重庆中考数学几何翻折题

大家好，今天跟大家分享的这个题目呢，是刚刚考完的南京的一个呢，九上的期末考试的一个题目啊，这个题目呢，非常符合呢，最近咱们这两年呢，讲究这个叫反套路反刷题的这么一种呢题目 也是这次考试的他们对应的这个填空题的最后一个啊，那么我们来看一下这个题目，如图，在三角形 abc 中， ab 呀等于 ac 等于一，然后呢 bc 等于 k， 告诉我们 k 呢小于根号 哎，这个条件有啥用呢？大家呢可以先分析一下，那么当 k 等于根号二的时候，这个三角形不是一个等腰直角三角形吗？所以它 k 小 于根号二啊，就保证三角形 abc 不 会成为一个呢等腰直角三角形哎，它所有的角都是锐角。 直线 l 呢，与 a、 b 边呢，交于点 d 点 b 呢？关于直线 l 的 对称点，恰好呢落在 a、 c 边上了，如果 a、 d 和 d、 e 相等，让我们求 c、 e 的 长用含有 k 的 代数式来表示， 那么这个题呢，拿到之后啊，我们很显然这里头有一个呃，关于啊直线的一个对称的一个问题，其实就是翻折问题吧，那我们大家看， 由于 a、 d 和 d， e 相等点 d 这个点呢，在对称轴上，在翻折的这个对称轴上啊，那 b 点和 e 点呢？关于直线 l 是 对称的，所以 d， b 和 d， e 应该也相等，那这样的话呢， a d 就和呢 b d 相等，所以 d 点呢，一定是 ab 边的一个中点。那么今天咱们在这个里面呢，还给大家的是两种解法啊，咱们一起来分析一下，那么我们知道呢，这个点 d 呢，是我们 ab 边的中点的时候呢，我们选择呢，把对称的这两个点呢连接起来， 那么这个时候呢，得到的点 m 也应该是 b e 的 中点点 d 是 ab 的 中点， 那么我们这个点 m 呢，又是 b e 的 中点，所以啊，我们这个 dm 它就应该呢与这个 a c 是 平行的，平行了之后啊，大家看这一点，我们设这点是 n 的 话， 那这一点是不是也应该是我们 bc 的 中点呢？哎，一定是，对吧？哎，那么这也是 bc 的 中点的话，那大家看 d n 的 长度是不是应该跟 d b 相等啊，和 d e 也相等，和 d a 也相等，所以这个时候呢，我们考虑到啊，你看 这些线段都相等，那咱们就把这个圆呢给做出来，以 d 为圆心，那么二分之一为半径做一个圆，那么我们的 b， n， e， a 都应该在这个圆上，我们要求谁啊？求 c e， 那 这个时候呢，你要对圆的性质比较熟的话呢，可以用割线定义，可以用割线定义啊，就是 c e 乘以 c a 等于 c， n 乘以 c b， 如果你不知道的话，就把 a e 连上，证明三角形 c n e 与 c a b 是 呢相似的， 其实就相当于把割线整理啊，又证明了一遍，也可以啊，也可以，这个时候呢，我们就能够呢，呃，把这个东西给证明出来，因为 c e 乘以 c a 等于 c， n 乘以 c b， 这里的 c a 等于一， c n 等于 k， c b e 呢等于 k， 所以 最后啊， c e 的 结果呢，就是二分之 k 方非常容易做了啊。 这个是呢，咱们给大家的这个解法。一、我们从圆出发，从割线定律这个角度啊去解答这个问题，下面呢我们来看呢，解法二，解法二呢，我们换一个思路， 因为这个割线定律啊，好多小朋友不知道，那么我们换一个思路啊，还是一样的，我们还是把这个 b e 连上， 那么把这个 b e 连上啊，我们会发现呢，这个 b e 与 a c 应该是垂直的，为啥呢？大家看啊，因为 a d 等于 b， d 等于 d， e 一个三角形，一边的中线恰好等于这边的一半，那么我们就可以导出来啊，这个三角形呢，一定是一个直角三角形， 那么是一个直角三角形之后啊，那么我们呢就知道呢， bc 这个角呢是直角， 然后呢，因为我们知道 d 是 中点，我们 l 呢和这个 b e 呢，应该是垂直的，所以呢，我们这个 l 和 a c 就是 平行的，是平行的，因为 d 是 中点，所以 l 啊实际上就是三角形 a， b、 c 的 中微线， 所以这个焦点我们呢设它是 p 的 话，那这个点 p 应该就是 bc 的 中点， 对吧？所以呢，我们大家呢，连接上 ap， 正好呢有一个三线合一，那这个时候呢，大家观察三角形 a、 p， c 和三角形 b， e， c 有 一个公共角，都有一个角，是直角，所以这两个三角形呢是相似的，那么我们就有 c e 比上 cp， 应该呢等于呢，我们对应的这个 c b 比上 c a， 我 们就会得到这么一个式子啊， c e 比上 c p 等于 c， b 比上 c a， 这个式子中，大家看只有 c e 不知道 c p 的 长度呢是二分之 k， c， b 的 长度是 k， c a 的 长度呢是一， 所以啊， c e 也会等于呢，求出来也是二分之一 k 方，这也可以啊，也可以。 这道题呢，最开始看起来是挺唬人的啊，但实际上题目呢，不难。南京这两年的中考题的一个最大的特点就是除了四道压轴大题。四道啊，他现在是四道题，倒数四个题难度都比较大。那么前边的题目呢，几乎呢没有什么难题， 像这个呢，就属于填空选择这里面呢最难的一个题目。哎，实际上呢，难度也不大啊，难度也不大，大家还有什么好的方法？欢迎大家呢，分享到评论区，我们一起来讨论。 ok， 今天的分享呢就到这里。

大家好，今天跟大家分享这个问题呢，是来自于浙江的一个期中考试的题目啊，一个关于反比例函数的题目，设计的还是比较巧妙的，我们一起来看一下。 如图，在平面直角坐标器 x o y 中，点 a 和点 c 分 别是 y 轴还有 x 轴正半轴上的这么一点，以 o a o c 为标，在第一项线内构建了一个矩形 o a b c， 然后告诉我们呢，这个矩形的面积呢，是二倍的根号，将这个矩形 oabc 啊，做一个翻折，使 b 点与 c 点呢是重合的啊， o 点呢？ b 点与 o 点是重合的 折痕呢，我们设成是呢这个 p q 点 c 啊，它的一个对应点 c 撇落在呢对应的这个第四象限，然后呢，过点 p 的 反比例函数 y 等于 x， 分 之 k， k 不 等于零， x 也大于零， 恰好呢，经过了 p q 的 中点，哎，也说这个点呢，应该是 p q 的 中点，让我们呢一个是求 k 的 值，还有求呢 c 撇这点的坐标两个空。 那么这个题啊，实际上呢，他是把翻折问题的与我们这个反比例函数做一个有机的整合，要求的就是孩子们呢，应该迅速的在这里面呢，能够呢做出呢呃，一些呢知识上的一些判断，然后解析啊，实际上难度呢，并不是特别大， 因为告诉我们呢， o 和 b 它们是翻折之后的对应点，很肯定啊，关于这个 p q 呢，它就是一个对称的，所以啊，我们这个连接上 o b， 我 们设 o b 与 p q 交于点 m， 注意啊，我设 o b 与 p q 交于点 m 啊，那么这个时候呢， o m 和 b m 应该是相等的， 那么这个时候呢，这两个相等之后，大家看 o m q 这个三角形与 b m p 这个三角形恰好是一个八字形的全等， 我们可以用呢这个角角边去证明，用角边角去证明啊，用角边角去证明也可以啊，你看这个角，这个角对零角，这个角和这个角内错角，这个角和这个角内错角加上呢 o m 和 b m 相等，你怎么证都可以啊， 那么进而呢，我们可以证明出 pm 和 qm 也是相等，对吧？ pm 和 qm 也是相等的，所以这 m 是 啥呢？它不只是 ob 的 终点，也是 pq 的 终点， 而我们告诉我们这个里头是什么呢？我们这个反比例函数啊，恰好经过 pq 的 终点，所以啊，这个 m 既在反比例函数上，也在 ob 上，也在 pq 上， 这个实际上是解决这个问题啊，一个钥匙有了这个之后啊，那下边呢，这个问题啊，就有好解决了啊，我们要求的这个 k 值，我们这个 m 点在反比例函数上，我们可以把 m 点的坐标呢，先给他设出来啊，我们来看一下， 我们可以设呢 m 点的坐标是二 a 二 b， 为啥我都加个二啊？目的很简单，就是为了计算方便啊，你设成 a 和 b 也行，就是后边计算的稍微麻烦一点，我们设成二 a 二 b， 那 么这个时候 b 点，因为 m 是 ob 的 中点呢，所以 b 点的坐标应该是四 a 四 b， 那 么我们 p 点的坐标就应该是 a 和四 b， 这个是怎么来的啊？这块有有可能有很多小朋友不太好理解啊，说 p 点的坐标是怎么来的， 那么大家看啊，动作标是四 b， 大家呢，没有什么想法，一定是对的，大家看，因为 m 点呢，是在我们这个反比函数上，那么我们就知道这个 k 值应该等于多少啊？等于二 a 乘以二 b 等于 c b， 而我们 p 点呢，也在呢这个反比函数上，它的纵坐标是四 b， 那 么横坐标是多少呢？因为 k 等于四 ab 啊，四 ab 除以四 b 不 就等于 a 吗？所以 p 点的横坐标一定是 a 啊， 那我们矩形的面积应该等于谁呀？等于我们的 oc 乘以 bc， 也就是 b 点的横纵坐标之积， 那么就是四 a 乘以四 b 等于十六 a b， 他 应该等于二倍的根号二，而我们的 k 值应该等于多少啊？二 a 乘以二 b 等于四 a b， 嗯，这个基础之上，左右两侧再除一个四就出来了，等于二分之根号二， 二分之根号二啊，那这个呢，我们到这呢，就解出来了，就解出来了啊，哎，非常容易。 那么我们刚才啊，在这个里头解出来 p 点的这个横坐标是 a m 点的横坐标是二 a， 而 m 又是 p q 的 中点， 那么我们用中点坐标公式可以呢，非常容易解出来。 q 点的横坐标应该就是三 a， 它在 x 轴上，所以 q 点的横坐标就应该三 a 零， 所以我们这个里头 o q 的 长度，它就应该呢是等于三 a 的， 那么 p q 是 不是也等于三 a 呀？哎，因为这两个三角形，刚才我们证明说全等了，这个也是三 a， 而我们的 o p 和 p b 应该是相等的，所以啊，我们对应的呢，这个 o p 也应该等于三 a， 那 么 o a 等于多少啊？ o a 是 不是应该等于 bc， 就 应该等于 b 点的纵坐标等于四 b， 那 四 b 等于多少？ 我们这个里面呢，可以自己去算一下呀，我们这里头这个四 b 应该等于多少？这个这个东西啊，它呢，就应该等于我们对应的二分之根号二， 二分之根号二，我要求是四 b 除以 a 呗，所以根号二比上二 a， 那么大家呢，现在呢观察呢？这个，呃，直角三角形 o a p 斜边是三 a， 一个直角边是 a， 另外一个直角边呢，是根号二比上二 a， 我 们解一个勾股定底就行了啊，最后能解出来 a 呢，等于二分之一。 呃，这个空间的关系啊，我写不下了啊，勾五定律我就没写，我直接把结果写到这了啊，在这里头写一个勾五定律就能解出来 a 等于二分之一，那么解出来 a 等于二分之一之后啊，那这个问题呢，就变得非常简单了啊，我们就知道呢， o q 等于三 a， 它就等于二分之三， 这个 q c 撇等于 q c 应该跟 a p 也是相等的，就等于 a， 所以呢，它就应该等于二分之二分之一啊，而我们这个 o c 撇呢，等于 bc， 等于根号二比上二 a， a 等于二分之一代，所以呢，能解出 oc 撇等于根号。注意啊， oc 撇 q， 这是一个直角三角形，我们现在求啥呀？求 c 撇这点的坐标，那么我们过这个 c 撇啊，往这呢做一个垂线段就行了， 做一个 c 撇 n， 那 这个时候呢，我们大家呢，可以轻松的用面积法把 c 撇 n 呢就给解出来了，用面积法应该等于谁呢？ o c 撇乘以 q c 撇，再比上呢 o q， 哎， o c 撇乘以 q c 撇再比上 o q 解出来呢是三分之根号二， 这个是三分之根号二，这是根号二，再解一个勾股定律，就能把 o n 解出来啊，解出来呢是三分之四。 那么最后呢，我们就可以得到 c 撇点的这个对应的这个那个什么了，这个坐标了。但我这写的时候，大家发现有没有写错啊，写错了啊，这是小朋友特别容易犯的一个错误，我放到这呢，也是让大家注意一点啊， 他在哪？符号符号，这点在第四象限，所以在这个里头啊，大家呢，在这一块做题的时候啊，一定呢到最后的时候啊，呃，不要呢，出错，你都做对了，最后呢就写的时候写错了，这个分呢就没了，非常可惜的啊，非常可惜。 像前两天我家那小朋友上高一，他这次那个月考啊，化学成绩考的是不错的，全年级第四名， 但是最后一道题人家结果是十六分之一，他给写成十六了，两个比值他就给写反了，要不然这个化学的成绩能更好一点。 这个也是呢，就提醒大家呢，尤其是小朋友啊，一定要特别注意啊，不要出现一些低级的错误，低级的错误对很多小朋友来讲啊，影响成绩会非常非常大。 好了，今天呢，咱们分享这个题目呢，就到这啊，更多的关于这个反比例函数的内容，大家呢可以参考咱们左下角小黄车里面的中考数学压轴题专项训练， 在这个里面呢给大家呢会有更详细的介绍啊，我们有一张的内容专门讲这个反比例函数的啊，尤其是关于 k 的 几何意义的问题啊？几何意义的问题。好，咱们今天的分享啊，就到这里。

朋友们好，我是老李，这里是老李的初中数学课堂理数说题，现在我们一起学习初中数学一盘棋第十二个作品开窍之阶的 第二百三十二题。结合图形，我们看题目，三角形 a、 b 三中， i、 d 是 b 三边上的高角 b、 i 三等于四十五度， b、 d 等于三倍的 d， 三等于三，显然它是变下的，告诉我们说 b、 d 等于三，这里的 d 三等于一。 让我们求 id 的 长度，求到 id 的 长度。老规矩，请大家按下视频课程的暂停键，自己先审题，找思路。审题的过程当中遇到问题记下来，带着问题和老师一起来学习探讨。 现在我们一起来看这样的解析思路是如何的，补缺图形的图谱是如何 做出来的。为了大家学习方便，课后我们会把这里的思维导图解题课间发给大家。审题时候大家应该已经发现这是一个经典的老题， 那么我们要借助这样一个经典的老题，复习解决几何问题最常用的 几个经典的模型看一下。关于这道题，我们这里给出了五种方法的解析的图谱。 首先改条件，变结论，发散思维看一下角， b、 i 三等于 b， i 三等于四十五， b、 d 的 长度为三， d 三的长度为一。好多老师首先想到影院模型，所以我们这里首先用影院模型看一下如何解题。 影院模型也就是做三角形 a、 b 三的外形，做 a、 b 的 垂直平分线和 b 三的垂直平分线 相交于三角形 a、 b、 c 内部的一个点。 那么这里的 a 点、 b 点和 c 点就在以凹为圆，心 以凹 b 凹塞或者凹 a 为半径的圆上面，然后 b 三弧所对的圆周角是四十五度，所以同弧所对的 圆心角是圆周角的二倍，那么这里的角 b 凹三就是九十度三角形，凹 b 三就是一个等腰直角三角形。注意，我们要计算这里的高 a、 d 的 长度，等腰直角三角形。当然首先要想到三线合一，过凹点做 b 三的垂线，然后凹与 b 三 垂直，直角 id 与 b 三垂直。注意，看到这样的结构，一定要想到三指为据，也就是说过凹点做 id 的 垂线。四边形，四边形，凹 h、 d 看就是一个矩形，两个直角变成了三个直角，三直为锯。这样的操作一定要烂熟于心，这个时候我们注意注意，第三的长度为四， 这里的二 h 二 h 和 h 三等于二， 然后 b、 d 的 长度为三， b、 h 的 长度为二，所以 h、 d 的 长度是 一，那么这里的凹开的长度为一，凹开的长度为一。到了这里，应该说思路越来越清晰，看一下， b、 h 的 长度为二， h b 等腰直角三角形，所以这里的凹 b 的 长度二倍的根号二，那么这里的凹 a 的 长度二倍的根号二，凹开的长度为一。 请大家帮老师计算一下，凹 a 的 长度为二倍的根号二， o、 k 的 长度为一，那么 i、 k 的 长度显然就是一个根号七，有固定力，然后看一下， o、 h 等于 b h 等于二， 所以这里的 id 的 长度也是一个二，那么最终 id 的 长度就是一个根号七，加上一个二。第一种方法我们用隐约模型很快的得到了 结论，下面我们给出了另外的四种方法，直接看图谱，刚才的第一种方法的图谱，在这里看一下。第二种方法也是我们经常用到的一种方法。 时间的关系，我们做一个简单的分析，遇到这样的一个角， b i 三 b i 三等于四十五度，然后四十五度角的内部含的一个高，我们叫四十五度含高。 这个时候我们就可以在 id 的 边上取 d、 e 等于这里的 d、 d， 就 造一个等腰直角三角形。同样在 id 的 上面取这里的 d、 f 等于这里的 d 三，就造另一个等腰直角三角形。这样，这样大家发现了吗？ 在 id 的 上面，在直线 id 的 上面出现了一线三等角的变式，看一下这个角四十五度，这个角四十五度，这个角四十 五度。那么黄色的三角形和绿色的三角形相似，然后利用 b、 d 的 长度为三， d 三的长度为 一射叉倒比就可以求出 a、 d 的 长度，请大家自己试一下，应该很简单。 第三种方法应该说很经典，看一下同样角 bsi 四十五度，四十五度角，耐寒的一个高，耐寒的一个高。四十五度角，四十五度角，耐寒 高。我们以这里的 i、 b 为对称轴，把三角形 i、 d、 b 向外翻折，看一下三角形 i、 e、 b 和三角形 i、 d、 b 对 称缺等、反折缺等。同样的道理，三角形 i、 d 三和三角形 f 三对称缺等、反折缺等。这样注意，两次 翻折，四十五度角就变成了它的二倍九十度角。同时 eif 等于九十度角，和这里的 i、 e、 b 九十度， i、 f 三九十度，三值为距，三值为距。所以我们自然想到延长这里的 e、 b 和这里的 f 三组成一个矩形，而且看一下这里的 i、 e 和这里的 f 都和这里的 id 相等，矩形的邻边相等，所以 i、 e、 j、 f 就是 一个正方形， 这个时候我们看一下我们要求的线段 id， 就是 正方形的边长，正方形的边长，我们设这个边长为 x 的 话， 那么 b、 d 等于三，所以这里的 e、 b 等于三，那么这里的 d、 j 就是 一个 x 减三， x 减三，同样这里的 g 三 x 减一，因为 d 三等于 c， f 等于一， 那么 b j 的 平方 x 减三的平方加上 g 三的平方 x 减一的平方就等于 b 三的平方三的平方勾股定律裂发成就可以得到 x 的 长度，也就是 a、 d 的 长度。 看一下第四种方法，也是一个我们没有想到的经典的解体模型，有这里的角 b， i 三等于九十度， 我们竟然想到以角三为公共角构造字母型的相似，也就是延长这里的三 b， 延长 三 b 到一点，连接这里的 i、 e。 注意要使这里的 i、 e、 b 等于四十五度，那么你会怎么做呢？换一种比较好理解的说法， 就是使得这里的这个角等于角三 i、 e， 这样我们就得到了一段子母型的相似的三角形。看一下三角形塞 a， b 相似于三角形塞 e， i 绿色的三角形和黄色的三角形子母形的相似，那么我们设我们要求的线段 id 的 长度为 m， d 三的长度为 e， 所以 就固定了 i 三的长度，就是一个根号下的 m 平方加一，然后字母相似的结论直接用 i 三的平方，也就是根号下的 m 加一的平方，当然就是 m 加一等于 b 三 乘上一个 b e b 三乘上一个 b e b 三当然是四 乘上一个三 e 秃了嘴了，乘上一个三 e， 因为 id 等于 m， 所以 d e 等于 m， 所以 三 e 就是 一个 m 加一。看一下，思路和步骤应该说都很简，变， m 平方加一等于四倍的 m 加一， m 平发加一就是 a 三的平发等于三， b 的 长度为四，乘上一个三 e 的 长度 m 加一。最后第五种方法是一个比较常规的构造， 没有任何的套路，看一下，直接过三点做 i b 的 垂线，过三点做 i b 的 垂线，很直接，那么由这里的 e i 三等于四十五度，所以 i e 三是一个等腰直角三角形， 那么这里的 i e 等于 e 三，所以黄色的三角形大家自己正一下，黄色的三角形和绿色的三角形就缺等。 然后 b 三的长度为四，所以对应的写边 i n 的 啊， i f 的 长度为四，那么要计算 id 的 长度，只需要计算这里的 f d 的 长度，计算 f d 的 长度，设参数设 f d 的 长度为 n， 所以 f d 三直角三角形里边， f d 比上一个 d 三就等于 i d 比上一个 d b。 大家想一下，为什么？因为三角形 i d b 显然相似三角形 c d f， 所以 这里的 n 比上一个一，就等于这里的 id 四加 n 比上一个三， 这样我们解方程就可以得到 n 的 值，最后用 n 的 值加上这里的 f 四就是要求的 id 的 长度。一个经典的 老题，我们给出了五种比较经典的解题思路，在一半几何书里边注意说明，老师就不能说了，这个题目给出了， 给出了，竟然给出了三十九种解题的方法。好了，今天的课就到这，下课再见。

平行线间的翻折问题是平行线倒角里边的最难题型，尤其是这种二次翻折问题，今天微微老师带你用一种方法彻底搞定翻折问题，一起来看。将长方形纸带 abcd 分 别沿 efgf 折叠两次， 这里有一个隐含条件，这是长方形的子弹，而我们知道长方形的两组对边是既相等又平行的。题目中告诉我们，图一中角低一撇， e、 f 等于三十度，这一个角呢，它是三十度， 刚好在上下这一组平行线之间，所以我们可以利用平行线间的内错角，把这个三十度给他内错下来，这样得到角 e、 f、 g 也等于三十度，因此他的零补角呢，自然就是一百五十度。 这个纸片呢，我们给他经历了两次翻折，第一次是沿着 e、 f 折叠的，所以呢，折叠前后的这两部分形状相同，大小相等。 第二次呢，它是沿着 g、 f 折叠的，所以折叠前后的这两部分呢，依然形状相同，大小相等。最后题目要我们去求图二中的角 c、 f、 e 等于多少度。 薇薇老师已经把线段角相交线与平行线的核心考点、考勤分析、目标导航、 思维导图、经典例题和练习以及详细解答过程整理成了线段角相交线与平行线经典 必刷题型。看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份。当我们遇到翻折问题呢，他的核心解析思路就一个，那就是翻折前后的对应角相等。 我们先来看第一次翻折，沿着 e、 f 翻折下来，那翻折前后的这两部分是重合的，其中这个角 e、 f、 c 是 由上边的这个角 e、 f c 一 撇翻折下来的，因此呢，它们是一组翻折角，它们的大小就应该相等，都应该是一百五十度。 而这个角 e、 f c 呢，它包含有一个三十度的角，还有这个角 g f c， 那 么这个角 g f c， 我 们就可以把它求出来，它应该等于一百五十度，减去三十度，也就是一百二十度， 所以这个角呢，是一百二十度。接下来我们来看第二次翻折，它是沿着 g f 翻折的，在这里哎，所以呢，这个角 g、 f c 两撇就被翻折到了上边儿的角 g、 f c， 这是一组反折角，所以它们大小也是相等的。而这个角呢，我们在前边儿已经求出来了，它等于一百二十度，所以这两个角呢，都是一百二十度。题目要我们去求的是图二中的角 c f c， 也就是这一个角，很显然， 它在这个角 g f c 减掉这个角 g、 f e。 在图一当中，我们来看这个角 g f e 呢，它始终是三十度，所以我们要求的这个角 e、 f c 就 应该是一百二十度，减去三十度应该等于九十度，所以这道题的最终答案呢，就应该是九十度。 最后我们来总结一下，当我们遇到这种翻折问题，它的解析核心思路始终牢牢抓住。翻折前后的对应角大小相等，你学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！

这道二五年的中考填空压轴题，当地考生正确率不足百分之一。很多同学啊，看到这么简单的条件，这么简单的图，心里暗自偷笑，却发现读完题只剩了干瞪眼，没有方法， 不管你在草稿纸上怎么摆弄，都无从下手。其实啊，命题人这个题啊，考察的是几何变化，平移对称综合，求最值，别着急，老师，今天啊，就一道题，带你彻底学懂几何变换，求最值，考场遇到直接秒杀！我们来看题， 这个题呢，给的很巧妙哈，它这里说的是 a c 加 cd 是 五啊，就是这一段加这一段是五，然后呢，又给了这一段加这一段是八，然后现在呢？这两个点实际说白了啊，都是动的对吧，求的是 a e 和 b d 相加这两条中间这两条线什么时候有最小值？我天呐，这个题怎么办呀，来跟大家分享一下啊！实际上，大家在初二学全等的时候，我们在学截长补短，大家就应该能意识到啊，我遇到这样的一个条件， a c c d， 你 看 a c c d 这样相加是五， 你要把这个五给他表示出来，必须要干嘛？给他把这一段是给他展开变到这里地撇，对吧？这样的话， a c 加 cd 是 不就很舒服了？能理解，这其实上就是一种什么呀，轴对称思想哎，把它这个三角形对称过来， ok， 同样的道理上面也是一样的啊，就是你现在要求的是这段加这段，我把它对称下去，是变成了这段，就变成了这里，是不是它加它等于八，对吧，而且这里是九十度，就非常好看， ok， 所以 说呢，首先这个题啊，我们第一步要通过对称的思想， 把这个五和八给他表示一下， ok， 来，我画一下啊，把这个三角形呢，给他对称下去，对称到这个地方， e 一 撇。 ok， 那 所以说现在的我们的 b c 加 c， e 就 变成了 b c 加 c e 撇，当然是八，可以吧？就这样一条线啊，当然是八， ok， 与此同时呢，我要把这个造型给它对称过去，是吧？然后呢，这里是 d 一 撇，那我们来标一下啊，就是说原来的 a c 加 cd 就 变成了 a c 加 cd， 撇，当然是五。 各位，现在我们来看到是这样一个图形，这样一根线是五，这样的一根线是八。与此同时呢，你刚才要求的来，各位，你求的是这根线，我现在已经到这里了，对吧？他加上这根线 是他对称过来了，是，他现在求的是他加他什么时候有最小值，能理解了吗？好，这到了我说的第三步，跟大家分享的点，因为图越复杂，很多孩子在考场是越慌越乱的，对不对？所以说呢，我们需要给他抽丝剥茧来，他是我们的 a d 撇， 好吧，然后这个地方呢，是我们的 b 一 撇， ok， 现在求谁啊？求的是各位啊，它加它的最小值，能理解吧？这里是垂直的。好，这个题怎么做到这一步了？ 接下来干什么事情呢？继续给他通过几何变换来做一个操作呀？因为已知这个是八，这个是五，而且这里有个垂直。大家想到了什么呀？我是不是可以把这个五和八给他放在一个直角三角形中，通过再次平移 的思路来，我把五给他平移下来，连接他，大家告诉我这是个什么图形？ a 一 撇， f 一 撇是个什么图形？平四边形。所以说你要求的这个线段就挪到了这里， 能理解吧？然后本来是这个线段加他的最小值，变成了他加他的最小值，你想想，这里可是五，这里是不是也是五， 对吧？这里是垂直，你平移是不是这里平行也是垂直？ ok？ 然后现在变成了啥？各位抽丝剥茧了哈，变成了，已知他是八，他是五，这两个点是什么的？因为你是这个线段平移下来的，这个点是固定的，求这里的最什么值？最小值怎么办？两点之间线段最短， 对吧？因为这里只告诉你五，说白了，其实这个点它是动的，可以吗？所以说八五来根号，求一下啊，八八六十四加上二十五，这答案是根号八十九，因此这些答案是根号八十九， 可以理解吗？好，再来给大家分享一个邪修的方法啊，这个方法呢，需要你对于一定的数感和几何图形有有一些感知啊，他告诉你，他加他是几是八，对不对？大家想想啊， 相当于你扯了两根绳，一根绿绳，一根黄绳，长度是固定的，对吧？现在呢，大家去琢磨，他求的是 a 点到这个绳的距离最小，且 b 点到这个绳的距离绳子，对吧？这个距离最小。那怎么办呢？有没有种可能性啊？是我让这个 e 点往上走一走， a 点呢？往回走一走，这根线变短，或者 d 点往外走一走， b 点往下走一走，什么意思啊？来给大家感受一下。其实很多不等式最值的题都是这样的，就是说他俩是一根绳子，刚好取整的时候就说 a 点和 d 点重合， c 点在这 总共是五，我把这个点和他拉在一起，蹬在一起，这里是几？是二分之五。能理解，然后一样的方法啊，你把这根绳和这根绳给他蹬在一起。好，这根绳子这里是几呢？总共是八，那这里是不就是四，对吧？就相当于是 b 点和 e 点重合了， 可以吧？然后你再看你求啥？你求的是 a， e 就是 a 点和 e 点一拉，加上什么， b 点和 d 点也一拉，是不？这根线算两次，这里是直角。来求一下，两倍的根号下它的平方是四分之二十五，加上它的平方是十六，十六的话就是四分之六十四。 答案是两倍的根号下这里是几二，呃，这里出来是两倍的四，出来是二，这里是八十九。看到了没？答案也是八十九。好，这个是谐修的方法，但是这个是实实在在的几何变换。各位，这个题一题多解，你学会了吗？评论区告诉我。

中考数学复习关注我，持续更新勾股定理解题方法六、利用勾股定理解决放折问题的方法解决放折问题时，关键是要弄清楚放折前后的边角与已知的边角的对应关系。 在放折问题当中，往往会有全的三角形出现，尤其是在求边的长度时，常常利用勾股定理解题解，必要的时候被反转。 例如，如图一个矩形 a、 b、 c、 d， 我 们折叠矩形 a、 b、 c 的 一边， bc 是 点， b 落在了 a、 d 边上的点 f 处，已知 ab 等于三， bc 等于五。求 e、 f 的 长最大的距离。 好，我们看一下解的方法。解由题，由于三角形 e、 f、 c 与 e、 b、 c 是 方折过去的，所以就有 r、 t。 三角形 f、 e、 c 全等于 r、 t。 三角形 b、 e、 c， 所以 可得对应边相 等 e、 f、 f、 c 就 等于 bc 等于五。在 r、 t。 三角形 c、 d、 f 中， 我们有 d、 f 直角边等于根号下斜边 f、 c 方减去 d， c 方，就等于根号下 f、 c 方减去 ab 方，代入根号下五平方减三，平方结构为四， 所以 a、 f 这一段就等于 a， d 减去 d， f 等于 b， c 减去 d， f 等于五，减四等于一。在 r、 t 三角形 a、 e、 f 中，我们设 e、 f 为 x， 则油全点三角形可以得到 e、 b 就 等于 x， 所以 a、 e 就 等于 ab 减 e、 b 等于三减 x。 在 r、 g。 三角形 a、 e、 f 中， a、 e 的 平方加上 e、 f 平方就等于 e、 f 方， 代入就可以得到三减 x。 括号的平方加上 e 的 平方等于 x 的 平方，最终解得 x 等于三分之五，即 e、 f 等于三分之五。