济南初二全过程

能听到声音能看到画面的同学啊，在聊天区扣个二 ok 没问题啊。呃钢城区呢是属于咱们这个济南市的一个呃刚刚进来的一个区啊，分进来的一个区是之前莱芜市的一个。 呃地地方啊。呃其中这个莱芜市呢他们那边一直是五四制就是五年小学四年初中 就人家这个中考呢就是多多准备了一年相当于对吧。呃所以他的这个初二的里面的个别题目呢可能会比大家的进度快啊。人家肯定进度快吗对吧人家早就相当于你上初二人家这个已经学了三年了对吧初二的时候已经学了三年了啊。 呃所以说呢他的进度会相对来说快一些啊，而且出的题目说实话这一套题目的质量呢也比较高啊。因为进度快所以没有参加去年的试童考啊但是题目的质量呢都还可以啊。 呃群里面咱发的高新区的那套题目呢讲解已经发群里面了大家可以去看一下做了的同学啊有不明白的题可以去看一下那个路的讲解。好吧今天晚上呢咱们去看一下这个高城区对吧 他的这个压轴题啊赏析一下来一个一个来看啊。先看选择题啊，给大家这个两分钟的时间读下题然后蒙个答案发这个聊天区啊，看蒙蒙题的这个题感怎么样啊 抓紧时间啊，读完之后啊选择一个你认为正确的答案快速啊，就看你第一印象好吧就好比这是中考你最后时间不够了现在让蒙答案了啊 hmm hmm hmm。 好来看一下啊。做答的同学不多啊，那做对的比例还是比较高的啊。呃，四个全对啊，咱来解释一下啊，说四边形 a、 b、 c、 d 是 正方形啊啊，而且知道这个 ab 的 长呢，已经是二根二了啊。对角线叫 a、 c， 上面取一点叫做 e 啊，连接 e b， e、 d， 那 咱就知道 e、 b， e、 d 啥关系，是不是天生就相等的啊？这就是因为正方形它本身就具有对称性啊，对吧？ e、 b 和这个 e、 d 相等，当然，你不通过对称性去理解的话，也可以干嘛呀？是证明，证明这里面的三角形 c、 e、 b 和这个三角形 c、 e、 d 两个三角形呢，就应该是一个全等的关系，对吧？ 哎， c、 e、 b 全等于这里面的三角形 c、 e、 d， 判定条件呢，就是 s a s 啊。具体一点， c， e 等于 c e 公共边 c， b 等于 c， 得正方形的边两个点都是四十五，所以两个三角形全等啊。 好，然后接下来呢，说过点 e 去做 e f 和得 e 垂直，那凭感觉的话，这个 e、 f 如果一旦和得 e 垂直， 那咱其实就可以推出来这三条蓝色线都相等，也就是说啊，它虽然给的是一个矩形，得 e、 f、 g， 但是咱能证出来它其实是个正方形，怎么证的呢？也就是缺一了啊，为什么 b e 等于 e、 f， 这是在干嘛呀？缺一， 这不让你来。正等腰吗？对吧？正等腰，那咱就通过什么方法正底角相等对吧？等角对等边吗？啊，所以说正那个底角相等就可以了啊。角相等，呃，也就说咱标一下啊，正这里面的角一和这个角二相等， 哎，角一和角二为啥相等啊？你得看条件对吧。第一个全等的话，咱是不是可以把角一改成角三啊？来看图，利用两个算式，全等，角一就是等于角三的啊，那角三和角二相等可太容易挣了，这是个什么玩意？ 来，聊天去打一下。这是个什么工具得出来的角一和角三啊？这个角二和角三相等 用的什么工具啊？的 e f 和 c f 都是九十，我要证角二和角三相等，是不是直接通过哎，八字就可以了。 哎，那这样就能推出一等于三，二等于三，所以角一等于角二，所以 b e 等于 e f 啊，圈一和圈二就是都是对的了啊。这个矩形的话，是满足一组邻边相等，那它就是个正方形。好吧，这个就是咱们九年级上学期的第二张 矩形的判定了啊，这个还没学，对吧？正方形的判定啊。呃，但是咱知道正方形的话就是一个特殊的矩形，邻边都相等，对吧？那通过小学知识也能判断出来啊。好，接着往下啊来看，这个圈三说 c g 等于 a e， c g 和 a e 相等，这又是为啥呢？ 这是用用什么东西证出来的？看有没有同学能判断出来，可以聊天区打一下啊。为什么这个 c g 是 和这里面的这个 a e 是 一个相等的关系？ 很简单，这个地方出现了两个正方形，正方形可以组成什么模型？ 正方形 abcd 和正方形得 efg 啊，那就可以得到什么结论呢？ 哎，有个手拉手哎，三角形得 a e 和这里面的三角形得 c j 是 一个手拉手全等，对吧？所以呢，就可以推出拉手线。 a e 等于 c j， 所以 圈三也是对的啊，圈四角平分线更不用说了，你这个角得 c j， 利用两个三角形全等得 c j， 是 不是就应该等于这里面的角得 a e 啊， 对吧？得 c j 等于得 a e， 得 a e 不是 四十五度吗？得 c j 一 旦是四十五，那么它自然就是角平分线了，对吧？所以说 c j 啊平分这里面的角得 c f 也没问题啊。考察了一个手拉手啊，四个选对答案，选 d 啊，听明白的同学来聊天区扣个手拉手。 听明白的同学聊天区扣个手拉手。 好，接着继续啊，来看填空。填空这个题比较简单啊，是一个折叠背景下的线段求值问题，来，抓紧时间把这个答案算一下。 没有算出来的吗？算出来，同学聊天去把答案打一下。这题确实不难啊， 在咱这个中考的填空压轴题的话，也是必考这个折叠问题啊，折叠背景下的线段求值呢。咱们最常用的有两个工具，一个呢，勾股 啊，还有一个呢，叫做三垂之相似，这两个字比较常见。比较常用的啊，三垂之相似这个题的话，其实还没有学到相似，正常用勾股就就可以做啊。 我要去求 b、 e、 d 的 面积，现在已经知道的啥呢？有 bc 的 长等于八，然后这个 ab 的 长呢，是等于个 c d 等于个六，所以对于这个三角形 e、 b、 d 的 话，咱就相当于已经知道它的什么东西了， 是不高了，对吧？以 e d 为底，那它的高是不是就是 ab 啊，对吧？二分之一 e d 乘上 ab 啊， 呃，也就等于多少呢？也就等于一个三倍的 e d， 所以 我只需要把 e d 算出来就可以了，求谁射谁。假设 e、 d 是 x， b e 就是 x， a e 呢，就是八减 x， 所以 在 r t 三角形 a、 b e 当中呢，咱们就可以列方程了，六的平方加上八减 x 的 平方 等于 x 方，一元一次。好吧，铁定一元一次啊。八减 x 平方等于六十四，减去十六 x 加 x 方，对吧？等于 x 方， x 方约掉十六， x 等于一百，减出来 x 等于四分之二十五，所以 b e、 d 的 面积呢，就应该是三倍的 e、 d， 也就是四分之七十五啊。 答案，四分之七十五啊，并不难啊，并不难，可以说是 very easy 啊啊！ 好，接着继续来看二十四题，来把二十四题的考一读一下材料材料分析题啊，侧重于理解能力好吧，先把题读懂啊，先认真读题好吧。 啊，整半天没开麦啊，不好意思啊， 把这个分数的列项啊， 他就是把假分数写成这个代分数的过程啊，给他拓展到了分式的一个变形。你比如说三分之八，先从里面找到什么东西呢？先从分子当中找到分母的倍数，然后在部分约分就可以了。 分不约分啊，呃，八当中找到一个三的倍数六，然后把三分之六约成二就 ok 了啊，分式也是一样的， x 加一分之二， x 加四呢？咱需要先在分子当中找到分母的倍数，那这个看系数就知道两倍吗？ 对吧？二 x 的 x 的 两倍，对吧？那就先把它写成两倍的 x 加一，然后再去想，它和分子不相等啊，人家分子本来是二 x 加四的， 对吧？人家分子啊，本来是二 x 加四的，现在你是二 x 加二啊，是不是比人家少了一个二啊， 对吧？那这样呢，就可以分布约分变成二加上 x 加一分之二了，那这一部分约掉，对吧？但约完之后，你这个二没和他约掉啊，那他还是保留的这个分母啊。好，然后接下来看考一啊，考一的话， x 加一分之三， x 加四， 就可以按相同的方式了。我需要先在分子当中找出分母 x 加一的多少倍。那很简单，三 x 们肯定就是三倍，但三倍的话，人家是三 x 加四，咱这个三倍的三倍完之后写出来是三 x 加三啊，后面是不是还缺一个加一啊 啊？然后约分就可以了，也就是三加上 x 加一分之一，所以 m 就 应该等于一啊， m 等于一啊。来这个地方听明白的同学聊天区扣个一。 这个地方听明白的同学来聊天区扣个一。 好了，看第二题啊， x 加一分之三， x 减一等于三加多少？一样的方式来快速算一下，算完之后，在聊天区把这个答案填一下啊。聊天区把这个 m 的 值填一填。 嗯，做法一样的啊，这个 x 加一分之三， x 减一呢？我需要先第一步在分子当中写出分母的倍数，那很明显还是三倍， 对吧？但问题是，人家分子是三 x 减一啊，咱这个是三 x 加三不相等，后面是不是还得减四啊？ 这样呢，就可以分开约分， x 加一分之三倍的， x 加一，减去一个， x 加一分之四。前面这坨化解完之后不就是三吗，对吧？所以应该是三减去 x 加一分之四，所以 m 也就等于负四啊，没问题啊。好，再来看这个，考二 考二这题就比较有意思了，就是拓展到这个任意的式子当中了啊。呃，怎么办呢？来看一下啊，这个元是 x 减 c 分 之 ax 加 b， 对 吧？那咱需要干嘛呢？需要先在分子当中写上分母的倍数啊，那肯定就是 a 倍了。 x 减 c 啊，但人家是 ax 加 b， 对吧？你是减 ac， 人家是加 b， 你 是不是还得加上一个 ac， 再加上一个 b 才能保持和原式一样啊， 对吧？那接下来咱就可以进行分布约分了。 x 减 c 分 之 a 倍的 x 减 c 啊，再加上一个 x 减 c， 分 之 ac 加 b， 这样的话，这个分子约分之后呢就是 a， 后面呢就是 a c 加 b 了啊。所以呢，说它和谁相等呢？和 a 加上 x 减 c 分 之 m 相等，那不就可以推出来所谓的 a c 加 b 不 就等于 m 吗？啊，听明白的同学来聊天区扣个 m 听明白的同学来聊天区扣个 m 啊！今晚上看啊，来看括号三，括号三这个值啊，他说，呃，求满足条件的所有的整数 x 的 值。那你要知道这个题从头到尾在干嘛呀？ 是不是让你来进行一个分离常数啊，就是，啥意思呢？就是我把分子当中的字母部分给它去掉 上来先不，不管其他的啊，先要像前面的考一考二一样，先对它进行一个分离啊，也就是在分子当中写上分母的两倍啊。因为这个是二 x， 那人家原来是二 x 减一，咱现在是二 x 加一加二，所以为了保持和原式相等，还得减去一个三啊。化简完之后，也就是二减去 x 加一分之三。好，然后大家就要去想了啊，因为 x 加一分之二， x 减一是整数， 那咱就可以得到二减去 x 加一分之三就是咱分离完之后的这个就得是整数啊， 对吧？二已经是个整数了，所以说只需要保证谁是整数就可以了，是不是 x 加一分之三啊？ x 加一分之三是整数，那就说明 x 加一必须得是三的因素，是这意思吧。 啊，三得是 x 加一的倍数，或者可以这样说啊，那三的因素的话太简单了，小学就学过，是不是只有一三啊，到了初中的话，又多了俩负一负三，所以减出来 x 的 值呢，就应该是一减一零负一减一负二，三减一，二负三减一负四 零，图二或者是负四。好吧，这这个题的答案啊，好，再来看这个最后这个压轴题啊，绊脚模型，花两分钟的时间来把这个题读一下啊，自己先试着做一做啊， 琴四班和同时班刚复习过对吧？琴四班这周刚讲过的啊， 好，来看一下啊。这个第一步呢？第一步应该问题不大啊，它说半角模型指的是有共顶点的。 呃，这样的一个四边形，满足呢，得对角互补啊，他这个地方没说是吧，就是角 b 和角 d 相加一百八，那对角互补，然后呢，还要满足其中那个共顶点等线段出来的这个角呢，是大角的一半，那这就叫半角模型了。 他给了一个最简单的图啊，正方形 a， b， c， d 点 e 和 f 呢？在 b， c 和 cd 上面，如果满足 e， f 等于四十五度的话，那这个半角模型就成型了啊。说将三角形 a 的 f 绕这里面的点 a 顺时针转九十，就可以把得 f 转成 b， j 转成 b j 啊，然后呢，使得得和 b 重合啊，然后呢，就可以得到 a e f 和 a e j 又是全等的，这咋就它俩就全等了呢？ a e f 和 a e j 它俩全等就可以推出什么呢？推出这三条线段的数量关系了啊？这就是咱这个半角模型最终的结论，叫做两短边之合等于长边好吧，两短边之合啊，等于长边 哎。呃，也就是得 f 加这里面的 b e 就 等于 e f 好 吧。哎， b e 的 长加上得 f 的 长是等于 e f 的 啊，怎么证的呢？就是用它给的这个啊，证明 a e f 和 a e g 全等，因为你用旋转的话， a f 是 不是天生就等于 a g 的？ 再加 a e 这条公共边是不是只需要证明这个角 g a e 也是四十五就可以了？这就是半角的作用了啊，角一和角二相加是九十减四十五四十五度对吧？角 g a b 呢，和旋转前的 f a d 呢是相等的，也是角二， 所以呢，就可以推出呃，角换成角三吧，角一加角三就等于角一加角二也就四十五，所以这两个三角形就可以 s a s 全等了啊。 一 a j 的 度数四十五啊。好，就来看这个狂二，他如果把这个半角转外面去的话，那这三条线段的数量关系变不变？肯定变了，因为你这个时候的长边不一样了，对吧？谁是最长的了？ 是不是得 f 变成最长的了对吧啊？其次是这个 e f 啊。呃，也就说此时呢，他们的数量关系就应该是短边 b e 加上这个 e f 等于这个长边得 f 啊，好，怎么正？用人家给的方法旋转就可以了 好吧，直接将三角形 a b、 e 进行旋转。转到哪呢？那无所谓啊，只要是转这个共顶点的等线段所在的三角形就可以啊。按照咱讲的套路，比如说咱把这个点叫 p 啊， 什么意思呢？就是把 a、 b、 e 转到 ad p 这个位置啊，就如图，将三角形 a、 b、 e 绕这里面的点 a 什么方向嘞？哎，逆时针旋转九十度哎，至三角形 a 的 p 处啊。好，那这样的话，咱就可以由旋转得 得到什么东西呢？得到你这里面的这个 a p 的 长啊，就等于 a、 e 的 长， 因为 ap 和 ae 它俩相等有用啊，它俩相等是为了证明三角形 aef 和 apf 两个三角形全等的， 对吧？全等的话，那咱还知道什么东西呢？这个角一和这个角二啊，它俩是相加四十五的，你只需要证明这个 f a p 也是四十五就行了啊，怎么正跟刚刚那个方法一样？好吧，先利用旋转啊，咱可以得到角一等于角三，然后接下来呢，因为这个角一 af 等于四十五度， 所以呢，角一加角二就等于四十五，所以角二加角三就是四十五， 所以这里面的角 f a p 就 应该是九十度，减去角二加角三，也就是四十五，这样的话， s a s 的 条件不就全了吗？对吧？哎，在三角形 a 的 p 和这个三角形 a、 b、 e 中 啊，因为那三个条件分别是 a f 等于 a f 公共边啊，角 e， a， f 等于角 p， a、 f 都是四十五，再加上 a e 等于 ap。 哎，那就可以推出 三角形 a、 d、 p 和这个三角形 a、 b、 e 两个三角形全等了啊，判定条件呢，叫做 s a s。 好 吧，那么就可以推出对应边 e f 等于 p， f 减去得 p， 哎，得 f 保持不动，得 p 直接换成 b e 就 ok 了啊。来听明白的同学聊天区扣个半角。 好，接下来看最后一问啊，括号三，说出图三所示正方形 a， b， c， d 的 边长呢？是三根。二， e a、 f 四十五度连接 b 得分别交 a、 e、 a、 f 于点 m， 使得 m 恰好 b 得的三等分点， 满足 b m 的是小于得 m 的。 来求这个线段 m n 的 长。来把这题思考一下啊，有做出来的同学可以在聊天区炫耀一下啊，这个题的确实有点难度啊， 好来看，不应该啊，这题的话，其实并没有严格意义上并没有超高啊，这是咱这个呃，其实对于创新班的学员的话，这个模型应该是有印象的啊，这咱讲了一个什么玩意呢？叫做三角形的半角模型 是吧？三角形的半角模型啊，这个三角形的半角模型是啥意思呢？咱去写一下啊。三角形半角模型，大家可以把这部分内容记在笔记本上面啊。 就这个三角形半角的话，它的构成条件非常简单啊，就是首先需要有一个呃，等腰三角形，必须是等腰才可以啊，那比如说这个题它考察的就是一个等腰直角，比如说有个等腰直角三角形叫 a b d 啊， a b d。 那 现在呢，咱干嘛呢？你去做一个半角，叫做 e a f， 使得这个角 e a， f 呢？等于多少度呢？四十五。那这样的话，咱们就可以得出 这个三条线段啊，当这个角 e a， f 四十五度，再绕着点 a 转的时候，它有一个固定的结论叫做构造定力，就是 e f 的 平方永远是满足 b e 方加 f 的 方的啊，证明方法呢，也不难，就是旋转。 哎，我把三角形 a， e、 b 绕着点 a 进行一个旋转啊，因为咱们会发现你这个，呃， a b 的 长啊， 它是等于这里面这个 a d 的， 这天生就是一个旋转的前提条件，共零点等线段啊。那也就说，咱只需要把这个 a e 也绕点 a， 干嘛呢？哎，去转一个九十度 啊，比如说，到这了，好吧，大概到这个位置啊，好吧，到这个位置啊，咱们把这个点 e 的 对应点呢，比如说叫做 p 啊，那什么意思呢？就是说，首先啊，先将这里面的三角形 b a e 绕这个点 a 相当于是逆时针转九十度了啊。好，那这个时候咱们就能得到什么结论呢？ 哎， ap 的 长就应该和 ae 的 长相等，而且 ap 和 ae 还相等，对吧？ ap 和 ae 还是相等的关系啊。呃，那当然也有 p 的 等于 b e 的 关系，那接下来咱只需要再做一条辅助线就结束了，也就是连接 p f， 把 p f 一 连，咱们就能证明出来这个 p f 的 长啊。哎，他就是等于这里面 ef 的 长的。那原因很简单，就两个三角形全等。 哎，三角形 a f， e 和这里面的三角形 af p 全等，那他俩为啥全等呢？现在已经有的条件呢？是不是有这个 a e 等于 ap 了？哎，这已经是个条件了啊，还有啥呢？就是公共边 af 等于 af。 这第二个条件还缺一个条件是啥呢？就是一个半角，好吧，半角，因为这个角 eaf， 它是等于四十五度的， 所以呢，咱可以得到什么结论呢？来标一下啊，角一和角二相加，就应该剩下的那四十五度，好吧，由旋转可以得到角一是等于角三的， 对吧？所以角二加角三就是四十五度，也就是角 f a p 等于四十五， f a p 四十五， f a e 也四十五，那它俩不就相等了吗？那这两个算零就全等了啊，全等之后呢，咱就把 f p 换成这个 f e 了， 对吧？那接下来呢，就可以在 r t 三角形 p f d 当中列固定里，也就是 p f 的 平方等于 p d 的 平方加得 f 的 平方，其中 p f 是 等于 e， f 的， p d 呢，是等于 b e 的， 然后还有一个是 f d， 对 吧？ 啊，就全全就全了，对吧？所以 b m 和 m n 以及 n d 这三条线段永远满足什么东西啊？ 满足 m n 的 平方是等于个 b m 的 平方加上一个得 n 的 平方的，好吧， m 是 一个 g， m 的 三等分点，整个 ab 是 一个三根二，那么 b m 整整个这个 b d 的 长啊，就应该是等于个六， 对吧？那么 b m 就 应该等于个二三等分点吧？让咱求 m n 的 长呢？就假设 m n 是 x， 那 么得 n 的 长就可以表示成四减 x， 这三条线段满足什么呢？勾股定律，也就是 x 的 平方是等于个二的平方，再加上一个四减 x 的 平方，展开之后呢，就是四加十，六减八， x 方， x 方约掉八， x 等于二十解的 x 等于二分之五 啊，最终答案，二点五。好吧，最终答案，二点五啊！来听明白的同学聊天区扣个二点五听明白的同学来聊天区扣个二点五。 好，咱近期不是在讲那个套卷吗？对吧？这个套卷呢？好多同学说这个往前找，之前的这个不太方便，所以呢？大东老师。

我一开始我的心态就是毕竟是大学生的比赛，以爱为主，也花了有二十个小时，大概做了四道题目，然后到最后成绩出来的时候还是比较高兴的，只希望每次参加，每次参加比赛都比上次自己有有进步。