六上全部数学技巧

看一到六上，必考硬币滚动问题。直径两厘米的硬币，贴着一个长九厘米、宽六厘米的长方形，外围滚动，从一点滚动到 b 点，硬币滚过的面积是多少平方厘米？硬币人心走过的路程是多少厘米？先来看看硬币咋滚动的吧！从另一点出发， 硬币就像一个橡皮擦，一路上擦出一大片面积，滚啊滚，到达长方形顶点的时候，硬币就要以长方形的顶点为圆心，旋转九十度，继续滚，滚啊滚，滚到了 b 点。 图中蓝色部分就是硬币扫过的面积，给它分割一下，这里是一个长方形，长是大长方形的，长九厘米，宽是硬币的直径两厘米。 于是就可以求出这两个长方形的面积，分别是十八和十二。这里是半圆，也就是硬币面积的一半，这里也是半圆，也是硬币面积的一半，两个半圆合在一起就是一个硬币的面积，半径十一，面积也就能求出来了。 此时图中还剩下这个部分，这里是一个扇形，它的半径是硬币直径两厘米，面积是一个四分之一元的面积，面积也能求出来，所以硬币滚过的面积就是两个长方形的面积，加上一个硬币的面积，再加上一个四分之一元的面积， 等于三十六点二八平方厘米。再来看圆心走过的路程，图中发光的线就是圆心走过的路程， 这部分是大长方形的，长九厘米，这部分是大长方形的，宽六厘米，这部分是半径为一厘米的四分之一，圆的周长。所以圆心滚过的路程就是他们三个加起来等于十六点五七厘米。

六、上期末压轴题两个大小不同的圆，重叠部分的面积是十平方厘米，是大圆面积的八分之一，是小圆面积的六分之一。大圆面积比小圆面积多多少平方厘米？这道题的核心技巧就是通过部分面积求出整体的面积， 把条件翻译成人化，就是重叠部分面积等于大圆面积的八分之一，也等于小圆面积的六分之一。重叠部分面积等于大圆面积的八分之一， 就说明把大圆面积平均分成八份，重叠部分面积就占了其中一份，所以大圆面积自然就等于八个重叠部分的面积等于八十平方厘米。同理，重叠部分面积是小圆面积的六分之一， 就相当于把小圆面积平均分成六份，其中一份就是重叠部分面积，所以小圆面积就等于六个重叠部分的面积等于六乘以十，等于六十平方厘米。 最后问，大圆面积比小圆面积多多少平方厘米？就用大圆的面积减去小圆的面积，就是八十减六十，答案就是二十平方厘米。

这道题直接求，显然神仙来了也没招，除非他打开某包某帮。因为都是不规则图形，所以首先想到容池原理，所谓容池原理没什么技巧，说白了就是规则图形面积之间打打杀杀，最后胜利者就是答案。所以第一步找规则图形，标上字母， 把每个单块面积标上序号。图中有大扇形 a、 b、 c， 它的面积等于一号，加二号，加三号。还有大扇形 b、 c、 d， 它的面积等于二号，加三号加四号。还有正方形 a、 b、 c、 d， 它的面积等于一号，加二号，加三号，加四号加五号。还有一个半圆，面积为二号。 把两个大扇形的面积加在一起，再减去正方形的面积，看看还剩下什么？ 还剩下二号加三号，减去五号。我们要求的面积差显然就是三号减五号，而这里作差后还多个二号， 而二号正好就是小半圆的面积，所以再减去小半圆的面积，自然就可以得到要求的面积差，所以可以得到面积差，就等于大扇形 a、 b、 c 的 面积加大扇形 b、 c、 d 的 面积， 再减去正方形 abcd 的 面积，再减去二号小半圆的面积。正方形的边长为三十。所有规则图形的面积都可以通过三十求出来，答案就是一百五十九点七五平方厘米。

六上必考甲乙两数的和是三百，甲数的五分之二比乙数的四分之一多五十五。求甲乙两数各是多少？这道题咱就别整，单位一搞来搞去，也别划那个破线段了，直接列方程就完事了。甲数的五分之二比乙数的四分之一多五十五。 把甲数的五分之二看成是一坨 a， 把乙数的四分之一看成是一坨 b， 也就是比 b 多五十五，所以自然就有 i 减五十五等于 b， 再把 a 带回来，是甲数的五分之二，就是甲数乘以五分之二。 b 是 乙数的四分之一，就是乙数乘以四分之一。方程不就是找个等式吗？这不就是一个等式吗？ 然后设位之数条件说甲乙两数的和是三百，翻译一下就是甲加乙等于三百，设甲为 x， 那 乙就是三百减 x。 把设好的甲乙代入等式，给它整的好看一点，这方程不就列好了吗？ 解方程那么简单，我就不废话了，可以解的， x 等于二百，也就是甲数是二百，乙数就是它们的和三百减去甲二百就等于一百。

六、上百分数 ab 两个仓库共有蔬菜六百吨，如果从外仓库调出百分之十的蔬菜给 b 仓库，那 ab 两个仓库的蔬菜吨数之比变为三比二。 ab 两个仓库原来各有蔬菜多少吨？ 这道题的突破口就是抓住不变量条件，说爱仓库调出百分之十给 b 仓库，那就说明 a、 b 两个仓库的存粮都发生了变化，给来给去和不变，所以两个仓库的总量是不变的。最后两个仓库的吨数之比为三比二。看到比就要想到分数。一仓库后来就有三份蔬菜， b 仓库就有两份蔬菜，两个仓库的总量分数就是三加二，等于五份，这五份就对应了条件中的蔬菜总重量六百吨， 于是可以求出一份就等于六百吨，除以五份等于一百二十吨。后来爱仓库是三份，那后来爱仓库蔬菜就是一百二十乘以三等于三百六十吨。 这三百六十吨是原来爱仓库拿出了百分之十后剩下的重量。很多同学最近都想用方程解题，那今天就用方程来解一下。设，原来爱仓库有蔬菜 x 吨， a 调出百分之十给 b， 也就是调出了 x 吨的百分之十，就是百分之十 x。 用原来爱仓库的蔬菜 x 吨减去它调出的百分之十 x， 就 等于后来爱仓库的蔬菜三百六十吨。解这个方程就等于零点九， x 等于三百六十吨， x 就 等于四百吨。 也就是原来爱仓库存粮为四百吨，那原来 b 仓库的存粮就是六百减四百等于二百吨。

好，大家好，我是少年智者大东老师啊，负责大家六年级的数学学习，那么今天给大家带来的是一道我们第八单元的数学广角中的术语型的一道题，叫找规律啊，那么找规律这一道题啊，我们说了，上 是我们高中有一个叫数学规范法的要学，下至我们一年级是不是就开始学找规律了？那么中间的我们作为六年级的同学，对于找规律这种题目呢，也是需要足够的了解的，那我们看一下这道题目啊，首先他说画两个正方形能得到四个直角三角形， 三个正方形能得到八个三角形，那么问四个正方形能得到多少个直角三角形呢？那么第一空显然是问我们什么，问我们直角三角形的数量对不对？那注意啊，同学们一定不要被自己的惯性思维蒙蔽了头脑啊，有很多同学，比如说前面一题问三角形，后面一题问什么 正方形啊，很多同学就掉入这个坑里面去了啊，好，那我们看一下这个正方形中有几个三角形呢？ 哎，第一个没有三角形是不是？所以是零个？那么第二个图形中，题目中也告诉我们了是四个。 第三个图形有多少个，题目中也告诉我们了有多少个啊？八个，哎，前面都很简单，甚至都不用我们数对不对，题目中告诉我们具体的数据了是吧？好，那么最后一个呢，我们稍微数一下好不好，一二三四五六七八九十十一十二， 同学们也可以数一下，看一下老师有没有数错啊，哎，肯定是没有错的啊，哎，这一共有十二个，对吧？那其实我们可以看一下这个题目，其实规律也很好找，是吧？因为这题比较简单，当然了，我们先把答案填上去啊，然后我们再看一下第二空，第二空，首先我们看一下他问的是不是三角形， 不然就会犯我刚才说的那个错误了啊，哎，他问的是直角三角形的数量，对吧？那我们这一题一样的啊，我们就可以用第一空的一些结论呢，我们第一空这个地方图形是不是数好了，对吧？这样问我们直接找就行了。当然这题比较简单啊，我要说的是我们这个第八单元，主要就是竖形之间要转换，比如这一题 图，我们要画 n 个图的话，是不是很难画呀？这个时候我们就要把图形转化成竖列的形式，这样我们找规律起来是不是更加的方便与简单呀？好，那我们同学们接下来我们就把这个图形给转换成竖列吧。 好，第一个还有个小陷阱啊，就是它说的这个 n， 好，这第 n 个是，那么第一个是从这个图算还是从这个图算啊？有的题目比较狡猾，他会画四个图，然后实际上他从这个图还是算第一个图的啊，那这一题是不是这样狡猾的呢？我们看一下 正方形的数量，哎，所以正方形从哪开始，哪个时候就开始了，第一个图是不是就有一个正方形呢？所以我们第一个图就是我们的序号一了，好，那么第一个图有零个三角形，我们用红色的笔吧。 第二个图有四个，好，第三个图我们这换一种写法啊。 好，你们知道老师为什么这样写吗？非常好，因为我们这个地方 数图形的时候，一定要知道它是变化的还是不变的，这四个三角形我们会发现一直存在，从来不变，对不对？所以这四个呢，我们就写在前面，就不要变了。 那后面这四个三角形是新加入的哎，所以我们就写个加四，对不对？所以第四个序号我们该怎么写啊？你们想一下。哎，非常好 哎，写成四加四，加四的形式对不对？好，那因为这个过程 我们只能写在右边了，是吧？位置不够了。好，那最后第 n 个序号，哎，我们应该写作怎么样写呢？好，那要写 n 个序号，我们肯定要把前面怎么样啊？总结一个规律，找规律，至少要总结三项啊。 零我们不好写，那我们就从第二个开始写吧，他有一个四，对吧？我们可以写作四乘一， 这个有几个四啊？两个四，所以我们写作四乘二，最后一个写作四乘三，所以上面一个，大家想一下该怎么写？哎，我们可以写成为了工整性，我们写成四乘零，是不是很好啊？好，那么我们最后一个 n， 我 们应该写成四乘几呢？ 大家观察一下，哎，聪明的你肯定发现了，对不对？序号和四之间的个数的规律，序号为二个数只有一， 第三张图有两个四，第四张图有三个四，所以第 n 张图就有多少个 n 减一个四，我们发现序号的数量总比四的数量多一个，是不是？所以我们最后写成这样的形式了，当然我们要 d 等式，把它展开。 好，这里面两个都要乘进来啊，很多同学喜欢这个地方，符号写错啊，所以最后应该有四 n 减四个。 但这道题看了老师讲了很久啊，实际上你们可能做题的时候可能一两分钟就做出来了，对不对？但是注意一定要验算啊，特别是这个， 你们不妨把 n 等于一和 n 等于二带入进去，看一下跟我们这个实际的图，哎，是不是有出入啊，如果没有出入，那说明，哎，你很可能是对的，对吧，有出入呢，就赶快改就完了。 那么今天这道题呢，我们就讲到这了，后面老师会给大家带来更多的啊，有关于找规律的一些啊，比较有趣的题目，或者说是难一点的题目，对吧，大家敬请期待！

这道题的破题技巧就是反推，最后让我们求 a、 b 的 长。一般小学求图形中某条线段长的问题，就是通过图形面积反推长度，所以只要想办法把三角形 a、 b、 c 的 面积求出来，通过面积和 b、 c 的 长度就可以把 a、 b 的 长度反推出来。 所以当下关键就是求出三角形 a、 b、 c 的 面积。假设中间粉色区域面积为一号，三角形 a、 b、 c 的 面积是一号加乙，所以首要任务求出一号加乙的面积。条件说甲的面积比乙的面积多四点四八，也就是甲的面积等于乙的面积加四点四八。 而一号的面积加上甲的面积，就是这个大半圆的面积。 b、 c 的 长度是十六厘米，那大半圆的半径自然就是八厘米。所以一号加甲的面积就等于大半圆的面积 等于两分之一。派乘以半径八的平方等于一百点四八。整理一下就是一号加甲等于一百点四八，而甲是等于乙加四点四八的，所以就可以把这里的甲换成是乙加四点四八。这样就出现了一加乙，但是多了一个四点四八。这其实就是一个方程， 两边同时减去四点四八，就有一加一等于九十六，也就是三角形 a、 b、 c 的 面积等于九十六。已知直角三角形的面积和一条直角边的长度， 就可以求出另一条直角边 a、 b 的 长度等于九十六，乘以二除以十六等于十二厘米。

这道题全班都不会做，师徒合作共完成四百九十个零件，师傅做的五分之二，比徒弟做的七分之四少八个，徒弟做了多少个？ 这道题的突破口就是这句话，师傅做的五分之二，就是师傅做的零件的五分之二。写成文字算式，就是师傅做的零件乘以五分之二， 比徒弟做的七分之四少八个，也就是给师傅做的零件的五分之二，加上八，就等于徒弟做的零件乘以七分之四化解这个等式，这里是七分之四， 两边同时乘以七分之四的倒数四分之七就有师傅做的十分之七加十四等于徒弟做的。把这个式子翻译成人话就是徒弟比师傅做的十分之七还多十四个， 比自厚的。师傅做的零件是单位一用一条线段表示师傅做的零件数为单位一，徒弟做的零件使师傅做的十分之七还多十四个。 假设这部分就是师傅的十分之七，再多画一部分，表示多的十四个，这就是徒弟做的零件。两人合起来就是四百九十个零件。这时就可以量律对应求单位一了，先用四百九十减去多的十四个，这就是具体的量， 他对应的分率就是师傅的十分之七，再加上师傅单位一，所以除以对应分率，就可以求出单位一。也就是师傅做的零件是二百八十个，两人一起合作四百九十个，所以徒弟就做了四百九十减二百八十，等于二百一十个零件。

不变量是六上必考的知识点。学校田径队中男生人数与女生人数的比是三比二，后来又加入五名男生，此时男生人数与女生人数的比是七比四。田径队原来有多少名男生？ 这道题的关键就是抓住不变量条件书，后来又加入五名男生，那就说明男生和总人数的数量都发生了变化。那不变量就是女生的人数比是三比二，后来男生和女生的人数比是七比四。 既然女生是不变量，那咱们就去统一女生的人数分数。女生刚开始是两份，后来是四份，四十二的两倍，所以就给原来男女的人数比，前项后项都乘以二，就变成了六比四， 此时女生的分数就都统一成四份了。对比统一后的原来和后来的人数比，由于是加入的五名男生，就去观察男生的人数分数变化，男生从六份变成七份，增加了一份， 这一份就对应了条件中加入的五名男生，所以直接列出求一份量，用加入的五名男生除以男生后来的人数份数七份，减去男生原来的人数份数六份等于五人。 最后问田径队原来有多少名男生已经求出来，一份是五人，原来男生的人数份数是六份，所以用一份五人乘以男生原来人数份数六份，就可以算出原来男生有三十人。

到了六年级，方法学不会，做一万道题啊，也是白费。那像黑板上这到六年级涉及到百分数和比相关的知识点，同学们你们有思路吗？园林绿化队要栽一批树苗，第一天栽了总数的百分之十五， 第二天栽了七十六棵，这时剩下的与已栽的棵数的比是三比五，求这批树苗一共有多少棵？ 那在这里我们首先要抓住本题，他是把这批树苗的总数量看作了单位一，所以我们可以通过画线段图的方法来更好的理解， 比如说现在我们画的这条线段呢，来表示这批树苗的数量， 把它的总量呢看作了单位一，第一天占了总数的百分之十五。总数的百分之十五大约是这么多，这是他第一天 栽的，占了总数的单位一的百分之十五，第二天栽了七十六棵，这七十六棵是多少我还无法确定，但是我可以根据后面这句话。 这时剩下的与已栽的棵数比是三比五，剩下的占三份啊，这是剩余的占三份，已栽的呢 占了五份，他俩的比是三比五。那么同学们让我们求单位一啊，一共有 多少颗？那么这道题其实我们就可以利用量律对应了，为什么呢？因为剩余的占三份，那已栽的占五份，那这是第一天栽的，那这一段就是第二天栽的这七十六棵树。 那么同学们来观察，这一段占了总数的多少呢？他是五，他是三，总数是不是相当于是八，那么这一段占了五份，所以这一段占总数的就是五加三分之五。那第一天又 栽的占总数的是不是五加三分之五减百分之十五啊？ 然后我利用量律对应，从而求出 这批树苗一共有多少颗。通过最后的计算，我们求出这批树苗呢？一共是一百六十颗。 那对王老师今天所讲的这道百分数和比结合的题，你学会了吗？关注王老师，让数学变得更简单！

两筐苹果，第二筐比第一筐少四分之一。从第二筐拿走四点二千克后，第一筐与第二筐的比是八比五，第一筐苹果比原来第二筐苹果多多少千克？你看又是一样的类型的题，对不对？ 一个是分数，一个是比，再一个是什么？实际的数，是不是实际的数？那我说和你们讲，我说这样的题目，那我肯定是要在实际里实际数里面做文章的，是不是在实际数里面做文章的？好，我们来看一下这个题目，他没有直接给我们第一个，第二方比第一方少四分之一，这里是拿什么当高利贷？ 第一筐啊？拿第一筐当单位的对不对？也就是第一筐有几分四分四分，第二筐有几分三分？再来看这里，他讲从第二筐拿走四点二千克，拿走了，他这个是拿走了，对不对？再来看，第一筐与第二筐的比是八比五，第一筐与第二筐的比是八比五，对不对？ 这里面是有两筐水果，这两筐水果，请问总数变没变？没变没变吗？变了，到底变还是没变？总数是不是变了？所以我能不能把总的当做单位移？不能，因为你对这里来讲的话，他这个单位，如果我把总数当单位移的话，但这里是不是少了四点二千克呀？ 所以我们不能把总数当做单位移。可听明白了？我要找一个始终不变的，哪一个是始终不变的？好，我们就来分析一下第一筐，那么这个来看的话，他第一筐是不是相当于四分？第一筐 我就不画了啊？好，第二方是不是就相当于三分？我们把始终不变的当做单位一，那么我们这里又是从第二方拿走了，对不对？是不是知道第二方变了？是，那这个题目我们就可以反过来讲啊，第一个，第一方占了第二方占了第一方的几分之几？四，四分之三， 是不是四分之三？我们这里是把谁当单位的？把第一方把第一方当单位，因为第一方始终没有变，是不是？始终没有变好？再来看这里，这里的话，那第二方是第一方的几分之几？八分之五，是不是八分之五？哎，你们来看， 一开始我们的第二方是占第一方的四分之三，对不对？但是拿走了四点二千克之后，它变成了八分之五，产生了什么样的变化？产生了 啊？减少对不对？减少了几分之几啊？八分之一啊，怎么算呢？四分，四分，三点八分之五等于八分之一，是不是？等于八分之一？是。那减少了这个八分之一是什么意思啊？四点二，这表示四点二千克占了谁的？占了谁的八分之一？ 第一筐。对了，我们这里是把谁当单位的第一筐，所以这里的八分之一点，什么四点二千克占了第一筐的八分之一，那么第一筐什么的 球。呃，什么球？四点二除以八分之一等于三十三点六千六。三十三点六千克占了三十三点六千克指的是谁的千克数？ 第一筐第一筐的千克数，对不对？对。那现在问第一筐的苹果比原来第二筐的苹果多多少千克，对不对？来，请问这里第二筐比第一筐少四分之一，所以多多少？怎么求？三十三点六乘三十三点六乘少四分之一，谁的八点四点克？ 直接把它乘。可听明白了？有的小朋友他怎么写的？他是把这个三十三点六，然后再干嘛？把第二筐给它求出来，然后用第一筐的三十三点六减去第二筐的，对不对？你们是不是这样写的？那就这里不需要啊？为什么？因为他已经直接讲了第二筐比第一筐少四分之一，是不是少四分之一啊？那么我直接把这四分之一算出来是不是等于八点四了？清不清楚？能不能理解？