山东高二数学合格考数学有作图吗

小动漫呢？你看这个模子。哎呀，这个字你看跟刻的一样，两分。这字很明显不太对啊，这两面平行。这两线就能平行吗？ 你还看肉眼哥，他后面写的是差不多就行了，哈哈哈哈。

二零二五年山东省普通高中学业水平合格考试将于二零二五年十二月二十七日到三十一日进行。

同学们，今天来跟大家聊聊山东师范大学附中高二下三月月考的数学卷了。这份卷子是以函数与导数作为重要骨架，还贯穿了几何、 数列以及新定义，这类问题特别适合咱们用来拔高训练。那咱得重点去突破导数综合题，还有动态几何建模，同时要积累同构转化，还有放缩这些技巧。就比如说单选第五题，得去验证导函数变号的情况， 关键步骤是通过二次导数的符号变化来排除虚根，可别因为检验不仔细就错选成 c 选项。然后第六题到第八题是三类构造函数的导数题， 难度是依次递增的。第六题是分餐之后构造函数。第七题得观察特征，构造函数利用单条性来比较大小。 第八题是新定义的对偶函数问题，得把条件转化成方程，有两个解构造辅助函数，再去分析它的极值，还有渐近行为。多选题里的第十题是导数多考点融合的中档题， 挺考验咱们的基本功的。第十一题主要涉及同构，还有引函数填空题里的第十四题是分段函数零点的问题，得用求导结合、数形结合来分析。五道大题里，第十五题和第十六题是基础题， 第十七题是中档的应用题，第十八题是零点存在的问题，属于中档题，得分类讨论，基本功得过关才行。第十九题是导数和数列结合的压轴题，难度对于高二刚学完导数的同学来说还是够的。第三问得用数列求和还有对数放缩来证明。

核考不通过，影响的不止是拿高中毕业证书，山东的高二高三的家长们同学们注意了，核考、考试补考安排已经落地，这是你拿到高中毕业证书，影响中评的最后一次机会，时间很紧，就两步，第一， 十九号到二十五号打印准考证，第二，二十七号到三十一号进行冲刺考试。高三的同学们，就这一次机会，直接影响你的中评录取和拿毕业证书。所有的注意事项和考场规则我都放在评论区了，现在就去准备，别留遗憾。

十三元小代班。

好，大家好啊，我们来分享一下那个山西大学附中中学刚考的一个高二的啊，一个月考的卷子啊，我们一起来看一下这个卷子，这本卷子呢，从头到尾一样的，那特别典型的啊，三大附中的一个 考试习惯，对吧？里面的二级结论呢，特别特别多，那么这地方我们一起来分享一下啊，顺便挨个分析分析，把一些经典的题目来讲一讲。好，我们看看第一个题， 这是什么顶点啊？焦点抛物线的标准方程基础题是吧？椭圆左右，焦点上顶点为 a a f 一 和 a f 二垂直，它考的就是 a b c 的 一个基本关系嘛，是不是？好？第三题，渐近渐方程简单， 它离心率是多少？是不是考察了什么渐近线方程，双曲线离心率，它是等于什么？等于根号下什么？一加 a 方分之 b 方的，对不对？一加 a 方分之 b 方，那这地方肯定很多学生说，哎，不知道焦点在哪个轴上，你不管是 a 方分之 b 方， b 方的 a 方，因为它这个斜率正好是多少？正负一，所以不管正的倒的啊，都是一， 所以就是根号二，对不对？好，第四个，一条光线沿直线入射反射来，入射，反射都是一，所以就是根号二，对不对？好，第四个，一条光线沿直线入射反射，入射反射都是一，所以我们之前 说过，那我就不画这个了啊，反射直线，这个啊，一条直线是这个，对吧？经过这个直线反射之后，那你求这个反射直线？ 好，那么这个直线呢？是二， x 减去个四， y 减一等于零，那么这个直线是 x 加 y 等于零，那么怎么求反射直线？我们就在直线上取一点这个点呢？关于直线的对称点，我是能算出来的，那么这个点一定是在这条直线上， 对不对？应该应该在这条直线上。好，那么我们再取两个点不就行了吗？对不对？取两个点，那就这两个点好不好算呢？很好算，因为点关于这个 y 等于负 x 的 对称点，咱们是可以直接看出来的啊，咱是可以直接看出来的，那比如说只要斜率为正负一都可以吗？比如这个地方能取哪个点呢？取一个 x 取 取几啊？比如说外取零吧啊，外取零 x 等于二分之一，比如说取二分之一到零这个点，是吧？啊？二分之一零这个点。关于这个外等于负 x 对 称点，那就把横坐标啊二分之一带到里面去算重坐标，重坐标是等于负二分之一，所以这个点的对称点呢？就重坐标是负二分之一 啊，横坐标取零带进去啊，中坐标也是零，那就是零，负二分之一，对不对？很方便？同样再取个点带进去，那么两个点呢？确定一条直线，那么这两个点确定的就是反射直线，这条直线啊，也是比较简单，所以第四题相对比较容易啊。好，第五题，这是考了个什么第一啊？双曲线的第一。 那我提前把图画出来了啊，它的动圆 c 呢？与圆，这个圆外切和这个圆内切，你看蓝色的圆，就这个东西 好，内切和外切完了之后说相切的问题，圆和圆相切，你是不得连接切点，你是不得连接圆心。直线和圆相切，你是不得过圆心做直线的垂线，对吧？你把它写出来，你看我这地方画出来了，这 两个圆心连起来切点过切点，两个圆心连起来过切点，对不对？全把它画出来。好，他说下面你看看什么东西是不全是椭圆，那你只要研究什么 co 一 加 co 二是不定值不就完了吗？对不对？来看看这个长度是几一？ 这个我不知道，我假设是 r， 然后这个呢，是不是也是 r， 这个呢？是不是 r， 对 不对？所以来 o c o 一 啊， c o 一 加上一个 c o 二，它等于多少？ c o 一 它就可以写成 r， 加上一个一嘛， c o 一 嘛，对不对？然后加上一个 c o 二，那 c o 二怎么算呢？ c o 二，我知道，这个是不是半径，半径是几？半径是五，是不是五减二，所以 c o 二就是五减二， 加起来是几？叫做六，所以 c o e 加上 c o r 就 等于六，它等于六。什么东西是不二？ a 一个动点到两个定点之间距离之和是吧？等于二 a， 所以 算出来 a 等于几呢？ a 等于三， a 等于三的话，那就是九分之 x 方吗？对不对？加上一个，那 c 呢？ c 就是 一嘛， c 就是 一，那就是八分之外方不选 a 吗？ 对不对？所以看这都是一些关于啊椭圆的双全定义这些东西啊，我在我的讲义的前面我写过的，我不知道你们仔细看过没有啊，可能他们学校里面那些学案呀，里面都有这种题，所以他们对于负重的学生来说可能做的会比较轻松一些。啊，好，那第六题 抛物线 c x 方等于八 y， 对 吧？它交点呢？是 f 啊，交点是 f， 然后呢？ a 点的坐标是四五点， b 呢？在 c 上，他说三角形 f a b 的 一个周长最小值，你说这个周长考什么？ 它的周长，那不就是 f b 加上个 f a 啊，加上个 b a 吗？因为 f a 是 两个固定的点数，加 f a， f a 是 固定的，对吧？那 f b 加 f a 加 b a 等于什么？ f b 加 b a 什么时候最小就行了。那么点到焦点的距离是不是转化到点到准线上， 对不对？所以就是 b a b a 加上它到准线的距离，什么就短，你告诉我是不是直接过 a 点做准线的距离，这个时候 b 点在这的时候就短，对吧？你看 b 点在这啊，它连起来做垂线，它加它肯定比它要长嘛，是不是？所以直接过 a 点做准线的垂线，那么准线是多少呢？ x 方等于八外，那准线就是负二 啊，准线是个负二，那么 a 点到准线的距离五和负二之间距离是七，对吧？那就是七，最小值是七，然后再加上 a f 的 距离， f 点坐标是零一，那 a f 一个零一，一个四五，那就四四 四五横，坐标是四。哦，零二啊，不是零一，对吧？零二，那么四五四三就是五嘛，五加七嘛，对吧？五加七是不是等于十二？是不是选 c 啊？说这个考了个头抛线的一个基础的一个几何性质，这种几何性质的题呢，我们应该是做的比较多的。那好，第七题，直线与曲线来，这是个什么曲线？很多人可能看不出来，那么这个曲线看不出来我们怎么办？把根号去掉，两边同时平放一下，发现就是 x 方减外方等于四，它不就是个双曲线吗？只不过 x 必须要什么？你要大于零量 对不对？它大于零啊，所以只能取右侧的图像。他有不同的两个交点， y 等于什么呢？ m 倍的 x 减一， 他是经过一零这个点的，和这个双曲线呢？有两个不同的交点，你怎么就有两个不同的交点呢？如果他和渐近线平行的时候，肯定只有一个交点，对不对？所以只要比渐近线什么高一啊，大一点啊，陡一点，斜率比渐近线的斜率要大一点，那么肯定是什么是有两个交点的，你说渐近线斜率多少？是不是正负一啊？ 这个字正一，那说斜率只要比正一大就行啊，只要比正一大就行，那么慢慢慢慢，还有什么？还有种相切的时候对不对？一到相切的时候，这个时候是不是只有一个一个焦点了？然后再往上走是不是就没有焦点了？所以应该是从一开始到什么相切？你看这选项需要你算吗？肯定是这个东西吗？选二 b 吗？ 对不对？因为下面还有呀，负一和负的，那么相切的时候嘛，对不对？所以肯定是选二 b 啊， ok 吧。所以这第七题好了，看第八题。椭圆，然后左右焦点是 f 一 f 二，它这地方主要关键就是两个向量的条件， f e m 等于 mp， f e m 等于 mp， 所以 m 点是 f e p 的 终点。 好， o p 加 o f 二，你看 o p 加上个 o f 二是不是等于中点的两倍？所以说二倍的 o n n 点正好就是 p f 二的中点。他说四边形 m o n p 的 周长来， m o n p 的 周长，这是个平行四边形，它的周长是四 b， 说明什么？说明 pm 加上个 p n 是 不是等于二 b 那一半嘛？那 p m 加 p 等于二 b， 那 p f 一 呢？加上 p f 二呢？那不就是四 b 吗？对不对？它是不是等于二 a 啊？做完了没有 说要求离心率，就是求什么 a 和 bc 关系，很多学生说求离心率不会求，我说你离心率不会求，那不就不会什么 a b c 的 关系吗？跟离心率这种题型没关系啊， 对不对啊？所以最后能得到什么？ a 分 之 b， 它是等于二分之一的，所以离心率 e， 它等于根号加一减 a 方分之 b 方等于二分之根号三选 c。 所以这个题其实难数难度什么本身不大好。前面的单选择题呢？整体来说感觉还可以，对吧？都没有考到特别重要的一些结论，但都是些常规题啊。这前八个题应该还是比较好做的好，我们来看看后面的题，大家看后面的题， 多项选择题。那看第九题，这题考什么？ p 点这个是什么？是一个坐标，这个坐标里面只含有一个参数，所以 p 点是可以把九轨迹方程取出来的。但 a 选项就提示了，说点 p 在 直线上，对不对？你带进去看一下， 在三 x 上是三倍的四 m 加三就是十二 m 加九加上个四 y 就 加上一个负十二 m 减去个十六加个七，你看这不正好等于零，所以点 p 就 在这个直线上啊。 a 选项没问题， b 呢？ b 可能在圆上， p 点在直线上动的，说明这个直线和圆怎么样？有交点还是没有交点？你判断一下就可以了，对不对？有没有交点呢？圆心到直线的距离一零到直线的距离就是十除以五吗？不就是二吗？ 圆心到直线的距离等于二大于半径，肯定没有交点了，没有交点怎么可能在圆上呢？对不对？好， p q 的 最小值来，圆和直线没有交点变。圆心到直线的距离等于二， 这个是一，这个是一，对不对？那 p q 的 最小值来， q 在 圆上动， p 在 直线上动，最小值是不是一啊？是不是一下就看出来了，对不对？所以 c 是 对的 好， d 呢？圆上至少有两个点，与 p 点的距离为一来 p 点你不管，在这的时候，圆上只有一个点的距离和 p 点的距离等于一， 对吧，你会跑到外面去了。之后呢？你很明显，我这个距离肯定比一大了呀，就找不见了，就最近的距离都是比一大的，是不是？所以其他的时候都是比一大的，所以能不能找进两个找不见啊。所以 a c 这第九题好从。这是第九题啊，也还行，对吧？也还行啊，考的直线和圆的一些常规题来。第十题， f 一、 f 二分别为双曲线的左右焦点。什么？ p 是 差一点，那么折下的说法正确的是哪个？ 来？ a 选项，双曲线， c 与双曲线有相同的间距线，这没问题。这叫共个双曲线吗？对吧？它有相同的间距线，所以 a 是 对的好。 b f 一 等于二倍的 p f 二啊，这个考虑也是比较基础的， f 一 等于二倍的 p f 二，我口算都算出来了，那 p f 一 减 p f 二等于等于二。 a 说明 p f 一 减 p f 等于几呢？等于四， p f 等于四，那 p f 一 呢？等于八， p f 一 等于八。然后再看二 c 二 c 是 多少，那 c 不是 等于根号二吗？ 那 c 是 不得根号六吗？对不对？ c 等于根号六，那么就是四加八十二十二加二倍，根号六，是不是选 b 没问题吧？好， c 选项 p f 一 和 p f 垂直，你看是不是开始考结论了？ p f 一 和 p f 垂直，那么交点三角形的面积是不等于 b 方？除以一个探解的二分之 c， 它，那 c 它是九十度，就是 b 方， b 方等于几？等于二，所以 c 不 对， 对吧，对不对？好 d， 直线 l 与算角线交 a b 两点，是不是考结论？若 a b 的 终点坐标是二分之一，负一啊。终点和直线斜率的关系 就是终点，比如 o m 吧，它的斜率和 a b 的 斜率乘积等于什么呀？等于 a 方分之 b 方呀，是不是？你要不知道这个结论的话，这题怎么做，对吧？好，其中 o m 的 斜率我知道等于负二，所以 a 方分之 b 方是个二分之一， 所以 ab 的 斜率等于多少呢？等于负的四分之一， ab 的 斜率等于负的四分之一。那我画了一下图，为什么我要画图呢？ 正常情况，我需要去验证一下这个直线到底和双曲线有没有两个交点，对吧？你需要验证，因为双曲线它和椭圆不一样，椭圆它是个闭合曲线，双曲线它有时候你算出来这个斜率，这个直线呢，它就和双曲线没有两个交点啊，这是导致一些错误的情况啊。但这地方你看，画出来之后，斜率是个负四分之一，它比这个渐近线呢， 要平滑，肯定和三角线有两个交点，哎，有两个交点就可以了，对吧？就够了啊。好，这是我们这个第十题， 选 a b d， 对 吧？选 a b d。 好， 你看十一题。抛物线啊，抛物线， 它的交点呢？是 f 啊，开口向上的，那抛物线的两个点它都这么射出来的，对吧？切点，两个处的切线交于 p 点 x 零 y 零来。首先 a 点的做 a 点， a 选项是什么？ 他说 x 零是什么？切点的横坐标是 a 和 b 的 横坐标的中点。你看，你随便画个图，比如说你这个双抛物线，什么这个点再往这边来一点，你这么说切线，那你这个点他能是他俩的角中点了？这看着是越来越偏向于 a 点了呀，对不对？或者你往这边画， 它越来越靠近于 b 点，它就不可能是中点吧，对吧？肯定不固定的，所以 a 肯定是不对的啊， a 肯定不对的，那 b 对 不对呢？ f a f m a 它等于九十度。好，你把 m 点的坐标把它写出来，来过 a 点的切线方程，会不会写过 a 的 切线方程？那就是 x 一 x 等于什么？屁倍的 y 一 加 y， y 一 y 一 就是二 p 分 之 x 一 的平方，对不对？好，要求， m 的 坐标是不是就是令 y 等于零啊？那 x 算出来，把 x 一 约是不是就是二分之一 x 一， 所以 m 点的坐标它就是二分之一倍的 x 一 倒数零，那同理， n 点的坐标就是二分之一 x 二倒数零嘛，对吧？是一样的推法。好， fm 斜率来 fm 的 斜率， fm 的 斜率就是 f 是 零二分之 p 嘛， 对吧？那 f m 的 斜率就是二分之 p 比上一个负二分之一 x， 二分之 p 比上个负的二分之一 x 一。 然后再看 am 的 斜率， am 的 斜率 a 点就是二 p x 一 的平方，减零比上一个零比上 x 一 减二分之一就是二分之一 x 一， 对吧？好，你看它俩相乘，这个化简出来是一个负的 x 一 分之 p， 你 这个化简出来， 这个二分之一没了嘛？就是 p 分 之 x 一， 你看这一层是不是等于负一？一层等于负一，说明就是垂直的呀。所以 b 是 对的， 那 c o m 比上个 o n 等于 fa 比上个 mb， 这对不对？ 得直线 ab 过点什么？过点 f， 那 这地方就把它写出来，那个 o m 比 o n 是 什么？是不是就是负的二分之一倍的 x 一 比上二分之一倍的 x 二是不刚刚算过来的。 然后呢？ f a 等于 f b， f a 等于什么？点到交点的距离等于点到准线的距离，它等于二 p 分 之 x 一 方加上个二分之 p， 底下就是二 p 分 之 x 二方加上个二分之 p， 对 不对？好，你交叉相乘来算一下， 前面就是一个二分之一，把它约了，对不对？那就是负的二 p 分 之 x 一 x 二的平方，然后减去一个二分之屁倍的 x 一 等于二分之屁倍的 x 一 的平方， x 二加上一个二分之屁倍的 x 二。 我的移下向啊，左边一移就左边负的二 p 分 之 x 一 x 二，把它移到左边来，后面还是一个 x 一 加 x 二，对不对？然后等于二分之 p 倍的 x 一 加 x 二， 对吧？好，那把它一约能得到什么？你看看，能得到就是 x 一 乘 x 二，它等于什么？负平方？那不搞定了吗？ x 一 乘 x 等于负平方，不就是 ab 过焦点的一个冲量条件吗？对不对？你看这个结论，如果你能记住的话，马上就反应过来了，这不是 c 选项。 然后 d 外零等于负二分之 p 来，外零在什么？外零负二分之 p， 切点，交点在准线上，在准线上过准线做窗抛物线的两条切线，然后这个切点选一定经过哪个点，经过焦点，对不对？这是我们学的那个图里面的其中一个性质，看看你对这些抛物线的性质掌握的是否熟练， 是吧？ b c d 啊， b c d 就 这种题啊，你要是结论知道的话，这题做的超级快啊，做的超级快。好，我们继续来看后面的填空题，来十三题。这个是我讲页上的原题啊， m a 方加 m o 方等于十，所以我知道 m 的 轨迹是什么 啊，为圆是吧？ m 的 轨迹为圆，你要么就找 m 点坐标设出来 m a 的 平方加 m o 的 平方，你化简一下，要么就用什么极化恒等式的那个式子去把它转换一下啊。减二恒等是另外一个嘛？极化恒等式不是 a 加 b 的 平方，减 a 减 b 的 平方吗？你把它写成 a 加 b 的 平方，加 a 加 b 的 平方，加上 a 减 b 的 平方，对不对？出现了就这个平方和 你看，你还知不知道我在说什么啊？你要不知道我在说什么，赶紧看看笔记。好吧，这是十三题，十四题。这个题啊，我想说，椭圆 c， 它的左右焦点呢？分别为 f 一 f 二点， p 呢，是椭圆 c 上除长轴端点外的任意点， 那 p f 一 p f 二连起来 f 一 p f 的 角平分线。好，我想问你一下，角平分线的方程会不会求？我之前说过很好求的 对吧？怎么求呢？已经经过 p 点了，还差斜率？斜率是什么？和 p 点的切线是垂直的，那么 p 处的切线是什么东西呢？是不是点差法的结论啊？ 对不对？所以 o p 的 斜率就是 y 零比 x 零啊。 p 点坐标是 x 零外零，它和切线的斜率乘积应该是等于负的 a 方分之 b 方的，对不对？所以我知道切线的斜率，它就等于负的 a 方外零，上面是一个 b 方 x 零。 好，所以那个切线，那个 p q 直线方程呢？直接写出来 p q， 它就是 y 减 y 等于 k， k 就是 它的负导数啊，就是 b 方 x 零， a 方外零，上面还是 x 减 x 零。 要求 m 是 什么？就令重置标等于零嘛。令重置标等于零。好，你算出来的 x 就是 m 减去个 x 零，对吧？等于用 y 去零带进去，那外零外零消了，把它乘过来，是不是就剩一个？嗯，负的 b 方 x 零除以一个 a 方， 然后所以 m 就 等于 x 零移过来就一减 a 方分之 b 方，是不是就是 a 方分之 c 方 x 零呢？对不对？所以 m 等于 a 方分之 c 方 x 零。那这个 m 的 选择范围你知道是多少吗？ x 零的范围是多少？负负 a 到 a 嘛，对不对？负 a 到 a， 所以 负 a 乘一下就是负的 a 分 之 c 方， 然后 a 再乘一下 a 分 之 c 方，是不是这个方位，对不对啊？就这个方位。所以这是当然不能取到左右顶点吗？除长轴短点外的吗？对不对？说开区间吗？ 是吧？开区间，那么这地方再把数据带进去就行了啊。所以这是我们这种的基本的一个做法。那这全是结论啊，不能说全是结论，这种题你要是考二级，结论熟悉啊，就特别简单。好，十五题，这个比较基础啊，我就不讲了。十六题，这个也比较简单是吧？ 过 m 做抛物线的交点，然后交抛物线与 ab， 求 ab 的 长这 m 点，这交点，这不斜率为一百三十五度吗？你要用角度公式的话，一步就出来了，对不对？说 ab 等于什么？ e， p 就是 p 除以一减烤三引多少度？一百三十五度， 对吧？你要带一百三十五度啊，不能带四十五度啊，等于二 p 除以一个三引方啊，这个你带四十五度和三和一百三十五度都可以了，反正是平方， 好过点 m 呢，且与抛物线只有一个交点的，那就是先切呗。还有这条直线不要忘了，对吧？这条直线不要忘了，所以连立方程啊，根号等于零就能算。所以十六题比较简单 来看十七题，椭圆 e 的 左右焦点为 f， 一 零，对吧？过 f 的 直线呢？与 e 交于 ab 两点，当 a 为 e 上的上顶点的时候呢？ af 等于三，通过它可以把什么 af， 这不就是 a 吗？ a 就 等于三吗， 对不对？ a 等于三交点， c 等于一，那椭圆方程是什么？是不是九分之 x 方加八分之外方等于一啊，对不对？这第一问好，第二问。他又说过 a 点做 x 等于九的一个 垂线，垂足为 m， 然后把 b m 连起来，证明 m b 过定点。那么这地方我们说，你看，我把这个 ab 啊，我这么标，我这么画一下，这个是 a， 这个是 b， 对 吧？我做个垂线，我做个垂线 啊，这个垂线连起来，然后呢，我把这个地方我画个对称的，我把这个标成 a， 这个标成 b， 垂垂线这么连起来，对吧？如果这个 b m 和这个 b m 都交于一个定点的话，它们俩是关于什么 x 轴对称的，所以这个定点一定在哪呢？所以由对称性可得， 我知道这个定点它一定在哪呢？一定是在 x 轴上，对吧？定点一定是在 x 轴上， 所以通过对称性我能找到我的目标，我最后要证明 m n 过 m b 过定点的话，我找的是横坐标的点就可以。那么这个题很显然就是个什么非对称问题。你把 a 点的坐标直接写成 x 一 y 一， b 点的坐标是 x 二， y 二， 对不对？然后 m 点的坐标是多少？横坐标是九，重坐标就是 y 一， 然后你把这个 m b 直接换成，直接把它表示出来，表示出来之后呢？然后用表达的离啊直接代换出来 y 一 乘 y 二于 x 一 与 y 一 加 y 二之间的个关系，然后带进去就可以了。这是非对称问题的一个典型的一个题啊也这个题算是个不能算是难题啊，但对于你们来说的话可能比较难，是吧？那如果负重的选择做这题的话，可能他们平时做大题就遇见过这种，训练过这种题，所以他们本身应该是不是算难题。 那么后面还有两个题啊，十八和十九，这后面就很明显考的其实也都是些结论性的题啊，你看看十八题考的什么？他有证明双曲线让我证明 am 和 b n 相等，你看咱们是不是咱们讲过的 am 和 b n 相等，怎么做？我们说证明什么？ m n 和 ab 的 终点重合是不就可以了，对不对？证明 m n 和 ab 的 终点重合就可以。 好，那第二个面积比， o m n 和 o a b 的 面积比，那不就是 m n 和 ab 的 比吗？那 m n 怎么算？把两条渐近线当做一个二次曲线，直线和二次曲线的交点，连立方程算 m n， 再连立方程算 ab， 两个一比等于五分之二倍到五。直线方程里面只含有个 k， 是不是就这一个位置做就能做啊？是不是所以本身难度不大啊？难度不大，但是第一问，这个东西，如果我没跟你们讲过，能不能自己想到要证明 am 和 bn 相等，该怎么证？对不对？证明 m 和 ab 的 中等重合，中点重合的话，用两次点查法是不是就可以了？ 好，十九题。这个题考了，我们最讨厌的一种情况就是这边是个抛物线，这边是一个什么椭圆，他形成了一个闭合曲线，他最后让我他说直线第一位有个提示啊，说直线的斜率是二倍根号六，直线的斜率二倍根号六，正好是哪个？正好这个交点和这个 f 点他俩一个 啊，他俩是个斜率是二倍根号六，对吧？那你算这个 r 一 加 r， 这个比较简单，对不对？求 r 比 r 比值。那这地方就有两种情况，一种情况就是 一个在两个都在椭圆里面的时候，你算一下，一个呢，就一个在抛物线里面，一个在椭圆里面算一下。当然这个好算的地方在哪呢？因为他俩都是什么搅拌机？都是搅拌机的话，相对就比较容易一些。但这个题其实我觉得可以什么？ 你可以先把关于角度的那个搅拌机公式自己把它推一遍，推完了之后然后再用公式来做，那是可以有分的，对不对？你把公式把推一遍，推完之后再来用公式来做。那如果你用坐标来做的话，这个题可能计算呢会比较大，因为他俩在不同的曲线里面 啊，就整体来说，这份卷子啊，说了典型的三大附中的一个什么月考卷子就是什么呢，里面考的结论偏多，高考里面不会考这么多结论，但是对于你们现在刚学员的曲线，还一直在练员的曲线的过程当中，掌握这么多结论是可以的，是吧？也是必须的。并且你看附中的学校里面肯定会有很多这种 这种结论，训练那些题，所以附中的学生做这份卷子应该不会特别难受。其他学校做这份卷子肯定会感觉比较难受 啊，我建议，强烈建议啊，其他学校的卷啊，学生把这份卷子好好的把它做一做，测试一下自己在原则取向当中，二级结论掌握的到底够不够扎实。好，咱们今天的视频就录到这个地方，我们下个视频再见。

山东省二零二五年冬季合格考安排啊，刚刚发布了，家有山东高中生的家长们，关键的时间节点啊，咱们务必要记牢， 转发给咱们的孩子看一看吧！准考证的打印从十二月十九日就开始了，考试的时间呢，主要是集中在十二月二十七到十二月三十一号。本次考试啊，以二零二四级高二的学生为主要的群体，可以参加语文、数学、英语、政治、物理五科的考试。 其他年级中呢，高三的学生可以参加没有合格科目的补考。高一学生呢，是不需要参加这次考试的。高一的首次合格考将在明年的六月份进行。关于合格考的核心信息，这些要点需要咱们家长和学生啊明确下来。 一、考试的科目高中阶段合格考一共涉及了十一科，具体的考试时间与科目内容呢，可以参考对应的图示。第二，核心的作用。第一点，关于高中毕业证，十一科啊，需要全部合格方可顺利毕业， 整体的通过率呢，大概是在百分之九十五左右，没有合格的，需要在高二高三期间去参加补考。第二，影响高考相关的资格。参加夏季高考需要 语文、数学、英语三大主科以及所选的三门副科都合格。部分高校呢，在综合评价招生中呢，是要求所有的科目都要合格的，家长呢，需要结合选科和未来规划，提前帮孩子做好准备。

明天开始二零二五年冬季核考准考证的打印时间正式开始了，十二月十九到十二月的二十五号期间的上午九点到下午的五点，十二月二十六号到十二月三十一号期间的上午七点到晚上八点。 所有的高二高三的学生一定要提前准备好哈，那么在本次这个考试中哈，所有的学科几乎都要考的，那第一天十二月的二十七号呢，是考数学、外语以及语文， 然后第二天呢是考物理、政治以及生物，第三天呢是考地理、历史、化学，最后一天是考这个， 呃，新型技术以及通用技术。那在此哈，最为需要注意的就是我们高三学生，如果说还有合格考没有过的， 尤其是艺考生，有三科没过的，一定要抓紧时间，利用最后的几天抓紧冲刺，争取一次性考过。不然 如果说你高考选考的这个科目恰好高考没过，那那么你这科是没有办法进行这个高考考试的，这个科目就低于零分，希望孩子们最后一次考试一举通过。

我们再讲一下这个充分必要条件啊，我觉得这地方有同学可能还是不清楚，用 m n 表示，如果说由 m 能够推出 n 的 话，我们就说 m 是 n 的 充分条件， n 是 m 的 必要条件，那么如果由 n 能够推出 m， 我 们就说 n 是 m 的 充分条件， m 是 n 的 必要条件。那么这里会发现 由前面是不是推不出后面，但是由后面是不能推出前面，所以他就是他的一个必要不充分条件，选 b。 然后第六题，第六题说下面是个偶函数，偶函数的话，我们知道他是由，你可以从两个方面去看啊，你可以从两个方面去看，一个是从图像啊，一个是从图像。我把前面这些都擦了啊， 一个是从图像，一个是从它的解析式。图像的话就是关于 y 轴对称啊，它的解析式的话就是 f 负 x 等于 f x 这种对称的偶函数。顺便提一嘴奇函数，奇函数的话就是关于原点对称， 它的解析式就是 f 负 x 等于负的 f x， 那 么这里说是偶函数，并且在零到正无穷上是单调递增的， 那么这里的话，他考的是比较多的，你会发现他考了个指数函数，考了个对数函数，考了个二次函数，还考了个绝对值的一个函数，好吧，那么这个指数函数 他的解析式是二二的 x 方，所以他的图像是这样的，对吧？因为他这个地方是大于一的，那么这个对数函数他的底数也是等于二的，所以他的图像是这样的，你会发现他们两个都不关于外周对称，直接排除，然后 c 选项 一眼就瞄出来了，是吧？它的函数图像是这样的啊，满足偶函数，满足在零到整无穷上是单调递增的。所以这个题是选 c， d 选项稍微一看啊， d 选项的话是绝对值啊，如果说不加这个符号的话啊，正常的 f x 等于 x， 它就是这样的， 对吧？然后你加了这个绝对值之后，他是没有负的的，所以他是不是就变成 这样了啊？不加这个符号的话，不加这个符号，他绝对值是不是这样？但是你加了符号之后，哎，相当于全部绕着 x 的 轴给他翻下来了，所以他的函数图像，你加了绝对值之后，他其实是 这样啊，他就是这样的，他确实是偶函数，但是他在零到这部分上是单调递减的啊，所以这个是不对的啊。 然后下一个第七题，第七题内角 abc 的 对边分别是 abc 问我，他知道的，如求 b， 这个很简单哈， 什么正弦定理？正弦定理的话，就是 a 比上 c， a 等于 b 比上 c， b 等于 c 比上 c， c 等于个二二啊，当然这里用不着个二二，那么这里直接去套公式就可以了。这个 a 的 话就是二， 这个 c， a 的 话就是 c 四分之派。然后等于这个 b 的 话就是 c 三分之派， c 四分之派是多少？二分之根号， c 三分之派是多少，就是 二分之根号三。这里的话，还有一个问题，就是有的同学可能对于这种角度值、弧度值不是很清楚啊，角度值、弧度值不是很清楚，在这里还是稍微一讲啊，稍微扩展一下啊，就是你记住，派等于 派等于一百八十度啊，记死了，这个东西就开了啊。然后你比如说二分之派派是一百八，那一百八你去换的时候不就一百八除以二，他不就是九十吗？ 对吧？那我说你四十五度是多少派？你四百四十五度除以一百八，他不就四分之派啊？记清楚了，这几个就开了。然后再就是角度，角度这里的话就是 c q c 摊摊啊，这个是三十，这个是四十五，这个是六十，就是二分之一，二分之根号二，二分之根号三，下面是二分之根号三，二分之一，然后是三分之根号三，一根号三 上面的话就是一二三 q c 也是三二一啊，最后摊的话就是三分之根号三，乘个根号三得到一，再乘个根号三等于根号三啊。这个东西 不用去怎么这个斜修那个斜修的就这么简单的东西，直接去记一下就开了啊？这个我们带进去之后还有个计算啊，就是二除以他就等于 b 除以二分之根号三。 这里去计算的时候啊，如果你不熟悉啊，我们可以去交叉相乘，对吧？你交叉相乘去乘它就可以了。另外的话你就左右两边，你看这个二和这个二是不是可以约掉，他们都在分母的里面的，分母里面同时可以去约掉的啊，然后 你这个的话去乘过去就可以了，刚好他直接乘过去，不就根号二，根号三，再乘个二等于 b， 是 吗？然后这个时候你可以把根号二给它乘上去，但是这个二我可以写成根号二，乘根号二吧， 然后他和他是不是一约，所以 b 就 等于根号六，选 c 啊，选 c。 然后第八题，第八题一看这个样子符合函数啊，内层函数和外层函数，我们去做的时候就是先从内层函数开始， 先从内层函数开始 f 一 啊，找到一的时候 f x， 它的函数值是二，那么这个时候 g f 一 就变成多少了，就变成 g 二啊。 g 二二是多少带进去六，做完了选 c。 第九题，第九题的话谈谈二法等于根号二，然后他是在派到二分之三派问我 c 型 c， 它等于多少？ 呃，正常做题的话，肯定是 c 型方加 cos 方等于一了，但是你会发现它这个 c， 它的话它是在第三象限，第三象限的话，你的 c 是 正的还是负的？是负的，所以说 a c 直接排除啊。 嗯，如果实在不会的话，就蒙一个啊，正常的话咱肯定是要去做的哈。就是 c 方加 cosine 方是等于一的，同角三角函数关系，记不住的可以去看一下那个公式啊，我的视频里面也是有的。然后这个的话就是 c 比上 cosine 等于根号二，所以你的这个， 呃， c 就是 等于根号二倍的 cosine。 但是我这样写不是特别好，因为它最后求的是 c， 所以 这里的话我要用 cosine 等于在这里写啊， 这里的话我直接把它们两个换过来就可以了。 cosine 等于根号二分之 c， 带到这里面去就是根号二分之 c 国他的地方再加上 cosine。 哎，这写错了， 变，因为我们求的是 sin 啊，我肯定是要保留 sin 的， 所以就是根号二倍的 sin 方是等于一的，所以说 sin 方加上二分之 sin 方等于一，所以 二分之三倍的 c 平方等于，所以 c 平方就等于三分之二，然后开根号在这写啊，开根号就是负的根号，三分之根号二，他不就等于负的三分之根号六，所以这个题选 d 啊。嗯， 然后下一个第十题，第十题啊，第十题你要会的话，直接一眼看出来了，选 b 啊。为什么？ 因为我们知道给我的线段长是一样的时候，他的边数越多，他的面积是越大的，就是他围成圆形的面积是越大的。那么另外一个的话，你想一下十六的话，是吧？我举一个比较极端的例子啊， 他加他是八，我这个是七，这个这个不是七了，这个就是七点九九九九无限，然后你这个宽是很小很小的，对吧？零点零零零几，你发现它的面积是无限，毕竟于零的，对吧？但是我什么时候最大？当然是正方形的时候了， 连算都不算，直接就是选它就可以了。那么我们正常去做的时候，直接选它就完事了。正常做的话就是 a b 加 a， c 是 等于八的，我设 a c 是 x， 那 么它就等于八减 x， 那 它的面积就是八减 x 乘以 x 就 等于负 x 方加上八 x 啊，加上八 x， 那 么这个时候我们可以去 p 方，就是负的 x 方减上八 x， 再加上加多少，加十六减十六，就等于负的 x 减次过的平方再加上十六。 也就是说当 x 取四的时候，他能取到最大，最大就是十六。但是这个时候啊，还要注意一个范围的问题，当然这个题没有没有没有牵涉到范围，但是你平时做这种题你要注意啊。 然后下一个十一题，十一题空间中的位置关系告诉你， m n 是 一面直线，其中直线 m 平行于阿尔法。问我 n 和阿尔法所有可能的位置关系， m 平行于这个 r 法啊。问我这个 n 和他的关系啊？这这个，这个，这个就很多了，是吧？ n 在 里面的时候，对吧？你属鱼的时候，是吧？这个这个这个都有，是吧？然后 c 排除，对吧？ n 和它平行。 你这个 n， 是 啊，这个画不大好画了啊。就是 n 的 话，你想想这个这个 n 是 往外的，往外的，他和 m 是 不是在一面之线上？然后和 r 法 是不也是平行的，是不也可能平行，另外一个就一斜， n 是 这个样子，对吧？也可能是墙角。所以这个题是选 d 的 啊，这个题选 d， 然后下个十二题，十二题的话， 嗯，概率，概率问题啊。概率问题的话，它是首先六面，六面题，六面题也就是你扔一次的话，它是可能出现一到六的啊，扔，连续扔两次，其实这是又是一个 放回啊。事件出现两次减数之后是八发生的概率是多少？那么这个题他做题的方法是比较多的啊。你可以列树状图，你也可以列那个表，是吧？一二三四五六， 一二三四五六。你至于你去用用的着图写出一一一二或者全给它加起来吗？不用，好吧，你去算一下就可以了。二六，这是不一种情况。 三五，这是不一种情况。四四是不一种情况，三五是不一种情况。二六是不一种情况。一共几种？五种一共多少种？六六三十六，三十六分之五。选 b 啊，然后下一个题哈，下一个题 再找出说 x 是 零到派问不等式大于二分之一的解析式，草，直接画图啊，其实你要会的话也不用画图，直接就秒了。 这个是二分之派，这个是派啊，然后这个地方是一，他是大于二分之一，二分之一的话其实是六分之派，对应的这边是多少？六分之五派从图像上更好看，所以选 a， 熟悉的话直接选 a 就 可以了，图也不画啊。然后下个下面是真命题的是多少 啊？那么这里的话就是，呃，如果这个去去做的话，可能你首先你要知道这些，这些佛表示这个是全程量词，这个的话是存在量词好吧。 第一个他说对于所有的 x 的 值啊，都能够满足他吗？你 x 直到负一的时候能行不是吧？不行就不用算啊，你这个存在一个让他等于零 x 的 方等于负一啊，没有这样的实数是吧？负数倒是可以，然后下一个就是 对于所有的它肯定不是啊， x 等于一百的时候，对吧？然后这个说存在一个，这个是 x 三次方等于负一，那 x 等于负一的时候就可以。对，这个题是选择 d 的 啊。

山东省二零二五年冬季高中生的学考季和考即将于十二月二十七日到三十一日举行，咱们用三期视频和大家讲清楚什么是和考，以及它的重要性。手机和考分为冬季和考和夏季和考。其次，什么是和考呢？简单来说就是和你的毕业证挂钩， 需要分批次考察十一个科目，语文、数学、英语、政治、历史、地理、物理、化学、生物以及信息技术、通用技术基础知识。这十一个全部都要考分数呢，不计入高考成绩，但决定能否拿到高中毕业证。考试成绩分为合格和不合格，成绩六十分为合格， 不到六十分，那么只能是不合格了。那么核考全部合格的，将会给高考时等级考试选考科目留有更大的选择空间。 所以陆老师在这里建议大家，无论咱们同学们高考选科的规划是什么，都要全力以赴的谨慎备考。合格考。下期视频具体分析一下合格考各年级考试科目的安排情况，咱们点好关注，下期见，记得点赞关注哦！