八年级下册下册几何模型笔记江总。

一口气修完初中所有几何模型，每天三分钟学五个几何模型，每个模型对应一道典型立体力替代答案已经发至评论区，记得课架练习哦！咱们来看模型一，线段拴中点，说已知点 c 在 线段 a、 b 上 m、 n 分 别是 a、 c 和 b c 中点， 那么 m n 就 等于 ab 的 一半，这个怎么说呢？说，因为 m、 n 分 别是它的中点，所以你会发现 m c 是 不等于二分之一的 a c， 然后 c n 是 不等于二分之一的 bc， 所以 这两个加起来，那就等于二分之一的 ab 了，这个是详细的证明过程。好。第二个双角平分线，你会发现， 如果角 o o p 是 角 a o b 的 角平行 o m 平分角 b o p o n 平分角 a o p， 那 么角 m o n 就 等于二分之一的角 a o p， 这跟上面那个线段双点是一样的。你犯这个角 n n， 这个 n o p 是 不等于二分之一的 a o p， 这个角 p o m 是 不等于二分之一的 b o p， 所以 这两个合加起来，当然等于二分之一的 a o p 了，这个是详细的证明过程。好的。我们来看 柱体模型，输入 a b 平行 c d， 则角 b o c 等于角 b 加角 c。 好。 你又发现你只需要做这么个平行线，那么角 b 是 不就等于这个角一，那么角 c 是 不等于这个角二，那所以角一加角二就等于角 b 加角 b 加角 c 了。这个是详细的证明过程。大家们看模型似铅笔通模型说 如果 a b 平行 c， 那 么角 b 加角 b o c 加角 c 就 等于三百六。你又发现做平行线与拐点做个平行线， 角 b 加角一是不一百八，角 c 加角二是一百八，那他们三个角相加两个一百八，当然是三百六了，所以这是证明过程。好，咱们看模型五，锯齿模型 说如果 ab 平行 e、 f， 则角 b 加角 d 就 等于角 c 加角 e。 其实最简单就是牛发现锯齿模型当中向左的角的和就等于向右的角好。怎么做呢？咱们还是做平行线，牛发现这个角 b 是 不等于角 bc n 好， 接下来牛发现这个角 n、 c、 d 啊，是不是等于这个角好？再来，你翻这个角是不等于这个角好，所以你翻向左的角的和相加是不刚好就等于向右的，向右的角，也就是这两个角的和，它是不刚好就等于这两个角的和。所以我就正白了，这是详细的证明过程。

好，这个视频来讲一道八下数学期中考的填空选择题的一个高频压轴考题，是平行四边形加线段和的最值问题， 也是动点问题，百分之九十的初二同学都还不会做。那这个视频花三分钟来讲清楚这种题型要运用到的几何模型，它的一个模型特征跟结论是怎么样的，以及怎么样去结合到平行四边形去解题。那大家可以点赞保存转发给孩子一起学习。 来看一下这道题题目的话呢就是，呃，是一个平行四边形，并且给出了 a b 的 长，这边 a b 的 话是垂直于 a c， 并且角 d 是 六十度。好，接下去点 p 跟 q 的 话，分别是这个 a c 跟 b， c 上动点，也就是有两个动点啊， p 跟 q 都是动点。 接下去在点 p 和点 q 运动过程中， p b 加 p， q 的 最小值为多少？看到这个两个线段和最小值是多少的话，很多同学都会想到用将军驿马模型，那这个思路是没有问题的，但是它并不是一个很基础的将军驿马模型，因为它有两个动点， 常规的将军驿马模型的话，是两个定点加一个动点，但这道题的话是两个动点加一个定点，那很多同学就不会了。但其实两动一定的几何模型，它是基于基础的将军驿马模型上多了一步而已。 好，那在讲这道题之前，我们先来梳理回顾一下这个两动一定模型，它的模型特征跟结论是怎么样的。来，我们看到这个这边的这个梳理哈，如图，在这个直线， a b 跟 a c 相交于这个点， a 点 m 的 话是平面内的一点，也就是 m 点的话，它是定点 好，然后 p 点跟 n 点的话呢，是 a c 跟 a b 上的一个动点，也就是两个动点嘛，求这个 m p 加上 p n 的 最小值哈，也就是两动一定问题。 我们先来讲解一下这个两动一定问题，它的辅助线怎么做？然后它最小值哈，两个线段和最小值是怎么去求的？那首先的话，我们看到这两个线段相加，这两线段相加，他们公共的一个点的话是 p 点， 公共点是 p 点。所以第一步的话，我们先要先确定这个 m 点这个定点它是要去做哪一个对称轴，去做这个对称点，做哪个对称轴呢？做它们两个线段都有的这个点所在的这个直线作为对称轴， 也就是 p 点所在这条直线 a c， 然后作为对称轴。好，那所以第二步的话就是去做这个定点，去做这个对称轴的对称对称点了，也就是做这个 m 撇，我们来看到哈，也就是这边这边就是 对称点，是 m 撇。好，接下去的话就是连接这个 p m 撇跟这个 呃， n m 撇吗？ ok， 往下的话就是将军印码的一个内容了，也就是我们看到哈 mp 加上 p n 是 等于什么？ 这边的话， mp 这样子做完之后的话，它其实就等于这个 m 撇 p 嘛，对吧？然后加上这个 p n， 我 们看到 m 撇， p 加上这个 p n 其实是在这个三角形里面的， 在这个三角形里面很明显两边之和是大于第三边的，对吧？所以什么时候是有这个最小值两个和最小值最极限的情况，也就是三点共线的时候是最小值吗？也就是大于等于这个 m 撇 n， ok， 那 所以的话，其实要求这个两个线段和的最小值，其实就是求这个 m 撇 n 的 最小值。那 m 撇 n 什么时候是有最小值呢？ m 点是定点，那 m 撇 n 的 话也是定点， n 点是动点，也就是要去求 m 撇到 ab 的 最小值， 那其实就是要求 m 撇到直线的最小值吗？点到直线什么时候是有最小值？垂线段最小，对吧？所以的话其实就是过这个就是 m 撇去做垂， 这个时候就可以得出最小值了，也就是要求它的最小值的话，最小值也就是 m 撇，然后去做 a b 垂线段，所以的话最小值也就是 m 撇 n 撇，那就可以了。所以第三步的话，其实就是过这个对称点去做这个，呃，直线的一个垂线段就可以得出最小值了，就是这三步的一个核心思路。 好，那现在的话，我们结合到这道立体来讲哈，这道立体来讲，同样的也是这三步来做，那第一步的话，我们看到先去找这个要去做对称点的这个对称轴 怎么去找呢？找他们之间的公共点嘛，我们看到 p b 跟 p q 公共点很明显就是 p 点嘛，所以第一步的话就是找出 p 点所在直线， p 点在直线就 ac 嘛。 ok， 那 所以的话刚好就是这边，也是刚好也是 ac 哈，所以就确定了这个要去做这个对肾轴的，那个要去做对肾点的，对肾轴是 ac， 确定了，第二步的话，就是去做定点的一个对胜点，定点是很明显题目给了吗？是 b 点吗？对吧？ b 点是定点， b 点是定点，也就是过这个 b 点去做 a c 的 对胜点，也就是这边 b 撇。好，那第二步的话，这边 b 撇就做完了。第三步的话呢，就是如果不熟练的情况下，就要这样子推倒一遍哈，如果是熟练的情况下，直接去做就可以了，也就是直接 b 点啊， b 撇去做这个 啊，这个 q 点所在直线的一个垂线段就可以了，也就是直接做垂过来 这边就可以得到这个 q 撇了，也就是这个 b 撇 q 撇它就是最小值。那接下去其实就是求这个 b 撇 q 撇的一个值就可以了嘛。那题目中的话，给出了 a d 是 一， 这边是一，那这个就做对称过来，这边也是一喽。然后的话，题目给了这个角 d 是 六十度，那这边这个角也是六十度了，很明显这个直角三角形里面就是啊，斜边是二的话，那这个 b 撇 q 撇的话，就是根号三嘛， 那就可以得出来了。所以像这种两动一定的问题的话呢，就是要掌握这个几何模型以及他的一个模型特征，还有他的结论是怎么样的。那像这种填空选择题的话，直接去做辅助线，然后套结论去用就可以了。 好，同学们做好笔记，那听完这道题之后，可以拿我整理的这份四边形的练习去做这个配合练习巩固。关注我一位教知识，更教规划方法的理科老师。

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部吃透，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最直技巧！技巧一，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧四，做垂直构造直角三角形做对称点 技巧五，旋转构造全等技巧六，一箭穿心技巧七，构造手拉手全等可分享！

看到线段这一题，好多同学会卡半个小时，怎么快速的解体呢？我们一起来挑战。在四边形 a， b， c， d 中角， a 等于九十度几何第一步就是标 a， b 等于三， ad 等于根号。五、 m 和 m 的 话，分别是线段 b、 c 和 a、 b 上的一个等点， e、 f 分 别是 d、 m、 m、 n， 它的中点。求线段 e、 f 的 长，它的最大值。 e， d 等于 em， fm 等于 fm。 题目里面已知 a、 d 与 ab 的 两个量，那它怎么和 ef 相关联呢？题目里面出现了中点，我们就想到三角形的中位线定力 连接 dm， ef 就是 三角形的中位线。如果要求 ef 的 最大值，那也就是说求 dm 的 最大值。接着考虑 dm 在 什么时候会成为最大值呢？ 当 n 点运动到 b 点的时候，与 b 点进行重合，这个时候 d， n 就是 最大角， a 是 九十度，那通过勾股定律，我们求出 d， n， d， n 就是 根号是四， e， f 的 话就是 d， n 的 一半，那 e、 f 最大值也就是二分之，根号是四。我们总结一下题目里面如果出现中点求线段这值的问题，转化为第三边的这值。

我们来看一下矩形的性质，矩形呢，首先它是一种特殊的平行四边形，那它的第一个啊，就是通过边的角度来分析的话，它的性质是平行四边形。关于边的性质，存在的它都存在，也就是 a、 d 平行且等于 bc， 那 a、 b 呢？平行且等于 dc， 这是关于边的，它的一些性质，对边平行相等。第二个关于角的角的就更直接一点，对角相等，菱角互补，这是平行四边形的。那矩形呢，它是定义上讲的，是有一个角为九十度的四边平行四边形，所以呢，它的四角 都是九十度啊，四个角都是九十度。那对角线呢？比较特殊，对角线除了对角线互相平分， o， a 等 o c， o b 等 o d 以外， 对角线还是相等的， a， c 还等于 b， d， 那 其实这里我们可以建立等号，也就是 o， a 等于 b， 等于 c 等于 d， 这是矩形的边角对角线它的特殊性质。

亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是八年级下册专题，专题九含特殊角的直角三角形。那我们首先来进行一下今天这课程的理论基础。 题目中所提到的是，比如说第一道题，含三十度的直角三角形，我们知道在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度，角 a 等于三十度， 那在这里面我们就能用到一个知识点，我们知道在三直角三角形中，三十度锁定的直角边是斜边的一半，所以 bc 如果等于一，斜边 ab 就 等于二，那在根据勾股定律，我们 ac 就 等于根号下二的平方减去一的平方，也就是根号 三。所以在这里 bc 的 长是一， ac 的 长就是根号三，那 bc 的 长如果是 m， 那 我们 ac 的 长就是根号三 m。 所以 我们能得到这样的结论，含三十度的直角三角形，长直角边是短直角边的根号三倍。当然大家也可以去了解一下，或者说记住像这样的直角三张边之比是一比，根号三 比二，这是较短的直角边，这是较长的直角边，这个指的是斜边。第二个，这里含的是等腰直角三角形，大家知道等腰直角三角形每个锐角啊角 a 等于角， b 等于四十五度。 所以这里面我们可以提到，如果 a、 c 等于 b， c 也是一，那 ab 的 长，那就等于根号下一的平方，加上一的平方就是根号二。 所以假设如果 a、 c 等于 m， bc 也等于 m， 所以 我们就能求出借助的也是勾勾定力，得到的是根号二 m。 所以 在这里大家就知道等腰直角三角形中，斜边是直角边的根号二倍， 在这种特殊的三角形中，大家也可以记我们等腰直角三角形的三边之比是一比一，比根号二。 接着第三个，这里讲到顶角是一百二十度的等腰三角形，大家知道根据等腰三角形的三线合一，过其顶角做角平分线，得到 a、 d， 那 在这里面 a、 d 它不仅是角平分线，它也是高，它也是中线。 所以题当中讲到 b、 i、 c 等于一百二十度，那我们的 b、 i、 d 和 c、 i、 d 是 不都等于六十度？那在直角三角形 a、 b、 d 中， a、 b、 d 等于六十度，所以角 b 是 不是就是三十度？所以题目中讲到 a、 b 等于 a、 c 等于一， 那我们的 b、 d 是 不是就讲到我们写一个在二 t 三角形 a、 b、 d 中，角 b 等于三十度， 所以 a、 d 直角三角形中，三十度锁定的直角边等于斜边的一半，对吧？那我们就能得到 b、 d。 由勾股定律可知，它是不就等于我们 a、 b 的 平方减去 a、 d 的 平方，那么得到的就是二分之根号三，那 a、 b、 d 得到的是二分之根号三，那我们的 bc 长是不就等于二倍的 b、 d， 也就是根号三。因此 第一个空根号三，第二个空根号三 m。 那 我们讲到顶角为一百二十度的等腰三角形中，底边是腰长的根号 三倍，请大家一定不要忘记哈这里的两个条件，顶角是一百二十度，还得是等腰三角形。好，接着下一道题，这里讲到是直角边是一比二的直角三角形的三边关系。剩下几个类型相对来说就出现的比较少，较为常见的就是刚刚的上面三个这种类型。 题目中讲到如果 b c 等于一， a c 等于二，那大家不难发现此时 a b 的 长有固固定理，可知它是不是一的平方加上二的平方，也就是根号五 好， a b 的 长就是根号五，那如果 b c 为 m， a c 是 二 m， 所以 我们 ab， 它得到的是不是应该等于根号下 m 的 平方加上二 m 的 平方？所以化简之后我们得到的是根号五 m， 那 第二个孔就是根号五 m。 所以 总结中讲到长直角边是短直角边的二倍的时候，那斜边就是短直角边的根号 五倍。好，接着这个题型三六九三角形三边关系以等边三角形的面积啊，这个大家就啊也不用去借这个题型，题型的名字也不太好理解，所以大家直接来看题目，在正三角形 abc 中，那就说明三角形 abc 是 等腰。抱歉，等边三角形 a h 垂直于 bc 于点 h， 那 我们讲到 h， 它既是 bc 的 中点，也是 bc 边上的 垂线的，而且它还是不是角平分线。所以提到若等边三角形的边长是一， ab 是 一，那根据六十度的一半是不三十三十度所对应的直角边是斜边的一半，那这个是不是二分之一 根据长边角角的的等啊？直角三角形的一比一，比根号二，一比一，不是一比一哈，是一比根号三比二，所以我们是不是得到这个就是二分之根号三，也就是 a h 的 长。 所以我们在第一问中，我们讲到它的高 a h， 那 是不是就等于二分之根号三，而它的面积，那是我们是不是可以看作是 bc 乘 a、 h 乘二分之一，那就等于一乘二分之根号三乘上二分之一，所以我们的结果就是四分之根号三， 对吧？那如果边长记为 a 的 时候，那他的高是不是就是二分之根号三 a， 那 面积就是四分之根号三 a 方能理解啊。大家也可以直接记住这个结论，在我们的选择填空中都是可以直接应用的。第六个，如图，在三角形 a、 b、 c 中，已知角 a 是 四十五度，那我们可以得到三角形 a、 d、 c 是 等腰直角，三角形 角 b 是 三十度，你看又有四十五，又有三十，对吧？ a、 d 垂直于它，如果 a、 d 等于一，那根据等腰直角三角形 c、 d 的 长是不是也是一？而 a、 c 的 长此时是不是就是根号二？ 那根据 c、 d 是 一角， b 是 三十度，三十度所对应的直角边是斜边的一半，我们是不是可以求出它 bc 的 长是二，那 b、 d 的 长就是根号三，所以那你明白吧？

同学们好，上一期视频夏老师给大家留了一道天一试卷填空压轴题，不少同学都做出来了，还提到了刮豆模型。刮豆模型确实是动点问题里的必考题型，今天夏老师就用一分钟时间给大家讲透刮豆模型到底是什么，还不清楚的同学一定要听好了。 刮豆模型简单概括来说就是两点一加角，两点指的是东点，一加角指的是固定角。比如说 a、 p、 q， 这里的 p 和 q 都是动点，这 q 会随着 p 点的运动而运动，那我们就把 p 叫做主动点 q 叫做被动点，这里的角 a 是 一个固定角，不变，那当点 p 运动到这个位置的时候，点 q 大 概运动到这个位置。 那如何确定点 p 和点 q 的 运动轨迹？我们说如果点 p 的 运动轨迹是一条直线，那么点 q 的 运动轨迹也是一条直线。 因为刮豆模型的由来就是种瓜得瓜，种豆得豆，所以 p 点是怎么运动的，那 q 点也是相对应的，怎么运动？那接下来我们就通过一道例题来实践一下。 已知在这个矩形当中， a b 等于五， bc 等于五倍的根号。三点 p 是 b c 上的一个动点三角形， p， a q 是 等边三角形，求 d q 的 最小值。点的运动轨迹是一条直线， 那么 q 是 随着点 p 的 运动而运动的，因此我们把 p 叫做主动点， q 叫做被动点，那肯定是先要把 q 的 运动轨迹求出来的。 那怎么去求 q 的 运动轨迹？我们可以使 p 点的位置特殊化，可以让它和点 b、 点 c 重合，那么找到两个位置对应的，我们就可以得到两个 q 点的位置， 通过两点确定一条直线，我们就可以得到 q 的 运动轨迹，那我们想要让这个等边三角形画的更准确一些，要求同学们对数字有一定的敏感程度。这边提到了两条边五和五倍根号三， 那也就是一比根号三的关系。我们在一个特殊三角形，也就是三六九直角三角形中，我们会有三边比，是一比根号三比二。因此当我们去连接这个矩形的对角线的时候，那这里就出现了三六九直角三角形 abc 以及 adc。 那么这个角 b， a、 c 是 不是就是六十度啊？因此我们画的点 q， 它确切的位置应该是在 b、 d 和 a、 c 的 交点处， 这个位置就是点 q， 那 我们找到了第一个位置，那第二个位置呢？就是当 p 点和点 c 重合的时候，因为这个角 a、 c、 d 也是六十度，因此这个三角形我们画出来它应该正好是在 c、 d 的 延长线上， 并且我们知道 a、 d， c 是 九十度，那通过三线合一，我们可以知道 d 是 c d 的 中点啊，连接 a、 q 二，那得到了一个大的等边三角形 a、 q 二 c， 那 么我们把 q 一 和 q 二的轨迹连接起来， 就是这样的一条直线，要求 d q 的 最小值，那点到一条线上的最小值，很明显就是过点 b 做 q 一 q 二的垂线，垂线段最短，那我们就找到了这个 q 点的位置 d q 我 们怎么去求它的长度呢？我们 d 是 q 二 c 的 中点，由于这边我们做的是垂线，通过三线合一，我们知道这里也是垂直的，因此 d q 是 三角形 q 二 q e c 的 中位线，因此 d q 就 等于二分之一， c q 一 等于二点五。这个就是一道刮动模型的典型应用，同学们听懂了吗？

hello， hello， 各位同学，今天我们来学习八下必考矩形动点锥子问题。很多同学拿到这种坐标轴动点锥子问题，直接蒙圈矩形，它一直在动，点到处在跑。在这个题里面是 a 和 d 在 运动，到底怎么样求出我们 o、 c 的 锥子问题呢？好，首先我们来看这个题目，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a， b 等于一， b， c 等于二点 a 在 x 轴的正半轴上，说明 a 和 t 都不会运动到点定点 o 上 当点 a 在 x 轴上运动，点 d 随之在 y 轴上运动。在这个运动过程中，求点 c 到圆点的最大距离，也就是求 a、 c 的 最大值。好，我们来看一下这个题应该怎么来求它的最大值呢？好，先问大家一个核心问题，在这道题中， 除了我们的点 a、 点 d 在 坐标轴上乱动以外，什么是不发生变化的？首先大家肯定都知道，我们的 ab 是 不是等于 cd 等于一， ab 等于 bc 等于二，也就是我们矩形的边长是不发生变化的。还有一个就是我们的定点 圆点 o， 它也是不会乱动的。所以在这里我们看到点 o， 我 们就能够想到什么对应的三角形 o， a、 d 是 直角，三角是直角。三角形好，对应的，我们还可以得到哪一些呢？还可以得到矩形里面有是不是我们的四个直角呢？好，这是我们 不会发生变化，不会发生变化的。但是呢，这些好像又和 a、 c 没有关系，因为直接是求不出 a、 c 的 这样型三边的关系用不上，勾股定律也用不上。所以呢，这只问题我在这里直接告诉大家。第一步，找中点好找 o、 d 的 中点 h 连接 o h， c h 这两条辅助线，很多同学会问，为什么取 a、 d 的 中点，怎么想到这条辅助线的？这里老师给大家讲清楚。第一个，直角三角形 斜边中线顶点好连接中点之后，我们可以直接求出，我们的 a h 等于二分之一， a、 d 等于一。紧接着我们还可以知道什么，那矩形四个角都是直角，我们的角 d 是 直角，所以我们的三角形 c、 d、 h 也是直角三角形。我们也可以 知道， c、 d 等于一， d h 等于二分之一， a、 d 也等于一。我们的 c、 h 可以 直接用勾股定里求出来，它等于根号二。到这里发现很多同学他已经嗯，明白了，瞬间都明白这个题怎么做，原来散乱的动点问题直接被我们拆进嗯，三角形 o、 c、 d、 h 里面，因为这里面 c h 和 o h 是 定值，所以我们 再根据三角形三边之间的关系， o c 它是小于 c h 加 o h。 又因为在这个题，在这个实际问题里面，我们 o c 是 可以等于小于等于 c h 加 o h 的。 紧接着 求 ac 的 最大值，当 ac 最大值是 a， 不好意思，当 o c 最大值， o c 等于 c h 加 o h 等于一加根号二。 好，这个题呢，我们就已经做出来了，在这里呢给大家总结一个万能公式，考试呢可以直接套用。再遇到直角斜边动点作 坐标系直角架，它是可以构成三角形的矩形平行四边形动点问动点坠直问题，一律找我们斜边上的中线。很多同学说，老师找哪条斜边上的中线可以构成直角三角形斜边上的中线， 一个直角斜边中线锁定定长，我们在这个里面呢，一个直角 c 角形 a， o， d， 锁定定长 o h， 一个图形边长呢？图形边长是不是 c d 和 d h？ 我 们同样也可以锁定一个定长 c， h， c， h 直接套入 c 角形两边之和最大呢？两边之和最大呢？直接求出我们的 o c。 当然，如果让你求最小最小 最小距离，我们可以用两边之差求最小百分之九十的平行四边形。矩形动点，锥子问题都是这样分析，听懂思路的同学点赞收藏，下期带你刷同类变形题，彻底识透这个中考高频模型！

我们看这样一道题目，他说矩形 a b c d 都最直的题目，我还不读了，还是直接来看问题，看问题有的时候因为他问题里面这个直接反映出来嘛， 他说问你 g h 加 c h 的 最小值 a b c d a b 等于二十，也就是 a b c 的 这个矩形，它是一个固定的，也就这里面 c 点是固定的， 然后 c 点是固定的，就要看这个 g 点和 h 点的轨迹就行。 h 点在 a d 上，这个很明显的是在电线上，可能就是将近一码，先不管，再看多 g 点， g 点是 e f 的 终点啊， e f 的 终点，然后 e f 等于十啊， 这个我们来就可以看出来， g h 加 c h， 一个个去分析， c 点是定点，不管它 h 点是什么，定线，定线上的，定线上可能是将军马， 然后 g 点呢？ g 点它是 e f 的 中点，同时 e f 长的固定，也就是说 g 点在什么？在 r t 上三角形里面， 这可能是什么斜边中线法，也就是我们所说的滑梯模型。那我们就试一下啊，连 b g， 连 b g， 按它的操作。然后呢， h 点在 a d 上，我们过 h 点， 不是过一圈做 c， 关于 a d 的 这么一个一个对称，那这个时候我们就求解，求解，求解，不是求解图的话，基本上就画完整了， 画完了也就是这个最值，这个的最值其实就是什么？就是通过那个转换，就是说作图的转换，我说明一下啊， 然后我们根据那个图形块，所有连接的图形，应该知道什么，就是 g 撇 h 加 c 撇 h， 如果再加一个 b g， 它是大于等于 bc 的， 也就是说，所以呢， 所以我们的 g h 加 c 撇， h 是大于等于 b， c 撇减去 b 减， 这个后面等于什么呢？等于一个 bc， 在 r t 三角形 bc c 撇中求， 也就是说 bc c 撇应该等于根号下三十， 三十的平方加上二十加二十的平方就应该等于五十， 意味着我们的最小值上面那个最小值等于五十，减去二五 z b f 嘛，就是二五 z 乘以十等于四十五。 这是一个一个如果你算过的比较好，会分辨的斜边中线的话，这个题目是一个非常典型和简单的一个题目。

八零年底不讲义啊，本学期啊，最难的四边形数学几何模型啊，我给大家做好了啊，我们这个正式版的彩印的啊，我就做一个样板，黑白的有一百多页啊，这个学完啊，你中考就能几何拿到满分了啊， 我们中考几何四边形呢，是填空题最后一题和倒数第二大题压六题十二分，所以如果你这个不学会的话，中考基本上就猜，或者说你还没考试呢啊，已经扣了十七分了啊， 好，这个模型我们看看，举个例子啊，比如这个，第一个最简单，锤每次变形，首先这个模型啊，长什么样子啊，他的推广就他的辨析啊， 这个模型，这个结论啊，我考试选的情况，直接啊带进去秒杀，这就五秒钟秒杀。然后这个结论呢，如果是大题，怎么证明呢？老师啊，这个证明方法怎么做直线啊，同样呢，我还给这个立体啊。 好，所以你看到后面啊，每一题这个选择啊和这个内容都非常多，比如这个题答案很多，给小孩展示，老老师，这有人做出来吗？小孩问这个问题，肯定有人做出来，几何这个东西其实会画，特别简单，如果你不会方法的话，那这个考试你看这个辅助线 对吧，这辅助线这么乱，怎么做呢啊，都是有固定的方法的，包括这些模型啊，都有啊，我们到后面越学越难啊。 好，我们现在安徽中考特别喜欢考折叠模型，当填空压轴条已经很多年了啊，所以我特意把它全编进来了，不会超出我们的考试范围啊，考试啊，他长这个模型，就这个往上套辅助线就行了，很简单啊， 这个就是技巧啊，你可以感觉像这种游戏技能啊，无脑秒杀这种技能啊，一招把这个 boss 打败啊，这个就思维技巧 啊。此外啊，针对这个培优或者说想学精彩的孩子，我特意加了这个几何最值问题啊，大家熟悉的江中银马刮豆原理和沸马鼎和胡不归还有逆等先，这些知识点啊，全部都放进去了，在最后啊，如果孩子想挑战的话，可以看看，我们是图文并茂，并且给大家答案啊。 最后啊，为了方便孩子更好理解呢，我把每个模型啊，都制作了几盒视频啊，到时候孩子呢，可以更好的直观啊，通过思维模模型啊，去见过自己的思想知识点啊 啊，同样的，我同样补充了一些题型啊，老师，我想把一百页挑战做完呢，我想再额外做题啊，好，老师都帮你准备好了，这边所以都是很全的啊，每一个都模型都有这个视频讲解和这个几何演示啊，让孩子更好去理解。 所以学好这个方法，就做题很简单，方向不对，努力白费。所以说，为什么学霸呢，半小时把一百五十卷考一百五啊，这不是神话，这个是事实，你也可以达到。好，大家加油！

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部吃透，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点技巧二，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧四，做垂直构造直角三角形加做对称点技巧五，旋转构造全等技巧六，一箭穿心 技巧七，构造手拉手全等技巧八，平移线段可分享！

八年级数学大题不行是吧？可以来几遍来几遍，可以看下这个数学几何模型，因为这个呢，其实就相对于来说是我们所中考遇到的所有的大题的模型，基本都在这上面，你可以看一下， 包括因为现在八年级了，咱们孩子包括家长现在及时指点不是已经跟不上了吗？咱们也教不了孩子。你可以看到每个题它上面都会有这个视频讲解，视频讲解之后可以让孩子先扫码先看一下，看完了之后呢，让他先做，做完了然后咱们再可以根据这个答案讲解，详细 来给他解释一下这个为什么说是这么做。包括你可以看到这个详细分析一，分析二，包括这个图形用到了哪些模式，用到了哪些知识点啊，包括哪些数学公式题，在上面都是有讲解的， 包括做完了之后呢，你可以再看看这个真题变式链，因为什么就是它会根据这些所有的中考题型出来的，然后再会做一些变量一，变量二、变量三，这些呢，都是根据这些来 产出的这些不同的题型，这样的话可以让孩子打基础更打的更扎实一点。包括这个因为咱们孩子中考之后，他会对一些的二级公式啊，包括一些速记啊，这些都可以让孩子更扎实的去背一下。这些用完了之后呢，你可以看到这些 基本上就是这本书，然后可以用完之后，咱们可以再用一下这个几何辅助线，因为几何辅助线和几何模型是搭配的，你包括模型里边他肯定要用到辅助线，所以说这两本书是建议要拿的话一起动的，包括这些三角形啊，它里边的一些辅助线它是怎么做的？所以说它为什么说这两本书是搭配着用？包括这个也是也是有这些 视频讲解详细教程的话，建议两本都拿。但是我觉得还是做这个会有点多，因为他挺厚的。呃，多的话那就这样建议您先拿一本这个几何模型，因为几何模型相对来说他是比较打基础的，所以说如果孩子做不了那么多题的话，先用这个是比较合适的。嗯，那就先拿这一本做做看吧。行。

初中几何不管怎么考，都逃不出这六十个解析模型，让孩子把它吃透，数学拿满分都有可能。像三年一百一十五考的铅笔头模型、三年一百三十一考的八字模型、 三年一百二十八考的将军印码模型等等，都在这本模型图描写。初中几何里总结好了每个模型，先用图式拆解模型的原理和概念，再推演模型的证明过程，最后再结合典型真题，一步步带孩子吃透几何模型。遇到不会的题，扫码就能观看。名师讲解， 孩子在家就能自学。学完一个模型，就用配套的练习题及时巩固所学知识。从选择题到填空题再到综合大题，孩子套用模型就能秒出答案。用好这套书，帮孩子轻松拿下数学。