 a b 的 垂直平分线。那么在作图过程中， 呃辅助的线我们可以用虚线，那么最后要的这条垂直平分线画实就可以了，也就是说这里面这几条线可以用虚线来表示，那么要的垂直平分线用实线就可以了，这个在后面做图过程中就不再强调了， 这是第一个，看第二个，那么这条线段的终点很好找，那么这是线段的终点，通过这样的上下的一个那个 x 形全等就能找到，这个点就是终点。那么这个我们看一下， 呃，应该找到那样一个点，到 a 到 b 的 距离相等，那么那样的点它就是在 ab 的 垂直平线上，那么这个点我们看一下怎么找，那这里面我们可以取 这样的一个点，那么此时 一连这两个点，那这条线就是 ab 的 垂直平分线， 那这个点应该是过这个对角线的那个交点啊，那我们看一下为啥会是垂直平分线，这时候，因为这时候我们如果连这条线和这条线的话， 那这个时候，呃，这个纵向的是三点五，横向的是零点五，那么这条线横向的是三点五，纵向的是零点五这两条线， 因为这个里面我们连接这个 这个点与 a 点、 b 点一连，它就是一个等腰直角三角形了，那只要再找到 ab 的 中点即可，那 ab 的 中点也是比较好找的。那么线段的中点怎么找？在前面咱们已经讲过了，那这个时候线段的中点我们找到了， 那此时一连这里的这条线就是垂直平分线，连这两个点就可以了， 过这两点做这条直线，它就是 a、 b 的 垂直平分线，这是做垂直平分线的问题，我们再看做角分线，嗯，做角分线的时候， 我们还是可以借助这样的等腰三角形的三线合一，因为等腰三角形底边上的中线或者高线都能平分顶角， 那如果借助于这样的一个思想的话，那我们看一下这几个，嗯，这三个作图， 那么这里面这是一乘四的格，这是一乘二的格，所以这个里面的等腰三角形还是比较好做的，那延长出来，那么这个时候这个三角形就是一个等腰三角形了， 那么做已知角的角分线，我们找到终点，那这个时候这个点终点也好找，那此时一连这条线就是这个角的平分线， 再看下一个，那么这是三乘四的万格，那么这条线长度应该是五五个单位长度，那么现在这条线段长度是四个长度单位，那我们把它一延长，就能够成一个等腰三角形连接， 那么找底边的中点，那么我们可以很容易找到中点，这样的话中点找到了，那此时他的角分线过这个点 一连就出来了，那么再看后一个，那么上面这条线，这一条线的长度，这是一，这是七个格，所以这条线的长度是根号五十，那么目前这条线段长度是 嗯，三倍的根号二，那我们可以直接把这延长出来到这个位置，那这条线的长度现在就也是根号五十了，那我们连完它，这就是一个 等腰三角形，那这个终点是非常好找的，这是终点，那么利用三线合一，那么做这样的一条线，它就是这个已知着那个角的角分线， 那么这是从三线合一角度来考虑的，做角平分线。当然了我们也可以从其他角度，比如说这个里面的第一个题，那么这个里面我们看一下， 如果我们依然是把这条线延长出来的话，那么这个时候以现有的两条边来构建 正方形是比较好用构建的，我们看一下这就是一个正方形，我们知道正方形的对角线是，嗯，平分对角的，所以此时我们一连接这条线，那就知道这是一条角分线，也就说这时候这俩角是相等的。 呃，再比如说第二个，我们也可以用什么样的方法呢？那这个里面 我们可以构建这样的圈，等我们看一下这两条线相等，现在这边的这两条线相等，那么我如果要是连 这两个点的话，那这个时候这俩三角形全等，这也一定是角分线。呃，所以这个里面在作图的时候，还应该是考虑几何的那个基本知识点，那么方法也不为异。呃，另外大家一定要注意， 最后要的线用实线，其他的线用虚线就可以，这是第五个，看第六个。 呃，有网格的轴对称，那么做两个点， p 一 p 二，关于直线 ab 的 对称点， 那首先我们先分析一下对称点的问题，那当时学轴对称的时候找对称点，我们看一下，如果说找点 a 关于 l 这条直线的对称点，那我们是 过点 a 向这条线做垂线，然后并延长出来，那么这是垂直，然后让这两条线段相等，那得到的这个比如说点 a 撇， 那么点 a 点 a 撇，就关于这条直线是对称的，对称的。呃，那么我们借助于这个点，我们看一下怎么来做对称点的问题。 那么首先过 p 一 点做 ab 的 垂线，那么做垂线，我们前面讲过，那么这个原有线段的纵横比应该是一比五的问题，那我们应该找五比一的线，那这个里面只要连它就可以了，这是 往下数五个格，那么这条线和 ab 就 应该是垂直的，那么 垂直保证了，还应该保证所截的两边的线段让它相等，那这个时候我们看一下， 我们先分析一下，这个时候这条线段和这条线段是相等的，那我们可以借助于这样的一个 a 字形，那只要在过下面的 这个点，做 ab 的 平行线就行了。做平行线前面我们也分析过了，纵横比应该是一样的，做这样的一条平行线，这条线和 ab 是 平行的，所以我们找到的这个点就是 p 一 撇的对称点，我们用 p 来表示吧，这是第一个图， 我们再来看第二个图，第二个图过点 p 二做 a、 b 的 垂线，这个里面的纵横比是二比一、二三四五，二比五，那我们可以往下数，哎，这格点正好够， 那么这样做出 a b 的 垂线，呃，那么截线段相等的时候，那么这个题 呃就要比第一个稍微复杂一点了。现在呃利用比例关系的话，找不到相等的线段，那我们可以咋办呢？比如说我们可以连 p r a 并延长出来，那这个时候我们看一下，此时这两条线段是相等的， 那我们可以过这个点做 a、 b 的 平行线就可以了，这平行线还是比较好做的，那么呃纵横比相同，那这个里面 我们可以做出它的一条平线，这条平行线应该在这样的一个位置，二比一，二三四五，二比五的，所以这里面这个点就是 p 二的对称点，那么我们也用点 p 来表示，咱们同学体会一下，其实这个时候是用 a 字形的一个 那个比例关系，那么这里面这两条线段相等，所以这两条线段也一定相等的，那也就是说这两条线段的比等于他俩的比，我们就找到了这个呃，对称点。再看基本作图七这道题还是呃 比较简单的，求作一点 p 是 a、 b、 c， 那 这里面这三个点已经确定的，我们看一下 a、 b、 c 这三个点是确定的， 那我们再找到一个点 p， 呃，构成的四边形是平行四边形，那食指上平移这个里面的 ab 这条线就行了。但是平移线的时候呢，这个里面的这个点 c 不 在格点上，我们应该是确定这个点 p 的， 那我们把这个点进行一个平移就可以了。 那把这个交叉的这个位置的交叉线我们直接平移过来，我们看一下，我们可以 那么连接这条线，那么再连接这条线，就相当于把这侧的两条线段直接平移过来，那么这个点 就是点 p， 那 此时我们一连这个四边形，它就是一个平行四边形， 那么今天我们就讲这几个基本作图，呃，认真体会一下好了。

今天我们来学习尺规作图画角平分线。第一步，从顶点出发，任意画两条射线。第二步，以顶点为圆心，一定长度为半径画弧， 两弧与两条射线分别有两个交点。 第三步，分别以两个交点为圆心，一定长度为半径画弧，两弧在角内交与一点。 第四步，连接顶点与这个交点 角平分线就画好了。

角平分线，注意，三角形的角平分线和普通的角平分线呢，是有区别的，看定义，如图所示，这里角一等于角二的时候，线段 a、 d 就是三角形 a、 b、 c 的 角平分线了，也就是说三角形的角平分线呢，是一条线段，它跟普通的角平分线之间呢，既有区别又有联系。联系的话，我们看这个图吧，对于普通的这个角 b、 a、 c 的 平分线的话，它是一条射线啊，要注意， 而我们三角形的角平分线呢，就相当于这条射线与这个对面有个焦点，这个焦点是 d 的 话，这个点 a 和这焦点 d 之间的这条线段称之为是三角形的角平分线， 所以他俩的区别和联系我们就掌握了，对吧？那下面呢，再来看角平分线和角一跟角二相等之间的关系呢，是可以相互推导的，他只要一说 a、 d 是 角平分线的话，就要立刻知道这里角一跟角二呢相等，并且呢都等于二分之一，角 b、 a、 c 反过来，如果要告诉我们角一等于角二了，那么这条线段 a、 d 呢，必然就是他的角平分线，也就是说定义啊，就可以给他这么来使用，既可以从这一头推到这一头，也可以反过来推出来他。 好，我们再来看一下三角形究竟有几条角平分线，你会发现呢？三角形有三个角呀，这每个角都可以做出来其角平分线，比如说我现在做的这个，只要是符合了这个角跟这边的这个角相等，都等于这个角的一半的话， 那么这条线段也就是他的一条角平分线，当然他还有一条，对吧？哎，我没发现呢，是不是交于一个点了呀，难道是巧合吗？其实不是的，我们会发现呢啊，其他的这些，你像直角的呀，像这种钝角的三角形啊，他们都有三条角平分线， 而且呢，都会交于一点，我们把这一点呢，称之为是该三角形的内心啊，这个内心名字，我们把它记下来，就是三条角平分线的焦点。三角形的内心呢，它是位于三角形的内部， 你看，这是锐角三角形的，这是直角三角形的内心，这个呢，是钝角三角形的内心 啊，无论是什么样形状，他只要是三角形，他的三条角平分线呢，就会交到内部，至于为什么会这样呢？哎，这个是后面知识要研究的，我们现在了解知道有这么一回事，知道三角形有三条角平分线，并且呢，交于一点啊，交到内心就 ok。 好了，赶快操练一下。例一说，在三角形 a、 b、 c 中， d、 e、 f 是 b、 c 边上的三个点，且角一等于角二等于角三等于角四，也就说呢，这四个角呢，啊，是相等的，则 a、 e 是 哪个三角形的角平分线？ a、 e 我 们可以看到呢啊，就是这条线段对不对？那首先要看到它呢，是把哪一个三角形的内角给它平分了。 首先呢，从小到大看的话，角二跟角三相等呀，是不是可以看到三角形 a、 d、 f 这个三角形啊，它的内角 d、 a、 f 就 被 a、 e 平分了，对吧，所以这条线段 a、 e 呢，应该是三角形 a、 d、 f 的 角平分线。 除此之外呢，再看一看，是不是由这四个角相等，还可以得出来，这个角 b、 a、 e， 它等于角 c a e 啊，角 b a、 e 呢，就是角一加角二啊，那由此可以得到角一加角二，这个肯定跟角三加角四也是相等的 啊，那既然也是相等的话，说明 a、 e 呢，他把三角形 abc 这个大的 这个角啊，他也给他平分了，所以这条线段 a、 e 呢，他也是三角形 a、 b、 c 的 角平分线。那这么来看的话，就应该选到哪一个了？选择 d 选项， 我们不要把这里面的某个三角形漏了，也就说 a、 e 啊，他是两个三角形，角平分线的定义也符合了他的， 所以我们这道题呢，就是紧套定义就 ok， 例一掌握了，同学，欢迎敲个六。好，我们来看例二说，如图，若角一等于角二，角三等于角四，下来结论，错误的是哪个？注意，我们要找错误的， 角一跟角二相等的话，那线段 b、 d 是 不是就是角平分线啊？是谁的呢？是三角形 abc 的 角平分线，能看出来吧，这说明 a 选项是正确的。哎，别激动哈，我们要找错误的 啊，那它符合了三角形 a、 b、 c 角平分线的定义。首先呢， b、 d， 它是一条线段，而且呢，它把这个角 a、 b、 c 呢平分了，怎么看出来平分啊，它不是角一等于角二吗？对吧？ 好，我们再看 b 选项，说 c、 e 呢，是三角形 b、 c、 d 的 角平分线。来看一下 c、 e， 因为呢，角三它跟角四相等啊，那这条线段 c、 e 呢，确实是三角形 b、 c、 d 的 角平分线，说明呢，它也是正确的。 好，我们再看 c 选项，说角三呢，等于二分之一角 a、 c、 b 啊，这个是正确的。角三跟角四相等的话，就都等于被平分的这个角 a、 c、 b 它的一半，这个呢，就是利用了普通的角平分线的哎，性质就可以了。 那我们会发现呢，三角形的角平分线跟普通的角平分线他们相通的地方呢？就是都是啊，等于被平分的那个角的二分之一，这个很简单，对吧？好，我们再看 d 选项啊， c、 e 呢，是三角形 abc 的 角平分线，首先呢， 它确实是把这个角啊平分了，是不差，因为呢，它却成为不了三角形 abc 的 角平分线。 那么三角形的角平分线呢，必须这条线段啊，一个端点是三角形的顶点，另一个端点呢，必须在对边上， 那显然这里呢点 e 并没有在它的对边 ab 上。因为我们要看三角形 abc 啊， 所以这个线段 c、 e 呢，他对于三角形 a、 b、 c 来说，成为他的角平分线呢，他不够长，他少了这一部分，也就是说怎么样才能行呢？我们可以把 c、 e 呢给他延长到这边来， 这边有个焦点，即为 f 的 话，我们可以说 c、 f， 他 呢是三角形 a、 b、 c 的 角平分线， 而 c、 e 呢，还不够长，对吧？他还不够格呀，所以我们要知道他怎么样才能够称得上角平分线，他够格，有那个资格的条件是什么？就是掌握这条线段两个端点，一个呢是三角形的顶点，另一个端点呢，则是在对边上， 也就是普通的那角平分线与对边有个交点，这个交点与这个顶点之间的线段， 所以这个 d 选项是错误的，我们就找错误的吗？所以就选择 d 了。好，这个例二的 d 选项呢，具有一定的欺骗性啊，我们要把它深刻的深入的去理解这个角平分线的定义，就可以区分出来啊。例二，搞明白了，欢迎敲个六六。 好，我们看例三说。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 垂直于 b、 c， 这地方有垂直，说明 a、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 高，对吧？然后 a、 e 呢？平分角 b、 a、 c， 注意 a、 e， 它平分的是谁啊？是平分的角 b、 a、 c， 这样的话，它就分出来这个角一，它跟这边的这个角 c、 a、 e， 它就得相等，这就是角 c、 a、 e 呢？它等于角 c、 a、 e， 要看清它是平分的谁， 若角一等于三十度啊，角一要是三十度的话，跟它相等的这个角 c、 a、 e 怎么样？也就是三十度， 角二呢，是二十度。哎，你看角二是二十度，是不是就可以推出来这个角了呀？这个角呢，它就是让我们求的就是角 e、 a、 d， 那 由于这个角呢是三十度，去掉二十度，剩下的是不就是十度的角呀？因此呢，我们就给它求出来了，角 e、 a、 d 呢？它就等于十度。 例三，考察到的角平分线的定义就这块用到了，通过这个定义呢，角一是三十度，那么这个角 c、 a、 e， 也就是三十度，由三十度减去这个二十度，就可以推出来我们要求的这个角的度数了。好，例三，搞明白了，欢迎敲个六六六。 好，我们再来测量一个。例四，如图 a， 例是它已经 abc 的 角平分线，那这样的话，如图所示，这个角一是不是就等于这个角二啊？只要他一提角平分线，我们就要立刻想到他的定义， 角一等于角二，都等于被平分的那个角 b、 a、 c 的 一半点 p 呢？为 a d 上的一点 p m 平行于 a， c 交 ab 于 m， 那 就要想到什么？对哎，这个平行线的性质，两直线平行会有在这个图上有什么角？有内错角，看到了吗？就是 n 字造型的或者 z 字造型的， 就是两只线平行，内错角相等，也就是角二呢，会等于这边的角三，然后又说了， p n 呢，平行于 a b 交 a c 于 n， 同样我们可以得到这个角一，又会等于谁啊？又会等于这边的这个角四，对不对？ 好，由于呢，角一跟角二相等，角二呢又等于角三，角一呢又等于角四，这一连串的相等是不是就等量代换出来了？角三跟角四的关系啊？其实角一，角二，角三，角四，这四个角呢，都相等，他让我们干什么呢？求证。 p a 平分，角 m p n， 其实呢，要想证明他平分的话，只要符合定义就行了，那就是挣出来角三等于角四不就可以了吗？已经挣出来了，对吧？因为呢，我们刚才说了，由两直线平行得到角二等于角三， 然后角一呢，它等于角四，这不就是拐弯抹角的串联的一块了吗？你看，角四等于角一，角一等于角二，角二等于角三。哎，那他俩就别客气了，他俩就相等了，他俩相等了，那我就给么 over 了。好，下面呢，咱们把步骤简单的写一下， 因为 pm 已知它是平行于 a、 c 的， 两直线平行 对内错角相等，就可以得到角三，它等于角二，因为 p n， 它呢平行于 a b 啊，这是已知条件。两直线平行，内错角相等，那就可以得到角四呢，它等于角一， 又因为 a d， 他 是三角形啊， abc 的 角平分线就利用了这个角平分线的定义啊，既然是他的角平分线，那么他就分出来两个相等的角，也就是角一等于角二， 角一跟角二相等了，我们就可以等量代换了呀。因为角一跟角二相等，这就串联到一块来了，所以就可以等量代换出来。角三等于角四， 那么也就是证明出来了，即 p a， 他 呢就平分角 m p n。 好， 那这个呢，证明的过程咱们就写到这里。对于这道题呢，我们里面遇到的有角平分线 啊，角平分线，还遇到了平行角平分线平行模型，这个实际上角平分线平行的时候呢，就可以给它等量代换出来这一堆角。 力四搞明白了，咱们欢迎乔哥六六六六，你也可以随时暂停拖拽，前进后退，快速慢速，适合的才是最好的，我们充分思考之后的这样的话，学习的效果会更佳。我们来看力五 说，如图， a d 垂直于 bc 于 d 啊，这个地方是垂直的 e， g 呢，也垂直于 bc， 它呢垂足为 g， 那 你说它俩是什么关系？就是 a、 d 跟这里的 e、 g， 它俩都竖在这里，都垂直于同一条直线，对吧？ 那么这两个角根据垂直定义是不是都是九十度呀？这两个角呢，又是什么角？又是同位角啊？那两同位角相等，就可以得到两直线平行，或者说呢，你要学了垂直于同一条直线的，两条直线互相平行的话，就可以直接搬过来用， 然后还给了角 e， 它等于角三，我们看一看，角 e 呢在这边，它呢跟角三相等，我们给它做上相等的标记啊，这一道杠呢，跟一道杠呢都相等，求证的是 a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 角平分线。 那首先呢，这个 a、 d 确实是线段， a 点呢，就是三角形 a、 b、 c 的 顶点， d 点呢？确实，在对边上，我们只要证明什么，就可以称之为是角平分线了呢，根据角平分线的定义的话，只要证出来角一跟角二相等不就 ok 吗？怎么来证明角一等于角二呢？ 我们再看一看他给的这两个条件，垂直呢，可以得到平行了，那么平行的话就可以倒角，两直线平行，同位角相等呀，内侧角相等呀。 那由这里的平行的话，角一你看它会等于谁啊？是不等于角三啊，因为角一角三呢，它组成的是这种 n 字造型的，这是属于内错角，两直线平行就会有内错角相等， 那么角二呢，它会等于角 e 的。 角二等于角 e 是 什么原理呢？也是两直线平行啊，两直线平行会有这种 f 造型的啊，这种就是同位角了， 那两直线平行就会有同位角相等。哎，我跟你抠图抠一下吧，这个 f 型呢，就是 f 呢，是趴在地面上的，这是原图当中的角 e， 这个呢是原图当中的角二，看到了吧。啊，那这样的话呢，由两直线平行得到 f 造型的同位角相等，角 e 呢，就等于角二了， 那等量代换一下呗，角一等于角三，角二等于角一，他俩呢，又已知相等，这就导角导出来了，因此呢，就挣出来了，角一跟角二相等，也就可以得到是角平面线了。好，那咱们把步骤给他简单的梳理一下，首先呢，有两个 垂直于 bc， 然后 e、 j 垂直于 bc， 他 俩都垂直于 bc， 垂直于同一条直线的，两条直线的是互相平行的， a、 d 呢，就平行于 e、 j， 没有学习这个平行线判定的，那你就由垂直的定义推出来，这两个角都是九十度，从而相等，通过角相等，再进一步的得到这两直线平行就可以了。 那么既然两直线平行就可以得到内错角相等，角一呢，他就等于角三，然后角二呢，他是跟角一同位角，两直线平行，同位角相等， 又因为它告诉我们了，角一它又等于角三，这是已知条件，它俩相等，那等量代换，它俩也就相等， 那就可以得到角一呢，它就等于角二，角一等于角二，这就说明了线段 a、 d 呢，它也就是三角形啊，角平分线是三角形 a、 b、 c 的 角平分线。这个题呢，就是通过前边的垂直得平行，通过平行呢，得这样的角相等，在等量代换出来，角一等于角二，角一等于角二，就符合了角平分线的定义，那就可以给他答上了， a、 d 呢，是三角形 a、 b、 c 的 角平分线， 这个地方呢，我们用了角平分线的定义，哎六，咱们掌握了，同学，欢迎回复个六六六六啊，回复的越多，说明呢，咱掌握的越溜啊。 好了，下面总结一下三角形的角平分线呢，首先我们要结合着图去看他的这个角平分线的定义，里面的坑呢，就是要注意三角形的角平分线，他是线段，他是普通角平分线的一部分，普通的角平分线呢，是射线，注意这二者的区别， 那么角平分线定义的使用方式，只要他一说是角平分线，就要立刻得到角一等于角二，反过来角一等于角二就要立刻得出来他也是角平分线，他俩呢是可以相互得出来的。 那么我们的发现呢，就是三角形有三条角平分线交于一点，这个点呢称之为三角形的内心 啊，随着后面的学习，你会发现他为什么叫内心呢？到初三的时候会学习三角形的内切圆，其实呢就是在三角形内部做了一个最大的圆，这个圆心呢刚好就是这里的三条角平行线的交点，我们称之为内心，内心呢是。

同学们，今天我们一起来看一道八年级上册关于角平分线的题目。已知，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 是 等于九十度的， ab 与 ac 又是相等的。 cd 平分角 a、 c、 b， 那 么我们就可以得到角一与角二也是相等的， d、 e 垂直 ab。 这个情况下我们来 知道 bc 是 二十厘米，再去求三角形 b、 e、 d 它的周长为多少，这个时候我们发现它是可以去替换的，这是有一组角相等，然后我们发现角平分线上的点到两边的距离是相等的，我们可以得到 d、 e 和 a、 d 是 相等的。同理我们还发现了 ac 与 ec 它也是相等的，我们是通过全等证明出来 三角形 a、 d、 c， 它是全等于三角形 e、 d、 c。 然后我们重点是要知道 a、 d 是 等于 e、 d， 然后并且也知道 a、 c 是 等于 e、 c 的。 这个时候我们再来观察三角形 d、 e、 c 的 周长，它本身是用 d、 b 加上 d、 e 加上 b、 e 的。 这个时候因为刚才我们得到 d、 e 与 a、 d 相等，我们可以把它替换过来，变成了 d、 b 加 a， d 再加 b、 e， 这个时候我们发现 d、 b 和 a、 d 相加，它们正好是等于了 ab， 它就变成 ab 加 b、 e。 然后题上我们又知道 ab 与 ac 是 相等的， ab 我 们可以把它换成 ac， 换成 ac 以后，刚才我们又说了 ac 与 ec 是 相等的，所以我们就把它变成了 ec 加 b、 e。 哎，这个时候看到了 b、 e 加 ec 一 共是谁啊？就是 bc， 也就是等于二十厘米，所以我们就得出来了三角形 d、 e、 c 的 周长为二十厘米。同学们喜欢的话给老师点个关注吧！