九年级数学二次函数与三角形结合翻折

来，我们一起来看二次函数与相似结合的这道题目。哎，我们一起来读题啊，说抛物线 y 等于 x 平方减二， x 减三，与 x 轴交于 a、 b 两个点， 说与 y 轴交于 c 点，点 p 在 直线 bc 的 下方的抛物线上。哎，注意看这个图哦，注意看图，过点 p 做 pm 垂直于 x 轴，于点 m 来 pm 垂直于 x 轴啊，于 m 点交 bc 于 n 点。 问，是否以是否存在以 p、 c、 n 为顶点的三角形与 b、 m、 n 这个三角形相似？存在的话，让你求出这个点 p 的 坐标。 哎，这怎么求啊？首先呢，你是不是要分类讨论呀？哎，你肯定要分类讨论的，我们说了啊，在中考当中，如果二函数的题目你没有进行分类讨论，一次就做出来了。我告诉你啊，大概率你可能做错了。 哎，记住我的话啊，大概率做错了，虽然我们不能说百分之百做错了。因为什么呀？初中数学里面最后一道压轴题，二次函数，他一定会考察你分类讨论的。 哎，只是分类讨论两次还是三次还是四次，讨论的次数不一样啊。好，这是一个做题的经验，你要掌握。那我们具体来看这道题目， 具体来看题目，你看他要怎么讨论？为什么要讨论呢？注意看，人家只是说以 p、 c、 n 为顶点的三角形与 b、 m、 n 相似，有没有说哪个角是对应角啊？哎，没有说，所以呢，你就要讨论了。 好，我们来看。首先来看左边这个图，是不是分两种情况？先看左边这个图，我们来看 过 p 点做 pm 垂直于 x 轴。哎，那你首先发现这个角是不是首先是直角啊？角 b， m、 n 首先是一个直角来角， 角 b m、 n 是 不是等于九十度啊？不管你怎么变化，这个角首先永远是九十度。角 b m、 n 这个角你做出来的垂直。哦， 那好，那你再看，那你这个 b m、 n 和 c n， p 这个三角形相似，那你在这个 c p、 c， n 为顶点的三角形里面，是不是肯定也要有一个直角跟它对应啊？ 哎，那么在这个 p n， c 或者叫 p c， n 我 打阴影的这三角形里面，谁是九十度呢？不就是你分类讨论的标准吗？ 要分类讨论几次呀？哎，两次啊，分类讨论两次就够。为什么是两次啊？首先你看这两个三角形，是不是首先有天然的一个对顶角相等啊？不管是左边这个图还是右边这个图，你注意看，是不是首先有一个天然的对顶角相等啊？哪个角 角 c n， p 等于角 b n、 m 不 管你这个图形怎么变化，这这这一组角是不是永远是对顶角啊？它俩肯定相等的， 那你再看，我要讨论谁是九十度，就是我分类讨论的依据， 对不对？哎，好，那我们来讨论啊。首先呢，第一种情况，看左边这个图，左边这个图， 我另谁是直角啊？当角 c、 p、 n 等于九十度时， 这是不是第一种情况？哎，你看 c， p、 n 等于九十度就等于谁啊？等于角 b、 m、 n 等于九十度，而又有一组对零角相等。哎，这俩三角形就相似了。那我要求什么呀？我要求它是点 p 的 坐标，那我怎么办呀？哎，我要把点 p 的 这坐标给它射出来。哦，射出来来， 我们设出点 p 的 坐标。设点 p 坐标怎么设呢？注意要有个技巧。你需不需要把横坐标，纵坐标都设出来了？哎，不需要的。为什么不需要啊？你设点 p 的 横坐标是 m， 那 你把它带到解析式里面，不就是纵坐标吗？ 横坐标是 m， 那 纵坐标是不是就是 m 的 平方？减去二 m 再减三呀？哎，点 p 的 坐标只含有一个未知数， 一个未知数。好，那么，哎，我们先把什么呀？ abc 三个点的坐标写出来。怎么写呢？我们把它进行什么呀？进行因式分解， y 等于 x 减三乘，以 x 加一， 你看是不是这样啊？因式分解之后就有交点式了，所以 a 点和 b 点的坐标我就可以写出来了。 a 点的坐标是不是负一零， b 点的坐标是不是三零， c 点的坐标是不是负三？哎，这几个坐标你都知道了，那么 bc 这条直线我也赶紧写出来。 直线， bc 的 解析是你都可以口算的啊，不会写的朋友呢，你怎么样把这两个点带进去啊？确定一条直线需要两个点就 ok 了。 bc 两点都是已知的，其实你可以直接写了。 bc 这条直线是不是就等于 y 等于 x 减三呀？ 哎，很好写啊。不会的，你射出一般是 y 等于 k， x 加 b， 把三零和负三零，把三零和零负三带进去就 ok 了。就这么简单。好，得到了 b， c， 射出了点 p， 得到了 abc 三个点。下面是什么呀？我就要根据三角形的相似了， 三角形谁跟谁相似，此时是不是由三角形 c n p 相似于三角形 b， n m 呀？ 哎，然后呢？有相似就有对应边乘比例，对不对？好，对应边乘比例，那你看谁跟谁乘比例啊？是不是？你看啊， cp 比 bm 是 不是对应边呀？ cp c p 比上一个什么呀？ b m 等于谁？ c p 比 b m 是 不是等于 p n 比 m n， p n 比 m n。 哎，那我要求 p 点的坐标，我试图把它带进去，不就能求出来了？我看看看能不能带呢？ c p 等于多少啊？ c p， c 点的横坐标是零 c p 点的横坐标是 m c p 不 就是 m 吗？ 来，注意看啊， c p 是 不是对应的就是 m 呀？来， c p 是 m。 好， 那我们再写 b m 等于多少呢？ bm， 你 看 m 点的横坐标跟 p 点的横坐标是不是相等啊？都等于 m， 所以 b m 等于什么呀？是不是等于 b 点的横坐标减 m 点的横坐标就是三减 m 呀？ 哎，是不是啊， b m 就 等于三减 m， 再继续来写 p n 呢？哎，重点是这个 p n 怎么写，对不对啊？ p n 你 看怎么写啊？ p n 是 不是等于 n 点的纵坐标减去 p 点的纵坐标啊？ 来，那 n 点的纵坐标你怎么写呢？ n 点的纵坐标也很好求啊，你看 n 点的横坐标，是不是知道了跟屁点的是相同的？那我把这个横坐标带进 b c 的 解析式里面哦，我是不是就把这个横坐标 m 带进这个 b c 的 解析式，是不是就可以得到 n 点的纵坐标啊？ n 点的横坐标是 m 带进这个解析式，重坐标是不是就是 m 减三呀？哎，那么 m n 等于多少呢？ m n 不 就是 m 减三的绝对值吗？ 是不是？是不是 m 减三的绝对值而 m， 你 看 m 这个点是不是一定比三小啊？你注意看 p 点运动的过程中，你这个 m 是 不是一定比三小啊？零到三之间，所以你 p n， 哎，所以你 p n 等于什么呀？ n 点的重坐标减去 p 点的重坐标，那你 p n， 我 在这里先写一下，我怕有的朋友看不清楚。 p n 是 不是等于 n 点的重坐标减去 p 点的重坐标啊？那么 n 点的重坐标是 m 减三， 来 m 减三，再减去 p 点的纵坐标是多少呢？ p 点的纵坐标是不是 m 的 平方减去二 m 再减三呀？哎，你把它带进去是不就 ok 了？ 哎，带进去 ok 了，你化简一下，是不是等于负 m 平方加二 m 再加 m 是 不是加三 m 呀？减三和加三约掉了，所以 p n 就 等于这个数啊。所以 p n 就是 负 m 平方加三 m， 负 m 平方加三 m。 好，那么 m n 怎么写呀？注意看 m n， m n 是 不是就是 n 点的纵坐标的绝对值啊？ 你看 n 点的纵坐标的绝对值，因为 m 点的纵坐标是零啊。 n 点的纵坐标是不是 m 减三，那么因为它要表示距离，你给它带一个绝对值， 你带了绝对值，其实化简出来应该是什么呀？应该是三减 m， 对 不对？哎，所以呢，你列了这个等式，你列了这个等式， 是不是就可以解出来了？是不是可以解出来了？好，列了这个等式，解出来 m 等于几呢？ m 等于二，对不对？哎，是不是 m 等于二啊？好，所以解得 m 等于二。好，那朋友们，那这是不是解出来了？ m 解出来了，你这个 p 点的坐标是不是就解出来了？哎，此时的 p 点的坐标是几呢？注意啊，你解这个方程，解出来一个是二，一个是零，这个零你要舍去的。 为什么呀？ p 点人家给你规定了是在抛物线下方，他不能跟 c 点重合，如果等于零的话，他是不是就是跟 c 点重合了呀？ 哎，所以呢，此时的屁点坐标是什么呀？你把二带进去就是二负三。哎，这是第一种情况啊，这是第一种情况。 好，我们看看啊，第一种情况，那么讲完了第一种情况是不是有第二种情况啊？第二种情况呢？就是右边的这个图。来，我们把屏幕清掉了啊，我们把屏幕清掉来讲第二种情况。 来，其实我们可以清到这里就 ok 了，我们把这个计算的过程给它清掉就 ok 了。来，我们清掉了。哎，我还是在这里补充一下吧， 此时的 p 点的坐标就是二负三，解这个方程就 ok 了。好，那我们来看第二种情况哦。 第二种情况是，当哪个角是九十度的时候，当角 n c p 等于九十度的时候。 哎，注意看， n c p， 这个角我给你标出来了，这个角 n c p 等于角， b m n 等于九十度，此时呢，你再去写对应边乘比例。注意啊，注意，此时啊，如果你直接去写， 你直接去写什么呀？三角形相似就比较麻烦了，你看是不是？首先你根据这个角是九十度， n c p 九十度，你是不是天然的可以写出来三角形 n c p 相似于三角形。谁啊？ np， 你是不是可以写出这样？这两个绿色的三角形相似哦，但是你注意看，你如果用这样写，当然也可以求出来，但是你这样解出来是不是稍显麻烦呀？你注意看，我们来构造一个什么我们来构造一个什么呀？ 我们来构造一个三垂直。嗨，我们来构造三垂直来。怎么构造呢？注意看哈，这个题巧妙就巧妙在这。我过屁点做 p d 垂直于 y 轴。 嗨，我做这么一道辅助线啊，你看，描一下， 我做 p d 垂直于外轴。我给你换个颜色的笔写一下，我去做 p d 垂直于外轴。 那你看，这是不是就有什么呀？什么相似呀？是不是三垂直的相似呀？我换个颜色的笔给你描一下就能看出来了。来，注意看啊， 哪个三垂直相似呢？ 哎，是不是看出来了，这是不是就有三垂直的相似了？ 哎，注意看啊，注意看，一定要看出来这是个三垂之相似。你看角 b、 c、 p， 这是不是九十度啊？我给你标蓝的这个角是不是九十度啊？那么三角形 b、 a、 c 和三角形 d、 c、 p 是 不是三垂之相似啊？这个证明我们就不写了啊，这个我们之前是讲过的， 我们直接写了啊，这个是结论的，你不会的，你自己想一想啊，翻看一下我们前面的视频，所以有三角形谁啊？ b、 a、 c 相似于三角形 d、 c、 p。 这两个三角形相似啊，我给你打阴影吧。这个蓝色的和下边红色的这个小三角形，这两个相似啊，相似之后，你是不是再去写对应边乘比例啊？ 你看谁跟谁成比例。我们写一下这两个三角形相似之后。 哎，不是 b、 a、 c 啊，我写错了，是原点啊，是 b、 o、 c 啊，注意看，不是 b、 a、 c 啊，是 b、 o、 c 哦，原点我给你标一下啊，这里是 o 啊，因为这个图里面没标是 b、 o、 c 啊，我怎么写成 b、 a、 c 了？来，我们清掉，是 b、 o、 c 哦， 看到没有，是 boc 啊，相似于三角形 dcp。 好， 那我们写一下对应边乘比例，你看此时是不是有 cd， 比上谁，比上 b o 就 等于谁啊？快找找对应边是不是等于 d p 比 oc， dp 比 o c 啊。这个我为什么要这样写呢？为什么要这样写？为什么要这样写？好写呀，是不是比你直接去利用两个三绿色三角形相似要好做一点？ 来，那你此时再写啊， c d 等于多少呢？ c d， c d 你 是不是首先要写 c d 啊？ c d 是 不是等于 c 一 点的纵坐标减 p 一 点的纵坐标， c 一 点的纵纵坐标是负三？我在这写一下啊， cd， 哎，我没地方写了，写到这里吧， cd 是 不是等于 y c 减 y p 啊？因为 p 和 d 的 重坐标相等哦， c 点的重坐标是负三，减去 p 点的重坐标， m 平方减二， m 减三。然后你画出来是不是负 m 平方加二 m 呀？来，这就是 c d 啊。所以呢，你写出来就是负 m 平方加上二 m 再比上一个多少啊？比上一个 b o bo 是 多少啊？ bo 不是 就是 b 点的横坐标吗？三啊。再等于什么呀？等于 d p， d p 等于多少？ d p 就是 p 点的横坐标，不就等于 m 吗？等于 m 比上谁啊？ 比上 o c， o c 等于几？ c 点的重坐标， c 点的坐标是不是三呀？它是负三，它的绝对值是不是就是三？好，你解这个方程，解这个方程解出来两个数，所以解出来 m 等于多少？ m 等于一 和零，零还是要舍去的，因为你这个 p 点不能是 c 点啊，所以此时的 p 点是多少啊？你把一带进解析式，求出 p 点的纵坐标，是不是一负四啊？ 好，来，朋友们，这就是我们讲的第二种情况。第二种情况，你看第二种情况我们处理的过程中巧妙在哪里啊？我们没有直接去利用这两个绿颜色的三角形相似，我们去构造了一个三垂直的相似， 解起来更方便啊，只是更方便。好了，这就是我们讲的这道题目二函数与相似的存在性问题。他的解析呢，你要注意，一定要分类讨论，而分类讨论的标准是谁呢？就是哪个角跟哪个角对应相等，就是你分类的标准。

二次函数与一次函数相交， p 为一象限动点作 x o。 垂线，求粉色、蓝色两三角形相似时， p 点的坐标。暂停思考， 由两函数解析式得到 c、 e、 f 的 坐标和红、绿两线段长度。 蓝、紫的两线段相等，得到角一四十五度，结合垂直角二，角三也是四十五度， 两三角形出现对应等角，只要两角的四条边儿成比例，就可得到相似。这里分情况讨论。 pa 可以 和 c、 f 是 对应边儿，也可以和 ef 是 对应边儿。已知其中两边设 pa 的 横坐标为 m， pa 分 别在两函数上用 m 表示其坐标， pa 的 长度就是 p 的 纵坐标。减去 a 的 纵坐标， 求 a， c 做外轴垂线 h， a 长度为 m， 角四四十五度，得到 a c 根号二 m。 将四条线段代入第一种比例，解得 m 等于二分之三，代入第二种比例关系，得到 m 等于三分之五。分别把两个 m 代入二次函数，解得 p 的 两个坐标。

二次函数中遇到相似三角形的问题总是丢分，今天一个视频带你彻底学会它 已知点 p 是 y 指向动点，当三角形 p、 o、 c 与三角形 p、 o、 f 相似的时候，让我们去求点 p 的 坐标， 那么根据题目里面相似这两个字，我们要第一时刻立马反应出来。此题需要分类讨论，那么结合题目第一行条件，我们可以很轻松求出抛物线及其式，同时可求出它的顶点 c 的 坐标为负一负一。 那么接下来在分类讨论之前，我们需要去寻找两个三角形中相等的角或相等的边。大家注意观察条件，点 b 坐标负三三。此时我们可以选择过点 b 做 l 垂线 这个绿色三角形，它就是一个等腰直角三角形，那么我们可求出角 b、 o、 f 等于四十五，而点 c 坐标为负一负一。按照同 n 的 方式，我们也可以得到角 p o、 c 也等于四十五度。 这样的话我们就得到了两个三角形中存在两个四十五度角，此时 p、 o、 c 中的点 o 与 b、 o、 f 中的点 o 即为对应点，那么接下来我们只需要处理 p、 c、 b、 f 这四个点的对应关系即可。也就说我们可以写出以下两种相似的情况，第一种为三角形 p、 o、 c 相似于三角形 b、 o、 f。 第二种其实就是把 f 和 b 交换着下位置，那么我们知道两散形相似对应边一定是成比例的，再加上两个角等于四十五度， 所以我们可以列出下面两个不同的比例式。这个方法是处理二次函数中相似扇形存在性问题中的导边处理法，它的本质是利用两 边对应成比例且夹角相等的两个扇形相似。接下来我们只需要求一下三条线段的长度即可。 由于点 b 坐标和点 c 坐标已知，我们可轻松求出 o b 等于三倍根号二， o c 等于根号二。同时我们要着手去求 o f 的 长度， 已知 bc 坐标，我们可以求出 bc。 解析式，负二 x 减三，同时求出 f 坐标，那么也就是 o f 的 长为二分之三。接下来啊，我们只需要将求出来的线段长度分别代入两个比例式， 代入第一个，交叉相乘之后可得 o p 等于四，那么记点 p 坐标为零负四。同样的方法代入第二个比例式，我们可求出点 p 坐标为零负二分的 e。 以上就是这道题点 p 的 两个答案。最后一个问题，大家知道为什么点 p 不 能在 y 轴的正半轴吧，评论区留下你的看法，搞定收工搜一类。

哈喽，各位亲爱的同学们大家好，给大家去录制一道题，也是这个 同学们去问的啊，题目难度呢？不算特别难，但是也有点难度，很多同学可能只会做第一问或者到第二问，第三问，可能会做不到全对，所以给大家去讲一下。 另外的话也知道天音实验最近比较好的，特别好的题目啊，天音实验比较好一点的题目。嗯， 所以的话明天给大家去讲一讲啊，一些灵活的题目，对于，嗯，对于，对于什么，这个这个很多小朋友可以去帮助你去提升 好比如说这个题啊，这个是这个题，也是比较好的压轴题啊。第一问，很简单，带进去吗？我就不讲了啊，然后配方吗？解释可以求出来这个啊。第二问，读懂题啊，抛物线对准轴， 求 x 轴与点 e， p， 点是线段得 e， 这里就透露了一个范围， p 只能在得 e 之间动，连接 pc 做 p q 垂直于 pc， 求 x 轴与点 q， 求 k 的 垂直范围， 对吧？这个也比较好哎，请问你看我老师画了个图， a， p c 和 p q 两动， 所以我要设 p， 点坐标横坐标负一纵坐标 a， q， 点坐标 k 零。知道的，你说让我求 k 的 范围，我咋会求，就有点摸不着头脑对不对？ 摸不着头脑的话怎么办呢？我们要去转换成，你要去想我现在给的垂垂直是给关系的，我要把 k， k 我 想求取值范围有点抽象，如果把 k 用一个函数表示出来， 你能不能把范围求出来，就最大最小值吗？转换成对不对？不就相当于求最值吗？如果我把 k 用函数表示出来，那 k 怎么用函数表示出来？ k 不 就是 q 的 坐标吗？我这里有垂直，我一连是不是就是勾股啊？我能不能用两点距离公式呀？ 首先我先把 p 的 范围 a 的 范围写出来，因为 p 在 得负二分之九，最高到零， 不语义重合，这就是数学语言，把文字语言翻译成数学语言的魅力所在。两点距离公式相信大家都会。 p q 方表示出来， c， p 方表示出来可以吧。 c q 方也能表示出来？它既然是直角三角形，勾股定律嘛。 c q 方等于 p， q 方加 pc 方。好，我带进去，能不能把 k 算出来？用 a 单独表示是可以的，这计算我就不写了，你们自己算。 我讲过，函数一定要去计算，能力要强，不然都是凉凉。最后，你看我 k 是 不是写成了一个二次函数，关于 a 的 二次函数，负的 a 加二，括号平方加三， a 有 范围，负二分之九到零，那我 k 是 不是就出来了， 对不对？那这同学这怎么做的？你是一个开口向下对称轴为负二，能不能取到？可以取到 对吧？负二在里面，这负这个是负的四点五嘛，负二的时候取最大值是三，那负二分之九和零看谁离得远，那负二分之九离得远，带进去负四分之十三。所以第二问出来好理解吧。几何转化成代数 叫代几综合。第三题也很常见，老相识了，等腰三角形 a， d， b， d 点 m 分 别在 a b， a 得上得 m 等于得 b， a 得 m 等于得 b， a 同学看到这个不太懂，把它翻译一下啊， m n 就 在这上动，没什么话讲。有范围是有范围， b 点坐标也可以求出来啊，还是这个函数，当 y 等于零， b 是 二， 得 m， n 等于得 b， n 标一下，得 m， n 是 这个角，得 b， n 是 这个角， 这里有个隐藏条件，得 a 等于得 b， 等的对称嘛。得 a 等于得 b， 这个角就等于得 b， a 得 a， b 得 b， a 等幺三形，对吧？先有得 a 等于得 b 啊，所以两个角相等，所以这三个角相等是固定的。 下面要求我们得 m， n 是 等腰三角形。我们讲过等腰三角形，要么两定一动，两圆一线，对不对？或者一定两动，这不就考虑一定两动吗？一定两动怎么办呢？只能用代数法 两点距离公式嘛，对不对？分，先分类，再看情况，怎么去做方法都教过它一定两动。哎，得 m 得 n 我 也不知道， n 点我也不知道， n 点我也不知道， 所以怎么办呢？第一个，刚才说这三个角相等，我已经写出来了， b 点坐标也出来了，我设 m 点为 m， 零， m 点在 a， b 上， m 有 范围，很细节吧。他既然为三等，三个等腰，三等腰三角形，我应该分三种情况，因为边两两相等，对不对？好，我们下面来分了三种情况啊， d， n 等于 dm， 第一种， dm 等于 dm， 拿红笔标， dm 等于 dm， dm 指这， dm 指这，哎，它俩要相等，你说它俩相等， dm 和 dm， 哎，那我 n 不是 动的吗？不在 a、 d 上动吗？这两个如果要相等，我这个也相等，你说是不是？ d， n 等于 dm， 那 是不是就这两个强的，对吧？那这两个 dm 说明什么时候呢？就是对称的时候，因为 m 点和 n 点是不是都在动呀？ 对不对？就动到什么呢？动到我对称的时候， n 点到 a 点， m 点到 b 点，我这时候是不是就相等了？因为你 m n 是 在动的，能理解吗？啊？所以第一种情况就是 d n 等于 d m 的 时候，它俩相等， 要求两个脚相等，你本身这三个脚又相等，对吧？你看，你看，为什么？为什么我说一定要重合的时候，有同事说不理解，为什么就重合，我看这样也像啊，因为你看啊， 我这三，我这四个角是不是都相等？这手我这个角是不是它的外角？按道理你这个加这个等于这个，那你现在我跟你一样大，你怎么可能它加它等于我呢？不可能，那只有什么情况我们俩相等呢？只有可能当 n 点到 a 点的时候，那此时 m 点只能到 b 点的时候，它俩才相等， 这能听懂吗？只有这样的时候这几个角才能相等。所以第一种情况，当得 m 等于得 n 的 时候， n 与 a 重合， m 与 b 重合，所以 m 点第一种情况也不用算吗？就靠理解第二种，德恩等于 m n， 德恩等于 m n， 德恩等于 m n， 德恩等于 m n 在 这， m n 在 这。 好。哎，我们刚才讲的什么来着？这两个角，现在这两个角等于二，是比较相等的，对不对？那我刚才给的它不是额外正的吗？这个角，这个角，这三个角是比较相等，对吧？三个蓝色的。 哎，那这个是我相等，代表什么意思呢？我现在代表的是德 n 等于 m， 那 我是不是可以用两点距离公式 等于说 n 点， n 点有没有用 m 点不知道吗？射出来了得 n 等于 m a， m d 等于 m a， 你 们看啊， m d 等于 m a， m d 等于 m a， 你 看是不是？比如说不理解，你不是两红的相的吗？跟 m d 等于 m a 什么相的？你再注意看，我再画一条蓝线。我两个底角呀， 刚才说了，这个这个这个这个四个角相等，这两个相等，这两个又相等，是不是就这两个相等，所以 m a 等于 m d， 这就是又一个。哎，推出来了，有同学说，那你刚才不是说用 n 得等于 m 得吗？因为你算不出来情。你 n 带有未知数，你 m 也带有未知数，你怎么能算出来呢？算不出来啊，那我只能转换成 m a 等于 m 得， m m 得好算吗？ m a 咱知道呀，一个是 m， 这是负，这几来着，负四还是几的得点？咱们也知道呀，我就很好算， m 得等于 m a， m 加四嘛，因为 a 点负四嘛，单位距离公式嘛，把 m 算出来，百分之七零 完美。所以第二种不好想。为什么说有一点难，是因为很多同学想不到怎么做，他会按照老师的方法， a m 的 等于 n 的， 我算算算，怎么也算出来。因为你有两个未知数，你怎么也算出来。 老师教的方法没有错，只不过有的时候题目太坏了，用你现在学的方法不行，你要再去转化，这就是题目出的高明之处啊。好，第二种情况结束了，对不对？好，第三种情况， m n 等于 m 德， m n 等于 m 德 啊，为什么去念叨啊？就是不希望 m n 等于 m 得，因为绕嘛， m n 等于 m 得， m m 得这两个角相等。 这两个角。我们刚才讲的有哪几个角来着？好像是这个角，这个角，这个角。哎，好像现在没什么用哈，我只要我现在就这两个角相等， 对吧？每，哎，这两个角相等，让我去，我感觉不行了，对不对？我用 m n m 得也不行，直接用啊，这三个角怎么办呢？这里构造了一个角，三角形全等，有的人说哪有全等， 哪有全等呢？这两个蓝的是不是相等？我那一个角是不是也相等？再来一个，你看我画的阴影，这两三能不能全等？ 它会证，证明三人全的。那这个角这个加这个等于百八减它，对吧？这个加这个等于百八减它，所以这个小角可以等于这个角倒角，它加它等于百八减它， 对吧？它加它等于百八减它，所以这个角是不是等于这个角再加上它两个叉本来就相等，再加一条蓝色的边角，角边两三角全等， an m 和 an m 和 b m 得它俩三角形全等，全等，我 m a 就 等于 b 得又来了，所以你看第三个是全等， m a 等于必得， m a 好 求，必得也好算， m， 最后算出来。所以这三个答案是一道非常好的题目啊，大家能理解吧？思路很清晰，方法就是灵活，他也靠等腰三行，但是绝大多数同学我相信应该做不出来，你们可以试一试，做出来跟我说，有奖励。

这种动点问题，我们一定要找到它什么？找到它不动的地方来看。这个题依旧二次函数综合题啊。来，已知抛物线经过两点，且其对称轴为 x 等于负一。 注意第一问让你求解。是，其实这个题第一问有很多求法，是不是？你看他给你对称轴 x 等于负一了，我们能不能用顶点式？ 那我们可不可以把定点是设为 y 等于 a 乘以 x 值吗？对称轴是负一，所以这里是不是 x 加一啊？它平方加 h， 你 看是不是有两个代数，这里有两个点 是不是顶点？是，是可以做的，那一般式能不能做？一般式也可以做吧。我们把它设为 y 等于 a， x 方加 b， x， c 呢？ c 是 不是就零三？是不是就是三加三？但是你会发现一般式这里只有一个点，怎么办？ 来结合对称轴，这个时候，这个时候我们要结合对称轴了，对称轴是 x 等于负一，那它有一个与 x 的 交点是负三零，那负三和负一的距离是不是等于另一个交点和负一的距离， 对不对？那就是你看，因为我们知道二次函数它是对称的，是不是一个焦点是负三零，对称轴是负一，你看这是负一，我把它写在图上，是不是更好理解一点？这里不就是一吗？是不是？所以它有两个点，负三零 一零，所以一，一般式也可以求出它的 减一，是吧？或者还有一个焦点是焦点是，是不是也可以把它设为 y 等于 a 乘以？因为两个焦点我们都知道了嘛。你看这是负三，这是负一，这是一设为负三，不是 a 乘以 x 加三和 x 减一， 是不是？这不焦点式的解析式的设法，然后我们把零三带进去也可以求出来，所以第一问呢，方法很多，选取你喜欢的，适合你的就可以了啊。那我们看第二问，第二问呢？来看点屁，是一个动点来动点问题，很多同学的难题啊， 求三角形 p、 a、 b 的 面积的最大值，并求出点 p 的 坐标。你看像二次函数结合三角形面积，平行四边形面积，四边形面积的题非常多，很多同学一看到这种题就不会做了，就犯难 啊，来看一下我的思路啊，咱们看一下求面积这种题的思路是什么？首先我们看到是求三角形的面积，我们找到这个三角形 p、 a、 b， 在 这里 找到这个三角形之后，我们先观察我们说在平面直角坐标系里，什么样的三角形的面积最好求 这个我好像之前讲过，是不是有水平和数值的边呢？比如说这样三角形它的面积比较好求， 是不是因为它它的底就是它的横坐标，是不是可以直接用两个点的横坐标的差值，它的高呢？就是两个点的纵坐标的差值，可以直接用，对不对？但是你看这个三角形它有没有 水平的边或者竖直的边？没有，是不是？那像这种没有水平竖直的边的三角形，我们用一个什么方法呢 啊？割补法，把这个记下来哈。割补法是在二次函数里面非常重要的求面积的方法，尤其是三角形的面积割补法，什么叫割补法，你们应该学过了，就是要么把这个三角形割了，要么把这个三角形呢补成一个四边形 啊，那我比较喜欢用什么呢？我比较喜欢用割啊，那我们用割补法的时候，这是方法，是不是？那我们还要有一个怎么割呢？或者怎么补呢？补，我们可能都会补，就这么补成一个长方形就可以了。 这里没有什么好讲的了啊，用这个长方形的面积减去这两个这几个三角形的面积。那这里我尤其想讲一下割。割的时候我们注意了，我们只能把它割成水平的这么割，或者竖直的这么割。 你记住啊，在我们学割款的时候一定要这么割。有为什么呢？因为我们刚才讲了，水平和竖直的边是最好求的，所以我们只有水平割或者竖直割才能割出一个，你看有水平和竖直边的三角形， 这样三角形边就比较好求了。那这个题好，第二个怎么割？讲完了 第三个，那我们到底是水平割还是数值割呢？我们要判断什么？尤其这种动点问题。你看啊，这种动点问题，我们一定要找到它。什么？找到它不动的地方。 我问你，在三角形 p a、 b 里哪里不动？是不是 ab 不 动？那 ab 不 动，我问你是水平割呢还是数值割呢？ 想想这个问题，如果是水平的格，你看啊，随着这个屁的变化，这个三角形水平的格是三角形它的高，这两个，这不是分成两个三角形吗？是不是？如果水平格哈，如果水平格分成两个三角形，这两个三角形呢？高，首先下面这个三角形 的高是不变的，但是上面这个三角形的高是一直变的，是不是？而他的底呢？你看他的底是不是随着点屁，他的底也是在一直变的，他俩是不是有个公共的底？ 是不是水平割是不好的这个题啊？所以我们这里要选竖直割，竖直割有一个什么好处？我们看一下啊，如果我们把它竖直割一下，你看它的这两个三角形，假设这是点 c 吧？ p a c 和 p b c 这两个三角形，它俩有个共同的底是 p c， 现在这个 p c 是 变的，是不是？但是它俩的高是怎么样的？你看它俩的高，不管怎么变，我从点 a 做一个垂线，从点 b 做一个垂线，你看 他俩的高是不是始终因为我们要求的是三角形 p a、 b 的 面积吗？是不是？我们把它割开也是为了求 p a、 b 的 面积？只不过我们分两次求，一个是求三角形 p a、 c， 还有一个是求三角形 p b、 c， 对不对？我们虽然把它割开了，但是我们要目的还是一样的。那你看我们在求的过程中呢？我把它设为 a， 把它设为 b， 你 看是不是？就是 pc 乘以 a 除以二，加上 pc 乘以 b 除以二，把 pc 提出来，就是 pc 乘以二分之 a 加 b， 而这个 a 加 b 是 什么？我们来看下这个 a 加 b， 不 就是点 a 和点 b 横坐标的这个差值吗？ 是不是？所以我为什么说它的高是不变呢？是因为它的高的和不变，这样我们切起来呢？我们这样竖直切呢？它的高的和不变是几？ 不就是 a 和 b 的 横坐标的差值是三吗？所以就是三倍的 pc， 不 对，是二分之三倍的 pc， 是 吧？还乘以二分之一呢， 对不对？那你看，现在我们既然高固定了，我们只需要求这个 pc 这个底不就行了吗？是不是他说这个让这个三角形面积最大，他的高已经固定了，所以我们要让这个底怎么样？ 是不是最长了？那我们让这个底最长，我们来研究一下这个底怎么才能最长。那我们就要研究一下点 p 和点 c 这两个点在哪呢？点 p 这个点在抛物线上，点 c 这个点在 a b 这个直线上吧，所以它两个这个 p c 的 长度不就是点 p 的 纵坐标减去点 c 的 纵坐标的值吗？ 对不对？因为它是一条竖直的线，我们是竖直格的吗？对不对？它俩的横坐标是一样的，所以它俩的长度应该是纵轴的差值。 那我们刚才想了，点 p 不 就在二次函数上吗？所以点 p 的 纵轴标我们知道的呀。啊，如果我们把点 p 的 纵横轴标设为 x， 点 c 的 纵轴标是不是也是 x 啊？那点 p 的 纵轴标不就是？哎，第一问求出来了，第一问求出来，应该是 y 等于负 x 方 减二， x 加三。好像是啊，也就是负 x 方减二， x 加三，对吧？那点 c 的 总目标呢？点 c 在 一次函数上，这一次函数解一式，我们能不能求开？能啊，已知 a 和 b 两点坐标了呀， 直接求。这里我就不写不写过程了啊，直接求了，应该是 x 加三，对吧？那减 p 的 横坐标是 x， 点 c 的 纵坐标横坐标也是 x， 那 点 c 的 纵坐标不就是 x 加三吗？那 y p 减 y 不 就减括号点 x 加三吗？ 这不就是 p c 的 长度吗？对不对啊？那他让我们求最大值，它肯定是一个函数啊，不用想求最大值，肯定这个面积是一个函数，写写吧。嗯，是负 x 方减三 x， 对吧？那这个它的面积就是二分之三乘以负 x 方减三 x。 后面我就不讲了吧。最后你不管是用嗯 公式法还是配方法化简，把它化简成一个顶点式的形式，你就能求出当 x 等于多少的时候，面积最大了吧？最大是多少求出来，然后这样呢？这个点 p 的 坐标也就求出来了， 是不是啊？这里我想讲一个什么呢？就是我们在求面积的时候这个题的重点啊。这些重点在哪？我们在求面积的时候，第一个我们要学会用割布法， 就写我这里写了三点，重点就是割布法。那割布法怎么割呢？要么水平割，要么数值割。我们在水平割和在数值割的时候，我们要考虑哪些是不动的 不变的地方，我们要给他搞清楚，这样呢，有助于我们去割补啊。总之你就记住，只要是求三角形面积，我们就用什么 割补法啊。三角形面积在二次函数里基本没有别的方法啊，就这一个方法把它学会啊，多做做题，多做做这里的题就可以了。

我只告诉你垂直，但不告诉你相等啊，我们反思一下啊，对吧？如果这样的，我告诉你这个角是四十五度，对吧？这样一条这条线，我让你证明这两个相等 我让你证明这两个是相等的。大家看，证明这两个相等。你想让我这样做可行呢？你感觉还是这样做吧， 让你自己做的很狠的，还会这样做，但你注意，如果你这样做的发生什么呢？这个角确实等于这个角吧？直角确实等于直角。那你有没有变相到？有没有变相到？没有。你看这个边也没说等于这个边吧？ 这个边也没说等于这个边吧？这个边不是让你证明看到了吗？这个题突然就变成难题了，说实话，这绝对是难题啊。好吧，如果这个题目没有这个题型，那你看。

哈喽，朋友们，这个视频我们给大家说一下第四这道打卡题目的处理方法。当然这道题呢，其实是重庆今年的一个中考专题啊，但是他并不是压轴题，他是倒数第二题，后面还有一个几何综合大题。当然说到这，我觉得你可能做这个题目，信心应该会更增加一些啊。 呃，那我们一起来看一下。他说平面直角坐标系中呢，有这样一个抛物线，与 x 轴交于 a b 两点，与 y 轴呢，交于点 c， 并且我们知道他的一个对称轴是直线 x 等于二分之五。 好，那么在这的话，你会知道对称轴是负的二一分之 b， 所以 a 知道，那么 b 是 可以求出来的，对不对？ 再把 b 点的一个坐标代入，就可以直接求出抛物线的解的提示啊。那这个题目的话呢，大家可以自己去把它的一个求解过程再完善一下，我这就不详细去说了啊。首先负二分之 b 等于二分之五，从而得到 b 等于 负五，然后把我们的这个代入，那最后的话呢，得到应该是 y 等于 x 的 平方减去五， x 减六。 好，接下来我们来看第二文啊，它点 p 呢，是射线 bc 下方抛物线上的一个动点，连接咱们的 o p 啊，与射线 bc 呢，交于点 q d e 啊，为抛物线对准轴上的一个动点，两个动点啊，并且一直在 d 下方，而且知道 d e 等于四，但你读完这个，你就要意识到大概率是旋转桥了， 连接我们的 b d 和 p e， 他 说当我们的 p q 比上 o q 取得最大值时，求点 p 的 坐标，以及 b d 加 p e 的 最小值。当然这个题目的话呢，它其实就说白了绕了一下对不对？首先的话呢，你得先求出什么时候 p q 比上 o q 最大，那把这个 p 点 搞定，屁点搞定之后呢，我们再去解决后面的这样一个最值问题，对不对？我们一步一步来思考啊。 显然对于这样一个比例问题来说呢， p q 和 o q 是 同一直线上相邻的两条线段，我要求比值第一时间想的就是直接去表示，肯定是比较麻烦的，所以我们要进行一个转化，那么比例问题的转化核心想到的就是相似构造，所以我在这可以构造一个八字相似，你从屁点 往正上翻呢，引一个竖直线，假设交叉于一个点，假设是 q 点吧， 有 q 点了，那我们就用 t 点表示吧， a t。 好， 那这个时候的话呢，其实我们得到的就是一个什么啊，有一个八字形的相似了，这有个八字形相似啊，我们来先把这个思路给它呈现一下，左 p t 平行于我们的 o c 交 b c 与 t 啊， 那这个我就快速的说一下，所以得出来 p q 比上 o q 啊，那么你可以思考一下，谁会比较好表示，当然是 p t 比上我们的 a c 哦， o c 在这里面的 oc 我 觉得是非常明确的，这个长度是六，当然 b 点坐标也知道，这个也是，呃，六到零， a 点坐标呢，你可以说快速的算一下，很明显他应该是负一到零，对吧？这个的话呢，都是比较基础的东西，我就直接给他说了。 好，接下来的话呢，我们要求他的一个最值啊，我觉得就是说白了又回归到了求线段的最值了，因为 o c 是 定值六嘛，所以就是六分之 k t， 那 这个的话呢，应该说做的非常之多了吧，我们设点表示， 哎，我们的这个线段，你设 p 点坐标，然后再设得到 t 点坐标，最后把 t p 表示出来，然后呢求它的一个最值，这个的话呢，我就直接说结论了，我们给大家说过这里面存在的一个二级结论就是什么，当我们的 p 点横坐标是这条 直线与抛物线两个交点横坐标的中点时，它是不是取到一个最大值？那么也就意味着这两个交点一个是 c， 一个是 b， 横坐标分别为零和六，那么这样 p 点的横坐标我们就可以得到， 应该是等于三的，所以 p 点我们在这直接给答案了，你自己要去可以把它写清楚一点。 好，那么 p 点的坐标知道之后啊，我们进一步去处理后续的问题，这个其实就比较直白了啊，比如在这个情境下，我现在要求 b d 加 p e 的 一个最值，这个我觉得是非常清晰明了的吧，是不是就是一个选址造桥问题啊？那我们的思路就是把这两个 合并起来对不对？那构建成一个首尾顺次连接的线的，所以你在这平移，你平移 p e 也行，或者平移 b d 也行啊，你比如说我在这就要不就直接平移 b d 吧， 那么把 d 点往下平移，因为 d、 e 的 长度是四个单位，所以我们把 b 点也往正下方平移四个单位，得到我们的 b e。 好，这个长度也为四，那么本质是不是构造了一个平行四边形，所以 b d 始终是等于咱们的 b e 的， 那这个问题也就顺利的转，转化成了什么呢？原本是 b d 加上 p e 的 最小值， 它就等价于我们的 b e e 加上 p e 的 一个对值。那这个的话呢， b e 的 坐标是不是也是非常明确的？横坐标使六纵坐标变成了负四， 这个我们只需要进行一个两定移动的将军一马处理即可。所以你这可以再做一下我们的对称点，但你做 b 一 的对称点也可以，或者说 p 点的对称点我都可以吧，这个没什么区别，所以我们就直接再继续在 b 一 上面去构造吧。 做 b 一 关于 e 点运动轨迹，也就是这条对称轴。呃，我们的 x 等于多少呢？二分之五的对称点。好，假设这个是我们的 b 二， 那么此时 b 一 e 是 不是总等于 b 二 e， 那 么最值在于就是连接 b 二 p 就 好了。这个的话呢，就是一个占均一码啊。 b 二的坐标，横坐标，他们俩横坐标的中点应该是二分之五，所以横坐标之和应该是等于五的，所以横坐标是负一，中坐标为四。 好进一步转换成啊，等于我们的这个什么呢？ b 二一加上我们的 e p 啊，这个我再写一下吧。 b 二一加 e p， 所以 它的一个最小值啊。 b d 加上 p e， 它的一个最小值 应该是等于 b 二 p 的。 那这个的话呢？两个点坐标都知道，我们直接两点之间的距离，公式也是根号下 横坐标的差值，嗯，是等于四的，所以是四的平方正坐标差值是。哎，这个是负四啊，正坐标差值是等于八的，所以加八的平方四八四倍根号， 那所以这个第二问呢，我们就把它搞定了啊。第二问一共是有两个问题的落脚点，一个是 p 点坐标以及这个和的最小值。当然有的题目的话呢，他可能要求的是 b d 加 p， e 加 d e 的 一个最小值，这个你还要注意把中间这个定产线段要加上。 好，然后我们来看一下第三问啊，他说啊，在二中当他取得最大值的条件下啊，那也就意味着这个屁点呢，依旧和之前是一个道理啊，屁点坐标 我们先写一下，也就是三度哦，负十二。他说我们将这个抛物线啊，沿着 bc 方向平以二倍根号二个单位得到外一撇， 那么 m 点是 p 点的对应点， n 点呢，是 y 一 撇上的一个动点， 如果这个角 n a b 是 等于角 o p m 减去四十五度的，请直接写出符合条件的 n 点坐标，并且写出其中一个过程。好，那么我们在这的话呢，依旧是把思路啊，带着大家去顺清楚。首先的话呢，我们把这个图形啊带大家去顺清楚。首先的话呢，我们把这个图形啊带大家先把它平移划一下啊， 这个平移的话呢，是斜向下平移了什么呢？二倍根号二个单位，那当然的话呢，我觉得，呃，你要意识到 这条线 bc 他 本身与 x 轴夹角，是不是这个就是一个四十五度角，所以我们往斜向下的一个方向平移，我可以拆分成水平和竖直两个维度，那也就是什么呢？ 向，应该说是向左移两个单位，以及向下移两个单位，对不对？通过这个我其实就可以求出来他具体的一个新的解析式。好，那我在这的话呢，先把这个图形啊画一下，比如左下，那 左下左二下二，那应该是这样一个差不多啊，画成这样一个形式。好，那么屁点的一个对应点啊。嗯，但我们的这个对称轴应该是跑到这边了的， 这画的好，那也就是屁点大概是这个位置， 这是它的对应点 m 点啊。那么 m 点是不是也相当于把 p 点往左两个单位，所以横坐标变成一，纵坐标变成负的十四 啊？这个的话你自己要想清楚。好，接下来我们要进一步去分析啊，就是说你现在是在新的这个抛物线 y 撇上去找一个点 n 嘛，使得我们的什么呢？ n a b， 我 们随便先画一个 n a b 这个角 啊，这个角它是等于 o p m， 我 们来找一下 o p m， 那 它是这样一个角 减去四十五度。好，我们来思考一下， o p m 减四十五度是个什么玩意？我其实说了， p 到 m 是 不是也是斜向下走了二倍根号二，而且我们知道它斜向下就是一个刚好为四十五度的夹角，对不对？ 所以啊，你会发现，那么 o p m 减四十五度是刚好，也就相当于是 o p 与这个 我可以理解为水平向左的这个方向的一个夹角吧。那这个夹角我觉得应该说是非常明确的， 它的一个大小以及三角函数值，我觉得毋庸置疑，可以轻松地结合 p 点和 o 点的坐标求出来吧。好，那也就我知道这个大小了，那我接下来要去构造一个角 n a b 等于它这个思路是不是就非常的简洁明了了？那么怎么做呢？我们来一起看一下。 首先你可以先把新的抛物线解释式啊写一下。呃，那新的抛物线解释式我就直接不去写顶点坐标了啊？呃，我就不去写顶点式了，直接用我们的这个一般形式去说。 呃，根据我们的上加下减函数向左加右减，自变量向左两个单位，所以我的自变量原本是 x 的 平方变成了左加，也就是 x 加二的平方，然后减去五 x 也是，哎，五倍的 x 加二 再减去六，还要再减去二，乘除下是不要减去一个二。好，那这个的话呢，你把它进行一个简单的展开整理，应该得到的就是 x 的 平方啊，这里面的话呢，有一个四 x， 再减去后面的五 x， 那 就是减去 x 啊，然后的话呢，是乘除下，也就是四减去十，然后再减去我们后面的八，对不对啊？所以应该是减十四， 这是新的一个函数解析式。好，至此的话呢，我们的这个针切值啊，也就是 tangent 角 n a b 这个角的一个大小应该是等于多少呢？根据我刚才所求的，那也就是你从 p 点直接往这边引垂线就好了，这个点我们称之为 h 点吧， 就等于我们的什么呢？ o h 比上 p h， 也就是十二比三，是不是等于四的 这个角的大小我是明确的，我要构造多大的一个角。好，那这个角的话呢，我们来快速的分析一下，你就会发现我们 a b 这条线是确定的，那所以他是不是有两种情况，一种是在他的一个顺时针方向，一种是在逆时针方向。好，那在这的话呢，自然我们两种情况分开来进行一个系数啊，一种情况，因为这个角很明显他不是一个钝角啊，所以我把图画的稍微标准一点，那么换一种颜色， 假设这是一种情况，这个点呢，对应的是我们的 n 一 啊，那此时此刻的话呢，我们的 n 点，我们就直接可以进行一个坐标的假设了，设它横坐标为，呃，就为 a 吧，这个题目 a 好 像没用过，那纵坐标占也就是 a 的 平方减 a 减 十四。好，接下来我是不是就可以求出它的一个解析式了？同样，你从 n 一 往 x 轴引个垂线，假设这个是我们的 呃， f 吧，打 f。 好， 那么第一种情况啊，当我们的 n 在 x 轴下半时， 这个时候则有什么呢？呃，我这说的就比较简单了啊。呃，那么此时此刻我们的这个正切值是不是就是它的一个核心关系啊？那就是纵坐标的相反数， 负 a 的 平方加 a 加十四除以横坐标，也就是 a f 它的一个长度，那自然就是拿 a 加上一，因为 a 点的横坐标是负一，对不对？那这个的话呢，我要求它要等于四的，那你把这个的话呢，进行一个求解，那我们求出来解的 a 一 是等于负五，那这个肯定要怎么样呢？舍去， 而 a 二是等于我们的二的，这是 ok 的 啊，因为我们通过这个 两种情况，我知道 a 点应该此时此刻是一个正的情况啊，为什么会出现另一个情况的话呢？就因为啊，这边还有一个情况，我实际求解是这样一个角，那这个时候这个角确实也满足，和这个角大小一样，但是它不再是什么呢？ n a b 了啊。 所以说呢，你自己把问题要理解透彻，为什么会出现一些其他的一个值？好，那么此时对应的 n e 的 坐标也就出来了， 横坐标是二，纵坐标是负的十二，那因为我们这个点的横坐标肯定是要大于什么呢？ a 点的横坐标的好，那另一种情况呢？自然就是在上翻的时候，对不对啊？我觉得思路差不太多啊，思路差不多的，所以第二种情况， 单 n 在 x 轴上翻时， 核心就是什么东西改变了呢？就是这个表达式，那么此时我们的一个 正切值的表示啊，就是它的一个这个长度比上这个长度，那这个长度其实就是它的纵坐标，这个不需要变相反数了，所以也就是 a 的 平方减 a 减十四，那么 水平的一个宽度依旧是什么呢？ a 加一，此时同样要等于四，你把它 a 求出来，对不对？那当然这个的话呢， a 我 觉得算出来，可能 a 一 是等于 二分之五减去根号九十七的，那这个的话呢，同样是要进行一个舍去的啊，因为它是超过了负一，那比负一还要小啊，所以这个舍去。那么另一种情况就是 a 二， 它就等于二分之五，加上根号九十七的，这个就是符合要求的，那么我们进一步求出它的一个具体坐标就可以了， 横坐标是二分之五加根号九十几带进去啊，求出对应的中坐标，这个大家自己稍微耐心的一点计算，比如二分之根号九十七加上十四。 好，那么这个题目的话呢，最终也就是两种情况，我们相当于就搞定了，但整体我觉得还是有一定的难度的啊，它的综合度是比较的高，你比如说像第二问他还 绕了一下，对不对？没有那么的干脆利落啊，以及第三问他也是稍微绕了一下，搞了一下平移 啊。这个的话呢，其实也就是重庆的一些出题的特征啊，有的时候他们很喜欢在第二问的时候，设计就是两种最值联系起来的 一个问题。然后这第三问呢，结合一个抛物线平移，再加上我们的一些角度问题，这个的话呢，你如果能够理解，我觉得对这类题目啊，做起来都是有很大的一个帮助的，大家可以再体会一下。

今天做一个二次函数和直角三角形相结合的题目，还是这个二次函数。上一次的题目一样与 x 轴交于 a， b 两点与外轴交于 c 点，顶点是 d 还是一样的方法，先设 c 点，坐标是零， c 根据 a、 b 求出对称轴 e， 从而得出 b 和 a 之间的关系。 把 a 点或者 b 点代入可以得结合 b 等于负二 a 可以 得出 c 和 a 之间的关系。 要判断的是 c、 d、 b 这个三角形。把点 d 的 坐标要给它设出来，因为要用到点 d 坐标了，点 d 的 坐标就是在顶点上， x 等于一， 这个时候带入就是纵坐标是 a 加 b 加 c， 把 b 和 a、 c 和 a 之间关系带入，就是 一负四、 a、 d 点坐标知道了， c 点坐标表示出来了， b 点坐标也知道了，就可以把 b、 c、 c、 d、 b、 d 三条线段的长度给他们表示出来。 很显然， cbd 这个角是不可能等于九十度的，剩下的就是两个角了， cbd 和 bcd 等于九十度 角， cbd 等于九十度的时候， bc 的 平方等于 c、 d 的 平方加上 b、 d 的 平方，可以把 a 求出来，是正负二分之根号二，正的舍掉，因为 a 小 于零， 当角 b、 c、 d 等于九十度的时候，一样的 b、 d 的 平方等于 c、 e 的 平方加上 b、 c 的 平方，又可以求出一组 a 来。 a 等于正负一， 正的要舍掉，所以 a 等于负的二分之根号二或负一。这就是这道题目。关注我，我们一起在题海中勾刨。

二次函数过原点，已知顶点坐标做垂线，求 p 点坐标。四川中考题暂停思考填 空选择题中两直线垂直，可用两 k 的 g 为负一推出 p， q 的 解析式， 与二次函数连立，求出 p 的 坐标，但是大题中不能使用已知顶点。设顶点式，代入圆点，解出 a 值，得到函数解析式。由解析式可设出 p 的 坐标，由垂直得到角一、角二互余， 角二、角三也互余，得到角一与角三相等，有等角做垂线，黄色、蓝色，两三角形相似，直角边对应成比例，由坐标易得。 c， d 为二， o， c 为四， e， q 长度为四减 m。 关键 p 的 纵坐标为负值， p， e 长度为 p 的 纵坐标。加上负号，代入刚才的等比线段，解出 m 的 值，代入二次函数，得到 p 点坐标。下课。

好的，咱们看一下备战二零二六中考数学压轴题一百二十题的第二题啊， 也是一道二次函数的压轴题啊，这是三庭区二摸的一道压轴题啊。 好的，咱们看一下啊，他说已知抛物线呢，于 x 轴交于 ab 两点啊。然后呢，第一问，求抛物线的解析式啊！第一问是非常简单的，因为我们已经知道了 ab 两点的坐标，所以呢，把 a 和 b 啊带入抛物线里面， 解出来 a 和 b 啊，然后呢，这个抛物线的解析式就非常清晰了啊。第一位啊，将这个点 a 负一逗零，然后 b 呢是五逗零，分别代入抛物线啊，得到了一个关于 a 和 b 的 二元一次放空组啊， 最终呢，我们可以解得啊， a 是 等于负一的，然后呢， b 呢，是等于四，所以这个函数关系式是非常清晰的啊， y 它就变成了负的 x 方加上四， x 加上五啊，好的，咱们看一下。第二位啊， 他说点 d 呢，是抛物线第一象线内的一个动点，他说过点 d 呢，做 d、 f 垂直 x 走啊，又做了一条渐垂线啊，他说直线 bc， 能否把 bdf 这个三角形啊， bdf 这个三角形分成三比二、二比三两部分，如果可以的话，求一下点 d 的 坐标，那么最终这个读题的时候就可以分析出来。我们可以发现啊， bdf 分 成二比三两部分，无非上面是二，下面是三，或者上面是三，下面是二， 对吧？也就是 b、 d、 e 这个三角形的面积和 b、 e、 f 这个三角形的面积比啊，要么是二比三，要么是三比二，对不对？那么咱们分析啊， 可得这个三角形 b、 d、 e 呢，他比上三角形 b、 e、 f 啊，他要么是二比三啊，或者是三比二。那么碰到我们这个面积问题，我们有两种转化方式，一种呢是转化到相似比那里去，第二种呢，是看这两个三角形是否等底不等高，或者等高不等底啊，最终转化到线段比上面去。 那么我们通过图像呢啊，也比较清晰的能够发现这两个三角形他们的什么是相等的，是不是高呀？所以这个三角形的面积比，咱们就可以转化到底上去，对不对？ 因为这两个三角形共用了一条 b f 这条高嘛，所以这两个三角形面积的比啊，就是三角形 b， d e 比上三角形 b、 e、 f 啊，就是面积的比， 就转化成了底的比，那么也就是说 d e 比上 e f 等于二比三，或者说是三比二，这里能不能理解啊？ 那么 d e 呢，我相信各位都会表示了，对不对？那同样的 e f 是 不是也非常好表示呀？因为 e f 呢，就是点 e 的 重坐标的绝对值嘛， d e 呢，就是 d 的 重坐标，减掉 e 的 重坐标，对不对啊？所以这里啊，这个题目这一问啊，还是比较清晰的，我们可以看一下这个， 写一下啊，简单的步骤，我们设一下点 d 的 坐标啊，那么在设点 d 坐标之前呢，我们可以先求一下 bc 啊，这条直线的解析式啊，因为我们要表示点 e 的 坐标嘛，所以啊，因为点 b 的 坐标呢？是 啊，五斗零，点 c 的 坐标呢，是零斗五，所以 bc 这条直线的解一式，它就变成了 y， 等于负 x 加五了。那最终我们设一下啊，设点 d 的 坐标，那就是 m， 那 么因为点 d 是 在抛物线上，它的横坐标是 m 呢？纵坐标显然把 m 带到抛物线里面就可以了啊，加上四 m 加上五， 那因为做的是牵垂线，所以 d 和 e 的 横坐标是相同的啊，那么 e 呢，是在直线 bc 上，所以它的横坐标知道，那纵坐标是不是把它带到直线里面去就可以了，所以在这里我们可以表示出来 d e 的 长度啊，那就等于 d 的 纵坐标 减去啊， e 的 纵坐标整理一下就变成负 m 方加上五 m， 同样的 e、 f 也非常好表示啊，就是点 e 的 纵坐标的绝对值啊，因为点 e 呢，是在第一象限啊，就是第一种情况，当这个三角形 d， e， b 比上三角形 b， e、 f 的 面积比是二比三的时候，我们可以转化成呢，它是 d， e 比上 e， f， 它就是二比三，即 这种情况，也就是负 m 方加上五， m 比上负 m 加五，它是二比三。最终呢，我们解得 m 一 呢，是等于五的， m 二呢，是等于三分之二的，那显然因为这个点 d 呢，不可能说和 b 或者 c 是 重合的，所以这个五呢，我们是需要舍掉的。最终点 d 第一的坐标呢啊，我们把啊它的横坐标是三分之二，所以我们把三分之二带到抛物线的简易式里面，就可以得到它的重坐标啊， 啊，带进去可以得到他的总坐标呢，是九分之六十五啊。那么第二种情况，是不是有可能说这个当这个三角形啊 d e b 他 比上三角形 b， e， f 的 面积是三比二，也就是 d e 比上 e， f 是 三比二 啊，是这种情况，因为他并没有说谁是二谁是三啊，所以呢，我们还存在这种情况，所以记啊， d e 比上 e f 呢，是三比二，就是记负 m 方加上五， m 比上负 m 加五，它是等于三比二的。最终呢，我们解得这个 m 呢，是等于啊，五 m 四呢，是等于二分之三的，显然这个五我们是需要舍掉的，所以呢，我们把这个点 d 的 横坐标啊， 二分之三啊，带到抛物线的简易式里面，就可以得到它的重坐标，是的，四分之三十五啊，所以呢，两个点的坐标啊，故第一呢，是啊，三分之二啊，九分之六十五，第二的点坐标呢，是二分之三啊， 然后四分之三十五啊，两个都可以满足这个。呃，题目啊，提提议啊，大家看下第三位啊， 他说 m 呢是对称轴上的一个动点，他说使得 m b c 呢为直角三角形写出点 m 的 坐标啊，这是一个比较典型的直角三角形的存在性问题啊，那么无论是直角三角形还是等腰三角形，我们考虑的方法还是利用啊。 呃，如果是等腰三角形呢，那三条边两两相等就可以了。直角三角形呢，那无非就是啊，任意两条边的平方啊，等于第三条边的平方，我们利用勾股定律去解决这个问题就可以了。所以在这里我们设一下点 m 的 坐标，因为它是在对称轴上呀， 那么这个函数的对称轴也是非常好确定的，也就是负的二分之 b 吗？是不是？那么 a 呢是负一， b 呢是四，所以我们可以得到它的对称轴呢，是等于二的，所以我们是点 m 的 坐标，那就是二斗七啊，那么因为我们已经知道点 b 的 坐标呢是五斗零，然后点 c 的 坐标呢是 零斗五啊，所以这样我们可以表示出来啊，三条啊，边的平方呢是零斗五啊，所以这样我们可以表示出来啊，三条啊，边的平方呢是零斗五啊，所以这样我们可以表示出来啊，三条啊，边的平方呢是零斗五啊，所以这样我们可以表示出来啊，三条啊，边的平方减横坐标 啊的平方加上重坐标减重坐标的平方，那么整理一下，他就变成了 t 方加上九，对不对？那么还有一个 mc 的 平方，那就是横坐标减横坐标的平方加上重坐标减重作的平方啊，那就变成了 t 减五括号的平方加上四啊，那么还有一个是 bc 的 平方啊，那么就是呃，五减零的平方 啊，整理一下啊，那么他就是五十，所以呢，我们分三种情况去讨论就可以了。那第一种情况就是 m b 的 平方加上 m c 的 平方，它是等于 bc 的 平方，也就是啊， t 方加上九加上 t 减五或的平方加上四啊， 等于五十就可以了。那最终呢，我们解得 t 等于六或 t 等于负一啊，所以 m 点的坐标啊，就是二到六或者啊 二到负一啊。那么第二种情况，也就是说 m b 的 平方加上 啊 bc 的 平方，它是等于 mc 的 平方，我们让这三条边啊，分别为直角、斜边就可以了啊， t 方加上九加上五十，它是等于啊 t 减五括号的平方加上四啊。最终呢，我们解得 t 呢是等于负三，所以得到 m 三的点坐标呢，是二到负三。那同样还有第三种情况啊，就是这个 m b 啊，为斜边，那就出现了这个 m c 的 方加上 bc 的 方，它是等于 mb 的 平方的啊，最终四指呢 就是 t 减五，括号的平方加上四啊，加上五十，等于 t 方加九，最终呢，我们解得 t 呢，它是等于七的，所以 m 四的点坐标就是二到七啊，都上， 我们可以得到点 m 的 坐标呢，是有四个的，是吧？呃，这里有两个，这里有一个，然后这里有一个， 对不对？所以呢， m 一 呢是二斗六， m 二呢是二斗负一， m 三呢是二斗负三， m 四呢是二斗七啊，这是一个比较典型的啊 直角三角形的存在性问题啊，那么等腰三角形也是两两讨论就可以让他们两两相等就可以了啊。啊，如果有想要这个电子版的，可以关注一下主播啊。

我们一起来看这道二点，武汉原调的二次函数压轴题，题目说 y 等于负二分之一， x 平方加上二分之三， x 加上二，与 x 轴的负半轴交于 a 点，与 y 轴交于 b 点，要求 ab 两点坐标， 那么根据这个抛物线，我们可以将它写为负二分之一， x 乘以括号 x 减四，乘以括号 x 加一， 那么就可以求得 a 点的坐标为负一，零 b 点坐标为零二。接下来我们再来看第二文点， c 在 y 轴右侧的抛物线上，并且 a、 c 等于 ab， 那 么 c 点一定在线段 ab 的 垂直平分线上，这个垂直平分线交 bo， 交抛物线于 d、 c 两点，那么 d、 a 就 等于 d b， c， a 等于 c b。 这里为什么要把这个 d 找出来呢？因为 d 点在 y 轴上是一个特殊的点，应用这个点来构造等量关系的话，它可以减少计算量。 当然我们也可以找垂直平面线与 x 轴的交点来计算这个点，也可以减少计算量。因为 d 点在 y 轴上，那我们就设 d 点坐标为零 m， 又由于 d、 a 等于 d、 b， 那 么我们就可以得到 da 的 平方等于 d、 b 的 平方，所以括号二减 m 的 平方等于 m 的 平方加上一，所以 m 等于四分之三，那么 d 点的坐标为零四分之三。 因为 c、 d 是 ab 的 垂直平分线，那么 c、 d 与 ab 的 交点就为 m 点， m 点是 ab 的 中点，那么 m 点的坐标为负二分之一一。 已知 d 点坐标和 m 点的坐标，那么直线 dm 的 解析式就为， y 等于负二分之以 x 加上四分之三。 接下来我们连立直线 dm 与抛物线，我们就可以求得 c 点的坐标。 各位同学，这道二次函数的压轴题我们就搞定了。这道题目的解题关键是我们要根据题目的几何条件， a c 等于 b c， 那 么我们就可以知道 c 点在 ab 的 垂直平面线上， 这样我们就可以根据这个条件建立起线段之间的关系，这样可以求得点的坐标。