神奇小猪的数学课任意角三角函数

首先给大家说明一下什么叫同角三角函数啊？ 说出来我都想笑。就是同一个角，他的 sign， cosine 和 tangent 如何相互转化？他们三个有啥关系？ 同一个角的三角函数关系就叫同角三角函数关系。那有啥关系？第一个关系我相信都不用我说。咱摊着的二法怎么定义的呀？刚才一直咋用的呀？摊着的二法咱可以写成赛比扣赛， 这就是我们学的第一个同角三角函数关系，他建立起来的是这式子。告诉我哦，我们只要求出来塞尔法，只要求出来了扣，塞尔法，就一定能通过他们两个找到 tangent 的尔法。那 这个三角形还有哪个边我没连呢？还有哪个关系我没找啊，这个赛和 cosin 的关系我还没找对不对？那他俩有啥关系？看图，赛是中边与单位，而交警的纵坐表这段长度是赛， 扣三是这个点的横坐标。说过一百遍了，这三角形是直角三角形，他的斜边是单位，圆的半径是一。 那大家自己看，直角三角形都有了，咱可以列一个勾股定理吧。所以我们一定能得到有关 sine cosine 探证的第二层关系。原来 sine 方加 cosine 方一定是等于一的。 这俩狮子有啥用啊，他们太有用了，我们以前刚才算三口三，摊子都是画图，都是看图说话，咱得去画单位圆，是不是好像还 挺麻烦的？但是有了这俩式子，我发现我们三角函数可以算出来，咱可以利用这俩代数式找到赛扣赛和探真的之间的关系。 当然，我提醒一下大家啊，我们目前只有两个方程，但是变量有三个未知量有 sign， cosin 和 tangent。 咱初中学的哈，三个变量得有三个方程才能解，但是现在只有两个方程，我们没法通过一和二，直接把三一扣三和弹针的全都求出来，但是我们三个变量俩方程可以知一求二 啥意思？这三个里面只要知道其中任何一个，另外两个就一定可求。比如说，大家看，如果题目给我，赛亚二发是多少了哦，赛亚二发一致了。大家来看第二个方程，扣赛能不能求？能求 那扣散一求完赛扣散都有了。第三个 tandent 可不可以求，又可以求了，这就叫知一求二。 那给大家举一个简单例子，大家先来看一下，如果说哈角，二发是第二象限角啊，二发在第二象限这之内在动啊，然后他说什么赛啊，二发是三分之二哎，之一了对不对？已经有一个三角函数值了，那就问我另外两个是多少？这不就明明显显的之一求二问题吗？那我干嘛呀？ 第一个方法，先讲一个最朴实无华的就是解方程。首先我们知道三元方加扣三元方等于一，那在已知三元二发至三分之二的情况下，我发现而五， 那意味着九分之四加扣三阿尔法等于一，我扣三阿尔法发现也能求。它的平方是九分之五，意味着每一个值 平方开出来，两边开个号，应该是正负，别忘了，正有正有负啊，是三分之根号。但是问题来了，我要正还是要负？ 咱想知道三角函数的这个正负要看什么来着？符号看象限，阿尔法角在第二象限，第二象限角这焦点，显然他的纵坐标为正，横坐标为负，我们要的抠三只横坐标必然去复制。最考试的时候怎么写？看好了， 因为阿尔法为第二项线甲，直接就写扣三，只能取负值，取的应该是负三分之格号， 那塞扣塞都有了，所以弹着的能不能求，咱就又能求了。他是塞比上扣塞一比完应该是负五分之二倍根号，这是我们的第一个方法。解 方程，那光会这个我觉得完全不够，因为他的书写过程，他的计算过程多多少少还是有的。我必须强烈要求大家要掌握第二个方法， 因为三角函数之一求二，问题是一个非常基本的三角函数的一个操作，整个计算过程大家不能超过五秒钟，那很显然，我光列这几个式子，这时间就已经超过五秒了，对不对？好，所以我介绍第二个方法，它的名字叫辅助三角形， 怎么操作，大家来看一下。我先画一个直角三角形出来啊，记住，这个直角三角形是不存在的，它是一个虚拟的，我构想出来的， 他没有任何实际含义，只是帮助我用来计算的，在实际的图形里面，他没有任何意义，就是个工具而已。我随 随便射一个角，如果是阿尔法，那有同学想问了，哎，阿尔法不是第二象限吗？第二象限，哎，我在图里看，他是一个钝角啊，钝角怎么能放在直角三角形里面呢？哎呀，这不对呀， 就像我刚才说的，不对，没关系，我不管阿尔法现在在第几项线，我都强行把它放在直角三角形里面，现在我是要算数的，我是要快速得到结论了，这三角形就能帮助我快速得到结论。怎么看来看萨亚尔法 是二比三赛二发，初中说是谁比谁啊？是对边比斜边，我就假设这边是二，这边是三， 那大家告诉我，在这个图形里面，另外一个直角边是几勾五定理，根号下九减四等于根号五，我是不一下就把这三边找到了。所以啥叫 辅助三角形，其实就是初中计算塞尔法对边比斜边，扣，塞尔法零边比斜边，天真的尔法对边比零边五分之二倍根号。当然这初中方法跟我们高中方法差在哪来着？ 现在咱三角函数是任意的，在不同象限里面，他是不是有正负的呀？现在再利用上，他是第二象限角，第二象限角抠塞为负， tangent 也为负。这种先快速把值算出来，再看正负号的方法，比我刚才的计算过程要简单非常多。太快了，实在是太快了，不信再给大家举两个例子，我还是把它看成第二线条。已知 tangent 是负 五根号二，问大家三个高三是多少怎么做？先画个辅助三角形，把二发放里面去。我不管二发是多少度，我都放到里面，有啥意义？没有意义，他只是为了帮我算数的啊，那摊震的二发是谁比谁啊？ 是对边比邻边。一开始我都是不管正负的，我就设他是根号二，他是一。那有的宝贝肯定说，哎呀，这根号二应该更长一点，咱得画个长一点，这一呀得画的短一点。画的长短有意义吗？没意义，画的多不准都没关系。一个边是一，一个边是根二，那么斜边一定就是根号三。 所以赛亚尔法对边比斜边根号二，比根号三就是三分之根号六。 cosin 阿尔法就是零边比斜边一，比根号三，三分之根号三。我马上就束缚了，还差什么？还差正负又来了，第二项线角，看图吧，赛 直为正，扣三为负，一正一负加上去，答案有了，舒服了，又快又准，比我刚才解这方程不知道快到哪里去了。所以未来我会多次利用辅助三角形来帮助我们大家计算。 但我先说明一点啊，在高一阶段，在大体里面辅助三角形能不能直接用？不可以， 咱小题肯定是随便用的，大题在高一阶段，大家只能去解方程。那好消息是大家过完这个学期之后的下一个学期，高一下高二和高三这种知一求二的问题，就是一个非常基础，非常简单的一个操作， 绝对不会单独考虑大题，他只不过是某一道大题的其中一个小小小小，不，以后的书写过程就直接。是啊，已知三亚二发，他在第二线线 那扣塞尔法探查法，直接写答案就行了，不需要任何过程。但是现在在高一这个阶段，大家刚学，可能对过程稍微要求的要高一点，那大家表面上就哎，老老实实的解方程来做，但实际上大家在平时练习的时候怎么做？用辅助三角形？ 举几个例子。第二线线角给我摊着的，问我三个扣三太简单了，画一个辅助三角形，三角形有意义吗？没有意义，把二发放进去，他说摊着的是三比四，摊着的是三对边比邻边三四五， 那么塞尔法应该是三比五， cosin 尔法应该是四比五，当然没做完，要看正负。第二项线角，脑中想图听好了，这是脑中的操作，我虽然把图形画出来，但是这个图 需要大家在脑子里自己画，不要动笔画，动笔太慢。第二项线赛是正扣三是负，一正一负，加完之后负五分之一，舒服了，做的不爽。再来一道，已知摊着的是负二，哎，问我赛和扣赛太简单了，辅助三角形 有什么意义？没有意义，只是帮助我计算啊。他是负二，我不管正负，反正我就把他看成二比一，长了短了都无所谓。一比二比根号五，那 sight， 他对边比斜边二比根号五 扣三菲的一比一，根号五，正的负的。看在第几项线来脑中想图练习着啊，脑子里自己想负二分之三派在哪啊？这如果还不知道的宝贝，说明上一个视频吸收的非常不好，课下 没有仔细的努力，二分之三派就是他，二派就是他。所以在这个范围之内，第四象限，第四象限赛值正的负的呀。三四象限赛值为负，一二象限赛值才为正。 接下来来看 cosine， cosine 正的负的呀， cosine 是横轴，横轴像是正的，一四象限为正，二三象限为负， 所以一负一正加起来负五分之更好。完美。相信大家已经对同角三角函数多多少少有点感觉了吧。那再给大家稍微稍微进阶一小下下来看一道新题。 现在呢？我们已知 tangent 阿尔法。问我这么一大坨，我先问大家，我们在已知 tangent 的阿尔法的情况下，能不能啊？可不可以把塞尔尔法呀， cosine 尔法呀都算出来？当然是 可以的，知一求二嘛，反正不管最后是几个答案吧，我是都能算出来，算出来之后我都带进去，行不行？肯定行，这题肯定是能做的，但是大家来观察一下这道题，他是一个分数，这是一个非常关键的标志点， 分式，而且分式的每一项散而法，扣散而法，散而法，扣散而法。如果你把散和扣散看成一个变量的话，比如说啊，大家把它想象成 x 或者 y 啊，什么什么二 y 减 x， y 加二 x， 大家想一想，这每一项次数都是几啊？这每一项次数是不是都是一呀？ y 的意思米 x 意思米， y 的意思米 x 意思米，他每项次数都一样，他是一个其次式，对不对？这次数怎么看？我教大家哈，以后我们也是一样，我们把 萨亚阿尔法和 cosine 阿尔法，哎，想象成一个是 x， 一个是 y， 它是有关阿尔法的一次米。 那如果以后遇见什么呢？遇见三方，遇见扣三方，或者遇见三乘以扣三，这是二次，这是二次，一次乘一次还是几次还是二次，对不对？这三个我要把它看成二次项， 分析次数有啥用啊宝贝们，其次是，其次是我，如果把它每一项看好了，它是一次的，我就都除以一次的，每一项我都除以扣三。第一项原本是阿尔卑斯塞尔法，我除以扣三， 第二项本来就已经是扣三二八，我再除以扣三，就变成一了，下面每一项我也除三，除以扣三，第二项扣三，除以扣三加二。我惊奇的发 线赛比扣赛，赛比扣赛。原来这式子有赛有扣赛，但是现在我能把它每一项都用 tangent 来表示了。上面就是二倍 tangent 的二法减一，下边就是 tangent 的二法加二。 紧接着我相信同学们也发现了，我真的需要通过摊着的把三亿扣赞都求出来吗？不用，我直接整体代换，把二带进来，二乘二减一，比上二加二，四分之三选 b， 这就是其次式的作用。第一，当他出现分子分母了，而且分子分每项都是依次的啊，都是依次的，我就都处以 cosine 法， 如果换一道题都是二次的，大家除以谁就都除以扣三而发的平方，他本身是几次，我就除以几次就能做题了。给大家举两个。 首先来看第一题，已知 tangent 二法哦，我们光已知 tangent 二法的时候，其实也是一个标志点，我们要想到啊，我们可以把所有的问题都转化成 side 比 cosine 来做。 那来看题啊，他问我，三一方，三一乘扣，三二被偷，三一方啊，有点奇怪，二四二四二四，看着是，其次是，但是他缺啥呀？他缺分母，他连分母都没有对不对？ 所以我祈祷啊啊，如果他有个分母就好了，哎，这分母现在是一，嗯，一，能不能变成一个二次的东西哩？叮咚，哎，谁是一 塞方加扣塞方不就是一吗？我把它人为的除一个塞方加扣塞方，我人为的除了一个一，这值变不变，这值不变，但是我现在发现他是一个有分子有分母的。 其次是每一项都是二次的，那我就把上下每一项都除以扣三方同时除他一定就会变成 来看，第一项除以扣三方就是摊着的方，第二项除以扣三方，他有一个扣三，再除以扣三方的话慢慢写哈，大家第一次做，原本他有一个扣三再除以扣三方，约掉一个就剩一个摊着的， 紧接着后面一样扣散方除以扣散方，散方除以扣散方，下一个扣散方除以扣散方问题圆满解决。我把 tantin 的 带进来，人家说看真的是二，所以四加二减二除以四加一等于五分之四这题又做完了。所以这里面我们比较巧妙的像我们基本不等 是一样。是不是用了一个方法叫一的代换特别好用那类似的下一题哦，他又是给我了一个贪吃，他问我一加三也成扣三这题啊，其实出题人挺蠢的哈，他原本想着，哎，让你把这个一啊换成 啊，三方加扣三方，然后这分子呢？二四，二四，二四，然后咱们再在下面加一个，谁呢啊？再加一个三方加扣三方凑成一个，其次是，但是谁这么蠢呢，出的这道题啊，他问我这值是几，哎，我可以先求这个值，我再加个一不就得了吗？我需要把前面一代换吗？我都不用出的蠢透顶了。 所以我可以写成一加上赛程扣赛，我在这个地方把它出个一把这一再代换成赛方加扣赛方。用意思代换目的是什么？哎，目的就是凑齐思事啊，既然分子分母上面刚才是 刚说完一四乘一四，它是二四的，这是二四的，这是二四的，所以每一项都除以口塞方就变成了上面是一个 tangent 的二法，下边是 tangent 的方，我再加一代进来二比上四，加一等于一，加上五分之二等于五分之七，舒服了。 以上就是一个视频的所有内容，希望大家通过这个视频顺顺利利的把三角函数入门。今天讲的题目大家可以反复做完结撒滑。

医术公益，为公益，更为你 同学们好，欢迎收看艺术公益。本期我们讲的是二倍角公式，二倍角公式是我们三角 角横等变换章节的第二大内容，第一大内容是我们的角的和与差公式，他沟通的是我们两个角之间的关系，对不对？两个不同的角，当然也有可能是相同，例如说三页 a 加 b， 它是等于三， a 乘以扩散 b 加上扩散 a 乘以三 inb。 好，我们在这个式中我们做一个小小的变形，我们另 a 等于 b， 这是一定可以做到的，对不对？好，我们不妨将它们都设为阿尔法吧，这样我们看的舒服一点哦。这个时候我们就可以折 左边变成了什么 a 和 b， 如果令他们相等的话，并且都等于阿尔法，是不是左边就是 sanin alpha？ 好，我们来看右边呢？ sanin a 是不是就是 sanin alpha？ 好，那我们这个扩散 b 呢？是不是也是扩 三眼阿尔法，然后加上呢？扩三眼阿尔法乘以三眼阿尔法。哇，我们发现了什么？这两个是一样的哎，那是不是就变成两倍的三眼阿尔法乘以扩三眼阿尔法？哦，我们现在得到了第一个狮子， 这个就是我们的二倍角公式哦，所以我们的二倍角公式本质上是通过我们的和差角公式推出来的，对不对？所以我们一定要记住和差角公式，如果大家忘记了二倍角公式，还可以自己用和差角去推一下吗？ 好，我们在上一节课和差角还讲过关于余弦的对不对？好，例如说括 sign a 加 b， 他是不是等于括 sig a 乘以扩 sign b 减去 saying a 乘以 saying b 吧。好，那这个时候我们同样的，我们令 a 等于 b。 好， 我们其实写成这样都可以，但是我们总说 a 这个角不舒服，我们一般用公式写都是写阿尔法这个角，对不对？好，这个时候我们则有 扩散引，左边 a 等于 b 等于阿尔法，当然就是扩散引阿尔法喽。好，我们来看右边。哎，扩散引 a 等于阿等于 b 等于阿尔法，所以他就是扩散引阿尔法的平方喽。好，右边是三引乘以三引，两个都是阿尔法嘛，所以是三引 a 的平方喽。 哎，这个时候我们是不是就得到余弦的二倍角公式？所以我们这一节课的内容可以说是完完全全的基于我们和差角 公式的章节，对不对？我们完全是通过他推出来的二倍角公式吗？好，那我们余弦记住这个并不够。在我们高中就有三种余弦形态，都非常容易出现第二种我们的二倍角公式的表示形态， 我们这个时候怎么推呢？其实很简单，我们在高中是不是学过三亚尔法的平方加上括三亚尔法的平方是等于一的？哦，所以我们三亚。好，这个时候我直接一道右文就好了，我们是不是可以得到括三亚尔法的平方减一是等于负的三亚尔法的平方，这不就是负的三亚尔法的平方吗？ 哦，所以我们将它直接变成扩散有阿尔法方减一，对不对？哎，那这个式子就变成扩散有阿尔法方加上扩散有阿尔法方减一，得到的是不就是两倍的扩散有阿尔法方减一， 这一个也是我们的二倍角公式吧。好，我们说他还不够，那么这个时候我们还需要记住一个，我们再来看这个式子，刚才是移的撒音，我们现在又为了保持公平，我们再移扩散音，对不对？哈？或者说我们将扩散音阿尔法方放在这里。好，我们的右边呢，是 试变下一减去三亚二发方。哎，我们把扩散二发方变成三一来试试呢。好，我们带回去一减去三亚二发方，再减去三亚二发方，得到是不是一，一减去两倍的三亚二发方。 哇塞，我们发现了关于余弦的二倍角公式有三种形态，那这三种形态有什么用呢？第一种是 sun 扩展，可以说是 其二词，对不对？好，第二种形态，如果题目中都是余弦，那我们当然是用第二种形态。如果说题目中都是正弦，当然是用第一种形态，对不对？请记住，二倍角公式沟通的是 二倍的这个角和本身这个角之间的关系，对不对？好，我们余弦的二倍角考的是最多最多的，因为他还有变形。我们来看这个式子呢，两倍的扩散有阿尔法的平方，减一等于扩散有阿尔法， 我们通过它是不可以反解出来扩散引阿尔法的平方。扩散引阿尔法的平方是不可以看成是一加上面的，把它移到右边去，应该是移到左边，一加上扩散引阿尔法除以二吧。哎，那我们最后一个式子同样也可以得到我们散引阿尔法的平方，是等于一减去扩散引阿尔法除以二，对不对？ 哇，我们现在得到一个什么新的式子呢？如果在题目中遇见了一倍角的平方的时候，我们是不可以降次， 哎，这个时候我们就两种思路，我们第一种思路是，如果出现了一个二倍角，我们想把它变为一倍角，可以说是生刺，也可以说是 降角，对不对？我们的角是不是降低了，从二倍角变成一倍角？好，第二种题目，如果它出现本身题目就是平方向，那这个时候我们想把它变为 去掉平方，是不是就可以采取降次哦？降次的时候我们就会考虑到二倍角的辨识对不对？好，所以余弦的变化是最多的，也是我们一定要滚瓜烂熟的，这几个性质非常的非常的重要， 我们可以记住啊，括三亿的平方后面是加号，三亿的平方后面是减号，对不对？我们这个形式做几题，大家绝对可以背的滚瓜烂熟。好，那么这个时候我们再来看最后一个 正切呢，我们正切应该也有二倍角，不然说太不公平了对不对？好，正切的二倍角，当然一样的推法。好，我们天津 a 加 b， 是不是等于天津 a 加上天津 b 除以一减去天津 a 乘以天津 b 吧。 好，我们得到了这个以后，我们同样令 a 等于 b 等于 alpha。 好，那我们这个式子，我这个手往下移一点吧，就我们就可以 得到天津 a 加 b， 他是不是等于？好，上面两个都是天津阿尔法了，是不是两倍的天津阿尔法？好，除以一减去这两个都是天津阿尔法，是不是除以一减去天津阿尔法的平方， 我们得到这样的一个式子了，哎，那这个时候是不是这个就叫我们的余弦的二倍角公式好，当然这个地方要写成扩散二法比较好看吧？好，那么余弦的二倍角考的一般来说不会那么的多，但是我们同样 一定要背下来，没有谁会告诉我们高考考的二倍角是考哪一个，而这个二倍角公式出现频率真的非常高啊，每年的高考基本都会考，所以我们将这几个公式一定要背的滚瓜烂熟啊。 那这是我们正弦的二倍角，这个时候我加粗来写下正弦的二倍角，余弦的二倍角是最重要的，并且它的变形是最多的，考的频率是最高的。好， 好，那么我们知道鱼弦最后还有一个正切，正切考的频率是最低的，但是千万不要把它给忘了对不对？好，我们知道这几个以后，这个时候我们来做一下题，试一下， 例如说在一个三角形中，请注意，如果一道题出现了在三角形中，他其实给了我们一个隐藏条件， 隐藏条件就是说我们 a、 b、 c 每个角都是属于零到一百八十度，一定是正角，并且不可能太大，对不对？好，那么另一方面我们还知道，例如说扩散 a 等于负五分之四吧。好，那我们的 tang b 呢？给我们两个角好，等于二。 好，那这个时候题目要我们求的是天井二 a 加上二 b 的值，哎，那我们应该怎么做啊？首先我们发现是天井哦，天井两个小相加，而我们对他脚分别都是有相 相应的性值的，所以说我们看到这个式子的第一眼，是不是应该采取正切的合脚公式，对不对？ 我们用正确的合脚公式把它可以展开为分别是 a 和 b 的值吧。好，我们使用一下它是不是等于我们的天井二 a 加上天井二 b。 好，除以一减去天井二 a 乘以天井二 b。 我们来观察一下我们需要求哪些项，我们想求他，我们就必须得知道的是 tang 二 a 和 tang 二 b 八呢，我们右边只出现这两项。 哦，原来这题是通过这两个一倍角，要我们求分别的二倍角吧，我们求出来这题就做完了。好，那我们先求简单的添加二 b。 为什么？这里有现成的添进币吗？我们利用正确的二倍角公式不就搞定了吗？好，正确的二倍角公式我放在 在这里呢。哎，那我们天津二比是不等于两倍的天津 b 除以一减去天津 b 的平方吧。好，这个时候我们的分子是变成二乘以二。好，分母呢？变成一减去二的平方得到的是不就是负的三分之四？ 好，我们将正切结束了，我们现在来看与好，这个时候应该还有，再看我们 tenge 二 a 对不对？好，哎， 我们一写摊结而已，就会发现问题，他等于两倍的摊结，我们的摊结不知道等于多少。哎，我们只知道余钱对不对？哦，所以这个时候我们是不是要用一下任意角的三角函数的知识，那么这题的综合性其实是挺强的， 他考到了我们正确的合角公式，又考到了两个二倍角，对不对？最后是不是又考了我们任意角的三角函数？首先我们的 a a， 它是属于从零到派，零到一百八十度，在零到一百八十度这个范围内，我们的余弦是个正的。好，如果我们这个角 a 是个钝角， 我们的余弦一定是个负的呢？我们来看它的重值吧，是 x 小于零了，所以此时余弦是负的。哦，原来 a 一定是一个锐角吧。 哇，那这就很重要了，如果 a 是锐角，那扩散一 a， 这个时候我们可以画出这个三角形了吧，也就说其实我们的 a 可以写的更强烈，它是属于零到二分之拍的吧。 好，那这个时候我们的零边是四，因为扩散一 a 是零边比斜边嘛，然后对边是不是应该三，他是三四五这个勾股数吧。哇，所以我们是不是摊结一目了然，对边应该说是纵坐标比上横坐标是不是四分之三？哦，所以摊结 i 是等于二乘以四分之三除以一，减去四分之三的平方，我们得到答案是不是就是二分之三除以一减去十六分之九？哇，这个算的好像有点麻烦，没有关系，我们仔细一点，我们底下得到的是十六分之七， 是上下同时乘以十六，是不是七分之三八二十四？哇，我们将这全部求出来，我们现在可以写答案了， 对不对？我们的答案就是它是负的三分之四。好，这个是我们的添加二 b 啊，然后加上七分之二十四，这个是我们的添加二 a 除以一减去，这两者相乘，由于这里有个负号相对是一加上三分之四乘以七分之二十四， 这两者之间好像都是互制的，没有任何可以化解的办法，所以说我们写的答案一定会挺复杂的，我们上下同 十乘以二十一，对不对？好，我们来看我们的分母乘以二十一，因为三七二十一嘛，那我们这个地方变成了二十一，而这个地方是只有分子了，分子是九十六，九十六，加上二十一是一百一十七。好，我们来看分子， 分子负的三分之四，这个时候我们来写一下，负的三分之四加上七分之二十四，我们上下同时乘以二十一，哎，这个地方相当于是负二十八吧。好，那这个地方呢？相当于是加上我们的呃，三四一十二，七十二，对不对？哎，多少？是不是四十四？ 因为七十二减二十八等于四十四嘛？哦，所以我们的分子就变成了四十四的位，因为我们上下同时乘以了二十一嘛。那我们是不是将这个答案就做出来，是一百一十七分之四十四。好，那么大家不妨可以再做几道关于我们二倍角的问题，我们 这个二倍角说到了正切，对不对？我们是不是还有正弦与余弦的公式？还没有考啊？还没有复习，对吧？好，我们同样复习啊，其实没有什么区别的，我们就是把二倍角降次吗？就是这个思想，我们第一种方法，二倍角变成一倍角，是降角，但是是生刺，对不对？好，第二种思路， 我们将平方变为二倍角，是升角了，但是降次对不对？升角我们就会降次，而降次了我们就会升角吧。好，那么希望大家可以弄清楚这个意思。好，那么这个时候我们来写个函数 好，例如说 f x， 呃，它是等于两倍的三 e x 的四次方加上两倍的扩散 e x 的四次方吧。好，然后我们继续写加上什么的扩散 e x， 二 x 的平方，再减去三，要我们将它化，减化， 或者需要我们求他的值欲，哇，我们这样求肯定觉得很难受，或者是说题目还可以问我们他的周期是多少，对不对？我们都可以研究，那第一步就是要进行化解了，那此类题怎么化解？我们来看 要看角之间的关系，一倍角，一倍角，二倍角，那这题不用想，一定会用到二倍角公式，他要是不用到二倍角公式，我们这怎么办呀？没办法了，对不对？好，那么用二倍角公式就有两种思路， 第一种思路，把这个 r x 换成 x， 哦，那我们这个括 sine r x， 我们就可以将其变为 两倍的扩散 x 的平方减一，然后再取它的平方，对不对？好，我们不写不知道，一写就感觉这种方法太悬了，我们一变两条，这都是四十，这怎么办呀？这，这也太夸张了，对不对？我们一，如果 想把它变为一倍角，这个时候我们发现这个式子简单，简直麻烦的没谱了，所以说这个时候怎么办？那我们就想想能不能把这个一倍角变为二倍角吗？好，一倍角变二倍角的公式大家忘了没有？ 好，忘了没有关系的，这是 c i x 的四次方，这是扩散 x 的四次方，我们来看看哪里可以转 一倍角变二倍角。这个地方是三一乘以扩散一，不可能了，因为我们都是三一 x 的多少次方和扩散一 x 的多少次方，那只有这个地方呢？这个地方是不是涉及到可以把扩散一和三一的平方向转为二倍角的向？哦，所以这题是用这两个公式吧。 哎，所以说我们一定要将公式背熟，三角横的变化的题目都不会太难，他的题目就难在公式多，我们只要把公式背熟了，三角函数的题真的可以说是半抄半 送。好，那括三以 x 的平方，我再把那个公式写下，我怕大家忘记了呢，是等于这个吧，是等于这个对不对？好，那我们括三 x 的平方是等于一，加上括三，以二 x 除以二。好，我们将这两个公式写在右边呢，因为大家第一次见到肯定不熟。 哎，那我们三 e x 的四方有的说它不是平方啊，那我们来想一下，括三 e x 的平方，再取它的平方。哎，这个时候我们得到的是不是就是三 e x 的四次方？好，请注意，我们这个次方写在哪里也是很重要的。 say， 这样写的话，它是等于 say x 整个的平方。好，如果我们写成 say x 的平方，它这个的意思是说 say x 的平方，这个角的平方，可以理解的，没有，我们这个平方一定要 写在三印的右上角，千万不要写错了。同理，我们的天井和扩散都是这样写。五，这是一个平方的一个简写，我们简写的时候一定要写在三印的右上角吧。好，这一点希望大家一定要注意。好，那我们这个式子当然就可以变成式 三 e x 的平方的平方喽，而三 e x 的平方是等于它的吧。哦，所以它就变成了一减去 扩散以二 x 除以二的平方。好，同理，我们的第二项是不是变成一加上扩散以二 x 除以二的平方。好，第三项我们就不动了，因为现在都是二倍角，我们非常的开心，至少现在角统一了， 我们来把上面的括号打开一下，也没有那么的复杂吧，不就是一个完全平方展开吗？好，我们上面展开啊。首先分母的平方是四，对不对？哈？四分 分子呢？是一减去两倍的括三以二 x 加上括三以二 x 的平方吧，这个平方的位置一定要写好。好，然后加上两倍的一，加上两倍的括三以二 x 加上括三以二 x 的平方，除以四，对不对？好， 哎，那最后还有一个这个东西，我们现在就非常的开心，为什么？我们的每一个角当然都是二字都是一样的，特别，好，我们现在来约一下，来， 这两个正好一模一样，约光了，对不对？我们现在更加开心了，很多东西都可以约跟合并，四分之一乘以二是二分之一，二分之一，右边还有个二分之一加就是一了吧。 好，我们再来看这个，这个是二分，四分之一乘以二是二分之一倍的括 sine 二，二 x 的平方，后面还有一个他呢。哇，真的非常的 看一下，又来一个扩散二 x 的平方。好，这个地方也是扩散二 x 的平方。好，那我们这个与这个直接合并好了，是变成两倍的他，然后再减去三吧。 我们现在是不是又遇见了一个余弦的平方，只要遇见了余弦的平方，是不是又可以想变 rv 角公式啊？ 哦，所以扩散，我们有的说这是扩散 x， 这是扩散二 x， 我们把扩散二 x 当成一个整体不就可以了吗？一定要灵活，对不对？好， 所以我们有括 sin 二 x 的平方，应该是等于一加上括 sin 四 x 除以二吧，因为二 x 的二倍角就是四 x 嘛。好，我们将这个二乘到左边去 哦，所以这个时候我们可以得到两倍的他，就是等于他哦，中间就是他呢，那这个时候我们就变成了一加上他，然后减去三，我们是不可以直接写出答案了， 扩散以四 x 减去一吧。哇塞，我们将这么复杂的一个式子最后花了这么的简单，我们想求他的周期，求他的值欲，简直就像送的一样。 t 是不是等于二派除以 omega， 我们的 omega 等于四，所以它的周期就是二分之派吧。好，除以四没有算错吧？对啦，是二分之一号，那我们想算它的值域呢？ 这个的值是负一到一，减一是不是就是重复二到零？所以说此类题基本都是采取叫做三角 横等变形，希望大家一定要多做练习。那么这个时候我们仅仅为大家讲了两道题和一个概念是一定不够的，因为这是一个整个章节的内容，真的，其实公式非常的多，我们将会在下一节课为大家具体的复习 我们的三角横等变换知识，希望大家能够在课下也能够多做练习，谢谢大家的收听，再见。 医术这么好，真的不关注一下公众号吗？宝宝会伤心的 嗯。

hello， everybody， 我是神奇小猪。从这个视频起，我们将正式进入三角函数的学习。三角函数这一模块的特点就是 题型多，但是题型比较固定，只要大家学一定是能学懂的。那提醒一下，在学这个视频之前，大家先要熟悉什么是任意角，什么是弧度制，那如果还没学到，没关系，这个视频我们已经更新了，大家可以点击下方链接。 那废话不多说，我们正式开始。在以前咱们这三角函数都咋学的呀？我们初中阶段把这个角啊放在直角三角形里面，我们规定啊，是死规定，说这个角的对边比斜边是它的 scienger 林边比斜边是他的 cosine 值，他的对边比林边 是他的贪，真的值。这定义有啥不好的地方嘞？第一，这笔值关系是死规定，有啥实际意义呢？他好像没体现出来。第二，他更明显的一个缺陷，他把好好的一个角放在直角三角形里面，我们知道这直角三角形里面，你这个角肯定是一个锐角吧。 换句话说，咱以前只会求一个锐角的三角函数，但是现在我们知道角度可以是任意取值的，你一百二十度，三百五十度，九百六十度，还能放锐角三角形里吗？就不能了吧。所以以前这种定义我们需要摒弃掉，我们需要把它进行升级。 那么今天我们第一个任务就是学习任意角度的三角函数的新定义。我们知道在任意角那些视频里面，我们讲过喽，角度有使边，有中边， 任何一个角都有唯一确定的一条重点。然后现在嘞，我在平面直角做游戏里面以圆点为圆心画一个圆，这圆的半径是一，这很重要。半径是一，这是一，这是一，这是一，这也是一。半径为一的圆，我们称之为叫单位圆。 然后吧，我惊奇的发现，这角不是有一个中边吗？这中边跟这单位园有，且仅有那么一个焦点，对不对？我们把交警坐标设为 x 零 y 零， 哦，每个角都有个中边，每个中边都跟单位员有切。仅有一个焦点，那数学家就开始发挥想象力了，我得把这焦点的坐标利用起来，数学家们规定这焦点的横坐标就是这个角的扣三一只看 横坐标在哪啊？咱做个垂线下来，这就是这个点的横坐标，咱们即为扣散尔法。这点的纵坐标这一段，我们即为散尔法。最后，咱把纵坐标比横坐标，这比值即为 tangent 而法。 这就是我们在高中阶段对三角函数的全新定义。那肯定有宝贝有很多疑问，第一，这新定义跟我们以前的定义冲不冲突啊？答案是不冲突的。我们知道这个竖直长度是动作标 y 零，水平长度是横坐标 x 零， 而且非常关键的，这半径因为是单位圆，半径的长度永远是一，所以即便是按照以前锐角三角函数的定义，咱放在直角三角形里面，说啥呀？啥是三亚阿尔法？那就是对边比斜边，对边比斜边 y 零比一，那么还 还是 y 零吗？类似的。我现在想求 cosin alpha， cosin alpha 怎么求？零边比斜边，那不就是 x 零比一吗？ x 零比一，那不就是 x 零吗？瘫着的就更是了。我想求瘫着阿尔法，让对边比零边，那不就 y 零比 x 零吗？ 所以这个新定义是包含原有定义的基础上更高级的一个定义。因为他不仅能求这锐角的三角函数，他甚至能求一个钝角。在这个定义之下，钝角随便举个例子，他也是有三角函数的。一百三十五度，三眼扣三，他人都是几啊？咱们来试着做一做，先画个单位圆， 咱想求一个角三角函数，得先找到他的中边。一百三十五度的中边在哪？我们知道屎边是在这，咱让他转一下啊。呃，转一百三十五度，转到这是九十度，一百三十五度在这里哦， 服了，那我们来看一下，如果讲究 sine， cosine 还有 tangent 都咋求啊？咱最关键的是找这个焦点，只要把这焦点的横纵坐标找到，求三角函数就如瓮中捉鳖。 具体是多少啊？那当然，几何好同学可能一下就看出来了哈，那如果几何不太好的同学，那我慢慢给大家讲哈，你看，这是一百三十五度， 那很显然，那这个角就是四十五度呗，所以我只需要去研究这四十五度的直角三角形就够了。哎，四十五度直角三角形，这可是大家初中练烂了的东西吧。四十五，四十五，九十度边长笔一定 是一比一比根号二，那咱对这个三角形去看，现在斜边边长啊，这个半径是一的情况下，这俩三角形相似的，根号二除以根号二是一，那 两个直角边咱也得除以根号二一，除以根号二的话，是二分之根号二，所以我们直接就得到了哦，两个直角边的边长都是二分之根号二，那有同学就激动了啊，那我直接写了三扣三都是二分之根号二， 这对吗？看好了，咱是把这个点的坐标当成三一只和扣三一只。我们坐标是有正负的吧，长度虽然都是二分之二，但是谁是正的谁是负的？他的纵坐标， 他的赛值应该是正的，但是他的横坐标，因为这个点是在第二相间，第二相间的横坐标必然得是负值，扣散为负二分之个二， 我们求三角函数，这正符号非常非常关键，大家在刚学的时候吧，咱养成好习惯，这小小的一个符号，可能以后在高三会影响一 整道答题。最简单总结一下，咱想求一个角的三角函数值。第一步，先找到他的终边在哪？找到终边之后，找到他的焦点，去看他焦点的坐标，那一般来说，能让大家去算的，大家能算的这焦点坐标跟坐标轴形成的三角形。 像这道题一样，他必然是一个特殊三角形，因为除了特殊三角形之外，别的三角形咱也不会解，对不对？最后，分析完每个边长的长度之后，别忘了去看这交警坐标到底是正的还是负的。 三扣三咱都求完了， candy 的咋求啊？ candy 的这其实就是 y 零比 x 零，其实就是塞尔法比扣塞尔法，咱把刚才求完的塞一百三十五比上扣三一百三十五就行了。这答案等于负一，咱们费了老半天， 其实就是为了让大家知道这一个角的三角函数，我怎么通过图像，怎么通过坐标去表示。咱光在这一个例子肯定有宝贝觉得不够爽，那么在多举几个例子之前啊，我们先来复习一下咱们在初中经常用的两个特殊三角形。 其中一个刚讲过啊，非常非常熟悉的。这四十五度的直角三角形，他的变长笔是一比一，比根号二，但是光记比例是没用的，咱一般都把它放在单位圆里面，单位圆这斜边他是半径，半径长度呢，他一般都是一， 所以我们需要记得是，当斜边是一的情况下，这俩直角边是多少啊？每一个直角都除以根号二就好了，像刚才一样，一除以根号二，应该是二分之根号二。类似的第二个三角形，我们还学过三十六十九十度 这个直角三角形，他的三边比一定是一比根号三比二，这三个数字要牢牢记住。当然，别忘了，那如果斜边是一嘞，如果把它放到单位园里嘞，那斜边如果变成一， 那我只需要把每一个值都除以二就不行了呀。哦，那二除以二是一，一除以二，根号三除以二，这俩直角边一定要记住了，一个是二分之一，一个是二分之根号三 太重要了，三十六十九十三角形，短边是二分之一，长边是二分之杠三，这值总用总用总用， 不信再来举几个特殊角试一试。比如现在随便举几个例子啊，这个三分之二拍六分之十，一拍四分之五拍三角函数值都是多少呀？第一步，先把他们的中边画出来，对这几个角度还不太 熟的东西，说明那上一个视频没好好听，赶紧把上一个视频恶补一下再来啊。拍，其实就是一百八十度，那三分之二乘一百八，那其实就是一百二十度中边在这画完中边找焦点， 想求焦点坐标，咱把它放在直角三角形里。这直角三角形，显然啊，这是一百二十度。那跟它互补的这角是六十度 哦，三十、六十、九十的直角三角形。这边长笔我特别熟悉，刚才刚讲过的斜边是一，那俩直角边短的是二分之一，长的是二分之，刚好三。算完值，别忘了看正负。首先，上一只 是他的纵坐标，对应着这段第二项线点的纵语表显然一定是正的。但是第二项的横坐标 扣散阿尔法，这 x 零应该是一个负值，它对应着 x 都是负半轴嘛，所以扣散值应该是负二分之一。那摊证的值是多少嘞？第一个方法啊，最最笨的方法，咱用 y 零比 x 零，用刚算完的散值比扣散值一比二分之一，二分之一没有了，其实就是负个行散， 大家学会了吗？那咱趁热打铁。哎，看第二个，那六分之十一派在哪啊？咱可以直接算吗？派是一百八十度，所以六分之十一派其实就是三百三十度。三百三十度相当于是三百六十度 再减三十度，他的中边在这。那对呢，这个点的坐标都是多少？跟刚才其实一模一样。我发现咱做出来一个直角三角形之后，这又是一个三十、六十、九十的直角三角形哦，斜边 是一，那长的直角边是二分之，刚好三，短的直角边是二分之一，咱只需要去看正负就好了。上一只取的应该这个点的纵坐标。纵坐标，大家看这点在第四象限，他对应的应该是歪轴的，负半轴应该是负二分之一， 它的扣三指是横坐标，横坐标打横坐标是 x 的正半轴对应的应该是正二分之根号三。看着的值怎么算？咱用刚才的 side 比上口塞就是他的指是负三分之根号三。 最后再来一个小练习啊，四分之五派在哪？这是四分之一派，四分之二派，四分之三派，四分之四派，四分之五派。在这他就是第三象限的角平分线，那这个点跟坐标轴形成的这个三角形可就不是三十六、十九是，而是四十五、四十五、九十 度的编长笔是一比一比根号二，如果斜边是一的话，那么两个直角边应该都是二分之根号二才对。所以如果他问我啊，而是这个四分之五拍的三眼值是多少啊？三眼值我看纵坐标，纵坐标第三项线纵坐表对应的应该是歪轴的负半轴，他是负二分之杠二 q 三值对应这横坐标，横坐标是 x， 负半轴对不对？哦？第三项线横坐标的不都是负的吗？所以都取负二分之二。那最后 tendent 值三和扣三一比啊，负负反而得正了，等于一。 通过这几个例子，其实就是想告诉大家，以前咱们一个角的三角函数都是正值，因为那个角是锐角，以前我们只会算锐角三角形，那这锐角中间跟单元交点在第一线，第一象限无论是横坐标还是纵坐标，当然都是正的，但是现在咱们知道 这角是可以转的，转到不同象限的时候，当他跟不同象限有不同交点的话，那有可能他某些横纵坐标就是一个复制了， 正是因为这种正负特别特别重要，而且一个角三角函数都是正负，他只和这角的中边放在哪，这中边在第几相线有关。 所以现在我们要给大家介绍一个非常经典的口诀，叫符号看象线，不知道大家以前有没有听说过哈， 啥叫符号看象限呀？这符号指什么符号？其实就是我们高中的三角函数的符号，三角函数到底是正还是负，就看这角他在第几象限， 具体他们关系是什么，我们仔细给大家讲一讲。我们现在知道了，赛之其实就是单位元上点的纵坐标。那 三万元上哪些点的纵坐标是正的呀？我奶奶都能看出来，这一段胡长纵坐标为正，当这角的中边在第一或者第二象限的时候，塞值就是正的。 反过来，当这角在第三或者第四象限的时候，这纵坐标纵坐标，纵坐标，一个赛一个，全是负的， 没听懂没关系哎，咱们再来看一下 cosin， 再来练一练 cosine。 我们要看的是单位源上点的横坐标，那大家自己看哪横坐标是正的呀？歪轴右侧 那横坐标才为正，所以自然而然脚在第一象限或者第四象限的时候，这每个点的横坐标都是正的。在第二或者第三象限的时候，这横坐标为复制赛和扣赛。都判断了。 滩镇的还远吗？那不就是 y 零比 x 零吗？滩镇的正负咱就看 y 零和 x 零是同号还是异号呗，正正得正，一正一负，第二象限或者第四象限，一负一正的时候为负， 最后在第三项线里面，三值扣三值都是负值啊，那对不起，负负反而得正了，好玩吧？所以，如果以后再问大家啊， tanden 的值什么时候是正的，大家一下在心里就得知道， tanten 在第一象限 和第三象限的时候为正，第二象限和第四象限为负。这三角函数的正负图，大家要把这三幅图牢牢的记在脑仁里，要特别特别特别熟悉，熟悉到什么程度？熟悉到如果我以后突然问大家一个问题，算一下，在第三象限的 三个函数值，正还是负的，大家得一下在脑中，哎，立马想象，这个图上面是俩正号，下边是俩负号，第三象限必然为负，两秒钟之内给出答案，才是一个完全合格的小宝贝。 所以这个视频呢，我偶尔会突然发作，突然问大家一些问题，大家把这三个图记好了，在我突击检查的时候，把三角函数的正负情况搞清楚。 咱第一次搞突击检查，哎，可能有的宝贝不太习惯，甚至可能会被吓一跳。比如我们往下看，第三现象讲的扣三指是正还是负？两秒钟，马上回答一二，回答完了吗？没回答完不合格。 我们来看第三象限，问 cosan 值， cosan 值，马上想图 cosan 看横坐标，横坐标以四为正，二三为负，所以第三象限 cosan 值一定是 是一个复制会了吧？ ok， 现在不吓大家了啊，我们真的要往下开始做了。第一种类型题，他利用三角函数的这个新定义，让咱求一些值，他们一大坨东西，哎，等于几？那很显然， 我通过前面这条件，我只要把三阿尔法摊成阿尔法都求出来，那不就得了吗？就我们来看看他前面给我什么条件，叫阿尔法的中边经过这个点。哦，那这个我发现咱得画图做吧，画个单位圆，中边经过四负三，单位圆的半径是一二三 四一二三，这是四负三，那中间作为一条射线，哎，想经过这点，那只能这么画。现在问中间在这三角函数值是多少，那我就看啥呀，咱就看这个点的横纵坐标是几，不就得 格了吗？咱就去看他是怎样的一个三角形不就行了吗？但是这三角形我只知道他的斜边是一啊，因为斜边是半径，别的我不知道，所以如果想立上题目当中这个三四的条件， 我发现，哦，这图一画完，小三角形跟大三角形应该是相似关系吧。大三角形是三 比四，斜边是五，所以小三角形的三边比例也是三比四比五，但是斜边现在不是五十一，所以每一个边长我都除以五， 这是五分之四，这是五分之三。长度我找到，但是我算坐标是有正负的对不对？所以萨尔法等于他的纵坐标，纵坐标这个点在第四向前，纵坐标必然，这个对应的是外轴，负之应该是负五分之三，横坐标 第四，象限 coser 法应该是正值五分之四， thandener 法，两者一比一，负四分之三。最最后答案他问我，哦，萨宇成 thanjet， 这俩一成，答案蹦出来二十分之九选 d， 轻松愉快。所以这种简单的利用定义求职，咱就找那中边与单位员的焦点坐标就好了。那我姥姥都知道，这焦点坐标肯定不是直接给我的，而是通过一些几何关系，我们自己主动去算。 再来举个例子，现在他说有两个角了哈，角阿尔法和脚背呢？均以 o x 为十遍啊，这是我们已知的 每个角都以 o x 为十边，那具体这角多大，那就看中边在哪呗。他说什么嘞？他说他们的中边关于 y 等于 x 对称， y 等于 x 是一三象限的角分线，中边 关于红色这条直线对称呢？中间大家能咋画呀？这道题是一道单选题，所以我就直接画一种情况就够了哈。如果说假如啊，阿尔法在这，那你说贝塔在哪？这一对称贝塔只能这样画喽， 这俩角是相等的。然后他说什么？他给我了个条件，说 saiya 阿尔法是五分之四， saiya 阿尔法是阿尔法这个角和单位元焦点的纵坐标，再画出来三角形。在这幅图里面， saiya 阿尔法应该指的是这条线段的长度。 然后他问我什么呢？问的我是 beta 角的 cosine 值，角 beta cosine 值，我们要看的是这三角形的横坐标吧。 那有没有聪明宝贝能直接看出来绿色线段跟蓝色线段有啥关系嘞？如果这样，大家，哎，看着好像哎，看不太出来关系。大家来看啊，这俩三角形都是怎么做出来的？他都是由 这焦点往 x 轴做的垂线，做出来一个绿色三角形，再做出来一个蓝色三角形。如果大家觉得这俩三角形的确是没有那么好找关系，那如果我这样画呢？我国阿尔法这焦点往 y 轴做一条垂线， 那很显然，我做出来了一个矩形。绿色三角形跟粉色三角形理论上应该是全等的吧。所以换句话说，题目给我阿尔法角的 sine 值是五分之四，我这条边就意味着他一定是五分之四。 那现在大家来看粉的跟蓝的有啥关系？总能看出来了吧，一点一叉，一点一叉，点和点相等，叉和叉应该也相等，因为中间这条线应该是平分九十度，每个角都有 四十五度的，所以这俩三角形每一个角都相等，而且这斜边还一样，斜边是半径，等于一纯纯全等三角形。那你粉的直角边是五分之四，蓝的直角边累，对不起，还是五分之四。 所以题目问 cosin beta， 我算都没算，我看图就看出来了哦，我要找他的横坐标就是五分之四。结束 咱这里面给大家做一个小小的拓展。刚才呢，只帮大家分析了一种情况，但实际上还有另外一种情况需要跟大家一起分析。 再来看他说赛和阿尔法等于五分之四，我刚才画的是阿尔法角在这，在第一象限这长度是五分之四，但是大家在单位玩上能不能找到另外一个点，他的纵坐标也是五分之四啊，好像能吧，跟这点关于 y 轴对称的这个点，很显然我也能保证纵坐表满足题。所以阿尔法脚本质上还有另外一种情况，阿尔法脚可以在这， 但是对于这道题来说，二发角在哪，他其实并不影响我们最后答案。为啥大家看这图像整体是关于 y 等于 x 这道直线对称的？大家把小头歪一歪啊，想象一下，这粉色的线是大家初中物理的一面镜子， 不是对称的吗？他前面有一个 v 字形，代表阿尔法角的两种情况，那跟他对称完， 关于粉丝之间对称之后，哦，那贝塔应该也有两种情况吧，咱也可以画出来两个 v 字形，对不对？第二种情况记为贝塔一撇。那咱看图说话哈。两个绿线的焦点目前是水平关系，他们的纵坐标 完全性的，但是对称之后，大家看，咱把这一段四十五度对称完，跑这来了，还是水平关系吗？就不是吧，应该是竖直关系，他们的横坐标现在变成相等的了， 所以两个点横坐标相等，意味着无论我去看上面这个角，还是下面这个角，他们交点的横坐标就代表着他们的 cosine 值一定是相等的。 所以就像刚才说的，虽然这道题有两种情况，但是最后答案算完，无论是上面的贝特角还是下边的贝特角，扣三一只都等于五分之四。 虽然不影响答案，但是我还是要给大家讲一下，因为这里面隐藏了一个深刻的教训，三角函数值虽然固定了，但是角阿尔法一定只有一个吗？ 一定，他有可能有无数个，有很多个未来。有些题目就在这视频的后面，我们需要对一些阿尔法教进行讨论。 ok， 这是第一种类型题，用三角函数定义去求值。那接下来咱给大家稍微拓展一下，看看。第二类问题，用三角函数定义如何求范围？ 题目中说啊，现在叫阿尔法，我们设定在零到二派之间，零到二派在哪？这是零转一圈，是二派啊，所以就是设定在转一圈的这个范围内。他怎么样呢？他说是二倍三亚尔法小于等于一，那很显然，三亚尔法咋样？ 那就小于等于二分之一呗。最后问我，阿尔法的取值范围是多少？很多宝贝在刚学三角函数，看到这道题的时候多少有点蒙，我们刚才是给我角在哪，让我求他的三 角函数，现在反过来，他给我的是三角函数的范围，让我求角的范围。这个方向说实话肯定比刚才要难。 那我们能用的，我们会用的。对不起，就只有俩字叫定义。定义？说啥呀？说我们的这个赛尔法是什么？是单位源上点的什么坐标来着？ 是纵坐标对不对？所以相当于这道题问大家啊，单位员上哪个点纵坐标比二分之一要小啊？哪是二分之一？这纵坐标是一，纵坐标是二分之一的这个位置再画条线啊，对应的焦点一个是他，一个是他。 现在我们要的是小于等于二分之一，所以在这条线之下，所有圆弧上的点我全都要。那问题来了，我们如何通过这一段圆 圆弧得到角阿尔法的范围呢？我们知道，想知道阿尔法范围，咱得先找他的中边在哪吧。如果我们的中边想跟这绿色圆弧有交点的话，中边大家看看能咋画， 咱就从零开始转哈。啊，那我发现在零的位这个位置好像的确是有焦点，对不对？好，我转转转转转动到这个位置，应该是一个临界条件，因为我再往上转之后，我发现他跟我想要的这段绿色缘故没有焦点了。啊，这没用了啊，所以我第一段反应该是零到这个角度， 第二段范围，我从这开始转，从这个角一直转转转，转动到多少呢？转动到二派，因为我要的范围就是在零到二派之内，所以接下来这个角度是多少也对我至关重要。那很显然，左右两 两个角应该是对称的。那现在问题是，谁的撒影值是二分之一啊？斜边是一，这是二分之一，这对应哪个角？三十度所对直角边是斜边的一半啊， 因此这角是六分之派，对你的另外一个角，跟他互补的应该是六分之五派，是一百五十度。 那答案蹦出来，我能要的范围从零度看。好，再讲一遍，从零度转到六分之派， ok， 再从六分之五派转转转，转动到回到一圈来，回到二派，所以答案选 d。 因此，以后如果大家遇到已知三角函数，无论是赛还是 cosin， 它的范围反过来让我求阿尔法角范围是多少的时候，我可以利用定义来做，可以利用画图找 焦点的方法来做，那我相信，哎，光讲这一道题，大家肯定觉得，哎呀，太不爽了，那我再给大家举一道题，让大家爽一爽。类似的，现在让在零到二倍之内视得 sine x 大于 cosinex 成立的 x 的取值范围。 很多宝贝一看这，哎呦，这不会了，这跟刚才有啥区别呢？这两边都有三角函数值，我怎么办呀？难道咱能把扣三 x 除过来吗？ 有的宝贝肯定特别冲动，想除过来，能除不？不能除，因为除过来咱得考虑扣三 x 到底是正是负。咱得考虑变号的问题。我们扣三 x 在零到二拍这转一圈的过程当中，他在一四象限是正的，但是他在二三象限是负的，对不对？ 所以他有正有负不好处，那我怎么办？大家把那两个字打在屏幕上，在哪啊？在这看定义。 定义说什么？说 saix 就是单位元上点的纵坐标， cosix 是单位元上点的横坐表。 所以虽然他给我的是赛和扣赛，但是我真正做题的时候，我可以把它想象成单位元上他的纵坐标 y 大于 x， 我去画 y 大于 x， 满足题意的这个范围。啥叫 y 大于 x？ 如果大家不知道哎，我问大家， y 等于 x， 大家会不会画， 哎，那大家就会画了哈。这是 y 等于 x， 那我想用这等号变成大于号，那么很显然需要我这个 y 在原来这条直线的基础上变大。 我要取比这条直线纵坐标还大的那段范围。那大家来看，就这么一个单位圆， 哪段在这条直线之上啊？是不是这一段啊？在这条直线上面的区域叫 y 大于 x， 他下边的区域叫 y 小于 xy 等于 x， 是两个区域的分界点。 好了，我知道取哪了，我就取上面那段圆弧，那这段圆弧对应的取值范围多少啊？这是四十五度，咱从四十五度四分之畔开始取，我们逆时针旋转，这个角越来越大，越来越大，但是大到什么为止嘞？大到这个地方为止就不能再大了。 所以两个临界条件，一个是四分之派，另外一个我们在四分之派的基础上再加一百八十度，再加个派，应该是四分之五派。答案就是四分之派到四分之五派之间，选的应该是 c。 以上就是有关三角函数定义的内容，我们讲了三角函数就是单位元上点的横纵坐标，横坐标是 cosine， 二发纵坐标是塞尔尔法。而且我们能用这个定义干很多事， 比如求个值啊，或者再难一点，求个范围啊，我们都能用定义来解决。晚节撒话。

hello， everybody， 我是神奇小猪。有关三角函数我们已经出了很多期视频了，那么今天我们稍作休息，在讲更难的问题之前，把前半部分三角函数的一些大家可能并不太熟练，甚至连听都没听过的解题技巧，帮助大家插缺补漏， 咱教几个必会的做题妙招，绝对能让大家开开眼。那废话不多说，我们正式开始。 首先我们来介绍一个有关同角三角函数的常用技巧，咱直接以到高考题为例，很多宝贝一看，哎呦他告诉我多少 q 赛加多少赛等于多少，他就很冲动， 这一个方程里面有俩位置数，我这三人扣三人都不知道常规思路都怎么做呢？三人方加扣三人方等于一吧。所以按理来说，俩位置数两 假方程咱就能解了呀。比如咱直接把第一个式子带入到第二个式子里面去，把口塞解成负根号，五减二位三元法。然后我就建起来一个有关 sign 的一元二次方程。这方程能不能解？当然能解， 但是我要提醒大家一下，这题的出题人比较善良，这个方程化减完每一项系数都不大，当然我们可以用求跟公式来求，对不对啊？说什么三加二法等于二 a 分之副 b 加减高加 b 方减 c c 啊，把它这些值啊都求出来。但是用解方程的方法对于有些题目来说特别麻烦， 很多情况下这个二次方程的 deta 特别难求。所以今天给大家介绍一个全新的方法，叫对偶式，什么时候用？当题目中出现一个条件叫多少 side 加多少 cosine 等于一个值的时候，我们就 大胆利用队友式，具体怎么做呢？我先把这条件抄一遍， cosine 加二倍赛已知是负根号物。什么是队友式呢？我把式子里面的 cosine 换成 sigh， 把 sigh 换成 cosine， 中间的正号，我变成负号。 那新得到的这个式子就是原来的对偶式。那我们想象一下啊，假如咱能把这式子的值求出来啊，这个就是一个二元一次方程组了吧。解这个新方程难度比刚才简单的多，因为刚才是啥方程？ 刚才如果咱连例三，一方加扣三方等于一，这实际上是一个二元二次方程，能解，但计算量大。所以所有的问题就落在了啊，那这个对口是这值怎么求呀？大家看好，我现在还不知道他是几啊？我是 x， 我们先把第一项左右平方，哦，那左边就是一个哎，完全平方四倍展开出来，应该有三项，口，三元方加四倍，三元方加四倍的三元成口三，右边平方就是五。 紧接着第二项我也平放，左边还是一个完全形式，右边是 x 方，那左边变成三方加四倍，扣三方 减四倍，三一乘扣三，这值等于 x 方。好家伙，我平放完这俩式子有关系哎，三方扣三方 算一方扣算一方，这一正号一负号，哎，咱干个什么事就好嘞，咱把这两项咣当一加，他俩加完是一，他俩加完也是一，但前面有四，就加四，还没完，上面是正的，下面是负的，加完没了， 右边就剩了五加 x 方。然后我惊喜的发现，哦，五等于五加 x 方，那你说 x 等于几？我老了，现在都会了， x 等于零。 既然 x 等于零了，谁是 x？ x 不在这呢吗？这一项他就是个零。最后他问我 tangent， 那就如梦中捉鳖，咱一个项， sine 阿尔法等于二倍 cosine 阿尔法，那么 tangent 阿尔法把 cosine 除过来，就等于二选 b。 这道题他出的比较小啊，咱解完这 x， 他正好是零，所以就直接把 tagnar 发求出来了。那接下来我们给大家介绍一下队友式的一般形式怎么操作，当题目中出现多少三人加多少 cosine， 我不怕，我直接把他队友式写出来，把 sign 变成 cosine， 再把 cosine 变成 sign， 对称着写，中间如果是加号，我变减号，中间如果是减号，我变加号。然后我就想，如果我能把这个直求出来就好了，就能建起来一个二元一次方程了， 那这值究竟是多少？怎么解？我先给大家推倒一下，接下来是推倒过程，怎么推来着？咱们第一项平方， 左边平方呢？有三项，第一项方加，第二项方加二倍，两者成绩，右边是 c 方，哎，第二项我也一样，把它也平方还是一样，左边有三项。大家可别觉得这字写的太多了，这不浪费时间吗？注意，这是推倒过程，一会我们就直接写结果了，中间这些都不用写， 俩方针，我这么一相加，第一项加完是 a 方，第二项加完是 b 方，第三项一正一负加没了， 右边直接写 c 方加 x 方，这就是队友是最重要的一步。以后啊，咱再遇见这式子，中间过程推倒都不推倒了啊，直接 a 方加 b 方，等于 c 方加 x 方， 也就是两个系数的平方和等于右边的平方和。通过这个式子把 x 算出来之后，咱解一个初中生就会的二元一次方程就能把三和扣三全都求出来， 所以队友是简单的点在哪？以往的常规方法，我们解的用三方加扣三分等一，这是一个二元二次方程，计算量肯定大， 但是队友式的方法，这一算他是一个二元一次方程，计算量一定比刚才小。那光说不练假把式，咱们再来牛刀小试一下， 咱们在刚才的基础上再稍微难那么一点点。看好哈。题目又是给我多少三一加多少扣三。以前怎么做啊？咱写出来，三一方加扣三一方等于一，然后把三一单进来，三一单进来，那就是五分之二减二倍扣三，平方完再加扣三一方等于一。化解一下 啊。前面是一个呃，玩具平方公式，这数带着分数的老恶心了。四倍扣三元方，再加一倍扣三元方等于一， 继续化减。呃，五倍扣三方减五分之八倍扣三。二法再减二十五分之二十一等于零。 做到这我已经解不下去了，大家可以想象一下，这玩意都大分数，你用 deta 用求根公式 b 方减 c， 咋算呢？太麻烦，所以强烈不推荐大家用这种 方法做，他有的时候出这数就是恶心你。所以我们尝试使用对偶式来爽一爽。已知三加二倍扣三，他的对偶式咋写啊？把塞改成扣塞， 扣塞写成塞，中间正号变负号，负号变正号，符号相反，这值是多少我不知道。设为 x， x 具体是几，怎么解来着？不推倒了，前面系数都是一 系数的，平方和一方加二方等于右边俩数五分之二和 x 的平方和，也就是二十五分之四，再加 x 方， 太快了，我直接就把 x 解出来了， x 方等于二十五分之。呃，解完二一百二十一， x 两个减正负五分之十一啊，坐到这有的同学要闹了，这笔刚才难在哪。这解完居然有两个之 两个字，咱也不怕呀，两个字太正常了，简单方法我都不讲了，咱直接就最笨的哈，把这正负五分之十一都带进来。有两组解可不可以？当然可以， 二元一次方程组吗？多好解呀。那我帮他解一个，比如说他是正的。初中怎么讲呢啊？如果我想消赛的话，一个是一倍赛，一个是，呃，负二倍赛，所以我可以先把第一下啊。如果我们乘个二的话，二倍赛加四倍扣赛等于五分之四， 那一三两项相加一，正一负四倍加一倍变成五倍了哦， 五倍扣塞五分之四，加五分之一，五分之十五就是三，所以解得第一组结扣塞尔法等于五分之三。像样的塞我也能求五分之三带进来等于负五分之四 四那类似的。那如果这 x 取负之类也不怕呀，咱就加个符号呗，别的做题过程一点没变，我还把一三两项性加二倍三，负二倍三，加完没有了，右边还是五倍扣三法尔法， 只不过现在啊，加谁了呀？五分之四加负五分之十一，那是负五分之七，所以五除过去扣三二发就等于负二十五分之七 赛咱相应也能解。那关键问题是这两租企咱要哪个呀？是都成立吗？人家这范围白给你的呀。 阿尔法在哪？人家那是二分之派到派的第二象限角对不对？第二象限，那扣三一定横坐标得是负的，纵坐标得是正的。只有第二组结合是第一组， 根本就不可能存在，所以答案蹦出来算一场口塞负六百二十五分之一百六十八，够恶心。 以上就是有关对偶式的解题技巧，别嫌烦，再说一遍，什么时候用啊？只当题目中给我多少倍三加多少倍扣三等于几的时候使用，我把它对偶式写出来，那究竟这个值是几？没关系， a 方加 b 方，等于 c 方加 x 方，解除 x 之后解一个二元，一次方程组就结束了。 接下来我们来看第二个技巧，巧用三角函数定义。讲了这么多节课了，三角函数定义是啥呀？他是这角的中边跟单位圆焦点他的坐标。我们把纵坐标这长度叫塞尔法， 横坐标这长度叫扣三尔法。纵坐标比横坐标叫贪，真的尔法。所以三角函数的值是单位元上的点，这个定义其实特别特别特别重要。有的时候看着是一道三角函数的题，如果你不会做的话，把它变成元上点的坐标 反而更简单。举个例子，这是北京卷的一道高考原题，他说啊，现在平面直角坐标系里面 a、 b， c， d， e， f， g， h 这四个实线的小圆弧咋的了呢？啊，这个是圆的方程啊，这个方程其实就是单位圆的意思，大家高二会学到，半径唯一的圆， 现在点 p 在这四段中的一段上，然后 o p 是他的一条中边啊。现在问，如果满足 cosin 小于赛满足这个条件的话，那 p 点究竟在 在这四个圆弧中的哪一个圆弧？你说这题出的损不损？难道咱真的一个圆弧一个圆弧的去判断把屁点哎，变利四个圆弧，然后找他的三一扣三值，然后比大小，当然这么做吧，的确能做。 那今天我们给大家提供一个更简便更直观的判断方法，那就是利用三角函数的看好那俩字，顶一。 题目确实是给我哎，三角函数的比加的大小关系，但是我一定看成三角函数吗？不一定吧，我可以把塞 看成单位元上的纵坐标。 y 不就是塞吗？我把 cosin 看成横坐标， x 不就是横坐标吗？摊着的是啥玩意来着？不就是 y 比 x 吗？所以现在我把它翻译成 y 比 x 小于 x 小 与 y， 这是一个连等式，我把它分成两个不等式来看。第一个不等式比较简单的啊， y 大于 x， 啥叫 y 大于 x？ y 等于 x， 大家会不会那是一三相线的角平分线，这是 y 等于 x， 但是现在这 y 要比 x 要更大， 纵坐标要更大。我要取这条直线上半部分在这条直线之上的区域里面，才能保证 y 大于 x。 所以我只看右边这一个不等式，就已经能排出一个答案了。 ab 在这个粉的区域里面吗？好像不在，对不对？所以 ab 肯定不对啊。那不选 a 呗。那另外三个元物咋判断？那选 b 选 c 还是选 d 呢？小笨蛋，这不还有个不等式的吗？这不等式有的同学一手痒啊啊，你把 x 乘到 那边去，直接乘了，能乘吗？ x 正负还不知道呢，这不等号变不变号啊？所以要分情况讨论。第一种情况，当 x 大于零的时候，那咱乘完两边乘完 x 呢？的确是不变号，但如果当 x 小于零呢？这不等号，小于号要变成大于号了。 就我们分别来看两种情况，第一个， x r 零意味着我只选 x 正半轴的部分哈，那什么叫 y 小于 x 方嘞？跟刚才一样，小于号咱不会，等于号咱还不会啊。 y 等于 x 方，那是一条开口向上的抛物线吧。注意哦，这抛物线我不是随便画的啊，为啥我不给他收一点画？那是有原因的，这条抛物线得经过一一点，得经过这一点呐，你画太小或者太大，就不经过一一点了。所以按照这 这种情况来说，我们要的是当 x 大于零的时候。当 x 大于零的时候，在这一段取什么部分呢？取 y 小于 x 方， y 要变小，纵坐标要变小，我取这条曲线的下方。 所以很显然，这个 cd 在这条曲线的下方吗？不在吧，那 cd 是不就不能要？那我反而应该要谁呀？往后看，当 x 小于零的时候， y 要大于 x 方， x 小于零，那不就 y 轴的左侧呗。 咱要找这纵坐标比 x 方大，要找比这条曲线还高的区域。那这段区里面有没有圆弧？有没有我想要的部分？有，就是 e f， 所以直接 选 c。 这就是一个比较直观的利用三角函数定义的一个解法。这种题的核心就是题目中出 现三角函数值，我把三角函数这个值看成单位圆上点的坐标值，把一个有关三角函数的代数问题转化成一个图形的几何问题。 如果一道题在明面上，它非常明显的靠你诱导公式，如果人家都出现了啊，什么 say 二分之派加阿尔法啊，出现了什么 cosin 二分之三派减阿尔法，咱无非就是把这俩式子化减一下。这种诱导公式的考法太低级， 真正稍微难那么一点点的题都不会这么考，他会把诱导公式藏在题目当中。大家看，现在说了啊，角 a， b， c 是锐角三角形的三个角，问下面结论哪一个对，哪个不对？这是一道多选题。首先来看 a 选项，哎，他跟我说 塞 b 加 c 等不等于塞 a？ 好家伙，这两边一个式子里面居然有三个角度，挺烦人的。但是我问大家三个角度 bc 和 a 之间有没有关系啊？人家说呢，是在一个三角形里面的，所以天然的我姥姥都知道，那 a 加 b 加 c 得等于派吧？ 所以题目当中是 b 加 c， 我怎么写啊？ b 加 c， 我可以写成派减 a 吧？所以实际上我们真正要证明的这 a 选项对不对？我只要看这 sign， b 加 c， 我不写 b 加 c， 我写派减 a， 是不是等于三 a 不就得了吗？这非常明显的在考诱导公式吧，大家可以用即便五遍符号看象限去做，当然我们也可以画图来做，利用三角函数定义，如果这是 a， 那派减 a 跟它互补的，那就对称呗。我太舒服了， 这俩角三一直我看纵坐标就得了，纵坐标那是一模一样，所以相等 a 选项说的没错， 接下来来看 b， 那还用我说吗？他给我写 a 加 b， 我真的用 a 加 b 来算， no， no， no， 我把 a 加 b 写成派减 c 好不好？ oh， 所以我只需要证明 sine 二分之派减 c， 也就是二分之派减二分之 c， 它是不是等于 cosine 二分之 c 来了？二分之基数派基变偶不变，基数派前后函数名要变，前面是塞，后面是口塞。他说的没错，那究竟，哎，这前面要不要加符号啊？符号看象限，咱就看这角具体在第几象限， 我们把这一部分想象成一个锐角，这是诱导公式的内容哈，不会的宝贝赶紧去复习。诱导 是脑中画图。二分之派减锐角，二分之派是九十度，我九十度减个锐角跑第一象限去了。第一象限无论三人扣三还是贪人，一定是正的，所以这个地方我只要添一个正号就好了。 b 选项说的也没错。 那想想这道题其实就是想讲 c 选项，还有 d 选项 c 选项。哎，他比刚才难在哪？他不是等式了，他是不等式，而且左右两边的角啊不一样，函数名也不一样，啥都不一样，这咋比呀？ 你别说，还真能比。这其实是一个有关锐角三角形的二级结论。注意哦，只对锐角三角形才成立。那一个三角形里面有几个角啊？一二三，哇，一个三角形里面有三个角，这三个角之间一定有 一个不等关系，任何一个角朱一欧是任何一个角的三，一只一定大于另外一个角的扣三一只，这俩角随便选俩不一样的角，他永远成立。 我写三 a 大于扣三， b 成立，我写三 a， b 大于扣三 a 成不成立， a 也成立。就是一个角的三值永远比另外一个角的扣三值要大。 这究竟是为啥呀？我简单给大家证明一下，这是一个非常经典的证明，大家来看，想证明他，哎呦，我先找找 ab 关系吧。 我们知道 a 加 b 加 c， 他等于派锐角。三角形啥意思？这三角那都得是锐角吧？那我就发现了，既然这角 c 是个锐角，那他 很显然就得小于九十度，对不对？就得小于二分之拍，那这 a 加 b 这整体怎么样了？哎， a 加 b 和 c 两个部分相加是一百八，一个小于九十，那另外一个呢？这部分那肯定得大于九十度呗。 啊，这是我们形象的来理解，那如果精确计算也是可以的，咱可以把 c 写成派减去 a 加 b， c 是锐角，那派减去 a 加 b， 这整体就是一个锐角，锐角就小于二分之派那一个项，咱也能得到 a 加 b 大于二分之派。 好了，那这十字我抄一遍有啥用？看好喽，我把 b 移过去，那么 a 大于二分之派减 b， 我把左边右边看成两个不同的字，变量。大家还记不记得穿衣服呀？咱们在单调性里面讲过，如果一个孩 函数，它是一个单调函数，那么当 x 一大于 x 二的时候才能咋样？两边套一个 f， 这对应法则套完之后，如果是增函数，不等号一定是不变的。所以现在这是一个不等式，左边大于右边，我两边同时给他穿件衣服 赛 a， 右边穿完赛二分之牌减 b， 那我穿衣服，这不等号符号变不变，我要看赛的增减性。 那要同学要奇怪了，我觉得这么做肯定不对，因为三一根本就不是单调函数啊，人家不是有增有减的吗？ 人家不单调，怎么能穿衣服嘞？小笨蛋，他整体的确是浪线，但是他有没有单调区间？有吧，我们来算一算这俩自变量都在哪个区间里？ 首先，角 a 啥角？锐角？哎，锐角呢？是不是就在零到二分之派之间呀？他在一个单调递增的范围内， 再来，二十分之外减 b 在哪个范围？ b 也是一个锐角，咱一个九十度啊，随便减个锐角能减出来钝角不？答案，不可能是钝角对不对？肯定还是锐角， 所以搞半天发现左右两角都在一个单调增区间之内。那我套一个增区间的对应法则，不等号方向不变吧， 而且我还知道，哎 sai 二正派减 b 等于谁来着？即变偶不变，他是不是扣散 b 啊？这不是诱导公式吗？所以一下我们就得到了，散 a 大于扣散 b， 咱就挣完了啊。当然注意，虽然我们这挣的是散 a 大于扣散 b， 我这 a b 是随便取的，我挣的是 a b， 我可以给挣 a c， 我可以挣 b， c 都可以。无论这俩角怎么取，只要是锐角三角形里面的角，那其中一个角的散一只一定大于另外一个角的扣散一只。 这个大家要作为结论背下来。这结论为什么之前没讲？因为并不是每场考试每年都考，但是他一旦考了，基本上就是作为一个已知条件，大家如果不知道的话，很多题目真的不好做。 当然这道题考的比较直接了啊。他问我， a sam b 和扣三 a 谁大谁小？一个角的 sam 值应该比另外一个角的扣塞值要大才对，他正好说反了对不对？所以 c 选项说的不对来看 d 地选。人问我， tangent a 乘 tangent b 是不是大于一？哎，有点奇怪哎，题目出现 tangent， 我该怎么办呢？如果出现 tangent， 没思路，没关系，咱把它画成 sign 比扣 sign， 前面是 sign a 比扣 sign a， 后面是 sign b 比扣 sign b。 现在我只需要证明他是不是大 v e， 哎呦呦，同学还是看不出来。没关系，再来大家看，我把下面如果调换个位置， 扣散 b 放前面，哎，扣散 a 放后面，大家再来看。有同学说，哎，我还是看不出来，那我把它圈出来，你能不能看出来了？上面是散 a， 下边是扣散 b。 刚才说啥来着？ 散 a 比扣散 b 大，所有把扣散 b 除过来的话，散 a 除以扣散 b 是不是就大于一啊？类似的，我再画个圈，一个角的散值比另外一个角的扣散值要大，那我把扣散值除过来，散 a b 比扣散 a 是不也大于一啊？哦，哎，俩大于一的数，哎，你乘完能不大于一吗？肯定大于一， d 选项直接选上。 所以你看这个 d 选项，其实就是在考察在锐角三角形当中，一个角的散一针大于扣散针这结论。如果不知道，你说这 d 选项好做吗？还真不太好做。 这里为啥我敢除？为什么不用考虑变号的问题？因为它是锐角三角形，锐角的 sine 值， cosine 值，每一个值都是正的，正的，我除完这符号是不变的。这就是有关锐角三角形的一个小结论，大家要记住喽， 有关三角还是图像有什么小妙招嘞？其实没啥小妙招，就画图呗。第一种题型，哎，他就直接考什么 sine， cosine， tangent 这三图像，基本图像大家得先绘画，那如 我出题人出腻了，哎，这这仨图像太简单，没啥好考的，怎么办？人家给你变个形再来考。那有同学一看，哎呦，这函数这么复杂，我没见过，这我肯定做不了啊， 难道真的是这样吗？大家好好看看，这虽然长得恶心，但是他明显分成两个部分，对不对？我一起画，大家可能不会，那如果我单拎出来画嘞？我问 si x 里面取绝对值，大家会不会？ 它是由谁变的？它是由 sci x 内部曲，绝对是变化而来的，这种变化我们之前的视频里面讲过哈， 变化完图像长啥样？分两步，第一步，把歪轴右侧的所有图像复制下来，像复印机一样，以前咋画，现在我还咋画。第二步，歪轴右侧 是不是画完了？把右侧翻过来对称过来，他一定是一个偶函数，左右一定对称，所以翻过来一个小包包，翻过来一个小包包，再来一个小包包，看懂了吧？以前这边无论长得多漂亮，咱们都不要了，左边的图像对我新函数没有任何影响。 好了， sine 里面取绝对值画完了，那我再问大家， sine x 整体取绝对值会不会？ 这更简单，怎么办？啥叫整体？取决的是里面正还为正，意味着 x 轴上方函数值为正的部分，我直接复制下来，下方怎么办嘞？复的我取相反数就又翻上去了， 所以他就会变成一个 x 轴上方的一个个小包包，有点意思哈。嗯，那我标标 数，这是零，零到二派是一个周期，中间这是派，这是零派。二派好了，我都表完了，现在要干嘛？好家伙，左边函数我画完了，右边函数我也画完了，现在我要把它俩加起来。咋加一段？一段加呗。 第一段，咱先从零到派开始吧。这拱起来了一个小包包，这也拱起来了一个小包包，他俩长得一模一样的，对不对？所以他俩加完小包包加小包包，变成大包包，拱的更高了。原来最高点每个都是一，那一加一是等于几？ 等于二啊，哎，有意思啊，好玩。那来看派到二派嘞，一个是往下拱的负的，一个是往上拱的正的，一正一负长得一样 样的，怎么样了？就抵消了。这么一抵消，我发现函数值不总等于零了吗？所以零到二派的图像咱就画完了。那接下来怎么办？一样的呗，小包包加小包包，大包包 好玩。小包包加小包包，大包包拱起来了，小包包负的加正的，哎，负加正没有了，归零了。最后再来一个正的，小包包加正的，小包包拱的更高了，变大包包。 那我整个函数图像都画出来了，那 a、 b、 c、 d 就如瓮中捉鳖， a 选项，他说是偶函数，这函数是不是偶函数？是不是关于歪轴左右对称的？肯定是。 a 选项说的一点都没错。来看 b 选项，他说在二分之派到派，哪是二分 女派啊？二分之派到派，这是单调， d 减去接没错， b 选项说的太好了。 c 选项他说在副派到派有四个零点，这是副派，这是派零点，那就是函数图像跟 x 轴的焦点有几个焦点？来数一数一二 三三个焦点吧，他说四个，那肯定不对。最后他说函数的值率在零到二之间，那是不是嘞？最低点很显然就是零，最高点很显然就是二，零到二。说的太好了，选上结束。 今天我们通过几道题目给大家进行了一个简单的查缺补漏，梳理了一些我们之前视频里面没讲过的解题技巧，有些题目考的频率虽然不是很高，但是还是希望大家见多识广，把这些技巧应用在对应的题目当中，完结撒花。

这个视频我们来重点讲一讲图像变换。首先最简单的一个变换平移，大家初中就学过那个口诀，叫左加右减，上加下减， 啥意思？但如果有一个函数叫 f x， 它如果往左平移 a 个长度，那它解析式当然也会变了，它会变成 f x 加 a， 称之为叫左加。相应的，如果人家往右平移嘞，我们只需要把它的解析式这里面的 x 减 a， 这就叫左加右减。 那纵向平移就更简单了，我们往上加，我就把整个函数 fx 整体加 a， 往下平移，就对他整体减 a， 这是平移。那么今天这个视频我们重点要讲的新变换叫伸缩。 伸缩分为横向的伸缩和纵向的伸缩。首先来看看横向的，比如现在有一个好好的函数叫 sun x， 如果把这个 x 本身成了个二，变成二 x， 大家会发现整个图像变扁了，变密了，被横向了，压缩了，对不对？ 但如果对 x 乘二分之一嘞，这图像跟原来比，横向拉长了，图像变稀疏了，他变稀了。大家务必要把这两幅图记在脑海里。现在啊，有个好好的函数 fx， 如果把它解题是现在变成 fax， 它的图像会怎么变嘞？当 a 大于一的时候，乘数比一，大乘二、乘三，乘四、乘五，那它图像会便秘。原来这一整个周期啊，是阿尔派，那图像一便秘会怎么样？ 二派的位置就能容下两个周期了，那其中一段一个周期就是派最通。这个图我想非常形象的告诉大家，咱对 x 乘二，他对应点的横坐标原来是二派的位置就缩到派了，这才叫横向压缩呀。 原来图像上所有点的横坐标在新图像上就会变成原来的一半，那反过来，如果，哎小于一，那他横向就拉伸了， 原来是二拍的位置，只能容下一个周期，现在二拍的位置容纳的是半个周期，周期现在其实变得更长了，周期变四拍了，图像被拉伸了， 横向的伸缩，大家只需要掌握这两幅图，纵向也一样。这有个函数叫 f x， 如果我对它整体乘 a， 那 a 如果小于一，举个具体例子，如果我现在乘二分之一，那原来这最高点最低点是一的话，现在就变成征服二分之一了。 如果成了数大于一，比如成了个二，那他纵向最大值变得更大，最小值变得更小，被纵向拉伸。 拼音伸缩挺简单的吧，但其实考试这有陷阱，如果我不说的话，其实非常容易错。我先把他的陷阱给大家讲清楚，再来做高考题。 比如说啊，已知一个函数是三二 x 加三分之派，他说现在要把这图像向左平移六分之派。问新函数解析师长啥样？我们知道左加右减呀， 我往左平移左加，我要对这解析式要加六分之拍。那问题来了， a b 两个选项谁对呀？我是直接对里面这 整体加个六分之派呢，还是紧对这里面的 x 加六分之派呢？正确答案应该是第二个。很多人表示不理解，啊，为啥呀？我从解析式的角度给大家讲 左拼音。咋拼音？我，如果第一开始函数是 f x， 咱把它往左平移 a 个单位，那解题是左加右减，应该是 f x 加 a， 咱们是对 x 加 a。 具体到这道题目，原来人家是 fx， 我往左边一完，新的解析是应该写成 fx 加六分之派。咱应该把这里面所有的 x 变成 x 加六分之派。要变一起变吗？ 所以只针对这里面的 x 要变成 x 加六分之派。咱们横向的平移和伸缩是针对 x 在变，不是针对二 x。 我 不是把二 x 加六分之牌，而是把 x 加六分之牌。记住一句话，左加右减一定是针对 x 在变化。刚才讲的是平移，那现在我变成申诉 看，他说，哈，还是这函数。我把这图像的横坐标伸长为圆的两倍。大家告诉我，横坐标伸长是压缩呀还是拉伸呢？有的人连这都搞不清楚， 脑中想三 x 图像，第一开始这坐标分别是派和二派，我们现在要把它横坐标伸长为圆的两倍， 那意味着原来的派要变成二派，原来的二派要变成四派。那大家自己看嘛，这叫拉伸还是压缩呀？明显有横向拉伸，拉伸图像变疏了，变稀了。 那他解析式咋变来着？原来是三 x， 而是变成三二 x 还是三二分之一 x 啊？脑中赶紧想，刚才那图三二 x 乘的数越大，他越密。如果咱想把图像拉伸的话，乘的应该是一个比一小的数。 所以刚才那道题一定要注意哦。虽然看文字上说我把横坐标伸长为圆的两倍，但是我的解析式表现上，咱要把 x 除以二，原来的 f x 现在要变成 f 二分之一 x。 那又来了，哎，我要乘二分之一，对谁乘？是对这整体乘吗？是把它整体乘二分之一变成 x 加六分之派吗？不是，我们只对 x 看好，是对 x 乘，我只把 x 变成二分之一 x， 那三分之派我连动都不动，这就叫只针对 x 变化，所以答案应该是第一个。 废话这么多，就是想大家做题的时候别做错了，那我们直接扭到小试。这是一道高考原题，说为了得到这个图像，我只需要把他上的所有点怎么样，大家看谁是变化前的图像。你读好题语文，为了得到他， 这是变化后的，这才是变化前的，哼。嗯，所以想这么变的话，很显然咱只是要把五分之派数去掉就可以了呀，也就是我需要减五分之派。 那有同学想，哦，那左加右减啊，那是不是往右便宜五分之八呀？是不是选 b 呀？刚才咋说的是针对 x 变化，是把原来这图像整 体检，咱整体减五分之牌，但是我对 x 是怎么样我还不知道，我把这两项这三提出来， 三一题的话，应该是 x 减十五分之派，所以我想要第一个函数变成第二个函数，这 x 左加右减往右平移的是十五分之派，选的应该是 d， 有意思吧，再来，不够爽啊。再来，以这个曲线啊，叫 cosin x， 还有第二个曲线， y 等于三二， x 加三分之二派。下面结论哪个对？其实就是问你，哎，我怎么把 c 一变成 c 二，怎么变呀？ 啊？做这道题，当然大家可以按照 abcd 的指示，从 a 选项让他这么变一下， b 选项这么变一下，按 c 选项这么变一下， d 选项再这么变一下。但是吧，说实话，太墨迹，我们直接干脆自己想好了哈。 我发现吧，这题出的有点坏，坏在哪呢？这俩函数是不是长得不一样啊？咱刚才举的那些例子，前后函数名是不是没变呀？这函数名咋突然变了呢？能不能把它变成统一成一个函数名啊？大家有没有那种能力？好像有吧，我们是不是学过诱导公式啊？诱导公式不就专门变名了吗？ 什么基变，偶变，符号，汉象线对不对？所以函数明显变的话，我只需要把扣赛 x 写成赛谁呢？注意， 函数名既然要变的话，我肯定是二分之基数派加 x 啊，你要么是正二分之派，要么是负二分之派， 正负，咱选一个是吧？那具体是正还是负？哎，咱符号看象限，如果是正，这俩式子成不成立啊？我想象一下，把 x 想象成一个锐角，那二分之 派加 x 就跑到了第二象限。第二象限的三值是一个正值，所以他就一定等于扣三 x。 这是诱导公式告诉我的啊，这不会的，赶紧调到诱导公式上去看，因为有的时候这个在题目里面他作为第一步，你要是不会的话，整个这道题真没法做。所以现在我还写 cosine 不？ no no no， 我写 c， 一是 side x 加二分之派。然后我去想，哎，他经过怎么样的变化，能变成题目中给我的三二 x 加三分之二派？ 那很显然呢啊，这 x 变成了二 x， 那肯定经过了横向的一个伸缩。不仅如此，哎，这夹的东西也变了，所以他还经历了一个横向的左右平移。那 a b c 呢？他，你看啊，你说是选 a b 把这个横坐标伸长呢，还是把横 坐标缩短嘞？咱把 x 变成二 x， 想象一下，那图像是不是变密了呀？再来强势复习一下哈，把 x 变成二 x， 图像变密的话，对应点的横坐标第一开始是二派，现在就变成派了，原来这么长，现在变短了， 横坐标会变为原来的一半。所以咱是选 a b 还是 c、 d 呀？哪个是横坐标变为原来的一半？当然是 c、 d。 判断完这个，咱们再去想接下来怎么变来，咱们把它缩回原来一半，那么 x 记住是针对 x 在变，那解析式就变成三二 x 加二分之拍了， 仅针对 x 变化。然后我再去想，接下来这一步是针对 x 怎么变？咱先把二分之派变成三分之 二拍。哎，这差多少啊？这口算一下就好啊，这是六分之三，这是六分之四，正好差六分之派，咱需要把这函数啊，整体加六分之派，但这是对整体加，我对 x 加，相当于加多少？咱们俩需要把前后两项合并一下，看一看，把二提出来， 也就是二倍的 x 加十二分之拍，二分之拍照乘左加右减，我对 x 加，那么往左平移十二分之拍，答案选上选 d。 所以大家会发现呢，有的时候啊，这题目当中两种变换一起考，他既考察伸缩变换，又考察平移变换。那我给大家举个例子，帮助大家深刻理解一下。现在我们讨论一个新问题，叫呢，如果我想把三 x 变成他，该如何变换的问题，跟刚才那题其实是非常 类似的，很显这里面既包含了伸缩变换，因为你把 x 变成二 x 了，而且还包含一层平移变换。那有伸缩有平移，我是先伸缩再平移，还是先平移再伸缩呀？这就有两个不同的路径。 那首先我们来看第一个方案，我们先把三 x 变成他所谓的哎，我加三分之派，哎，舒服了，变成 x 加三分之派。 然后第二步，我再把它变成三二 x 加三分之拍。这个路径说实话是比较简单的。第一步，我对 x 加三分之拍，左加右减，我是往右啊，对不起，往左啊，向左平移三分之拍。 那接下来看第二步，咱们好好的一个 x 变成二 x， 图像会变密，横坐标会变短，横坐标一定会变为原来的二分之 之一。这是我们的第一个路径，我们采用的方法叫先平移再伸缩，那如果反过来第二个法，咱们好好一个 x， 如果先伸缩嘞，我先把它变成塞二 x， 然后再考虑平移的问题。那这每一步具体是咋变的？呃，咱首先来看第一步， 简单，跟刚才一样，把 x 变成二 x， 图像变密，纵坐标变小，横坐标还是变为原来的二分之一。 那关键的第二步，咱把这整体加三分之派，那对 x 加了多少？咱是相当于对 x 把二提出来，加的是六分之派，左加右减是往左便宜。六分之派 跟刚才有没有什么区别？当一道题目里面既出现平移又出现伸缩的时候，先平移再伸 缩和先伸缩再平移顺序变了，他其中某些步骤平移的量会发生改变。所以当如果一个函数图像存在多种变换的时候，大家要选好顺序，因为不同的顺序中间到底是怎么走的，他不一样。 以上就是有关平移和伸缩的所有重要内容，那给大家留一道作业题作为今天的思考，我们先一起来读读题啊，他说把 fx 线上所有的横坐标变为人的二分之一倍，那相当于压缩对不对？那我以示意图给大家画一下，大家可能更清楚啊，横坐标变为二分之一， 那接下来把新得到曲线再往右平移啊，新得到是谁啊？我先不说，大家自己去想。我往右平移移了三分之派得到的谁？哎，他把结果告诉我了，哎，你 说有意思不？现在这结果是 sine x 减四分之派，他反而问什么？他反而问第一开始这是谁？这道高考题相当于是反着出的对不对？以前咱是知道第一开始是谁啊，然后经过一系列变换，问鑫函数是谁，现在反过来了，大家怎么做？难道还非得硬着头皮 必须从左往右分析吗？不是吧，咱是不是可以反过来分析啊？怎么反过来？这中间过程你往右平移三分之拍得到新函数，那我由新函数 回去的话，得往哪平移还是往右平移吗？往左平移才回得去吧。那咱得先左移三分之帕，然后最后一步他是横向压缩来的。我现在想回去怎么办？那我奶奶也会了，压缩来，我回去就拉伸 分了呗。就像这种反过来问，我其实也不怕，咱就反过去想，不就得到 fx 解析式了吗？大家先自己做，然后我再来公布答案。三二一， 往左平移，我对 x 进行变换，把 x 左加四分之拍不动，这些就是相当于他是呃，三 x 加十二分之拍，最后横向拉伸。哎，拉伸是变舒了，变稀了。我 x 乘的是二分之一， 把 x 乘二分之一，哪个答案呢？选 b 吧，完美。

医术工艺为公益，更为你。 大家好，欢迎收看艺术公益。本期我们讲的是函数的单调性考点解析，前两节课我们 讲了三角函数的图像变换与对称性，那么我们今天讲的是三架马车的最后一个，也就是三角函数的单调性。 那么三角函数的单调性本质上来说其实就是一个复合函数的单调性，因为一般来说简单的三角函数我们当当然都很熟悉，例如说 y 等于三与阿尔法，他的单调性是一目了然的，对不对？好，这个时候其实我们可以先简单复习一下， 如果说是 y 等于三二法，它例如说题目，我们它的单调增区间是什么？哎，那我们是不是只需要拿出它其中一个增区间，那么这里应该是负二分之派，这里对应的是二分之派 哦，所以它其中一个单调增区间是 alpha， 属于负二分之派到二分之派，对不对？好，我为什么要将这个中间空起来呢？ 我们来想，每一个周期内都有这样的一个单调增区间，这里是不是也有这样一个，每个周期内都有，那我们 y 等于三二法，他的周期是多少？周期是二派，所以我们是不是只要在后面加上一个二派的整数倍就可以了，也就加上一个二 k 派吧，其中 k 是属于整数， 那么这个是不是就是我们 y 等于三二发的所有的单调增区间？当然这是我简单讲一下，如果大家对于这个不熟的话，看一下一数词典就可以了。 但是问题就来了，这是一个比较简单的呀，如果题目出的比较复杂呢？例如说它是 y 等于 say omega， x 加上 five， 它中间加了很多东西，甚至前面还加了个 a o， 后面还加了个 b， 那么他的单调性怎么去处理呢？好，那么首先所有此类单调性的问题是有通法的。 我们我们第一要先确定这个 omega 是一个正值。请注意，如果 omega 是负的，六十是三亿负五， x 加上派怎么办呢？ 那我们就利用正弦函数的基偶性，就可以把这个符号给变正，对不对？我们要确保这个符号是正的。好，只要他确保是正的。为什么确保是正的？因为我们想使用换元法。 我们先第一步 omega 啊，确保是正的，如果不是正的，使用右打公式确定正了以后，我们令它是等于 alpha。 哎，那么此时我们的 y 变成了什么？是变成了 a 倍的三引 alpha 加上 b。 哇，那这个时候一般来说，我们可以再说一点， a 也是大于零的，如果 a 小于零，我们那个图像就反着画就可以了。那么下面的话就是关键了，我们不是将它利用为阿尔法吗？我们 请记住， a 也是大于零的，我们只研究中间这一部分， y 等于三幺二法，它图像是不是这个图像，我们刚才画过对不对？如果题目问我们元函数的单调增区间， 什么叫增区间？就是说 x 递增的时候， y 在递增，这个就是单调增区间满足的条件。哎，那我们竟然是零，阿尔法是等于他的。由于我们说过 omega 是大于零的，那么我们可以得到 x 递增的时候，阿尔法一定递增。 哦，那我们现在就只需要明白，在阿尔法递增的时候，什么时候我们的 y 递增就可以了，对吗？好，我们默认 a 大于零，如果 a 小零，我们把这个图像反过来画就可以了，一样的，对吗？ 好，例如说我们的 a 是大于零的，那么 y 等于三 alpha， 它图像就是这样的。那什么时候 alpha 变大的时候 y 在增大呢？我们 刚才已经给出来了答案哦，所以我们现在就明白了，在阿尔法增大的时候，想使得 y 增大，我们只需要满足他就可以了。但是题目问我们的是什么？问我们的是关于 x 的单量增区加我们的阿尔法是等于什么？是不是等于 omega x 加上 five？ 哎，那我们现在是不是非常清晰了，我们通过 omex 加 five 属于他得到的是关于阿尔法的单调增区间，如果我们通过他反解出来 x 得到的是不是就是关于 x 的单调增区间？这就是我们所有此类题的通法。 那么请记住两部曲，第一步，换圆。换圆的前提条件一定要确保欧米伽是一个正的。好，我们将它换了圆以后，不管中间得的是三亚阿尔法还是扩三亚阿尔法，将它图像画出来，然后我们通过图像来判断增减性，进而 反解出来我们的 x， 就可以得出答案吧。好，我们现在说的非常的耿概，我们不妨拿两个具体的实力进行探讨。好，我们来看第一个。 好，那么第一个就是我们非常标准的一道题了，那么如果大家在期中期末中考试，那么遇见的肯定是这种题型了，对不对？好，这种呢，一定会有这样的什么单调性啊，对称和对称中心，这个正好可以复习一下我们上节课的内容。好，第一，他说单调区间 好，那么单调区间那包含两点，我就只说一点，我例如说我们要求他的单调增区减，因为他的单调减区间其实是一模一样的求法，对吧？好，那我们来看看应当怎么求？哎，第一步， 欧米亚是不是真的是正的？好，所以我们就直接换原法，令阿尔法等于四 x 减去四分之派。好，我们令阿尔法等于他了。以后，那我们来看此时 f x 变成了什么？他是变成了根号二倍的扩散呀，阿尔法加上一呀。哇，变成他，我们觉得还不够，我们来想想，这个单调性与这个加一有关吗？不会，加一只是让我们的图像向上平了，比如说，原来是这样，他向上平变成这个样子， 不会改变单调区间。好，这个根号二对我们的单调区间有影响吗？也没有影响，对不对？他只是改变的是正符而已，也不会改变我们的单调性哦，所以我们只需要研究他中间的 y 等于扩散引阿尔法就可以了。 那我们来看， y 等于扩散 alpha。 哎，他的增区间在哪里？哈？这个图像好像画的有点问题，应该是这样的。对，这是我们 y 等于扩散 alpha， 我们就只能画一个区间。好，那么我们当然也可以把左边再补齐了。好，我们来看他的单调增区间。哎，单调增区间 第一个是从负二分之派，应该说从负派到零，这是我们的一个单调增区间吧。好，那有同学说我用这个可不可以？当然可以，用哪一个都是一样的。好，我们既然知道这个区间了，我们就可以开始写了。好，那么第一啊，我们在阿尔法 属于副派，到零的时候，我们的 y 等于扩散引阿尔法是等单调递增的。好，那么当然我们的周期是二派，所以我们是不是还得加上一个二 k 派，这就是我们 y 等于扩散引阿尔法的所有的单调增区减码，其中 k 属于整数。 好，那么问题来了，我们要求的是关于 x 的单调增区间啊，那没有关系，我们这个时候反解出来就可以了，他是不等于四倍的 x 减去四分之派。请注意，一定要确保 x 前面系数是正的，如果是负的话，我们求助单调线是正好反过来的，那么为了省去这么多的麻烦，我们利用诱导公式把前面系数变正就可以了。好，如果这个地方是负的，我再说遍，例如说我们得到这里是负的，那我们就把这个图像倒着画就可以了，我们就画 y 等于负的扩散阿尔法吧。 好，那我们现在知道这一点，我们再来看它。哎，我们通过它反解出来我们的 x， 它是属于负派，加上四分之派，得到是负四分之三派，乘以应该说除以四也就负的十六分之三派吧。 好，那我们的右边呢？啊，我们右边得到是零加四分之派得到是四分之派，除以四是不等于十六分之派。好，那么再把我们的小尾巴给带上二 k 派除以四，得到的是二分之 k 派。好，同理后 也是加上二分之 k 派，其中 k 是属于正整数，这个时候就是我们的单量增区间了。好，所以我们就得到他所有的单量增区间，对不对？好，那么他所有的单量减区间呢？ 那其实一模一样的求法，我们只需要令阿尔法是等于零到派，同样反解出来 x 就可以得到原还说的单调减区间吧。好，那么所有的单调性可以说都是这样去求，那么这是高中一个非常非常通用性的一个方法。好，那么他说 啊，求我们这个函数的对称轴与对称中心。好，那么一样的，我们只要关于此类函数的，一般是几乎有一个万能的方法，就是把它设为一个整体。我们就研究他嘛，我们来看他，他的对称轴与对称中心在哪里，对不对？好，根号二倍的扩散二法加一。 首先加一会不会改变对称轴啊？他不会，因为我们上下平移的过程中，这个对称轴是永远不会变得。为，例如说这是 y 等于根号二倍的扩三引二发。好，我们现在话说外等于根号二倍的扩三引二发。其实不写根号也可以， 他只是改变正幅，不会改变对称轴的位置。好，那么他加一上上向上平一个单位，哎，他原先的对称轴还是现在的对称轴， 嘿，一模一样哦，所以我们只需要求出 y 等于扩散以 alpha 的对伸轴，对吗？好，那我们来看这个图，它有哪些对伸轴， 哎，是不是歪轴，哎，是不是还有这里？我是不是还有左边这里？好，最高点最低点都是他的对称轴，所以他对称轴的通解是阿尔法等于 k 派，好，对不对？另一方面，我们的阿尔法他等于什么？因为我们要求的是他 它的对称轴啊，应该说是这个的对称轴，不是扩散也 alpha， 对不对？好，所以我们反解出来，四 x 减去四分之派等于它，那么我们通过它是不是就可以得出我们的 x 好？ x 是不是等于十六分之派，然后加上四分之 k 派， 这个是什么？这个是不是就是我们的对称轴啦？哎，所以我们所有的对称轴是不就是 x 等于十六分之派加上四分之 k 派？那么最后最后一定要加上一个 k 是属于整数，不然改进的老师不知道你说的 k 是什么？好，那么第二， 对称中心，那么对称中心，这个时候我们来想与原先的对称中心是有哪些点呢？我们先来看上面这个图吧，看的舒服一点，是不是这个点哦，所有与 x 轴的交点都是对称中心，那在这里的对称中心呢？哎，这个同样是的， 这个图案是的哎，但是向上平移一个单位以后，他的对称中心是不是也向上平移了一个单位哦？所以我们发现这个函数，他与这个函数，或者说与这个函数进行比较的时候，对称中心满足什么条件？横坐标不会变， 对称中心的横坐标不变，但是对称中心的纵坐标是向上平移来一个单位，因为这是加一嘛，向上平移来一个单位哦，所以对称中心我们先求横坐标嘛，然后令他纵坐标等于一就可以了，对吗？好，那么他的横坐标是多少呢？同样的，我们看这一个图， 在这个图中，所有我们的对称中心就是阿尔法，它是等于二分之派加上多少？加上 k 派吧。那因为二分之派，二分之三派，负二分之派，每个之间相距。 嗨，好，我们练阿尔法，它是等于四， x 减去四分之派，同样呢，永远都是。第一步，换元，我们来求简单函数的性值，然后再利用反解出来 x， 对不对？好，我们利用它可以得到 x， 它是等于呃，八分之三派除以四。 哎，这个时候我们还是算一下吧，把它移过去是四分之三派，四分之三派除以四是十六分之三派， 然后加上四分之 k 派，同样 k 是属于正正数的，这是我们所有对称中心的横坐标，对不对？好，我就写个对称中心吧，没有写 是他的横坐标，所有我们的对称中心呢，我就写个中心省略对称两个字。好，那么所有对称中心，他的横坐标是十六分之三派加上四分之开一派，那么所有对称中 中心的纵坐标呢？是不是都是一呀？哎，那这个就是我们的答案了吧，这是不就是我们所有对称中心？请注意，对称轴是一条直线，所以我们写的是他，那么对称中心是一个点，所以我们写的是坐标的形式。 好，那我们将这道题做完了，那么这道题其实是个非常非常标准的一道，求单调性啊，对称中心啊，对称轴啊，都是这样。求，第一步换圆，第二步看图，对不对？好，那我们现在想想，那么有的题他没有这么直接，例如说这个中间是有未知数的，那我们怎么去求他的单调性呢？ 好，例如说，我们来看这一道题啊，他说已知 f x 是等于这个的。哎，这上面我们发现是已知的。好，然后已知我们应该是大于零，然后 g x 等于一个非常复杂的一个数字，哎，我们将它其实代入就可以了，就这样 x 进行个代换。 好，那么接着他说，呃，如果关于 g x， 他在某一个区间上是增函数，要么求 omega 的最大值。我们刚才那题求的是， 如果他是已知的一个函数，要我们求增区间，对不对？那么现在变成了已知，他是一个已，这个函数是未知的，但是我们已知他的增区间要求欧米伽，对吧？那么两种题型方法可以说是一模一样，永远都是换圆两部曲。 好，我们先把 g x 写出来吧，那么 g x 它就是等于 sign 好两倍的，两倍的多少？我们将所有的 x 换为它就可以了，就是 omega x 除以二，加上十二分之派， 将 x 化为它，然后加上六分之牌，加上二吧。好，我们来看得到的是多少？呃，它是等于三啊，二乘以它相对就是 是 omega x， 那么后面是六分之派呢？因为它乘以二嘛，再加六分之派，合起来是不是三分之派？ 哦，这个是我们的 g x， 他说他在这个圈上是增函数，那么其实我们连甚至有一种最简单的方法，首先第一确定我们的欧米伽是正的。好，那我们就利用换元法将它换成一个整体阿尔法。 哎，那么这个时候他变成了等于多少？是不等于三呀？阿尔法加上二了，那么这个二都不需要看，因为这个二确定的是上下平移量，他 不会改变我们的增减区间，对不对？我们来看到他这样上下平移的话，怎么会改变我们的增减区间呢？好，那么他说他在这个区间内是增函数，那么这题当然可以简单一点做法，但是我想用通用的方法去做，他说他在这个区间内是一定是单照增区要求欧米， 好，那我们研究这个感觉很难受，对不对？那么所以永远有通法。他不是说这是啊，我们家的另一个整体阿尔法吗？那我们知道的是 x 的范围，那我们就通过 x 来求出阿尔法的范围就可以了，对吗？好， 我们的阿尔法是不等于欧米伽， x 加上三分之派，那么他是属于什么范围的呢？好，我们将 x 等于他往里面带得到的是负三分之二倍的派，乘以欧米伽。好，加上三分之派。 好，那么我们的右边呢？同样利用 omega 是不是乘以啊？应该说是我们的 x 是不是在乘以六分之派，那么得到的是六分之派乘以 omega 加上三分之派。哦，我们将 alpha 的范围得出来，虽然有未知数，但是没有关系，范围出来了， 也就是说在我们阿尔法属于这个范围的时候，我们是一个单调增函数，那我们现在是什么函数啊？我们现在是不是只需要你研究 y 等于三阿尔法的图像就可以了？我们来看看他有哪些是单调增区间吧。我们来把他的所有单调增区间全部写出来， 是不是从负二分之派到派就是他这个单调增区间？好，那么我们来想想想，我们的所有单调增区间是阿尔法属于 负二分之派到二分之派。好，那么这就完了吗？没有，这只是一个单量争取，由我们所有单量争取，是不是还要加上周期加上二 k 派啊？ 哎，那我们写出这个有什么用呢？我们知道阿尔法是属于上面的，然后我们应该说，我们知道在上面是单调递增的，那么底下这是我们 所有的正区间，当我们上面这个是不是应该是底下这个的一个子级，上面一定是下面的一个子级，对不对？因为只有上面是下面一个子级，我们才能说阿尔法在这个区间内是增函数吧。哦，所以上面的这个区间一定是这个函数中的某一部分， 例如说他是这一部分，对不对？好，那我们就明白了，既然他是他的子级，好，那我们当然不知道我们的 k 应当取多少，那么对于给定的某一个 k， 我们是不是应该满足？既然上面是下面的子级，我们就得确保这个值 是不是要比这个值要大呀？哦，所谓要满足，第一，我们负三分之二派，欧米伽加上三分之派，他要大于等于负二分之派加上二 k 派，这个值要比这个值 大，我们才能说上面是下面的紫吉，对吗？这是我们紫吉的概念，同理，好，我们上这个是不是也要比他要小啊？我们才能得到这是一个紫吉，对不对？上面是下面的紫吉，六分之派，欧米伽加上三分之派， 他一定要小于等于二分之派加上二 k 派。只要满足了这两个条件，那我们就得到上面是下面的一个子级，那么上面这个区间是下面这个增函数区间中的一个子级，那么上面他在这里当然就是增函数了， 对吧？我们现在是把所有的增函数都求出来了，好，那我们来通过他的解了，那解什么呢？解欧米伽对不对？因为欧米伽是我们要求的。好，那我们来看怎么求啊？通过第一个哦，我们求的话，两边这个派是不是就直接全部约掉了哦，所以我们就只用看欧米伽了， 对吧？好，我们可以先写慢一点啊，我们将三三分之二倍的欧米伽移到左边去吧。好，那么他是小一等于右边的话，我把所有的派约掉了，三分之派加二分之派得到是六分之五派 好，六分之五还派约掉了，然后这个是减二 k 派，对不对？哦，所以我们通，哎，把派给约掉啊， 所以我们通过他得到是欧米伽要小于等于六分之五乘以二分之三得到是四分之五，然后二乘以二分之三得到是三 k， 我通过第一个条件得到欧米伽小于他，那么第二个条件也可以得到个欧米伽的范围。 好，那么我们首先第一得到是六分之一倍的欧米伽是小于等于二分之派，减去三分之派是六分之派，除以派是六分之一，然后加上六 k， 二 k 派好，两边 同时乘以六得到，是不是欧米伽小于等于一，加上十二 k。 哎，我们现在得到两个欧米伽的范围哎，那我们应该取哪个获胜？欧米伽的最大值怎么求呢？我们现在怎么感觉没有限定范围啊，他这是一个不定的值呢，对不对？那怎么办呢？请记住，还有一个条件呢， omega 大于零对不对？这样 omega 大于零，这两个是不是都得大于零啊？哎，既然这两个都得大于零，那我们就算算这两个大于零能得到什么？ 好，我们的第一个大于零，我们来看看。呃，四分之五派好，四分之五减去三 k， 他为什么大于零？因为他大于等于欧米伽， 然后 omega 是大于零的，对不对？好，所以我们就得到它是大于零。好，那么它大于零，我们可以得到。由，呃， k 是大于，呃，应该说是 k 是小 小于啊，小于十二分之五，对不对？好，另一方面，我们通过底下这个，同样利用他大于零可以得到，我们有十二 k 加上一，他是大于零的，所以 k 也要大于负的十二分之一。哎，那么综合起来，我们可以得到 k 的范围啊， k 是大于负的十二分之一，小于十二分之五。哎，我们的 k 是整数，对不对？我们所有单调争取间中 k 是整数，那么 k 是不是只能为零了？ 哎，既然 k 为零，我们知道了，那么他取的是下面这个的单调增区间中的哪一个呢？是取的 k 为零的这个单调增区间，对不对？哦？所以他取的是从负二分之派到二分之派，他就是取了我们图中画的这一段的单调增区间中的一部分。 好，我们现在知道 k 为零了，那接下来我们是不是上面这两个就可以得出来欧米伽的范围了？好，所以欧米伽是小于等于一，我们通过这个得到是小于等于一。 好，那么通过这一个呢？得到是小于等于四分之五。好，那他又小于等于一，又小于等于四分之五，我们这两个得同时满足，那当然就是最大值就是欧米伽要小于等于一吧。哎，那我们是不是就可以得到？哦？所以欧米伽他的最大值就出来了，是不是就是等于一， 哎，那么这题与上一题不同，我们会发现麻烦一些，为什么？因为这一题我们的函数是未知的，但是方法是一样的，我们现在函数未知好，那么同样的将它设为一个整体，好，他说这个学员单调递增，我们就求出阿尔法的方位，哦，阿尔法在这个上面是单调递增的，那我们求出所有 单调增区间。哎，那么这，这是所有的单调增区间。我们说阿尔法在这个上面单调地震，那这个肯定是上面下面的一个子级了，既然是子级，肯定满足这个条件，同样可以求出阿尔法的范围，对不对？ 我们发现这两道题的方法虽然有所不同，但是他们的核心点永远是一样的，所以我希望大家能够知道本节课讲的重点是什么。我们的核心就是，第一，我们将中间设为一个整体， 请去记住，确保 omega 的系数是正的。好，那么 a 前面系数如果是正的，我们就画 y 等于三也二法， 如果 a 前面修饰负的，我们就画 y 等于负的。三引二发的图像就行了，对吗？我们研究这个函数的增减性，好，当然有可能是括三引了。好，我们研究最基本函数的增减性，然后反解出来 x， 就可以得到答案吧。这就是我们单 单调性的通用解法。所有在我们三角函数中遇见的关于我们的平移，就是我们的图像变换与我们的对称心与单调性。这三点很多同学总觉得很难受， 就是对于这个函数的研究，很多同学总是把握不够，那么希望大家通过这三节课能够进行个完整的了解， 每一个方法都有通解，我们的平移是有通用的平移方法的对不对？第二个对称性，我也为大家讲过对称性所有需要满足的条件，那么同样的使用对称性也是将它设为一个整体，那么单调性的话也是有同法的，将它设为一个整体就行了，对吗？所以说三角函数的 题是最容易拿到满分的，因为三角函数的题套路性真的太强了。如果大家还觉得学的不够，我们可以再多听两遍，然后多做几道练习题，我觉得肯定 就没有问题了好吗？好，那么本节课就到此讲完了，谢谢大家的收听，再见。医术这么好，真的不关注一下公众号吗？宝宝会伤心的。

我们学完了赛 x 要怎么画？那 cosin 咋画呀？最笨的方法，哎，咱把这 x 取一些特殊点，什么三十度，六十度，九十度，哎，把一些特殊点的三角函数全都算出来，可不可以？当然可以，但是还是那句话，太笨。 我们介绍一个神奇的方法来画图啊。塞和扣塞有啥关系啊？咱在诱导公式里面学过塞 x 加二分之派，经过诱导公式推导，他正好等于扣塞， x 咋推倒呢？哎，那去看诱导公式，这视频我不重复了哈。这个视频的关键是我们怎么通过 sine 图像画口塞来看好，我们只需要想办法，哎，把 sine x 变成 sine x 加二分之派就行了，对不对？我们初中就学过呀，如果咱对 x 加上某一个值的话，哎，满足什么来着？是不？左 加右减呀？左加右减，好家伙，这不正好是加法吗？所以我只需要把整个函数给他，往左平移二分之派不就得了吗？我要画图了啊，好好的一个函数， 哈哈，有点丑。把它往左平移二分之派，得到的这个函数 就是 q 三 x 图像。那肯定有宝贝说，哎，这是我没懂，没懂没关系，你就当我在放屁。大家只需要记住，三 x， q 三 x 图形长得那是一模一样的，只不过存在一个左右平移的关系。 原来这三 x 是关于圆点对称的，它是一个纯纯机函数，但平易完 cosine x， 它在原点处取得最高值， y 轴是它的对称轴， 他变成一个偶函数了。接下来我们来仔细研究一下蔻赛他的图像的性质。赛 x 咋研究，蔻赛就咋研究呗。定义域在哪？定义域 x 能取任意角， x 是属于 r 的 值欲咋回事？最低点是负一，最高点是一负一到一又输负了。对称轴在哪？我直接写，这是对称轴。这是对称轴。这是对称轴。这是对称轴。对称轴居然有无数个，所以呢？我取其中一个，我最好写的。谁最好写歪轴呗，我就取 x 零是不是对称轴？ 是。那接下来咱想这一个对称轴表示出其他所有的对称轴。那就是看看这不同对称轴之间相距离多少啊？差多少？这不差一整个派吗？对不对？我加派，加两个派，加三个派，我减派，减二派， 减三派，其实都是对称轴，所以在零的基础上，我加 k 派，其中 k 属于 c。 哦，再来对称中心。哪是对称中心啊？这是对称中心，别干错了啊。 q 三 x 所有的零点，所有跟 x 轴的交点，这才是对称中心。怎么办？我先写出来一个其中最简单的。哎，我写二分之派零好不好？这肯定是一个对称中心了。那怎么用它 表示出其他对称中心？这其他对称中心？每一个对称中心之间的距离都是等距离的。都差多少啊？都差周期的一半差派。所以我可以在此基础上加 k 派，加一倍派，加二倍派，加三倍派，加几倍的派，都是对称中心。 最后单调性也一样啊。我就取，呃，增区间吧。增区间怎么写？增区间？对不起，有无数个。这， 这也在增，这也在增，怎么办？咱先取其中一个最简单的，这左端点是派，右端点横坐标是零，所以我就取副派到零。舒服了，但是完了吗？没有， 如果我把整个这一段往右平移，一整个周期啊，是一整个周期，从最高点平移到下一个最高点一整个周期。这个距离是二派 平移二派之后再平移二派，他总是增区减，所以在原来的基础上加二派的整数倍，也就是加二 k 派化减一下就是他的增区减了。副派加二 k 派。逗号，二 k 派 k 属于 c， 完美啊。最后也是最简单的性质。这周期函数最小正周期是多少啊？那跟三 x 是一样的喽。我从一个最高 高点运动到下一个最高点，同一个点之间距离应该是整整一个周期为二排。以上。这六个性质大家还是一样的哦，要自己会手推。有了图像，有了性质就能做题了。 来，咱做一道题啊。他说已知啊，一个方程 cosin x 等于 m， 在区间上恰好有三个减，这三个减这样的，然后问实数 m 的值是多少，够恶心的，但是我知道这道题 cosin x 图像我不画，这题是做不了的，所以我直接画图。 cosex 是由 y 轴的最高点运动下来，再下去到派曲的最低点，再上去， 上到最高点，完成一整个周期，再下来，下到三派。好，现在人家娶谁。二分之派到三派之间的这个位置，我接一下， 他说怎么样嘞？这 cos x 等于 m， m 是啥？ m 是一条水平直线呀，这条水平直线有三个结哎，有三个结就意味着图像上应该有三个焦点，对不对？我这有几个焦点？这是有两个焦点是不符合提议的。怎么样能有三个焦点？这直线得往下移吧。 这个时候是不是才有一二三三个焦点啊？好，我舒服了，我找到 x x 二 x 三的位置了，大致位置就这样呗，第一个点 x 一， 第二个点 x 二，第三个点 x 三。现在人家问，如果 x x 二 x 三满足这个关系之后啊，这实数 m 是多少？其实就让我精确的找到这条直线具体在哪，这条直线的纵坐标到底是谁呗？哎，那我们来看一看唯一的一个条件，就这个条件， 这条件咋翻译啊？这作为一个等式，里面显然有三个变量，对不对？三个变量咱能直接解出来吗？三个变量一个方程解不了，咱是不是得找三个方程啊？ 所以这个问题就变成了另外两个方程在哪啊？ x 和 x 究竟有啥关系啊？来看图，太精彩了！ x x 是关于对称轴一左一右对称的吧， x 二 x 三也是关于对称轴一左一右对称的吧，这函数值想相等，必然关于对称轴对称，这没啥说的，所以对称轴很显然， x 一 x 二关于派对称，那么 x 一加 x 二就等于二派。 咱找到了一个方程，接下来 x 二和 x 三关水对称，关于二排对称终点坐标公式再次运用，那么 就是二倍的终点坐标，等于四排，大功告成。刚才是一个方程，但是现在我找到了 x 一和 x 二的关系，我又找到了 x 二和 x 三的关系， 三个方程，三个位置数，可不可以减了呀？太可以了啊，这咋减呢？有的同学不会哈，没关系，因为呢，我发现 x 也好， x 三也好，都可以用 x 二来表示，对不对？就把所有问题都化成 x 二的问题。 x 二我不动， x 二的平方等于 x 一，我写成看好喽，二派减 x 二，类似的 x 三我可以写成 x 三，在这呢。哦， 四派减 x 二不就是 x 三吗？带进来，所以我就建立起来了一个有关 x 二的一元二次方程。解这方程我想 相信，对于大家的水平来说，那如探囊取物，八派方减六派 x 二，再加 x 二的平方，该约的我约，我约。最后 x 二写出来等于三分之四派。 哦，我解出来 x 二了，相应的 x e 能不能解？当然也能解， x 三能不能解？全能解，但是我没必要解了我这三个点其中任何一个点。我解完之后，它的函数值不就是 y 等于 m 这个 m 的值吗？ 所以 m 是谁？ m 就是 x 二点的函数值，也就是 cosine。 三分之四派。脑中想图或者想单位员都是可以的，三分之一派，三分之二派，三分之三派，三分之四派， 我取它的横坐标，取 cosine。 就是这段长，这段长度是二分之一，但是正的，负的呢？是负的。 最后答案选 b， 我呢是轻松又愉快。做这题真是行云流水，只要把图画出来，几个方程结束了呀。那如果想把题，哎，说的再难一点怎么办啊？刚才这一道题是 cosine 的图像，那大家既然赛和 cosine 都学完了，我是不是就可以 一起综合一下了？现在给大家一个分段函数，这分段函数不知道大家认不认识啊，其实就是一个最真函数。你看它塞大于扣塞的时候，它等于塞塞小于扣塞的时候呢？它等于扣塞啥意思？那不就谁大娶谁吗？ 谁大我要，谁塞大的时候我要塞，扣塞大的时候我要扣塞。所以废话不多说，赶紧把塞和扣塞全都画在同一个平面直角坐标系里面塞画出来啊，受不了。我自己画的是不要太好塞，画完还不行，我 再把抠塞画一下，把刚才画的往左平移二分之派，舒服了啊，舒服了。绿的是塞，红的是抠塞。现在这分段函数是谁大取谁，啥叫大？意味着函数之大，图像就在上面呗。比如说你看这段，那非常显然这段红色在上面， 绿色在下边，所以红的绿的我娶谁，我娶谁大，我要谁，我要上面的部分，谁大我要谁， 谁大我娶谁。好，我一段一段一段全都给他截出来了。好家伙，取的全都是在上面的东西。 所以把两个不同函数画在同一个平面直角坐标系之后，最后咱这么一截，发现哦，这段粉色图像是我们最后要的结果，他问这段粉色图像下面哪个结论是正确？ 第一，他问我，哎，这值是不是负一到正义啊小笨蛋，最大值肯定是一，但是最小值是负一吗？最小值他取到了吗？最小值是这个点呀宝贝们，并不是最低点负一对不对？所以粉丝图像，他说最小值是负一，显然 a 选项不对。 来看 b 选项，他说这是不是一个周期函数？这傻子都能看出来，这纯纯一个周期函数啊，你看，哎，这一个小 m 是不就是一个完整周期啊？ 我把这小 m 往右平移一次，往右平移两次，是不是不断的循环往复的再重复他自己，那他就是一个周期函数，完全没有问题。 接下来看新选项，他说他既有对称轴，又有对称中心，这句话对不对？他有没有对称轴？还真有，比如说你看这个小 m 中间这位置是不是对称轴啊？ 这对称轴左右两侧是不是长得一样的啊？这边撇一下，这边也撇一下，上去了又上去了，长得的确一样，而且这小 m 的最低点这条之前是不是对称轴？也是哎。我右边上去，左边也上去，右边下来，左边也下来，也是对称轴，但是 他有对称中心吗？啥叫对称中心？你得找到一个点，然后他翻转一百八十度的时候呢？跟他自己重合。有吗？ 这哪个点翻转完一百八十度之后重合呀？这是一个美术问题，别打问号，我解释不了。问美术老师，肯定有同学觉得，哎，你这个哎，看着挺像对称中心的呀。你看左边这么画， 啥叫旋转一百八？我把这段图像旋转一百八之后，我这样画才叫把它旋转一百八十度，你看重合了吗？ 根本就不重合，所以 c 选项说的不对。接下来最后一个问题，他问我 f x 大于零的解积是多少？哎，哪大于零啊，咱得结呀，对不对？用黑色吧，函数值大于零，咱就取在 x 轴上方的区域呗。这段黑色的小 m。 那下一段也是一个小 m 啊，麦当劳啊，金拱门。那关键是我们求解集，咱得知道这俩点左右端点对应多少吧。我把这图往大了画， 首先看左端点。左端点是啥？左端点不是红色抠塞图像吗？这得显示负二分之拍啊，不信你就看着抠塞图像，你自己对比着看。右端点是啥呀？ 又短点，那不是绿色图像的零点吗？绿色图像零派二派三派四派， 大家可以对着 side 的图像去看，所以这个阶级很显然其中一段这小拱门就是负二分之派到派之间， 看他写对不对啊？负二分之派到派，哦，写的的确没错，那他为啥要加二 k 派？很简单，因为我们要同样不仅仅这一段，咱是不是可以把它平移呀？平移呀？那平移多少怎么看？ 放大点，我只需要看他相同的对应点之间的距离呗。这距离多少？看图说话，这两个点都在 sine 的这个图像上。这是零派，二派 三派四派，一个派一个三派，距离显然是二派。现在我把这小 m 平移，二派平移，二派就是下一个小 m。 所以这个阶级的周期是二派。那我加多少？我加 k 倍的二派就一定是。最后答案 d 选项说的也没错， 很多同学觉得这三个函数有点难，但是 sai 和 cosin 本质上其实就是一个平移关系，所有 saix 图像有的性质，咱只要把 saix 学好了， cosine 自然而然也就学好了，本质上没有什么不同。

sign 扣伞咱都学好了，那 tangent 怎么画呀？这个我不给大家一点一点描点了哈，我直接把图像拍给大家。 tangent 它本身也是一段儿段儿的周期函数，因为很简单，咱们这角度啊， 是任意取值的，我只要转一圈它的性质，它的图像就会循环往复的出现，最后通过列表秒点连线。 tanden 怎么画嘞？ 他在一个固定区间上，一直一直是一个增函数，由负到正，关键是这两个端点分别是谁？ 他左右有两条渐进线，第一个渐进线是负二分之判，第二条渐进线左右对称的是二分之判。他这个函数值啊，他会无限趋近于正无穷，但是他绝对这个图像跟渐进线是没有交 高点的。为什么？贪婪的怎么能正无穷类？大家想，当这个角无限接近二分之派的时候，当这条角的中边咱怎么画嘞？无限接近于 y 轴，那这个时候他的纵坐标那肯定无限趋近于一， 横坐标肯定无限趋近于零，它无限接近零一点。那 tangent 咋定义的来着？ tangent 是 y 零比 x 零。 那咱这分子无限趋近于分母，无限趋近于零。哎，分母能取零吗？不能取零，所以他才会有这个渐进线， 他才取不到二分之派。而且当他无限趋近于二分之派的时候，你想嘛，分子是零点九九九九九九九，无限趋近于一分母，无限趋于零，我就取零点零零零零零零零零零零一，这一除完，这个值会 相当相当大，最后趋近于整无穷。这就是我们对 tangent x 这个图像非常直观的一个理解。从负二分之派到二分之派，就是他整个图像的一个基本单元， 咱可以通过把这一段平移平移得到下一段啊。那每一段他的这个周期是多少啊？ 注意哦，看着 x 周期，我带着这个轴一起平移，大家可能会更直观一点，他平移多少是下一个周期嘞？我只要看两个对称轴之间的距离是不就可以了呀？两个对称轴之间距离，很显然，一个负二分之派，一个正二分之派，距离是派，他的最小正周期 等于派。它的定义非常关键。是属于 r 吗？ x 有没有一些点它取不到啊？你看这个点，这个点它都取到了没啊？凡是见 近线的位置，他都取不到。其中一条渐进线是二分之派，咱写出来如何用一条渐进线表示出其他渐进线？他具有周期性的，每条渐进线距离是一样的，距离是 pa， 我就加 k pa， 这就是渐进线的表达方式。渐进线写完了，定于预，自然而然就有喽。 x 取不到间接线， x 就不能取 k 牌加二分之牌？这俩最难写的都写完了，别的就简单了。值欲，值欲是啥？他从最低点负无求到最后高点正无穷，值欲属于二 对称中心。怎么求？看好哪是对称中心啊，同学们比较容易找得到的。零啊，派啊，二派啊，副派啊，这些个整数点肯定是对称中心，但是同学们容易落掉的。其实他还有一个对称中心，你看这个点，整个图像也是关于二 二分之派对称的，你看二分之派左侧，哎，这么画，右侧，这么画，关于他一百八十度对称不对称，然后我左边往下，右边往上，对称不？还对称，每一个对应点都关于他对称，你看左边低，右边高， 左边高右边低。因此我发现所有的整数倍的派以及二分之几派，二分之一派，二分之三派，二分之五派，负二分之一负二分之三，负二分之五，全都是对肾中心。最后呢，我就用二分之 k 派来表示了， k 属于 c， k 是基数的时候，代表着所有的二分之基数点，反过来， k 如果缺偶数，代表所有的整数点。你想二分之二就是一，二分之四就是二，所以相当于把零啊， 派呀，二派呀也全都囊括在内了。最后，单调性，单调性这个考的比较少了，这很显然，看着耐克就是从负二分之派到二分之派一直单调递增的呗。别的区间我懒得写了，大家就记住他在对应的负二分之派到二分之派之内是一个增函数就够了。 图像都绘画了，题怎么做呀？最简单的题目，看图说话。他问我哪个是对称中心，我就看呗。刚才都说了，所有的二分之几几派都是对称中心，那哪个是二分之几派？这四分之的肯定不对，只有 d 选项对，选上结束。 接下来给我一个函数，问我，定域。哎，定域？啥是定域？他有对数，那帧数位置得大于零， tandent x 减一大于零呢？ tandent 就得大于一，哪儿是探证大于一？一在哪啊？一， 在这，咱取函数值比一大的区域。那截完的图像，那就是这一段，这一段，这一段，他每一段距离都是类似的，每段距离全都相等的，等于几类，应该是一整个周期。是派啊， 所以你会发现最后他这个答案啊，肯定加 k pad 是对的啊，你看是不是每一项都加了 k pad 哦，没问题。那关键是啥呀？咱只要把其中任何一段他的取值范围找到是不就行了呀？首先左短点，咱把图放大， 这只是几，相当于问大家滩镇的多少度是一滩镇的四十五度是一四十五度，其实就是四分之派嘛。右端点他无限哎，无限往上走，是不是？所以他就无限趋近于渐进线了吧。渐进线是多少来着？应该是二分之派啊，所以其中一段 我就直接写出来了，是四分之拍到二分之拍之内。写完一段怎么写别的段？咱把它简单的往右拼一拍，往左拼一拍，拼一拍，拼二拍啊，拼一副拍啊，拼一副，二拍评一整数倍的拍，在原来的基础上都加 k 拍就行了。所以谁是答案只能选 d。 又是具有周期性函数的，看图说话，有周期性我不怕，我先把一段画出来，然后再把它直接平移，平移平移就可以了，找其中一段，再找不同段之间的距离，就能完美完成任务。 接下来啊，再来，他问我一个新函数，这新函数，哎，取个绝对值，他问我周期是多少？小笨蛋，这我看都看出来了，怎么叫取绝对值啊？上方的图形不动，下方图形原本是这么画，我把它翻上来， 所以相当于问我这一个一个的小优字型，他的周期是多少？这周期我把它往右平移，再往右平移，这周期你看最低点。最低点是怎么是在这个点往右平移到这个点最低点间距离多少啊？ 从这到这，这是零，这是负二分之派，这应该是负派距离，我这么一算，他是派，那这段距离就是周期，所以直接选 b。 做了这么多题，说白了就干一件事就是画图。图像是解决几乎所有函数问题的最核心方法，这函数只要能画图，无论是难题还是简单题，都是看图说话。那有关三角函数综合难题，我们将在未来给大家详细讲解，晚结 滑。

现在大家已经知道了这 a 倍 c i o m x 加 f i 再加 b 这玩意，它其实就是由最基础的 y 等于 c i x 经过一系列的平移和伸缩得到的，它这图像长得也是一条浪线。 那接下来我们来重点深入的研究一下这解析式当中的大 a、 omeg、 fi 跟大 b 这四个参数对整个图像的精确影响。首先来看这个大 a， 大家可以把这一个一个浪线想象成一个震动过程，往上往下，往上往下，一会上去，一会下来，我们把它震动的中间位置起个名字啊，叫平衡位置。 那这大 a 其实就影响了他上下震动的幅度，称作叫震幅，就是他最远能离开平衡位置有多少。 当 h 一的时候，这最远距离是一 h 二分之一的时候，那最远距离是正负二分之一，这最高点不可能比二分之一还高。 h 根号三的时候，这最远距离就是正负根号三。 所以以后遇见什么什么函数，随便举个例子啊，二倍的三三 x 减四分之派。当 x 取任意值的时候，问这函数值于是多少啊？ 你甭管里面长得多复杂，只要 x 属于 r 的这个函数值率，我就只看前面这系数，人家这震动幅度就在正负二内运动，所以这个值域一定就属于正负二之间。好了，咱研究了大 a， 咱们再跳一个啊，先跳 挑一个，简单的挑大 bb 在影响什么？再把整个函数加了个 b， 这大 b 会影响函数值，大小在图像上体现，就体现在他上下的平移， 当 b 是零的时候，这图像啊他不平移。当 b 取正直的时候，这图像往上平移，当 b 取负值 h 负一的时候，这图像往下平移。这太好理解了，我都不用讲，咱直接来看第三个参数，欧米伽 omeg x， 相当于我把 x 乘了一个数乘这数，如果是大于一的，比如说这里面乘了一个二， 这函数图像会变密。人家原本周期是二派，图像变密了，横坐标变小了，那现在这距离就由二派变成派了，周期减半，但如 过程的这数，哎，小于成了二分之一，这图像会变长，周期比原来更大了。原本周期是二排，好家伙，现在变成四排了。所以如果你问我欧米可影响什么，他就影响一件事，叫周期。 这新函数的周期等于多少？等于 omeg 分之二派， omeg 越大，周期越小。 omeg 越小，周期越大。最后我们来研究这四个参数里面最复杂的一个，这个 five 它到底代表着什么？ 这里面给大家举了很多例子啊，你看这发变成什么了？这发一会变成三分之派，一会变成负四分之三派，一会变成正三分之二派。这图像，哎，长得这个波形的样子变没变呀？波形没变，这胖瘦啊，都是这么胖。周期都是一样长的， 但是啥变了？他水平的位置，水平的平移变了，所以这个 five 影响着水平移动的距离，注意哦。哎，我这字不是瞎写啊，这叫影响，啥叫影响？我问大家，这 five 是不是一定就是水平平移的距离？ 不一定，因为比如给大家举个例子啊，你看我由 sine r x 想变成 sine r x 加三分之派，我水平移动距离是三分之派吗？不是水平，我们是对 x 进行变化，我要把二提出来，我真正相当于我把 x 加了六分之派， 那用到我们左加右减的知识，我相当于往左平移了。六分之派，并不是三分之派，所以这里面这个 five 吧，它是影响水平平移，但不一定等于水平平移。那大家光知道这么一点点知识够不够啊？完全不够！ 这 five 其实是这里面最重要的一个参数，也是很多同学到了高三都没想清楚的参数。今天我们来剖析一下这个 five 真正的含义是什么。那再来回想一下，咱这 sanx 图像是怎么画出来的来着？ 我们把它看成一个角，我们是把这角的中边画出来，让他从零到二拍转一圈开始转。我们要求的这赛那其实就是单位圆上点的纵坐标有多大，当他是零度的时候，纵坐标是零，所以我们从原点开始画，他俩是一边高的， 但是当他转到九十度的时候，转到二分之派了，这纵坐标高度半径是一了，所以他最高点是一，也是对应的。我再举个例子，当他转到一百三十五度的时候，现在是四分之三派了，这高度有多高啊？我们把它纵坐 标也找一个对应点，咱把它转一圈的过程中，每个点的纵坐标画出来，就得到了一个完整的三 x 图像。 那现在大家来想一想，为啥这图像是经过原点的？因为很显然这角度相当于是 omeg x 再加零，他就是从零开始转的，我中边就是从这开始画的。呃，才此处，这中间跟单元交点纵坐标就是零，对不对？ 所以我这么一对应，我发现他最初起点纵坐标就是零。我当然图像起点也就是零。 但现在如果我变一变，现在是 omex 加三分之派，那当 x 取零的时候，大家可以想象一下， x 取零意味着他从哪开始转呢？他从三分之派开始转，哦，我从这开始转， 这是我的初始位置，是我的初始点。我初始点的纵坐标，这焦点是固定的，我能确定的，所以自然而然。那我对应着整个函数图像的初始点，他必须得是三分之派出的函数值。 好了，我确定初始点在哪了，那接下来的图像是咋画出来的？小笨蛋，往上面看，我们看原始图像就好了呀。不是从三分之派开始转吗？那我就在原始图像上找三分之派这个点，从他开始取，图像， 先上去再下来。那我现在的图像也是先上去再下来，下边转一圈再回来，下边转一圈再回来，图像跟上面长得一模一样，像复印机一样。所以换句话说，这 five 决定了咱们这角是从哪 开始转的，决定了初始位置，决定了我们的起始点。我们把饭起个名字啊，在物理里面，他叫出相位，意思就是说这脚从哪开始转， 哦，那现在这饭，呃，我取负四分之三派了。那从哪开始转？我姥姥也会了，这是零负四分之派，负四分之二派，负四分之三派。在这里，我要从这个点开始转，这点对应的初始点水平直线一划，哦，他必须得在这 啊。当然，如果宝贝不通过单位元，咱把这上面函数，哎，想象成最初始的散 x 来做也可以。出项位不是负四分之三派吗？那在原始图像上，这是零，这是副派，负四分之三派在这， 那接下来大家把自己想象成复印机，从这个点处开始取值，先下 后上，先下后上，再转一圈，再转一圈，这图像是不就复印出来了呀？最总结一下，这个 five， 它影响着初始位置，换句话说，影响着整个函数图像个 y 轴的焦点。 那现在让大家做一个小练习哈，大家从头开始想想，三三 x 加三分之二百，这图像应该怎么画呀？ 咱画个平面直角坐标系。现在我知道哎，他是一个浪线，那具体他从哪开始，浪，从哪开始，那是由出香味决定的。咱从三分之二派开始转， 在第一开始你画单位玩好。那其实我更喜欢画三角函数图像来做，我把三 x 图像放在这，从三分之二拍开始。哎，哪是三分之二拍，他是拍的三分之 二的位置在这里。呦，那咱从这个点开始转，这高度是二分之根号三。先下后上，把这段图像复印下来，继续画，再来一个周期， 再来一个周期，这图像咱就大致画完了。就大家有没有发现，我只要确定了 five 是多少，我在画草图的过程当中，我根本就没管这欧米格是多大，这欧米格无非就是影响整个图像的疏密。 我画草图，关键是要看这图像跟歪轴，这焦点他是从哪开始的，这才是我们画图最核心的部分。我再画一张图帮助大家理解。现在我画的是欧米给 x 加四分之派出香味已然已经确定了，就是四分之派初始点的位置，初始点的 高度已经完全确定了，必须得一边高，那接下来这三种颜色代表着三种不同的欧米格取值，当这欧米格哎取二分之一的时候，取一的时候，取二的时候，大家发现三个图像他只有疏密的变化， 他的出师点是一样的，甚至函数波形都是一样的，都是先上再下再上去，蓝色的先上再下再上去， 绿色的先上再下再上去，有啥区别？没有区别，都是一个模子里刻出来的图像。 讲了这么多，咱才算真正的把 five 给大家讲清楚。一句话总结， a 叫振幅，影响着整个函数最高点到平衡位置的距离， 影响着整个函数的周期，周期是 omeg 分之二派。这公式一定要记住，最关键这个 five， 它叫出向位，影响着整个函数在歪轴处的焦点，影响整个函数从哪开始取，从哪开始画，它是整个三角函数图像里面最关键的一个点。 好了，以上就是有关 a、 b， 三 o， mix 加 f 再加 b 这四个参数对整体的影响。大家对这几个参数有个初步了解，对图像有个初步了解之后，我们才能真正做一些有关三角函数的综合题目。

hello， 同学们，大家好，来到了必修一第五章三角函数五点七，三角函数的应用好，首先这节课呢，是主要作为一个对三角函数或者更准确的说应该是三角形函数的这个实际应用的了解， 为什么这么说呢？因为我们的三角函数就是 y 等于那个 sine cosine tangent， 对 吧？那么我们从 sine x 变成什么东西呢？ y 等于 a 倍的 sine， omega， x 加 f， 对 吧？那么我们说这个本身就是我们上节课五点六的内容，然后呢，我们把它进行了深度的拓展，因为有一个非常重要的，我们高考知道这个东西是远远不够的，所以我们说呢， 拓展到了对函数的一般性，对不对？对于一般的函数，它变成了什么东西呢？也是前面加个 a 倍，里面呢？ omega， x 加 f， 我们沿用了这些字母来进行讲解，对吧？然后面呢，还加一个 b， 对 吧？我们说哪些是影响了我们的伸缩，哪些是影响了我们的平移啊？当然我们的伸缩也说包括了我们的翻折，对吧？所以呢，我们上节课是主要讲了这个东西， 那为什么课本重点提了这个东西呢？我们当时说第一个点，三角函数是函数的极大成者，它所有的东西都能在三角函数里面呈现，而且尤其是这个 a， 对 吧？我们说 所有的密函数只对密，它都不是具备有界性的，所以很难去体现这个 a， 但是三角函数很好体现它，所以呢，这是第一个点。第二个点呢，它是有非常实际的物理意义的啊，但不是说其他不具备物理意义，是这个是非常非常非常的多啊，所以这个叫三角形函数。 那然后呢，我们做一个基本的了解，了解一些，比如说像那个弹簧啊，像这个钟摆运动啊，我们很常见的这些，做一个简单的了解，那具体更具体的有更多的运动，或者说，哎，这些运动我们去看一下，为什么它呈现的图像是三角函数，我们可以留给物理课， 或者说啊对数理方面很有兴趣的同学去研究，我们做一个简单的了解就足够了，但是呢，同学们也不要去跳过，因为有些同学就直接跳过这节课非常的不好，因为未来高考当中呢，其实我们现在的大方向我经常讲有会有更多的结合实际背景的出题， 这个是未来就是考察大家去应用，或者说还有些地方呢，就考察大家建模的能力，这个我之前分享过一道题目，就是 二零二五年这个大湾区的这个联考的题目，就有这个方向了啊，考察大家对知识运用的能力，所以这样呢，我们一定要去了解啊，不然到了高考当中出这些题会很懵啊，对吧？所以呢，顺便我们通过这些案例啊，实际的案例 来初步了解，然后也对这个知识的理解会更深入啊，对吧？更加了解我们的 a， 我 们的 omega， 我 们的 five， 究竟在实际当中它影响了什么东西，好吧，所以也要认真的去对待。首先第一道题呢是作为一个回顾和总结吧，我们做一个回顾 上节课。第二个呢就是总结，回顾加总结，好吧，我们上节课所讲的平移，然后呢，当我们给了这样子的一个三角函数的图像， 对吧？给了这个图像之后，我们怎么通过这个图像的关键信息？然后呢，就看出这个当它是一个正弦波函数，或者说余弦波函数啊，都一样啊的图像的，这里面的 a， omega 和 find 总结一下 我们是怎么看的，这里可以暂停一下，同学们先回忆一下自己能不能先总结我们是怎么看的。首先 a 它决定了什么东西？ 因为本来哈我们把后面的这一堆看成一个整体，无论这个 omega 和这个 five 怎么折腾，那这个 science 后就一定是在负一到 一之间，对吧？里面的怎么折腾都不影响，所以谁把它从负一到一变成了负十到十呢？ a 唯一决定的这个东西， 即便后面加了一个 b， 他 也不影响。这里的一个区间就是二十嘛，对吧？十减负十，整个宽度是二十，这个宽度是 a 唯一决定的，原来的这个宽度是二，变成了二十， a 放大了十倍，对吧？所以这个十他就是 a， a 就 等于十，对吧？那有可能加了个 b， b 是 五，那就变成了负五到十五，对吧？他进行了上下的平移，但是这个宽度由 a 决定，所以这个地方 a 就是 十，这个 对应了这个 a 的 值，对吧？接着呢，我们的欧米伽影响了什么？我们的欧米伽往里面压缩图像，或者往外面去拉伸图像，我们说核心的点是这个欧米伽的绝对值究竟是大于一，那么就往里面压缩，如果它是 小于一，那么就往外拉伸，对吧？或者我们可以理解说，在横向的这个区域内，它是成了欧米伽分之一倍的 把它的导数，所以呢，当我们看到这里的图像，三百分之一，三百分之四，这个区间是多少？这个区域是三百分之一，三百分之三，也就说一百分之一，这是半个周期啊，对吧？这样子才是完整的周期，所以乘以二，它的周期 t 等于五十分之一， 那原来的这个撒眼函数的周期是二派，那为什么它从二派到了五十分之一呢？欧米伽决定的，因为它有一个大于一的这个欧米伽啊，绝对值大于一的欧米伽，然后这个欧米伽把它进行了压缩啊，二派大概是多少？二派大概是啊，六点六点二八左右嘛， 然后呢，压缩到了五十分之一，就零点零二，对吧？所以我们会知道这个地方五十分之一它就等于什么了，多少个欧米伽分之 这里的原来的周期，二派去进行压缩，所以欧米伽等于多少？拉过去让欧米伽就等于一百派，对吧， a 等于十，欧米伽等于一百派， 对吧。然后斐决定了什么东西呢？斐决定了这个左右的横移，对吧？左右横移，因为原来的这个三眼的函数呢，当它等于零的时候， t 等于零的时候啊，那 t 等于零的时候，它应该在原点的位置， 那么 find 使整一个函数产生了左右的横移，所以这个时候呢，我们当我们知道 a 和 omega 之后，我们带入一个特殊点 啊，比如说三百分之一或者三百分之四都行，我们带入一个特殊点，我们就能求得它的一个核心，所以这个呢，就是怎么求的 find 啊？我们刚才总结就是 a 看宽度，然后呢，这里的 b 呢？看上下横移 omega 看它的周期 find 带入一个值， 对吧？我们看一下，由图像之 a 等于十，然后 t 呢，等于五十分之一，它是 omega 分 之二派，所以 omega 等于一百派，然后这个时候我们就有这个东西了，然后带入一个特殊值啊，当然我们带入三百分之四四行不行呢？也行，对吧？所以这个地方呢，我们呃三百分之一的时候，再乘以一百派就是三分之派，那这个东西 消掉之后，它等于一，一是多少啊？三眼的二分之派，对吧？当然一有无数个，它可以等于三眼的二分之派加二 k 派，我们找一个最接近的就可以了，二分之派的时候，三分之派加六分之派也满足这个区域啊，对吧？所以呢，我们就得到 five 等于六分之派， 然后呢，就进而得到它的这个解析式啊，我们做一个总结哈，然后接着呢，我们另外呢，做一个上节课的一个 总结，就是我们上节课说这个 omega 刚才说了它影响了压缩或者拉伸，所以我们就会知道哈，从刚才我们会知道哈，当一个函数 y 等于 f x 变为 y 等于 f omega x 的 时候呢，原函数的周期 t 零，新函数的周期 t， 它产生了怎样的变化？ t 等于 omega 分 之 t 零， 能理解吧？那就好像什么呢？我们举一个例子啊，从这个 y 等于 cosine x 变成了 y 等于 cosine 二倍的 x， 它产生了怎样的变化？由于这个二的出现，使得这个你看我们看这个函数的图像哈，本来紫色的这个函数，它往里面进行压缩，那么这个压缩了多少倍啊？压缩了两倍，所以从二派的周期压缩成派， 好理解吧？所以这个公式也是不需要去背的，理解就可以了，好不好？当然我们要知道这个不止是二派，还有就是 t 零，就多说对于任意的函数，比如说有一个函数满足 f x 等于 f x 加四这种抽象的函数题，对吧？这个 t 就 等于四， 这个时候呢，把它变成了二 x， 对 吧？然后呢就变成了 y 等于 f 二 x， 那 这个函数干嘛？它的周期就等于二，所以我们要知道这个变化的点好不好？ ok， 然后呢，第二，我们首先看第一个例子，什么情况下我们会用到这个三角函数，某个弹簧震子弹簧就是弹簧啊，我们日常生活当中的那个弹簧， 在完成一次全振动的过程当中，时间 t 和 v、 e、 y 之间的对应数据如下表所示。什么叫全振动的过程当中，就是一个周期，我，我压到这个位置，我假设这个模型是没有摩擦力的， 好吧，物理都经常会把这些啊的一些模型啊，把它变成没有光滑的，没有摩擦力的这样的模型，没有空气阻力的一个模型，我把它压缩到这个地方，他往外弹，弹完回来，这样的一个周期啊，对吧？然后这样的数据啊，这个时候呢，我们可以画出它图像， 当然我们这题呢是可以不画出图像的，但是我们对照着来看一下，对吧？首先呢，我们会知道从这个一个周期， 从负二十最小值到正二十，再回到负二十，这里有多少个这样子子的一个啊？数据给我们看到啊，第一个就是说我们的 a 等于二十，对吧？它的一个最大值变成了二十，第二个点呢是什么呢？就是它的 完成一次周期就是有多少秒？零点六秒，零点六秒是它的周期，它的周期是 omega 分 之二派， 是吧？所以这个 omega 就 会等于啊，这个是多少？五分之三乘以三分之五，就是等于三分之十派， 对吧？然后呢我们就会得到 y 等于二十倍的三眼的三分之十派，然后 t 加上 f， 那 最后的 f 就 带入特殊点，对吧？比如说我们它带入零带入，当然零是最好的，因为它是特殊点嘛，零的话我直接直接消掉，对不对？那这个时候呢，三眼 five 就 应该是等于负一，对吧？那所以 five 是 多少？ five 就是 负二分之派，对不对？我们找到一个等于负一的最小的一个这样的数字减二分之派，那所以呢，我们来看一下最大值和最小值， 然后 omega 等于这个，我们就得到这个，所以这个是我们第一个了解的一个模型，就是弹簧振子的这个模型啊。然后例三，某次实验测得的交流电啊，交流电这个东西呢，也是非常的日常，一个是弹簧，刚才，对吧？一个是交流电， 因为我们的交流电呢，我们日常生活当中所有能够接触到的大功率的电都是交流电啊，这个大家知道吧？然后呢我们用的这个电池啊，那些比如说玩具啊，那些东西，它就是直流电， ok， 然后呢这个交流电 i 随着时间 t 的 变化，图像 啊长这个样子，当然只是长这个样子，我们并不能确定它能够被设成是三角函数，所以我们说交流电的图像呈正弦波形态，那这个东西为什么是这样子的？我们就在 物理课上去研究啊，对吧？那么同样的函数关系式，正因为有这句话，我们就可以设定 i 等于 a 倍的这个 sin omega， t 加 five， 对 吧？然后同样的 a 五决定了这个 a， 对 吧？这个正负数 a 等于五。 omega 呢，它的周期是零点零一到零点零三，所以它 t 是 等于零点零二秒， 等于 omega 分 之二 pi， 所以 omega 就 会等于呃，一百 pi， 那 这个时候呢，我们这个 five 呢？我们的最值点是没有看到啊，这个啊，数值的我们只只能带入零，那这个地方四点三三， 我们就看它带入进去会得到什么东西。那么最值的时候是五倍的 sigma t 等于零吗？就等于 five 等于四点三三，所以 sigma 就 会等于零点啊，八六六， 那这个东西呢，就是大概等于，当然我们考试不会出这种这种问题的题目啊，但这个地方我们也知道它肯定是特殊点，所以呢，无非就那几个，那么二分之根号二，对吧？二分之一肯定不是二分之根号二，根号二的话大概零点七几，那么就看一下，零点就二分之根号三， 好吧，二分根号三，我们就发现它很接近，所以 fine 就 等于三分之 pi， 好 吧，我们就得到了它的关系式。 接着呢，我们在几个点的这个电流 i， 那 么就带入数据到我们的这个式子当中就可以了，带入这几个数字到里面，同学们去做一做，然后对一下答案就可以了， 好吧，接着呢，我们来看一下，总结一下刚才我们所说的几个啊，这个东西呢，现实生活当中存在大量的类似于堂堂正正的这个运动，还有什么东西呢？钟摆 中板水上的这个浮标的上下浮动，琴弦的振动等等，哎，这个也是很经典的哈，我们不知道看我的视频有没有啊？读音乐类的学生，你们要学习乐理对吧？学习乐理包括像十二平均率等等。那么一第一节课你们的乐理的第一本书的第一，第一个是不是讲泛音呢？ 是讲泛音，讲泛音，如果你们要完全去理解，你们就要有这个基础，你们才能完全的从。呃，为什么他的振动，然后他的泛音，为什么一根弦 它除了它本身的震动啊，还有就是这个弦长啊，那个那个频率跟弦长成反比，然后除除了这样正，还能中间掐一个点，这样正，它分三等分等等，然后去理解到各种东西，然后才能更好的举一反三， 不然我知道我看到过的很多同学都是只能背一些固定的结论啊，然后其实它底层逻辑是很难搞懂的，因为你们没有这个基础哈， ok， 然后不要倾斜，震动等等。呐，这些呢，都是物体在某一个中心位置啊，像最简单最典型的就是刚才的弹簧，对不对？我压下去这里有个中心位置，就是那个弹簧放松的时候的这个状态，那么压下去正正正正啊，对吧？循环往复的这个运动， 这里重点的一句话，在物理学当中，把物体受到的力正比于它离开平衡位置的运动，称为剪斜运动，那么可以证明在适当的直角坐标系当中剪，斜运动可以用 这个函数来表示，当然用可算也可以，因为它同样的嘛，我们用正弦就可以了，好不好？然后呢，通常来说，我们设定为零到正无穷，对吧？因为通常来说，嗯，一般来说我们设为 t 时间的一个函数，它从零 开始，好吧。然后呢， a 和 omega， 当然我们也可以翻折过来，但是没有意义，对不对？没有任何的意义，因为它是都可以啊，所以 a 和 omega 我 们都设定为大于零， ok， 然后呢，描述简谐运动的这些，包括我们的一个简谐运动啊，有很多，像政府周期、频率等等，都跟这个解析式当中的这个相关，这个就是我们所讲的这个函数决定。哎，就是他反映了很多现实的物理的问题啊，我们来看一下， 首先有什么东西呢？首先 a 它代表了在物理学当中叫做震幅，震动的幅度有多大？就好像这个弹簧啊，我画的不好。这个弹簧啊，大概吧， 本来是这样子的，我压到这个位置还是压到底，这个就是会让它的产生的震幅有多大，所以这个叫震幅。包括有一个钟摆，它的这个是放松的位置，它在这个位置 开始摇摇摇，还是到这个位置摇摇摇，这个就是正伏啊，对吧？他表示做减节运动的物体离开平衡位置最大的距离， 那么他的周期呢？当然周期最好理解，就是他做一个周期所需要的时间，对吧？钟摆，从这个地方摆过来，摆过，哎，摆过去，摆过来，好，这一遍的这个周期，那么这里有个新的概念叫频率， 那频率是周期分之一啊，同学们去思考一下他的一个物理意义是什么？因为这个东西，呃，他所用到的只是小学最基本的一个理解啊，所以思考一下他的意义是什么？那如果说他的一个周期是多少？他的周期是零点五秒，那么他分之一是二， 好吧，他的单位经常是赫兹，什么意思啊？什么意思啊？二赫兹每一秒，对吧？除以二零点五走一个循环，也就说每一秒他会做多少次的这个 运动啊，对吧？所以这个叫频率啊，就像我经常说，在我们的电脑屏幕当中，我们有两个很重要的指标，第一个呢就是分辨率啊，二 k、 四 k， 我 们看到第二个呢，就是六十赫兹， 然后呢一百二十赫兹，它代表了什么东西？我们所看到的视频究竟每秒钟有多少个画面啊？对吧？每秒钟啊，那我们要知道它表示做紧急运动的物体在单位时间内往返运动的次数。 然后解析运动的象位，整个这个东西叫做象位，就他现在运动到哪个位置，然后当 x 等于零的时候呢？这个象位呢，是个特别的象位，叫出象。那这个顾名思义啊，出象就是最开始嘛，就好像我们的钟摆运动，我们最开始从这里开始还是从哪里开始？ 我们设为第一个时间点，对不对？比如说是中不中把运动从从这里到这里之间来回动，那么哪一个时刻算是他的第一个时间点，对不对？这个就是出象，好吧，然后呢，我们来介绍两刚才我们接触的两个最简单的一个运动，第一个 弹簧把它压，这是这个是什么状态？这个是放松的状态，一压，假设他没有空气阻力，也没有这个摩擦力，这是光滑的，那么就弹弹弹弹，对吧？那这个时候正负呢，就是最远的这个距离，如果压的再深一点，那这个正负就会更大， 那么周期呢？就是从这个地方开始松手过来，过来这里所需要的时间，频率就是周期分之一啊，代表了每秒钟或者说每个单位时间他能够往返，往返多少次啊，对吧？如果他零点二秒就是一个周期，那么每一秒就能够 五次啊，对吧？所以这个呢，就是他的频率，然后呢出象啊，他在哪个位置算是他时间的第一个时刻点，好吧，这个就是，然后第二个呢？哎，我们来看一下这个钟摆运动，钟摆运动，摆动摆动， 好吧，那么这个中板运动呢？哪里呢？ a 他 放在哪个位置，决定了他的 a 放在这个地方， a 会更大，放在小一点地方， a 就 会变小，对吧？它的周期这样为止一次，对吧？它的周期，然后呢频率分之一，同样的啊， 所以这个跟大家去介绍一下这个东西。然后呢我们再来看一下，就是一道还是一道弹簧的一个问题，从 o 点 作为平衡位置，在 b c 两点之间做剪斜运动啊，其实这道题其实并不需要画图，也不需要去，因为他问的是什么东西啊？震动的正负周期和频率，其实事实上是不需要写出他的这个解析式的啊，我们直接可以做 在 b c 两点做剪斜运动， b c 相距二十，那就是幅度是二十，所以他除以二这一段 a 等于十厘米， 代单位的。哦，好吧，那么某时刻正子处在 b 点，那 b 和 c， 我 不管哪里是 b 哪里 c 啊，不影响啊。这道题目经过零点五秒，从 b 到 c， 那 么就一端到一端，这个是半个周期哈，看清楚哈，从最小到最大，或从最大到最小，这个是半个周期，所以它的一个周期 t 是 等于一秒，等于 omega 分 之二排， 对吧？那所以 omega 就 会等于二派， omega 等于二派啊，好吧，那哦，在这里也没有问啊， t 等于一秒，然后频率呢？也等于一和子正负呢？十 c n， 对 吧？这里我们就有了这个东西，然后在五秒内通过的路程啊，对吧？那我们会知道一个点呢，我们说干嘛？我们的 a 啊，或者说我们的正负就是他的那个往返的那个幅度，那么在一个周期一秒内，他会经过多少个 a 呢？我们来看一下，如果正弦函数这里作为一个周期，这里是一个 a， 是 这里一个 a， 这里一个 a， 这里一个 a， 对 吧？我们会经过有四个 a， 对 吧？最大的这个，这个，其实，呃，有些同学不要把它想的太复杂，就是说从零到 这个，比如说我们就就三 x 吧， y 点三 x， 这个二分之派，然后一个周期是派，呃，然后那个，呃，二分之三派，然后到到那个二派，这个是四分之一啊，就是这样子，不要把它想的太复杂 啊。我怕有些同学没没没搞懂，这个地方是 a a a a 说他位移了多少位的四 a， 那 么五秒有多少个周期？一秒是一个周期，说是二十倍的 a， a 是 那个多少来着？十厘米啊，十厘米。所以呢？二十倍的 a 就 走过了两米的路程。好吧，走过了两米的路程， 然后接着呢？五秒时相对平衡位置，那最开始在哪里？某时刻处在 b 点，那最开始在这个位置或在这个位置，他没有说哪个点嘛？啊，不重要。那么反正 最开始在这个位置，然后五秒刚好是五个完整的周期，所以他还是在这个位置，所以这个地方相隔是多远？还是十厘米？ 就这样子，反正了解就可以了。本节课的题目也不是很难，关键是在于通过弹簧，通过钟摆，通过交流电。主要是三个例子。 然后呢，让同学们去了解这些东西。然后如果对数学物理很有兴趣的同学，结合物理课，结合课本上，后面还有一些啊，其他的一些例题，来了解这个三角函数它的一个魅力，但很多的实际问题里面都有非常多的应用。好吧，那么就这样子啊，我们这节课到这里结束，同学们拜拜。

哈喽，同学们大家好，今天我们来学习三角函数与解三角形的这一张的第一节，任意角的弧度至任意角的三角函数。 首先来了解任意角，也就是我们重新复习一下初中所学的角的这个概念。首先确定啊角是一个平面图形对不对？它具有一个顶点， 以及两条无限延伸的边，是两条射线， 于是我们就画出了角这个图形， 这是我们在初中小学就接触到的概念，那么在高中呢，我们要对这个概念进行一个深入理解，就是要把它和我们的平面直角坐标系联系起来。 我们可以很清楚的想到，啊脚的一个形成过程，他始终都是和旋转有关系的对不对？我们可以固定其中的一条边，然后让他进行一个旋转，然后停在任意一个位置的 另一条边，这样就形成了一个角。我们在坐标轴内呢，同样有这样的过程，习惯上我们把这个角放在坐标原点，然后我们随便固定一条它的使边， 这个时候就把它进行一个分类。如果我是沿着逆时针方向这样的一个旋转逆时针方向，我就把这个形成的角叫做正角。如果是一个 顺时针旋转，我就把这个形成的角叫做负角。如果没有旋转，那就是菱角， 那就类似于我们的数字，对不对？有正负零了，那是不也有相反数，也就有相反角。比如说我现在有一个角是 逆时针转了三十度，有个角呢是顺时针转了三十度，他们两个是不是转的度数是一样的，只是旋转方向不同，所以我们把他们称为相反角， 这就学完了我们这个角的概念，在初中的基础上拓展出了这个旋转方向的一个规定问题。接着呢，我们来学习区域角 和象限角， 因为我们说了是在平面直角坐标系内来研究角，对不对？我们平面直角坐标系啊，分成一二三四四个象限。 那我们又说了角的这个过程，形成过程是旋转得到的，那我们就把他出式的这条边定在 x 轴的正半轴方向，顶点依旧是在原点，这样他的 旋转后的边随便停在一个地方，我是不是就可以用从 x 轴正半轴旋转得到的这个地方来表示它的角啦？ 这个 a 它划到这儿，这就是它的旋转角，那我就要根据象限把这个平面内所有的角都给它划分一下，分类 很容易得到，这是九十多，对吧？每一个都是九十多，那么我就把第一象限的角 现在零到九十度，第二项线就是九十到一百八十度，第三项线就是一百八十度到二百七十度，第四项线二百七十度到三百六十度。哎，那我超过了三百六怎么办呢？ 那接着三百六到四百五是这样吗？是的，但是我们要把它 按象限划分出来，这个时候最聪明的做法是什么？在这里加上一个三百六，在这里加上一个三百六。哎，那这是我转完了一圈回来了，那我要是转了不知道多少圈还落在这里呢，那我就 加上一个 k， 哎，这个 k 我 也不知道，只知道是个整数就可以了，或者我这都是正角的旋转得到，对吧？我如果是往反方向的旋转呢？我比如说我是这样转到的， 那这个 k 我 们是不是就可以去复制了？所以就同理每一个我们都可以去加上这个三百六十度 k， 我们用区间来表示，这样就把这个区域角给表示出来了，这里是第一象限，这是第二、第三、第四。 我们这种把初使的旋转边定在 x 轴上，然后另一条边去任意旋转得到的，这个就叫做区域角， 这些每一个角都是区域角，然后呢我们把这些角做了个分类， 全归属于第一象限的角，就叫做第一象限角。第一象限角它就是一个大类，把这个里面的角全都包含了，那我们要表现 停在这个轴上的角怎么办呢？就是正好旋转到九十度，和这个轴重合了，这些角怎么办呢？也很简单，我们分别给它列一下就行了。 我们有和 s 轴正半轴重合的，由 s 轴负半轴， y 轴负半轴，那 s 正半轴是不是一个菱角就可以决定了？那我如果再转了多少圈又转回来的停在这的呢？那就是加上一个三百六十度乘以 k， 其他的就 s 轴负半轴，那就是一百八十度加上三百六十度乘以 k， y 轴正半轴九十度加上三百六十度乘以 k， y 轴负半轴，那就是二百七十度加上三百六十度乘以 k， 这都是半轴。那如果是整个轴呢，直接就是 x 轴，也很简单，它就是一百八十度乘以 k， y 轴呢就是九十度加上一百八十度再乘以 k。 任意轴呢，那就是 九十度乘以 k， 因为我的矢边在 f 轴，我任意旋转一个九十度就是和轴重合了，对不对？这样我们就得到了它的轴线角。 好，我们从小学学到现在，才算是把我们的脚基本给用坐标系来表现出来了。 接下来呢，我们来了解一下弧度。 还记得我们刚才所说的这个角的一个形成过程吗？它都是从一条固定的矢边 在旋转一定角度到这个中边得到的，那这种旋转往往是伴随着一个圆的形成过程，我们很容易就想到这个圆也是旋转得到的，对不对？ 就是我们有这样一条边，旋转了一圈，扫过的这个区域就是圆的区域， 那就像我们旋转不一定非要旋转一圈，对吧？我们如果半路旋转完，那是不是就成了一个角了？ 我这个角扫过之后，我想求它的面积，扫过去的这个扇形的面积 以及对应的这条弧的长度，我要怎么求呢？ 弧常用小 s 表示，扇形面积用大 s 表示，我们用之前学过的圆的面积就可以得到，对不对？首先我们知道圆的面积公式是 pi r 方，它的周长公式是 二拍二，那我们这个扇形和弧长是不是和整个圆是有比例关系的，很容易就得到？我这个 c 特的角度比上三百六 是不是就等于这个弧长？弧长 s 比上这个圆的周长，那我同样我的面积是不是就由 c， 它比上三百六等于 这个扇形的面积比上圆的面积， 那我们就很好得了，直接就可以解出这个弧长以及这个 扇形的面积，对吧？我们解一下，弧长呢，就等于把这个圆的周长乘过去 same， 比上三百六十度乘以这是圆的周长，二拍二 面积呢就等于 c， 它比上三百六十度乘以圆的面积 pi r 方， 这里我们的度每一次都要除以一个三百六，这样是不是很麻烦呀？如果我不是一个整数的度数，那我除以三百六是不是一个很难算的分数？ 而且我最后表示出来的这个长度也很麻烦，所以数学家们就想了一个办法，我直接把这里反正这些全都是长处对不对？ pi 就是 三点一四一五九二六这个不循环小数， 他们之间既然只是一个简单的比例关系，那我直接 重新写一下这个角度就好了吗？我直接让一圈一圈 的这个角度对应着二拍这个数，那我现在这个角度如果再想去对应 我这个 theta， 如果再想去对应我，是不是直接用这个 theta 去比对应的二派就可以了？ 于是我们就发明了弧度值。弧度值的核心思想就是原来的度数变成了用弧度来表示，三百六十度 就等于二拍， 也就是说一百八十度等于拍，这里都是有单位的，它的单位叫做弧度，叫 red， 这样我们是不是就可以把之前所有的角都画成弧度来显示？这样的好处是什么呢？就是我们在计算这个弧长的时候，直接用这个弧度制的角度 去乘以 r， 就 直接得到了这个长度。算面积的时候呢，我们就得到了这样的一个公式。 最后因为我们已经学会了弧度值，那么我们之前所学习的所有的角度全部都要转化成弧度来表示，我们就可以来看一下这个表， 这样一个常用的一些角度，度数和弧度的一些互换， 重要的是记住三十度、四十五度、六十度，还有九十度，因为后面这些呢，其实都是这四个角度的加减乘除以及倍数 加减、加减以及倍数得到的。只要把这几个牢牢记住，剩下这些角度呢，你在做题的时候自己去进行一下加减，就很容易得到了， 这就是我们第一节的所有内容。

三角函数从入门到精通，今天胡老师当着大家所有人的面，挑战七天，带大家吃头糖，讲完它行不行？行，今天咱们先从上帝视角带你们梳理清楚整个三角函数，我们核心要抓哪些重点， 帮你把体系先建立起来， ok 吗？ ok， 好， 咱们三角函数注意啊，一共是从三大方向去攻克它， 第一大方向就是我们最近在讲的跟基础概念有关的东西，基础概念是三角函数的地基，是所有你后续学习的基础。那到底抓啥？ 第一个叫啥？叫任意角，非常好，弧度制 你得知道呀，从初中到高中，我们的角度的定义发生了改变和拓展，怎么拓展？为什么要拓展？对吧？拓展出来之后出现了什么角？正角、负角和菱角都是怎么被定义的？ 包括弧度值，为什么要产生弧度值？怎么快速去计算扇形的面积，扇形的周长，包括这里常见的二级结论， 你只要但凡用点心，这里都能够学的很好，考试不会丢分的。这第一个，第二个关键在于三角函数的定义， 包括三角函数线，三角函数线， 你这里搞不明白你后续要学的一切的公式，就只能死记硬背了，对吧？甚至有的公式你背过了，你不会用，所以这里打好地基是很重要的。 这搞不清楚诱导公式就是死记硬背吗？是不是知道好给诱导公式打下了坚实的基础啊？第一个是概念的方向，第二个九大组必会的公式，一定要 熟练推导，而且要知道他们之间的关系，闭上眼睛咔呲咔呲咔呲都能写出来，每一组公式之间，哎呀，他们之间有什么联系，有什么进阶的关系，你把这些能搞定，你的体系不就出来了吗？是吧？ 九大组公式，除了诱导公式之外， 除了同角关系之外，剩余的七个 对应到教材里面的什么位置，三角横等变换。我专门要说一下他为什么，因为很多老师是按照教材的顺序去讲的，把这之后了，而有的老师会提前讲他 为什么要提前讲，为我们后面学三角函数其他的图像做铺垫，所以我们在后面给大家讲课的过程中，也会把整个公式全放一个体系里面给你讲透的，你后面学图像问题才能够游刃有余好不好？好好，第三个大的方向， 三大图像写清楚啊，三大图像六个性质，你看我们三角函数都学了啥？就是这些， 包括图像的一些变换，这是你理解三角函数的关键，也是我们考试的重点。 那么每一个图像我们都怎么去研究它的？来把当年研究函数的 那些点在这里重新再研究一遍，我们函数里面当年都研究了什么？想一想，定义域，定义域，值域，再研究一遍，每一个图像都这么研究一遍。 第二个叫什么值域？还有什么单调性，基偶性，还有呢？周期性，还有什么对称性，对称性，全选一遍。 那我这得怎么考呢？定域考你复合函数，定域的问题，直域怎么考？你注意，哎呀，给你加一个区间， 这都是考试要考的，有区间的指域怎么求？哎，我无区间的指域怎么求？哎，我二次有关的指域怎么求？给你范围，让你去求一些参数方向， 而且考试经常会考大家去大题考大题考某一问下一个单调性，单调性怎么考你一模一样的给区间，无区间考二次考求餐 下一个基友性教材里面我们学到的是哎呀三考三具备基友性的，但是考试考你的是正弦型。 乍一看，哎呦没有什么鸡偶性问题，怎么变成鸡，怎么变成藕，不要死记硬背哦，它的本质是诱导公式，所以我刚才说你前面搞不明白，你往后面去学，你发现学不到，跟上，还有下一个什么性质？周期性， 简单的周期，大家都会带一个公式，关键是你要能拉开差距。考你什么周期？考你一些给绝对值带周期，让你求周期的， 还考你什么？考你一些变态的周期问题，那函数你根本就不认识，还考你什么？还考你一些动态周期问题。 求 omega 也是高考考试的重点，连续考了很多年了， 在我们同步当中考大题也考小题，大家不用怕周期，这里我们都有对应的方法和大招，后面都会讲到对称性，简单的让你求对称轴，求对称中心对吧？已知对称轴，求参，已知对称中心求参。我刚说的这些都是基本功， 你要想跟别人拉开差距，那这里就会考到，除了基础的之外，他会结合咱们函数前面讲过的抽象函数的表达式去考你， 所以你前面的基本功如果没有打好，你这里可能有点难度，前面基本功打得好，这里是轻松拿捏的。当然还有最后一个问题，其实专门说一下什么问题？零点问题。 期末考试在大题当中经常和复合函数综合在一块，考你一个最后一道题，那高考当中是以小题为主了。胡老师根据我们历年的考试，把三角函数给大家拆解成了期末必会的 期末必会的大核心题型， 从基础概念到整个进阶的综合，从图像变换到每一个性质的考法，手把手带着大家一个一个去攻克这些题型，跟着胡老师学员整个系列，那么三角函数这个模块妥妥冲一百三，没有任何问题。