七上数学双中点还有双角的模型咋做

动点问题和动角问题呢，是我们初一上学期期末考试的压轴题的考点，之前呢给大家讲过双中点问题，用到的方法是我们的去重留半，那么今天呢，给大家讲的是这个双角分线问题啊，已知 o c 为一条射线，那么在我们的第一种情况里边啊，如图， 射线 o c， 它是位于我们的角 a o b 的 内部，现在有一个 oc， 并且呢我们的 o m 和 o c 的 角平分线 o m 把 a o c 这个角平分了， o n 呢，把我们的 b o c 这个角平分了。那么现在我们由这个图可以得到双角分线模型里边的一个结论，就是 当这个在内部的时候，可以得到 m o n， 这个角是等于二分之一的角 a o b 的 啊，等于整个这个角的一半。 那么在这个地方呢，我们需要简单的来证明一下，对于这个图呢，其实还比较好证明，那么具体的方法是什么呢？我们在这依然是要用到我们之前提到的，先去找一找他们有没有公共的字母， 有没有发现 o m o n 分 别是 a o c， b o c 的 平分线，是不是都有我们这个 c？ 所以 你在表示这个角 m o n 的 时候，要从这个公共的字母出发去表示啊，这样比较好表示。 呃，也就是说我们的角 m o n， 它应该等于角 c o m 再加上一个角 c o n， 好 的， c o m 加上我们的 c o n， 是 不是就等于我们的 m o n 了？其实 m o n 有 很多其他的表示方法，比如说我们的 a o n 减去 a o m， b o m 减 b o n 等等等等，但是不要这样去表示它不太好把这个过程呈现出来啊，我们都是从这个 相同的那个字母出发去表示这个角啊，相同的字母是 c， 所以 从 c 出发， c o m 加 c o n， 那 剩下来的，那我们就需要来进行一个转换了， 我们的 c o m 是 不是应该是 a o c 的 一半？因为在这个图中刚刚说过 o m 是 个角平分线，所以这两个角我们应该是相等的，对吧？所以可以把我们的 c o m 转换成二分之一的角 a o c， 然后 c o n 呢？它请注意 它是不是应该是我们二分之一的角 boc， 因为它是我们 boc 的 角平分线，对吧？那我们在这再加上一个二分之一的角 boc， 剩下来的呢？就是把这个二分之一提出来，那我提出一个二分之一，剩下的是不是角 aoc 加上一个角 boc， 那 a o c 加 b o c 是 什么呢？来看一下这个图， a o c 加 b o c 是 不是就是我们的 a o b 了？那直接可以得出我们这个呢是等于二分之一的角 a o b m o n 等于二分之一的角 a o b。 第一种情况呢， 我们就已经处理完了，其实这种情况是比较好理解的，哎，一部分是等于上边的一半，一部分是等于下边的一半，那么他们俩加起来是不是就是整个的一半？那下边呢？我们再来看一下第二种情， 好，我们的第二种情况是当射线 o c 位于角 a o b 的 外部的时候，哎，请注意，这次 o c 跑到外边去了，但是已知的条件没有变，我们的 o m 呢？它还是 a o c 的 角平分线， o n 呢？也还是 b o c 的 平分线 啊？得到的结论也没有变啊，我们的角 m o n 依然等于我们 a o b 的 一半。这次呢，我们跟刚刚的做法一样，因为它们公共的字母还是 c。 我 去表示这个 m o n 的 时候，依然是要从 c 出发， 于是这一次我们是角 m o n， 它应该等于我们的角从 c 出发。你是不是 c o m 减去 c o n， 对 吧？我们刚刚是 c o m 加 c o n 啊，这次是 c o m 减去角 c o n 好 的，然后剩下来的又是转换 c o m， 它是什么呢？它是不是 a o c 的 一半？因为 o m 平分 a o c， 对 吧？所以这个地方是我们的二分之一的角 a o c 减去 c o n 应该是我们的 b o c 的 一半，对吧？ o n 平分 b o c 啊，所以我们在这儿减去二分之一的角 b o c， 又是把我们的二分之一提出来，剩下的是我们的角 aoc 减去角 boc。 aoc 减 boc 是 什么呢？ aoc 减 boc 是 不是 aob 啊？那我们这儿就可以得到，它就等于二分之一的角 aob。 有没有发现我们的结论没有变， m o n 依然是等于我们的二分之一的角 a o b 的。 那把这种情况讲完了，你有没有什么新的想法呢？其实我们在这还需要进行分类讨论， 原因是他说射线 o c 位于角 a o b 的 外部，我这一次这个 o c 是 不是在这个 a o b 的 这个左上方，也就是 o b 的 左边，对吧？ 我 o c 也有可能是在 o a 的 右边，因为除了在 a o b 的 内部以外，它有可能在那边，也有可能在这边，那我们再来把这种情况呢， 也来考虑一下。好，对于我们的第三种情况，我们这次呢， o c 跑到这个 o a 的 下方来了，已知条件依然没有变啊，我们又要去表示这个角 m o n， 对 吧？ m o n 又要注意，还是从我们的 c 出发啊。 那这一次我们表示 m o n 的 时候，是不是 c o n 减去 c o m 了，对吧？刚刚那种情况是 c o n 减去一个角 c o m。 好 的， c o n 是 不是应该是我们 b o c 的 一半，来把这个东西转换成二分之一的角 b o c。 那 c o m 呢？是我们的 a o c 的 一半，减去二分之一的角 a o c。 好， 那就是我们的二分之一的角 b o c 减去角 a o c。 你 的 b o c 减 a o c 是 什么呢？ b o c 减 a o c， 是 不是 a o b， 那 依然可以得到我们这个地方是二分之一的角 a o b。 有 没有发现我们讨论的目前的三种情况啊， 得出来的这个结论都是一样的，我们的这个两个角平分线的加角始终都是等于 a o b 的 一半，它很像我们双中点。问题里边的什么呢？ 去重留半啊，我们在这还是可以来去重留半。看过我之前的那个视频的应该都知道什么是去重留半，对吧？ 我们在这看一看我们的 o m o n 分 别是哪个的角平分线，有没有发现有 a o c 和 b o c， 其中这个 o 呢，是我们这里边所有角的顶点，它呢你就不用考虑了啊，你关键要看一下我们剩下的字母 有没有发现有 a、 有 c、 有 b、 有 c 去重，那我就应该去把这个重复的字母去掉，是不是就把这个 c 去掉，那你剩下来的还有什么呢？是不还剩下 a 和 b 啊？顶点又是我们的 o 点， 所以我们剩下来的是不是就是 a o b 了，对吧？那留半的话，它就是二分之一的 a o b， 跟我们双钟点模型里边得到的结论一样，但是啊，我不知道有多少人能坚持听到。现在说啊，你把一个结论挣三遍干什么？是吧？ 我们的精华不在于此，精华在我接下来的内容啊，请注意，我一直在说我们的冻脚问题会比冻点问题更复杂，如果是在冻点问题里边的双中点问题，直接去虫留瓣就结束了。但是在冻脚问题里边，他还有一种情况啊， 这种情况长什么样呢？我们一块来看一下啊。好，我们现在来看一下这种情况。这次我们的 o c 跑到这，然后我们的 o m 平分 a o c， 然后 o n 呢？平分我们的 b o c。 有 没有发现，这次我们的 m o n， 它不可能等于 a o b 的 一半，对吧？这次 m o n 都比我们的 a o b 要大了，这个时候 我们再去推导一下，又能得到一个什么结论呢？叫做一百八十减二分之一的角 a o b 啊。推导的方法其实跟刚才一样，我们要去表示这个角 m o n 的 时候，应该 怎么来表示？依然要从它们公共的字母出发，是不是从 c 出发，对吧？ a o c 的 角平分线， b o c 的 平分线，那应该是我们的 c o m 加 c o n 吧，对吧？它等于角 c o m 加上角 c o n， 而我们的 c o m 又等于二分之一的角 a o c c o n 呢，是二分之一的角 b o c。 那 我提个二分之一出来，有没有发现，这次是我们的 a o c 加上一个角 b o c， 但是 a o c 加 b o c， 有 没有发现它不是我们的 a o b 了？ 所以我们的 a o c 加 b o c， 这次是三百六十度减去一个角 a o b， 那 我们在这写一下啊，等于二分之一乘上一个三百六十度减去角 a o b 啊。 呃，二分之一乘上三百六呢，是我们的一百八十，然后减去二分之一的角 a o b。 这样我是不是就把这个结论也给大家推导出来了？所以在双角分线问题里边，它会多出来一种情况，请注意啊， 我们在这儿如果是把 b o 延长，把我们的 a o 延长，它把我们这个平面呢，分成了四个部分啊，哪四个部分呢？第一部分是在角 a o b 的 内部， 第二部分是在这，然后第三部分呢，是在这个地方啊。呃，我干脆在这再来标个 e， 在 这标个 f 吧。第二部分指的是在 b o f 内部，第三部分指的是在 a o e 的 内部。那么第四部分是我们的 e、 o f 这一部分。 这四个区域里边，如果我们的 o c 是 在第一个区域，第二个区域和第三个区域的时候， 得到的结论都是，我们的角 m o n 等于二分之一的角 a o b， 那 这个就可以直接去重留半了。但是当它落到第四个区域，也就是我们 a o b 的 这个对顶角的这个区域的时候， 我们得到的结论是一百八十减去二分之一的角 a o b。 所以 同学们在做这种题的时候，分类讨论一定要全，我们其实有四种情况，但是呢，最终是有两个结论的，因为在一二三这个区域里边得到的结论是相同的，这个同学们都掌握了吗？那我们今天就讲到这里。

大家好，这个视频给大家讲一讲啊，我们七年级上学期的双角平行模型，这个模型有点难度的啊，这个模型跟我们的双中点模型非常的相似。我们先看题目啊， o m 和 o n 分 别平分角 a， o c 和角 b o c。 那这里面要注意啊，典型的双角平面模型，被平分的这两个角一定会有一个公共边的，这个公共边可关键了，它要承担起 o m 和 o n 交流的一个桥梁啊，所以我的 o m 要跟 o c 组成一个角 m， o c， 还有我的 o n 要跟我的 o c 组成一个角， n， o c。 如果说 o m 和 o n 在 o c 的 两侧，那就相加，把 m， o c 和 o c 相加，如果 o m 和 o n 啊，都往一侧歪，往 o c 的 一侧歪，那就用这个 m， o c 和 n o c 的 两个角相减。 好，那接着我们看一下图，我们预先来看一下这个图文分几种情况来讨论 啊。好，来，你看啊， o c 在 这个角右边的时候，肯定是一种情况，对不对？好，接着跑到这来的时候又是一种情况，这跟我们的线段说跑到延长线上去了很像， 但是大家一定要注意啊，来看，一旦越过这个边，发现没，那个 o n 突然发生了变化，知道为什么吗？ 本来是平分下面这个角的，但是我的 o c 一下子跑到这来了，哎，你要平分下面这个角了，所以呢， o b 的 反向延长线也是一个 分类的一个依据啊。好，同样到跑到这来， o m 也凸变了，是吧？所以呢，当 o c 在 o a 和 o b 反向延长线中间夹着的时候，也是要注意啊，这是跟线段不同的地方，好跑到这来，是吧？要跟你讨论一下，所以总的来说，我们就分四种情况， 一种、两种，三种，四种啊！第四种难度大一些，我放到最后来说，好，来四种之前呢，我们先都说一个公共可以扔的，也就是说，因为 o m o n 分 别平分角 a、 o c 和角 b o c， 所以 o m 和 o c 组成的角 m o c 等于二分之一角 a o c 啊，还有 o n 和 o c 组成的夹角 n o c 等于二分之一角 b o c ok。 来看第一种情况，好，这字比较多啊，我的口述我就不写了哈，就是当 o c 在 角 a o b 类布的时候， 那这个时候看图就知道 o m 和 o n 在 o c 的 两侧，所以 o c 怎么把它们联系起来的，对吧？角 m o n 就 等于角 m o c 加角 n o c 了，就等于可能再换一下二分之一角 a o c 加二分之一角 b o c。 那 大家都知道 a o c 加 b o c， 你 看就知道吗？是不是等于角 a o b 对 不对？所以就是二分之一角 a o b。 好， 这是第一种情况，那第二种情况，当我的 o c 跑到了这儿来的时候，也就是说当 o c 落到了 o a 与 o b 反向延长线的夹角中间的时候，好来换一个颜色。那这个时候看一看，我们的 o m 和 o n， 它是在 o c 的 同侧的，所以呢，角 m o n， 它就等于大的这个 n o c n o c 减小的 m o c 啊，减角 m o c ok， 然后又不用看图了，二分之一角 b o c 减二分之一角 a o c。 那 大家看一看， b o c 减 a o c 是 不是依然是角 a o b 啊？等于二分之一角 a o b， ok， 来，第三种情况啊，我说这个，我最后说啊，来，我们，哎呀，我要把我们 c 给拖一拖， 好，来，这儿来，好，来。第三种情况，就是看这 o m 和 o n 还是在 o c 的 同侧，这个时候 o m 跑得远一些，对吧？所以讲 m o n 就 等于讲 m o c 减 角 n o c 就 等于二分之一角 a o c 减二分之一角 b o c， ok， 还是等于二分之一角 a o b 啦，所以这三 种情况都能得到角 m o n 等于二分之一角 a o b。 来，接着我们研究一下最后一种情况， 这个时候大家瞅一瞅啊， o m 和 o n 分 别在 o c 的 两侧，所以这个时候啊，我们得到的第四种情况啊，就是当 o c 在 o a 的 反向连成线和 o b 的 反向连成线之间的时候，那角 m o n 就 等 角 m o c 加角 n o c。 好， 然后大家再换一下，二分之一角 a o c， 二分之一角 b o c。 问题来了，这个时候我们看一看，我的 a o c 加我的 b o。 来来来，如果看不清的话，给大家描一描， a o c 加我的 b o c 还等于 a o b 吗？ 不对了，对吧？不对了，那它跟 a o b 有 啥关系嘞？看见没，这个整圈对不对？所以仍然是有关系的，那就是二分之一 一个圆周角减角 a o b， 所以 虽然这个时候它不相等，不等于二分之一角 a o b， 但是它等于一百八十度减二分之一角 a o b 啊，所以说，你看啊，我的双角的线模型还是有点小复杂的啊， 当我遇到了双角对称模型的时候，那你就知道了，角 m o n 要么等于二分之一小于 o b， 要么等于一百八十度减二分之一小于 o b。 ok， 这个视频我们就讲到这里。

这个题他已经给你画图了，对吧？并且提到当中的如图怎么样，也就是咱要参照这个图去做题，你就不会出现合理讨论的这种情况了。如果他没给图，你要自己画图的话， 那咱就要分情况就算啊，但是他们之间的数量关系是不变的。那么第一问，他说，如图点 c 在 线段 ab 上， ac 呢？长度等于六， bc 长度等于四 点， m 和点 n 分 别是 a、 c、 b、 c 的 中点。问你 m、 n 的 长度好求吧，因为 m 是 a、 c 的 中点，所以 m、 c 的 长度是 a c 的 一半，也就是三点。 n 是 bc 的 中点，那么 c、 n 的 长度就等于 bc 的 一半，等于 二，所以 m、 n 的 长度就等于五厘米。因为题干当中代单位了，要写五厘米，那你再来看第二个，他说如果 a、 c 的 长度是 a 厘米， b、 c 的 长度是 b 厘米，也就说他把这个实数给你换成了一个代数，那你还能不能表示它的长度能等于多少呢？二分之 a 加 b 啊， 后边还有啊，单位。那你再看，他说让你用一句简洁的话去减数，你找到的规律，我们怎么去说这句话？二、 m n 等于 a b 规律啊， 你的 m、 n 是 啥？ ab 是 啥？你是不是得说出来了？直线上相邻两线段中点间的距离 为两线段长度和那一半。哎，就是说从这条直线上我们截取两条线段，一条线段是 a c， 一 条线段是 b、 c， 并且这两条线段还是相邻的， 相邻的时候他就能连在一起。啊啊，就这个意思啊，相邻两条线段中点间的距离，找到两条线段，分别找到他们的中点，这两个中点之间的距离就等于这两个线段长度和的一半，是不是代表的？对啊，就这句话，你要知道这句话它是怎么来的，它表述的是什么意思啊？

那你再来看这个题哈，他说角 c 是 线段 a b 上的任意一点 m、 n 分 别是 a m 和 b c 的 中点，问你 m a 和 ab 会有什么关系呢？你猜一下，比如说 m n 等于二分之一的 ab， 猜了哈，你是不是一猜就猜出来了？那你来看这个地方， ab 这条线，我们把它从中间给它截开，但是 c 在 哪？随便 任意走一点点 c， 然后呢？ m 这个点是 a c 的 一半，也就说这一段就等于二分之一的 a c n 这个点呢，是 bc 的 终点，也就说 c n 这段就等于二分之一的 bc， 它让我们是不是求 m n 的 长度呀？那么 m n 的 长度就等于 m c 加上 c n 加上二分之一的 bc， ac 等于谁？是不是正好等于 ab， 它就等于二分之一的 ab， 对吧？但是这个 c 啊，它是任意一点，那我有没有其他的画法？你想一想，如果说我把 c 换成它是在直线 a b 上的话， 它直线 a b 上的任意一点，这个结论还能否成立？刚才我强调的是它在线段上，对吧？如果它在直线上，是不是直线是两到五线延伸的，那可能在 a b 线段呢？左侧有可能去它的延长线上。 那你想这个结论还成立吗？成立吗？成立的。你来看看它，当这个点 c， 它在 a b 之间的时候，是不是就刚才咱画的那个，它在跟在线段上是一样的， 它是不是成立的？那我们去看，当点 c 在 a b 的 左边的时候，我们仍然是按照要求点 m 是 a c 的 中点。好，这里是 m， 我 把它画成一点，然后呢，这个点 n 是 bc 的 中点， bc 此时是不是就变成这条线段了？ bc 的 中点大概在 这里，是 n， 然后让你求 m n 和 ab 的 数量关系变了吗？没有。中间我们是不是还是去用它们之间的那个等量关系去进行导啊？ 能导出来吗？咱一个一个来哈。点 m 是 ac 的 终点，那也就是说 am 就 等于二分之一的 ac， 然后点 n 是 ab 的 终点，也就是说， b n 就 等于二分之一的 dc， m n 的 这个距离就等于 c n 减 c m， 然后你的 c n 就 等于二分之一的 b c c m 就 等于二分之一的 a c， 然后二分之一的括号里的 b c 减 a c b c 减去这个 a c 是 不是也等于 ab 啊？它是不是等于二分之一的 ab？ 我 们是不是得到了 m n 和 ab 的 关系？嗯，那你再来看一下点第三个，我们怎么去导呢？当点 c 在 它右侧的时候，假设在这里， 那 a c 的 终点 a c 是 不是变长了？ a c 的 终点是不是在这儿？ b c 的 终点大概在这个位置，然后此时此时我们要去求 m n 的 距离， m n 的 距离就等于 c m 减去减 c n 减 c n， 然后 c m 就 等于二分之一的 a c c n 就 等于二分之一的 bc， 那 它就等于二分之一的 a c 减 bc， a c 减 bc 是 乘以 ab 是 不是也等于二分之一 ab 啊？所以 m n 仍然等于二分之一的 ab， 是 不是？这个式子，不管点 c 是 在直线 ab 上，还是在线段 ab 上，这个数量关系是不是都是成立的呀？

线段， ab 上有一个点 c 啊， ab 上有个点 c， 点 m 是 a c 的 中点，我说了我一定会在上面去标东西哦。点 m 是 a c 的 中点，点 n 是 bc 的 中点，然后这有个圈圈，是吧？ 题目，现在问 m n 与 ab 有 什么样的数量关系？ m n 与 ab 你 自己能看出来，我这么问一下，就 ab 是 m n 的 几倍， 我说你这个图的感知比较好，你都能看出来 ab 是 m n 的 几倍，二倍吧，对吧？因为你的 m n 是 一个点加一个圈， 然后你的 ab 是 不是两个点加两个圈，其实我在这是用圈和点表示的，你明白本质上跟 x y 一个意思吗？ 对吧？这不就是 x x y y 吗？对吧？ x x， 然后这是 y， 这也是 y， 是 吧？你要设参数的话，是不是这样？我们的 m n 是 不是 x 加 y 啊？然后我的 ab 是 不是二 x 加二 y， 所以 是不是有个二倍的关系？我们的 m n 应该等于 ab 的 一半 啊。你这个 m c 是 左边的一半，你的 c n 是 右边的一半，那加起来是不是整个的一半，是吧？整个的一半。下边也给你推导了一下啊，证明啊，在这这几个符号认识吗？因为，所以啊， 因为是个倒三角，所以是个正三角啊。因为 m 是 a c 的 中点， n 是 bc 的 中点，这是已知，所以 mc 等于二分之一的 a c 啊。 n c 等于二分之一的 bc 没有问题吧？ mc 等于二分之一的 a c， nc 等于二分之一的 bc。 呃，因为 m n 等于 mc 加 mc， 所以 m n 等于二分之一的 ac 加二分之 b c。 那 就是在这照抄了一下，把这个 mc 换成了二分之一的 ac， 把 mc 换成了二分之一。提出来了， 提个二分之一，那叫二分之一的括号 ac 加 bc， 而 ac 加 bc 加 bc 是 不是等于 ab 的， 对吧？它就等于二分之一的 ab 了啊，等于二分之 ab。 结论， m n 等于二分之 a b。 好 的，然后呢几个问题我来给大家说一下啊。第一个 就是每次我们要去表示这样的一些线呢，它往往跟终点有关啊，我们要去表示这个两个终点之间的距离的时候啊，两个终点之间的距离的时候， 你有很多种表示方式啊，有很多种表示方式，你比如说我要求 m n 的 话，它在这是 c m 加 c n 的， 对吧？ 是吧？它是 m c 加 c c m 加 c n， 你 明白你也可以 a n 减去 a m 吗？你也可以 b m 减去 b n， 你 还可以用整个的这个减 a m 减 b n， 你 有非常多的表述方式。但是这里边最简单的一个 啊，我告诉你是怎么来的啊？最简单的一个，你首先要看一下他们都分别是谁的中点啊？你首先看下分别是谁中，一个是 a c 的 中点，一个是 b c 的 中点。在这里边如果出现了公共的字母啊，那公共的字母是不是就是 c， 对吧？公共的字母就是 c， 有 公共字母的时候，就从公共字母那出发去表示这个线段的长度，所以把它表示成了 c m 加 c n， 它选择的是 c m 加 c n 这一个， 这是一个小技巧，这样不容易乱，而且是最容易表示的，因为这两个东西一定能够表示成二分之一的，谁加二分之一谁 清楚了吗？你不知道我怎么来表示这个线段的长度哦，我有这么多拆法，我用哪个来拆呢？找一下公共字母啊。找一下公共字母，然后从公共字母哪来拆解哦？我一定要从 c 出发来表示 m n， 那 就是 c m 加 c n， 这是我说的第一个啊。第二个。 这种题其实会有一个结论，就一个是 a， c 的 终点，对吧？你 m 是 a， c 的 终点， n 是 bc 的 终点，对吧？ n 是 bc 的 终点。每次在这里面都会出现一个重复的字母，我们把这个重复的字母去掉， 剩下来的两个字母组成的线段的一半，就是两个终点之间的距离了。这个方法去重留半 啊，顾名思义，去重就是把这个重叠的字母去掉，剩下来的两个字母组成的线段的一半，就是两个中点之间的距离啊，就两个中，所以它等于二分之一的 a b 了。有。

初中数学精讲双中点模型这个视频，咱来讲讲线段计算中的双中点问题。这是线段计算的最后一关，当然也是最难的一个，还不快去换个神清气爽的造型，好好听讲 双中点模型说的是这样一个故事，已知线段 a， b， c 为线段， a、 b 上任意点。有一个线段 a， b， 在 线段上任取一点 c， m 为 a， c 中点， n 为 bc 中点，然后找到 a， c 中点 m， 还有 bc 中点 n， a b 等于八，求 m n 是 多少，然后把八标在图上，求的是 m n 啊。哦， c 是 任意点，在哪你都不知道，咋求呀？ 别急，要淡定，既然 c 是 任意点，不妨换个位置，往左一点， m 点会跟着往左，而 n 点也会跟着往左，好像 m n 的 长度没有变呀，这是为啥呢？ 因为 m n 等于 m c 加上 c n， 而由 m 和 n 的 中点特性可以知道， m c 等于 m， a， c n 也等于 n b。 哎，这么看来， m n 不 就是 a b 的 一半吗？ 写成算式就是 m n 等于 m c 加上 c n， m 是 中点，那它就是 a c 的 一半，也就是二分之 a， c， n 也是中点，那这段就是 c b 的 一半，也就是二分之 c b， 两者相加就是二分之 c b， 而 a b 加 c b 就是 ab， 那 m n 就是 ab 的 一半了。 这个关系式可是嗷嗷好用，你可得记牢， m n 等于 ab 的 一半哦！现在题目给了 ab 的 长度是八，那 m n 就是 八的一半，得四了。如果反过来告诉你 m n 等于四，那 ab 自然就是四的两倍，等于八。 看来条件改来改去不重要，反正模型还是它 m n 等于 ab 的 一半。好了，这就是双中点模型的一半了。 为什么说是一半呢？因为在这个图中，点 c 在 线段 a、 b 上活动空间有限。如果我把点 c 拿出来，那又该咋求呢？现在除了 c 在 a b 的 延长线上，其他条件都没变，还是原来的线段 a b m 依然是 a c 终点 n 依然是 b c 终点 a b 还是八 m n 还是要求的线段， 那答案还是 a b 的 一半吗？恭喜你，答对了，可这是为啥呢？别急，且待为师慢慢说。 根据中点的性质， m 是 a c 的 中点，那 am 就 等于 mc 都是 a c 的 一半， n 是 bc 的 中点，那 b n 就 等于 n， c 都是 bc 的 一半。条件都标完了，你要求的是 m n， 不 妨看看它怎么表示。仔细观察一下，不难发现， m n 正好就是这段，减去这段 写成算式就是二分之 a c 减二分之 bc， 减一下 m n 就是 a c 与 bc 差的一半。嘿嘿，线段 a c 减去线段 bc 不 正好是 ab 吗？ 那 m n 就 等于二分之 ab 了。你看，确实跟刚才一样吧。看来无论 c 在 什么位置， m n 都是 ab 的 一半。牢记这个式子，你就可以算数了。题目说 ab 还是八，那 m n 就 还是四。同样的，告诉你， m n 是 四，你一样可以推出 ab 是 八。 好了，一起总结一下。双重点模型有两种情况，一种是点 c 在 线段 a b 上，此时 a c 中点 m 与 b c 中点 n 的 连线恰好就是 a b 的 一半。 另一种是点 c 在 线段 a b 的 延长线上，虽然 c 点出去了，但 a c 中点 m 和 b c 中点 n 的 连线还是 a b 的 一半。 看来，不管 c 在 哪两个终点，连线 m n 都等于二分之 a b， 这就是终点，终点得一半的故事了，快去做题吧，亲子记得点赞关注哦！

同学们好，我们来看一道双中点模型相关的题啊，这道题呢，是我们去年青羊区的一道期末考试题，如图， m， n 分 别是线段， abcd 的 中点， m 作为 ab 的 中点就有 am 等于 bm， 两条蓝色的线段长相等， n 作为 c 大 的中点就有 c， n 等于大 n 两条绿色的线段长相等， 其中它告诉你 a 大 的长度是二十，哪条线段长啊？ a 大， 总长度是二十， bc 等于十二， bc 的 长度是十二，让你求 m， n 的 值是多少？ m， n 是 两条中点的连线，它的线段长，我们是不是就可以直接去套结论了呀？是吧？ m， n 等于二分之一倍的，这两条线段哪两条呢？ a 大 和 b， c 因为蓝色部分和绿色部分是有覆盖的，所以说我们是不是套结论应该是做差呀？ a 大 减 b， c 的 绝对值等于二分之一倍的多少呢？应该是二十减十二的绝对值等于二，十减十二是八除二，结果等于四。 好，那同学们如果对我们这个双中点模型的结论有疑问的话，你可以把这个问题打在我们的评论区，老师看到会做出解答。

沈老师一讲，豁然开朗，有两队人马打成一团，如何快速区分？请穿上红衣服与绿衣服，在角度里边就是射双餐。第六，射双餐。 什么情况下设双餐？往往是因为未知的角太多，而且你大概能分为两组角啊，这之间很复杂，不好表示，所以我想要设两种未知数。好，以这个题为例啊，如图，从点 o 引出来六条射线，这个线很多了， 且 a、 o、 b 是 八十五度。好，先标了，这是个单独的角，八十五度， e、 o、 f 这个角就比较大了，大的角我们标往外标是一百五十五度， 然后给了 o、 e、 o、 f 是 两根角平分线， o e 平分 a、 o、 d 在 这， o、 f 平分 b， o、 c 在 这。 没了，让我们求 cod， 你 看这个数，这两个相等的角不知道，这两个呢，也不知道。中间这个 cod 呢？也不知道，那不知道的太多，而且整个转一圈三百六，这种感觉，所以我想到去设餐， 而且一设它们两个，你发现你光设了 x， 你 影响不了这儿，因为你这个 c、 o、 d 也不知道，搞不过去，所以我把它们俩也设作 y， 那 这个时候角 c、 o、 d 就 出来了，那 c、 o、 d 不 就是一百五十五减 x 减 y 吗？对吧？而且我还得到啥， 整个一圈三百六，因为只有三百六才能把这个八十五，一百五十五用起来。一圈三百六，它等于啥呢？是一百五十五加 x 加 y 加八十五，我写在这啊，幺五五加 x 加 y， 再加八十五，整个这一圈等于三百六，这个时候谁出来了？ x 加 y 出来等于一百二， 那够了，那 c、 o、 d 你 刚好是一百五十五减 x 减个 y， 也就是说角 c、 o、 d 等于一百五十五度，减 x 减 y 不 就是一百五十五减一百二等于三十五吗？ 所以我实现什么效果？第一，我设两个差，第二，我用上了整体思想。啥叫整体思想？就是我并不需要算出来 x 是 多少， y 是 多少， 他们俩具体多少你算不出来的，但是这个整体的和是一百二是确定的。好，下面我来写一下格式啊。 由于我们是从平分开始的，两组平分又是同样的属性，所以可以同时写出来，不用分开写啊。因为 o、 u、 f 分 别平分这两个角，所以好注意省个事，不要只写了相等，只写相等，你一会还得再设一遍。把相等和设同时写， 直接设两个相等的 v x， 另外两个相等为 y， 然后下一步干嘛呢？不着急求 cod 啊，因为 cod 最后算是用了一个三百六，从图上得到三百六，直接写等量关系。 因为 a o b 转圈加 a， o e 加 b， o f 加 e， o f 等于三百六从图上得到的等量关系，所以代入就把 x 和 y 的 方程给列出来了，那自然就得到 x 加 y 等于一百二十度了。最后一步 角 c、 o d 就 出来了啊，还是一样把等量关系写出来，等于角 e o f 减 角 d o e 减角 c o f， 也就是一百五十五度，减 x 减 y， 自然就等于三十五度了啊。所以总结，什么时候考虑到射双参两个字母？就是当你射完它们俩之后，你发现 你这个角不知道这两个，你更不知道你很难搞的时候，我干脆是设两个， ok， 当然这个题设一个也行啊，但我觉得不够简洁，我试一下啊，你比如说这是 x， 设完 x 之后，我直接用三百六减八十五减它，减它，然后把它用 x 表示出来也可以，它多少呢？ 你算出来应该也是一百二十减 x 也行，那这边也是一百二减 x， 那 这也能出来， ok， 但我个人喜欢吃两餐，舒服快。第二题， b o c 在 角 a o b 外部 a o c 和 b o c 互为补角啊，这个条件你暂时不好用啊，因为 a o c b o c 啥都不知道啊。 然后 o d 平分 a， 我 先把平分给划， o d 平分 a o c o e 平分 b o c。 注意，大的这个关系往外划，小的往里边划，这样错开啊， 好，没条件了。下面看两个问题啊，哎，你会发现，第一小问是等于百度让你求 d o e， 第二小问等于 n 度，也让你求 d o e， 说明这个 d o e 和这个 a o b 啊，之间一定有关系的。 ok， 好， 回到这个图上啊，我先把这个相同给用上，那啥都不知道，我肯定选射 x x 啊，对吧？而且这个 b o d 也不知道，因为他不知道你这个大小就没法表示，所以我再设一个， 我再设一个，这不就都能表出来了吗？这一半 c o d 就 变成了二 x 加 y， 那 a o d 也是二 x 加 y， ok， 然后你看第一问的条件，如果 a o b 一 百度，那角 a o b 等于啥？根据我的色差， 那不就是二 x 加二 y 吗？二 x 加二 y 等于一百度，那 x 加 y 不 就等于五十吗？ 然后你会发现，哎，直接出来了， d o e 不 就是一个 s 一个 y 吗？那角 d o e 就 等于 x 加 y 等于五十度，非常舒服就出来了。 那第二位你有了第一位的铺垫，第二位其实没变化，就这个题，你甚至把第一位位不做，直接干第二位，把 a、 o b 换成 n， 但是你这个差的关系没有变啊。二 x 加二， y 等于 n 度，那 x 加 y 不 就等于二分之 n 度吗？那 d o e 一样的出来，还是 x 加 y， 因为图没变，就等于二分之 n 度结束。当然这个题这句话他没用上啊，不影响，反正我能做出来，用它呢？其实能把 x y 给算出来。第一问啊，能，其实能算出来，这是没必要了，我已经算出来设两个三，非常舒服了。 第三题，如图， a o b 一 百二十度啊，你从这个图上你能看到它是一个，整个三百六十度， 也比较舒服。然后来了 d o f 是 三分之一 a o d， 这是 d o f 这个数， a o d 我 就不要标了，我标谁呢？我标 a o f， 它们俩是一个一比二的关系，因为 d、 o f 占三分之一嘛，那么 a o f 就 占三分之二，还有 bo e 是 bo c 的 三分之一。类似啊， bo e 是 一份，那么 c o e 就 得占另外的两份。你可以标这样两个线做个标记啊， 然后求 a o f 加上 c o e。 如果你的分数计算比较好，你其实也能口算出来啊，但不好写格式。咱们干嘛呢？用设参 设，他是 x， 那 他就是二 x， ok， 你 可以用一个差，你比如说三百六减其他一堆，然后呢，除以三这一份，这是两份。那我更喜欢设两个差， y， 这是二 y， 这样一标等量关系非常明显的，整个一圈是三百六十度，那也就是 三 x 加上三 y， 再加六十，再加一百二，等于三百六了，那口算都出来了， x 加 y 等于 六十度，那 a o f 刚好多少？二 x 角 a o f 加上角 c o e 是 等于二 x 加二 y， 那 不就是一百二十度？格式我不再写了，因为跟前面的题非常像啊。最后做总结， 设两个参的好处在哪？第一，两种隔得比较远的角度，他们之间内部有关系，这个时候我选两个参就很容易表示，然后等量关系写写也很顺，最后求的也很顺。 最后，我们设参的核心目标是能把题目中所有的角用这些参表示出来，只要你能表示出来，一定会有等量关系，让你去列方程就就能算出来了。 至于你是能不能算出来一个 x 或者是一个 y 不 重要，我只要能算出来一个式子，哪怕它是 x 加 y 够用就行。所以我们也称这种叫整体思想设，而不求我设了 x， 但我并不一定非要知道 x 是 多少啊，我整体计算， 光听不练，手痒痒。我们准备了十三面的配套训练和视频，完美配合，快来领取吧！关注，树立黑板，现在下课！

初一数学一共有五大压轴难点，其中呢，有关于线段的长度计算，这里的动点问题是我们期末考试的必考压轴大题， 那么这种类型的题呢，他的技巧性特别的强，像这种有关于长度的计算呀，都是有技巧的，今天老师就用一句口诀带你搞定这种双点模型，这个口诀呀，他就是一半，一半又一半，我会具体给大家推导这个结论，怎么用，这个场景是什么？ 那么有关于线段的长度计算，老师已经把近三年的易错题和必考的压轴大题给大家做了总结，如果 做这种题经常错答案，没有解析思路，这种模型的思维还没有的话，做题慢，答不完试卷。 这类型题分类练习一定是必须要做的了，考前把所有题型归类总结方法，再去带着孩子去练题，那才一定能够事半功倍。下面我们就一起来看一下 这类型题。什么是双中点模型？如图，点 c 为 ab， 上一点 m、 n， 分 别是 a、 c、 bc 的 中点，求 m n 与 ab 的 关系。哎，我们发现了这个双中点模型，它是不是和双角平分线模型有点像呀？其实这两个模型它的本质是一样的，都是一半一半又一半， 只不过呢，一个是线段问题，一个是角度问题，我们只要搞清楚了它这个知识点本质，我们就可以进行模型的转换来， m 是 a c 的 中点，所以我就得了，直着的线和直着的线相等， n 为 c b 重点，所以波浪线和波浪线相等。哎，我就发现了， m n 是 不是就等于一段直的线加上一段波浪线呢？又发现 ab 等于两段直着的线段加两段波浪，线二值 加二波，所以我们就可以直接来推导出来了， ab 等于两倍 m n 双中点模型和双角平分线模型。它的解析思路是一样的，我们都是先通过已知条件入手，在图里去作图，把条件上图之后呢去用相同的符号表达相同的角， 这里我用的是直线和直线表达相等线段，波浪和波浪表达相等线段，我们直接就是将这些数量关系去形象化，哎，直接出来直加波二，直加二波，直接搞定答案。如果这个时候老师将题目当中的点 c 为 ab 上一点， 我改为点 c 为直线， ab 上一点，那么此时这个结论还成立吗？那么 m n 和 ab 又是怎样的数量关系呢？

期上期末的压轴题一定会考线段、动点、双中点题型，韩老师带孩子用一个万能公式考试遇到不丢分！这是一道期末考试真题，韩老师用一个视频带你彻底学会双中点模型的三种分类讨论形式。再把我整理的期末复习必刷题给孩子练习，包含了初一上册的所有重难点，有理书中的绝 对直数轴重点整式中的找规律、一元一次方程中的应用题，陷于角中的角度动态问题的做完后，期末考试冲高冲满，我们一起来看这道题。已知 a、 b、 c 在 同一直线上， d 是 a、 c 的 终点， e 是 bc 的 终点，探求 d、 e 和 ab 的 数量关系，那么这个研究的是两个终点之间的长度和 ab 的 数量关系，就 是一个非常典型的双中点模型。但是这道题没给图，那一定要分类讨论，这里很多同学的难点就是不知道分类讨论的标准，那么其实这里是因为 a、 b、 c 在 同一直线上， 那我不妨就以 a 和 b 作为一条线段，那我就先讨论。假设 c 在 线段 ab 上，也就是在 ab 之间的时候，那么 d 是 a、 c 的 中点，这两段相等， 而 e 是 bc 的 中点，那这两段相等，那于是乎我就知道 d、 e 是 等于小 a 加小 b， 而我们的 ab 是 等于二 a 加二 b， 那 所以会发现 d、 e 就 等于二分之一的 ab， 那 这个时候也给大家呈现了一种线段计算的方法，叫做设而不求法。那么接下来我们再来看，那如果 a 是 在 ab 的 延长线上，那我们以线段 ab 为基础， c 在 ab 的 延长线上，那 d 依然为 a、 c 的 中点，那所以这两段我们都叫做小 a， e 是 bc 的 中点，那这两段都叫做小 b， 那 么此时还是看 d、 e、 d、 e 其实就是两个中点之间的距离，我可以用小 a 减小 b 来进行表示，那么接下来再来看 ab， a、 b 其实是这一段距离，那我其实可以用整条线段 a、 c 减去 bc， 而 a、 c 是 两个 a， bc 是 两个 b， 那 同样我们可以得到 d， e 是 等于二分之一的 a、 b。 那 么接下来第三种情况就是 c 应该在 b a 的 延长线上，那么这是线段 a， b， c 点在这个位置，那同理 d 是 a、 c 的 中点，那么这是小 a， 而我们的 e 是 bc 的 中点，那么这两段是小 b， 那 么一样的我们去表示两个中点之间的距离，就是小 b 减去这个小 a， 所以 d、 e 是 等于小 b 减小 a， 而这个时候我们来看 ab 之间的距离是整个长的两个 b 减去两个 a， 那 所以 ab 是 等于二倍的小 b 减去两个小 a， 那 于是我又可以得到的就是 d、 e 是 等于二分之一的 a、 b， 那 这里你会发现，只要是有这个条件，有两个钟点，那无论咱们的 c 点在任何位置的时候，是不是都有一个结论叫做 d、 e 是 等于二分之一的 a、 b， 那 如果你记不住它，我再教你一个口诀， d 是 a， c 的 钟点， e 是 bc 的 钟点， a、 c 和 b c 中都有 c， 那 于是我可以把 c 给它去掉，让 a 和 b 结合起来，然后再取得 a、 b 的 一半，所以我们将这个口诀叫去重留半，那么于是双中点之间的距离就等于二分之一的 a、 b， 你 听懂了吗？

这是初一期末考试经常考到的压轴题，一个是线段的双中点模型，还有一个是角平分线的双角平分线模型，我们一起来看第一小题，如图，线段 a、 b 等于二十厘米， c 为线段 a、 b 上的一个动点，这里是有坑的。有时候的题目当中会写 c 是 射线或直线 a、 b 上的一点，那这种情况下我们就要把 c 点分类讨论好，那在这一题当中，我们不需要分类讨论 点 d、 e 分 别是 a、 c 和 b， c 的 中点，也就是这就是双中点。好，我们来看第一问，若 a、 c 等于八厘米，线段 d、 e 的 长是多少厘米？我们先在题目中做好标记，点 d 是 a、 c 的 中点，用同样的弧线来表示。 点 e 是 b、 c 的 中点，我们用蓝色的弧线来表示，这样表示红色的线段是相等的，蓝色的线段是相等的。 问， d、 e 的 长度？同学们，我们在求线段长度的时候，一定要会表示 d、 e 的 长度。从图中我们可以看出， d、 e 它是分为两段， d、 c 的 长度加上 c、 e 的 长度，所以那我们再去写的时候， d、 e 它应该等于 d、 c 的 长度加上 c、 e 的 长度。根据 中点我们发现 dc 等于二分之一的 acce 等于二分之一的 cb， 我 们可以把二分之一提取出来， ac 加 cb 就是 二分之一的 ac 加 cb 合起来就是二分之一的 ab， 其中说 ab 等于二十厘米，所以二分之一乘上二十等于十厘米。 好，第一问就是十厘米，那同学发现跟这个 a、 c 是 八厘米，我们没有用到 a、 c， 我 们直接就得到 a， d、 e 的 长是十厘米，那这里就是我们双中点模型的一个公式， 把这个线段表示出来，再利用中点用较长的线段表示出来，我们做到这里都没有用到其中的任何一个数据。好，那第二问，他说设 a c 是 m 厘米，那 dc 的 长是多少？ d e 的 长是多少厘米？那我们依然去表示 d e 的 长， d， e 的 长 依然是等于 dc 的 长，加上 c e 的 长，我们通过计算完了之后，还是二分之一 b， 所以第二问的长度还是十厘米，因此它跟 c 点的位置无关，它都等于二分之一的 a b。 那 在课上我们讲过，我说了，我们双中点模型去看这个点， 端点 a c 端点 bc 都有 c， 我 们把 c 去掉，实际上就是这两个端点的距离的一半，就是 ab 距离的一半。因此它如果是一个填空题或者小题，我们就直接可以写答案了。然后我们再来看第二题， 我们发现角有很多规律和线段一样，如图二，角 a o b。 这个大角是一百二十度， 那 o c 是 角 a o b 内部的一条射线，也就是说我们不用去分析 o c 在 它俩的外部了，只在内部射线 o m 平分角 a o c， 我 们再用 o m 平分角 a o c， 那 这个是一样的， o n 平分角 b o c o n 平分角 b o c。 好 让我们求 m o n 的 度数，同学们来看 m o n 的 度数， m o n 这个黑色的弧线，求这个角 m o n 黑色弧线，它就包含了黄色的弧线和蓝色的弧线，所以我们再去表示角 m o n 等于角 n o c。 加角 c o m。 又因为它是角平分线，所以 n o c， 它就等于二分之一的角 b o c。 角 c o m。 等于二分之一的角 c o a。 好， 我们把二分之一提取出来，把这两个角加在一起， b o c。 加上角 c o a。 我 们来看， b o c。 加上角 c o a， 那 就等于二分之一的角 a o b a o b。 已知一百二十度就是二分之一乘一百二十度，等于六十度，所以我们角 m、 o n 的 度数是六十度。好，我们一起来回顾一下。上面是中点双中点模型，这是双角平分线模型，我们看它有的相同的地方在哪里？ 那角 o m o m。 平分角 a o c a o c。 是 由射线 o a 和射线 o c 组成的 o n。 平分角 b o c b o c。 是 由射线 o b 和 o c 组成的。我们发现角 a o c 和角 b o c。 都有射线 o c。 都有射线 o c。 那 所以我们把相同的部分去掉，那就剩了角 a o b。 所以 最终 最终要求的这个角就是角 a o b 的 一半，跟我们的中中点是一样的，把相同的部分去掉，就是两头的距离。那双角平分线模型也是一样的，把相同的部分去掉，就是两两端这 o a 和 o b 夹角所形成的这个角的一半， 所以这个线段和角它们是有相关的地。好，第三题，已知角 c o d。 在 角 a、 o b 的 内部，如图三所示，角 a o b 等于 alpha a o b。 这个大角是 alpha c o d 是 三十度， 且 d o m 等于两倍的角 a o m d o m 等于两倍的角 a o m。 那 这两个角存在倍数关系，我们往往在有倍数关系的时候，我们往往用未知数来表示，所以这个地方我们可以设 角，嗯， a o m 角 a o m 等于 x， 则 角 d o m 等于二 x， 我 们这样表示出来会比较方便。 x 二 x， 然后接下来角 c o n 又等于两倍的角 b o n， 那 这里也存在两倍的关系，我们不妨也去设一设角 b o n 等于 y， 则角 c o n 等于二 y。 标上去 y 二 y。 好 了，把这些角都标完了，求角 m o n 的 度数。我们再来看求角 m o n， m o n 这个蓝色的线，它用哪些角表示？它应该用二 y 这个角三十度，这个角和二 x 这个度，这个角加在一起， 所以我们写，因为角 m o n 等于角 n o c 加上角 c o d 加上角 d o m， 所以 角 m o n 就 等于二 y 加三十度，再加二 x。 我 们接下来就来看二 y 和二 x 怎么样用 r 法来表示。我们再来看，因为 y 加二 y 加三十度，再加二 x， 再加 x 就 等于 r 法。 好，那我们来整合一下，是三 y 加三 x， 再加三十度等于 r 法。我们同时除以三，就是 x， y 加十度等于三分之 r 法， x 加 y 就 等于三分之 r 法减十度。好，那我们来看一下，要求的这个角是二 y 二 x， 所以 角 m o n 等于二倍的 y 加 x 再加三十度， 我们把 x y 带进去，哎，整体带入 r， 乘上括号，三分之 r 减十度，再加三十，我们整理发现就等于三分之二 r 加十度， 所以问题就得以解决。那整道题我们一起来说一下。无论是求线段还是求角，最重要的就是 会表示。从图中把信息标上去，去看一看问题的这个角是包含了几个角的核还是几个线段的核？那在这道题当中都是几个的核，我们就把它加起来。 那在有些题当中我们要求的这个角或者要求的这个线段是由两个线段相减或者两个角相减得到的。无论怎样，我们最重要的就是去学会表示。

初一线段和角质一共有五大难点，五大压轴题会考其中一个就是这双终点模型，双终点模型分三个基本模型，其中最难的一个就是这个，叫水乳交融型。前两个视频我已经把另外两个模型讲完了，我们来看最难的这一个啊，图形也是最复杂的。 呃，他说什么呢？ m 是现做 ad 的终点。注意啊， m 在这是 ad 的终点，意味着这一段等于这一段。 然后，嗯呢，嗯，是 bc 的终点来，嗯，是 bc 的终点，说明这一段等于这一段，是不是错综复杂对不对？ 所以这种很多同学就迷糊了，但千万别迷糊，考试压轴题，你要迷糊你就得不到分了啊。好了，那这里面是不是有重复的这一块，对不对？他现在结论是什么呢？两个终点之间的距离是 双终点，双终点研究都是终点之间距离，它是等于二分之一。 ab 减 cdab 仍然是整个这个家伙，而 cd 仍然是中间的这两段。中间的这一段。好了，那整个这个和中间这一段来怎么找等量关系？ 好，我们一起来推一下啊，永远记住啊，能记住结论记结论，记不住结论也不用担心，要记方法啊，见到终点想一半，见到一半想整体。好来，大家来看，我要求的是 mn， 这个 mn 在这里边，他应该等于谁？ 这个线段等于谁？你要往一半上去靠，对吧？这个 mn 这里边是不是有 md， 是不是也有 cn？ 他等于 md， 再加 cn 能等于这个吗？各位看一下，他能等于 md 加 cn 吗？不对，中间的 cd 是不是被多加了一次？都加了一遍？在 mn 里边有他在 cn 里边也有他，被多加了一次，我就再把它剪掉，是不是就等于他了？ 好的，我为什么直接想到了这个 md 和 cn 呢？因为他们是一半啊。 mdm 是终点，是不是等于整个 ad 的一半，能想明白吗？ md 等于整个这个 ad 的一半，所以他是二分之一的 ad， 再看这 cn 来 cn 是不是等于整个 cb 的一半啊？二分之一的 cb 反应过来了吗？你看，往上靠好了，再减去一个 cb 来，你看现在我这个柿子里 里面跟锁球的里面我要倒 ab 和 cdcb 已经有了，还差 ab， 差整个的 ab。 那我们再看这两个红色的线， ab 和 cb 跟 ab 怎么建立关系呢？ 是 ad 加 cb 吗？注意啊， ad 加 cb 能等于整个 ab 吗？不是，应该是 ad 加 cb 再减个 cd 才行，对不对？所以这你看啊，二分之一我提出来他就是 ad 加 cb， 对不对？ 好，那这里边的 ab 加 cb， 我要想往 ab 上去靠，它应该等于什么？ ab 加 cb 是不是等于整个的 ab 再加一次 cd， 对不对？因为它这里边有一个 cd， 它这里边也有一个 cd， 两个 cd 呢？所以它就相当于 ab 再加 cb 来减 cb， 好，进一步化减。各位，进一步化减是不是就是二分之一的 ab 再加二分之一的 cb， 然后再减去一个 cd， 能跟上吗？好了，那他也就是二分之一的 ab， 然后二分之一 cb 减 cb， 是不是负的二分之一 cd？ 所以把二分之一提出来，结论是不是就出来了？ ab 减 cd 来，是不是？就这个答案？这个你听懂了吗？ 水乳交融型是三个双终点模型最难的一个。好了，那么三个双终点模型都在这里，亲密无间形、镜位分明型以及水乳交融型对应的结论，迅速把它整理下去，点赞收藏！

同学们好，今天我们来讲一道双中点模型相关的例题啊。如图， c 是 线段 ab 上的一点，且 ac 小 于 bc， m 和 n 分 别是 ab 和 bc 的 中点，这里我们来画一下， m 作为 ab 的 中点，就有 am 等于 bm， n 作为 bc 的 中点，那么我们就有 c， n 等于 bn， 他说 a， c 等于十啊，这个的长度是十，则线段 m， n 的 长度是多少？我们来算一算， m n 应该怎么去求啊？ m n 它等于 b， m 减去 b， n 实际上是什么？是一条红色的线段长，减去一条蓝色的线段长，对吧？那我们再看一下 a， c 呢？ a c 它等于 ab 减去 bc， ab 是 两条红色的线段长，而 bc 是 两条蓝色的线段长。那你说 m n 和 ac 是 什么关系啊？哎，所以 m n 就 等于二分之一倍的 ac， ac 是 十， m n 就 应该是五，所以说答案应该选择大选项。好，那同学们如果说对这道题还有什么问题的话，那你来把我们的疑问写在评论区啊。