内蒙古赤峰中考数学压轴题特点

哈喽，大家好，今天一起玩一玩二零二五年内蒙古中考数学填空压轴闪亮登场喽！来看一下这个题干，他说这是个菱形，菱形特点，四边相等，对角线互相垂直且平分啊。 好，他为四， b 根号五好，继续走。对角线 b、 d 为十六。哎呀，那就暗示我连接 ac 呗， 连接 a、 c， 对 角线互相垂直且平分，所以这个火记为解为 八，这个火记也为八，这样的话，我们顺手可以把谁啊，把 am 求出来是吧？在二 t 三角形 am 中啊，利用勾股定律把 am 求出来啊，等于四倍，根号五的平方 减去八的平方，哎，最后越算外，等于几？等于四好， am 等于四好，搞定 好，继续走。那么点 e 是 a、 d 的 中点，中点往往会想到啊，中位线啊， 直角三角形斜边，中线等于斜边的一半啊，是不是以及中点垂直中垂线？所以脑海中要闪现这些东西，中位线，中垂线，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，对不对？ ok， 继续走。 b f 等于三，哎，换个颜色喽， b， f 等于三，它等于三，这块等于八，那这块等于五边 是吧？好，继续走，求 ef， 求 ef， 求长度啊！传统方法勾股相似等记法。 那么这个题我们发现，能不能把 ef 直接放到一个直角三角形里面去干，因为这个点是中点，哎，我可以过点 e 啊，往这个 b、 d 做一条什么线？垂线 加字母 n 好 了，那么中点做了个垂直，他俩是一个平行的关系。哎，就出现了非常经典的中位线了。 好了，于是乎，这块为四，这块为解二好，那么 m n 和 n d 啥关系？非常棒，相等，那么为解为四，这块也为四。 哦哦，做完了，于是乎 e f 就 可以定为在二 t 这样型 e f 中边。 哎，最终我们发现啊，等于根号下二的平方加上，哎，看一下，是五加四等于九的平方，等于根号下四加八一八十五。哎，此题就搞定了。 那这个题主要来复盘一下子。第一个啊，考察知识点是菱形的性质啊，对角线互相垂直且平分啊，互相垂直且平分 啊。第二个知识点，考察叫中点啊，中点。然后我们通过做了平行啊，就想到中位线 啊， a e 等于 e， d e n 与 am 平行啊，搞了中位线，最后一步啊，就是把这个 ef 啊 啊，其实严格来说，上来就想想怎么求 e f。 我 们一般情况下啊，通过相似或勾股，那把 e f 啊，就放到一个二 t 三角形里面，那进行解决战斗就 ok 喽。

嗨，同学们，本期视频我们来讲解中考数学压轴题，不复习最值模型，多学一道，多涨五分。百分之九十九的同学，第一步就错了，我们直接开始， ok， 来，好，同学们，我们来看这道题啊！这道题老师个人认为也是一道非常复杂的压轴题，他们一和二还是比较简单的，我们看一下，在平面直角，坐标与负一， a 和 b 两点，与 y 轴交于点 c， 这个对称轴是 x 等于二分之五，那二分之五怎么算？哈？对称轴就等于二分之 x 一， 一个是负一，加上 x b 的 坐标，所以我们在这里我们就可以把 x b 求出来， x， b 的 坐标就是几，一定是几六， 所以那我就知道 b 点的坐标是六和零， a 点的坐标是负一和零。 好，求抛物线的表达式。抛物线的表达式我可以直接用个焦点式了吧。 y 就 等于 a 的 x 减六，乘上一个 x 加一， 这个情况下我再把 x 等于零，看我经过了 x 等于零， y 的 值一定是谁负三， x 等于零就等于负六 a， 所以 a 的 值就等于谁二分之一。 那我们这个括号线的解析式就表达出来了吧，就变成这个是二分之一，所以 y 就 等于二分之一， x 的 平方减二分之五， x 减三。 好，那我们这是就是它的解析式，我们这个这就是它的关系式。我们把这个解的过程先擦掉。好，我们看第二位 p， 同学们过来看啊， p 是 直线 b， c 下方。 no， 这个是看 p 是 直线 b， c 下方右侧对称的一个动点， p 是 一个动点，他让我去求谁过点 p 做 p， d 平行 x 轴， p d 平行于谁？ x 轴 以抛物线为点滴，做谁呢？ p e 垂直于看做的是 p e 垂直于 b c， 这个是垂直 b c， 它让我去求谁呢？看 p d， p d 是 这个长 加上二分之根号五，二分之根号五的 p e， 它的最大值， 我没想到最大值一定是谁？线段和最值最大值形成一个关于 x 的 一个二次函数的最大值，如果是最小值，两个线段和的最小值，我们想到了用 将军引马或者胡不归类的原理，但是他让我这个求的是谁最大值？还有让我去求点 p， 这谁的坐标？同学们，我们看怎么求啊？在这里我们来分析给的体干条件，这个长是几？ 给你们看 o c 的 长是几三 o b 的 长是几六？一比二比根号五 b c 就是 三倍的根号五，对吗？ b c 就是 三倍的根号五， 这里出现了有二倍的根号五，那我就知道这个角 b， 这个角 b 的 余弦值六，比上个三倍的根号五，就是二分之根号五，是不是这个角 b 的 余弦值？那我说我延，这是垂直，我这样延长一下，哎，如果我过点 p 做一个 x 轴的垂线可以吗？ 我发现这个角和这个角一定是干嘛的相等，所以也就是说这个我过点 p 做 p g 垂直于 x 轴。 同学们，你们发现啊，这个 p g 与 b c 相交于点积吧，这个 p g， 这个三，这个角三角形里面，它的余弦看 p e 比上个它就是二分之根号五。找出等量关系了吗？ ok， 你 们只要把等量关系找到，那我们这道题就迎刃而解了吧。同学们，你们想一想哈，最大值， 这里面是最大，不是最小值了，最大值我们要用线段表示，从二次函数求最值的问题，那我刚刚就说了，你看这里面有隐含的条件，这个角，因为这对面这个 oc 是 三， ob 是 六，一比三，一比二比根号五，所以这个 bc 它的余弦值就是二分之谁根号五？那我在这里转换看，这有九十度吗？那老师说我在这里面延长一下 p e， 我 过点 p 做一个垂线可以吗？和 b c 相交于点字母 g， 好 在这个 r t 三角形中， p e 比上个 p g 就 等于这个角也是二分之根号五。 看这个角和这个角是相等的吧，能理解吧？同学们看，因为这个加这个是多少度？九十，这个加这个也是九十。看，我过点 p 做 x o 的 垂线和 b c 相交于点字母基， 那么 ok， 因为这样这个角和这个角相等，所以这个角的余弦哈零比斜 p 一 比上一个 p g 就 等于二分之根号五，所以我就出来了，哦，原来 p g 的 长就等于二分之根号五， p g 的 长 就等于二分之根号五的 p e。 ok 啊，它原来让我求的是 p d 加上 p g 的 场，最值最大值，所以看我怎么去求 p g 的 场。我在这里我设 p 点的坐标，横坐标是为谁？ x 纵坐标在二分之一 x 平方减二分之五， x 减三上这点 p， 那 么好点击的坐标呢？点击横坐标也是 x 纵坐标在直线 b c 上，直线 b c 的 方程我是可以求出来的，对吗？直线 b c 的 过程，它是 y 等于谁？二分之一 x 减三，所以呢，那点 g 的 坐标，那我们把它减 g 的 坐标，即使在直线 b c 上，所以点 g 的 坐标，横坐标也是 x， 纵坐标就是谁二分之一 x 减三， ok， 好， p g 我 就求出来了吧， p g 的 长就等于 几点的坐标，减去谁几点的坐标，减去 p 点的坐标， p 点的坐标就是它，减它嘛，就变成是二分之一 x 减三，减去二分之一 x 的 平方加二分之五 x 加三， 所以 p g 的 场，我们把它这里面就写出来了。喊 p g 就 等于负二分之一 x 的 平方加 二分之一，加二分之五加三 x， 好， 这是 p g 的 场，但是这个，这是 p， 看 二分之根号五 p e 求出来了。 p d 呢？ p d 是 个定值吧？ p d 这段是谁 x， 那 这段是几 x 等于几二，是不是 x 减二有几个？两个，再加上二倍的？ 好，这是 p g， 那 我写在这儿嘛，他让我去求的是喊 p d 加上 p g 了， 它的长就等于谁 p d 的 长。 x 减二，二 x 减四， p d 就等于两倍的 x 减二，因为这个，这个是 x， 这是二 x 减二，几个两个，所以就变成是二 x 减四，再加上 p g， p g 我 们已经求出来了，对吗？减，减去个二分之一 x 的 平方加三 x， ok， 我 们把它算一下嘛，所以这就是它的最值。看，这个是就是关于二次函数的求最值问题了吧。 那 ok， 我 们就求出来 y 就 等于谁负的二分之一 x 的 平方加五， x 减四，它的追求并求出点 p 的 坐标，我把 x 给求出来，是不是 把 x 求出来就 ok 了吧。这道题它的求最大值。我配方嘛，配负的二分之一提取，这个是 x 减去几减五括号的平方。 好，这个是减，加二十五，二分之二十五，加个几。哈，这个是减去五，减去二分之二十五，它减个四嘛？四的话就变成是二分之八，加上二分之 十七。 同学们看，当 x 等于五十，它的最大值它们加起来它的最大值就是谁，就是二分之十七。 这个时候求点 p 的 坐标，点 p 的 坐标当 x 等于几？五十，我把 x 等于五带进去，是不是 p 点的坐标带入这个抛物线里面去求出来了吧？就变成是二分之二十五，减去 x 等于五，减三负三， 这个时间点题的坐标就是五和负三，这道题我们就迎刃而解。好，同学们过来看， 题是灵活多用的，这是考我们的是谁呢？胡不归最大值的问题。胡不归最大值的问题，我们就联想到什么呢？就是说二次函数求最值的问题，也是一个转换的思路。好，我们这道题就结束了。

中考数学亚洲题啊，一共一百二十道啊，一共一百二十道，年年都是这题型啊。这是已经做完的啊，这是一整套刚刚练完的一整套啊，把这一整套都练会哈。 你中考的这个大题啊，就没有什么特别大的问题了哈。想要电子版啊，想打印的啊，评论区回六六六啊，或者直接看我主页啊，或者直接看我主页。

这是二六版中考数学挑战压轴题的强化训练，他对中考数学高频常考的十二类解答压轴题型以及九类选填压轴题型进行了系统的强化练习。他梳理的都是中考压轴的热点问题， 其中解答题的每种类型都包括了针对性训练以及真题演练两个部分。它的针对训练是针对单个具体的考法进行系统的集中练习，助力同学们循序渐进吃透解题的思路方法。而真题演练则会精选近年来相应的典型中考真题 进行综合强化练习，助力同学们在实际运用中切实有效提升解决压轴题的能力。练习的详细解析单独成册，非常不错的一本资料，借助系统的梯读训练，有助同学们吃透中考数学高频常考的题型解法，拿下压轴题，中考数学冲高分。

各位大家好，今天我们一起来看到我们亚洲题特训的第四十一期，也就是二十八号的题目，我们先来读题，题目说呢，就给了个角 b， a、 d 是 个九十，是的吧，那我们接下来他说，如果 a c 等于 cd 啊，那这个等腰三角形，那等腰三角形，我们一定要想到一个东西叫三线合一，是吧？这是他最重要的性质了，三线合一， 那么第一问，想要证明这个角度 a、 c、 d 是 它的一个两倍，那既然证明它的角度是它的两倍呢？我们不妨，我个人习惯，我都喜欢搞一些字母来表示一下。我们不妨这个角 假设它是个 r 法，那我们这个角就是个 r 法，因为它是个等腰三角形，所以这个角就是一百八十度减去 r 法， 这是我们的 a c， d， 那 b a c 呢？跟它是个互余，所以它是个九十度减阿尔法。哦，那就非常明显了，一百八十度减阿尔法就是减十度减阿尔法的两倍，所以就出来了。所以圈一，我们简单写一下， 我们不妨设角 cad 等于我们的角 cda 等于我们的 r 法，所以我们就知道角 bac 就 等于我们的九十度减去 r 法，但是它的与角角 acd 呢，应该等于一百八十度减去 r 法啊， 所以一目了然，角 acd 就 等于两倍的角 bac 啊，所以一种角度表示同一个角， 是说白了他的思路是什么呢？校园，因为本来这是两个不同的角，那最终呢，我们都用同一个字母来表示，那这样看起来肯定要舒服一点。校园思想和社员思想会伴随着我们整个的初高中数学啊的代数，包括一些几何问题，这个题就是几何问题，是吧？好，第二问，他给了个比例关系，这个角就不需要了， 他说 oc 比上一个 o a， 这个二比五，那这方给我感觉就像这个八字形相似，但他们俩很明显是不相似，因为这个角度和他我只知道是个两倍关系，但是就是因为刚刚两倍关系，那我们就想着我们刚刚讲的，哎，我往他做个垂直， 往它做个垂直呢，这个角假设是我们的贝塔，那我们这个角就是个贝塔，那这个角也是个贝塔，那这样的话，我们就知道这个地方有个什么呢？内错角相等， 知道吧？那这两个线肯定是平行，而且本来就平行，因为往它做个垂直之后，这地方不就出现了个东西，叫两个都是这个直角吗？是的吧，那这样的话，这个点假设是我们的 m 点，这个点是我们的 n 点，那这个地方就出现了个八字形的相似， 那我的 o c 和 o a 的 比就应该等于 o m 和 o b 的 比， 那么 o m 和 o b 跟我们的 o d 有 什么关系呢？哎，因为我做的这个是垂直，这两个线平行， 平行的话，我们就知道这个点因为三线合一，这个点是中点，所以他肯定也是个中点，平行线结成了成比例。哦，那我们就知道了，那这边他的比例是个二比五，那我整个值就是七分，所以他也是为七，那我的 o d 那 就搞定啊，所以他结果应该是个五比九。好，那我们简单说一下，我们做 c n 垂直， a d 交，我们的叫做 b d 与点 m， 那么很轻松的可以得到我们的 c n 应该是平行于我们的 ab 的， 那这样的话，根据我们的平行线切线段成比例，我们就知道，那我们的 o m 比上一个 o b， 就 应该等于 o c 比 o a， 那 就等于我们的二比五。 那又因为呢？还是根据刚刚那个平行，那我们的 o d 比上一个啊，不应该叫 o d 啊，应该叫 md， 因为 md 是 中点， md 比上一个 mb， 应该等于我们的这个 md 比上个 n a， 它是个一比一。那我们就不妨假设 o m 是 个二 a， 那 我们的 o b 呢？就是个五 a， 那 o b 是 个五 a 的 话，那我的 b m 就是 个七 a， 而 b m 和 md 是 个相等，所以这样的话，我们可以得到 b m 等于我们 md 就 等于我们的七 a， 那 也就可以得到我们的 o b 比 o d， o b 就是 个五 a， 那 我的 o d， 那 就是二 a， 加上个七 a， 那 就是九 a 啊，所以等于五比九。好，这是我们的第一题。再来看到我们的第二题， 他说呢，如图二，他说这个地方也给了个直角，这边呢，它也是个直角，这题目给的 ab 等于 ad， 然后呢， cd 和 bc 是 个三倍关系，求比值，你反是求比值，那我们就不妨还是用字母吧，我们不妨假设 bc 是 一个 x， 那 它呢？就是我们的三 x， 它这个三 x 呢，我们就可以很轻松的可以求出来。我们的 b d 用古比例理，就应该是等于根号加 x 的 平方加三 x， 括号的平方，就应该等于我们的叫做根号十 x， 那 这个三角形呢？它又是个等腰直角三角形，等腰直角三角形叫一比一，比根号二，所以我们 ab 应该等于 ad， 都等于把 b、 d 除以个根号二，就应该等于我们的根号五 x， 知道吧？啊，原来它是个根号十 x， 它是个根号五 x， 这也是个根号五 x， 它求什么呢？求 a、 c 比 b、 d。 那 我就差个 a、 c 不知道了， b、 d 已经求过了，所以第一种方式法一叫托勒密定律。 a 怎么写来着？陀罗密定力是什么呢？圆内接四边形，因为这方是对角互补，所以我们这个四边形会四点共圆，那么圆内接四边形，它的对角线 之积等于对边乘积之和， 或者叫两组对边乘积之合，这样更准确一点。什么意思呢？对角线的乘积啊，那就是 a、 c 乘以 b、 d 等于两组对边乘积，那就是 ab 乘以 c、 d 啊，那就是 ab 乘以 c、 d 之合，再加上个 a、 d 乘以 bc， 能把数据往里带一带。 ac 乘以 b、 d， b、 d 就是 个根号十 x 等于我们的 ab， ab 就是 根号五 x 乘一个 c、 d、 c、 d 就是 个三 x， 再加上 a、 d， a、 d 就是 个根号五 x， 再加上个 bc 乘一个 bc， bc 就是 x。 所以 这样的话，我们可以解出来，我们打个括号，那就是 a、 c 乘一个根号十 x 就等于这边就是三倍根号五，再加上个根号五，就四倍根号五 x 的 平方，所以 x 首先给它消掉一个，那这边 a、 c 就 应该等于四倍根号五，除一个根号十，那这样给它消掉。是不是根号二四除以根号二。所以我们可以知道， a、 c 应该等于两倍根号二个 x 求的是什么呢？求的是 a、 c 除以 b、 d， 所以 我们 a、 c 除以 b、 d 就 应该等于两倍根号二个 x 除以个 b d， b、 d 是 几根号？十个 x， x 消掉，那应该等于五分之二倍根号五。 当然了，这是法一啊。考试不能写，因为陀螺密度是叫三十米五的，你要需要自己去证明，那你有这个证明的功夫，已经把这道题做出来了，为什么呢？因为它证明的原理就是我们等会儿要做的方式 啊，因为这种题目给了个什么东西呢？给了个注意好，它是一个等腰直角三角形，所以我们就想呢，反而我们可以做一个手拉手的全等，那么这个手拉手的全等的证明过程，其实就是我们陀螺仪定力的它的证明过程啊。 好，那我们只需要把相当于就什么呢？相当于把这个三角形转到这边来， 用我们手把手给它转过去。那怎么转呢？我们只需要把 cd 延长延长这地方来，这点假设是我们的 m， 我 们延长 cd 至 点 m， 使得呢？我们的 dm 等于我们的叫做 bc 转过来， 我们已经是中考了，所以你不需要说圆长，你去旋转，也可以把这个三角形绕着他转过来。为什么他可以转呢？因为他对角互补，所以我们这两个角也是互补，所以转过来之后，这个角会跟他相等，首先角度能满足贡献，其次这个边和这个边相等， 这样的话我们也能满足，这样这两个边能转过来，能重合。是的吧，当你写全等呢，就必须要写它就转过来之后能重合的关系了。那这样的话，我们很轻松的可以得到。得到什么东西呢？我们这个三角形叫做 abc， 会全等于我们三角形叫做 a d m， 证明我就不证明了哈，这个边和这个边相等，这个角和这个角相等，因为是同角的补角相等。其次呢，这个地方有个转过来之后，这个 这个边和这个边是我自己做的，所以这样的话我们可以得到 s e s 正全等，那有这个全等有什么用呢？哎，有这个全等，有这样的用，那说明我们的 dm 这个长度是我们的 x， 而我们的这个角， 这个角叫角一，这个角叫角二，这个角叫我们的角三，所以这样的话，我们就可以得到我们的角一加角二原本是个九十， 那就会等于我们的角二加角三，那这时我们的角二加角三就是个九十，而你的 a c 呢？又等于我们的 am。 所以 我们就知道，三角形 a c m 就 为等腰直角三角形， 那你的 a c m 既然是等腰直角三角形，你的斜边又是 c m， 又是四 x， 那 我们就可以把 a c 给它求出来了。那 a c 呢？就应该等于四 x， 除一个根号二就等于二倍根号二 x， 那效果呢？跟我们刚刚这个结果是一模一样的，他也是个二倍根号 s。 最后求的答案肯定也一样啊，所以这地方大家一定要注意这种方式构造一个手拉手全等也是可以的。好了，这就是咱们本期视频，感谢大家收看，我们下期再见。

各位， r 是 圆啊，是在圆里边的问题里面最难的一个体型啊，这套题如果说你能听懂，你就是学怕了。我们来看一下说你这等腰直角三角形， a b， c 啊，等腰直角，咱标注一下这直角等腰的 a b， c， a， b 等于四啊， a b 等于四，咱标注一下啊， b c 不是 也是四吗？对不对？圆 b 半径为二，圆 b 啊，是二， p 为圆，上动点 p r 在原上动来动去的，不知道在哪转来转去的，很烦人啊。求 pa 加二分之一 pc 最小值。 pa 这条线对吧？加上二分之一 pc 啊，加上这条线的二分之一啊，这两条线相加最小。 这个屁，转到外边肯定越来越远了呀，外边不行，肯定在这一片，是不是？到底在哪？不知道呀，那怎么办？各位，这个点在圆上转来转去的，而且两条线相差最小，这就是典型的阿是圆问题啊，简称阿波罗尼四圆。 这个题有个做题思路，你只要知道了就很简单了啊，你看了没有，这个二分之一， p c 就 这条线的二分之一，咱们要找到这条线的二分之一，怎么找？咱们观察一下，你看没有， a b 等于四，半径是二，你有没有发现这是个二比一的关系啊， 对不对？那咱们你看把这个 p 和圆心连起来，你有没有发现个问题？你看这个边是四，这个半径是二，这个边比这个边是二比一的关系，对不对？ 然后这个夹角，这个夹角是阿尔法。如果啊，你在这个三角形里面找一个相似出来，我之前讲过啊， 这个边比这个边是二比一，你只要找出来这个边比这个，这一段边也是二比一，就是个相似。哎，有的同学不理解，为什么， 为什么这个边比这个边是二比一，就这个小三角形和大的就相似，因为这个角是同样的一个角，各位注意了啊，这个同样的角，他的两个邻边，一个是这个边比这个边是二比一，同样的这个边比这个边也是二比一， 而且夹角都是阿尔法，这不是边角边吗？所以这个三角形和这个大三角形一定是相似的，相似的话，各位注意这个角的对边 和这个角的大三角形的对边。 p c 这个边比这个边是不是也是二比一的关系啊？就是这个边比这个边是不是也是二比一 啊？这个道理能不能明白？所以说二分之一 pc 就是 这个啊，假设这是 d 啊，就是这个 pd， 它就是它的两倍， 所以说这个二分之一 pc 不 就是 pd 吗？那 pa 加 pd 什么时候最小？这个 p 在 动来动去的，什么时候这条线加这条线最小？那肯定是转到啊，转到转到这的时候， 各位，转到这的时候， p 运动到这的时候，这个线加这个线最小，你看刚好是直线吗？两点之间直线最短吗？好，那么问题来了，咱们扩展一下啊，如果这个 pa 和 pc 换了， 如果 pa 和 pc 换了，咱们扩展一下啊，把这个题学透啊。就是说 假设啊，他算，他求的不是这条线加他的二分之一，而是这条线加这条线的二分之一加他的二分之一，就是这还是 pr， pa 就是 pc 加二分之一 pa 的 最小值。怎么怎么找？各位，咱们扩展一下，就是找这条线的二分之一，他在哪？ 那你就找你看这个边比这个边是二比一，对不对？那你在在这找一个中点，让他比，他也是二比一。各位， 你有没有发现这个边永远是这个边的二分之一，因为这个小三角形和这个大三角形是相似的， 为什么？因为角不变的情况下，这个邻边比这个邻边是不是二比一的关系？那这个小三角形呢？你看这个边比这个边是不是也是二比一的关系？所以他的对边， 这个小三角形的对边比这个大三角形的这个对边也是二比一的关系。所以说这俩相加应该是这样连的， 当 p 运动到这时候，二分之一 p a 加 p c 最小。啊，这个道理那么圆，这板数有点乱，回头大家自己好好画画画图啊各位。

好了啊，我们今天来完成昨天留下的那道填空压轴题啊，不知道有多少人对这道题感兴趣啊。首先这道题它的难度啊，它的难度还是比较大的啊。嗯，挺难的， 那么我做这道题大概用了多长时间呢？应该用了十多分钟的时间啊。啊，好，这个地方呢，我们来说以下几个点，如果说对这个道题感兴趣啊，或者说对研究压轴题啊，难题感感兴趣的话啊，这个地方呢，我们好好学习一下 啊。就是，但是我教的学生基本上我是不要求他这个掌握这么多的啊，这个就属于八年级学生的顶尖水平了啊。来，首先我们看下这道题啊，他说等腰直角三角形 a， b， c， 嗯，这是个等腰值哎，然后呢，他这个顶角呢， c 是 a c， b 是 九十度啊，与等腰直角 c 对 e， 哎，在这呢，这地方也是个等腰值啊，那么这两个放一块呢，我们首先考虑到菱角相碰手拉手的问题了，对不对？然后呢说这两个角直角 a， c 等于 b， c 等于七十，来，我们把这个标出来，这个这个边是七十，然后呢， c， e 等于等于四十二啊，告诉我们这个的长度四十二， 然后角 a c 等于六十度。好了，我们昨天也分析了这个 a c， 对， 如果是六十度。好了，我们昨天也分析了这个 a c， 对， 如果是六十度角啊，有了个特殊角， 好啊，然后呢，这个整个这个角呢，就不不难说了，对吧？一百二十度，对吧？一百二十度也是个特殊角啊。然后他说这个 m 是 a 的 中点啊，中点啊，所以这个地方呢，有一个中点问题啊，中点问题，还有一个角度问题， 嗯，然后呢问这个 c m 与 b e 相交于点 n， 然后我们再看这个手拉手这个问题啊，我们发现它是一个什么呢？它是一个反向手拉手，这个我们说了啊，好，因为这个这个名词很多是没接触过的啊，如果说你不接触他的话，你要想做出这道题来比较难， 那么这个反向手拉手什么意思呢？就正常手拉手，他是左手拉左手，右手拉右手，也就是正常讲这个 a 和 e 他 应该连在一起，这个 b 和 d 他 应该连在一起，这正常手拉手啊，但是他现在是左手拉了右手，右手拉了左手，看到了吗？这叫反向手拉手。 好，那要是什么是手拉手都不知道的话，那这个我我建议还是先补补基础啊，就不要再研究这个难题了啊。好，手拉手咱就不解释了， 那么这个反向手拉手他是有固定做法的啊，那么等这个我们待会说啊，我们先说一下这个地方需要掌握的一个什么知识点呢？就是这个中点啊，中点这个地方呢，有几种用法，其中一个就是比较常用的，但是呢，现在接下来我们都要掌握，但是现在的八年级 很多人不知道啊，没有特地研究过啊，就是这么个事啊，大家先看这个啊，假如说我们有一个三角形 啊，有一个三角形，那么在这个三角形当中呢，我们把两边的中点标出来，然后把它连上 啊，就是这个 abc， 这个三角形啊，这个地方是 d， 这个地方是 e， 它有一个什么条件呢？是这个 d e 呢？它等于 bc 的 一半，而且 d e 是 平行于 bc 的， 这个结论叫中位线啊，就是后面我们都要掌握，但是现在没有特意学过啊，但是用我们现在的知识呢，是可以推导出来的啊，这里面涉及到一个平行四边形的问题，平行四边形虽然我们初中还没有学，但是我们小学的时候学过啊，关于平行四边形两边相等的事吗？ 啊，平行四边形两对边相等的事啊，来来看一下这个啊，如果我们想要证明这个结论，我们把这个的延长延长。延长延长到哪呢？ 沿着 f 点啊，让这个的 e 和 e f 是 相等的，也就是倍长中线延长成两倍，延长两倍之后呢，我们因为这个地方是中点，这个地方是中点啊，所以这个 a 的 它是等于得 b 的， 然后呢，因为这个这个边相等，这个边相等，这个对角相等，然后我们延长的一倍和一倍又相等，所以我们得出上面这个三角形和下面这个三角形是全等的。全等之后呢，这个 a 得它相当于是等于 c f 了啊，所以我们得出 a 得等于 c f， c f 就 等于 b d 啊，这是相等的。同样呢，我们还知道这个角和这个角它也是对应角相等，对不对？角对和角 f， 所以 这个 c f 还平行于 b。 对 啊， c f 与 b 对 是平行的 好啊，那么假如说我们现在知道这个了啊，那么是不是这个和这个是平行的，而且它俩还相等，对吧啊，如果我们想证明这个四边形是一个平行四边形的话啊，那其实这个条件就够了啊，但是呢，我们现在没学过，那我们再来尝试一下，看我们能不能说明上面这条边和下面这条边它也是 平行的，而且是相等的。可以啊，我们把平行四边形对角线连起来，我们重新画一个平行四边形啊，我们重新画一个，现在已经证明了啊，这个 f， c 和这个的 b 它俩是平行的，而且是相等的，那我们把它连起来， 连起来的话呢？因为平行关系，所以这两个角它是相等的啊，这两个角相等，而且他们两个边还相等，并且这里还有一条公共边，我们就能证明这两个三角形是全等的， 对应边是对 c， 对 应 c， 对 c， f 对 应的是这个 b， 对 啊，然后这个角对应的是这个角相当于转过来是全等，因此我们就能证明这个角这个角一和这个这个角角二，他们两个是相等的对应角， 那么如果证明他们两个相等了，那这个的 f 和这个 bc 是 不是就平行的了？那么这个的 f 如果平行于 bc， 就是 上下两条边相等，要平行左右两条边呢？也平行，它是一个平行四边形。平行四边形 它的性质是什么？是不是上面这个的 f， 下面这个 bc 它是相等的，对不对？那么的 f 如果等于 bc， 嗯， 其实刚才我们证明这个全等的时候，也也已经证明出来他俩是相等的了，对不对？而这个得 f 是 不是这个得 e 的 两倍啊？哎，就等于两倍的得 e， 那 我们就证明出来了啊，如果把他们两个中点连起来，这个中位线他应该等于底下这个长边的一半， 那么这里边这个中点是这么用的啊，所以我们要知道中卫线这件事，你如果不知道，我们是可以利用现有的知识把它推出来的，推出来也不是不可以啊，复杂一点啊，所以我就说这个地方呢，难不难的？还是有点难的啊，那么光这个不行，我们再看这个反向手拉手， 这个反向手拉手的做法。来，我跟大家讲啊，因为它是左手拉了右手，右手拉了左手，所以我们要把它纠正为手拉手，那我们就让它哎，把它给补一个对称的三角形出来，比如说这个 啊，我们做一个对称图形啊，来，比如说我们把它反反向延长啊，来到这地方有一个 啊，咱们说什么点呢？ p 点啊，然后呢，我们让这个 a、 c 和这个 c、 p 它俩是相等的，也就是说这个三角形 b、 c、 p 和这个三角形 a、 b、 c 它俩是完全一样的三角形，就是重复复 制了一个它出来啊，复制它出来之后呢，我们再把它，再把这个得屁给它连起来啊，把得屁给它连起来， 把这个得屁连起来之后，我们看啊，那么这个三角形 c、 p、 b 是一个等腰直角三角形，我就不说了，对吧？和这个三角形 c、 e、 d 啊，大家看这两个三角形，那么它俩现在就构成了手拉手了啊，等腰直角三角形，等腰直角三角形，头对着头 顶角都是九十度，然后左手拉左手，右手拉右手。哎，那你看，我们通过这种做法，把反向手拉手变成了正向手拉手啊，那么因此呢，我们可以证明这个三角形谁呢？这个 左手左手拉啊的 e、 p 全等于三角形，右手右手拉啊，右手右手拉，看到了吗？这个叫的 e b 啊， 哎，不是，这个地方不是得点，这个地方是 c 点啊， c 点 c 点啊，这个是得 cp 啊，写错了，三角形得 cp 啊，全等于三角形， e c b。 好，这个地方如果看不清的话，我们把这两个三角形单独拎出来画啊，也就是说这个地方有一个三角形，对吧？就是七十七十的那个，这个地方呢，有一个等腰三角形啊，看好这个和这个，然后把它俩拉起来，把它俩拉起来 啊，这是左手拉左手，右手拉右手啊，你单独画一个，把它画出来，这样呢，就有手拉手了啊，那么手拉手，比如说他们两个相交于点啊，这个地方，这个地方有一个点啊，我们把它给写成，写成什么呢？写成 q 啊，哎，这个地方有一个固定结论啊，就是这个角 b q p， 它应该等于九十度啊，这个角 b q p， 也就是得 q e 啊，这个角和谁相等呢？和这个顶角是相等的，这个是手拉手的一个固定结论啊，那么如果对这个结论不熟悉呢，你自己可以证明一下啊。 哎，就是说这个手拉手构成了之后呢，就是我们看啊，就是这个，这个三角形啊，我重新画一个啊，我们重新，我们重新画一个啊，这个地方呢？这个题确实是有点难度啊，讲起来挺费劲啊，因为这个地方用到的固定结论比较多啊。 好，这地方呢，有两个等腰直角三角形，如果他们手拉手，这地方有个交点啊，这个交点构成这个角和他们这个顶角是相等的。呃，因为证明完了之后呢，我们可以看 这个八字形三角形，这两个八字形三角形啊，这个八字形三角形当中对顶角相等，而这个角和这个角呢，因为正完全等，我们知道他们两个相等，所以这个角和这个角他也是相等的，在这里边呢，这个角是直角啊，这个角是直角。好，那这个结论证明完之后呢，我们回过头看 啊，这个角是直角，这个地方是有用的啊，然后接下来我们再看这个三角形三角形 bce 啊，三角形 bce， 我 给它画到这，因为这个题里边给的最直观的条件就是这个 bce， 因为这个角我们刚才说过了，它是一百二十度，对不对？然后这个地方是四十二，这个地方是七十啊，那么很多同学呢，有一个问题，就是当他看到这个三角形啊， 他没有九十度角，他也没有特殊角，没有三十、四五六十度，他就不太管这个三角形啊，但这里面我们只注意啊，只要这个三角形里边他给你角了，他一定是有用的，你就要要要管他，不能不理他啊。那么这个是好解的啊，我们来做 垂线解三角形啊，基本功，这是啊，必须得会的，六十度，三十度，这就有了，对不对？因为这是四十二，所以这个地方是二十一， 因为这是二十一，这是七十，所以这条边是九十一，而这个地方呢，也不单得出是二十一倍的根号三好。 而在这个三角形当中呢，直角两个直角边，我们就能求出这条边啊，这条边，那么这个地方呢，就是单求他，我对我们来说，很多同学也是求不了的，因为九十一的平方加上二十一倍的根号三，他的平方， 很多人一看这就麻了，对吧？哎，那么这个地方怎么处理呢？我们就看它的倍数啊，我们这个九十一，它是七乘以个十三，嗯，然后这个二十一呢，是七乘以三倍的根号三，对不对？所以我们就把它缩小七倍好了。然后这个十三的平方是一六九，然后这个三倍的根号三，它的平方是 三三得九三七，二十一，二十一啊，三二十七啊，三九二十七，然后一六九加二十七是一九六，哎，这个一九六是谁的平方？是十四平方，所以这个地方是七乘十三和七乘三倍杠三，所以这个地方应该是七乘十四等于九十八。 好啊，这个地方我们并不是一开始就知道要求他的啊，我们是在知道这个边边和这个角之后呢，我们尝试一下求，发现求出来之后刚好是个整数，好求， 那就说明这个九十八很可能是要用的上的啊。那么我们在刚才做完这个手拉手之后，我们就发现了这个这个 b e， 我 们求出来是九十八，那么同样这个嘚屁作为它的对应边手拉手的对应这个拉线啊，他俩是相等的，他也是九十八。 有了这个九十八之后啊，再用到我们刚才说这个中位线的结论，因为这个 m 是 终点啊，啊，那么你做出来的这个，这个 这个对上三角形这个 c， 它也是终点啊， c 是 ap 的 终点啊， c 是 终点， m 是 终点，所以在三角形 a 的 屁当中，看这三角形 a 的 屁啊，这个 m 和 c 放到一起刚好是中位线， 对不对？所以因为我们刚才有了刚才那个结论，所以我们得出这个 m c， 它就应该等于九十八的一半，也就是四十九吧。啊，坐到这的时候我们就知道这个 m c 它就应该等于九十八的一半，也就是四十九吧。啊，坐到这的时候它不也用上了吗？ 接下来它就要求 m n 了，你要知道 m n 的 话，因为这个 m n 它并不是什么特殊线，对吧？但是这个 c n 它有点特点啊，我们只需要再把这个 c n 给它求出来就行了啊，因为我们刚才知道 m n， 我 们已经得出这个结论了啊，就是这个中位线等于它的一半，而且它俩还是平行的，你看这个，这个，这个地方，咱们刚 才说了这个地方是一个直角， 哎，这都是手拉手得出来的结论啊。那么如果这道题你会做的话，说明你对三角形这个地方的应用是非常非常熟的啊，这个这些结论你都知道，知道你才用的上，对不对？ 好，你要知道它用上它好了，那你就进步了啊，来，那么这个 c n 竟然和它平行，那这是一个直角，说明这个 n 这个位置它也是垂直的， 因为是垂直的，你这玩意你不就好求了吗？我们把这个三角形给它画出来啊，这个这个 c b e 这三角形，我们重新找个地方画， 刚才我们解三角形的时候用过它啊，这个是七十，这个是四十二， 中间的夹角是一百二十度，刚才用过他，对吧？然后这个地方呢？是九十八， ok， 现在我们是不是在他身上画了个垂直，画了个高啊，相当于是对不对？看 这个 c n， 它是不是就是在 c b e 上面画了个高啊？现在如果我们把这个 c n 求出来，不就 mc 把它一减，不就是要的答案了，那我们再看啊，这个高怎么求啊？还是对于很多同学来说，单单这一步他就做不了啊， 这就看你平时有没有练习了啊。那么对于这种情况，我们如果会的同学也是一下就能想到啊，用什么呢？等面积法 啊？等面积法，因为我们刚才做这个地方做做辅助线的时候做过，这个地方是二十一倍的根号三，他是这个三角形的高，对吧？那我们如果要求这个面积的话，是不是面积应该是七十乘以二十一倍的根号三，然后除以二，他是不是应该等于这个九十八乘以 h， 然后再除以二，对不对？所以我们得出七十乘二十一，根号三等于九十八乘以 h 啊，然后这一约一约，然后七十，我们可以约个十四，这个九十八，刚才是用七乘以十四来的，对不对？乘个七，然后 这个二十一还能约个七啊，没了，所以 h， 它就等于啥呢？十五倍的根号三，你看这不就出来了吗？ 等面积法的人，那他就做不了这他，他现在以八年级水平，他求不了这个高啊。 好，你看，所以这道题啊，为什么说难啊？你把它拆解完之后啊，他每一个小步用到的都是一些固定的结论，很多这个，这个，这个结论呢，我们都不知道啊，但是，但是啊，对于基础好的水平高的同学都应该知道啊。 所以说我们平常为什么每天经常做题啊？做题你就是为了掌握更多的方法吗？对不对？好，这个 c n 不 就出来了吗？四十九减十五倍的根号三， 这道题就完事啊。那么当你真的把这道题做出来之后，好了啊，你可以说你就，你就能体会到这种非常非常满足的这种成就感啊，进步了绝对是有收获的啊。好了。

压轴起分值高，难度大，可是呢，很多同学也看 a、 x、 y、 z 三个未知数啊，怎么计算呢？无从下手。所以啊，这道题非常有代表性，只要学会这道题啊，能够解决一大类问题。 已知，五的 a x 次方等于七的 y 次方等于三十五的 z 次方等于三十五分之一。要求 x 分 之一加 y 分 之一加 z 分 之一，它的值是多少？那么 x、 y、 z 怎么求呢？我们看一下，这里是连等， 连等的话，是不是意味着五的 a 和四次方等于三十五分之一啊？七的 y 次方它也是三十五分之一，那么三十五的 z 次方，它也等于三十五分之一。第一步我们就是给它拆开，五的 a 和四次方等于三十五分之一， 七的 y 次方等于三十五分之一，三十五的 z 次方也等于三十五分之一。三十五分之一等于什么？三十五分之一就是三十五的负一次，七的 y 次方它也是三十五的负一次方，对吧？ 三十五的 z 次方，它也是三十五的负一次，底数都是三十五，所以啊，指数 z 就 等于负一， z 就 可以算出来，那么 a、 x 能不能算出来？ 好像很难计算，对吧？五的 a x 方等于三十五的负一次方，这个 y 好 像也很难计算， 他们不能单独计算。这样我们看一下 z， 它是负一。这块我们知道，我们只要求出 x 分 之一加上 y 分 之一等于多少就行了，通分一下 x 的 乘 y 分 之 x 的 加 y， 只要求出它的比值也可以啊， 对吧？如何求出它的比值呢？我们看一下啊，这里是五，这里是七，这里是三十五。五乘七刚好等于三十五，如果说我们用五的 a 克斯方乘上七的 y 方，五和七能不能相乘？ 它们的指数不相同啊，要想五乘七等于三十五，这个指数必须相同。所以啊，接下来就是构造相同的指数。怎么构造呢？ 这里有 x 没有 y， 这里有 y 没有 x， 所以 我们可以用五的 x 方，然后给它 y 次方一下，这个三十五的负一次方也要 y 次方一下，对吧？七的 y 次方给它 x 次方，三十五的负一次方也要 x 次方。 现在这里是不是五的 x 乘 y 次方，这里是不是三十五的负 y 次方？这里是七的 x 乘 y 次方，这里就是三十五的负 x 方。现在这两个方程给它相乘一下，左边乘左边，右边乘右边 五的 x 乘 y 次方，三十五的负 y 次方乘上三十五的负 x， 指数相同，底数就可以相乘了，对吧？这样五七三十五的 x 乘 y 次方，同底数密相乘，底数不变。三十五指数相加，负 y 减去 x， 这样底数都是三十五，指数就相等， x 乘 y 就是 负的 y 减去 x。 那么我们看一下啊，等式两边同时除以什么？除以 x 乘 y， 也就是说，负的 x 加上 y 除以 x 乘 y， 等于什么？是不是等于一啊？这样一来， x 加 y， 是 不是等于负一啊？它就是负一了，对吧？好，它是负一，下面不就简单了啊， x 分 之一加 y 分 之一就是负一，然后 z 是 负一，负一分之一还是负一，等于多少等于负二，因此呢，它们的值就是负二，好，你学会了吗？

各位有同学啊，让我解一下这道题啊，当我看到这道题的时候啊，这什么呀，乱七八糟啊，不要慌啊，看到这样的题啊，不能慌，不能慌，遇到困难不能放弃啊，咱们看一下分析啊，三呢， 十六的开五次方的次方，然后再开八的，开四次方的次方，然后扩起来，再进行八的十三次方的开二十次方。 咱们把这个都看成整体啊，这么一大坨，这，这都看成整体好不好？看到八十六八，一定要想到八十二的三次方，对不对？这个家伙先给他化解一下啊。八十二的三次方，再进行十三次方， 对吧？再开二十次方，那是不是二的他俩相乘啊？那就是三十九次方， 再开二十次方，对不对？开二十次方的意思就是二的三十九次方，再除上二十二十次方，这个道理能不能明白？开二十次方就是二十分之一次方的意思啊，开三十就是三十分之一次方。 所以说这么啊，这个东西其实等于这么多，对不对？咱们给他换一下啊，二点二十分之三十九，咱们给他换一下。这看着太难看了，这一个一步一步来啊，二点二十分之 三十九次方，对吧？好，这个呢？这个是二点三次方， 这是再开四次方，是多少？二的三次方，再开四次方，是不是二的四分之三次方，这个给他换一下啊？二的 二的四分之三次方。好，然后你看这不是带括弧吗？对不对？带括弧的话就说这么一大坨呢，开这么多次方，再这么多次方，意思是什么呢？ 意思就是这么一大坨啊，这一大坨。先不管他啊，这个等会再等会再弄他啊，先先把他抄下来。他的多少次方呢？他的 二的二十分之三十九次方，比上这个二的四分之三次方， 这一步能不能看明白？他不是说要开这么多次方吗？开这么多次方就得放到分母上面，在指数上就得放到分母上面，对不对？好？ 对它进行化解。它等于多少？上面除下面指数是不是相减呀？就是二十分之三十九，减去四分之三，四分之三就是二十分之多少？十五呀，通分吗？二十分之十五， 那也就是说这么一大坨其实就是二的二十分之多少脂肪？三十九减十五十四。 不对，二十四脂肪，是不是二十四脂肪做调整？这样二十四脂肪约一下啊，约掉一个四，上面变成六，说五，也就说二的五分之六脂肪。这么一大坨其实就是二的五分之六脂肪。咱给他改一下啊，二的五分之六脂肪， 对不对？好，这就好办了啊，然后对他进行化解。他是多少？二的四次方？十六不是二的四次方吗？再开五次方就是五分之四次方，这一步能不能看明白？他是二的五分之四次方，俺再给他换一下啊。二的五分之四次方， 二的五分之四次方。好。哎，这个根号没了啊。这根号没了，这个变成破胡了， 好到这一步怎么办？三的二的五分之四次方乘上二的五分之六次方，那就是三的它俩相乘，对不对？它俩相乘， 这一步能不能看明白啊？我怎么晕乎了？他俩相乘，他俩相乘，其实其实就是指数相加，那就等于三的多少？他俩相就是指数相加吗？五分之四加五分之六，是不是五分之十呀？五分之十是不是二呀？ 对不对？那不就三的多少四次方吗？三的四次方，三三得九九九九九九八十一。啊，那不是八十一吗？啊？有没问题啊？这道题回头大家自己再好好练一练啊各位。

各位，这类题啊，在数学竞赛里面特别常见啊，这类题怎么解？教？给大家一个方法，说 x 的 x 次方等于二的二零四八次方，这个摸是摸不出来的呀，你不相信试试一下四带进去八行不行？不知道呀， 怎么办？用同构法。什么叫同构法？就说你给它弄成结构相等 x 的 x 次方，等于 a 的 a 次方，这个 x 就 等于 a 了，那它结构相等，底和底底和底相等，指数和指数相等，那怎么弄？各位，那你就得拆分怎么拆？你看啊， x 的 x 次方啊，等于二的这么多次方，这个次方能不能拆？它能不能拆成 二乘幺零二四呀？他拆成幺二幺零二四之后，你看这两个二的平方，不对啊，还能拆，拆的太小了。那你就接着拆，拆成四乘多少四，四乘的四乘多少？ 二零四八等于四乘多少，给它拆开。五二五二几啊，五二二吗？是五二二吗？四五 啊，二十。不对啊，这条件这样，怎么，怎么把我搞晕乎了？他除上四等于五幺二啊，还可以拆成什么啊？这，这个还是这个还是太小了，再拆这个五幺二是不还能再拆？ 拆成二乘二乘多少？二二得四二五零二二五六吗？二五六吗？啊？二得八乘二五六，怎么把我搞晕乎了？拆成这个行不行？二得八次方是几啊？ 二得八次方是二得四四十六啊，正好二五六吧。 二的八次方是不是正好二五六，把我搞晕乎了啊？是不二百五十六的二百五十六次方，所以 x 就 等于二百五十六吗？啊，对不对？这就同口啊。那这个怎么拆？我的天，把我搞晕乎了，脑袋瓜不够用了。你看啊，他怎么拆啊？先把它这个换成分数。零点五不是二分之一吗？ 二分之一开四次方，开四次方就是四分之一次方，各位对不对？开四次，四次方好， x 的 x 次方等于多少呢？把四分之一给他拆了，二分之一。四分之一能拆成什么？能拆成二乘八分之一，对不对 啊？对不对啊？但是拆成这个不行啊，这个太小了，二二，这个才四分之一，这是八分之一，那不对，再拆啊，给他拆成四，四乘以多少？ 四分之一等于四乘多少，是不是十六分之一啊？二的四次方是不是正好十六分之一？他就是啊，十六分之一的十六分之一次方啊，对不对？那 x 肯定等于十六分之一啊，这个方法必须得学会啊。脑袋不太够用了，各位。

好的同学们，家长们，你们好，我们接着看这次八上期末考试的压轴题最后一小问。这压轴题最后一小问简直可以说是不能再经典了啊！两条直线夹角，如果是四十五度，怎么去处理的问题啊？ 呃，这道题呢，主要考察核心考点的时候，围绕着这个夹角四十五度我们怎么去处理，同时它也考察了我们学信的细心程度， 不能被图像所欺骗。什么意思呢？这道题是有第二种情况的，很多同学呢，基本功不错的，把第一种情况求出来之后，他就以为结束了，哎，谁知道你才做了 答案的一半啊。还有一种情况，当然只要我们考虑，多考虑，多注意分类讨论的思想，第二种情况也不难想到啊。 我们首先看第一种情况，就是我这种图像画的这个方式，这个夹角四十五度，我们怎么处理啊？另外一种情况，其实我们稍微提一下就可以了啊，方法是一模一样的。好，我们主要看第一种情况， 我们现在看一下整个题目的问题设置，帮助前面没有搞忘的同学啊，再看一看，说这个直线 y 等于 k， x 加六啊，哎， k 是 不确定的啊，它过点 b 零六与我们 cd 直线夹角是四十五度， 看求这个直线怎么处理啊？求这个直线的情况啊，产生了 o a 的 长度，那其实 o a 的 长度都是假的喽，根本上是求这条线的解析式啊。那核心呢，就是这个四十五度，两条线夹短了四十度。四十五度，我们怎么处理好 这个题呢？背景图像已经变得稍微复杂了一点，我把这个题核心考察的原理题给大家理一遍，然后你直接套用就可以了啊。哎，我们先看这样一道原理题，说 这个地方 a 的 坐标是零二，哎，零二， b 的 坐标是四零，把 ab 旋转四十五度， 形成一个直线方向。求这条直线的解析式。其实本质是一样的，我们只是把刚才的背景题变成了原理题，无关的条件先删掉啊。哎，怎么做呢？很简单，看到四十五度， 我肯定要去做他等腰直角这么去处理，是不是把四十五度的特殊性给它发挥出来？其次，我们再看求一条直线 l 的 解析是我需要几个点的，正常来讲是需要两个点，我已经知道 l 过 a 点了， 我再再在他身上求一个点不就行了吗？两点确定一条直线，我们看另外一个点怎么找啊？好，这里呢有不少种做法，我们最终呢主要推荐一种，因为这种方法可以铺垫到我们以后九年级的类似场景题里面，它的原理可以套用过去。 好，我给大家准备一个小口诀是这个直角怎么造啊？叫选择你的目标角，找到目标角角 a 瞄准它夹边的方向，分别是 ab 方向和 al 方向， 选择谁为垂足就非常关键了，他直接会影响到你后续的计算量。选择谁为垂足呢？小口诀是选择你的目标角夹边上，这不是夹边吗？有信息的点为垂足， 这个夹边上谁有信息啊？ b 点是不是四零有信息，选择他为垂足， 这样就把 b 的 信息能够进行非常高效的利用，我们看怎么个利用法啊？我这里等腰直角造出来之后啊，目前 b a 和 b e 都是且斜的相等的量，我们哪怕你知道 b a 和 b e 的 长度 也不管用，为什么？你 b e 的 长度是没法直接写出 e 的 坐标的对不对？所以你们的斜这个边一定要去化写为直。我们在化写为直当中主要有咳， 全等相似两种方式啊，两种方式目前呢，我们只学过全等。你看这里， 我可以把这两条斜线啊相等的这个性质，这个能量性质给它打散，化邪为直。你看这个斜线我给它分解掉，是不是我的 o a 和 o b 啊？ 化邪为直之后是不是 o a o b， 我 们的 b e 跟我们的 b a 还相等？我们借助 k 字形全等是不是能够把 b e 这个信息给化邪为直？这里的值指的是数值和水平， 能直接读出通过长度读出坐标的这种性质啊，他就跟我们物理上学的力的分解一样，比方说这里有一个小方块，或给他如果一个向下垂直向下的力，那这个 做工是不是往下的，没有往其他方向走，给他水平往左的力，那小小铁块会往左边滑动，哎，这个力就完全打到左边去了啊。假如这个摩擦力的问题， 如果我给他一个挺斜的立呢？那这里这个立是不是分解成我们的水平方向和竖直方向的两种方向的立啊？啊，我讲的不是很专业啊， 大概就是这个意思，遇到斜线我们一定要学会画斜为止。这里我们通过的是 k 字型全等啊，好在这里呢，全等完之后，我这个二和四是不是直接就对过来了？ 你看这个 e 的 坐标是不是轻松就能数出来？六、逗号四、你在求这条直线的解析式，是不是很好求啊？我们的 a， e 在 直线上。好，我们借助这个小规律啊，选择你的目标角有夹边的点，夹边上有信息的点为垂足。 把这个小口诀记住，非常管用啊。选择你的目标角，夹边上有信息的点为垂足，构造等腰直角，然后继续用 k 字形划写为直。 好，我们找到我们的目标角是角 e， 虽然点 e 不知道，没关系啊，点 e 有 几层性质？我们先拨开 e 呢，它是两条直线的点，一个是 l b e， 一个是 l c d 这两个性质，它的价值一定要发挥掉的啊，点 e 是 这么两个直线的焦点啊，对不对？这两个价值要发挥掉。然后这个四十五度，我们瞄准了瞄准它的夹边， 分别是 e、 b 方向和 e、 d、 c 方向。我们选择夹边上有信息的点为垂足，有信息的点是不是 b、 d、 c 都可以啊？哎，放到我们选 b 为垂足， 比方说啊，选择 b 为垂体。好，那这个呢，就是我们的点 f 这个焦点点 f， 你 看这个 f， b， f 是 不是等于 b e， 这是个等腰直角，这两个相等啊，是斜着的相等，我没办法直接用，怎么办？化险为夷啊，做 case 就 可以。 好，这是 h， 这是 g 啊，这个点是 e 啊，我们来重新写一下，那么这两个红色的躺着的直角三角形啊，就是全等的。 哎，这边的信息呢，我们就可以传递过去啊。好，我们先看看我的条件里面有哪些价值资源啊？ e 是 不是有全等的这样一个结构？ e 还有两条直线解析式啊， e 有 全等和两个直线解析式，我们的 f 呢？ 怎么搞？ f 是 不是也挂在这个全等的里面？同时 f 还有 cd 的 解析式，所以 f 有 c 有 全等，还 lcd 的 含义，所以 f 点最终要带入 cd 的 cd 解析式的啊。现在呢，我们来把数据铺一铺啊。 好， e 点，它在 lbe 上，还在 lce 上 cd 上。不妨呢，我们先把这个 cd 的 价值给用掉， 因为 c d 的 解析式是不是 y 等于四分之一 x 加二，所以呢，我们借此设 e 的 坐标为 t， 逗号，四分之一 t 加二。当我能写出 e 的 坐标的时候， e 的 c d 价值就被用了。好，我们把数据铺一下啊，这个全等要接着用的。 呃，这个 o b 的 长度是六， e 的 纵坐标呢，是四分之一 t 加二啊，所以这段为六，这段是四分之一 t 加二。那么拿大坐标减小坐标，六减，它就是四减四分之一 t， g， e 的 长度就是四减四分之一 t。 好， 那么这个全等式可以用的 g， e 是 不是等于 b h， 所以 这个长度就是四减四分之一 t。 好，我们再看 b g 是 不是我们的 e 的 横坐标的长度设成了 t 啊，那这段也是 t， 这样呢，我们就可以把这个全等于用光了，全等完之后，用光之后， f 的 坐标就能读出来啊。好， f 的 坐标是多少？横坐标是这么长，但是因为是负的，所以是四分之一 t 减四， 纵坐标呢？是我们这一段的高度啊，这一段的高度我应该拿六减掉 t 是 不是六减 t 就是 f 的 纵坐标？ 好，这会呢，我全等已经用掉了，你看竖边等于横边，横边等于竖边用掉了，然后 e 的 cd 的 性质也用掉了， 全等也用掉了啊？那就是什么？我 f 是 不是还没用啊？ f 还在 cd 直线上，所以我得到的这个 f 要得到更多，把 f 点代入 cd 解析式。 再如他啊，就是六减 t 等于四分之一，括号四分之一， t 减四加二就可以解出 t 啊。这个方程可以解出 t， t 解出来之后你这个 e 的 坐标不就知道了吗？ 对不对？ e 的 坐标知道了。那我求 b e 解析式，我把 e 的 这个在直线 b e 上这个性质给发挥掉，就可以求出直线解析式，从而求出 a 点啊，求出。

各位知道什么叫做隐形圆？隐形圆就是这题里面没有圆，但是你要找到它隐藏的一个圆，这个圆找出来，你题就解出来了。我们来看一下说已知等边三角形， a、 b、 c、 r 等边，三个边都相等，边长为八， 都是八，对不对啊？标注一下啊， a、 d 垂直 c、 d 啊， a、 d 垂直 c、 d 啊，垂直的啊，求 b、 d 的 最小值， b、 d 啊，质量，这个，这个连线的最小值。他为什么说最小值呀？难道这个 d 他 会动？ 这个 d 应该是会动，人家说了这个 a、 d 垂直， c、 d 就是 a、 d 垂直 c、 d， 那 a、 d 也可能这样垂直啊，对不对？ d 有 没有可能在这对不对？那也有可能这样垂直啊，你看，只要 c 和 r 有 没有可能在这，只要垂直就行了呀。 a、 d 垂直 c、 d， 也就说这个 d 啊，它是乱动的，不知道在哪，什么时候啊，它俩最小，嗯，这个 d 会动啊，各位，只要看到定弦定角的，它一定在圆上 这个道理了。妹妹，你看这个边长是不是八，这个边长也是八。定弦定角，这个角度是九十度不变，这个弦长也是不变，所以 d 肯定是在 r 圆上，在哪个圆上来，应该是在这个圆上，各位， 应该是在以 ac 为直径的圆上，为什么？因为以 ac 为直径画的圆，所对的圆周角都是九十度，你不相信？你可以试一下啊，你随便画都是九十度，你看， 因为它是直径过直径的圆周角都是九十度，你看我随便一画都九十度，在这画这也是九十度，那 d 在 这上面转来转去的什么时候 b、 d 最小？各位，那肯定这时候最小啊， d 转到这时候最小啊，各位，一箭穿心啊 啊？直接穿过这个圆心的时候， d 在 这的时候最远， d 在 这的时候最近，对不对？你看 a， d 垂直， c， d 这是不是垂直啊？所以 d 运动到这的时候最小，最小是多少啊？各位？ 这个圆心，圆心是，它是终点，对不对啊？这个，这个长度是多少？这个长度减去半径不就行。半径不是四吗？这是不是四，这也是四，这也是四。半径是四，这个总长度多少？这个总长度啊，这不是八吗？八的平方减四的平方。八八六十四，六十四，减十六，再开方， 他是不是就是这个长度？再减去半径，半径是不是四呀？再减去四，这不就最小值吗？多少？六十四减这多少啊？十八， 四十八根号，四十八根号，四十八是多少呀？四倍，四倍根号三，对不对？四倍高啊？三减四啊，这是不是最后答案啊？我跟你说，短处有点乱，回头大家自己再好好练习一下，各位。

接下来来看到这道压轴题，我们关于 x 的 二次函数 y 等于 p， x 方加 q， x 方加 k 为一次函数 y 等于 p， x 加 q 和反比例函数 y 等于负的 x 分 之 k 的 共同体函数。 一次函数 y 等于 p， x 加 q 和反比例函数 y 等于负的 x 分 之 k 的 交点，称为其的共赢点。好在这里问我们这个一次函数负 x 加三和反比例函数 y 等于 x 分 之二的共同体函数式， 这里我们可以由它得知， p 等于负一， q 等于三， k 等于负二，所以这里 y 等于负， x 方加上三， x 减二，然后这里共引点的话，我们就要把它求出来，对不对？然后这里我们可以 先找到一个规律啊，就是关于这个共同体函数，我们先把它化成这个样子，对不对？然后我们全部乘以 x， 把 x 这个分母给它消掉， 然后我们是不是就可以发现，哎，这是不是就是二次函数前面的部分呢？ 所以啊，这里我们就可以得到它的一个性质，就是这个二次函数与这个 x 轴的这两个交点的这个横坐标，就是它俩的这个横坐标。 所以呢，这里我们暂时目前看先放在这里，然后这里的话我们就是把它带进去了，这里 负 x 方加上三， x 减二等于零，这里会解出 x 一 等于一， x 二等于二， 然后这里 y 一 就会等于这里。我们把它带入到这个里面，明显就好算一点，对不对？然后这里就会等于二，然后这里 y 二就会等于一，所以这里是一到二或二到一。 第二本已知二次函数这玩意与 x 轴的交点为 m 和 n， 有 a b 两个共引点，则 a b 等于二， m n 求 a 的 值。我们这里可以采取先画图像的真这个方法， 其实我们可以根据题目获得大概这样一个图像，这里 a 是 真的，然后这里 然后 a 就 会是负的，就大概是这样一个图像，然后这里有一个函数交过来 这样一个反比例函数，然后一次函数交过来，这两个点为焦点，然后这里有一个二次函数 是经过这两点的，然后这里的话我们可以先标上来，这里是 m， 这里是 n， 然后那么这里就是 a， 这里是 b， 我 们随便标啊，然后这里 m， 我 们可以表示出来，它是 x 一 到零， n 的 话就是 x 一 到 y 一， a 的 话就是 x 二到 y 二，这里的话， y 的 话，我们又可以把它通过一次函数的形式给它表示出来，然后这里 p 的 话等于负， p 的 话等于 a， 然后 q 的 话它就会等于 b， 所以 就是 ax 一 加上 b， 然后这里是 ax 二加上 b， 然后我们再来表示它俩的作这个这个距离 m 和 n 的 话就是等于 x 一 减 x 二的绝对值，然后 a 和 b 的 距离，我们就用两点间的距离公式表示出来，等于 这个 x 一 减 x 二的平方，加上 y 一 减 y 二的平方， 这里我们表示出来之后，我们就可以把它连立得到这样一个关系式， 我们这里根据前面这里得出来的，我们再把它替换掉， x 一 减 x 二的平方，加上这里就是 a， x 一 加上 b， 减去 a 倍的 x 一 加 b， x 二加 b 啊的平方，然后继续画 x 一 减 x 二的平方，加上这里面把它单独拎出来画， 发现这里 b 是 不是消掉了，然后剩下 a 倍的 x 一 减 x 二 的平方，这里 x 一 减 x 二的平方等于加上 a 的 平方，乘以 x 一 减 x 二的平方， 那么这里的话，它就会等于根号下 a 加上一的和 a， a 方加 e 的 和乘以 x 一 减 x 二的平方，它会等于这个。 然后我们再同时平方调它，就是这样， x 一 减 x 二的平方抵消 a 加上 a 方加一等于四， a 方等于三， a 等于 a 等于正负根号三。 好。第三问，若这个一次函数和这个反比例函数的共同体函数两个共因点的横坐标为 x 一 x 二，然后 m 大 于 n 大 于 t， m 加 n 加 t 等于零，令 l 等于 x 一 减 x 二，求 l 的 取值范围， 这里的话，我们其实可以把这个 l 给它铺开，然后的话呢，我们首先就是先把它这个二次函数给写出来， 写出这个二次函数由我们前面得到的心智是可以这样写的， 然后的话呢， y 就 会等于这个，对吧？然后我们再把 l 给它展开的话，就会得到 x 一 减 x 二，这里我们通过尾它定底来推， 就是根号下 x 一 加上 x 二的平方，减去四倍的 x 一， x 二就会等于根号下 x 一 加 x 二。根据伟大定律，它就是负的 m 分 之二 n 的 平方减去四倍的 m 分 之 t， 进一步化减，这里 m 方分之四 n 方减去 m 分 之四 t， 然后它就等于 t， 这里我们根据这个关系式，是不是可以得到 t 等于负的 m 减去 n， 所以 这里就是 m 方分之四 n 的 平方 减去这里四倍的，加上四倍的 m 加 n， 因为这里都有减号，所以我们就可以把它换掉。这里除以 m 等于根号下四倍的，乘以 m 方分之 n 方加上 m 分 之 m 加上 n 等于二倍的根号下 m 方 n 方加上 m 分 之 n 加上一。这里我们就是不是可以把这个 m 分 之 n 看成一个整体，然后的话呢，我们这里有题目，又知道 m 大 于 n， 由 m 大 于 n， 我 们就可以知道，一是大于 m 分 之 n 的， 然后继续看到接下来，然后这里我们又要知道这个 n 它肯定是要大于这个负 m 负 n 的， 然后这里 二 n 就 会大于负 m， m 分 之二 n 大 于负一，那么 m 分 之 n 就 会大于负的二分之一， 然后就会得到负的二分之一小于 m 分 之 n 小 于这个这个一啊，然后这里我们可以把它进一步拆掉， 所以接下来呢，这里我们就把这个关系式给他带回去，然后这里的话，我们要把它进一步化简。这里等于二倍的根号下 这个括号 m n 比上 n 加上二分之一的平方，加上四分之三， 然后所以这里根号三小于这个二倍根号下 m 分 之 n 加上二分之一的平方，加上四分之三小于二倍，根号下三，所以根号三小于 l 小 于二倍根号三。这道题就做完了。

家长们注意了，孩子做不出中考数学的压轴题，真的不是因为孩子笨，很多人以为能做压轴题的孩子是天赋异禀，其实真相就一个，就是他见过同类型的题，记住了关键的辅助线怎么画全等旋转怎么构造相似怎么推倒。其实中考和高考的逻辑 天差地别，高中老师做高考题未必满分，但是初中的老师刷中考卷却有可能轻松的打满分。为什么？因为中考的题刷的多了，思路自然就有了。 所以中考不只是考智商，只考你有没有吓死功夫。刷题，只要时间花到位，刷题到位，压轴题、二次函数圆的综合，这些中档题根本难不倒你。知识点就那么多，体型就那么些，把每一类都吃透，拿高分甚至满分都是水到渠成的事，加油吧！