江西赣州市九年级下册反比例函数题目

hello， 各位家长朋友们和小朋友们，那我们今天一块来看一下九年级期末的知识梳理，这是我们的第二期，然后今天我们主要讲反比函数，反比函数的话呢，也是一个必考点啊，在这个往年的期末里面 啊，基本上占比的话都是十到十三分，往往是一或者两道小题，然后配上一个大题。 那今天的话呢，我们花五分钟时间呢，先来简单梳理一下图像问题，还有呢就是求解问题，那主要我们来看一下反比函数的相关图像的一些内容。 那首先针对反比函数的基本定义，那那正比函数的话呢，它是 y 等于 k， x 这里面的话呢， k 不 能为零啊，也就是 x 和 y， 那 你要稍微整理一下它的形式，其实应该是 y 比上 x 的 k 对 不对？所以它应该相当于是商为定制。 然后反比函数的话呢，它其实是 y 等于 x 分 之 k 啊，那你稍微把这个 x 挪到另外一边的话呢，它其实相当于是 x， y 的 基为定值啊，但是要注意，反比函数的图像呢，这个要比较特殊一些啊，反比函数图像要特殊一些，反比函数图像叫双曲线， 那它那不是连续的啊，它是有一个跳跃的啊， 当他这个为 x 为零的时候，大家都知道你这个零分之谁就没有意义了，对不对？所以 x 呢，永远不可能取到零，因此这里面没有 x 的 零的这个点，也不知道这个点所对的 y 的 值。所以呢，反比函数呢，是双曲线，两段曲线。 然后另外呢，呃，就是我们说到这个反比函数的增减性的问题了，增减性的里面呢， 比如说我们当 k 的 值大于零的时候，那函数其实是在一三象限的嘛？那一三象限的话呢，在每个象限里面， y 会随着 x 的 增大而减小啊，我们大概来画一下 这个样子，所以你随着 x 增大， y 其实呢，相当于是逐渐在减小的啊。那如果呢，当它小于零的时候，其实就是我们这幅图这个嘛，对吧？那它应该在的是二十四象限，那我们在这也可以画一下， 那么这个随着 x 增加的话呢， y 其实反而也是在增加的啊，因为你将在在第一项里面，你将在从负无穷的位置，对吧？然后开始慢慢增加，慢慢增加，哎，逐渐逼近于 y 等于零的时候啊，所以这是他的这个图像的一些增点性 啊。另外还有经常考的，他经常会把这个两个反比函数图像呢，画在同一个坐标系里面， 那么在这里呢，一定要记住， k 的 绝对值越大，那么图像呢，其实会离远点越远啊，什么叫做离远点越远？我再在这里画一个，我在黄的上面画一个，比如这个这个图像 和我这个黄色的这个图像去对比啊，那你明显发现，白的到这个远点之间的距离，跟这个黄的到远点之间距离来比的话，它会要更远一些啊，离远点会更远一些， 对不对啊？所以这是这两个图形啊，那这种情况下呢，其实就说明啊，我白色的这个 k， 他的绝对值其实要比黄色的这个 k 的 绝对值是要会更大一点，也就是说呢，在相同的取值下， 你在 x 相同的取值下啊，你 k 越大的时候，所对的这个 y 呢，他不就越大吗？所以你看他会离远点的会更远一点吗？ 啊，所以这个你可以借助他去理解。另外呢，经常有一个容易出错的地方，就是因为我们这个跨向线的时候啊，比如说一三 啊，跨向线的时候，他呢会有一个跳跃，所以呢，我们不能呢直接说 y 在 整个这个图像里，都会随着 x 增大而增大，或者增大而减小，这是不可，这是不对的 啊，所以你只能说在某一个象限里，比如说你在第一象限里，或者在第三象限里，但你不可以说在整个图像上，那这不符合要求，也是不正确。 好吧，这一个易错点啊，然后其次的话呢，就是反比函数的对称性啊，那，呃，同一个啊，就是我们同一个反比函数的，他的图像不是有双曲线吗？这两个曲线上的啊，关于点对称的啊， 好吧，另外呢，他也可以是个轴对称的反比函数，同样轴对称，而且他有两条对称轴啊，一个的话呢，是 y 等于负 x， 另外一个的话呢，是 y 等于 x， 也就我们图上画的这两条啊，这是他一个对称性。 那么嗯，接下来我们来看一下具体的题目，这是去年长安区的一个选择，这是裕华区的四十的一道选择啊，大家也能看到考察了增点性，那这种题的话呢，你可以借助图像呢去分析一下， 一定要画画图啊，那在这呢，我们主要呢就说一下这个新华区的这道吧，因为这道题还是非常容易出错的，那我们拿这个题呢来讲，着重的讲解一下，好吧，那在这个题目当中呢，他一共给了三个反比例函数图像画在了同一个坐标系内， 那么明显你可以看到 y 三它是在第三象限的，所以呢， y 三它所对应的这个 k 三啊，这个系数它应该是大于零的啊，所以第一个 k 三应该是大于零的， 那么 k 一 和 k 二呢，它们都应该是小于零的，能理解吧？ k 一 和 k 二呢，都应该是小于零啊，所以呢， k 三应该是最大的，所以我们把 b d 扔掉。那至于 k 一 和 k 二到底谁大呢？这是一个非常容易出错的地方，我们都知道绝对值 k 的 绝对值越大，他其实会离远点越远， 那么我们来对比的话，你会发现，这应该是 y 一 和会比 y 二要离远点会更远一点啊， y 一 要比 y 二要离远点要更远一点啊，所以呢，这里面的 k 一 的绝对值是要大于 k 二的绝对值， 但是因为他们都是负数，那负数的绝对值越大，其实原数他反而会越小， 能理解吧，所以呢，他应该是 k 一 小于 k 二，然后并且小于零，然后那么 k 三的话呢，又会大于零，所以这里面最后选择的话，应该是 k 三最大，其次呢 k 二，再其次是 k 一。 那这是我们讲解这么一道小题， 那么其他题目呢？没有图像呢，你就需要自己去把这个图像画一画，而且一定要着重去注意啊，如果说这个 k 呢是个负的，那你要画到二四象限，如果要是正的，要往一三象限里画。 然后还有一些就是反比例函数的求解的相关问题。嗯，那么 这个求解的这些问题呢，你只要知道他的这个横坐标，然后你给他带入进去就好，所以这个求解的问题倒不是特别的难， 然后那还有像这个长安区这种，对吧？他呢会告诉你一些这个图形相关联的内容，然后从而呢让你借助这个呃一些其他点啊，去把这个反比函数图像上点找到。那这种比较常见的话呢，就是和一次函数啊去结合起来去考察的这些知识， 那这些知识的话呢，我们放在后面的一个视频再做讲解，好吧？啊，你像这些不懂事啊， 对吧？啊？这些内容啊，那单独的这种求解的话呢，相对来说会少一点，像这这里面可能让你看啊，这不有有这个解释啊，要求解释对吧？然后告诉你一些这个点的值，对吧？求解释啊，还相对来说这种还好做一些， 好，那这有一个，对吧？求点子坐标对吧？直接该带入带入对吧？先求 m， 求完 m 之后呢再去求其他的啊，这是四十三的这么一个题。那好，那我们今天的内容呢，就简单说到这里，感谢大家的点赞收藏，那你们的支持呢，是我们持续更新的动力， 更多资料领取呢，进入粉丝群，欢迎大家在评论区里面扣六六六，好吧，那今天呢到这里拜拜。

好，今天我们看一题反比例函数和一次函数交点，然后求值的一题。大家好，我是只会讲解思路的学长老师，反比例函数的图像交点为 m， n， 求它们的倒数之和。 那同学看一下这里，如果我们对图形有个大概的了解，就是负 x 是 二次相线，然后呢，负再加一，那这不有两个焦点吗？那这个焦点坐标到底是指谁呢？所以大家这样的疑问我们去验证一下，去想一想， 第一步肯定是连立方程组， y 等于 x 的 负六，这里呢， y 等于负 x 加一连立方程组嘛，所以就 x 的 负六就会等于负 x 加一。 到这里，很明显，两边同乘， x 就是 负六等于负 x 的 平方，再加上 x 好 全部移到左边，也就是 x 的 平方，加加变减， x 再减六等于零。这里同学们又很熟悉的，能用十字相乘的负，所以呢，是 x 减三乘以 x 加二 等于零，所以我们很快得到 x 一 呢是等于三， x 二呢，是等于负二，我们就把它带进去， 当他等于三的时候，负六或者带这边也行，就是三加负三加一等于负二呗，所以 y 二等于负二，同理，这个 y 这个 y 二呢，也会我们也带进去，负二加一等于负三，负二，负负的负二就等于正二，正二加一就等于三，我们带这里去也是一样的，负六除以负二也等于三，所以我们就分了两种情况去算，第一种， m 等于三， n 呢等于负二，我们把它带进去，原式就会等于 m 分 之一，再加上 n 分 之一就会等于三分之一，再加上负的二分之一。好，这是第一种。第二种呢， m 等于负二， n 等于三， m 等于负二， n 等于三，所以也是这样带进去，然后负的二分之一， 负的二分之一，再加上三分之一，同样去对比一下这两个式子，指示位置发生改变，它的值是不变的，所以这里算，这里三分之一减去二分之一，通加分六分之二减去六分之三，就等于负的 六分之一，这边也是一样的。所以这一题看到这个有疑问的时候，咱们不用慌，就按正常的逻辑去算。这样的一些方法就是三和负二，负二和三刚好是，结果是一样的。

是安平市教育局调研室的吴慧贤，今天我授课的内容是选择填空题的解决方法技巧，希望大家能够喜欢并提出宝贵的意见。下面我们来看这节课的学习目标， 有两个目标，一个是了解解决的基本原则，一个是理解和掌握五种解决方法。重点难点呢，就是如何选择正确的解决方法，尽快解决 好。那么答题原则有三个，你们看一看， 干多一下好不好？太长了，来，来一次，发挥你们的语文特长。来，你来讲第一个怎么读，巧做要巧做。第二，少写，少写就是少写答题步骤或者是吧。第三，快写，快速的选择检查方式， 这是我们的三个基本原则。那德智体的答题方法呢？总共有七种，因为直接关系，所以说这节课呢，我只讲前面五种，这五种里面的直接法 是最重要的方法，我们中考十六个选择题里面至少十个关于软件直接法，所以说直接法是你们必须掌握的。那么其他四种方法里面的塑形结合法是中考的必考题型， 也是我们选择填空的重点内容之一。所以说今天如果掌握好这些方法，对你们今后的决定是有很大的关系的。好，下面的话就分别去讲这些方法技巧。 好，第一个直接好，大家念一下，慢慢来，直接从条件读，直接从条件出发，运动概念公式，具体可进行推理或预算， 得出结论，选择正确答案。这种解法叫入解法。好，你们看清楚了他从条件出发进行推理的结论，我刚才讲过，这种方法是我们呃中学阶段最重要的方法，那下面呢，我们来看一个例题，看例题有一个好的，还有一分钟时间完成的题目， 是吧？ s 等于五都懂了，好，现在我问一个问题，来，你来，我问你，如果你的同学求出 s 等于五怎么办？带了哪个元素啊？就是动手帮你进行检验是吧？进行检验，那你，你记的理由是什么？ 懂得借并不代表你掌握，你要能够说明为什么才是真正的你记，你说带进去他理由非常好，非常好， 那只有这样才叫真正的掌握是吧？好，第二题，第二题，请你跟大家讲怎么做？来这里来，来这里，按一下 等多少？三百啊？就是用到我们讲发财的方法来解释吗？好，坐下，那九度打死什么？ 那么在这里面呢？啊，他的一个具体的整个解答过程，我就不多讲这一种题目呢，你们小学开始训练很多了是吧？到了我们同学也很多时候，我们两个都是相等的，九度是九十度， 九度是九十度，然后呢，那么这里面就是个平行问题，就确定他是一个直角平行是吧？啊，直接把这个方法呢，我们同学做的比较多，所以我就不去详细讲解了。那下面呢，我们来看第二种特制法，特制法可能你们都没怎么见过了，现在我们一起来学习一下，我给大家来解释一下吧， 所谓特制法是什么呢？是说利用满足条件的特殊数值位置、特殊的图形检验和推理。看这句话，利用问题在某一特殊情况下不增，则他在一般情况下也不增的原理来判断增不增的问题。我举一个例子可能不好理解，比如说我们这个是八年， 一般，是吧？我，我问你们在一个课程里面所有的人员都是八零一班同学吗？不是，你能不能举个反例啊？你要对我是八零一班老师啊？哈哈哈，好，我就是了，是吗？那后面呢？很多听课老师他也不是八零一班同学，那就说我举个例子说他不真，我不是，那么就说明一般情况下也不真， 这是一个反例，是吧？好，下面我们来看什么应用呢？来看例题 s 小 于负一问，你下面这三个大小关系是什么啊？ s 小 于负一，下面肯定四个选择的时候肯定有一个选择的，是吧？那你就说刚才我刚才所讲的那句， 他所有情况下，只要我有一个情况不争的话，那下面我是不是可以排除其中三个是不是？那你看我取的特殊的字是谁？我，我不太好，我取出李白行不行？那是什么？哈哈哈，好，你们取个过来，看到没？来坐坐 怎么样？很快抄出来答案是什么？几几，是不是把题目一带就行了啊？这个题目它的直接的解法还挺复杂的，你看这个李四比等于这个负一次方 x 分 之一，这个是 x 平方分之一，然后探头大小，不过呢，因为小于负一岁，这个可以怎么说啊？ 这一个跟这个大小比较是有点麻烦啊，不过呢，他小于负一，所以他的平方肯定导出什么影响的，这个是直接把做起来相当麻烦的，特质，倒也很简单，是吧？好，我们再看一下这个， 这个题目呢，相当复杂，如果让你们去思考的话，我估计你们也直接把做十分钟时间才能够把它做出来， 这就是刚才我们讲的小题大做了是不是？那么如何用特式法来纠结呢？你们看一下，这个 p 点是 y 左上任意一个点是吗？是 c 点，是 s 左上任意一个点，你这么随着 p 点和 c 点的变化，它的形状是不是在不断的 变化？是吧？但是因为这是个选择题啊，他下面四个答案只有一个答案是正确的，什么就说明了这个面积肯定是个什么？ 说你知啊，肯定不你知。那也就说不管 c 和 d 怎么变，那我的三角形的问题都是一个固定的值，那我们能不能刚才因为刚才我们所讲的， 我找到最特殊的位置，最好刷那个三角形行不行？行。那你们看一下吸引人最特殊的位置在哪里？是圆点？是圆点，是圆点在扳手上面吗？我画圆点行不行？不行。为什么不行啊？那你拍视频的角度为什么不行？ p 点在 a b 上讲点对头，他坐下，不过他说过 y 轴上任意一个点， p 做 x 勾平行线与两个图像有交点，如果 p 点放在圆点，他做 x 勾平行线，有交点吗？没有交点，所以说这个 p 点肯定不能是圆点的好，那因为时间关系呢？这个题目还是我来讲好吗？ 跟这种情况我们来看一下，如果我把 c 点放在这个位置， p 点， p 点， p 点跟 c 点它们之间是相反的关系，那我 p 点再加上它的移动。什么？我找一个 p 点坐标是谁？随便找一个零行吗？不行，零。为什么不行啊？零，他想香蕉也会移。对啊，香蕉 p 点是外角上任意的量，行，是吧？哎，行，那么因为它这里旁边一个是负的四除以 s， 一个是二除以 s， 所以 说这个 p 点都标配任意取，但是我们越简单越好，所以我干脆取一个零二吧，我们好算一点，是不是零二？好，如果取个 p 点是零二， 这个是 a 点，这个是 b 点。好，那我三角形 a、 b、 c 的 面积， 这等于谁呀？二分之一，什么 a， b 乘什么 b？ c， d， 是 不是啊？是不是等一下？好，那现在 c、 b 是 多少？二， a， b 是 多少？ 这个是二，对下来是多少？所以 a 点坐标是多少？ a 点坐标肯定是二横坐标，是不是 b 点呢？不要是二横坐标 b， 所以 a， b 的 长度多少？三，二分之一乘三乘三二，结果等多少？三，答案选什么 a， 可能这个题目同学们听的不是很清晰，好，我就不再多讲解了，等下回去你们慢慢消化啊。这个题目呢，如果我用直接法来做，叫引入参数 b， 如果引入参数的话，你们发现呢？就比较麻烦。我设 p 点，坐标是 b 的 话，分别求出 a 和 b 点，这两个坐标求出以后呢？然后它的长度是一分之六，那么就面积等于三，这个是 那个直接把方法来做，那跟我们这种方法呢，比较起来就差不多了，是吧？那这个是利用他的特殊的静止图像的途径是吧？好，那有关这一方面呢，更多的要靠同学们去自己去练习才能才能掌握，是吧？好，下面呢， 我们来看第三个猜想吧。好，大家读一遍好吗？根据数学知识念，根据数学知识 进行推理演算，把不正确的结论排除，从而做出正确的结论的解法叫做反解法，他是说根据推理演算不正确的结论排除。这种题目我们是见过的，大家来看看这个例题，例题，例题是什么题目？ 统计题是不是例题二是个启发题，你们发现没有？例题与例题二的四个选择之他们是不是各自没有联系的，是吧？而且是各自四个四，四个命题，所以说我们要判断这五的时候肯定要四个，总结好回答 第一题多少遍，答案没有，为什么选一遍，哎。但是我们从从这里来看，这四个数字最中间是七十五，两个七十五加七十五，除以二中位数七十五，没错啊，哈哈哈。来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来 来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来来 来。你来讲四个脚上的正方形，哎，正方形是矩形的是什么？四个脚下可能是矩形，这个是真名的，一样，真名是真名，哎，是吧？ 四个角相等，哎。四边形，四个角相等，每个角是多少度？九十度要不要？需不需要说四个角相等，每个角都是九十度，要不要这样子？不要什么，你看这个是吧？那么至于后面这几个我想大家都很清楚了，四边相等一定会换一位，一位每几年不一定会换一位。还有 讲这个就想到我刚才讲一个特例问题，我要说他是错误的，或者要什么取出什么一个环节，比如说第四个对角线负三垂直四边形，你们说对还是错？错，是吧？我们只要随便举一个环节，我就画一个图形，对角线负三垂直。什么？我很容易画，这是不是垂直了两阶段我就把四个点连起来， 哎？这是平行四边形吗？不是，这是我讲的举一个环形也不正确，是吧？好，我们来看 下面的代码。再来一遍，来，由题设条件，由题设找出合适的条件，求出正确答案即可将该选择的答案。

同学们，今天我们来看一题，根据反比例的图像去做一些范围取值的一些问题。大家好，我是只会讲解思路的选择老师，首先我们看一下，他说反比例的解析式已经告诉我们了，第一问简单对不对？把它带进去，就是 x 等于负二，所以 y 呢， 是等于六除以负二，也就等于负三，这题没什么问题，很简单。 好，然后我们再看一下第二问，他说二到四的发尾取五 x， 那 我们这里呢，尽量的能用竖形结合去做这一题，我们知道他 k 是 大于零，所以他是在一三象限。 好，我们知道他说二到四， y 是 二到四，我们这是四，这对应的四 二。好，我们看一下这个点对应的，我们把它带进去，这里是六除以二，这里对应的 x 为三， 那么这里呢，我们把它六除以四，得到的 y， 得到的 x 呢？就是一点五，其实就是二分之三，所以我们根据这个我们知道它是在这个范围内，所以我们马上就可以知道 x 呢是大于一点五， 小于三，把你自己写成二分之三也是 ok 的， 所以这是一题，根据数形结合去做即可。 当然了，同学们也可以根据它的趋势对不对？我们知道这里 x 越大反而越小，所以呢，我们就取这两个点，反过来就可以做到这一个。那我们继续来看，他说 x 在负一和一之间，而且不等于零，求 y 的 取值范围，我们同时也是可以画个图，为了不跟上面，我们就另外再画一个草图。 好，我们现在是 x 是 负一到二之间， 那我们一样的，这里负一对应的是在这里把负一带进去，所以 y 呢，是等于负六的二带进去呢，我们知道 y 呢，是等于三的，对不对？所以这里我们就要知道了，他要的是这个范围吧， 是这一个，因为他要的是这一个范围，所以对应的 y 呢，是小于负六的，所以这一边呢， 这一边当他自己是挖掉一个零的，对不对？这一边呢，是在哪个范围？是在这一个范围之内对不对？所以挖呢，也是大于三的，所以中间用个或来表示，那么这就是这一题的答案。 x 呢，是小于负六，小 大于三两个范围，所以这就是这一题的答案。同学们如果对数形结合熟悉，那么这一题还是不难的，同学们掌握了吗？

好了，我们看这个题啊， a 点的坐标是四零啊，标上啊，四，逗号零， c 点坐标是零，逗号三。第一问反比，它是 y 点 x 分 之 k 和矩形 oabc， 这个有交点的时候， k 的 价值 k， y 点 x 等于什么？ k 是 不是等于 x 乘 y？ 所以 说我们找出 x 和 y 的 值就可以了来， x 的 值是不是啊？ y 是 不是大于等于零，小于等于四吧，是不是啊？ y 是 不是大于等于零，小于等于几？ 哎，小于等于三是不是啊？这是三是不是 b 的 坐标就是四，逗号三嘛？所以说这个 k 就 等于 x 乘 y， 那 么就是四乘三乘四就等于十二，是吧。第一个还是比较简单的哈， ok， 看一下，我们继续往下看。第二本反面来说， y 点 s 分 之 a， 图像与 ab， cd 分 别交于 d、 e 两个点连接 d e， 当 k 等于六的时候，求 o d e o d e。 首先我们先把它连进行连接哈，连接完以后，你看 o、 d， e 是 在这个矩形 a o b 啊，这个 a o c， b 里边是不是？ 如果我们找三角形面积，我们想到什么？哎，底乘高，找底和高，这个没有平行，也没有垂直，不好找，我们就用什么呀，是不是割补法，把矩形面积出来，减去这边，减去这边，减去这边，是不是中间这块了？哎，是不是表进来了？但是你会发现 e 和 d 的 坐标数不知道，题目中给你 k 了， k 等于六，是不是 y 等于 x 等于六， 然后把这个它的横，它的纵坐标 y 等于三在一起出来了，这个呢，把它的横坐标 y， x 等于四在一起，是不是也出来了？所以说我们能得到第一个 代入得那个 d 的 坐标就是谁？呃，四，逗号。二分之三一的坐标是谁？好，找到坐标我们可以求出来吧。所以这个三角形 o、 e、 d 的 面积就等于矩形的面积，是吧？矩形减去谁啊？减去三角形这个 c、 o、 e 是 不是这个面积？ c、 o、 e， 再减去三角形 b、 e、 d， 再减去三角形 a、 o、 d， 是 不是再去矩形？是不是啊？四三就是四乘三， c、 o、 e 呢？ c、 o、 e 就是 e 的 横，坐标是二，那就是二分之一乘二乘它的高就是三，再减去 b、 e、 d， b、 e、 d 这边是二，这边是几啊？ d 的 坐标是二分之三，那就二分之一乘二分之三，再乘个二， a、 o、 d 就是 二分之一乘四乘二分之三。好，算完以后它的面积等于等于二分之九。 ok， 很 简单哈，那我们看第二本说连接，连接 ac 啊，连接 ac， 判断 d 和 ac 是 否平行，是否平行。我们画一个线，先把它连接起来， 连接完以后，你看这个线段是不是一看就平行，对不对？但怎么去正平行？在平面直角坐标系里面，两条直线平行平行，说明什么？相等是不是 k 相同 对不对？我可以把这两条直线，直线 b、 e、 d， e 和直线 a、 c 的 表达式是不是可以求出来啊？表达式求出来之后，我证明看它的 k 是 不是相同， k 相同它就平行， k 不 相同是不是就不平行？表达式的话就需要什么法？是不是叫待定吸收法 啊？待定系数法。用待定系数法需要知道几个坐标呢？哎，两个坐标是不是？这是不是我们解题的方法？两个坐标在这， a， 哎，那个 a、 c 里边有坐标有吗？有啊，都有坐标第一呢，第一不清爽。我们可以用设 k 吧啊，因为我们可以设。怎么设？你看 d， 好， 查一下。你看设 直线 a c 的 这个表达式为 y 等于 mx 加上 n， 你 看 a 的 坐标是不是四？逗号零 c 的 坐标是谁啊？哎，零逗号三代入得，也就是四， m 加 n 等于零， n 等于三，然后解得 m 等于负的四分之三， n 等于三，所以的表示出来没？哎， y 等于负的四分之三， x 加上个三吧。 好，那 a c 出来，我们就要设 d， e 吧。哎，设 d， e 相同的啊，画横线啊，就是 y 等于，比如说 p， x 加上 q 吧。设完以后它的 d 的 坐标是什么？ 哎， d 我 们 k 不 清楚，我们可以用什么，还是用 k 来表示吧。那它坐标怎么表示啊？哎，就是四分之 k， 对 不对？那 e 的 坐标呢？坐标是三，带进去的话就是谁啊？三分之 k 吧，是吧？好，那就代入，代入可以得到谁，就是四。 p 加 q 等于四分之 k， 三分之 k， p 加上 q 等于三。 ok 解得 p 等于负的四分之三， q 等于四分之 k 加十二，所以这个表示等于 y 等于负的四分之三， x 加上个四分之 k 加十二。 看着挺复杂，但是你注意宽敞，你看他的 k 是 负四分之三，他的 k 也是负四分之三， k 相同说明什么？是不是平行对不对啊？这个题学会了没有？

我们来讲九年级的反比例函数，经讲二的例九，题目说已知一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，与反比例函数 y 等于 x 分 之 m， m 不 等于零的图像交于 a， 二三 b 负六 n 两点。 第一小题说求一次函数和反比例函数的解析式，那我们可以看到它给我们的一次函数的解析式 啊，全都是未知数，那 y x， 那 肯定不是我们要求的，那我们要求的函数解析式呢，是 k 和 b 两个未知数，然后反比例函数这里呢？ y x m， 那 它是要我们求的是 m 这个未知数，一个未知数，然后给我们的两个焦点呢？ a 它是坐标全给我们了， b 的 话，它的 y 他没有给我们，所以呢，那肯定是两个，我们就不能随便拿来一个节气式就带进去求了，那肯定是哪个位置数少，就先求哪个，然后再用求出来的，把它得到这个点 b 的 这个 y 的 值，然后两个完整的交点，再去求另外一个， 那很明显哦，这里是两个位置数，这里是一个位置数，那肯定先求这个了。那第一小题把这个 a， 因为它 a 是 完整的二三代入 y 等于 x 分 之 m 的 这个 y 是 三，三等于二分之 m， 那 么解得 m 等于六，所以 y 等于呃 x 分 之六，然后呃，把 b 负六， n 带入 y 等于 x 分 之六，得 y 等于负负六分之六，那么积德 y 等于负一，所以 b 就是 负六负一，那么把 a 二三 b 负六，负一代入 y 等于 k， x 加 b， 得到的是 呃三等于二， k 加 b， 负一等于负六， k 加 b， 那 一二，那比如说我们一 呃二减一吧，二减一得到的是负六， k 加 b 减二， k 减 b 等于负 一减三，那么负八， k 等于负四， k 就 等于呃二分之一，然后呃，那么解得 它 k 是 二分之一了，把点 b 带进去就能得到，就比如说带到这里 k 是 二分之一，那 b 就 等于二， 所以 y 等于二分之一， x 加二。 呃，那么至此呢？求出来的一次函数的解析式是， y 等于二分之一， x 加二，然后反比例函数的解析式是， y 等于 x 分 之六， 那么第一小题就求出来了，然后第二小题，第二小题的话说， m 是 x 轴上的一点满足 m a 减 mb 的 差的绝对值最大，求 m 的 坐标，那这一类呢，我们就要用一道一个比较经典的题型，将军印马。 呃，这里的话，那他给我们 a b 两点，他们在 x 的 e 侧，那我们就是最好能把其中一个点做就是对称，指他们两个在在 x 轴的同侧。然后呢， a b 就是 这个对称点跟另外一个点的原点连接之后，延长线就是它这个直线与 x 轴的交点，就是这个 m 的 坐标，那这里因为它这上面写，它写了一个负六，这个表示起来不方便，所以我们把 a 给它对称过来吧，就其实是两个对称，哪个都是没有关系的，那比如说这个 a 那 对称过来就是 a 一 撇了，那嗯给它连接 这样，那么与 x 的 轴的交点，这个就是 m， 那 此时呢，这个 m a 减去 m b 的 这个差的 绝对值最大，这是为什么呢？因为就是我们可以看它 m， 它是在 x 轴上移动的，那我们把这个 a 它对称过来之后呢，它 a 到 m 的 距离也是不变的，就是 am 等于 apm， 那么也就是说 am 就是 m a 减去 mb， 它的差的值就等于 m a 的 一撇减去 mb 的 这个差的值，那这样的话，它其实 m 就是 连接 a 一 撇 b， 然后 b m， 然后 m a 一 撇，它其实就形成了一个三角形，对吧？那在三角形里，它有一个性质，就是 三角形的两边之差，它一定是小于第三边的，也就是说它 m 在 x 轴上运动，只要它还组成三角形，那么这个 呃 m a 减 mb 的 这个叉，它一定小于这个 a 一 撇 b， 那 有没有能让它这个叉等于 a 一 撇 b 的 时候呢？有，就是 a 一 撇，然后 b， 然后 m， 它们三个点在同一条直线上的时候， 这个时候呢，它这个呃 m a 一 撇减去 mb 的 值，就是 a 一 撇 b， 那 此时其实也就是这个 a 一 撇 b， 它的延长线与 x 相交的点就是 m 的 值。呃， m 的 坐标， 那知道了 m 这个位置之后呢，我们要怎么求它的坐标呢？就是，呃，先写吧，呃，关于 x 轴，呃作点 a 的 对称，点 a 一 撇，呃，呃， 延长 a 撇 b 腰 x 轴与减 m， 此时 m a 减 m b 最大， 那么要求的话，其实我们可以看到它这个点 m， 它其实就是在这个一次函数 a b 上了，那 a b 的 话， b 在 第一小题里面，我们已经求出来它的坐标是负六一，负六负一，然后 a 一 撇 他的，呃，这个坐标的话，其实就是关于点 a， 关于 x 轴对称，那点 a 的 话，他是三二三，那 a 一 撇，他是在第四象限，那么呃，他就是 x， 是 正的 y， 他 变成相反数了，也就是二负三，呃，所以 a 一 撇，呃， 因为 a 为二三，所以 a 一 撇是二负三，那么设 l a b a 撇 b， y 等于 mx， 呃， ax 加 n， 那么把 a 撇二负三和 b 负六负一，代入得 这个负三等于二， k 加不是二， a 加 n， 然后负一等于负六， a 加 n， 那 么解得， 呃，让我算算负六，它这里一样的，这个一二的话， 嗯，一减二就得到的是二， a 加 n 加六， a 减 n， 负三加一，那是八， a 等于 负二， a 等于呃负四分之一，所以这里求出来， a 等于负四分之一，那么 a 等于负四分之一的话， b 代进去，这里是负二分之一啊，不是什么 b n 负二分之一二，负二分之六，负二分之五， 二分之三，二分之三。对，然后所以 l a b， 它就是 y 等于负四分之一，嗯， x 减二分之五，那么 设它这个 m 点为它的 y 的 值为零嘛，所以是比如说 z 零，那么把 m z 零代入，那么得到的就是 负四分之 z 减去二分之五等于零，负四分之 z 等于二分之五，然后相乘 z 就 等于 四分之五负十，所以呃 m， 它的坐标是负十零，这是第二小题的答案。然后最后第三小题其实比较简单，他跟我们说求不等式 k x 加 b 减去 x 分 之 m 小 于零的解集，然后让我们直接写出答案。直接写出答案的话，那我们就说一下思路吧，就是 我们可以很明显的看到这个 k x 加 b， 它是一次函数的这个等一次函数的 y 的 值，然后 x 分 之 m 呢？它是反比例函数的 y 的 值，那这样的话，它们两个相减，因为我们知道相减它一般是用来比较大小的，就是比较两个大小时候会两数相减，它如果大于零的话，那就是被减数大于减数，然后它如果是小于零的话，那么就是被减数小于减数， 那么这里它是小于零，那么 k 就是 一次函数的 y 的 值小于这个反比例函数的 y 的 值，那它的剪辑呢？那也就是这个 y 就是 我们用 y 的 话，那 就是用 x 的 话求它的解集，也就是说一次函数的呃 y 的 值小于反比例函数的 y 的 值的时候，那肯定是在这个焦点，从焦点来看了，那先看点 b 这个焦点，它的左边反比例函数的 y 的 值是这条， 然后一次函数的 y 的 值，它小于反比例函数的 y 的 值，所以它这个呃 x 小 于 负六，因为点 b 的 x 值是负六， x 小 于负六的时候，符合这一个这个式子。然后呢，那 ab 之间就是点 b 到这个 x 为零的这一段距离里面， 一次函数的 y 的 值，它是要大于反比例函数的 y 的 值的。但是呃零到这个 a 这个这一段，它这个一次函数的 y 的 值，它又小于这个反比例函数的值了。所以这里是解集，就是 x 小 于负六或 这个零小于，就是 x 大 于零且小于二。因为 a 的 值大于二，之后呢，它这个一次函数的值，又是这个 呃又大于这个反比例函数的 y 的 值了，所以呢，这个不能是它的解集，就为 x 小 于负六或者零。呃 x 大 于零且小于二。然后第三题就求出来了。

哈喽，各位小朋友们和家长朋友们，今天我们接着复习一下九年级的期末易错知识梳理，今天我们一块来看一下反比函数的第二个内容啊， 那反比函数呢，上一讲我们主要讲了图像以及性质含有求解相关的问题，那这些问题的话呢，基本上主要存在于填空和选择，那今天的话呢，我们的内容主要存在于大体，或者说呢是填空题的压轴题 啊，那么这个内容主要就是反比函数和一次函数的综合类型，那必要涉及的常用考点呢，就是焦点问题或者整点问题，还有就是利用图像呢去解不等式，那这个分值的话呢，基本上在八分左右啊，八分左右。 那么呃，这里面我们先来简单做一些反比例函数相关的一些小模型以及呢呃，这个回顾一下当时学过的一些知识。好吧，那么如果反比例函数呢，上面有两个点，然后和圆点围成这样一个 a b o 的 这个蓝色的三角形， 那么这个三角形呢，它里面的面积关系啊，会有左边的这些结论，大家可以一块来看一下。第一个呢，结论就是这个三角形的面积和 a 点往 x 轴啊和以及 b 点向 x 轴做垂线段 啊，所形成的这么一个梯形的面积就是 abnm， 那 三角形 abo 的 面积和它的面积是一样的啊，那么具体的推导的话呢，大家可以看一下这个，好吧，这个推导可以看一下这个内容啊， 然后另外的话呢，我们还有呢，就是这个三角形 a b o 呢，同样它的面积也可以和 a 点往外轴做垂线，以及 b 点往外轴做垂线，做完之后的话呢，和这个 a、 p、 q、 b 这个这个梯形，它们的面积其实也是相等 啊，也是相等，所以这个结论的话呢，以及这个小模型用到的还是比较多的，如果你能够了解这个结论，那么你做一些题目会非常的快。 然后还有的话呢，就是呃，如果说我们在反比例函数图像上呢，找四个点，比如说 a 以及 a 的 对，呃这个呃对称点 c 啊， b 以及 b， 关于圆点，它的对称点 d 啊，那么我们组成这个 a、 b， c、 d 这个四边形 啊，然后我们让它对角线相连，那么因为是呃对应点嘛相连，所以呢这些对角线连线一定会经过点 o， 那么分成的这四块面积，其实这四块面积的话呢，它的面积呢都一样啊，而且的话呢整个四边形面积的话等于这个 a、 o、 b 的 四倍， 所以这是一个。那么进阶一点的话呢，就是我们有两个反比函数图像，然后上面的还是找两个点，然后但是呢我们再往另外一个函数，那个反比函数图像呢，再找一个点 p 啊，那么所形成的结论里面，像第一个和第二个这个三角形球面积啊，比较简单啊，那当然它也是推别的别的内容的前提嘛。然后另外呢还有就是这个四边形，我现在呢所围成的这个四边形 m、 o、 n、 p， 这个白色的这个四边形， 它的面积的话呢，其实啊它的面积呢就会等于 k 二减 k 一， 那 k 二的话呢，其实就是我们这反比函数图像啊的斜率，呃，这个这个呃 k 值啊，然后另外的话呢？呃，这个 k 一 的话，是另外一个黑色的反比函数图像，它的一个 k 值啊， 就等于它们的值差，那这个推导的话呢，其实我们可以放到这个三角形里面去推吧， 对吧？你看你这个三角形的话呢，它这个空白部分就相当于是大的减去这个小的，那大的话呢，是二分之 k 二，小的话是二分之 k 一 啊，那么同样在下半部分的话呢，它也是二分之 k 二减二分之 k 一， 然后那么一合并的话呢，其实就变成 k 二减 k 一 啊， 好吧，然后另外的话呢， pm 这段距离比上 m a， 那 它其实一定会等于 pm， 然后比上呢 n b 啊，一定会等于 p n 比 n b 啊，那这个知识的话呢，也可以啊，用这个面积关系呢去推导啊，用面积比的话呢，等于底边比，然后用到这两个三角形的面积比，然后去推导。好吧，那么，呃，所以那根据这个第三个结论呢，你可以推出来这个第四条， 那这个正方形的啊，也不是这个正方形，这个这个四边形啊，他的这个考点呢，相对来说会稍微多一些啊，像我们这个后面的题目当中就有一个这样的考点。好吧，然后另外的话呢，我们再来说，还有就反比函数的话呢，和焦点问题，反比函数的这种焦点问题 啊，那么反比函数和正比的函数图像，他的这个焦点，要不然的话呢，就是像我们的这个绿色这个图像， 绿色这个图像的话呢，它会有两个焦点，而且呢这两个焦点是关于原点对称的啊，然后还有一个，就像红色这一条， 它的话呢，是没有焦点啊，它是没有焦点啊，它没有焦点，所以的话呢，要么两个焦点，要么一呃一，那个没有焦点，那它的判别方式的话呢，就是去拿反比的函数图像，它的这个 k 值和这个正比的函数正比的函数，它的这个 k 值去相乘， 如果它的乘积的话呢，是小于零的啊，那么它们俩的图像一定没有交点，因为小于零相当于一个是在一三，那么另外一个图像的话呢，可能就在二四嘛， 那么如果说咱们乘积大于零呢，证明他们要么都在一三，要么都在二四，那么就会有焦点，好吧？啊，所以这是这个啊，然后另外反比函数呢和一次函数图像，他的这个焦点个数呢，就比较多了，那么他有可能是焦点为零的，像我们如图这种情况，那么当然话呢，也有可能呢，是这种类似于这样相切的焦点为一的， 还有可能话呢，是穿过的啊，就像这个焦点为二的，对吧？那这种怎么去判断焦点个数呢？这也是一个非常常见的一个考点啊，那么你可以将两个函数呢去连立啊，将两个函数连立，比如说我们让这个二 x 加五，然后与这个呃 x 分 之十二，这样连立，那么连立的话呢，它可以把这个 x 乘过来，就变成二 x 方，然后加上五 x 呢，然后减十二呢，得零，那么这样你是不是就变成了一个这个呃一元二次方程，然后呢，你可以去求它的的，然后根据它的的的话呢，去判断它到底有几个具体的解， 对吧？那判断出他的结之后的话呢，再去看啊，你的这个结的个数其实就是什么呀？就是他这个焦点个数，好吧，所以这是这个连力之后求得它。呃，长安区这道题的话呢，我们等会呢着重呢稍微去讲一讲，好吧，我们先简单看过去啊， 然后你看四十的啊，四十的，四十里面有个求三角形的面积，那这个是一个非常常见的考点，那么这个三角形面积的话呢，你可以呢用牵扯法去做， 那么当然话呢，你也可以用分割，就是尽量呢把它分割成为什么呢？比如说这个题里面，它可以这样竖着切 b o， 然后把它分成这个 b d o 这个三角形和 a b o 这个三角形， 然后呢这两个三角形的话呢，它的底呢都是 b o， 然后它的高的话呢，一个是过地往这做垂线段，其实做完之后的话呢，这个垂线段的距离就是地点的横坐标的绝对值， 然后那么过 a 呢往这做，那么这个垂线段距离的话呢，就是 a 点横坐标的绝对值，对吧？然后呢再让这两个值分别呢和 b o 相乘，然后除以二，然后就能求出来它们各自面积，然后一加就完事。那当然牵垂法的话呢，也可以，牵垂法的话呢，我们的做法就是用谁啊？ 用这个 a 和 d 的 啊，它的这个呃水平，那就是用它的这个牵垂高啊，牵垂高就是 a 和 d 的 纵坐标之差， 然后呢去乘上谁呢？呃，去乘上这个 o 和 c， 哎，它的这个呃横坐标之差啊，对，横坐标之差，然后呢这样的话呢，我们再乘二分之一，那这样话也是可以去求出来它的面积， 好吧？啊，然后另外的话呢，你像这里面的下一问呢，它其实只要去判断它的这个，呃，图像上的范围就好了，这个也是比较好做的，好吧， 然后这是桥西的一道，你看是不就是我们刚刚所画的那个四边形嘛，对吧？我们着重讲了讲，那么这个东西呢，你可以自己再去推一推，好吧，然后这是桥西的还有一道啊，还有一道，然后新华区的话呢，这一道呢，也是你只要看这个图像呢，就可以直接快速的判断出结局，还是比较好做的， 你看这里面呢，又会有这么一个这个正方形，是吧？上面找了两个点，然后对称点啊，也是好算的啊，也是好算。四十三这个题其实跟跟这个长安的这个题应该是基本上是一样啊，略改一下，略改一下，所以我们挑着一道讲吧，好吧，挑着一道讲 啊，然后这是四十三的另外一等啊，也是个一次函数结合嘛，对吧？那好，那我们把这个长安区的这个呢简单再来说一下啊，简单再来说一下它的第一小问呢，其实用到的这个知识呢，是等腰直角三角形的特点嘛， 那么 abc 呢，竟然是一个等腰直角三角形，那 a 点它的坐标呢是三二，那我就知道过 a 呢，往下做一条垂线段， 那么这个垂线段的话呢，它的啊长度呢？就是二啊，那这个既是什么呀？既是垂线啊，既是它的高啊，就是底边 b c 的 高，又是中线，对吧？所以的话呢，又是角平分线，所以，呃，这一段 他的距离的话也是二，那这段的话呢，也是二，所以这个 b c 长的话呢，他应该为四， b c 应该为四，那么再借助谁啊？再借助你 a 点的坐标不是三二吗？对吧？那么我 b， 比如说我这是个 f 点吧， 我 b f 的 距离呢，是二，那么 b 点的坐标呢？我就知道它就应该是一零嘛，然后那 c 点坐标的话呢，它就应该是五零嘛，对吧？然后那这些都搞定之后呢？接下来你去看这个第二问啊。第二问，他说 d 点为 ab 终点，那又考了一个终点坐标公式， 终点坐标的话呢，应该是，呃，这个两点的横坐标之和除以二。然后呢？呃，纵坐标的话呢，应该是它的纵坐标之和除以二。 所以你可以求出来这个 d 点坐标，它其实就应该是二一嘛，对吧？二一。那 d 点坐标呢？我们知道是二一，那么我们把这个二一呢，代入到这个 y 等于 x 分 之 k 里面，你就可以求出来，这个 k 呢，就应该点二，所以这个话应该是 x， y 等于 x 分 之二， 对吧？ y 等于 x 分 之二，那这样我们就可以搞定它了。然后接下来的话呢，我们再来看一下这个第三个嘛，第三个呢？说，呃，若这个双曲线和这个折线 d a 啊，然后 a 一， 然后所围成的这个区域含边界只有两个横纵坐标，都是整数的点。问， k 的 取值范围啊，那它这个区域在哪呢？我们再瞄一下，就 a d 能看到吧，然后 a 一， 然后以及中间的这一小段， 呃，那他说了包含面积，那这是一种，还有呢，就是不包含面积的，有这么两种类型啊。呃，做法差不多都需要呢，我们把这个图呢去给他细划一下，就是呢，你需要把他呀， 给他，给他，这个每个点呢，都给他描出来啊，每个整点都给他描出来啊。那我在这呢提前给大家做好了啊，提前做好了， 那么这里面你就不一定啊，说这个第二问呢，这个 d 呢，就是终点了啊，不，不一定啊，不一定，因为这里面的这个 d 呢，未必是终点啊，未必是终点好吧，所以的话呢，它这个 k 值是会变化的嘛，因此就让我们是求 k 的 范围，让 k 的 范围 好，那我们来看一看啊，在这里面，我们目前如果说当 d 是 终点的时候，呃，那它这里面有几个这样的整点？首先第一个 a 必然是整点，对吧？这是雷达不做功的，对不对？然后 c 点啊， b 点啊，这三 abc， 这三个点首先是固定的 啊，那么这三点要固定的话呢， a c 连线，那和 ab 连线，这也是固定啊。然后那这个 e 点的坐标的话呢，他也是很好求出来的 啊。这，这应该不是 e 了，这是比如说我们这是 a b j 吧，这 j， 那 这个这点的坐标的话呢，他呢也是一个固定的，这点的坐标他一定应该是四 e 能看吧，所以 a 是 三二， g 是 四一啊，所以这就已经有两个固定点在边界上，这是雷打不动的， 那么也就说其他的现在区域里的点呢，都不应该出现在这个条件里。那我们来看看这个区域里面还有哪些整点 啊？首先第一个呢，就是我们第二文里面说的这种 d 啊，但是 d 呢，他现在啊，不一定啊，是这个啊，二一了，那不一定是二一了啊，所以我们给他标一个吧，这个是点 d， 我 们标一下二一，这个点， 我在这写吧，二一，二一呢，一定不能包含在内，二一不能包含在内，证明 k 呢，肯定不能取二，对吧？ k 不 能取二啊，那么另外呢，我们再代入其他的点啊，你这个点也不能包含在内啊，这个点是三一， 那么他要不包含在内，如果他要想排除在外，你是不是就得让这个朋这个反那双曲线的这一支是不是让他要去动一动， 那当它动到什么时候，马上就会抛出在外呢？哎，也就是说，当我们这个双曲线呢，经过这个 f 的 时候啊，经过这个三一的时候啊，那它要经过三一， k 的 话呢，应该得到的是三啊。那好，那当它过这的时候，我们稍微来瞄一瞄， 当它经过三一的时候， 好，你只要再让这个 k 稍微大一点，我们都知道 k 越大啊，那在正数的时候， k 越大，它离远点是不是就会越远啊？它再稍微大一点呢，这个 f 也就不在了，所以我们这个 k 的 话呢，它应该是大于三的，这样的话就能把这个二一和三一两点踢出去啊， 那不能把谁呢？他说，那我们要小于谁，能一直大吗？肯定不行啊，对吧？当他要把这个这点，因为你看再稍微往上一挪，是不是这个这点有可能被踢出去，所以你把四一带进去，那么你可以求出来的话呢， k 是 四， 所以的话呢，他应该是小于或者等于四啊，因为你可以等于四哦，等于四的时候呢，他就是 a， 这两个点都在这上面， 所以这是 k 的 范围，那大于三小于等于四，好吧，呃，那么今天的话呢，我们就稍微讲解这些吧，然后具体的一些其他内容呢，大家可以添加粉丝群，然后评论区扣六六六，然后可以领取其他的资料，看详细的答案。 好吧，那感谢大家的点赞收藏，让你们的坚持是我们持续更新的动力。好吧，拜拜各位记得点赞关注哦。

来看二十一体一样体好。某水果生产基地气温较低时装有恒温系统的这个什么什么什么你可以看一下，然后大棚内的温度 y 值与时间 x 值的函数关系如图所示。啊，那这里面你看图像呢？有三段， 这个一次函数，这个常数，这个反比例函数，对吧？这三段，那他问其中线段 a， b 为 从 a 开始到 b 再到 c， 为什么恒温系统开始的阶段， 对吧？双曲线 c， d 为恒温系统关闭的时候，问他设定的恒温温度是多少，那温度是多少？那就看 b 点值， c 点值 就可以了，对吧？那 b 点值是通过这条线算出来，他有两个点坐标，一次函数，所以第一问写，他就可以写，设 a， b 对应的方程为 y 等于 k， x 这个 b 值已经知道了，你就直接写十就好了， 对吧？然后再把 a 点，把这个 a 点坐标带进去， a 点坐标就是 x 等于二， y 等于十四，带入 就把它带进去， y 等于十四，二 k 加十，所以 k 算出来等于二移过去，所以 y 等于二， x 加十这条直线。那么要算它的横点，就看 b 点，对吧？ x 等于五的时候带入， 那 x 等于五的时候，对应的 y 值是等于二十，所以它的恒温 就是二十度。这第一问，第二问，求它的函数解析式，那就要分三段写，这段已经知道了，这段也知道了，二十，这段反比例，对吧？那就把 c 点坐标求出来， c 点坐标是， 对吧？ c 点坐标是 x 等于十， y 等于二十，所以它的解析式就是两百除以 x， 那这个时候我们就可以写注意他的分段函数。初中接触的比较少，高中很多的分段函数。第一个二 x 加十，对应的 x 的 起值范围是从零到五， 是吧？不同的 x 的 起始范围对的解析式不同，这是二十，那 x 就 大于五，小于它在这十，那 x 大 于等于十，小于等于二十四小时的时候，它的解析式是两百除以 x， 这第二位好，那第三问大家，若大棚的温度低于低于十二度，这不利于水果生长。问他有利于水果生长，注意，不利于跟有利于其实就是高中的补习， 对吧？小于十二度不利于水果生长，那大于这个有利于水果生长呢？那就是大于等于十二度。这个是对立面的概念，补集的概念啊，互补的概念，你不能把这个等号十二少掉了， 如果你不等式少了这个等号，他就会扣分的。所以我们就要分情况讨论了，因为这个二十肯定是符合嘛， 对吧？那你要看这一段呢，这一段他是十二度，这里面没有出现，所以我们要分类讨论。当 x 大 于等于零小于五的时候，那我们的二 x 加十，他要大点十二，我把 x 算出来大点一， 从一开始到十都是满足的，那这道也会下降啊。所以当 x 在 大于等于十，小于等于二十四小时范围内的时候，我们的两百除以 x， 它大于等于十二，这个减不等式小于等于，我们把四约掉，就三分之五十， 那这里面就是到三分之五十，大概是这样的样子，这里还有个一，对吧？是三分之五十，那么它有利于生长的时间是多少呢？对吧？有利于生长，有利于 水果生长的时间是三分之五十，减掉一个小时，通风三分之四十七个小时。好，这个就是二十一题。

好，同学们，今天我们看一题反比例函数的一些综合题。大家好，我是只会讲解思路的学长老师，我们看一下，他说有两个反比例函数，当告诉我们 k 是 大于零的， 在一和三之间的时候，函数图像呢，最大值为 a， 最小值为 a 减一，那么这种没有图，但是我们可以画草图，对不对？所以我们把草图画出来。 好，第一个 k 大 于零，所以 y 一 呢？是在这里的，然后我们知道他只要一和三之间，所以这边我们不画了，那么这个呢，就是 y 等于， 这是 y 一 的图像，同理，这是如果 k 大 于零，负 k 就 小于零，所以是二次相线，但是他只取了 一和三之间，所以这边我们也不画了，这是 y 二的图像。然后我们看一下，他说在一和三之间，比如说我们知道这是一三在这里， 那我们看图，知道哪里能取到最大值，这个图形在这个范围内。好，我们换种颜色， 他是取等，能取等数，在这个范围内，我们来看一下，他是哪里取的最大值呢？ 这个图像，这两个图像综合起来，我们知道是这里取的最大值，所以这里应该为 a， 对 吧？然后哪里取的最小值呢？是这这条线跟这条线哪里取的最小值？肯定是在 x 轴的下方，对不对？所以应该是在这里 a 减四，也就是当 x 等于一时， 在这个图像 y 一 里面， y 是 等于一分之 k， 它是等于 a 的， 当 x 等于一时， 它是 y 呢？是等于负 k 除以一，此时是等于 a 减四的。如果理解到这一个，那我们画一下减，这其实 k 就 等于 a， 这边呢，就是负 k 等于 a 减四，对不对？那么我们来看这里和这一个 其实就是两个未知数，两个方程嘛，所以我们直接把负 k 等于负 a 再带进来，所以就是负 a 等于 a 减四即可嘛， 所以我们负二， a 移项编号，负 a 减 a 等于负二， a 等于负四，所以 a 就 等于二，这就出来了，所以这个又是数形结合，可以简单的秒掉这一题，同学们跟上了吗？

那我们来看大体十七题。十七题在说科学，同学们用自制的密度计来测量液体的密度 啊，他说密度计悬浮在不同的液体中，这是物理知识，对吧？然后近在液体中的这个高度，关键是这个高度 h 以液体的密度为单位，它们呈反比例函数， 所以解啊，一提一，你就可以设 h 等于 k 除以零，对吧？ k 不 对，零好，然后他说一 h 等于二十，那就带进去嘛，对吧？就将 h 等于二十这个 l x 自变量哈， l 是 一二十带入 就得到了。二十等于 k 除以一，所以得到 k 等于二十，所以 h 等于二十除以六，这个就是它的，这个就不要写了，二十已经求出来了，对吧？这就是它的解析式啊。第二问， 当密度计悬浮在另一种液体时， h 等于二十五就落，那就带进去。这个题目比较简单一点哈，二十除以落，此时解出来，落等于五分之四。 你也可以用我们物理里面的常用的小数，注意它的单位要写好克每立方啊。这是第一题，比较容易嘛哈，但是也要注意，这个考试不要因为容易，所以把分丢掉，往往容易他里面有坑呢 啊，每次透啊，他就会丢掉分数哈，这是要注意的。第二题十八题在平面直角坐标系中啊，有个点 m， 注意 零撇二，那这个高度是二呀，这个坐标都是二呀， y 值都是二呀。平行直线与这条直线 y 等于六，除以 x 这个反比例函数曲线双曲线相交，以 p 点， 以这个相交于 q 点连接 o q o p。 第一个求 p 点坐标，那 p 点坐标那就带进去就好了。那有些东西我就不写了哈，比较简单， y 值等于二，带进去，对吧？求 x 值，那带进去就是三嘛，所以 p 点就三撇二， 这容易，我也不写那么啰啰嗦嗦的哈，同学们自己去写一下。第二个求，如果 p q、 o 的 面积等于八，就开始，那面积等于八，那就这个， 嗯，对吧？这个长度二分之一，底层高嘛？这个高度。知道了，那你就把 q 点的坐标，横坐标求出来了。那 q 点的，嗯， 横坐标，它的重坐标是多少呢？它重坐标是二，对吧？重坐标是二，其实你都可以把它，这个时候你看重坐标是二 k 值，对吧？所以 x， 其实你 x 都可以求出来， k 除以二，带进去，对吧？然后用这个值减这个值，所以它的面积 p、 o q 面积等于什么？二分之一的底层高，它已经告诉你这个小一点，大一点，那它的长度坐标转长度就是右边减左边，上面减下面 好，不知道谁上谁下，或者谁左谁右，那就用绝对值，所以说用这个三减掉它， 对吧？这乘以这个高度二，所以它的面积等于八，这是直接用方程的思想，你也可以用小斜的方式一步一步推， 对吧？二，把这个横坐标求出来，再带进去。这正坐标已经知道二，你去求也没有问题啊。那这边一调，移过去，移过去是负五，移过去二 k， 所以 k 等于负十。 嗯，好，他这题目比较容易一下子就做完了哈。

那同学们，昨天我们是认识了一个新朋友，反比例函数。那在正式开启本节课的反比例函数图像的研究之前，老师想先带大家一起回顾一下。 在之前学习一次函数和二次函数的时候，我们得到它的定义和解析式之后就开始研究它的图像性质，由图像可以非常直观的得到性质，再结合我们的解析式，可以进一步完善函数的性质， 像这种由图像结合解析式共同得到性质，这是我们初中阶段数形结合思想的重要体现。当然到了我们本章反比例函数同样的可以完全类比这个思路来 得定义，画图像，总结性质，最终解决实际问题。所以同学们对于初中阶段所有函数单元的学习都可以按照这个整体构架来进行。 那现在正式开启我们本节课对反比例函数的探索之旅。在画图之前，老师想先请同学来一起回顾一下，画函数图像的时候步骤是什么？精彩语， 列表瞄点眼线非常好三部曲，那列表的时候还有很多注意事项，在列表取点的时候咱们又该注意什么呢？周俊杰，在列表的时候， x 的 取值要取一些，要取 五到八个点，对，五到八个点非常好。还有 x 不 能取零， x 不 能取零，那这里为什么 x 不 能取零？ 因为函数的函数 x 作为分母，所以说 x 不 能为零，非常好。请坐，那还有什么要补充的来实通解， x 正负都要取，我们在取点的时候正负都要取， 所以那现在分组来 pk， 请右手边的同学画 y， k 为负的函数图像，左手边的同学画 k 为正的函数图像，那老师这里也讲了一副非常完美的作品，来自我们的陈家豪同学，他通过列表 描点平滑的曲线，并且还画出了还具体写出了对应的函数解析式，非常不错。那现在同学们可以看一下自己的作品，看看自己的作品和刚刚展示的同学之间有什么区别，该如何进行完善。 那老师这里也同样给大家展示了如何用数学画板来描述，用描点法画双曲线，请大家来观察。那么同样的，用 k 大 于零和 k 小 于零为例，当 k 大 于零时， 秒点的个数从一个慢慢增加增加，你会发现他慢慢的就形成了两条曲线。那同样的，当老师取 k 为负值的时候，将他的点数从一个慢慢的增加， 点动呈现，慢慢的又形成了两条曲线。那大家可以发现，不管是 k 大 于零还是 k 小 于零，通过描点法不断密集点的个数，我们都可以得到两条平滑的曲线。因此反比例函数的图像我们给它取名叫做 双曲线，名字知道了，现在请同学们分组继续观察自己所画的图像，或者是看到老师平板上面展示的这几幅图像，请观察 类比到我们之前一次函数和二次函数的时候，请分别从这几个维度，你能得到怎样的性质呢？观察一分钟时间，请同学来回答。先看 请 k 大 于零的同学找个代表你能得到怎样的性质。杨慧芝，当 k 大 于零的时候，图像在一三上线，图像通过一三上线， 且 y 随 x 的 增大而减小， y 随 x 的 增大而减小。好，请坐，非常直观，大家观察的都是这个规律吗？是的是的，有没有一大组的同学有没有发现有什么不一样的地方来减指余有补充， 他这个图像是有两段的，他是一个分段函数，所以应该在前面添加上，在每个象限内 y， x 和 z 二点非常仔细，请坐。那反比例函数图像和之前一次函数、二次函数大有不同，一次函数图像是一条直线直线，二次函数图像是一条直线，都是连续的直线或者曲线。但是 反比来说，图像是分布在一三象限的两只双曲线，因此他的增减性也应该分每个象限来单独讨论。那请这边画 k 小 于零的图像，再找个同学也来讲讲你的规律来。李思彤， 黑条鱼图像在二次象限在每个象限内行道非常好，请坐。这下说的就非常完整了，那图像的位置象限增减性，相信大家已经有图像非常直观的能够看到了那函数的对称性，老师这里帮助大家 把四个图像放在了一起，可以更加直观的去观察一下它的对称性。来听首歌，关于圆点成中心对称，也关于 y， 关于还有关于直线 y 等于 x 和直线负 x 成轴对称。那么这个对称性，大家课后可以自己像老师这样在纸上画几个非常规范的反比代人图像，沿着对称轴将它折叠，你会惊喜的发现它们可以重合。因此我们可以发现双曲线， 它不仅是中心对称图形，它也是轴对称图形，非常特殊。那最后一个最值什么意思呢？他们没有最大最小值，为什么你会觉得它没有最值？因为 x 不 能等于零，所以在这个图像内，他们不会与 x 轴有交点。 x 不 能等于零，应该是不能与 y 轴有交点，那 x 不 等于零， k 不 等于零，所以 y 也不能不等于零，说明它和 x 轴也 不会有交点，也就是说双曲线的图像，它与坐标轴都没有交点，总结的非常好， 那么卢一帆同学刚刚是从竖的角度，因为 x 不 等于零，所以他与 y 轴没有交点，也就是说函数图像往上往下都是无限延伸的。那老师这里其实也可以带大家看一下，大家仔细看平板，如果老师把这个图像往上面移， 这四根曲线，其实他们并没有重合，将它放大，大家可以看到这四根曲线其实都与 y 轴是 没有交点的，所以不管是从形的角度，还是从 x 不 等于零的竖的角度，都可以解释，我们双曲线往上往下往左往右，与坐标轴都是没有交点的。 那通过刚刚大家自己的作图，同学们的通力合作，那现在我们已经把反比例函数图像的性质总结在这个表格当中，那接下来就要来检验一下大家学习的成果怎么样了，请全班抢答这个题目，看大家会不会 恭喜刘子阳同学拔得头筹。那请刘子阳同学来说一下这个题目你觉得选什么？这个题目我觉得选择选择，那为什么你能够这么快的找到答案？因为 k 等于负五，它小于零，所以它在二四下面。 哦，那你可以帮同学们一起总结一下，以后已知解析式判断象限只用看什么 k 的 零，那 k 的 值，如果 k 大 于零的话，它就在一三下面， k 如果小于零，它就在二四下面，非常好，请坐，那 相信大家对这个题目应该没问题了，那接下来老师这里有很多迷路的反比例函数，想请一位同学来帮助他们回到自己的家里去。一个小游戏，大家进行的很好，来刘思怡，大家可以在平板上面跟着他一起思考 ready go， 非常不错，二十四秒钟获得了满分。那通过刚刚这两个小题的练习，大家可以发现 判断解析式属于哪一个象限，我们就是找准解析式当中的 k 就 可以了，判断如果 k 大 于零，则位于一、三象限，如果 k 小 于零，则位于二四象限，那 图像的位置象限很重要，增减性，那再来考考大家增减性掌握的怎么样？老师这里想找两位同学上来 pk 一下，看看两位同学对函数的增减性理解透不透彻。来，这么多同学在积极举手， 我们找两位女生来试一下，刘希文来黄子清，同学们也可以在平板上面跟着一起思考 ready go！ 好， 谢谢两位同学的参与。秋色旗鼓相当，两位同学分别答对一题，答错两题获得一百分，那我们现在来看一下这个答案， 那刚刚同学们在平板上面也跟着一起看了，对于增减性，我们还是要先判断他到底在哪个象限，对于题目给定了特殊的 自变量取值范围的时候，大家就根据题目给定的自变量范围去选择对应的象限以及对应的增减性。所以训练了前面这三个小题，其实大家可以发现， 我们脑海中不仅要记着函数表达式准确的找到 k， 还要根据 k， 脑中心中都要有这两个函数图像，做到心中有图，很多增减性的问题自然而然就解答了，那增减性和位置相对于大家都很容易了，现在老师把题目难度 提高，请认真思考例题。那么这个反比例函数好像跟我们的一般形式长得有点不一样， 那他的比例系数是多少呢？是上面的四减 k， 那 现在他说图像位于一三象限，则大于零，对，四减 k 啊大于零，从这里可以解得出来， k 小 于四，那 第二小问，若在每一个象限内 y 随 x 的 增大而增大，说明平行上应该落在二是小弦，那我们可以得到四点， k 小 于零， k 大 于大于等于四 来。对于这种含餐的问题还是一样的，准确的找到比例系数， k 是 关键。那现在来一个变式考考大家，请在平板上 全班作答，看下谁能够又快又准的提交全部答案。不过二十秒之内，已经有十几名同学完成了这个作业。好一分钟时间到老师想请完成的同学里面找一位同学来分享一下你的答案，来选一个中间的。廖心怡同学， 今天来向同学们解释一下你是怎么做答的。第一题，就是因为它不向位于第一项线，所以我们知道 k 大 于零，所以另一只位于第三项线，另一只位于第三项线，非常好。 第二题，因为 x 大 于零，所以 w 减根号二大于零，所以 w 大 于根号二。但是你这里 不小心漏写了一个 w， 非常好，解题思路完全正确。那铁蛋同学举个手看一下，大家都这么厉害来 放下，那通过这个题目，相信大家已经对含有参数的反比例函数 也掌握的非常好了，那现在同学们再继续来看一下，除了象限需要知道，那我们的增减性也同样有哪一点的练习哦。看到这个增减性的题目， 那我们看函数图像得先看函数解析式，这个函数解析式当中的 k 等于负一百，那 u k 等于负一百，我们可以清楚的知道函数图像应该是位于哪两个象限， 二四项线应该是位于第二项线和第四项线。那再来找找看，题目给的这几个点又位于哪里呢？一二三，横坐标为一二三，找到一二三，你可以发现 它所对应的图像是下面的四项欠缺点满足增减性规律是增大增大，所以一小于二小于三，它所对应的函数值 y 一 小于 y， 二小于 y 三，答案选 a。 那 这个增减性看来大家都掌握了，刚好在同一项线内，老师把它巧妙变一变， 当不在同一象限内时，他的增减性又该怎么去判断？来， 大家依旧全班作答，请你觉得正确的答案在平板上进行选择，要认真思考一下哦。不，追求速度，已经有将近全班的同学已经全部完成了作答，那同样的老师想在其中找一名同学，请你来看看你的答案是什么。 那请雷静轩同学来展示一下你是怎么作答的，可以上台展示。当一位小老师。我看这个题目，知道反比例函数的解析式是负一百， 所以它的图像位于第二项线，还有第四项线，它第一个坐标 x 等于负二，我们在图中画出来，把它对到 y 头上面，这个是 y 一， 第二个坐标，它横坐标是负一，这个是 y 二，第三个坐标横坐标为二，认真听，所以这个是 y 三，在 y 轴上面看， 这个是最大的，所以有什么可知， y 二大于 y 一 大于 y 三，所以这道题也是非常不错。那么这位同学在这里用的方法是，结合图像，再根据字变量的取值，找到对应的 函数在 y 轴上的位置，再根据 y 轴上面，我们肯定知道越往上面就越大，越往下面就越小，就可以非常直观的直接看到 y 二大于 y 一 大于 y 三，所以正确答案选 du。 那 么对于不管是哪一类函数，一次函数，二次函数，还是我们今天的反比函数，所有的增减性问题，图像问题，请大家一定要记得画图。

今天我们来看一道九年级下册关于这个反比例函数的一道练习题，那么这道题啊，它还是有一定难度的啊。好，咱们来看一下。 首先题目说如图，在这个平面直角坐标系中，直线 y 等于四 x 与这个 y 等于 x 分 之 k， 在 第一项线内交于 a b 两点。 好，首先这个有两颗线啊，一个是 o a， 一个是 o b， 咱们要怎么样呢？要能够分辨哪一个是 y 等于四 x， 哪哪一个是等于 y 等于 x， 那 么这就是一个一次函数的一个知识点，对不对？很简单， y 等于 x， 它怎么样呢？它平分这个一三象限，对不对？就说 o b 这里怎么样？它就是 y 等于 x， 而这个 o a， 它是 y 等于四 x。 好， 然后交于 a 点和 b 点，他说若三角形 aob 的 面积为三，三角形 aob 这个三角形面积是几啊？是三。问这个 k 的 值是多少？那么要求 k 的 值，我们在这个课本里面讲过，对不对？ 就是这个 k 叫做反比例系数，那么这个反比例系数它怎么样呢？它等于反比例函数图像上的一个点与两坐标轴的什么？两坐标轴 这个围成的这个矩形的什么等于它的面积，这个大家知道吧？就是说有一个点，比如说拿点 a 举例子，对不对？那么我这个点 a 分 别做这个 x 轴和 y 轴的垂线， 它就会与这个坐标轴围成一个什么呢？围成一个矩形，那么这个矩形的面积就是等于这个反比例系数啊。为什么？你看这个和这个地方，这个是宽，这是长，那么长乘宽刚好就是 a 点的什么横坐标乘以这个 纵坐标，对不对啊？你看十字相乘就是 x 乘以外就是横坐标乘纵坐标等于一 k 的 k， 对 不对啊？那么既然是这样子，我们这里没有，对不对？咱们就要做辅助线啊，咱们过点 a， 做这个 x 轴的一个 垂线，然后过点 b， 也要做这个 x 的 垂线，因为这个 ab 它是。呃，两个不同的点啊，两个不同的点 好，得到这个辅助线之后呢？它题目告诉的是三角形 a、 o、 b 的 一个面积，那么这个三角形 a、 o、 b 的 面积，它和哪个相等呢？它和这个梯形这个梯形面积相等的。我们标个字母啊，啊， c、 d 吧。啊， 和 a、 b、 c、 d 这个梯形它的面积相等的，为什么我们来看啊？注意听啊，这个地方，这个大的这个四边形，它的面积等于什么？ 等于上面这个 a、 o、 b 的 面积，对不对啊？我写一下吧，也就是说由这个 s 三角形 a、 o、 b 的 面积加上下面这个三角形 a、 o、 b、 d。 啊， s 三角形 s 四边形，这个 a、 o、 b、 d， 这个的面积，它是等于这个三角形 a、 o、 b 加上 b、 o、 d， 对 不对啊？ 加上这个 s 三角形 b、 o、 d， 这是等于什么呢？等于 s 这个四边和减写啊，四边形 a、 o、 b、 d， a、 o、 b、 d， 那 么这个四边形 a、 o、 b、 d 除了用这两个三角小三角形怎么样加起来以外，还可以怎么算的面积呢？是不是可以变成这个梯形的面积加上这个三角形 a、 o、 c 的 面积，对不对？好，我写在这个。嗯，下边吧，等于什么呢？等于这个 s 三角形 a、 o、 c 加上这个 s 这个梯形啊，梯形，哪一个梯形？这个 a、 b、 c、 d， 对 不对？好，我们看啊， 这个三角形 b、 o、 d， 找一下，这个三角形 b、 o、 d 刚刚讲了，如果说这个点与坐标轴围成是个矩形，那么它的这个面积就等于什么？等于反比例系数这个 k， 但现在是什么三角形，我们也讲过，它就等于多少等于二分之 k， 对 不对？就说这个 s， 三角形 a、 o、 c 和 b、 o、 d 的 面积怎么样？这个部分和这个部分它都是多少？都是二分之 k， 能理解不啊？这个部分和这个部分都是等于二分之 k， 所以 说是相 等的，那么它们这样一个，呃，面积加二分之 k， 等于四边的面积， 这样一个四面，呃，这个，这三角形啊，三角形的面积加这个二分之 k， 等于这个四边形的面积，一个梯形的面积加这个二分之 k 也等于什么？这个四边形面积。所以说得到这个三角形 ab 和梯形 a、 b、 c、 d 怎么样？它面积就是相等的啊，这个人懂吗？啊，好，那么既然得了这样一个信息之后啊， 咱们就得到什么呢？得到这个梯形的面积，我就不写写字了吧， b 不好写 s 什么呢？ a、 b、 t 型， a、 b、 c、 d 啊，它的面积怎么样？也等于几啊？也是等于。哎，这个 b 等一下等于几啊？等于三，对不对？等于这个 a、 o、 b 的 面积等于三。好，那么得到这个信息之后再怎么做呢？我们看一下啊， 这个 a 点怎么样？在这个反比例函数图像上，这个 b 点也在这个反比例函数图像上，这个两个直线，直线的这个解析式咱们是知道的，我们这样子把这个 a 点的坐标把它设出来 啊，我们设这个 a 点的横坐标是 t 啊，我设这个 a 点的横坐标是 t， 那 么根据什么？根据这个直线的解析式，相当于这个，此时这个 x 等于 t 的 话， y 就 等于多少？等于四 t， 对 不对啊？这个 y 就是 等于这个四 t 的 好，知道这个 a 点的这个横纵坐标之后，那么 x 乘以 y 啊，那得到什么？得到反比例系数是 k， 就 说咱们会得到这个 k 怎么样？ k 是 等于 t 乘以四 t 等于四 t 的 平方，对不对？等于四 t 的 平方好，那么这个点 b 它怎么样？在这个 y 等于 x 这个直线上，就说相当于它的横坐标和纵坐标乘起来怎么样？ 等于四 t 平方，又相等又在第一象限，所以这个点 b 的 坐标点多少？它是等于二 t 和二 t 啊，就是这个二 t 怎么样？乘以二 t 等于四 t 的 平方，如果说这个地方你想不出来，你可怎么样怎么样呢？可以直接把这个和什么 这个 y 等于 x， 分 之 k， 把这个 k 换成四的平方，那另一个什么？另一个方程解出这个 x 和 y 就 行了，对不对啊？好，那么得到这个信息之后，那么那么咱们这个梯形怎么样？它的面积就可以表示啊，对不对啊？怎么表示？梯形面积等于 上底加下底，乘高除二。好，上底就是 b 的 什么坐标？就是个 b 的 纵坐标是二 t 啊，咱们写下， 也就是这个二 t， 好， 加上下底是这个 a 的 重坐标是多少？是四 t， 上底加下底乘以什么？乘以高？高是多少？高就是这个 c t 的 长度， c t 的 长度就就是什么呢？就是这个 b 的 横坐标减去 a 的 横坐标，也就是二， t 减去 t 等于几啊？等于 t 啊，乘以多少？ 乘以这个乘以 t， 再除以二，乘以多少？乘以二分之一，等于它的面积是几？等于面积是三，对不对？等于面积是三。好，那么这个很简单，对不对啊？咱们把它这个 啊跨打开啊，这个地方啊，二分之一乘二，就怎么样抵消掉，然后是 t 乘 t， 就是 t 的 平方啊， t， t 这个 b 啊， t 平方。好，然后这个地方是约分得多少得二，然后再 t 乘 t 等于 t 平方，也就是 加上什么呢？加上一个二， t 的 平方等于多少？等于这边是 这个比啊，等于等于啊三，然后 t 平方加二， t 平方等于三 t 的 平方，哎呀，这个比 t 的 平方等于几啊？等于三。好解得， t 平方等于多少？ t 平方等于一， 那么 t 平方等于一的话，咱们这个 k 等于多少？等于四 t 平方，所以 k 就 等于四，乘一等于几啊，等于四，就说 k 的 值就是几啊，就是四啊。好，那么今天这道题啊，咱们就讲完了，大家听懂了吗？

今天我们来看一道九年级下册关于这个反比例函数与这个不等式的一道题。好，咱们来看一下这个题目。 如图，依次函数 y 等于 a， x 加 b 的 图像与反比例函数 y 等于 x， 分 之 k 的 图像相交于 ab 两点，其中 a 点的坐标为负二和三啊，这个 a 点的坐标，咱们来标记一下吧。啊， a 的 坐标是这个负二和三，好，然后点 b 的 坐标为三和 n 啊，它是三和 n， 就是 相当于只知道横坐标，纵坐标是不知道的。第一问，求这两个函数的解析式。 首先，因为这个反比例函数和一次函数怎么样交于 a 点和 b 点，所以这个 a 点怎么样？它既在这个一次函数的图像上，又在反比例函数的图像上 啊，这个同理，这个点 b 也是一样的，它既在反比例函数图像上，也在依次函数图像上。那么所以说这个 a 点和 b 点怎么样，它就同时满足两个函数的解析式，懂不懂啊？首先，这个， 呃，反比例函数怎么样？它除了这个 x 和 y 以外怎么样？它只有一个 k， 一个未知数，所以说咱们只需要一个方程，也就是只需要一个点的坐标， 那么这个 a 点 a 坐标怎么样？在这个反比例函数函数图像上，我们把它带到这个解析式，对不对啊？很简单啊， 带进去啊，也就是说，也就是怎么样？也就是 y 等于多少？ y 等于三，三等于 x 等于负二啊，等于负二分之 k 啊，分分分之 k， 然后解得 k 等于多少？等于负六啊，对不对啊？很简单，就说第一个反比例函数的解，其实就是 y 等于多少？嗯，把这个这个括号的前面啊，就是负的 x 分 之 六啊，就是这个反比函数，那么这个一次函数除了这个 x 和 y 以外，还有几个未知数？是不是还有 a 和 b 两个未知数？那么两个未知数咱们就需要列两个方程，那么一一个方程需要一个坐标，两个方程就需要两个坐标，那么点 a 的 坐标是知道的， 还差一个坐标是哪个？是 b 点的坐标，对不对？那么 b 点的坐标只知道横坐标，重坐标，不知道怎么办？我们把这个点 b 的 坐标怎么样带到这个反比例函数的解析式里面去，因为这个点 b 怎么样讲呢？它在这个反比例函数的图像上好 带进来啊，带进来也就是 y 是 n 啊，就是 n 等于负的三分之六，对不对？ 解得 n 等于几啊？解得 n 等于负二，对不对？所以点 b 的 坐标咱们写一下就是多少？就是这个三和负二啊，三和负二。好，知道这个点 b 的 坐标之后，咱们怎么办呢？把点 b 的 坐标带到这个依次函数的解析式里面去，就会得到一个 二元一次方程组啊，这个我就这个不详细讲了，因为这个很简单，非常简单啊，就带这个坐标进去算啊，很简单。如果对这一步啊，都还不是很明白的同学啊，可以这个 私信我啊，在评论区私信我，我给大家这个详细讲解一下啊。好，这个是三 a 加上 b 等于负二，这个解这个二元次方程组啊，也很简单啊，我就不解了，如果也是一样的啊，还是有同学不懂的话，不知道怎么解这个二元次方程组啊？也是一样的啊，你评论区留言，我给大家详细讲解一下啊。 解得 a 等于负一， b 等于一，就说一次函数的解析式怎么样？它就是 y 等于负 x 怎么样加上一啊？加上一。好，这个是这个第一问。好，咱们看一下这个第二个问， 他说根据图像直接怎么样写出关于 x 的 不等式， a x 加 b 小 于 x 分 之 k 的 什么剪辑，观察一下。这个 a x 加 b 怎么样呢？它就是怎么样，和这个地方是一样的，就说前面一个部分，它就是我们这个 依次函数值，对不对？依次函数的值，然后后面一个 x 分 之 k 和这个地方这个 x 分 之 k 也是怎么样？一样的？就说后面一部分，这个部分它就是反比例函数的这个函数值，对不对？现在根据这个， 嗯，不能是，我们可以知道他要什么样，要要求这个一次函数的这个函数值小于什么这个反比例函数的函数值。最后咱们前面讲过的这个二次函数， 你与这个不等式是一样的啊，我在前面已经讲过了啊，就说如，就是在这个不等式里面啊，就是你大的图像怎么样要在上方，小的图像要在下方。好，现在咱们看啊， 要满足一次函数小于反比函数，说明怎么样？一次函数要在哪里呢？小的要在下面，到这里写错了啊，小的要在这个下方，要在这个下方。好，我们看啊， 他有两个焦点，第一个是 a 点，第二个是 b 点。先看 a 点这边啊， a 点这边 这边，在这个这条黄色这个线的左边部分，那么这一部分是什么？是反比例函数，上面是这个一次函数，说明一次函数在上 上就怎么样呢？他就要大了，就不满足，对不对？好，再看这个右边部分，这个是反比例函数，这一段是这个 啊，一次函数对不对？所以这一段怎么样？他就满足一次函数小于反比例函数。那么从这个地方到这个地方，他这个 x 怎么样？他是从这个负二到哪里啊？到零对不对？中间没有取多少， 中间没有取等于对不对啊？所以这一部分这个 x 的 范围怎么样？他就是这个 x 怎么样呢？就是这个 x 它要大于哪个？大于负二，然后怎么样？然后小于零，对不对啊？小于零。好，然后再来看后面啊，一样的啊，这个焦点是 b。 在 这里我们这里画一条线，分为左边和右边，先看左边部分， 左边部分这个反比例函数怎么样？在下面说明反比例函数要小于什么？这个一次函数 满足吗？不满足，对不对？好，再看这个黄色这个线的右边，那么这上面是这个反比例函数，下面是一次函数，满足这个一次函数怎么样？在下要小于反比例函数。那么这一个部分这个 x 的 走向是怎么样？从这个地方啊，这个地方 往正半轴啊，这边走，这个比喻的不好写啊，这个地方往正半轴走的话就怎么样呢？要比哪个大？要比三，要大，对不对？所以说就是哪个呢？就是这个 x 要大于多少？要大于三就大于三啊，中间用什么？用这个或啊？用或来连接啊，来连接，就说这个就是这个。 呃，一次函数小于这个反比例函数的这个解集啊，解集。好，那么今天这个内容啊，咱们就讲完了，大家听懂了吗？