对数函数单调性

这个视频我来讲讲对数函数的图像和单调性。前面我已经讲过，对数函数五二等于 logaax， 当 a 大于一时，图像单调递增，大致是这样子的。 当 a 大于零小一时，图像则是单调递减，大致是这样的。所以不管是要判断对数函数的单调性，还是要画出他的图像，关键都是看底数在哪个范围。 知道了这一点，我就要来考考你了。如果告诉你 a 大于零，那函数 y 等于 log， a 加一 x 是增函数还是减函数，你能大致画出他的图像吗？ 要求他的单调性和图像，当然得找出底数的范围了。 a 大于零，所以 a 加一大于一，那函数就是增函数，画出图像来大致就是这样的。刚才的问题中， a 的范围直接告诉你了，但有时候 a 的范围会给的很含蓄， 比如告诉你直线 y 等于 ax， 加 b 的图像是这样的，那图像 fx 等于 loga abx 是增函数还是减函数？图像又是咋样的呢？ 先观察一次函数的图像， a 是图像的斜率，那斜率是几呢？你可以画一条倾斜角为四十五度的直线来比一比，这条直线的斜率为一，那 a 就比一小，显然 a 又是大于零的，所以 a 大于零小于一， 再看 b， 它是图像和外轴的拮据，所以 b 也大于零。小于一，那 a 和 b 乘起来也就大于零小于一，所以这个函数是减函数，画出图像来大致是这样的， 刚才都是通过底数范围来求单调性和图像。反过来，通过图像或者单调性，你也得能找出底数范围。比如告诉你 y 等于 loga， a 加一 x 是减 函数，你能求出 a 的范围吗？现在是减函数，那对应的底数应该大于零小于一，所以 a 大于负一小于零。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，对于对数函数， y 等于 loga a x， a 大于一十是增函数，图像大致是这样的， a 大于零小于一十是减函数，图像大致是这样的。怎么样，听明白了吗？如果明白了就赶紧去刷题吧！

今天咱们来讲一个高一必刷题，二次和对数的复合函数单调性的问题。 已知 f x 是 log， 以 a 为底，它的对数在一到二的 b 区间上单调递增，求 a 的取值范围。拿到这道题之后，咱们一定要看出来这是一个复合函数，那么复合函数的单调性就是四个字， 同增易减，内外层单调性一致，就是增的，单调性相反就是减的。所以拿到它之后，我们先把它改一下， u 等于 x 方减去 a， x 加三。还有一个函数就是 y 等于 log， 以 a 为底， u 的对数。这是我们说的复合函数，一定要使用换元法去思考这个问题，那么它的单调性内 外层里面肯定是外层，这个对数更好研究。所以第一种情况，如果 a 大于零小于一，那么内层函数 y 就是一个减函数， 他如果想在一到二上是单调递增的，那么二次函数在一到二上应该是一个减函数才对。那对于这个二次函数来说，他的增减由开口和对称轴决定。开口向上咱们来看，对称轴对称轴恰好是二分之 a， 那 a 在零到一之间，二分之 a 肯定小于二分之一大于零，也就是对称轴在一的左侧来看，此时一到二上一定是一个增函数， 增函数，这个是减函数，整体是减函数，肯定不符合提议，直接折掉。那么第二种情况 咱们再来看，如果 a 大于一，在 a 大于一的时候，我们发现这个对称轴呀，有可能在一的左侧，有可能在一到二之间，有可能大于二，但是 log a u 这个函数此时递增，整体在一到二上又是递增，那么这个二次函数本身在一到二上必须是单调递增的，那么我的对称轴二分之 a 就必须小于等于一，才能让他在一到二上单调递增，所以此时 a 小于等于二，并且大于一。 做到这一步，有些同学就认为这道题就已经做完了，但其实不是，这里有一个非常容易错的点，就是一到二上必须在定义域内，也就是说当他在一到二上的 时候，这个二次函数必须是正的才可以。我们再来看此时二次函数对称轴小于一，要想让他在一到二上是正的，只需要把一带入以后让他是正的即可。所以我们要研究一下，一减 a 再加上三，他要大于 与零，那么解出来 a 小于四，这个范围和这个范围求公共部分，最后还 还是他。所以这道题最终的答案就是一到二的前开后闭区间。但是这个易错点大家一定要注意，千万别忘了对数函数的定义域。好，这道题大家学会了吧！

一分钟解对数函数单调性，考到对数函数，同学们一定要警惕对数函数定义域的陷阱。 像在这个题目中，要求这个函数的单调递增区间，可以看到这个函数是一个复合函数，复合函数单调性的判断要遵循同增异减的原则。 这个对数函数是一个以二分之一为底的函数，也就是递减的 啊。上面这个是一个二次函数，要满足最后要求的是递增区间，只需要求这个二次函数的递减区间，因为同针易减，两个函数同 是递减的时候，最后这个函数就是单调递增的。可以看到增数是一个开口向下的二次函数，他的单调性是以对称轴为分界的， 那我们只需要求的这一边即可先把它的对称轴求出来。负二 a 分之 b 等于二，那很多学生就会写到二到正无穷的答案，这个答案也是常见的误区答案。 我们说到一定会考到他的定义欲的陷阱，那我们要先把他的定义欲给求出来，就是增数大于零， 先把它变一个符号。 音式分解， 可以得到他的定义率是负一到五之间，这个是二 负一五，也就是说只有在负一到五这一段范围内，这个函数才会有意义要求他的递增，递减区间也只有在地域范围内去才行。 从图中可以看出来，最后满足条件的答案就是二到五，所以只要考到对数函数，一定要先把定律给求出来。

我们一起来看一下这道题啊，这也是我们在期末考试当中非常高频的一个考点，有关对数的一个单调性问题。好，那这个函数呢？说以 a 为底，六减 ax， 所以 很显然这是一个复合函数啊，对数型的复合函数，那么关于这个复合函数的单调性，我们有它自己的一个单调原则，叫做同增异减啊，同 增 e 减，当你内外层函数单调性相同，那整体为增函数啊，内外层单调性，如果相 e， 整体为减函数啊，那这道题给了说这个函数呢，在零到二上为减函数，让我们来求 a 的 一个趋值范围。 好，那么单调性问题，所以我们要去分析一下他的单调性，那么大家一定要注意啊，这道题和谁挂钩了呢？和这个对数函数相关啊，那么关于这个对数啊，他的定义域有非常非常严格的要求，真数必须得大于零，所以你在解决啊，所有对数问题，一定不要忽略定义域 啊，那么也就是说，老师在告诉你什么呢？你这道题，你除了考虑单调性，还要考虑啥？定 好？那说实话啊，因为我们在高中啊，所学的函数当中呢，对定义有要求的函数不多，只有对数函数，还有一些形，比如说分式形， 根式形，零次密型啊，那除了这些以外呢，它的定义域都是任意实数，所以我们有一些题，大家就经常容易忽略定义域啊，那这老师来重点强调一下啊，千万对数函数不能忽略定义域啊。好，那我们来继续看这道题啊，他说整体为减函数，那我来分析一下， 那这个函数的外层，我们可以把它看成啥呢？看成这个对数以 a 为底啊，比如说里边看成 t， 这是它，那这个函数内层相当于是 t 等于六减 a x 啊，它告诉你了，在整个零到二上是减函数啊。那我们来分析一下啊，外层是以 a 为底，这个 a 大于零，小于一递减，如果 a 大 于一递增啊，但你 a 无论是在零一之间还是大于一，它都是一个正数啊。那内层 t 等于六减 a x， 六减 a x， 这是我们非常常见的一次函数。第一次函数单调性看的是什么？ 斜率 k 是 不看负 a 啊，我们刚才说了， a 一定是正数，那负 a 就 一定是负数，那么也就说明这个 k 小 于零，内层一定单调递减。好，那么你现在整体是减函数， 同增异减，就说明我们要求外层啊，这个必须得是递增的，才能符合这道题的题。那外层递增，他如果想递增，那 a 就 大于几 大于一。好，那这第一点我从单调性得到了一个不等关系。那另外一个我们要考虑定域，那定域是什么呢？就是要求这个真数六减 a x 必须得大于零乘以 那六减 a x， 它是一个一函数，而且它单调递啥？它单调递减，单调递减，它在零到二上单调递减。那我如果这个最小值是大于零的，那所有值都会比零大，那在 x 等于二时取得最小值，所以把二来进行代入啊，那就是六减二 a， 他如果大于零，那所有的含，所有的这个真数都能满足大于零啊，所以有这样一个等式。那关于这类问题，大家一定要注意能不能取等啊，有同学可能会说了，说老师，真数不能等于零啊，很对，我们真数是恒大于零的，但是你要注意这个区间， 我们这道题上是等号，说明二是可以取等的，对吧？那也就是说当你把二带进去的时候，这个值需要大于零的，对吧？那也就是说当你把二带进去的时候，这个值需要大于零的，对吧？那也就是说当你把二带进去的时候，这个值需要大于零就可以了啊。但如果你下次遇到一个题啊，他这块如果是开去接 啊，那你这块就需要有等号了。为啥呢？因为二是取不到的，你即使等于零，他也是取不到的。那这道题是没有等号的啊，不知道你能不能明白老师这个意思啊，所以注意这个一个易错点啊。好，来继续。那么我们来解一下 a 大 于一，这应该是 a 小 于三，所以解完 a 的 范围应该是大于一小于三，那这道题应该答案选 b。

我们只对函数，它基础的这种知识点我们讲的已经差不多了，这节课呢，是我们一个专题课，主要来讲一下我们这种指数型和对数型的这种复合函数。当考察它的单调性或者问你最值的时候， 那么它涉及到我们一个口诀叫同增异减，它是什么意思？我们要搞明白了， 我们先把它分成对数型和指数型，分别来说。比如你现在有一个函数 本身问的这个函数，它是一个呃对数结构是 log a， 只不过这个真数部分呢，就是我们的自变自变量部分，它不是 x， 而是一个更复杂的函数结构。 我们家的 g x， 那 么这种是复合函数同增，它指的就是如果你再问我 f x 本身它的增区间， 那么我要看这个外层 log a， 它属于大于一，还是属于小于小于一， 大于零这两种情况。如果大于代表我们的外层是增的，那么我现在只需要什么来找我的 g x 内层的增就可以了，因为我们要保证相同同才可以增。 那么如果我的外层是 a， 是 小于，也是个减的，那么你为为了保证同增，你就需要去找 g x 它的减，这样整体正好是增的，就类似于我们的负负得正反反又反过来了。 那与之对应的，如果你要求问的是整个啊整体函数的减区间，那么我们就要利用啊 e 减，就是要保证内外层不一样， e 的 意思就是这个， 所以如果外层 a 大 一属于增，我们就要找内层的减。如果 a 属于小 a 一 是减，我们就要找内层的增， 这就是这四个字的含义。但是我们要留意啊，如果它是对数形，同样要要留意我们前面强调的过的定域问题， 因为这种单调区间肯定是在定域这个大范围里面来，去找到子集，让我们看这第一个题，这是个对数结构。第一步，我们先解决定域， 那么它需要大零，这个肯定是能十全十成， 应该是减一减二大零，那么应该是两根一和二大于其两端，所以它的定域本身要么是比二大，就是二到中无穷 并上，或者比一小就是负无穷到一，这本身是我们的大范围啊，是定域的要求。 那么第二步，我们现在就需要根据同增异减，因为你这个 log 二分之一这个东西吧，它本身是个什么，肯定是个减的嘛， 外层是个减的。所以如果我现在去求我的，比如我们先求单调增吧， 我如果想求我的单调增区间，我需要去找什么？我，呃，这个 g x 那 层 就是我们现在这个二次函数，需要找它的什么同嘛，需要找它的减同才能增，而它的减的话，那我这很熟悉啊，只需要看对称轴的哪一侧就可以了， 所以我们画草图吧， 抬头向上，然后对准轴的话，是 x 等于负的二， a 分 之 b 二分之三，我们需要对准轴的左侧就是减的，但是你的定律本身是负无穷到一， 你左侧的话，本身是负无穷到二分之三，那应该是同小取小。所以因为一在这嘛，所以它的单调增区间啊，就整体函数的单调增区间就应该是负无穷到一 是增的。 理解这个之后，那么单调减应该自己就会求了。 单调减区间，我们需要找这个 g x 它的增的部分， 增的部分自然是二分之三到正无穷，但是同样你的定义范围是二到正无穷，而二的话够靠更靠右一点，同大趋大，所以它应该是直接是二到正无穷， 这是整体的减区间，这就是我们对数型这个题，你只需要留意这个定域问题就可以了啊，好多人他就是因为定域这个毛病，然后造成的错误。 我们再看一个啊，对数型，那如果对数型的话，跟刚才一样， 就是我，比如我现在有一个 g x 啊，是整体函数，它是一个 a f x 取代了我们那个什么指数部分， 是这样一个复合函数。那么如果你问我 g x 它的增区间，那我还是要区分 a 大 一和 a 小 一 这两种情况。 a 大 一的话，那么外层是增的，所以我们就需要去找 f x 它的增的。 如果 a 小 一外层是减的，我们为了保证相同同增嘛，就需要也找这个 f x 的 减的。 那如果你求整体的 f g x 整体函数的减区间的话，你同样对调一下就可以了。 同样呢，我们先看上面这个题，这里面呢，基本上不用考虑定域了，因为指数的这种基本型函数，它是全体实数嘛 x， 所以 不用考虑定域， 只需要满足我们的同增异减就可以了，因为这是个二分之一嘛，二分之一 x 这个函数，这是外层的，它肯定是个减的。所以呢，我们整体函数的 它的单调增 应该找什么？找这个 x 平方减二 x 有这个函数的同，应该是减区间，找他减的部分，而他减的部分，同样我们画一个图，抬头向上， 对称轴为 x 等一减，那应该是一的左边负无穷到一，所以它应该是整体函数的增区间啊，就是负无穷到一为增。 那么同样啊，那它的单调减区间 应该要我们这个 x 平方减二 x， 它是内层函数的增减，这就是减的，那么自然就是一到整无穷。 这是啊，我们基本上不用借助图像了，其实借助的就是二次函数本身的部分图像。 但如果是下面这个题，下面这个题的意义就是啊，隐身我们前面抽象的这种绝对值的画图，因为我们当时只说了，应该是只说了对数形，那么现在出了一个指数型的绝对值的结构， 它是怎么画图的呢？它，其实啊，我把它氧化一下的话，是这样一个过程，是分之一啊，就最开始有这个函数 啊，这个函数呢，做个变形之后呢，它先变成了这个一分之一，然后呢，这个自变量啊，框了个绝对值。 我们从这一步到这一步画图的时候说过，这是个偶函数嘛，偶函数它应该是右翻左， 所以应该先做个右翻左，右翻左之后，然后再平移，因为平移的时候，你先加绝对值之后平移，就可以在 x 后面直接左加右减了，所以它应该又做了一个右移单位，就变成我们现在这个函数了。 我们只要能够做出来图，那这个单调增单调减区间自然就出来了。所以这一行啊，它是考验他画图了， 我们在这画它一个草图嘛， 本身一分之一 x 啊，一分之一的话属于小于一嘛，应该是这样一个函数过零逗一，然后减， 但是我们画的时候只要什么它叫右翻左啊？只要右边，所以它其实只要这边， 这边我就用虚线了，那么把它右翻左啊，把这个偶按入 我画的这个呢，是一分之一，然后 x 框绝对值是它还没有平移呢，我们现在要整个往右平移嘛，往右平移之后它就会变成什么，就这个特殊点嘛，就会变成一逗一， 它的对准轴就不再是 y 轴了，而是 x， 等一这条线到这来了，这是一对一，那么图像就是这个样子的， 大概吧，跟个啊八字弧一样，无限逼近我们的 x 轴，所以从这你自然就能看出来它的减区间就是一到正无穷增区间呢是左边负无穷到一， 这是绝对值。画图这个点我们强调过，它体现在我们后面的函数的零点问题里面，还会比较深刻。

大家好，今天我们一起学习下高一数学期末常考题型的第九类题型，对数形函数的单调性。 像这类体型是一个什么易错点啊，也是最容易出现错误的一个知识点啊，错误的原因就是大部分人忘记了求这个函数的什么叫定义域，就是说易错点就是定义域的问题啊， 这个也是高考常考的一个什么题型啊？先看看这个题，求函数为等于 log 以二分之一为底，而平方减二， x 减三的单调区间。 像这个题，我们首先求函数的什么叫定义，使得它的根数大于零，就是 x 方减二， x 减三大于零。分解因式 x 减三乘以 x 加一，大于大于在两边小于在中间还大于三或 x 小 于负一啊。 现在你看像这种是一种复合型函数，我们要讨论复合型函数的单调区间，用到的方法就是把同增异减啊，同增异减 线给我们。首先讨论整数所在的这个函数的，是吧单调性啊，达到二次函数，看开口方向和，是吧对称轴，这个二次函数开口轴了，向上对称轴是几啊？一，哎，你看 n 克斯等于几啊？一，你看定义域是小于负一和大于三的 图像就这样画的，它在 n 轴下方是没有图像的啊，因为 n 又怎么了，相当于 v 又大于零吧，它的函数值又怎么了？大于加零。现在我通过这个图像可以看到，你看这个二次函数，在负无穷到负一上 单调，递减，在三到正无穷上单调，是吧？递增。 这样看，以二分之一为这个对数函数是一个什么函数？减函数，我们讲过同增异减，你看在负无穷到负一时，减的有二分之一，为的什么减的同增，这样的话就说明这个函数在负无穷到负一上，什么函数 增函数啊，你看二才是在三到正无穷上是增的以二分之一的为底，这个对数函数什么减的同增异减，说明在三到正无穷上是一个什么函数减函数啊？所以说我们在 以后拿到函数题的话，首先比较考虑这个函数的什么叫定义域啊？ 这是一个很容易犯的一个错误，这个像符合性函数的单一性，不管是指数型还是什么型啊？对数型啊，我们都用的方法是什么？ 同增减，就说两个单对相同的时候，他是一个什么函数？增函数，来个单对性相反的时候是一个什么函数减函数啊？今天我们就分享到这，谢谢大家。

同一减，看见二分之一，那是不是我们就可以判头减减化一点了？外层铁定是个减的了，对吧？所以我们其实现在是不是内层也是减的，整个就是个增的，那现在找内层是减的，开口向上找这个对称轴 x 是 不是等于一的，对吧？ 完事简单，富无穷到到这个富无穷到到一啊，对吧？富无穷到一那一，这还可以取，但是注意这个东西也特别容易错，还是定域问题，是不是你要保证这个东西， 对吧？定域你要保证 x 方减二， x 它得是个大于零的，那大于零的话， x 乘以一个 x 减二要大于零，所以 x 是 不是小于零或者 x 大 于二啊？ 对，那取交集嘛，交集完了之后整个就是一个负无穷到零，这个一定要注意啊。这个对数这块的话，说实话就是就是这么几个题型，然后呢，它可能会不停的出问题，都是忽略掉了定域的问题， 就大家一定要记得现其实刚刚刑官说的特别好的一点是什么呀？就是所有的函数的话，所有这种对数型的，你上来先把定域求了再去做，对吧？这是我推荐给学生们，都会这么推荐。