八年级下册下册几何模型笔记江总。

来八年级的同学们注意了，今天这个模型学会中考又能多得好几分，告诉我们呢，角 c、 a、 d 和 d、 a、 b 等于十度，俩角相等。首先我们得到的一定是一个角平分线，同时呢又告诉我们 d、 b、 a 这个角它是二十度， 而同时 d、 b、 c 这个角，这儿又是一个四十度，让我们证明的是 c、 d、 b 等于七十度。如果现在 c、 d、 b 是 七十度的话，那么显然角 d、 c、 b 也得是七十度，因为内角和是一百八，也就是说我们正的其实就是 b、 c 和 b、 d， 它得相等。这道题目最关键的入手点一定是角平分线，而角平分线最主要的核心就是对 对称，那这道题目我们需要把图形给它补的对称，咱们去延长一下 a、 c， 使得延长之后的这个线，它与 a、 b 是 相等的，我们把它在连接之后，这个点咱们叫做 点 e， 也就是说我延长了 a、 c， 使得 a、 e 的 长度，让它和 a、 b 相等，把它补成了一个轴对称图形。 写到这里之后，我们首先能知道的是 e、 a、 b 是 等，腰顶角是二十度， 那么它的底角一定是八十度，说明这个小角就一定是八十度，而 a、 b、 e 也得是八十度，那么这个角就必定是一个二十度了。这个角度到底是多少呢？我们通过外角能知道， b、 c、 e 这个角一定等于 c、 a、 b 和 abc 这两角的和，所以这个角也得是八十度啊，那么此时我就证出了 b、 e 和 b、 c 肯定是等的。 再接下来大家注意，我们只需要去连接一下 d、 e 点 d 恰好在角平分线上，而整个的图形又是轴对称图形，我会发现 a、 d、 e 这个三角形 和 a、 d、 b 这个三角形一定是全等的，那么此时 d、 e 和 b、 d 一定相等，同时角 d、 b、 e 又是六十度，一个等腰三角形，它的假角又是一个六十度，说明 d、 b、 e 一定是等 边三角形啊。那么 b、 d 和 b、 e 等， b、 d 自然和 b、 c 等，那么此时我们要中的 c、 d、 b 这个角，它一定是七十度。这道题目就搞定了，大家听懂了吧，下课！

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全等三角形手拉手模型是八年级数学考试频率特别高的一个模型，但对模型能够熟练掌握并应用的同学并不多， 今天我将从模型的特征、模型的四个结论、模型的结论的证明三个方面做一个详细的讲解。 首先我们来看一下手拉手模型有哪些特征。 ab 等于 a、 c 意味着三角形 abc 是 一个等腰三角形 a、 d 等于 a、 e 意味着三角形 a、 d、 e 也是一个等腰三角形。所以模型 的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形，所以模型的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形。所以模型的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形，所以模型的第一个等腰三角形。 那么从图形上我们可以发现 a 点，它是三角形 a、 b、 c 的 顶点，同时也是三角形 a、 d、 e 的 顶点。 所以模型的第二个特征是这两个等腰三角形共顶点 角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e， 也就是这两个角相等。 那么从中我们可以发现这两个角分别为这两个等腰三角形的顶角，所以模型的第三个特征是这两个等腰三角形的顶角相等。 当题目中的条件同时满足这三个特征时，我们就要想到手拉手模型 前面的三个特征可以帮我们辨别出题目的考点是手拉手模型，那接下来的四个结论及其证明将可以帮助我们快速解析 结论。一、与腰勾全等，即三角形 a、 b、 d 与三角形 c、 a、 e 全等。那有一部分同学可能不知道如何找出这两个三角形，这里我来说一下方法， 那从图中我们可以发现， bc 为三角形 abc 的 两个底点，那 b 点在左， c 点在右， d、 e 为三角形 a、 d、 e 的 两个底点， d 点在左， e 点在右。 那接下来我们只需要将左边与左边的点相连，即 b、 d。 右边与右边的点相连，即 c、 e， 就可以得到我们所需要的两个三角形，这也是手拉手模型的名称由来，左手拉左手，右手拉右手。 从图中我们可以发现，在三角形 abd 中， ab 为三角形 abc 的 腰， ad 为三角形 ade 的 腰。 在三角形 a、 c、 e 中， a、 c 为三角形 a、 b、 c 的 腰， a、 e 为三角形 a、 d、 e 的 腰。所以我们的结论一是与腰共全等。结论一的证明过程我已经写下来了， 大家可以暂停看一下，有不明白的步骤可以在评论区留言，我会一一解答。结论二，拉手线等长， 即 b、 d 等于 c、 e。 这个证明的过程比较简单，它来源于结论一的证明，即三角形全等对应边相等。 结论三，两个拉手线形成的夹角等于顶角，即这个角角 b、 f、 c 等于角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e。 它的证明过程我写在了下方，里面用了一个八字型，大家可以暂停看一下证明过程。 结论四，顶点与拉手线的交点连线平分。拉手线夹角，即 a、 f， 它平分角 k、 f、 h 平分这个角。 结论四的证明我已经写在了下方， 大家可以暂停看一下，有不明白的步骤可以在评论区留言，我来解答。 另外需要说一下的是，这里涉及到了一个辅助线的添加，这个辅助线的添加是需要大家记住的，因为在解大题目的时候，他是需要写解析步骤，那这里面的辅助线添加就是我们需要用到的。 有了这四个结论，可以让我们在做选择和填空题时秒答题。理解了这四个结论的证明过程， 可以让我们在解大题的时候首先思路清晰，然后写过程也将十分轻松，因为这个解析过程其实就是结论的证明过程。

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大家好，我是老吴，七下苏科数学课本我会给大家讲解，我有丰富的经验，我是江苏初中数学老吴，大家可以搜一下我很多短视频，好吧，你可以看一下我很多短视频，我们很多的讲解，你就知道老吴的讲解水平还可以， 而且我是小题狂，做巅峰的编委，而且我讲新思维探索应用，就我以前讲压轴题讲的很多，但是我现在讲课本，你会发现我课本讲的很细致，包括有很多的技巧， 比如说这里我就会，我就会写两二项式乘以三项式等于六项式，比如说我会写这个首平方、尾平方，二位成绩方圆，但是这个大家都知道啊，这个确实大家都知道，还有一些注意事项， ok， 我， 我会，我，我会给大家写上去好吗？就是讲的很细致，就是你别以为我讲亚洲题很 ok， 那 么我讲基础，那也绝对 ok 好 吗？还有，但是我讲基础的同时，就不光课本上所有的例题细题全部给你讲到位，而且课本上体现出来的一些 拓展的内容，我也会给你拓到位。就比如说，那既然有平方大公式，完全平方公式，那我也会给大家补充很多公式啊，看一下 完全平方公式变形应用是二推二，这个就是亚洲，这个就是亚洲， ok， 就是 我举个简单例子，比如说我们知道路程等于速度乘以时间，那你得知道速度等于路程除以时间，时间等于路程除以速度啊，就差不多就这么个意思吧， 而且不光是这样的一些啊，而且我给大家展示一下，还有一些就是笔记写的很细致， ok， 还有一些就是课本上反应出来的一些，比如说课本上有一个是阅读，叫洋灰三角，洋灰三角亚洲必考。好吧，我也，我也会给大家很详细的去裁剪，因为我这个东西， 其实大家很多时候这个东西他不是买衣服，也不是买鞋子，对不对啊？你就是你如果懂行，因为很多跟着我混的，不是说跟着我们一起学的都是很多成绩非常优秀的，但是我讲这个课本的时候我增加了一些拓展，而而这些拓展的难度， 呃，不是特别大，但是，但是呢，你如果学透了的话，你基本考试八成的得分率是没有问题的。那还有两层呢，还有两层，其实那个还是不够的，我建议大家啊， 再做一下我们我给大家准备的这个准备的这个十五天的，十五天的啊，天天练，这十五天的天天练呢，其其实大概有百分之二十的基础， 百分之六十的体育，还有百分之二十的亚洲啊，为什么基础比较少？就是因为大家课本已经练了好吗？然后呢？这上面量是很大的，所以如果说你说我寒假我不光学学基础， 而且我还要去拔高，而且我还要跟一个经验非常丰富的老师，那我觉得老吴就不爱自选，没说的，然后咱们还有答疑，好吧，但你孩子要学，所以我说你哪怕跟着我学课本，那你的成绩也要相对比较优秀， ok 啊，就是还不错吧？还不错。然后呢，你要学我才能帮到你，你要不肯学的话，谁也没有办法好吗？因为没有什么燕尾，我就说我这边能做到的，我已经做到位了，包括说，呃，你如果看到这里的话，这个是七下最后一张的那个几何那一块， 我给大家有一个空白版，这是空白版，还有一个，还有一个电子版的一个解析。啊，空白版还有个电子版的解析，还有我的视频讲解，你这个可以直接直接啊，我我我这个给你，你可以看一下我的经验， 我的讲解水平以及我的用心程度。你就知道啊，我们在选课程的时候不光说我要选这个啊，价格其实并不是选价格，他不是买衣服，更重要的是选品质，而我的讲解你可以拿着把这个领回去，看一看我的用心，好吧？

寒假马上来了，有下册学到几何的人教版里面也会学到，特别是北师和苏教版的孩子，那么这块的话就是你在下册的数学中间，呃，他要七下的时候学到我们的几何，那么就一定要提前去给孩子准备这个初中的几何模型图和几何弧度线啊，因为你只要学到几何， 学几何的时候它后面都是，呃，针对我们最后两个压轴体和几何，呃，全等三角形和轴对称图形这两个章节啊，和我们，呃这个啊，来，我们看一下 全等三角形和轴对称图形像这几个章节就是我们几何的一个基础，而且的话最后的模型全部是和动点的问题相结合，那肯定是要去画辅助线的，对吧？这两本书是我们几何的基础啊，所以说，呃，你在寒假的时候用这个去打好你的基础，呃，把模型每个都去啃透，一本用到三年， 模型图里面是包含了我们初中一共要用到的四十九个模型图啊，而且每个模型里面他都会从我们的最基础开始去讲，概念去讲，然后也带视频课啊，证明模型图。 然后还有一个就是我们的核心母题，核心母题也有讲解，嗯，后面的话就会有我们的证明过程，对吧？母题的分析。还有一个就是，呃，给你讲例题以后，然后后面会有很多实战演练， 实战演练的题型不管是大题还是小题，他都是一题一码啊，方便我们的孩子去对应的练习。这个就是我们的几何模型图，然后买的话一定要去两本一起带啊，把几何学好，呃，然后你才能决定你初中数学的地位。好，加油啊。

八年级期末考试重点题型，这个题啊，要用到两大结构模型，一个是兄弟三角形模型，一个就是 b 上中线模型。这两大结构模型不熟悉，只要去理解，只要二十分就得不到。看题目已知，勾 b 等于勾 b， 勾 d 等于勾 b， p 是 b、 d 的 终点，这两个夹角都是九十度。 题目要求的是一 c 等于二 b 的 o、 p、 e、 c 共 p 相距比较远，如何证明出有 b 的 关系呢？所以啊，一定要遇到两大结合关系，一个就是双 b 三角形。我们看一下啊， 三角形 b、 o、 d， 橘色三角形和橘绿颜色三角形有一个公共顶点 o， 顶点 o， 然后呢，边边相等，边相等，边相等。没关系， 这两个夹角都是九十度，九十加九十等于一百八，这样的夹角相加它也是一百八啊，顶点共共边相等，夹角互补，这样的三角形叫做兄弟三角形，它有什么重要性呢？ 只要是兄弟三角形，顶点共共加角互补一百八，对应边相等法，知道这个就足够了。接下来我们看一下一场的中线图形，我们可以画一个三角形， 假设这里是 b， 这里是 b， 这里是 c， 这里是 d， 是 终点。好，那么 a、 d 就是 中线空场，就是延长中线，适合成都和中线场刚好相待。好 b 圈，我们再连接 b 圈， c 好， a、 d 和 b、 c、 d 是 相等的，这是我们做的。 b 是 中角， b、 d 和 c、 d 相等，对角角相等，所以这两个三角形就全等，全完以后就用角都相等，这用边都相等，这是最长中线模型。好，接下来我们看这个题，如本景， c 是 b、 d 边的中点，那么 o、 c 就是 三个向 b、 o、 b 的 中线，有中线我们就连接什么延长 o、 c， 对 吧？延长 o p， 使它长度和中线长刚好相等。假设这里是勾设点，接下来我们再连接 b， 勾设 啊，连接以后，根据 b 长中线这两个三角形，它就全等了，全等，下面就非常高呢，这个角和这个角是不是相等呢？对，相等，它相等。在三角形 b、 o 勾设中， 这个角加这个角，再加这个角是不是一百八？三角形也就等于一百八，并起来，它和差相等，它加它加差一百八，那么它加它加差是也是一百八，也就这个角加这个角是一百八十度， 对吧？哎，它是一百八十度，我们看一下，因为橘色三角形和绿色三角形是兄弟，三角形 长的加角最后也是一百八，也就是这个加角加差一百八，这个加角加差也是一百八，那么这个角和这个角不就相等吗？所以呢，三角角，这个角角 p、 o、 c， 它就等于角。什么等于角？ o b o 片 o b、 o 片， 我们要的就是这个效果，对称中心模型，这两个三角形全等， o d 和 b o 片是相等的，所以呢，这是 o d 等于 b o 片， o d 等于什么？ o d 等于共 c， 这一只小圈等于 o c。 所以 啊， b、 o 片是不是等于 o c 啊？啊？这边和这边相等，这边这边相等，这是一个小点， o b 等于 o b， 然后乘以加角也相等 s、 d、 s， 所以呢，三角形 b、 o、 c 就 全等于三角形，我们看一下啊，三角形 o、 t、 o 像，对吧？对应点要相等。那么这样一来，我们看 a、 c 和 o、 o p 是 相等，所以 b b 就 等于 o o p， o o p 呢？又是 o p 的 两倍，所以啊，等二 b 的 o p 这样证明挽救。所以这个题啊，这两大结合模型呢，非常重要，一定要牢记。

三角形的辅助线问题是我们整个初中几何这一板块非常让孩子们头疼的一个事，很多同学拿到这类问题，不知道辅助线怎么去做，没有头绪，那我们就来讲一个去年期末考试的真题，给了我们一个三角形 abc， 还有三角形 e、 b、 f， 说他们两个是等边三角形。同学们，拿到这道题，你马上就要想到两个共顶点的等边三角形，考的是什么？哎，一定是手拉手模型，这就是体感。所以说现在手拉手，我们要把它左手拉左手，右手拉右手，这是辅助线，哎，这是手拉手的经典辅助线。 好，你看三角形 b、 e、 f 中，左手是 b、 f， 三角形 b、 a、 c 中，左手是 bc， 所以 说连接 c、 f， 那 么右手是 b、 e 和 ab， 人家已经给你连上了，是 a、 e， 那 么连完辅助线之后，一定会出现三角形全等。 出现的两个三角形 b、 e、 a 和三角形 b、 f、 c， 一定是边角边全等。首先有 b、 f 和 b、 e 相等，这是另一组对应边。 同时你看这两个夹角是不是都等于六十度，减去中间的这个 dbe， 所以 说边角边全等。好的，这就是手拉手的经典结论。接下来我们继续来看， 告诉我们 a、 d 垂直于 bc， 所以 说同学们你要注意到这是一个等边三角形，有了垂直是不是三线合一啊？那现在它也是顶角的角平分线， 它是三十，我是不是可以得到对应角，哎，角 f、 c、 b 也是三十度啊？继续来看，他说想求当三角形 b、 d、 f 周长最小的时候，哎，求这个角 d、 b、 f 怎么去求？我们来观察一下三角形 b、 d、 f， 哎，现在我知道 b 点和 d 点它应该是固定的点，所以说 b、 d 是 定长。假如说我设它为 a 的 话，现在我是不是只要求出 b、 f 加上 d、 f 的 最小值即可， 哎，因为 f 点它是跟随 e 点在运动的，所以说 f 它不固定，这两条边的长度也在变化，那么接下来我就要找一下 f 的 运动轨迹在哪里？刚才我们是不是已经发现这个角横为三十啊？因为它和它应该是相等的， 所以说无论 f 怎样运动，这个角它都始终保持三十度，所以说其实 c、 f 这条直线就是它的运动轨迹。 那同学们做到这之后，你来观察一下其实这道题它出现了一个什么模型，想要求他们两个线段之和最小，是不是非常典型的将军印码呀？那么看到将军印码马上脑子里要想出来的就是做对称，所以说现在我就可以关于这条直线 做 d 点或者 b 点的对称点，假如说现在我们做 d 点的对称点， d 撇儿，哎，现在由对称可得，这一段它是不是应该和 d、 f 就是 相等的？ 所以说想求它俩之和最小，就转化成了 d 撇 f 加上 b、 f 最小，那么两点之间线段最短，连接 b、 d 撇儿，也就是当 f 点运动到这个位置的时候，哎，现在它俩可以取到最小值， 此时也就是三角形 b、 d、 f 周长最小。但是它让你求的是啥呀？求的是这种情况下角 d、 b、 f， 哎，也就是这个角它的度数是多少， 怎么去求？我们来观察一下刚刚由对称可得呀，你看这是三十度，它是不是也是三十度？并且 c、 d 和 c、 d 撇应该是相等的， 所以说出现了一个 d、 c、 d 撇儿等边三角形，它是等边的话，那这个角就是六十度。同时我们知道 d 点三线合一，它应该是 bc 的 中点，所以说这是 a 的 话， c、 d 应该也是 a， d、 d 撇儿，它应该也是 a。 那 你来观察一下， 在这个三角形 b、 d、 d 撇儿中，是不是它是一个等腰三角形，并且它顶角的外角是六十度， 那他的两个底角是不是分别就是三十度啊？所以说他就求出来了。哎，这是一道非常非常经典的手拉手，结合了将军一马的题目，一定要在考前把它弄会。

将军六马先做平行，再做对称，三点贡献最短。胡不归做垂线段，最短。非马点旋转六十度，四点贡献最短。初中几何证明难，那是因为你掌握的模型少， 可以准备一本作业，帮初中几何模型大全，他把每一类题型都做了模型讲解和立体精讲，搭配后面的模型演练都是中考真题， 题型精准，考点全面详细的参考答案，帮助孩子更好理解和整理答题过程模型还可以扫码看免费的视频讲解，把这些模型学透了，轻松搞定初中三年的几何。

这个直角三角形斜边中线地理啊，是八年级学生必须掌握的，那这个工具卷王教材助手，初中全科电子资料都有，免费高清下载打印， 有需要的可以拿回去刷一下。但是他们两个变形啊，也是同样重要的其中一个，对于我们后期理解四点共圆也是非常有帮助。 好，我们一起来看一下。那么讲这个题目之前，我们要带大家回顾下什么叫做 r t 三角形斜边中线定义呢？举个例子来说啊，当我们一个直角三角形 a、 b、 c 当中 地点作为斜边 a、 c 的 一个中点，现在呢，假如说我把此时的 b、 d 也是我们的中线啊，给它连接起来之后啊，朋友们可以得到这里的 a d 等于 cd， 也是等于 b d 的 好，那么这个呢，就是我们教材上的 r g 三角形斜边中线定义， 那么它的两个变形也是同等重要的啊，同学们看一看，好，我们把已知条件做一个变形。你说现在呢，九十度角 abc 还是给大家 此时的地点不再是 a c 的 终点呢？我们把它改成这里面出现一个等腰一座， a d 等于 b d。 但我想问下大家，这地方的 b、 d 和 c、 d 是 不是也相等呢？你说我还能不能得到我们刚才推的三条线的相等答案？当然是肯定相等的，那么这个证明的方法也比较简单， 我们只需要倒角就可以了，比如说你这边呢，是等幺三角形 a b、 d， 因此呢，我们可以设两个底角为 x 和 x 八，那么这样的话呢，同样可以发现这里的角 c 啊，整个内角和都是一百八十度，那么他跟我们的角 a 可以 看成是一个余角，所以说我们这个地方角 c 呢，也是九十度减 x 八。 好，那同样道理，再来看一下你的这个角 d b c 啊，那么很自然也是九十度减 x， 那 么我们这个地方两角相等，因此呢，我们可以通过角度啊角得到我们的 cd， 就 等于 b d 也是等于 a d 的 啊。好，那我们紧接着再来看一下它的第二个变形。好，那么现在呢，把条件改成 已知的三条小线段相等，那么能不能证明呢？ 答案当然也是肯定的，对吧？好，我们来看一下，一样的也是通过倒角啊，只不过我们这个地方都是一个未知数而已，那我们这个地方等于幺三角形呢？ x x y y， 是 不是由于说整个内角和是一百八，所以我们可以得到二 x 加二 y 是 以一百八十度，那么 s 加 y 呢，是不是就等于九十度，就非常容易证出来了？也说到这里啊，同学们是不是又多学了一种证明垂直方法了？好，那我们回到填坑中来， 题目中呢，他只给了两个矩形，一个矩形 a b c d， 外加一个矩形 p e f d， 要我们去求证 p c 垂直于 c f， 那 我们能不能借助刚才所讲的这个变形去挣它垂直呢？同学们可以发现啊， r t 三角形斜边中线定力的这个变形来看的话，是不是 你必须得是一个直角三角形才行，但它现在呢，只是一个直角，要我们去这，因此呢，我们这边第一步肯定是要把这里的 p f 给大家连接起来的。好，同学们再来想一下，你的 p f 呢，正好又是矩形 p f d 的 一条对角线，对吧？那么根据矩形的性质， 很自然是不是就应该把另一条对角线可以连接起来？比如说我们连接 p f 第一交于 o 点啊，同学们是不是就很自然可以得到此时的 o 点呢？既作为 p f 的 终点，也作为我们第一的一个终点，对吧？那么 p f 呢，又是我们三角形这个 p c f 的 一条 斜边，因此呢，我们按照我们刚才的呃模型来看，我们这边可以把 o c 给大家连接起来，那我们下一步是不是只需要正这个 o c 啊，等于 o p， 再等于 o f 即可，对吧？好，那么这个地方该如何证明呢？你看中还有一个矩形我们还没用到啊，那细线同源应该可以发现此时的矩形 a、 b、 c、 d 给我们的作用是什么呢？我们可以知道这个地方角 b、 c、 d 啊，也是一个已知的九十度，那这样在三角形 c、 d、 e 当中有存在一个斜边中线的一个定力。好，有时候我们的 o 点呢，它也是作为 d 一 的一个终点，对吧？那么这个地方就可以得到此时的 o c 啊，就等于 o d 也等于 o e， 那 自然而然这五条线段是不是都相等呢？下一步啊，我们再去设未知数倒角，这样自然而然是不是就可以按照我们刚才所讲的，把这个地方的 pc 垂直于 c f 给大家正出来了？ 好，那么这个模型的一个变形是需要大家熟练进行一个掌握的，除了直角三角形斜边中线地理能直接用以外，另外两个变形都是需要推倒的，这个在大体当中是不能够直接用的，因此呢，倒角证明也会。

初中几何就这六十八个模型把他们搞定了，数学学起来一点也不难。那这六十八个模型呢？这本书已经帮你整理好了，从七年级的几何初步，再到八年级的几何证明，再到九年级的几何综合题， 书里面都有详细的讲解和立体。还有很多课本没有，但是考试会考的经典模型的整理规范，考试可以直接拿来用。比如这个长得像铅笔头的就是铅笔头模型。以后考试的时候，如果遇到这种模型，你就知道这种模型该怎么证明了，怎么去画辅助线了。 特别是选择题和填空题，直接套用这个模型的结论就能轻松解题，不懂的还可以扫码看视频讲解，帮助孩子真正吃透。这些模型初一就可以背起来了，一本可以用三年。