初中数学角平分线怎么画马老师

好，同学们，我们今天来继续学习一个新的模型，叫做双内角平分线模型，这个角平分线模型啊，分为双内角和内外角，包括还有一个是双外角模型啊，今天呢，咱们先来学习第一个叫双内角模型。双内角平分线模型，它的概概念和理论是什么呢？它的结论啊，首先是角 d 等于九十度，加上二分之一的角角 d 是 什么角？角 d 就 像在肚子里边一样，我们称之为负角 啊，负中的负啊，负角，那么负角等于九十度，加上二分之一的顶角，你可以这样去记，对吧？那我们来看一看，他是怎么证明的呢？这个结论是从何而来的，我们来证明一下啊。我们可以根据三角形的内角和，对吧，那么来看一看啊，三角形的内角角 c 加上角 a， 角 a 是 什么？我们看图中已经告诉你角 a 是 两个什么 r 法， 哎，加上两个二法，那再加上什么？两个贝塔是不是等于一啊？一百八十度，对吧？好，我们来看第二个三角形，就是下面这个小三角形 a、 d、 b， 三角形 a、 d、 b， 那 它是由谁组成的呢？那是由角 d， 哎，加上谁一个二法，再加上一个贝塔，等于一百八十度， 对吧？我们根据三角形内角和我们可以得到这两个式子，哎，那我把这两个式子给它标上序号，我们看看这两个式子之间有什么关系啊？我们肯定是想让他们俩使 c 跟 d 出现在同一个算式里边，那我们就把两个那个式子就给它结合一下，对吧？我们把二式 二式乘以二，对吧？就能得到二二二倍它了啊，再把再用一式减去它，我们来看一看能得到什么啊？先看二式乘以二以后是二倍的角 d 啊，二倍的角 d 加上两个二法，再加上两个贝特，等于三百六十度，对吧？那我们再用一式来减它呢，就是角 c 减去二倍的角 d， 哎，两个二法跟两个贝特全部消掉完，等于一百八十度减三百六，一百八十度减三百六，等于负的一百八。按到，其实我们也可以用二式减一十都行啊，没关系，我们来看一下，那角 d 等于什啊？负的二角 d 等于什么呢？就等于负的一百八十度减去角 c， 对吧？等式两边同时除以负二，那角 d 就 等于负一百八，除以负二等于正九十，哎，减减角 c 除以负二，等于加上二分之一的角 c， 哎，所以说我们就能推导出来这样一个结论了， 角 d 等于九十度，加上二分之一的角 c， 角 c 是 顶角，角 d 是 负角。好，我们来把结论记下了，我们来做做题，来练习练习。 好，我们来看例三，例三这道题啊，首先呢，我们来观察它是由两个什么哎，两个内角的平分线组成的，对不对？那肯定符合什么双内角平分线模型，哎，我把这中间这个负角给它起名角一。好吧，那么想想我们的这个双内角平分线的结论是什么？ 是不是角一等于九十度，加上二分之一的角 a， 哎，这道题的角 a 也是我们模型的 a， 那 就没有问题。 好，我们来看一看题目中给的已知条件啊， boc 等于一百二十五，那也就是我们的角一是一百二十五度，对吧？那我们可以把角一代入啊，直接来求一下我们的角 a 等于多少就行了。哎，这个题不难解出角 a 等于多少， 等式两边可以先减去九十，对吧？减去九十等于三十五，哎，三十五度，然后三十五度是一半。 哎，那我们看这道题求的是什么啊？求的是 b o a 啊， b o b a o 啊，求的是角 a 的 一半，是不是？哎，求求求，角二角二是不是角 a 的 一半？是不是因为 a o 是 什么呀？角平分线吗？对吧？ a o o a 是 角平分线，所以说我们的这个角就是七十度的一半等于多少？三十五度，答案选 b， 七十的一半等于三十五度。好，其实这道题也是根据我们的什么呀，双内角平分线的结论是什么？就是负角等于九十度，加上二分之一的顶角。好， 好，我们来看练习三点一啊。这道题呢，其实已经告诉我们了，这个 b、 d 跟 c、 e 呢，都是两条角平分线啊，也是在三角形的内部，所以说它符合双内角平分线模型。哎，双内角平分线的模型概念就是负角。哎，这道题 我们就给他起名角三了啊，负角等于九十度，加上二分之一的角 a， 对 吧？好，我们把结论先写出来，我们来看一看我们这道题都给了什么已知条件。哇塞，这道题已经告诉我们角 a 是 五十二度了，对吧？那我们就可以把五十二度给代入啊，先求出角三来，对不对？角三就等于二九十度，加上 啊，二分之一乘以五十二，哎，五十二度的一半是多少呢？就是二十六度，二十六度加九十度等于一百一十六度，好，角三是一百一十六度，他求角一角二的和啊，那角一角二角三，他们三个是不是在同一个三角形内啊？那角一角二的和是不就等于 等于什么？同学们，是不是一百八十度减一百一十六，对吧？减一减二的和就等于一百八十六减角三，对不对？所以说不难算出来，这道题应该等于六十四度，哎，答案是六十四度，好，同学们觉得应该是没有问题吧。好，我们看下一题。 好看，练习三点二，练习三点二，同样也告诉我们，角 b、 角 c 的 平分线交于一点，那还是内角平分线，肯定是双内角平分线模型啊，双内平分 好。所以说我们搞清楚它是什么模型了，就先要把结论搞出来，是不是结论是什么呢？负角啊，角一角一就等于九十度，加上二分之一的角 a， 哎，然后我们再去看看题目中所给的已知条件啊，题目中给的已知条件是角 abc， 也就是这个大角是四十度 啊。啊，又告诉我们角 a 是 六十度啊。这道题只要其实只要告诉我们角 a 是 六十度，那我们肯定能先求出角一，对吧？那我们可以利用先利用这个条件啊，角 a 等于六十度，我们来算一算，把角 a 等于六十度代入啊，九十加上二分之一乘以六十，那不难算出角一就等于一百二十度， 对不对？他问的是谁，问的是 b f d 啊？ b f d 啊，问的是这个角角二，那角二等于什么？角二跟角一是什么关系？互补，对吧？那所以说角一是一百一百二呢？角二不就等于一百八十度减一百二十度吗？是不是等于六十度啊？哎，是不是很简单？那这道题为啥要给了一个 四十度呢？这个条件是不是有点过剩了？那我们看看根据这个四十度我们能不能求啊？首先他告诉你角 a 是 六十，这个角大角 b 啊，大角 b 又是四十，那大角 c 是 多少？大角 c 不 难算出吧？大角 c 又是多少度？哎，八十度， 那他俩又是角平分线，那这个就是二十，这个也是二十，对不对？那这边呢？是不俩四十？ 哎，俩四十，那一个二十，一个四十，那角一也不难算出来，是不是？角一在三角形 fbc 当中是不是？ 那他也不能算出一百八十度减六十，一百二十度也能算出来，这个是一百二十度，对吧？那还那知道角一等于一百二了，角二顾名思义肯定等于六十度，是不是？所以说你用哪个都行，问题是这道题的条件还过剩，那我们一定要记住这个口诀叫做什么？负角等于 九十度，加上二分之一的顶角，你也可以直接记结论，角 d 等于九十度加二分之一角 a， 但是你得知道角 d 是 哪个角，角 a 是 哪个角好不好？同学们一定要记住，这些模型要熟练掌握。好吧，好，再见。

标准答案中的辅助线是如何想到的？这期视频会告诉你答案，其实我们常考的也就三类，要么是终点，要么角平分线，要么垂线那么亮。今天就把这三种常考的辅助线思路给大家梳理清楚，以后我们遇到了就可以快速拿分了。 那遇到终点呢？我们一般倍长中线，比方说给出一个三角形，那 d 是 底边的中点，那么也就是 b、 d 呢，等于 c， d 好， 连接 a、 d 就 产生中线了。有终点或者中线的时候，我们一般可以把这个中线呢延长一倍，也就是使得这两条蓝边相等。 那最后你会发现我们还有对顶角，等于对顶角，所以如果你连接 c、 p， 那 么我们一定可以挣出这两个三角形全等，那我们挣出全等之后呢， 我们就可以利用全等三角形的性质来进行边角条件的转化了。你看亮亮在这里放个乌漆嘛黑的屁，臭死人，听一半就逃跑的各位同学们，亮亮这么简单的东西，我也知道，他真的能搞定我们的难题吗？好，我们一起来看一下今天的第一题。 首先给出一个它就不太常规五边形对吧？ a、 b、 c、 d、 e。 好， 我告诉你， a、 b 等于 b， c 等于七，也就是我们这个边是七，以及我们这个边呢，也等于七，两边相等。还告诉你， a、 e 等于 e， d 等于八，也就是这两条蓝边相等，并且每一条边的长度呢，都等于 八八。接下来还有一个条件，角 abc 加角， a、 d 等于一百八十度， abc 也就是这个角加上角 a、 e、 d 也就是这个角，对吧？这两个大角相加等于一百八十度。 其实很多同学特别怕这种条件，为什么呢？因为像这种角，我们把它叫复合角，它是由多个角重复组合而成的，像复合角的问题，很多同学看到就比较怕。好，我们先继续，往后我还告诉你， m 是 c d 的 中点，也就是这条边等于这个边 o， 这里面会有很多过中点的线段， 那么其中一条 b m 呢？等于九，还有另外一条 m e 呢，它是等于十的，我们把所有条件全都标注在图形里面，好，问题来了，让我们求整个五边形的大大的面积等于多少？该怎么处理？根据我们刚才所提到的，有终点或者有中线，我们可以尝试背成， 比方说在这里面我们把 b m 呢延长一倍，也就使得我们这条边等于这条边，嗯，亮了，在这里依然放个乌漆嘛黑的屁，看到没有？好，我们再连接 d p， 那么首先根据我们背长中线，我们知道我们很容易挣出 m、 c， b 这个三角形一定全等于 m、 d p 这个三角形，也就是这两个三角形全等，那全等三角形对面相等，你这个边是红边，那我们立马知道，也就是这条边一定也是红边，所以我们知道它的长度呢 等于七。然后该怎么办呢？你会发现我们好像就没有思路，对吧？哎，亮亮，我平常就跟你一样，对吧？就是做完之后呢，就不知道该怎么办了。你要知道题目中告诉你，这两个角相加一百八十度有什么用呢？我们知道 a、 b、 c、 d， 它是个五边形，五边形的内角和是五百四十度，对吧？ 那我们再减去一百八呢？所以我们知道剩下的三个角相加一定是三百六十度，也就是我把这个角标做 a r 法， 我再把这个角标做 beta， 以及我再把这个角标做伽玛。我们知道 alpha 加上 beta 加上伽玛一定等于三百六十度。我跟大家说一下，其实在我们整个全等的判定以及应用里面，其实最难的就是我们角度的推导。 那一般需要我们利用什么三角形的内角呀、外角呀啊，平角一百八，直角互余哎等等，包括我们的周角三百六来进行角度的转换。比方说， 那这个三角形，我们知道跟 m d p 这个三角形全等，你这个角是 beta， 所以 我们知道这个角也是 beta， 对 吧？好，接下来怎么办？ 我们说了， alpha， beta 加伽玛呢？相加等于三百六十度。喏，我这是伽玛，我这是 beta， 并且你会发现整个大角已经是三百六十度了。请问那我们这个角等不等于 alpha 角呢？很明显我一定和你相等。到这里之后，你会发现整个题目我们又获得新的思路了。喏， 我们有红边，有蓝边，加角是 alpha， 所以 我们很容易想到我要把 b、 e 连接起来，对吧？ 以及我把 e p 连接起来，我可以怎么样？我可以证出 a、 b e 和我们的怎么样呢？呃， d p、 e 这两个三角形全等，我们知道全等三角形对应边相等，所以你这个三角形的 b、 e 一定跟我们这个三角形的 e p 是 对应相等的，也就是这两条绿边一定相等。你会发现我们通过全能把这个小三角形的面积转化到这里了， 以及通过全能把这个小三角形呢，我们把它转化到这里了，所以整个大五边形的面积其实就是我们等腰三角形 e b p 的 面积。好，那整个等腰的面积该怎么处理呢？大家不要忘了， 我们刚才证明过，这个小三角形跟这个小三角形全等，对吧？全等三角形对边相等，你这个边是九，我这个边呢，也等于九，也就是 m 点，它是整个 b p 的 中点，对吧？哎，两个边都是九，对不对？ 好，那我们知道等腰三角形有三线合一的性质，你过顶点连接底边的中线，那么一定是底边上的高，所以整个 e、 b、 p， 我们的底边多少呢？啊？也就是二分之一，两个九十八再乘以高呢？十，所以我们最终求出来的面积等于九十。搞定 这里有没有难度？的确有，但你会发现本质是什么？不就是背长中线吗？背长完毕之后呢，跟我们题干中的角度，跟我们题目中的面积稍微的结合一下，就呈现出我们千变万化的不同的题目，仅此而已。那如果我们遇到角平分线呢？你就需要掌握三种和全等相关的角平分线模型。 我们首先看第一种，比方说呢，喏， o c 是 一个角平分线啊，也就是这两个角相等，对吧？那如果在角平分线上有一个点屁啊，向两端做垂线，向两端做垂线，我们能够知道 这两个三角形一定全等，并且呢，哎，你这两条垂线段它是相等的。那问题来了，如果有的题目只是像这样给出一部分呢？那么请问你能想到的辅助线构造是什么？那肯定是过屁点向另一端做垂线了，构造我们的全等以及我们的 等边，对吧？好，那么第一类量就拿出一个比较常规的题目了，那我告诉你，角 b 等于角 c 呢？等于九十度，也就是这个角呢是直角，以及这个角呢，也是直角。 好，问题来了，告诉你， m 是 bc 的 终点，那就是这两条线段是相等的。好，第一步，让我们求证 am 平分角 d a b a m 平分角 d a b， 也就是求证 a m 是 一个角平分线，对吧？就是证明这两个角相等，那该怎么处理呢？首先，大家有没有发现？那你有没有发现这是不是一个角啊？这是个角对不对？ 好，在这个角里面是不是已经出现了一条角平分线了？各位，关键是我已经过这个角平分线上一点向一端已经做了垂线吧，所以接下来你所想到的全等模型， 我们只要过 m 点向另一端也做垂线是不就可以了？哎，就差不多哎，放个红色的屁是吧？我们知道，那你这两端一定相等，就是我们的 c m 一定等于 d p 吧， 而我们知道 c m 呢，还等于 a b m， 所以 这两条线段一定相等。好，当我们知道这两条线段相等时，接下来你会发现 那一个点到角两端的距离相等，对吧？你是不是在角平分线上？一定是的啊，所以这两条垂线段相等，你可以直接推出 a m 是 角平分线搞定， 也就是在这里面，我们甚至可以推出两组全等，就是这个三角形跟你全等，以及我们这个三角形呢，跟它全等，对吧？ 好，那接下来我们处理第二种就简单的多了，为什么呢？那如果我把你这个角标做 arfa， 标做 arfa， 我 再把你这个角标做 beta， 你 这个角呢？也是 beta。 好， 我们知道整个大角呢，一百八十度，也就是两个 arfa 加上两个 beta 呢，等于一百八，我们同时除以二，也就 arfa 加 beta 呢，等于九十度。而 arfa 加 beta 不 就是我们的 dma 吗？九十度推导完毕，因此二者呢，是垂直的。 那么第二类呢，就是在角平分线上依然有一个点。好，现在我不再过屁点向两端做垂线了， 我是过屁点做角平分线，自身的垂线，对吧？就像这个样子。好，因为你要知道角平分线，这个角等于这个角，对不对？好，在这里面大家可不可以挣出上下两个三角形全等？那其实证明非常简单，在下面这个三角形中，有锐角，有九十度夹着一条 o p， 上面这个三角形有锐角，有九十度夹着一条 o p。 所以 我们可以推出上下两个三角形一定是全等的，也就是这条边一定等于这条边。好，那问题来了，如果以后在角平分线上有一个点，我过他做自身的垂线，但我只做一半的垂线，请问你能不能想到 去把这条垂线段延长，来还原我们刚才的图形呢？比方我们今天的这道题，首先我给出一个直角三角形， a b c 角 a b c 等于九十度啊，给你标出来一个比较小的直角，好，告诉你 bc 是 八，哪个边 哦，就是这个边等于八，对吧？好，把它画一下，就是这条边的长度呢，它等于八。好，剩下 ab 等于六，这个边是六， 以及呢？ a c 等于十，哎，这个边等于十，好，告诉直角三角形三边的长度。好，现在我出现一个角平分线， a、 d 是 b， a、 c 的 角平分线， a、 d 平分整个角， b， a、 c， 也就是这两个蓝角是相等的，然后过 c 点呢？做你这个角平分线的垂线，垂足是我们的地点。好，我们连接 b、 d， 让我们求三角形 b、 d、 c， 它的面积 亮亮，这个跟我们刚才的模型有关系吗？首先你会发现我们给出了一个大大的角大概长这个样子，然后各位，关键是你会发现我过角发射了一条角平分线， 不仅如此，而且在角平分线上有一个点，并且过这个点做自身的垂线。呐，这个角九十度。请问接下来你所想到的辅助线构造， 所以我们很容易想到把 c、 d 延长嘛？延长完毕之后，比方这个点我们把它叫 m 点好不好？也就是这条线段一定等于这条线段，以及我们的 a、 d、 c 这个三角形一定全等于 a、 d、 m 这个三角形， 也就是整个图一大概长这个样子，那我们知道，因为整个 a、 c 等于十，所以我们知道 a、 m 的 也等于十，你拿走了六个单位，所以我们知道 b、 m 的 一定等于四。那然后怎么办？ 那此时你要知道，因为 md 是 等于 dc 的， 也就是 d 点是整个三角形底边上的中点，对吧？因此 bd 是 中线，而我们知道 中线最主要的性质是什么？是平方面积，对吧？你要取个中点连一下，左右两个三角形的面积一定相等，那你会发现整个 bmc 这个三角形的面积可不可以求出来，因为这个角是直角啊，九十度延长出来的 一个边是四，一个边是八，所以面积二分之一乘以四乘以八等于多少等于十六，整个三角形的面积等于十六，底边上取个中点连接中线，所以我们知道这个三角形的面 积一定等于 b、 d、 c 的 面积都等于整个十六的一半，也就是面积呢，等于八，搞定。 当然了，并不是所有的角平分线都会出现垂直，比方说呢，我们在角平分线上放一个 p 点，现在没有垂直了。 哎，我在这里随便连一个什么呢？连一个，像这样，比方说，哎，这个叫 a e 点吧，有什么特殊性呢？没有。 那么请问接下来我们能够构造的辅助线是什么呢？注意，你在 o b 上截取 o e 相等的线段，比方说来一个 f 点好不好，也就是使得 o f 等于 o e， 那 么接下来有什么好处呢？那因为你是角平分线，你这个角本身就等于这个角，对吧？ 所以你把 p、 f 连接起来，那么在上下这两个三角形中， o e 等于 o f， 公共边等于公共边，对吧？而且呢，还有夹角相等，所以我们可以推出上下这两个三角形一定全等， 也就是在出现角平分线且没有任何垂直的情况下，我们往往是截取等长来构造全等。 好，现在我告诉你，在整个三角形中，角 a、 b、 c 是 六十度，也就是咱们这个角呢，是一个固定的六十度。好，现在我告诉你，有两组角平分线， a、 d、 c 分 别平分这两个角啊，就是 a、 d 呢，平分整个大角，也就是这两个蓝角是相等的，我们令它都是 a r 法好了， 还有 c e 呢，平分底下的这个角，那么这两个小角呢？我们就索性多把它叫做 beta 角，多把它叫做 beta 角啊，把它标在图形中。 好，第一问，让我们求 a o e 的 度数，也就是这个锐角，对吧？啊，其实这个题本质上是想让你求 a o c 这个大的钝角。 好，怎么求呢？首先我们知道啊，三角形内角和是一百八十度，所以二倍的阿尔法。哦，二倍的阿尔法加上二倍的贝塔。啊，两个贝塔再加上你这个六十度，对吧？我们知道等于多少呢？等于内角和一百八十度，因此两个阿尔法加上两个贝塔呢，一定等于一百二十度， 则两边同时除以二 a r f 加上贝塔呢，等于六十度。好，接下来你会发现哦，一个 a r f 加一个贝塔等于六十度。在我们三角形 a、 o、 c 中， 两角相加等于六十度，所以我们知道剩下你这个大大的钝角一定是一百二十度，所以我们可以求出来，这个小角呢，等于六十度。搞定 好，第二个，让我们求证， a c 呢，等于 a e 加 c d， 就是 整条线段呢，等于我们这条边加上我们这条边。那很明显啊，我们一般求证两边之后，等于第三边都是通过构造全等来进行处理的。那可是怎么构造呢？ 此时你会发现他给出了一个角，然后在里面呢，发射一条角平分线，因为没有任何的九十度，所以我们可以截取等长。怎么截取呢？我们只需要在长边上截取短边，比方说我们在这里面取一点屁干嘛呢？使得我们 a p 这个边呢， 等于我们 a e 这个边，哎，两边相等，所以接下来我只要求成 c p 这个边等于 c d 就 可以了。 此时我们连接 o p， 你 会发现我们左右这两个三角形，红边等于红边，中间二者的公共边以及加角都是相反， 所以我们可以正出左右这两个三角形全等。因为你这个角等于六十度，所以我们可以求出来这个角呢，也等于六十度。而我们知道整个平角一百八十度，也就是我们可以推出这个角也等于六十度。 那当然首先我们把这个对角把它标出来，也就是这个小角呢，他也等于六十度。这次我相信很多同学看得出来，上下这两个三角形，红角等于红角，六十度， betta 等于 betta， 而且二则呢有着相等的公共边，所以我们可以证出上下这两个三角形也是全等的，也就是我们 c p 这个边呢，我们的确证出了等于 c d 这个边，所以你会发现很多题目，你只要大胆的构造辅助线，最后你会发现你想要什么就有什么。 那这个题让我们求成 a c 呢，等于 a e 加上 c d， 我是 红边加蓝边，你是红的，我是蓝的，所以证明完毕。那我们角平分线平常见的也就这三类，大家只需要根据题干中的条件来进行选择判定即可。 那如果我们遇到垂直该怎么办呢啊？垂直一般不会单独的出现，他一般会告诉你，同学们有这两条线段既相等又垂直，那么此时我们可以用到的也就是三垂直模型，他一般情况下是这么考的，比方说过 a 点呢，画一条线，对吧？然后你过端点分别往下做垂线， 过端点分别往下做垂线，我们能够推出来的也就是这两三角形，一定全等学完了，对吧？哎，一起来做题啊，大概长这个样子，我们直接来处理这个题的最后疑问，他是这么描述的， 辉煌小组深入研究和谐小组提出的这个问题。呃，不用管了，就是他发现一些什么探求点之类的。就是首先告诉你，在正方形 a， b， c， d 中啊， a， b， c， d， 它是个正方形好， e 点呢，是 b c 边上的一个洞点，你可以理解，从 b 点出发啊，他慢慢往右边跑好不好？ 但是不管怎么运动呢， ap 永远是一个等腰直角三角形，哦，就是 a e， p， 也就是我们知道这两条边永远是既相等又垂直的。那题目中也告诉你，这个角呢，它等于九十度， 好连接 ap 与 cd 呢，交于 m 点啊，并且连接 d p， 好， 现在告诉你，如果正方形的边长 ab 等于四啊，整个边等于四了。请问， 当我们这个 a d p， 也就是 a d p， 当我们这个三角形的周长取得最小值的时候，让我们求什么呢？求 dm 的 长度， 也就是我们这个边的长度。首先你会发现这两条红边既相等又垂直，而且过我们的直角顶点已经画出一条线了。最关键是，我们已经过 a 点往下做了一个垂线， 所以我们很容易想到过屁点往下做垂线，大概这个样子去构造三垂直模型，也就是这个三角形全等于这个三角形，但你发现正全等好像没有用，对吧？我们这个三角形周长的最值，跟你这个全等好像一点关系都没有。我们大胆引入未知数，比方说令这条线段的长度是小 m， 全等三角形对边向的你是 m， 所以 我们知道这条边的长度呢，也等于四。 接下来我们可以把这里的每一条线段都表示出来，因为正方形的边长等于四，所以这个边的长度呢，也等于四。你拿走了 m 个单位，所以剩下的 e、 c 是 四减去 m， 而我们知道 整个边等于四，你拿走了四减 m， 我 们用四减去四减 m， 你 会发现不多不少，我们刚好等于 m， 也就是这条边的长度刚好等于 m， 你是 m， 我 也是 m， 二者既相能又垂直。所以我们想到如果连接 cp， 一定会产生一个等腰直角三角形，说白了，也就是我们这个角永远是四十五度的。 我们知道 e 点是个动点，并且在整个运动过程中，我永远是个等腰直角三角形，所以 p 点呢，它会随着 e 点的运动而运动，也就是你也是个动点。但你犯不管怎么运动，我连接 cp 这个夹角永远是四十五度， 也就是不管 p 点在这在这在这，不管在哪里，你连一下 c p 和水平线的夹角是一个固定的角，所以 p 点就一定在把 c、 d 绕着 c 点 旋转四十五度，在这条射线上运动。好知道 p 的 运动轨迹之后，我们来处理周长最值问题。因为正方形的边长是四，所以这个边呢，也等于四。因此我们只需要使得 d p 这个边加上 a p 这个边，只要使得这两边之和最角就可以了， 这不就是我们常规的将军印码吗？你只需要做 a 点或者 d 点关于这条直线的对称点就可以了。为了方便大家理解，我延长 a d 和对角线呢，产生一个焦点， 然后在我们下方呢构造一个大大大大的正方形，根据对称性，我们知道 d 点关于对角线的对称点就在这里，这个就是我们的 d 一 撇，也就是你连接 p d 一 撇呢，你可以把这个边转化到这里，也就接下来我们只要使的这条线段 加上这条线段，二者之合最小就可以了。这就相当于从 a 点出发，然后经过我们的某一个 p 点，最终呢再回到我们固定点，第一撇，从一个点到另外一点，我们知道两点之间线段最短，所以我们知道连接 a 点跟我们的第一撇就可以了。此时呢，我们 p 点在这 m 点呢，在这里。好，接下来我们这个 dm 怎么求呢？因为我们知道正方形的边长是四，并且你靠着 d c 向外也构造一个正方形，所以这个边呢也等于四，我们很容易挣出上下这两个三角形全等，因此呢，也就是这条边等于这条边， 那所以呢，我们的 d m 等于整个正方形边长的一半，也就是等于二。搞定，你会翻很多题目，考察我们的辅助线，但辅助线只是第一步，你能不能想到过屁点往下做垂线，构造我们的三垂直模型， 那接下来就考察我们的引入未知数的思想，你敢不敢大胆的引入未知数去把这个等腰直角三角形构造出来，这是第二个，也就是你得推出这个角呢，等于四十五度。当你推出我这个角等于四十五度之后，你能不能挣出屁点的运动轨迹？是像这样的一条射线， 以及第四步，你能不能通过轨迹来求出我们整个三角形的周长最值，也就是什么时候我的周长可以取得最小值，说白了也就是和我们的将军一马连了一起来。所以你会发现我们所谓的压轴题难题，无非就是由若干个比较简单的知识融合在一起形成的，仅此而已。 其实你会发现，所谓的辅助线就是我们几何模型的还原，在遇到什么样的条件，我们该怎么做，还原什么样的几何模型，它就是我们辅助线的构造思路。 那么模型有两类，一类呢就是还原类的，需要你构造辅助线的。还有另外一个结论类的，同学们可以把想听敲在我们弹幕上，亮亮火速更新。为了让大家快速的掌握这三类辅助线思路，完成复仇，亮亮给大家整理了我们针对性的资料，跟着亮亮无脑学习。

各位，还有好多同学啊，上了这么多年学，还不知道角平分线定律什么意思，就说这是角平分线，角一等于角二，那么这条边比这条边就等于这条边比这条边， 比如说这条边是二比一的关系，那这个边比这个边也是二比一的关系啊，这都不知道吗？比如说这是三比二的关系，比如说这条边比这条边三比二，那这条边比这条边也是三比二啊， 这都好多题里面有讲平分线的啊，经常考的，这都不知道为什么。其实这个定力不需要记啊，你明白一个他是怎么来的就可以了，他是怎么来的啊？讲平分线定力，其实说的是啥呢？就说这个点呀，到两段的距离是相等的， 点到这个线的距离，你看这条线距离在这啊，大概在这啊，也就说点到两端到到这个啊，两条线的距离是相等，也就是说这个大三角形和这个小三角形，它们的高是不是相等啊？ 高是不相等，高星的相等的话，他们的比，比如说这个这个底是吧？这个底是比是三比二，那他们的面积啊， s 一 比 s 二，是不是就是三比二？就说这个大三角形的面积， s 一 s 二，他们的面积比就是 三比二，他们的面积比是三比二的话，各位，那么这个三角形这从这个方向上做高啊，从这个方向上做高， 这个三角形的高也在这，他们的高度相等，他们的底至比是不是也是三比二啊？这个道理能不能明白啊？所以说角平分定是比，是不是也是三比二啊？这个道理啊各位。

我们来看一下这个画图题，这个画图题首先让我们看的就是在这里面有两个要求，一个是点 p 到角 a 的 两边距离相等，一个就是 p b 等于 p c， 那 在这里面我会发现第一个它不就是一个点 啊，到角两边的距离相等吗？他其实就是这个意思，也就说我们可以推理出来他是什么，他是角平分线， 谁的角平分线呢？在这个里面就是角 a 的 角平分线，所以第一个我们要去做的就是角 a 的 角平分线 啊，当然我们用作图的方法把它画出来啊，我们画的话应该是这么去画的，然后呢，这里画一个，这里画一个啊，把这个角平分线画出来，这是第一个，然后第二个就是这里所说的 p b 等于 pc， 那 你有没有发现什么叫 p b 等于 pc 呢？也就是我们并不知道点 p 在 哪里，但是呢，哎，是这样去画的，这是什么呢？这是我的垂直平分线， 所以呢，他给我们说的相当是点到线段两端的距离相等啊，这个东西是点到线段两端距离相等 啊，所以这时候是我们的什么呢？中垂线，也就是垂直平分线啊，中垂线，垂直平分线， 这是我们在这个里面的说的另外一个，那他做谁的呢？我们会发现这个线段两端不就是一个点 b， 一个点 c 吗？所以我们要做的是什么？做的是我们 bc 的 中垂线 啊，当然做做足痕迹要去保留，肯定不是这么去画的啊，我们是以点 b、 点 c， 分 别以点 b、 点 c 为圆心，然后在这里啊上下各画上一个弧，这样的话我们就发现这就是交的这个点，就是我们要的点 p 啊，然后我们再按照他的要求，人家说连接我们的 p b， 连接我们的 pc， 然后呢去测量一下啊，我的 p b c， 还有我们的 p c a 这两个角 啊，它的大小，那你就可以自己啊去测量一下，按照他的要求去测量。然后呢我们第二问是什么？是让我们去猜想一下，我的 p b a 和我们的 p c a 这两个角之间有到底有满足什么样子的数量关系？ 那在这个题目当中的话，我们一定要关注啊，他什么数据都没有给我们，那这样的数量关系，我们也可以去大胆猜测， 因为你的 pba 这个角很明显是这样子的，然后 pca 是 这样子的，相当于一个是钝角，一个是锐角， 那么一个钝角跟一个锐角能发生什么样子的数量关系？要不就是放到一个直角三角形里，呃，放到一个什么呢？放到一个三角形里，或者放到一个四边形里面，让他出现三百六十度什么的，我们去连力，要不就是他真的有一倍二倍的关系。 但是呢在这里面我们直接去看啊，好像是看不出来的，所以呢他的重点还是在哪里的，利用我们刚刚所用过的东西去进行处理啊？我们刚刚用过什么？我们刚刚这里有一个角平分线啊，我们这里还有个什么呢？我们还这里还有一个中垂线， 那他们能推出什么东西来，然后对我们来说就非常有用，那比如中垂线的话，我们会发现 pbc 就是 个等腰，那这两个角就是 c， 它角平分线的话呢，这个就是 f， 这个就是 f， 这个就是这个题目当中现在啊，我们唯一现在知道的一个啊，简易的数据。然后呢，如果我们现在是想利用这个数据去进行推导我们这个角度的关系的话，我们会发现好像啊，还是有一些难度， 所以呢，这题的话，还需要我们再稍微啊去取一个巧，我们可以再观察一下这个题目它的一个思路， 那什么思路呢？就是在这里面我们会发现此时我们并没有啊，就是直接这两个角的关系，但是我这里有个角平分线，也有个中垂线，中垂线的话，我暂时好像利用这个 c 塔好像也没有多大用处啊，可以先忽略它 啊，我们可以为了方便啊，我们可以先把这个 p b， p c 啊，我们先去省略了它， 然后呢？然后干什么呢？然后我们现在不是有角平分线吗？角平分线就要关注我角平分线的那四个辅助线，然后呢，很明显这里啊还是我的第一个辅助线，也就是做我们的垂直啊，过点 p 做我们的 y 垂直，然后我们把它做一下，把这个我们也做一下， 然后呢？哎啊，当然刚才这个 p b 和 pc 也连上了，连上，然后呢？干什么呢？我们会发现我们 p b 不是 等于 pc 吗？然后呢，角平分线上点到线段，两段距离相等，这个是 m， 这个是 n， 那 我们的 p n 也等于 pm， 也就是说此时可以证出来三角形 p b m 和我们的三角形啊，我们的 p b， 这是 p b m， 还有这是我们的一个 p c n 啊，差不多 啊，做出来好像不是那么像啊，嗯，但是可以将就看 p c n， 然后呢，这两个三角形，它好像就是用我们的 h l 啊，就可以证明是全等的，全等之后，那我的角 p c n， 它是不是也就是 p c a 啊？也就等于我的角 p b m 了？哎，我们会发现这两个角一相等，那，那换句话说我们就可以得到啊，我的角啊， p c a 加上我的角啊，嗯， a b p 啊，它就等于我们一百八十度，也就这就我们现在的数量关系，是有角平分线，你发现它现有的这个信息是没有办法去做的时候，那你就要考虑一下它的辅助线 啊，四个辅助线，外垂直，内垂直啊，截线段也就截长不短的一部分。然后呢，还有就是我们的啊，一个成比例线段加上一个那个等号三号线的存在，那这个的话我们利用的就是向外做的外垂直啊，这是我们这个题的思路。

大家好，我们这个视频来讲一下三角形中线、高线、角平分线，非此规作图和此规作图的比较，这是八年级上册的。 呃，内容我们统一与三角形 a、 b、 c 做 b、 c 边上的啊，这三条线啊，前面一个图我们是非雌龟作图的，后面一个图是雌龟作图的，来做一下比较啊。先看中线 啊，非此规的做中线的话，你要拿三角板的量，然后取中点在哪里，然后连接就可以了啊。像这个它是 没有明显的作图痕迹啊，只能大概的观察。那我们看看此龟作图的是怎么样的？ 此规作图，这个它有明显的有明显的作痕迹啊，一一看就能看出来啊，这是 中线啊，所以这个是中线的比较啊， 我们再看高线的比较，先看非尺规做图的， 再看尺规做图。 非尺规做图做高的话，这个要用到三角板，利用三角板的直角，然后做完呢， 还要标垂直符号，但是此规做图做高了，它就不用标这个 直角符号而做垂直符号啊，然后这个有明显的做的痕迹能够看出来啊，这就是此规做图。我们再看角平分线 啊，这是假平衡线啊。总体比较来讲，你非此归作图，它需要测量， 那么需要用眼睛看，这个可能误差可能比较大一点，而且呢，呃， 老师，老师阅卷的时候呢，可能因为他没有做的痕迹嘛，所以，呃，阅卷的时候呢，可能比较难以判断。 此规作图的话呢，他，嗯，没有呃测量这个环节，所以 误差可能相对比较小，而且他有明显的做的痕迹，而阅卷的时候，阅卷老师能够比较明确的判断。呃，这个过程还有能是哪一种作图？ 所以学了此规做图的话，如果题目没有明确要求我们，呃，个人建议啊，还是做用此规做图要好一点啊。我们从头再来放一下啊。 先是，先是中线，中线非此规量一下这个长度，然后取一半，然后连线。嗯，就可以了。 o 此规作图的中线用到圆规没有刻度的尺子，大概是这样，找中点出来。 o 连接顶点啊 啊，这个是 高线，非此规作图用到三角板直角标上垂直画。 嗯，此规做高线 啊，基本上这样。再看角平分线 非此规要用到两角，去量那个角的度数多少，然后取一半尺子连起来。 还有这个，此规作图角平分线。 好了，基本这样啊，谢谢大家。

今天这只影片我们会学到三件事，第一个求出角平分线的方程式。第二，内分比定例。三外分比定例。 我们用一个例子来看怎么求出角平分线的方程式，并且判断它是锐角的角平分线，求出这两条直线所夹锐角的角平分线。 首先我们要把图做出来，才能判断哪里是锐角，哪里是钝角。锐角角平分线在这个地方，角平分线上任意点到两边等距离，所以用点到直线距离公式，可以做出角平分线 到三 x 加四 y 减七的距离。是三个平方加四平 分之三 x 加四 y 减七，绝对值等于四个平方加三平 分之四 x 加三 y 减七，绝对值好去绝对值加正负 五分之三 x 加四 y 减七等于正负五分之四 x 加三 y 减七。这两条角平分线一个是锐角，一个是钝角。接着判断锐角所在的区域，我们先看这个部分， 它是不是在四 x 加三 y 减七的左边，所以这里是负的区域，然后在三 x 加四 y 减七的右边，所以这里是正的区域。再看下面这个部分， 是不是在四 x 加三 y 减七的右边，是正的区域，然后在三 x 加四 y 减七的左边是负的区域。从这两部分可以看到 锐角平分线处在一号的区域，所以这里要取负的整理出来，变成 x 加 y 减二等于零。 内分比定里， a 珠为内角平分线，则 ab 比 a， c 等于 b 珠比珠 c 好。 为什么？我们来证明一下，过 c 作 c 线段平行， a 珠 交 b a 射线于一点，因为 a 珠是角平分线，所以角一等于角二。再来同位角相等，角一等于角三，还有一组内错角，角二等于角四。由这三个我们可以知道，角三等于角四， 所以 ac 等于 a 一。 接着可以用比例线段上比下等于上比下 b， a 比 a 等于 b， 珠比珠 c。 因为 a c 等于 a 一， 所以把这个 a 一 换成 a c b， a 比 a c 等于 b 珠比珠 c， 这样就证明完毕。接着看外分比定里，若 a 珠为外角平分线， 则 ab 比 a， c 等于 b 珠比珠 c 跟内分比定律是一样的，我们来证明它过 c 做 c 一 线段平行， a 珠 交 a、 b 线段于一。因为 a 珠是角平分线，所以角一等于角二，角二跟角三是同位角。同位角相等，角一跟角四是内错角，所以角一等于角四。内错角相等。 由这三个连的我们可以知道，角三等于角四，所以 ac 线段等于 a 一 线段。接着利用三角形平行线结比例线段， ab 比 a 一 等于 b 珠比珠 c， 然后把 a 一 换成 ac， 所以 ab 比 ac 等于 b， 珠比珠 c， 不 得正。

同学们好，我们和大家共同学习一下角平分线的应用。如图，三角形 a、 b、 c 的 外角角 d a、 c 和角 a、 c、 e 的 平分线相交于点 p 连接 b p， 求证 b p 平分角 abc。 第二，若 a c 等于五，三角形 a、 p、 c 的 面积是十，三角形 a、 b、 c 的 面积是十五，要求三角形 a、 b、 c 的 周长。 我们看第一小问要求证 b p 平分角 a、 b、 c。 我们这个角平行线的线是怎么呢？怎么样利用的呢？所以我如果能证明到在这个一条线上，他分别向这个角的两边做垂线，如果这两个垂线段的长度呢？相等， 那么就可以证明了，这个线连接的这个线，这个点连接这个角的顶端的这个弦线，就是这个角的角平分线。 我们在题目中告诉我们，这个 p 是 属于这个两个外角的平分线，已经告诉我们是其中的外角的两个角平分线，那么呢，我们就 分别向这个两被平分的两个角两边呢？做垂线好。第一小问证明 过点 p 分 别做 p m 垂直于 b d， p n 垂直于垂直于 a、 c 好， p q 垂直于 b、 e。 垂直分别为 m、 n、 q 好。 我们根据这个角平分线的性质，当它垂直平分第一个外角的时候，就是这个 d、 a、 c 的 时候，我们可以得到 p m 等于 p n， 所以 我们把这个平分的这条也要写出来。因为 p a 平分这个角 d、 a、 c， 所以 就会有 p m 呢？垂直于 p m 垂直于这个。我们做做做做做，线是做垂直的，那么这个长度呢？垂线段就可以直接相等了。因为垂直写相等，所以，因为我们已经做了垂直了，我们只需要写垂线段相等，那么那个 p m 呢，就直接等于 p n 了。好， 同理由，这个 p c 它是平分角 a c 一 的， 所以呢，我们直接可以写 p n 就 等于呢 p q， 那 么后面这两个呢，我们就给得到了 p m 呢，实际上呢，它就等于呢 p q 了。我们刚刚说了，从 这个角平分心这里呢，如果有个点啊，内部一个点向这两边做垂线，它的垂线呢就相等的了。如果已经相等到连接这个 p 点 与 b 点的时候呢，就能证明这个 b p 呢，就平分这个角 abc 了， 因为这个点 p 本身在角这个 abc 这个内部的一点，所以呢，我们就只需要通过这个两个垂线段相等，就可以证明 b p 平分这个角 a b c 了，所以 b p 平分角 v b c， 所以 这样就是角对称的性质，所以不需要再证明三角形全等，那就是走了呢比较弯弯路，只需要将这一点与 这个角的顶端这里连接起来啊，因为你有垂线段相等啊，它的连线呢，就平分这个角，所以说不需要呢，做多余的啊。怎么样证明两个三角形 p d q 或者说 p b a 全的？不需要，只需要知道他两个连线有这个两个垂线段到你脚的两边的距离相等就可以了。所以说我们就不需要走一段弯路，证明三角形全等，只需要知道这个垂线段 相等，所以这就是角平分线的这个性质的应用，所以大家不能呢，就是说走弯路，多此一举来证明三角形全等距了。好，第二位 说 a c 等于五，三角形 a b c 的 面积是十三角形 a、 b、 c 的 面积是十五，要求 a、 b、 c 的 周长， 我们要求三角形周长。他已经告诉我们，那个 a、 c 是 不是等于五的呀？我们只需要知道求出 a、 b 与 b c 就 可以了， 那么呢，他告诉我们两个面积了，我们看一下三角形 a、 p、 c， 三角形 a、 p、 c。 哦，我们刚刚已经知道了，做了垂线了，这就是 这个 p n， 就是 这个三角形 a、 b、 c 的 高。所以说我们写 s 三角形 a、 p c， 它实际上就等于二分之一的 a c 乘以 p n， 我 们这边用点来表示， 等于呢？二分之一乘以五，乘以 p n， 它等于多少呢？等于十的，它告诉我们等于十了，所以此时呢， p n 就 等于四，所以 p n 的 长度就等于四。既然 p n 等于四呢？我们刚才在第一小问这面角平分线的时候，是不是我们得到了这个三个垂线呢？都是相等的，那么就，所以呢， p m 等于呢？ p q， 它也是等于四的。好，得到这个高度呢？我们可以看一下，我们把三角形 a、 b、 c 分 成两个三角形， 我们分成第二个三角形 b、 n、 c， 再来求出三角形 a、 b、 c 的 面积。好， s， 三角形 a、 b、 c， 它就等于二分之一 a、 b 是 不是乘以我们这个高度啊？好，请高多少 pm？ 好， 乘以 pm， 我 们把它分成第一个三角形，加上第二个三角形 b、 n、 c， 它是不是就是这个 底？是 b c 高度为 p q 啊？好，加上二分之一的 b c 乘以 p q。 好， 因为这个 p m。 我 们刚刚说的 p m， p q 都是等于四的。好，那我们把这个代数式呢 合起来写一下 s， 三角形 a， b， c 就 等于呢二分之一，我们把它提出来，那么呢，括号写成 a b 加上 b， c 括号，因为它们两个相等的，所以我们把它乘以它们的长度四等于告诉我们的多少呢？等于十五啊，当然等于十五了，所以我们只需要说求出 a， b 和 b， c 的 长度，是不是就可以求三角形的周长了呀？ 此时呢，我们把这个，所以就得到 a， b 加上 b， c， 它就等于呢二分之十五了。好，所以 三角形 a， b， c 的 周长，它实际上就等于呢 啊， a， b 加上 b， c 加上 a c。 题目呢，已知条件 a， c 告诉我们点五了，我们只需要求出 a， b 加 b c 了，是不是就已经求出来啊，所以呢，它就等于呢二分之十五，加上你一直告诉我们这个五了，所以它就等于呢 二分之二十五了。好，到这里呢，我们就把它 解完了啊。这题主要是让我们明确的知道角平面线的性质和定力的应用， 我们就说不需要去通过三角形的全等来证明，我们直接利用它 这里面的点到两个这个角的两边的这个垂线段的距离相等，他们所形成的这个连线啊，到顶点的这个连线就平分这个角了 啊，就是说我们一定要明确这一点，不需要再去证明三角形全等啊。这道题呢，我们就讲到这里，谢谢大家。

好，我们来看双角平分线模型。哎，我们之前是不是涉及了双 中点模型啊？那这个双角平分线模型，其实它可以类比于我们学过的双中点模型。好了，那我们具体来看一下啊， 先看第一种情况，他是说了分两种情况，说什么是双角平分线，两角共一边，求角平分线加角。啥意思呢？你看已知看这个图啊，第一个图说 o n 平分角 a o b o m 是 角 a o b 的 平分线 说 o n 是 角 b o c 平分线， o n 平分，角 b o c， 那 你看这两条线射线就是角平分线。好了，让我们求角。来嘛，求中间这个角，那你说这咋求啊？ 好了，先先分情况。第一种情况是什么呀？两个角没有公共部分，啥意思？你看这个平分的角 a o b 和 b o c 没有公共部分， a o b 在 这里， b o c 在 这里，它俩没有公共部分，这就是第一种情况。那在这种情况下怎么去求角 m o n 呢？哎，我们来看下面的这个推导过程啊，很简单， 首先呢，角 m o n 可以 看，这是两个小角之合啊，那你看是不是等于这两个标出来的角之合呀？ 哎，那这两个角呢？又因为 o m 是 平分线，那么这两个角又等于二分之一的角 i o b。 角一是二分之一的角 i o b， 那 这里的角二呢？就是二分之一的角 b o c。 那你再把二分之一提出来，括号里面，角 a o b， 掐角 b o c， 你 看图， i o b， 角 b o c 不 就是角 a o c 吗？哎，也就是说，咱们的角 r n o n 等于二分之一的角 a o c， 这就是双角平分线第一种情况的结论。 好了，那有第一种情况，我们有，有了叫做没有公共部分。那肯定还有一种情况叫有公共部分呀，这咋理解呢？那我们来看这个啊，我们来看这个图， 我们来看这个图。说两个角有公共部分，啥意思？ o m 仍然是角 a o b 的 平分线，是不是角 a o b 的 平分线，而 o n 呢？是角 b o c 的 平分线， boc 的 平分线。哎，那你看 aob 和 boc 这两个角是不是有公共的部分呢？ 哎，有公共的部分。好了，那这种情况结论是否成立呢？我们来看，你看，首先不妨设角 aob 大 于角 boc。 你 要理解一下这句话，什么叫做不妨设 aob 大 于 boc， 因为题目中没有告诉你谁大谁小，那么我就人为地令它 a o b 是 大角， b o c 是 小角，它是不妨碍最终的结论的。你也可以去设角 a a o b 小 于角 b o c， 这都没有关系。 好了，那我们来看这个结论是否还成立？此时你再来看我们的角 m o n 等于什么呢？角 m o n 这个角，角 m o n 这个角，是不是就等于角 b o m 来看啊？等于这个角 b o m 这个大蓝角减去角 b o n 这个绿色的角啊。哎，它等于这个蓝角减去这个绿角。我们看图，它俩之差。那角 b o m 呢？ b o n o m 是 角平分线啊，所以角 b o m 就 等于大角 a o b 的 一半。哎，那你看，在这里，我们角 b o m 就 代换成了二分之一的角 a o b。 那你再看图里面的这个角 bo n 呢？因为 o n 是 角平分线，那角 bo n 不 就等于二分之一的角 boc 吗？ 等于二分之一的角 b o c。 那 继续把它进行代换，角 b o n 等于二分之一的角 b o c。 同理，我们把这个二分之一是不是提出来呀？那么括号里面就变成了角 a o b 减去角 b o c。 那 你看一眼图，角 a o b 减去角 b o c。 一 减剩谁，是不就剩了这个角 a o c 啊？哦，减出来就是角 a o c。 哎，那你看这个结论没变， 角 m o n 还等于二分之一的角 a o c。 你 再返回过去看刚才第一种情况，第一种情况里面是不是角 m o n 仍然等于二分之一的角 a o c？ 哦，也就是说，双角平分线模型，不管两个角有没有公共部分，看好有没有公共部分，这个结论都成立 好了，有了这个先决的条件，那我们来看实战例题。好，我们来看第十三个例题。例式散，我们来读一下。题 说如图， o b 是 角 a、 o c 的 平分线， o b 是 角平分线， i o c 角平分线，然后呢？ o d 是 角谁呀？ c o e 的 平分线。那你看这是不是双角平分线呀？ 哎，我们即使不往下继续读题，你读到这里，你也应该立刻能看出来，角 b、 o d 和整个大角 a、 o e 之间的关系， 是不是二分之一的关系啊？好的，我们来看看求谁？求的就是角 b o d。 好 的，那么这是一个填空题，我们不需要过程，那我们就立刻考试当中能够得到这个结论。现在已知了这个角 a、 o c 是 不是等七十度， a o c 是 七十度，然后呢？ a、 o c 是 七十度，角 c o e 这个角是不是四十度？哎，一个七十度，一个四十度，所以呢，我们的角 a、 o、 e 是 不是就等于它俩相加呀？就等于角 a、 o c， 加上角 c、 o e 就 等于七十度， 加上四十度，是不是等于一百一十度？好了， i o e， 我 们知道了，那现在要求的 b、 o、 d 不 就等于二分之一的角 a、 o e 吗？这是我们刚刚证明的 双角平分线模型的结论。所以角 b、 o、 d 就 等于二分之一的角 a、 o e 就 等于多少？二分之一乘以一百一十度，是不是等于五十五度呀？ 好了，答案就是五十度五度。但有人说，老师，那不用，这个双角平分线的结论能做吗？也能做，你看角 b、 o、 d 等于谁啊？是不是等于这里的角一加角二， 那角一不就是二分之一的四十度吗？我在这再写一个方法，用蓝色的笔，那不就等于角一加角二吗？角一不就是二分之一的四十度吗？ 而角二呢，不就是二分之一的七十度吗？那你自己算一下呀，二十度加上三十五度还等于五十五度，你看两种方法的 结论是不是一模一样啊？是不是？但是你感觉用双角平分线模型这个结论比较快。好，来，这就是这道题。好，那我们就继续往后看，有了历十三，我们再来看历十四。哎，我们来读一下题目， 说已知角 a、 o b， 看图啊，角 a、 o b 是 九十度。哎，这个里面呢，我们先要教大家这个审题啊，你看他把已知角 a、 o b 九十度放在了最前面去写，后背有三小问，啥意思？ 就是这种题做起来，这是一个先决条件，第一问，第二问，第三问，都满足， a、 o、 b 九十度，说清楚了啊！好了，来看第一问。 第一问，如图一看，这个图说 o、 e、 o、 d 分 别是平分了角 a、 o、 b 和 b、 o、 c。 啥意思？ o、 e 是 角平分线，平分了减角 a、 o、 b， 然后呢， o、 d 也是角平分线，平分了角 b、 o、 c。 典型的双角平分线模型，告诉我们 e、 o、 d 的 度数了，让我们求角，谁求角？ b、 o、 c 求角 b、 o、 c。 求也简单呀，因为还是填空题，我们就可以很快的得出答案啊。根据双角平分线模型的结论，你这个角 e、 o、 d 是 不是就等于二分之一的整个这个大角啊？ 哎，我们是不是直接可以把这个角 a、 o、 c 用双角平面的结论给它求出来？哎，也就是角 a、 o、 c 就 等于二倍的角 e、 o、 d 等于六上 二乘以六十四，是不是等于一百二十八度？哎，等于一百十八度，那等于一百十八度。之后，我们再怎么来计算这个角 b、 o、 c 呢？那你看这个角 b、 o、 c 加上角 a、 l、 b， 它俩一加不就是整个大角吗？ 所以角 b、 o、 c 就 等于整个大角减去九十度，这不就出来了吗？所以角 b、 o、 c 就 等于角 a、 o、 c 减去角 aob， 这减出来就是角 boc 好 了，等于多少？哎，是不是等于咱们的一百二十八度？减去 aob 九十度就等于三十八度啊？来，所以呢，第一问的答案是多少啊？哎，是三十八度。 好，那我们再来看第二问，你看第二问，说了说如图二。好了，现在我们把目光放到图二，这样看，如图二。图二呢，说 o、 e、 o、 d 分 别是 a、 o、 c、 b、 o、 c 的 角平分线。注意哦，这个平分线变了。 第一问是 a、 o、 b 和 b o c， 第二问是 a、 o、 c 和 b o c 啊。审题要审清楚，说弱角 b、 o、 c 的 度数告诉我们等于四十度，这个角告诉我们等于四十度。求角 e、 o、 d 的 度数，求角 e、 o、 d 的 度数。 那你看，这是不是也简单呀？也简单，角如 e、 o、 d 仍然因为 o、 e、 o d 是 双角平分线，他们的加角等于整个大角的一半啊，那我把大角看能不能求出来啊，看看能不能求出来。好吧，我们来看一下能不能求出来。 来，第二问，第二问里面，角 b、 o、 c 这个角是九十度，那你说总共多少度 来？角 a、 o、 c 就 等于角 i o b 加上 角 b、 o、 c 是 不是就等于九十度？加四十度就等于一百三十度？ 好了，整个大角是一百三十度，那么一百三十度，一百三十度，你现在要求的是谁啊？哎，你现在要求的是角 e、 o d 是 角 e、 o d， 那 角 e、 o d 你 去怎么求呢？看角 e、 o d 怎么求啊？ 角 e、 o d 来，你看，是不是我们可以这样来求啊？整个大角是一百三十度，那你除以二，除以二是不在这里，哎，是不在这里， 哎，注意啊！但是这个题你审题的时候要注意人家说的是什么呀？ o、 e 是 角 a、 o 线的平分线，这个时候你就要注意，根据咱们双角平分线模型的结论，咱们 e、 o、 d 跟谁是二分之一的关系啊？跟谁是二分之一的关系？ 来，注意哦， a、 o c b o c 把中间儿的这个 c 给它去掉，是不是应该是角 a、 o、 b 的 一半啊？这个一定要注意哦，我都已经说了，审题，审清楚是谁的角平分线。由双角平分线模型的结论，我们就可以得到角 e、 o、 b 是 不是等于二分之一的角 a、 o、 b 啊？ 而 aob， 其实我们都不用算 aoc， aob 是 多少？ aob 不 就是九十度吗？所以直接二分之一乘以九十度 等于多少？是不是四十五度？嗨，所以第二问的答案就是四十五度。当然了，你不用这个结论，你去算一下也是可以算出来的， 也是可以可以，也是可以算出来的啊。好了，那我们就继续来看，我们继续来看第三问， 来看第三问，好，来看啊，第三问，他是不是没有画图啊？来，没有画图没有关系，那我们来看一下他说的是什么？说若 o、 e、 o、 d 分 别是角 a、 o、 c、 b、 o、 c 的 平分线。 哎，那你读到这是不是这个条件跟第二问里面这个条件是一模一样的？ o e 是 a、 o、 c 平分线， o、 d 是 角 b、 o、 c 的 平分线，那这两个条件不是一样的吗？ 不一样的呀。哎，那我们是不是可以起码先借用一下图二啊？哎，所以我们是不是可以先去借用一下图二，然后呢，告诉我们，角 b、 o、 c 如果是 r 法度的话，这个角是 r 法。好了，第三个，我们把第二个的图清掉 啊，如果角 b、 o、 c 这个角是 r 法度，并且是零到一百八，求角 e、 o、 d 的 度数，求这个角的度数。那你看这题咋做呢？这个时候我们是不是要分类讨论呀？ 分两种情况，分两种情况，分哪两种情况呢？你注意来，我往上推一下啊，分哪两种情况？你看 讨论的临界点怎么去找这个阿尔法？你看是不是 o e 是 角 a o c 的 平分线， 你看 o e 是 角 a o c 的 平分线，那角 a、 o c 是 不是要讨论一下？为啥要讨论？是不是当 o c 如果变成角 a、 o c 是 一百八十度这种临界值的时候， 如果它没有到一百八，比如 o e 还在这里的时候，你的 o e 是 不是在这个右边啊？我们来说是不是可能在右边？ 但如果你的 o c 已经跑到这面了，你的 o c 已经跑到这边了，那你 o e 作为角 a、 o c 锐角部分的平分线，是不是就跑到左边去了呀？哦，所以这里是不是有一个分类讨论？ 哎，有一个分类讨论，这个要注意啊。好了，第三小问。第三小问，第一种情况，当阿尔法小于九十度的时候，零到九十度的时候，是不有一种情况，哎，我们的当 当零度小于阿尔法小于阿尔法小于等于九十度时， 等于九十度时，那你看这个时候，其实它不就是什么呀？第三问，跟第二问，它一模一样， 是不是一模一样？就是这个角 b o c 四十度换成了阿尔法，是不是换成了阿尔法？哎，换成了阿尔法。 而你看，最终我们根据双角平分线的结论，求的角 e、 o d 跟你这个角没关系啊，因为它双角平分线的一半，所以跟这个角没关系。 此时，哎，你发现没有？继续利用双角平分线的结论，角 e、 o d 等于二分之一的角 a o b 就 等于二分之一乘以九十度，等于四十五度。 好，那第二种情况下，我们就要着重考虑一下了。那比如说第二种情况，我给大家画出来，比如说 o c 跑到了这里 来， oc 如果跑到了这里，那你说此时的 o e 在 哪啊？来，此时的 o e 可能是不是就在这个位置了， 哎，此时的 o e 就 跑到这个位置了，这个时候你就不能轻易地套用这个结论了，是不是？哎，因为呢，两个角已经不在同一边了，角 a o c 和角 b o c 是不是？那这个时候怎么办呢？哎，你不套用结论，那我们推，看能不能把它推导出来。那你往这里来看，此时呢，我们记为两个角，这两个角加起来，角 e o c， 加角的角 e o c 加上角 c o d 是 不是就是我们要求的这个角啊？是不就是我们要求的这个角？那你说这个角 e o c， 这个角，这个角怎么做呢？这个角怎么求啊？ 你看，你别忘了，它有一个角是阿尔法呀，角 boc 是 阿尔法，这种情况下，这个阿尔法在哪呢？角 boc 是 不是整个这个角是阿尔法呀？这个角是阿尔法。那你角 aob 是 不是九十度？ 那我能不能先把角 aoc 算出来？哎，先把这个角 ioc 给它算出来，哎。第二种情况，当 九十度小于二法小于等于一百八十度时，呃，小于一百八十度啊，题目要求的是小于一百八十度。 好了，此时的时候，我们先把角 a o c 增出来，那角 a o c 怎么算呢？是不是我们可以用整个三百六十度的这个周角减去这个九十度，再减去 r 法， 看到没有？三百六，把这两个角一减 o 是 不是等于三百六十度？减九十度，再减阿尔法就等于二百七十度减去二 f， 当然 o c 有 了。那我现在能不能把这个角 e、 o c 表示出来一半啊？当然可以。好了，所以此时呢，咱们的角 e、 o c， 角 e o c 就 等于二分之一的角 a、 o c。 这是根据题目的已知条件啊。然后呢，二分之一乘以二百七十度减阿尔法就等于多少啊？就等于一百三十五度减去二分之阿尔法。 好了，角 e、 o c 出来了。下面我只需要再算出来这谁啊？算出来咱们的角塞 o d， 是 不是算出来角 c o d 就 可以了？注意哦， o d 是 角 b o c 的 平分线 b o c。 阿尔法，角 b o c 直接二分之阿尔法 好了。又因为角 c o d， 角 c o d， 角 c o d 等于二分之一的 角 b o c 就 等于二分之二法。它最终的结论呢？最终的结果就是把这两个角加起来啊，是不是把这两个角结论加起来？哎，结论就出来了。所以咱们的角 e、 o d 就等于角 e、 o c。 加上角 c o d 就 等于一百三十五度减二分之二法，再加上二分之二法等于多少？是不是就等于一百三十五度？ 好了，这种是最终的答案。第三问分了两种情况，一种是四十五度，一种是一百三十五度。这道题好好自己再体会一下。

各位同学大家晚上好，我们今天继续来讲解呃，角平分线模型的第二个模型叫做内外角平分线模型，昨天讲的是双外，今天讲的是一内一外，明天要讲啊，或者是下周一要讲的是双外啊。今天咱们先说一内一外的， 那像一内一外的这种模型，它的结论是什么？我们先看它的造型是什么啊？所谓一内一外内，就是像 b、 d 这条线哎，它平分了这个三角形的外角。谁呀？ a c e a， c e 的 一个角平分线 c、 d， 是 吧？它平分了这个 a、 c、 e， 得到两个相似的两个等角 a、 t， 像这种造型，它就叫做一内一外，称之为内外角平分线模型，它的结论是什么？就是两个顶角之间的关系，两个顶角间的关系就是什么呢？如果说是角 a 的 话，那就角 a 是 两个角 d， 那如果说角 d 的 话呢？角 d 就是 角 a 的 一半啊。我们可以这样去理解，你甭管是从角 a 的 角度出发也好，还是从角 d 的 出发角度出发也好，你都得去理解啊。那接下来我们来说一下为什么会有这个结论，他是怎么证明的？我把证明过程给大家写一下 好，为什么会出现这样他们之间的这个顶角间的关系呢？我们来证明一下啊。证明一下，我们可以用什么呢？用三角形的外角定力来证明是吧？那我们来看一看三角形的外角，哎，也就是这个角是它的外角，对吧？那我们来看一下角 a 加上两个阿尔法，哎，是不是等于两个贝特， 对吧？因为这个是三角形 a、 b、 c 的 一个外角，哎，所以说等于它不相邻的两个内角，对不对？好，第二个式子，角 d， 角 d 等于什么呢？我们可以用内角和公式来表示，对吧？角 d 在 三角形哪啊？ b d， c 里边，所以说角 d 等于什么？哎？角 d， 角 d 加上角阿尔法是不等于被他， 是吧？好，我们来给它标上一式，给它标上二式，哎，两个式子进行啊，用一式减去。我们想把二式也变成两个啊，那个 alpha 的 两倍和 beta 两倍，对吧？可以把二式先乘以二，哎，这样我们就能得到什么 一减对，就能，就直接能得到角 d 等于二分之一的角 a。 哎，很简单，我们可以根据这个等式之间的性质，是吧？等式之间的性质去替换我们中间的。我们想把 a、 d 在 一个式子里边，表包那个出现吗？那么就要把两个式子给它连立起来，嗯，就能得到这样一个公式，角 d 等于二分之一的角 a， 或者角 a 等于什么？ 二倍的角 d。 记住好，来看例四的第一小题。第一小题说了他是一个角平分线，也告诉我们了他完全符合我们的内外角平分线模型，对吧？那他的结论就是角 a 一 等于什么？两倍的角 a 二， 或者你写角 a 二等于二分之一的角 a 一 就行了。也就说谁是大角，他是大角，他是小角，是吧？那大角告诉你是六十八了，那小角是多少小？小角就是六十八的一半呗，对吧？用六十八除以二就行了，三十四度按三十四度就搞定了。 那他让你试说明理由，我们的理由就可以根据我刚才所说的这个，利用什么一个啊，外角定律啊，外角定律去列出来两个，什么两个关于 a 一 和 a 二的关系式啊，我们进行合并就能说明了，很简单，其实也是归结于我们的结论啊。结论好，我们来看第二小题。 好，第二小题说如图二，在条件，在一题的条件下啊，一题已经说了，他是一个什么模型，一个内外角平分线模型，而且告诉我们角一是六十八度，对吧？哎，他问你能不能写出 a 三的度数，那同学们看，这，其实我们图一是这样的一个模型，哎， 对吧？我们根据图一算出来图二是多少度？三十四度，那么来看，现在这个图是不是在 a 二的基础上， 哎，拓展到了 a 三，那不还是一个双外角平分线模型吗？对吧？那此时此刻的这个大角是谁了？大角就 a 二了吗？小角就谁，小角就是 a 三了，那就是三十四的一半呗， 那就十七度吗？对不对？所以说 a 三的度数就是十七度啊，很简单，以此类推，你再往下也会算，再往下也会算，往左你也得会算，乘以二，往右你也得会算，除以二，对不对？哎，以此类推。好，我们来看下一题。 好，我们来看四点一，四点一呢？他，是啊，像一个皇冠似的，对吧？那我们可以看一下上面三个顶角，角 e 角， a 角，第三个顶角啊，左边两个，右边两个，中间那个角 a， 他 其实就是一个什么，他就是一个过渡，哎，我们先往右边说吧， 跟角 d 组成的这个啊，双外角平分线模型，那角 a 冲的责任是什么？大角，对不对？那所以说角 a 应该等于谁？等于二倍的角 d？ 好， 那再往左边来看，跟角 e 串上以后，哎，这个 e 角跟 a 角，它俩一结合，形成这样一个外角模型的时候， 那我们来看看角 a 等于什么，哎，角 a 还是那个大角，对吧？谁是那个小角了？角 e 对 不对？所以说角 a 等于二倍的角 e， 那 么这么一看呢，三者之间的关系不就出来了吗？对不对？是不是角 d？ 哎，跟角 e 他 俩是什么？是相等的关系吧，对不对？他俩相等，那跟角 a 什么关系？都是角 a 的 一半啊，所以说等于二分之一的角 a， 哎，三者之间的关系一目了然，你只要搞清楚谁是那个大角就可以了。哎，这道题不难发现，哎， a 是 那个大角，两边呢，都是在它的基础上，哎，进行了一个什么外角平分线，所以说，搞清楚谁是大角，谁是小角，大角是小角的几倍，哎，两倍。好，我们来看下题。好，同学们，我们来看这道题，如图， b p 和 c p 是 两个平分线，一个是内角平分线，一个是外角平分线，对吧？那可以把这个角分成两个相同的角，这样也是二十度，那这样呢？同样也是五十度，他现在要求的是角 a 跟角 p 的 怎么样？他俩的和， 我知道他俩是二位关系，但是他俩要想求和，那得知道具体的啊，这个数值，我要知道 a 是 多少了，那 p 自然就知道多少了，那和也就知道了。同样，我要知道角 p 是 多少呢？角 a 也知道，那我们来看一下。那我们先求以前求角 a 为例吧。 看这个角是由两个五十度组成，那这个角是多少度？是不是八十？因为他俩互补嘛， 是不是这一个八十，这是多少？四十，四十加八十，一百二，一百二。那角 a 肯定就是六十度，角， a 是 六十度，那角 p 就是 三十度，对不对？那一目了然， a 加 p 等于多少度？九十度，那我们能不能先求角 p 呢？同样也是可以的，是不是？我们来看一看怎么求角 p 啊？ 求角屁也很简单。首先这个角是我们说的二十度，对不对？那这个角呢？刚才算出来是多少度？是八十度，那他俩的和是多少度？是不是一百三十度？那他们那角屁自然就出来三十度了， 对不对？很简单的一道题，其实我们要找，只要搞清楚啊，求出一个就知道另一个。哎，我们知道内外角平分线模型，他的这个结论是什么啊？就是啊，内角平分线是外角平分线啊，所引出来的这个角，他们俩是两倍关系，谁是大角谁是小角，一定要记清楚好不好？好，今天的课就到这，我们下期同一时间，再见！

八年级数学轴对称第七题，如图，已知三角形 a、 b、 c 的 面积等于二十四， a 达平分角 b a、 c， a 达，这是平分，两角相等， 这是当 a 达垂直于 b 达求角， a 达 c 的 面积。 这个题呢有点难，就是考察你对图形的这个敏感程度，一个角平分线，一个垂直。 这个题呢可以从两方面来讲，一个是呢，就是说对你对角平分线的熟练程度， 咱们一个角平面线，我在这划一个角，这是角平面线。咱们说一个角平面线的话，常见的常见的做辅助线的形式，就是有一种，就一般都说，哎，根据角平面线的性质，在这做一条垂线，这做一条垂线，这俩相等， 这俩角相等，这不这两个边相等，然后做一做这个，这个显然不是那种情况呢。还有一种做辅助线的方法，就是来一刀垂直， 那在讲角偏分线，这个这个这部分内容的时候，那老师的学校的老师都会讲说针对角偏分线做辅助线， 这是一种，这是一种。当然还有一种有这个角边线，往这这么着，他说一直有，这，一直有这条线，然后在这个边上呢找一条，找一个点，使这个这个等于这个，然后也是全等， 基本上都是一个角平分线，大概其就是这么做辅助线的话，有这么三种形式，这种形式如果你要是印象比较深的话，就是给它延长， 要把它延长花了一半啊，这对这个图形来说，它只花了一半，它得延长出去， 这是基于这个角平分线的做辅助线。还有一种呢，就是说呢，也是这么做的，这个这个也是这么延长必达， 你看这是 e 延长到 e， 还有一种做辅助线的，这个那啥就是说有个垂直，只要是有个垂直，那做辅助线就是延长， 延长使这个边等于这个边，然后然后这样话构成一个等腰三角形，边角边呢？边角边全等啊，构成一个等腰，这个这个边等于这个边。 这个题呢，咱们就是说延长必达，呃，角 a c 一 点，然后呢就是说这俩角相等，这个延长之后，这也直角啊，这拱边呢？角边角啊全等，全等完了之后意味着啥呢？两个三角形全等， 那对应边相等，对应角相等。还有一个呢，就是面积也相等，两三角形全等就完全一样的， 那面积肯定是一样的。你说这个面积等于这个面积，它不是这样的针对面积这方面吗？已知也有面积二十四，也是求面积，求二 c 的 面积，然后这边一等，一等完之后延长它，延长它之后这两个三角就边 角，边角、边角全等，全等完了之后两个面积也相等，然后这个边就等于这个边，这边等这个边意味着啥呀？ 看你能不能左看一眼，能不能往外看一眼。这两边相等的话，你再你再往这看，这个属于这个三角形 b c e 这个大三角形，这个答案相当于是 b e 的 终点，那这个面积等于这个面积， 这个面积等于这个面积。这个面积。现在求 a 加 c， a 加 c， 是 这个加这个 这个讲这个也就是 a 加 c 的 面积的，应该等于这这个四边形的面积。因为它和它相等，它和它相等啊。 有时候这 abc 只分了这部分，它和它相，它和它相加，等于它和它相加，那么这个面积就是二十四，除以二十二， 因为把它看成两部分，分成两部分， a、 a 大 c 是 一部分， a、 b、 c、 d 是 一部分的，对应的都相等啊，那这个 a 大 c 的 面积肯定是整个面积的一半。 这道题呢，有点难。这道题有点难呢，但是有些好手能能很快做出来，要是水平一般的话呢，可能 语文一般的话，有的时候看状态。这道题呢，就是在校下上课的时候也老给学生出，就说呢，有些中等的水平呢，他发育好的话，他也能做出来，但是大多情况下中等水平都做不出来， 把它擦掉。 第七题，刚才刚才讲的这道题等于十二啊，它的 a 加 c 的 面积是整个面积的一半， 对角平分线和垂线灵活运用，组合起来应用这道题。下面这道题第八题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， a， b 等于 a， c， 角 c， a， b 等于九十度，等于角。三角形，答是 a， 答是 a， c 上一点 c， e 垂直，必答 交 b。 答，延长线以点 e， 且 b， e 等于二倍的 c， e。 求证 b 答是三角形 a 四角 a， b， c 的 平行线。 这个题都是说在学生们做题的时候，感觉到这题比第第七题要难一点，这道题呢，做出来的人比较少使用。这两道题的思路是一样的，今天我举这两道的例子呢，就想说明它们思路一样。 第七题呢，是已知垂线，求是角平分线，但它又多别的条件呢，此路是一样的。 咱们刚才在这讲说一到一个垂直的时候，我刚才在这写着，一到一个垂直的时候，常见的锁线都是延长这个，延长这个，使这个距离等于这个，然后再连起来，这样三角形全等这个边就等于这个边，构成一个等腰三角形。 遇到垂直的话，常见的辅助线也可以这么做，试一把就是不行的话再换呗，反正这是一种常见的一种一种辅助线的方法。有垂直的话，延长一个边，等距离延长一个边， 这个时候呢，你的等级的延长 c、 e， 使这个到哪搁这去上等，别那么着，要不你还得跟它结合呢。延长延长 c、 e 和 b a 交于 f 点， 延长 c、 e 和 b， a 交于 f 点。见见这种曲线的延长， 所以也没这个让这个等于这个，让这个等于这块，你还得使这条线延长，之后你再正它那相等就行。 这道题呢，是有点难，比第七题感觉有点难，这题就 a、 b 等于 a、 c 的 例子， a、 b 等于 a、 c c 只要四十五度，四十跟四十五度这个关系不不太大。 咱们说在做在做全等这个题的时候，如果一到两三边相等，或者等腰三角形，或者等腰直角三角形， 或者是等腰三角形有两边相等的话，有一种思路，就是让这两个边，让等腰三角形的两个边，看看能不能在分别这两个三角形里边，然后作为这个三两个三角形全等的一个条件。边边相等， 这是一个常见的思路，说全等的时候，老师都应该强调这点，如果有相等的两条边，看看这相等的两条边是不在，是不是在分别在两个不同的三角形里边。然后呢，能不能全等，能不能往全等的方向走，这两边相等也是一个条件呢， 这是一个常见的思路。 ab 等于 ac， a、 b 在 哪三角形里边呢？这 a、 b 在 三角形里边多了，既在这个大三角形里边，又在这个小三角形里边，那就在这个小三角形里边，那 a、 b 也在这，在这个小三角形里边。两个小三角形比较去， 首先这个这个直角有个有，有个角相等的，然后有个边相等的，再找个边，或者再找个角， 两个直角相交的时候， 在这个线下讲课的时候，我特别爱把这句话写黑板上，两只脚相交，必有等角， 而且遇到这种情况的时候，这个往往是解题的一个思路， 从这样下手解大部分题，在我感觉在百分之九十以上的题，有两个角相交的话，你肯定能找着等角的，而且这等角呢，往往是解题的一个方向，应承两回解大部分题都这样，这个题两个直角，他加他等于九十度，他加他等于九十度， 这俩相等，所以这个角肯定等于这个角，两只角相交的话，肯定能找，肯定能找出等角。利用八字形啊，利用别的啥的都不能找，这是八字形啊，利用八字形可以找，这个等于这个， 这俩也相等。咱们说这个 a、 b、 d 和和这个 a、 c、 f 这两三角形，咱们整全等，那这有一个边，这个直角，这这两角相等，角，边角角，边角全等 一圈，等完了之后，你看这任意条有必答呀，那必答就等于 c、 f， 都是都是斜边，斜边相等， b 答等于 c f， b 答还等于二倍的 c e， 也就说 c f 是 二倍， c f 是 二倍 c e， 那 就说明 e f 等于 c， 这两边相等，这两边相等。咱不正对角平分线吗？是这两边相等， 这是直角啊，那当然延长出来也是直角啊，还这股红边呢，边角边全等，边角边全等全等，这个角等于这个角，它是角平分线。 这第八题实际上和第七的思路是一样的，都是你这个，你这角平行线了，你你你延长，给他来一刀， 那正角平行线的时候，你也给他，这也也有这意思了，你看也到一半了，你也延长。所以解题思路是一样的。但是说第八题从这个向下来看的话，第八题明显是比第七要难， 比第七要难，第八题做出来的很少，就第七题呢，有做有人做出来，第八题做出来的人不多。 那通过这两个例子呢，咱们应该就是说这种做辅助线，一道垂直做延长 是百分之百习惯。那肯定不是说有不行的话，再换呗，再换别的方法呗，谁看题的话一下子都能看到底了，底子都都都都是选择的特别正确啊。往往他说，哎，选的不对，再换别的法。 他说试一下角平分线的时候有这样来一刀的垂直的，你正角平分线的话，你也可以按这走啊，你也按这走。 这种角平分线和垂直这种这这种题的辅助线，这两个实际上是一样的，都是延长。 就是这两道题呢，都是都是跟等腰三角形有关系。第七题呢，是推出一个等腰三角形的。 第八题呢，第八题呢，是已知等腰直角三角形，略等腰直角三角形，都是跟这方面有关系，跟等腰三角形有关系。那咱们选这两道，呃，多少有点难度这种这种，这个初中几何题呢？一是左减题， 左减题是一方面，另外一个呢，就是说对这些题应该静下心来，反复观察这个图形， 反复体会这道题。别着急，做完之后都都做下边的。你要是起初做一道题，如果这道题你当时不会做，或者说你你这个用了很长时间才把这道题做出来的，那肯定这道题 需要的一些思维你可能不具备。那就静下心来，好好的看看这道题，好好的体会这道题。你要是在那啥，对这种题的图形，你多研究研究。 初中几何给学生的感觉太难了，老师也有这种感觉，学生们觉着学着特别费劲， 啥题都有，或者什么难度的题都有，多坚持，多体会。今天就讲这么多，下课。

各位同学好，今天这个视频我们要一起学习一个在几何解析中非常实用的核心模型，双角平分线模型。 在三角形的问题里，我们经常会遇到两条角平分线相交形成夹角的问问题， 很多同学面对这类题目时会觉得无从下手，其实只要掌握了这个模型的核心规律以后，再遇到相似的角平分线夹角问题的时候，就能快速找到解题思路了，甚至直接套用结论可以秒出答案。 接下来我们来一步步看看一下这个模型的三个方面。第一个啊，双内角平分线模型夹角模型。看图形 条件如图一，在三角形 a、 b、 c 中有两条重要的射线，射线 b、 e 和射线 c f、 b、 e 是 角 a、 b、 c 的 角平分线， 我们把这两个表角标一下，说明它们两个相等。 c、 f 是 角 a、 c、 b 的 角平分线，用另外的符号把它给标注一下， 说这两条平角平分线相较于一点 g， 我 们来看看这个焦点 g 与三角形三个顶点形成的角 b、 g、 c 和三角形它的内角 a 有 什么样的一个固定关系。当然这边的结论已经 类给我们同学了是不是？我们主要呢是看一看这个结论怎么去推导。要找到角 b、 g、 c 和角 a 的 关系，我们可以从大家已经掌握的三角形内角和定力入手。 三角形内角和是等于一百八十度的啊，任意的啊，任意一个三角形的三根内角之合是一百八十度。 首先来看一下这个大三角形 a、 b、 c。 根据三角和三角形内角和定力，我们可以得出这样一个结论，角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b 加上角 a 是 等于一百八十度的。 这时候我们把角 a 移到我们的等式的右边，所以就可以得出角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b 等于一百八十度减去角 a。 这步很简单，就是对我们内角和定理进行一个简单的并行。呃，变形运用的是等式性之一，目的呢，是把两个内角和用含 a 的 式子表示出来，方便后续的整体代入计算。接下来我们结合角平分线的 定义来分析。我们刚刚说啊，题目中已经明确 b、 e 是 角 a、 b、 c 的 角平分线， c、 f 是 角 a、 c、 b 的 角平分线啊。角平分线能够把一个角分成两个大小相同的小角，那也就是说，角 g、 c、 b 是 等于二分之一角 a、 c、 b。 角 g、 b、 c 是 等于二分之一角 abc 的 啊，这是我们求出来的条件。现在呢，我们想要求角 g、 b、 c 加上角 g、 c、 b 的 和。 为什么求角角 g、 b、 c 加上角 g、 c、 b 的 和呢？因为我们求角 b、 g、 c， 它是等于一百八十度减去角 b、 g、 c 的， 那就可以求出来了，这两个和怎么办呢？啊，上面也写了是，它是等于 二分之一角 a、 c、 b 加上二分之一角 abc 的 a 同样提取二分之一出来，等于角 a、 c、 b 加上角 abc 等于一百八十度减去角 b、 g、 c 啊， a、 b， 角 a、 b、 c 加上啊，这地方少一个 c 啊。角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b， 它是等于一百八十度减去角 a 的。 所以我们把这个一百八十度减去角 a 代入到式子之中，就写成了二分之一乘以括号。 一百八十度减去角 a， 括号等于九十度减去二分之一角 a， 它呢又是等于一百八十度减去角 b、 g、 c 的。 所以啊，我们化简之后可以得出 角 b、 g、 c 是 等于九十度加上二分之一角 a 的 啊，这两个相等啊， 这部分和这部分是相等的哈，两个把它进行整合一下哈，就可以得出我们角 b、 g、 c 等于九十度加上二分之一角 a 了。 刚刚那个呢，是双内角平分线。为什么叫双内角平分线呢？ b、 e、 c、 f， 它是三角形 a、 b、 c 内部的角平分线，所以我们称之为双内角平分线。接下来我们来看看第二种模型叫做 双外角平分线啊，当然这里面写的是两外角平分。一样啊，双外角平分线， 大家看一下这个图案，这里同样是角三角形 a、 b、 c， 不 过这次的两条角平分线 b、 o 和 c、 o， 它平分的不是三角形 a、 b、 c 的 内角，而是三角形的两个外角啊。具体来说就是 b、 o 平分的角 abc， b、 o 平分的是角 abc 的 外角角 e、 b、 c、 c、 o 平分的是角 a、 c、 b 的 外角角 f、 c、 b。 所以 我们这时候啊，当然它这两个角平分一定要相交于点 o， 我 们也把它划一下哈，代表它们俩是相等的。 我们接下来要证明的呢，是交点 o 形成的角 b、 o、 c 和三角形 a、 b、 c 的 内角角 a 的 数量关系 要退到这个模型，依旧跟刚刚的双内角平分线是一样的，要明确三角形的外，而三角形求角度的问题，我们可能用到三角形内角和，也可能用其他的方法，比如说 外角等于两平行，内角和，这个就是我们要用到的一个知识点 啊，因为外角是由三角形的一边延长得到的，和两和相邻的内角组成一个平角，平角的度数呢，是一百八十度 啊，这个时候就我们的解离关键点了，刚刚说外角与内角相互之间是互补关系，我们来看看这三角形 a、 b、 c 的 两个外角，也就是角 e、 b、 c， 它是加上角 a、 b、 c 是 等于一百八十度的，所以角 e、 b、 c 啊，是等于一百八十度减去角 a、 b、 c。 同理呢，可以得到角 f、 c、 b 是 等于一百八十度减去角 a、 c、 b 的， 这是我们外角通过内角来表示出来的。题目中说 b、 o 和 c、 o 分 别是外角平分线， 角平分线呢，把两个外角分别分成了两个度数大小相同的小角，我们也可以得出这样的结论啊，当然这这两个啊，有用这个结论。角 o、 b、 c 是 等于二分之一角 e、 b、 c 的。 角 o、 c、 b 是 等于二分之一角 f、 c、 b 的。 我们把它代入到式子之中， 那么就变成了二倍的角 o、 b、 c 等于一百八十度减去角 a、 b、 c。 二倍的 角 o、 c、 b 等于一百八十度减去角 a、 c、 b。 再把这两个式子一式子二相加一下， 就得出了二倍的括号，角 o、 b、 c 加上角 o、 c、 b 是 等于三百六十度减去括号角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b 的 啊，那角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b 是 得什么？ 它在三角形 a、 b、 c 之中用三角形内角和一百八十度，它是等于一百八十度减去角 a 的， 所以化简之后变成了二倍的括号角 o、 b、 c 加上角 o、 c、 b 啊，等于 一百八十度加上角 a， 所以 角 o、 b、 c 加上角 o、 c、 b 是 等于九十度加上二分之一 角 a， 因为这两个角呢，是一百八十度啊，减去角 b、 o、 c 得来的， 所以化简之后，角 b、 o、 c 是 等于九十度减去二分之一角 a。 实际上很简单看啊，这两个角度是 一百八十度，减去角 a、 b、 c， 这两个角度呢，是 一百八十度减去角 a、 c、 b 嘛，所以其中一个叉就是九十度减去二分之一角 a、 b、 c。 它一个叉呢，也是一个圈呢，就是九十度减去二分之一角 a、 c、 b。 两个一合并 一百八减去二分之一的括号，角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b， 它不就是一百八前去交 a 吗？所以可以得出我们的结论了，这个呢，结论需要同学们去记住，因为我们的结论啊，可以直接运用一些选择题和填空题之中，如果大题目呢，需要同学们去记得。如何去证明 刚刚两个是双内角平分线和双外角平分线，但如果我们遇到第三种情况呢，就是一个内角加一个外角平分线会怎么样？这个也是我们到时候学双角，学到角平分线时候 需要特殊证明的，也是用的最多的一个模型结论了。我们来看看，如图三，在三角形 a、 b、 c 中啊， 射线 b、 p 平分，角 a、 b、 c， 所以 这两个角度是相等的。射线 c、 p 平分，角 a、 c、 d， b p。 平分的是三角形 a、 b、 c。 内角的 c、 p。 平分的是三角形 a、 b、 c。 外角的，所以我们称之为角以内以外，双角平分线。 这个模型推导需要用到的是三角形外角的性质，三角形外角是什么呢？外角等于两个相邻内角和， 所以角 a、 c、 d。 是 等于 角 a 加上角 a、 b、 c。 你 看角 a、 c、 b。 是 三角形 a、 b、 c。 的 外表外角外角等于两平行于角和。不就是这个角加上这个角吗？是不是同样的角 p c、 d。 是 等于角 p 加上 角 p、 b、 c。 的 也是用的三角形外角。三角形的外角它有两部，像内角合通过的，它通过的是三角形 a、 b、 c。 的， 它通过的是三角形 b、 p、 c。 的。 好，那列出来有什么用呢？来我们来看看啊， a、 c、 d 是什么角 a， c、 d。 角 a， c、 d。 是 二倍的角 p c、 d。 角 a 没办法分对吧？但是角 abc 有 啊，角 abc 是 等于二倍的角 p b、 c。 所以 你看，我们把它标为式子一和式子二，我们把式子二 除以二等号的左边和右边同时除以二，那么左边就变成了角 p c、 d。 右边等于角二分之一角 a 加上角啊 p、 b、 c。 你 看跟式子一进行比较，我们写到一起去进行比较， 能得出什么？角 p c、 d。 肯定是等于角 p c、 d 啊，角 p b、 c。 肯定也是角 p b、 c。 那 很明显的，要使它的式子成立，必须是二分之一，角 a 等于角 p。 所以 结论就出来了，这是我们的双一内一外角平行线啊，我们刚刚讲的这三个呢，就是双角平行线模型，希望同学们呢能记住， 因为在后续的许多题目之中啊，是啊，可以直接运用的，当然选择填空题啊，大题目需要去证明一下，不过呢，知道了解之后，证明过程也会非常的简洁。

好，同学们，我们今天继续来学习一个新的模型，叫做燕尾模型，那么为什么给他起名叫燕尾模型呢？也就说这个图形的这个造型啊，特别像小燕子的尾巴，也特别像我们的燕尾符一样，是不是？所以说我们给他起名叫燕尾模型啊，他的 结论是什么呢？结论就是这个下边这个角 a、 b、 o、 c 啊，这个角 b、 o、 c 就 等于谁呢？就等于 a 加 b 加 c 啊，就等于三个尖， 我们来理解理解，为什么啊？这个结论会成立，我们来证明一下啊，首先我们来连接一下 a、 o， 并且呢把这个 o 啊， a、 o 啊给延长，延长完以后，我们发现上面这个角 a 变成了角一跟角二啊，下面这个角 b、 o、 c 变成角三跟角四。 好，我们来利用外角关系来证明一下啊。首先角三，我们来看一看是谁的外角，是不是三角形 a、 b、 o 的 外角啊， 对吧？那所以说角三就等于谁？角三就等于角一加上角 b， 对 吧？那我们再来看一下这个角四等于谁啊？角四是不是这个三角形 a、 b、 a、 c、 o 的 外角，对吧？哎，所以说我们来看角四就等于角二加角 c， 哎，这两个式子我们算出来以后，我们来看一看等式，左边角三加角四是什么？角三加角四是不是我们的角 b、 o、 c， 对不对？再看角一加角二等于什么？哎，角一加角二是不是等于角 a？ 哎，我们把两个式子合并，那是不是角 b、 o、 c 等于角 a 加角 b 加角 c？ 好， 我们利用这个外角的这个啊定律呢，我们就算出来了这个结论啊，我们也可以记什么呢啊？底下的大角等于三个尖啊，三个尖等于角 a 加角 b 加角 c 啊，这样去记会更加的形象一些。好，我们来看具体的题目。 好，我们来看历期的第一小问，角 a、 角 b、 角 c、 角 d、 角 e 的 和。求这几个角的和，那我们来看一看这个图形里边有几个燕尾模型就行了，对不对？哎，我们首先可以发现这么一个燕尾模型啊， 好，那我们给他这个下边这个角起名叫角 e 吧，好不好？那角 e 应该等于谁？角 e 是 不应该等于 b， a、 e， 对 吧？好，有 b 有 a、 e， 他 仨加起来应该是角 e， 对 不对？那我们来看角 e、 角 e， 角 e 的 对，顶角是不是这个呀？ 哎，我们起名叫角二，好吧，那就是角一等于角二。那么来再来看一下，我们可不可以把角 a、 b、 e 这三个角用角一来代替，也就是说我们用角二来代替，把这三个角把它合成一个角，变成角二了，对不对？那看一下角二跟谁在同一个三角形内，是不是跟角 c、 d 在 同一个三角形内啊？ 哎，角二和啊，角 c 加上角 c 加上角 d， 是 不就等于一百八十多， 对吧？所以说我们最终的结果就是一百八十度。哎，那我们能不能利用另外一个这个这个燕尾模型来做呢？刚才说了，这个图里边可不止一个燕尾模型，对不对？那么来看一下这个燕尾模型啊，它 能不能也用这个办法来做呢？哎，我们来看它是，如果是角一的话，那它是不是就是角二？哎，同样的角一具备了 dcb 好， dcb 都有了，我们把它角一 啊，把 d、 c、 b 用角一来代替，角一呢，再用角二来代替，那么角二就和角 a、 角 e 在 同一个三角形内，哎，他们又构成了一个一百八十度，所以说最终结果呢，还是一百八十度。好，同学们学会了吗？好，我们看下一题。 好，同学们，我们来看历期的第二小问啊。第二小问题中给的已知条件是，角 a 是 五十度啊，然后这两个角是角平分线啊，那就是两个二法和两个贝特，下边这个角 d、 b、 e 呢？是一百五十度啊，现在要求一下角 c 的 度数。其实我们来看一看，这个图里边也是有两套这个燕尾模型组成，对吧？第一套燕尾模型是角， 哎，我画出来这个大的燕尾模型，那根据这个燕尾模型，我们刚才说了，那是不是两倍的角 alpha 加上两倍的角 beta， 哎，就等于谁啊？哎，再加一个五十是不等于一百五，那就等于一百五十减五十是不等于一百，对吧？哎，等于一百度。 那换句话说，两个阿尔法加两个 beta， 那 我们就把它写成二倍的阿尔法加 beta 等于一百度，那阿尔法加 beta 是 不就等于五十度，哎，是不是？那我们再来看这样一个燕尾模型里边，这个小的，哎，这个燕尾模型， 哎，这个燕尾模型里边它求角 c 嘛，角 c 就 正好在这个燕尾模型里边，那这个燕尾模型角 c 是 不得阿尔法加贝特加五十啊，那阿尔法加贝特已经知道是五十了，那就是五十再加五十，哎，是不就等于一百度？所以说角 c 的 度数就是一百度。好，我们来看下一题。 好，做了两道例题，我们再来做两道练习题。哎，这道题呢，看一下角 a， b， c 啊， d， e， c， 对 不起， d， c 这个燕尾模型，好，那它是角一，那角一都有谁呢？角一是不是有 c 有 d 有 e？ 角一等于角 c 加角 d， 加角 e， 那 角一，咱们来这边给他来个对顶角，角一又给角二是对顶的关系，是不是？那角二是不就相当于包含了他们三个呀？对不对？那角二再加上角 a， 再加上角 b， 哎，是不是我们现在就把题目中的 a、 b， c， d， e 全部给包含了，哎，那它就是多少度？就是一百八十度，因为他们三个正好在一个三角形内， 所以说它们内角和就是一百八十度。这道题答案选 b。 好， 我们看下一题。好看，练习七点一的第二小题，第二小题给的是 c， e 是 a， c， d 的 角平分线， b， f 是 c， e 的 角平分，那个 b， f 是 abc 的 角平分线啊， 那我们来看一看这两个角平分线啊，那这个就是阿尔法，阿尔法啊，这个是贝塔，贝塔，好，我们再来看。题目中又给了一个条件，上边的是一百一十度啊， bg 一 四， bgc 一 百一，下边这个 bdc 一 百四。哇塞，这不还是两套，这个什么两套？这个，呃，燕尾模型对不对？好，我们先来看第一套吧， 这个 a， b， d， c 这套啊，我们来看看这一套它能得到什么？是不？大角 b 啊，就是两个阿尔法加上两个 beta 啊，加上两个 beta， 再加上一个角 a， 是 不是等于一百四十度，对吧？那就是二倍的 alpha 加 beta 等于一百四十度减角 a， 好， 我们先放这，然后再来看一看，一套啊，一套的，那其中里边还有一个一套的。哎，我们来看这一套是什么呢？ 这一套里边又有了，是不是又有一个 alpha 加一个 beta？ 加角 a 等于什么呢？等于一百一十度。 哎，我们把两个式子给它进行一下中和，好不好？哎，这个一式啊，这个二式啊，我们把它进行一下中和。那我发现什么？ 发现阿尔法加贝特等于等于什么？是不是等于一百四十度？减一百一十度。哎，一百四减一百一等于三十度，是不是？哎？等于三十度。那阿尔法加贝特等于三十度，那角 a 等于多少度？角 a 是 不等于一百一十度？减三十度等于八十度， 对不对？好，其实也是很简单的。好，今天我们的烟尾模型大家学会了吗？烟尾模型就是下边这个大角等于三个尖的。和同学们一定要学会熟练掌握。好，我们明天同一时间，再见。