函数y=asinx的性质与应用

要讨论三讲函数的最值、周期、单调性等问题，都得先把它转化成这种正余弦型函数才行。 这个视频我就要讲讲如何把一个难看的三角函数转化成咱们熟悉的正线型函数。讲之前先回顾一下被角公式，根据正弦的被角公式可以得到三引二法扣三二法等于二分之三二二法 根据余弦的这个被角公式可以得到扩散阿尔法方等于二分之一加扩散二阿尔法。 根据余弦的这个被角公式可以得到相引阿尔法方等于二分之一减 crossen 二阿尔法。这个是咱们一会儿要转化的重要工具，你可得记仔细喽。比如告诉你， f x 等于 c x 方，加二倍 c x， q c x 再加三倍的 q c x 方，你能求出这个函数的周期吗？要求周期得先把它转化成正线型函数。把 c 方换成二分之一，减 q c 二 x。 把 q c 方换成二分之一，加 q c 二 x。 至于这个二倍三引 x cosinex 就换成三引二 x。 接下来把这个式子整理一下，就变成了二分之一减二分之一倍 cosine 二 x 加三引二 x 加二分之三，再加二分之三倍的 cosine 二 x。 再整理一下，就是二加 seine r x 加 cosine r x。 利用辅助角公式，先把根号二提出来，这个写成 cosine 四分之派，这个写成 seine 四分之派，这个式子就变 排成了三二 x 加四分之派。现在这个函数就转化成咱们熟悉的正线型函数了，显然他的周期就是二派。除以二得派 以后，再遇到这种比较复杂的三角函数，看到下一方或者扩散一方，你就把它写成扩散二 x， 看到散成扩散，你就把它写成散二 x， 这样变完就能转化成正余弦形函数，啥都能搞定了。 好了，就这一道题，听明白了吗？先来看看 y 等于 a， 赛欧米克 x 加 five 中各个参数的 e。 我们以 y 等于三赛二， x 加四分之派为例， 先看赛前面的三，他叫做政府，那他有啥意义呢？这还得从赛这一坨说起。这一坨的值域是负一到一，当他取到一时，函数就有最大值，也就是三。当他取到负一时， 函数就有最小值，也就是负三，所以这个三跟函数的最值有关。这一点表现在图像上，就是跟最高点和最低点有关，你看最高点就是三，最低点就是负三。认识这个三，咱再来看看 x 前面的二，他跟周期有关， t 等于二派除以二。 接着再认识一下二， x 加四分之派，这一坨它叫向位，并且当 x 等于零时，这一坨就等于四分之派，它就叫做初向。这两个你只要认识了就行。 像这样，对于正弦型函数， y 等于 a sign omega， x 加 f， i 算前面的 a 就是正符，跟函数最值有关，最大值就是 a， 最小值就是负 a。 考虑到 a 还可能是负的，所以得给这两个 a 加个绝对值。接着 x 前面的 omega 是用来算周期的， t 就等于二派，比上 omega 绝对值还有 omega， x 加 five 就叫向位，其中 five 就是出项。这些参数你已经认识了，如果我在函数后面再加个 b， 会有啥影响呢？想一想，加了 b， 那函数图像就会上下平移， 所以最值就会改变。前面这部分的最值已经知道了，再加个 b， 最大值就是 a 的绝对值加 b， 最小值就是负， a 的绝对值加 b。 知道了这一点，咱们看个题。正斜形函数 y 等于 a， sign omega x 加 f 加 b， 其中 a 大于零，它的图像最高点是三，最低点是负一，那 a 等于几？ b 等于几呢？ 图像最高点是三，也就是最大值。 a 的绝对值加 b 等于三，最低点是负一，也就是最小值负， a 的绝对值加 b 等于负一。接着解这个方程组，求出 a 和 b 就行。由于 a 大于零， 所以绝对值可以直接去掉，容易解得。 a 等于二， b 等于一，这样就搞定了。看来只要知道函数最大值和最小值，就能列出 a 和 b 的两个等式， a 和 b 也就能求了。 刚才讲的都是正弦型函数，其实余弦型函数也是一样的。口算前面的 a 是正符，最大值为 a 的绝对值加 b， 最小值为负， a 的绝对值加 b。 欧米伽跟周期有关， t 就等于二派比上欧米伽的绝对值，还有欧米伽， x 加 five 是向位，其中 five 就是出项。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键就是记住正弦型函数和余弦型函数中这些参数的意义怎么样，你听明白了吗？来看个题。函数 y 等于 asi， omegax 加 five， 其中 a 大于零， omega 大于零， five 大于负，二分之派小于二分之派，这是他的 部分图像。那么 a， omega 还有 five 都等于几呢？先来看 a， 之前讲过， a 大于零时，函数最大值就是 a， 最小值就是负 a。 看看图像，最大值是二，最小值是负二，所以 a 显然就等于二。 接着看欧米伽，我们知道周期等于二派，比上欧米伽的绝对值，要算欧米伽，得照出图像的周期，你看，从这个最大值到这个最小值是半个周期，那一个周期就是十二分之十一派减十二分之五派，再乘上二，也就是派， 二派除以欧米伽的绝对值就等于派，别忘了，欧米伽还得大于零，所以这里的绝对值直接去掉，那欧米伽就等于二。最后来求 five， 要算他，咱得把这个函数中刚才求出的参数都写好，这样只要带入一组 x 和 y， 就能求出 five 了。到图中找一组 x， y， 通常咱会选最高点或者最低点，比如这个点，也就是十二分之五派二，把它带入函数中，整理得到塞。六分之五派，加 five 等于一，说明这一坨就等于二分之派，加二 k 派， 把六分之五派移过去，所以 fi 就等于负三分之派加二 k 派，别忘了， fi 得大于负二分之派，小于二分之派，那 k 就取零， fi 就等于负三分之派，这样就都求好了。像这样给你图像，要你求函数中的这些参数值，你可以通过图像的最大值和最小值确定 a， 根据图像的一半算出周期来确定 omega。 最后带入一组 x 和 y， 求出 five。 好了，这个视频就讲到这，大家赶紧刷题去吧。

大家好，今天咱们来讲一讲高中数学高频考点正弦型函数。那么关于这个正弦型函数的话，咱们先讲讲正弦函数。 正弦函数之前已经讲过了，咱们复习一下图象，看到了吧，它的周期可以看出来最小正周期是多少啊？每一个波谷，或者说每相邻的两个波峰之间，它都是完整的一个最小正周期。二派 或者每相邻的两个零点之间，它距离是多少？都是呃，周最小正周期的一半吧，都是派，这个都能跟上啊。那么看了，那么现在它的值域呢？值域当然是负一到正一之间了，根据正弦函数它的定义就可以得出来。 那对称轴怎么找？其实很简单，你只需要考虑此时比如说 x 零所对应的，它就是对称轴啊， 它等于正一还是负一，那此时 x 零不就它的中边是在外轴上吗？那就写多少，那就写二分之派，再加上整数倍的派就行了。 k 是 整数，任意的整数， 那么对称中心的话，肯定每一个零点跟 x 轴的交点啊，它都是对称中心， 那么此时我们只需要让三 x 等于零，得这个 x 的 值就行，此时 x 在 哪？它当然是在 x 轴上了，这个中边，所以就是 k 倍的派，这个都好说。 函数当然是奇函数了，因为根据诱导公式，咱们也可以得出来，这个负号是可以提出来的呀，那就变成了负的三 x 自变量相反，函数值也相反，那当然就是奇函数了。 那至于这个单调增区间，单调减区间的话，咱们其实可以结合什么？可以结合三角函数的定义这样一个单位圆来做 看，从外周负半轴到外周正半轴，此时你看点 p 的 什么？ d m p 的 纵坐标变大，那不就是 sin 变大吗？所以你看二 k pi 减二分之 pi， 这是外周负半轴吧，后边是外周正半轴吧，这就是正区间，那减区间的话，当然就是外轴正半轴，再转到外轴负半轴了，这样一个逆时针方向为正啊，这个都是好得的。 那么现在我们来看看什么正弦型函数，这个正弦型函数的话，主要是有三个，三个量啊，你看 a 一个， omega 一个，然后 f 一个， 这个 a 的 话主要是影响什么？影响值域的，比如说咱们在图中画一个一开始的图像，是谁啊？一开始的图像，咱们看一下这个黑色的图像呢，那就是 y 等于三 x， 我 们可以发现它的值域是在负一到正一之间的， 那如果在原来基础上，咱们乘了一个 a， a 变成二呢？乘了一个二倍呢？那此时值域就所有横坐标其实都没有改变，但是对应的纵坐标都变成了原来的二倍，乘了一个系数二，对不对？所以它的值域就变成了 正二，就是负二到正二之间了。原来是这么回事，那么如果是乘一个二分之一呢？看图中虚线，看这个蓝笔部分啊， 蓝笔部分是谁？ y 等于二分之一，三 x 横坐标不变，然后呢， 跟 y 等于三 x 相比，纵坐标变成原来的二分之一。就这条图像看到了吧，它的值域就是负二分之一到哪到正二分之一之间。所以这个 a 主要是影响了什么？影响了函数的值域。 那所以啊，如果他这个 a 怎么样？如果这个 a 是 大于一的话，那这种情况下咱们就是乘原来的 a 倍，那如果小于一呢？啊，那就是压缩呗，压缩就可以了啊， 那么继续来看斐斐的话，主要是左右影响啊，比如还是一开始呢，咱们这个函数，我画了一个完整周期内的这样一个正弦函数，那现在先看红色部分的图像吧，红色部分的话，咱们是谁能看出来吧，减去二分之派，为什么左加右减 吗？哎，我们只需要把原来黑色的图像向右平移二分之派了， 那么另外看虚线，看蓝笔，蓝色部分的话，那肯定向左左加嘛，向左平几个单位，向左平一 pad 单位。所以总结的话就是，如果 five 大 于零， 那当然了，加嘛，左加向左平移，如果 far 小 于零，这不就是 far 等于负二分之派吗？那就是向右平移。原来 far 影响的是什么？影响的是左右平移。那么另外这个 omega 影响什么呢？这个 omega 的 话，咱们还是画一个图看好了啊， 它影响的是横向伸缩变化，那最初时的图像，咱们还是画一个完整的零到二派之间的 y 等于三 x 正弦函数的完整图像给画出来。这个呢，之前呢，可能讲过，都很熟悉了， 现在请大家告诉我一个点，那很多同学就说了，老师，红色的图像你不用说了，我们横坐标压缩为原来的啊，一半啊，那我们只需要怎么样？ 只需要把所有的 x 写成二分之一 x 好， 错了，大错特错了，我告诉你啊，应该是乘个二的正好，逻辑上是反过来的。左加右减是不是逻辑上反过来的？跟 x 有 关的都得反过来。 那为什么是这样呢？并不是说让你硬背的啊。咱们仔细来观察一下图中的黑色图像的 x 和红色图像的它这个 x， 红色的 x 和黑色的 x 肯定不是一回事啊，怎么回事呢？这两个画圈部分是一回事 因因为你红色 x 前头乘了一个是多少？不是二分之一，咱们是乘了一个二吧。所以说，这两个圈既然是一回事的话，红色的 x 只需要通过付出黑色 x 一 半的努力， 对吧？一半的努力就可以了啊，就可以达到原来相同的跟黑色 x 达到相同的效果了，能懂我的意思吗？乘个二，那反而这个红色的 x 只需要一半的努力，那如果乘的是个二分之一呢？ 哎，那此时红色的 x 就 需要付出原来二倍的努力了。所以，接下来如果让你看，现在 请你告诉我图中的红色的第二个图啊，他的图像应该是什么？他的图像，你看，应该就是你刚刚写的三二分之一 x， 懂了吧？因为这两个圈是一回事，是一个整体。 我这个红色的 x 因为前头负了一个系数二分之一，我需要付出二倍的努力，所以是横向拉伸为原来的二倍，逻辑上是反过来的， 你说对不对啊？ omega 大 于一的时候反而是压缩到原来的 omega 分 之一， omega 小 于一的时候反而是多少拉长，伸长，横向伸缩变化。原来是这么回事，逻辑上正好反过来，千万不要记错了。 那么学完了这些之后的话，接下来大家自己都可以总结出来吗？周期，周期正好是反过来的吧，原来的最小正周期乘 omega 分 之一，横向伸缩变化是 omega 的 倒数，正好反过来的 omega 是 二，反而是二分之一， omega 是 二分之一，反而是乘二，所以周期就是横向伸缩变换。理解 omega 的 影响 值域不用多说了吧？ a 影响的就是值域，原来的负一正一，这样一个值域相当成了一个 a 的 系数，那当然就变成了负 a 到正 a 之间了。那单调性的话，我们只需要结合复合函数同增异减。后边会有这样的题目，这个呢，咱一会遇到题目再说。 其实我也可以现在说一说，什么意思啊？你比如说举一个非常简单的例子啊，外头的话，比如说来一个三倍的 三多少三，二分之一 x 减去三分之 pi， 就 觉得还是挺复杂的，是吧？对于这样一个正弦函数，比如说我们求它的增区间， 嗯，那么如何求它的所有的增区间呢？其实很好说，我们只需要把这个函数分成内层函数和外层函数， 这个外层函数 y 等于三倍的三 t， 大家都知道没什么问题，它有的时候是单项递增，有的时候单项递减，跟 t 的 取值范围有关，这个很容易判断，对吧？那内层函数就是 t 等于二分之一 x 减三分之 pi， t 关于 x 是 一个单调递增的函数，因为二分之一斜率是个正数，所以我们只需要让外层单调递增就可以了吧？外层是个增，内层也是个，那外层什么时候增呢？那肯定是从负半轴，从这样一个外轴的负半轴 转到了多少？转到了 y 轴的正半轴位置啊。但是毕竟我们求的不是 t， 求的是什么？求的是 x， 所以 你写成二分之一 x 减三分之 pi 就 行了。所以其实单调性并不难的，你就只要知道负函数怎么判断。呃，这个单调性你就知道怎么来解决这种问题。 对称轴不用多说了吧？对称轴我们只需要，比如说 x 零，我们只需要让 omega x 零加 five， 这个整体落在哪？落在 y 轴上，那不就是 kpi 加上二分之 pi 吗？是不是？对啊，你把它理解成 t 嘛，当这个 t 在 哪的时候， t 在 外轴上的时候，此时三点 t 才等于正一或者等于负一啊，没问题，对称中心也不用多说了吧，只需要让画圈部分等于零就可以了。对称中心写成坐标点的形式。那么了解了这些之后，接下来咱们就先来做这个例一吧， 都非常简单啊。呃，来吧，请告诉最小正序多少 t 等于二派？除 omega omega 等于二，二派除二 多少派？最小正周期是派。看对称轴对称轴的话，我们让二 x 减去四分之派，等于在外周正半轴上吧。那 k 派 k 属于 z 啊，可以任意的整数。 k 派加上二分之派，那咱们算一下不就可以了吗？ 那此时 x 算出来是多少啊？那就是二分之 k 派对 k 是 任意的整数，再加上多少八分之三派。好，后边别忘了标 k 是 任意的整数哈，这个就是它的什么？它的对称轴 x 等于它是一条直线吗？ 那么对称中心的话，我们只需要让二 x 减四分之派等于多少等于 k 派就行了吧，没问题吧？那最后求出来这个 x 是 多少呢？是二分之 k 派再加上八分之派，这个很简单，但是对称中心的话，毕竟是坐标点，咱们写成坐标点的形式啊。 那单调区间，单调区间的话，我求一个增区间，然后减区间我就直接写了啊。增区间很好说呀，我们只需要让二 x 减四分之派，其实也就是那个 t 在 什么范围内？在二 k 派就外周负半周， 一直转到了二 k 派加二分之派。对啊，然后你顺便把 x 的 范围写出来不就行了吗？那 x 的 范围求出来的话，应该是一个。呃，一个是 k 派减八分之派，另外一个是 k 派加上八分之三派。但是毕竟我们要写成区间的形式嘛，那就写成 k 派减八分之派到 k 派加八分之三派，这样一个 b 区间就可以了。后面标上 k 属于 z， 行了吧。 那单调减区间我就不写过程了，我直接说。那减区间呢？单调减区间的话，那就是在 k 派加八分之三派，然后一直到 k 派加八分之七派之间， k 属于 z， 行了吧。这个是例一，很简单。 那么接下来还有这个五点作图法。怎么来作图呢？这样的啊，列表秒点连线，咱一步都不要少。 首先干嘛？你先把这个表格你得填出来吧。那具体这个表格怎么填，其实还是跟这个内层函数外层函数有关的，咱们分成两层， 内层函数，外层函数的话就是 y 等于三倍的三 t， 内层函数就是 t 等于二分之一， x 减去六分之派，那 t 怎么取？ t 的 话，我的建议就是，这就是 t 啊。那取什么？取零二分之派派二分之三派，二派正好转了完整的一圈不就可以了吗？完整的一周， 那 t 的 范围有了呢？对应的求出，当它等于零的时候， a x 等于它，当这个整体 t 等于二分之派时候， x 等于它。然后把这五个点求出来， 那对称的好说吧，三倍的三零，那不就是零吗？三倍的三二分之派，哎，那不就是三乘一对。那么接下来就是第一个点，注意啊，横坐标是它，纵坐标是它，三分之派都好，零。第二个点，三分之七派， 逗号零啊，三分之四派啊，那接下来这个呢？然后三分之七派逗号零，还有什么？那还有三分之十派逗号负三，行了吧，你都写上 这个是三分之十派，最后一个是三分之十三派逗号零。然后呢，你把这些一 二三四五，你把完整的一个周期内的图像用平滑的曲线连接起来，这不就结束了吗？因为他让你画的是一个周期内 b 曲线上的完整的图像，行了吧。 那么接下来他要说的是，请你复述一下，请你说一说，如何能从 y 等于三 x 经过怎样的图像变换，能变成 y 等于三倍的三二分之 x 减去六分之派，就是如何从最简单的正弦函数变成这样一个复杂的正弦型函数。 两种方法吧，你用哪种都行，看你先想怎么办嘛。那首先，我可以先平移，我先变出这个负的六分之派，可以吧？对啊，减六分之派。那你看左加右减向右平移六分之派的单位。 其次呢？其次，他接下来 x， 你 得变成二分之 x 吧。反过来的啊，横向拉伸为原来的二倍，就什么纵坐标不变，横坐标拉伸为原来的二倍。 那再接下来，前头还有个三吧。哎，对，前头乘个三，那就很简单了嘛，前头乘个三的话，这个三什么影响？直域，也就是横坐标无边，纵坐标伸长为原来的三倍，这是一种。那另外一种的话，咱们也可以先伸缩 x 变成二分之一哦，纵坐标不变，横坐标拉伸为原来的二倍吧。其次呢，其次的话，你一定要注意啊，咱这个东西其实是这样看出来的，你把二分之一先提出来，括号里头会变成 x 减去三分之派，懂了吗？ 也就是说原来 x 变成 x 减三派，是向右平移了负的三分之派的单位，这个地方是容易出错的， 就出血的。同学，懂了啊，这个地方一定要搞清楚，是吧？ x 这个逻辑位置变成了 x 减三分之派，是平移了三分之派个单位，后边就好说了啊，还是横坐标不变，纵坐标乘个三嘛。 那接下来看 b 三，它只给了一部分的图像。首先这个图像呢，比较核心的点就是，其实你九求出解数来，其他都有了，有个十二分之五派都号零吧。 对，还有个三分之二派逗号，负二吧，也没问题。所以你在做这个题的时候，咱们看哎，他的什么，他值域是负二，那这个地方肯定是负二到正二之间，我们首先可以得出来， a 就是 等于二的。对啊，横向 没有变，那纵向拉升原来的二百万 a 肯定是二，影响的是值域。那么继续吧，我问你一个问题啊，请你告诉我。 呃，就这两个点，十二分之五派和三分之二派之间，他的距离是几个周期？ 是四分之一个周期对不对？这个才是完整的一个周期吗？所以你画圈这一部分横向距离他是四分之一个周期， 那所以根据周期可以求什么？四分之一个周期，那不就是三分之二 pi 减去十二分之五 pi 吗？所以咱们求出来， t 等于 pi， t 等于 pi 相当于原来的最小正序二 pi 比乘 omega， 所以 咱们 omega 是 等于二的，你看 a 等于二， omega 等于二， 咱一下就把谁求出来了，一下就把解析式里头两个参数求出来了，对不对？二倍的 x 再加上 f， 那 最后就只剩下这个 f 了， 注意啊，怎么求派啊？求派的话肯定是要带这样的，多少？肯定是要带这样的特殊值的。我的建议什么呢？你带哪个都行，你带十二分之五派都好，零也行，带他也行。我的建议是带最小的那个值吗？那行， y 等于二倍的三二 x 加上 f， 那 三分之二的话，那，那带入哪个点？带入三分之二 pi， 然后逗号负二，对吧？那我们就得出来了，三二乘三，那就是三分之四派，再加派，他算出来是等于负一的。那你要这么写的话，那不就是三分之四派再加上派 等于多少？负半轴吧，外周负半轴上三才能等于一吧。他这个整体是这样，一个中边是在外周负半轴上。二 k 派 减去二分之派。注意， k 是 任意的整数啊。那好了，嗯，写到这儿以后的话，咱们还需要整理整理，那就是 five 等于二 k 派 减去二分之派，那就是六分之三派，再减去六分之八派，六分之十一派啊，所以它是二 k 派减去六分之十一派，你 k 的 话是取任意的整数， k 取哪个整数可以让斐的绝对值在？ 嗯，也就是说在 f 在 什么范围内？在负派到正派之间吗？那只能是当 k 等于一的时候，咱们算出来 f 正好是等于六分之派，符合要求吧？对，所以到现在为止，咱们算出来了什么？根据 值域算出来 a 等于二，根据周期算出来 omega 等于二，根据特殊的点，也就是三分之二 pi， 逗号负二算出来，咱们的 pi 是 等于六分之 pi， 所以 它的解析式应该是什么？所以它的解析式应该是 多少呢？呃，应该是二倍的三啊 x， 三二倍的 x 不是 减啊，是加上六分之 pi， 懂了吧？所以 a 就是 错了， b 呢？ b 也错了呀，最小正周期是 pi 吗？ c 呢？ c 是 对的，为什么？哎呀，你对称中心的话，你只需要带入里头，你试试带入啊， 代入负的十二分之派 x 啊。 x 等于负的十二分之派，那就变成了二乘负的十二分之派，咱们看一下啊，再加上六分之派等于零吧。零啊，此时零，你说三个零是不是等于零？对，所以它是对称中心啊。对，跟 x 的 交点就是对称中心， c 是 对的。 那么再来看另外求 omega 的 范围，或者说求 omega 最值，这个是比较难的。嗯，怎么办呢？将函数图像向左平移三分之派单位，得到了曲线 c， 那 行吧， 向左平移的话，咱们看曲线 c， 咱们就写成 g， x 啊，它是三 omega， 这个 x 的 话左加，那就加上三分之派，对吧。 把所有的把这个 x 变成 x 加三分之派，这就是向左平的三分之派的单位。那么经过处理之后呢，就是 omega， x 加上三分之， omega 再加上三分之派，目前就是这样。 他说 g x 这个函数呢，它是关于外轴对称的，如果说关于外轴对称，那么我们这样一个整体 对不对？这样一个整体，它呢？当 x 等于零的时候，对不对？当 x 等于零的时候，此时 它要么等于正一，要么等于负一，那这样的话， sine 这个值， 你把 x 等于零带入吗？要么等于正一，要么等于负一，那你要这样来的话，它等于正一或者负一。那此时的三分之 omega pi 再加上三分之 pi， 它这个中边位于哪个啊？位于 y 轴上吧。那此时不就把最后结果求出来了吗？经过运算，它等于 k 乘三三， k 再加上二分之一啊， 对了吧，那 k 的 范围是什么？ k 的 范围，注意啊，你要注意的是，虽然 k 是 任意的整数，但是 omega 人家是正数的啊， k 去零吧， k 去负一肯定不行。 k 去零的时候，此时 omega 最小的整数，它是等于二分之一的，所以 omega 的 最小的值就是二分之一。对啊， 没问题了吧。那好啊，那么来看力五，力五的话，他说零到一之间至少出现了五十次最大值， 那你要注意它这个 omega 是 干嘛的？横向压缩变化或者横向拉伸变化，是吧？那纵坐标是不变的，它这个直域的话，那，那，那不用多说什么，肯定都是正一啊，负一到正一之间，我们主要是看横坐标。 我画了不到五十个啊，不到五十个你就假装有五十个吗？中间是有省略号就行了对不对？来，注意，每一个相邻的波峰之间是不是都是完整的一个周期啊？一个周期，一个周期。那既然如此的话，咱假装你看到了五十个波峰，那么就是看了啊。 首先零到四分之派之间，这是从零点到了离他最近的波峰吧。五十次最大值吗？五十最大值，哎，这是第一次， 第二次，第三次，第四次，他巴拉巴拉巴拉，一直到第五十次，那中间出现了多少次周期啊？一个周期，两个周期， 三个周期，四个周期，吧啦吧啦，一直到多少？一直到四十九个周期。所以人家是完整的四十九个周期啊。四十九个周期，再加上最左边这一段，你别忘了人家还有四分之一个周期呢。四十九又四分之一个周期， 懂了吧？比如说最极端的情况，这就是一啊，这就是原点啊。零到一中间正好包含了五十次最大值，这是最简单的情况，所以此时四十九又四分之一个周期， 他必须是小于等于一的吧？对啊，你至少包含五十次吗？那咱们就写吧， 那不就是四十九又四分之一，那就是四分之一百九十七，这是括号里头算出来的啊。周期的话，你还记得用原来的二 pi 比上 omega 这个正数吧， 然后小于等于一，于是我们就算出来了， omega 大 于等于二分之一九七派，所以横线上的值最小值不就是二分之一百九十七派了吗？那么这节课大家应该学会了正弦型函数了吧？分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。

同学们好，我是董老师。之前我们已经学习了函数它的一个图像平移，比如说 y 等于 a 三， omega x 加 f。 这个函数图像的一个变换，主要是做包含的一个周期变换，平移变换，还有一个正幅变换。 那么我们今天继续来研究他的一些性质，在一只函数图像的情况下，他的性质我们都是可以根据图像来总结得出来的。 我们来看例题，画出函数的图像，并指出他的定域值域周期、单调性和对称轴对称中心。那么画函数图像，我们也是根据之前他的一个五点法来画出。首先列表，这里面 列表，同学们还是要牢记这五个点的横坐标。第一栏是二， x 减六分之派，他令他分别是零，二分之派派，二分之三派， 二派。然后呢，它的函数值万分别是零，因为这里面是带一个正负是 a 二，因此我们可以得到这边是二零负二零。然后再把中间 x 解出来 r， x 减六分之派是等于零，所以 x 是十二分之派，后面是三分之派，十二分之七派，六分之五派，十二分之十三派。因此我们把这五个 点坐标找出来，再利用秒点连线画图，就是这在这里面的一个 描出他的点坐标分别是一个点，第二个点，第三个点，第四个点，第五个点，然后顺次连接即可。那么我们顺次连接的这五个点正好会构成一个周期。 那么已经知道函数图像，我们来看一下它的性质，比如它的定域为二值域，这里面一个周期内的一个最大值是二，最小值为负二，所以呢，它的一个值域就负二到二周期为派， 单调性正面，根据单调性，我们可以把这边再稍微往后面再写一下。所以呢，他的一个单调递增区间，我们只需要 找出这个点坐标来就行了，这个点的横坐标，因此这点的横坐标是负六分之派，正面是比较容易找的啊，为什么呢？你相当于将这个六分之五派减去一个周期减去派，就得到负六分之派。所以呢，他的一个正区间， k 派 减去六分之派到 k 派加上三分之派， k 属于 z 啊，我们需要在负例文字派和三分之派的两端加上周期的整数倍，这里面周期为派，所以加上 k 派即可，这是增区间。那么减区间咱们也可以看出来是三分之派到六分之五派， 所以是 k 派加上三分之派到 k 派加上六分之五派，其中 k 属于 z， 就是减区间啊。减区间我们可以直接根据图像来看，先观察出一个周期内的一个增减性，然后在这个两端区间两端加上周期的整数倍即可。 那对称轴呢？对称轴也是我们先在一个周期内找出对称轴，或者我们先回顾一下 c x 的对称轴，所以我们这里面只需要立二 x 减去六分之派， 等于，因为三 e x 对称轴是 k 派加上二分之派，所以它的对称轴我们令它 x 减六分之派，等 k 派加二分之派解除 x， x 就等于 二分之 k 判加上三分之判， k 属于 j， 这个就是它的对称轴。 对称中心呢，我们也可以二 x 减六分之派，先找出三 x 的对称中心是 k 派做零，所以令函坐标为二 x 减六分之派等于 k 派解的 x 是等于二分之 k 派加上十二分之派， 所以呢， sign 就是 y 等于二 sign 二 x 减六分之派的对称中心， 它的横坐标就是这个 x 对称中心，那就是二分之 k 派加十二分之派斗零，其中 k 属于 z， 这就是它的一个对称轴以及对称中心。 好，那经过这个题，其实对于一般的函数， y 等于 a 三 omega x five， 其中我们先规定 a 和 omega 是大于零的情况下，那么它的性质我们就可以总结如下， 首先，定域是 r， 值域是负 a 到 a， 周期呢，是 t 等于二派除以欧美港，这个一定要注意，周期是二派除以 x 前面的系数啊， 周期是这么多，那单调性，我们如果要求针区间，那么我们只需要令中间的这个整体，也说引这个 啊，每一个 x 加范用这个整体是大于等于二 k 派减二分之派，小于等于二 k 派加二分之派。解除 x 的范围啊，当然解除 x 的范围要用 用区间来表示，这个区间就即为真区间。同理，你要求出减区间，那就是你这一坨。哎， 我们一个 x 加范大于等于阿克派加二分之派，小于等阿克派加二分之三派，可以属于 z 解数 x 的范围，我们也是用区间来表示，解数 x 来就是他的一个减区间， 那对称性对称中心，对称轴也是一样的。所以呢，我们在这里面一定要回顾正弦函数的对称中心，对称轴，单调递增区间，单调递减区间。所以呢，在正弦函数里面的单调，他的一个 对称轴是 k 派加二分之派，那就是 lin 和 mig， x 加 f 等于 k 派加二分之派，解出 x 来，即为对称轴。如果要 求对称中心，那就是呃 make x 加范要等于 keep up 解除 x 来，解除 x 来，那么它的对称中心就是 x 零或零啊，解除 x 零来。 所以呢，我们在学字内函数它的一个性质的时候是需要干嘛呢？相当于需要做整体换元。一定要说明的是， a 和 mix 是大于零的，如果其中有一个， 比如 a 和 amiga 两个相乘，如果是小点的话，那么我们就需要用到什么呢？之前学的一个叫同针一剪的一个性质啊，在这里面是需要注意的地方啊。 我们来看例题，已知函数 f x 是等于三三 x 减四分之判，求其单调区间、对称轴及对称中心。那图像我就这里面 进行画了啊，同学们可以自己画一下，这个利用五点法来画。那么求单调递增区间，单调递减区间怎么求呢？也是根据一样的整体换圆，所以增区间。我们正面令 三 x 减四分之派属于二 k 派，减去二分之派，到二 k 派加上二分之派，其中 k 属于 z， 然后呢，解出 x 来就行了，这个三 x 减四分叉属于这个区间，相当于什么呢？相当于是三 x 减四分之派，要大于等于二 k 派， 减去二分之派，小于等于二 k 派加上二分之派，可以属于这解的，我们可以解出来是 i x 属于三分之二 k 派啊。将这个负四分之派移到这边去，那就是减去四分之派，除以三就是减去十二分之派到三分之二 k 派加上四分之派， k 属于 z 为单调递增，正面就可以求错，争取间呢，就是它的一个求法。那么减区间呢，也是令 三 x 减去二分啊，减去四分之派，这是写错啊，减去四分之派大于等于二 k 派加上二分之派，到二 k 派加上二分之三派啊， 解到 x 是属于三分之二 k 派加上四分之派到三分之二 k 派加上正面加上多少来 加上十二分之七派， k 属于 z 为单调递减 啊，所以其实这是整体范围。元对称轴，对称轴就是令三 x 减四分之派等于 k 派加上二分之派， 所以 x 轴解出来是等于三分之 k 派加上四分之派。对称中心呢，也是一样的，对称中心就是令三 x 减四分之派等于 k 派，所以对称中心，那就是对称中心。三分之 k 派加上十二分之派斗零，其中 k 属于 j， 其中 k 属于，这是一定要写的，千万不能忘。这是例题一，就它的一个单调区间对称轴，对称中心相当于整体换圆。第二题， 已知函数 f x 是 say in for x 加 five， 它的图像的一条对称轴是直线 x 的八分之派。另外求 five 好，它的对称轴是 x 等八分之派，那么我们相当于将八分之派带到这个函数里面，就这里面应 x 等八分之派，函数值会取得最值。那么我们来看一下。首先 减 f 八分之判是等于 sign five 减去四分之判， 因为它会取得最值，或者说对称轴，所以 five 是减四分之判，相当于是等于 k 判加上二分之判，其中 k 属于 z， 所以呢，我们可以去做 five 是等于 k 派加上四分之三派，这属于 z， 而 five 的范围是副派到零。我们正面令 k 等于几才会得到这个范围呢？很明显是需要令 x 按正令令正面的 k 是等于负一的，所以 k 等于负一时， five 是等于负四分之派 啊。这是第一问，第二问。那现在相当于已经知道 f x 是等于 saying 负二 x 减去四分之派，我们可以把这个里面的利用诱导公式把它提个负的出来，就负 saying r x 加上四分之派，求它的单调地争取间，这里面就已经我们之前是已经保证 a 和 mix 要大于，而这里面呢， 这个 amiga 是代零，但是 a 是负一，所以你要求它的单调递增之间，相当于本次要求三二 x 加四分之派的单调递减之间。那怎么求呢？令二 x 加四分之派，因为要求这个函数啊，就是没有负号的这个函数，它的 单调递减之间，所以我们只需要找三 e x 的一个单调递减之间大于等于二 k pay 加上二分之 pa， 小于等于二 k pa 加上二分之三 pa 解除 x 来，那么 i， 所以 解针区间就整个函数的针区间就选出来了。针区间就是 k 派加上八分之派，到 k 派加上八分之五派，其中 k c， 因此我们就求出它的一个单调递增区间啊。这是第二问，第三问，是让你求直欲问题啊！求直欲问题，那第三问求直欲问题怎么办呢？其实我们以前也是求过的，因为 f x 是等于负的 size， 二 x 加上四分子派，咱们可以换圆令 r x 加四分之派等于 t， 因为 x 是属于负四分之派到三分之派，所以 t 的范围就属于也是负四分之派， 这面三分之派大的，这 s 面就是三分之二派加上四分之派，所以呢是十二分之十一派，十二分之十一派 啊，那现在就变成，所以 y 是等于负 cying t， t 是属于这个范围，而 t 当 t 等于几的时候，它会求最大呢？这里面当 t 等于，首先这里面这个区间是含有对称轴的啊，所以呢，我们可以怎么办？直接找到对称轴，对称轴可以 二分之判，所以当 t 的二分之判函数，所以最小， y 的最小就是负一，那当 t 取多少的时候，他们有最大了，如果他取十二分之十一判，这个不是最大，我们应该是取负四分之判， 那么 y 就有最大值带过去是等于二分之根号二，所以函数的值域 那就是负一到二分之根号二即为所求啊，这个是相，就相当于我们之前在学正学函数的时候求职业的这种问题，可以整体换圆啊，这是立体二。

take your time guys！ 静下心来，三角函数真的不难，今天挑战一个视频带同学们入门外等于 a 倍的 sine omega x 加 five 的 图像知识点讲义，评论区置顶拿好以后不再选错！夸你真棒，多好， 听说全屏端探可以拿招分哦！好的，在我们开始之前呢，让我们回顾一下正弦函数与弦函数的图像。我们把三 x 四，也就是正弦函数的图像叫做正弦曲线，我们把托三 x 四也就是余弦函数的图像呢，叫做余弦曲线。 学习时候啊，同学们会找混这两个函数，那要怎么记忆呢？比如说啊，这个三引 x 是 不是有一个大 s， 所以 说呢，在这个 y 轴的左右两边，我们可以看到有一个被分割的 s 形容图像。那么呢，这个扩三引 x 是 不是有一个大 c， 所以 说呢，我们可以看到在这个 y 轴的左右两边，有一个被分割的大 c。 有 时候想到这个就不会找混了， 同样的也有些性质，让我们回顾一下。首先 y 等于三 x， 我 们看到图像啊，发现它是关于圆点 o 对 称的，所以说呢，它是一个奇函数。 然后我们发现整个函数是不是有一定规律，它是周而复始变化的，所以说呢，它是一个周期函数，其中呢，它的周期就是一个二 k 派， 其中啊，这个小 k 要属于整数级大 z， 然后呢，这个小 k 要不等于零，那我们再看一下，发现框出来的这个部分是不是就是它的一个最小正周期，也就是二派。 那么在他的这个定义域啊，就是 x 属于大 r 上，这个定义域上 y 的 取值范围是不是就是他的一个值域？那我们看一下是不是最低点有一个负一，最高点呢有一个一，所以说呢，这个函数的值域就是大于等于负一，小于等于一的。 继续看到单调性，是不是发现这一段，这一段和这一段是单调递增的？那我们选举其中一段来看，就比如说我们看到这一段，是不是有这个在 负的二分之派，然后呢到这个二分之派上，它单调递增，那怎么代表整个函数的单调性呢？我们说了它是一个周期函数，所以说呢，加上一个二 k 派， 即代表整个函数，所以说呢，在负的二分之派加二 k 派，到二分之派加上一个二 k 派上，它是一个单调递增的。 然后啊，在这一段这一段和这一段上呢，它就单调递减了。一样的，我们选其中一段来看，就比如说这一段，所以说加上周期，是不是就有在二分之派加二 k 派， 到二分之三派加上一个二 k 派这一段上呢？就有这的函数单调递减。同样的，我们继续看到最值是不是一样的？选举其中一个点来看， 就比如说当 x 啊，等于一个负的二分之派时，我们取到一个最小值有负一，所以说是不是加上一个周期，当 x 等于负的二分之派 加上一个二 k 派时呢？有这个 y 取的一个最小值等于负一，同样的最大值，我们先去其中一个点来看，比如说这个二分之派的时候，是不是取了一个一，所以说呢，加上周期，当 x 等于二分之派 加上一个二 k 派的时候，有这个 y 取的一个最大值等于一，这就是我们一个正弦函数的相差性质， 下一个 y 等于扩散引 x， 我 们看到图像啊，是不是关于 y 轴对称，所以说呢，它是一个偶函数 一样的呢，这个函数图像啊，周而复始，有一定的周期变化规律，所以说它是一个周期函数，其中呢，这个二 k 派就是它的一个周期，其中 k 要属于大 z， 而且要不等于零，它的一个最小正周期一样的也是一个二派。 然后呢，在这个定义域， x 属于大 r 上啊，它的一个 y 的 值范围，我们看到是不是最小值可以取到负一，最大值可以取到一，所以说呢，它的值域就是大于等于负一，小于等于一的。 然后单调性，我们选取一段来看，首先先看单调递增呗，比如说这一段是不是就有它是一个负派到零上，然后我们加上一个周期啊，是不是有这个负派加二 k 派，然后零可以不齐，然后呢就是到二 k 派上，它是一个单调递增的， 然后呢单调递减也全取一段来看呗，就比如说这一段是不是就是零到派上？一样的，我们加上周期是不是有二 k 派，然后呢到我们的一个派加上一个二 k 派，这的函数呢，就单调递减，让我们看到这一个最值啊，一个一个来看， 是不是在零这里呢，取得一个最大值一，所以说呢，加上周期就有着 x 等于二推派的时候，有着 y 取得一个最大值等于一，一样的这个最小值，是不是我们看一下，就比如说派 x 等于派，加上周期二推派的时候呢，就有着 y 取得一个最小值，也就是等于一个 负一，这就是我们余弦函数的一些性质。好，那 y 等于 a 倍的 sine cosine omega， x 加上 f， 我 们称之为正弦型函数。我们从这个 sine x 变成它，我们要关注什么呢？主要是三个参数，分别是大 a， omega， 然后呢，还有 five， 它们分别会有什么影响呢？我们先套到到 a 啊，它影响的是一个我们函数图像的纵向伸缩，什么意思呢？比如说，像我们从一个 sin x 变成了一个二倍的 sin x， 我们可以看出来啊，这种时候呢，大 a 是 不是就等于二？那对于我们这个 y 等于三 x 的 图像会有什么影响呢？纵向就伸缩了两倍，就变成了这个样子，大致呢就会长成这样，这时候呢，它的一个最大最小值就变成了二 和一个负二。所以说呢，我们知道啊，这一段的一个长度就等于什么？是不是就我们的一个 a 的 绝对值， 那 omega 呢？没错，它影响的是我们函数图像的一个横向伸缩。要知道啊，我们正弦型函数的一个周期大 t 是 等于二派比乘一个 omega 的 绝对值的，怎么理解？就比如说现在当我们的 sine x 变成了一个 sine 二 x 的 时候，这种时候呢，我们的 omega 是 等于二的，那 omega 变成了二，是不是我们的周期要缩短为原来的一个二分之一， 是不是就反过来了？与我们的纵向伸缩不一样，当这个三 x 变成三二 x 的 时候呢，再缩短为原来的一个二分之一。所以说呢，图像大致这一段只能变成这样。要注意啊，这个横向伸缩是不会影响纵向的，所以说呢，它这个上下的最大最小值还是一的负一。 那如果是 sine x 变成了 sine 二分之一 x 呢？是不是重说 omega 等于二分之一了，所以说 t 就 变成了原来的两倍，所以 说，我们就划一部分大致，比如说这一段可能就变成了原来的两倍，然后纵向不变，是不是大致图像可能就长这个样子，然后呢，最大值依然还是一， 这个呢，就是当 omega 等于二分之一对函数图像的一个影响，那么 five 呢，它影响的是我们函数的一个左右平移。我们要记住一个口诀啊，就是左加 右减，什么意思呢？就比如说啊，当我们现在是 sine x 变成了一个 sine x 加二分之 pi， 哎，注意，这是一个加号，这时候呢， pi 是 等于一个二分之 pi 的， 所以说呢，它满足我们左加右减。什么意思？是不是函数的整体图像啊，就要向左平移二分之 pi 的 单位，比如说这一段 向左平移二分之 pi 的 单位，是不是就变成了这个样子，它们中间就平移了二分之 pi 的 单位。同样呢，当我们这个 pi 啊，是等于的负的二分之 pi 的 时候，比如说现在三 x 变成了 sin x 减二分之派，左加右减，这种时候 five 等于负的二分之派了，是不是？所以说呢，这种时候呢，就要向右平移二分之派的单位。函数图像呢，可能就比如说，就差这一部分，大致可能就会平移成这个样子。 好，我们将大致做了一遍全部函数啊，然后我们再一个一个来细看。首先看到 f 下面这的图像呢，分别是我们 y 等于三 x 和 y 等于三英寸内 x 减三分之 pi 的 图像，其中呢，这个 f 是 等于一个负的三分之 pi 的。 然后呢，我们在这两个曲线上选取纵坐标相同的点点 a 和点 b， 然后呢，我们把它连起来，得到一个线段 a b， 然后呢，我们沿着的曲线啊，同时移动这两点，并保持它们的一个纵坐标相等，所以说呢，就是这一条线段，我们要怎么移动一下， 给它平行，然后平行于这个 a b， 对 吧？然后呢，保持移动。哎，我们发现什么了，在它这个移动的过程中啊，是不是 始终都有一个什么规律？是不是 y 等于三引括号内 x 减三分之派，图像上的点的横坐标总是等于 y 等于三 x 的 图像上点的横坐标加上一个三分之派，于是这一段的单位长度啊，就是等于一个三分之派的。 所以说呢，说明了一个问题，这的 sine cosine x 减三分之 pi 的 图像，是不是可以看作是把正弦函数 y 等于 sin x 的 图像上所有的点向右平移了一个三分之 pi 的 单位？ 所以说呢，我们得出一个结论， y 等于 sine x 的 图像，当这的 sine 大 于零的时候，是向左平移的， f 小 于零的时候呢，是向右平移的，就是我们的口诀左加右减，那它平移的长度呢，就是让 f 的 一个绝对值的单位长度，所以就可以得到我们一个 y 等于三平方内 x 加 f 的 图像。 好，我们来看例子，第一个， y 等于三根括号内 x 减六分之派，变成 y 等于三 x， 是 不是它们俩之间相差了一个负的六分之派，所以说呢，它变成它要加上一个六分之派，那么左加右减是不是就是向左平移六分之派的单位？ 继续第二个 y 等于三阴负 x， 变成 y 等于三阴括号内六分之派减 x， 也是说啊，同学们想当然的看着它们俩只差了一个六分之派， 所以说呢，就说加六分之派，向左平移六分之派的单位，这是不对的哦，我们要记住，这个负 x 要把它当做一个整体， 就是我们这个 omega x 这一部分是一个整体，那我们将错就错，如果是向左平移六分之派的单位，它做整体会变成什么样呢？比如说 sine 负 x， 这是一个整体，然后向左平移六分之派的单位，是不是保留着的符号就等于 sine 括号内负的， 然后 x 左加加上六分之派，那我们展开这个括号就变成什么了？是不是就变成了 si 负 x 减六分之派了？是不是和我们这个答案不一样？ 那要怎么做呢？我们由最后这的结构啊，这个 y 等于 si 括号内六分之派减 x， 这时候呢，我们知道原先这函数的系数是负一，所以说呢，怎么视作整体？我们就提出一个负一来，那么就有等于 sign 括号内提出一个符号来，变成了什么？是不是负的六分之派加上 x， 然后加上括号，哎，这种时候要怎么探？我们探啊？首先这个负的 x， 这前面都有一个系数符号了，可以不探。然后呢，这两个都是一个整体，是不是这里有个 x 是 正的，这里有个 x 是 正的，多了一个负的六分之派，所以说呢，它整体是要把这个向它 减掉一个六分之派，也就是向左加右减，向右平移了六分之派的单位可以得到它 下一个 y 等于 sine 二 x 向右平移六分之派的单位长度。注意啦，这个系数是不是不等于一是一个二 x， 所以 说呢，看作一个整体 y 等于 sine 二 x 向右平移了六分之派的单位长度，是不是就等于 sine 二倍的左加右减？是 x 减六分之派，二乘 pi x 减六分之派，所以呢，就变成了一个 si pi pi 二 x 减三分之派，这是平移后的一个函数， 最后一个 y 等于三 in 括号内 x 加六分之派变成 y 等于拓三引 x， 哎，三引变成拓三引，是不是我们要想到一个什么我们三角函数的诱导公式，那最简单的一个三变拓三引的是不是由三引而法加二分之派，然后呢，等于我们一个拓三引而法 行？那遵照这周，我们先把这个三引变成 to 三引呗，那么就有这个 sine 括号内 x 加六分之派，然后呢，我们把它向 是不是左加，所以说呢，向左平移二分之派的单位，然后呢就有这个三引 括号内 x 加六分之派，然后再加上这个括号外的一个二分之派，这种时候呢，是不是就等价于是一个什么变成了利用诱导公式，就是 cosine 括号内 x 加六分之派， ok， 那 现在这个拓三引括号的 x 加六分之派变成拓三引 x 是 不是最简单了？这个变成它是不是要减掉一个六分之派？左加右减是不是向右平移一个六分之派的单位就有这个变成了拓三引 x 行，一个是向左平移了二分之派的单位，一个又向右又平移了六分之派的单位，是向左的，平移量要大一点。那我们整体是不是让二分之派 减六分之派就减了一个？什么？是不是三分之派？所以说呢，它这个整体啊，就是一个向左平移了三分之派的单位，长度 好，继续。第一，要得到函数 y 等于 sine corner 内二 x 加三分之派的图像，只要将函数 y 等于 sign 二 x 的 图像，怎么平移？我们看一下这是不是原本要平移的一个函数，然后它这个系数呢？ x 是 我们家是等于二的，所以说对于我们这个目标要变成的一个函数图像啊，我们直接就把这个系数二给它提出来。怎么提？比如说我们这个 sign 二 x 加三分之派，把它视作一个整体，对吧？一起提个二出来，这里提个二出来，这里系数变成一，这里变成了六分之派。所以说呢，它就等于 sign 二倍的括号内 x 加六分之派。哎，这种时候是不是就一目了然了？所以说呢，左加右减， 向左平移六分之派个单位选 c。 下一个。第二小问，为了得到 y 等于三 in 括号内 x 加三分之派的图像，只需要将函数 y 等于括号以内 x 的 图像，怎么而得到？ 哎，这种时候啊，是我们 cosine 变 sin， 是 不是和刚刚一样，我们要想到我们一个三角函数的诱导公式，那 cosine 变 cosine 的 诱导公式是不是由 cosine 二分之派 减而法是等于一个 sine 而法的？哎，但是这个系数好像 x， c 的 系数都是正的，都是一，这里一个负的一个正的好像不太好用。那我们还要想到一个东西啊，我们的一个 cosine 是 不是是一个什么 偶函数？关于 y 轴对称，有 f x 是 等于 f 负 x 的， 所以说呢，这个式子还可以列成什么样？是不是这里加着符号也是恒等的，所以说有还等于 cosine， cosine 内，而法减二分之派 好，这种时候是不是我们就可以开始变换了？首先先托在引变三引，那我们把这个托在引 x 的 图像，然后呢，我们把它变成三引，是不是这里要减掉一个二分之派？左加右减，是不是就向右先平移一个二分之派的单位， 就得到一个托在引括号内 x 减二分之派，也就是等于用我们一个 sign x 行，现在这个三 x 再变成它，是不是就差一个三分之派了？就很简单，所以说左加右减，向左再平移三分之派的单位，加上三分之派，就可以得到一个三 x 加三分之派。 行，我们整体看一下，首先先向右平移了二分之派的单位，又向左平移了三分之派的单位，所以说整体的偏移量，平移的量是不是是向右平移的？然后呢，就是向右平移了一个二分之派，减三分之派，也就是多少 六分之派的单位长度，所以说呢，就把这图像向右整体平移六分之派的单位长度就可以得到了。 所以说有这样的例题，我们总结一下，斐，对平移变换来说啊，应该先观察函数名是否相同，若函数名不同啊，则先化为同名函数，会用到每一个诱导公式或者 sin 或 sin 的 一个奇偶性来变换。再观察一个 x 的 奇数， 当 x 前的系数不为一的时候啊，应该提取系数确定一个平移的单位和方向。方向呢，遵循我们一个口诀，左加右减，且从这个 omega x 变成一个 omega x 加 f 的 平移量啊，是等于我们一个 f 比上 omega 绝对值个单位长度的 下一个参数 omega。 大 多数情况呢，这只 omega 是 大于零的，我们看到下图，它分别是 y 等于三 x 和 y 等于三 x 二分之一 x 的 图像。我们知道啊，这只 omega 是 不是就等于二分之一了？ 然后呢，从这只 y 等于三 x 到 y 等于三 x 二分之一 x， 我 们函数的周期是不是从这只二派变成了一个四派？ 这说明什么问题？是不是说明我们这个 y 等于 sin 二分之一 x 的 图像可以看作是把这个正弦曲线 y 等于 sin x 上的所有点的横坐标伸长到原来的两倍，其中呢，这个纵坐标是不变的，所以说呢，这个 横向拉长两倍就变成了它。所以说啊，结合我们刚刚所学的 y 等于 sin 括号内 x 加 f 的 图像上所有点的时候呢，它是缩短的图像。 当 omega 大 于零小于一的时候呢？图像伸长。为什么呢？用我们的周期大 t 啊，是等于二 pi 比上一个 omega 角的绝对值的，所以说，它要变为原来的 omega 分 之一倍， 最后就可以得到我们的 y 等于三根括号内 omega x 加上 f。 好 的来看例题。例一为得到 y 等于三根括号内 x 加三分之 pi 的 图像，只需要把 y 等于三根括号内 x 加三分之 pi 的 图像上的所有点怎么变？是不是 它变成它 x 变四 x， 欧米伽的变换横向伸缩，然后呢？ x 变四 x 四分之一选 b。 第二问， 函数 y 等于拓萨隐 x， 图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的两倍。欧米伽的横向伸缩所得图像的解析式为， y 等于拓萨隐欧米伽 x， 所以 说欧米伽是等于二分之一的，所以说欧米伽的值等于二分之一。 总结一下，在研究 omega 且 omega 大 于零对 y 等于 sine cosine omega x 加 sine 图像的影响的时候啊，由此 y 等于 sine cosine x 加 sine， 图像上所有点的横坐标变为原来的 omega 分 之一倍。注意， 纵坐标不变即可以得到这个 y 等于三英寸内 omega x 加 five 的 图像。下一个参数大 a， 通常呢，大 a 也是大于零的，我们看到下图啊，分别是这个 y 等于三英寸内二 x 减三分之 pi 的 图像，后面这个 y 等于三倍三英寸内二 x 减三分之 pi 的 图像。 我们发现什么？它的横向是不是一样的，没有被拉伸，拉伸的是我们的一个纵向上下，其中的这个大 a 是 等于一个三的。我们观察一下可以发现啊，对于同一个 x 值，这的 y 等于三倍三。以括号内二 x 减三分之派的图像上的点的一个纵坐标，也就是 y 的 值总是等于这个 y 等于三 e。 括号内二 x 减三分之派的一个图像上对应点的纵坐标，也就是 y 的 值的三倍，它乘三等于它，就比如说它的一个极值点，是吧，这个 下面的这个函数呢，这个 y 等于三 e 括号内二 x 减三分之派的最大值是一，然后上面这个 y 等于三倍三 e 括号内二 x 减三分之派的最大值就变成了三，同理呢，这个最小值一个是负一，另外一个是负三， 所以说 y 等于三。 in coin， 我 们改 x 加 five 的 图像上所有点的纵坐标啊，当 a 大 于一的时候是伸长的，当 a 大 于零小于一的时候是缩短的，也就是变为原来的 a 倍。这这就很好理解啦，哪怕它不是一个三角函数，比如说我们记着 x 变成了二 x， x 加一呢，在它这整体乘了一个二二倍的 x 加一，是不是自然而然整体的这个函数，也就是 y f x 的 值就变为了原来的一个 a 倍， 然后呢，就可以得到我们 y 等于 a 倍。三域拓扑化内，我们点 x 加 f， 那 来两道例题， 函数 y 等于三引括号内二 x 减四分之派，图像上所谓点的横坐标保持不变，将纵坐标怎么变换？得到这个函数 y 等于三倍。三引括号内二 x 减四分之派的图像，是不是把 a 的 变换纵坐标，然后呢伸长原来的三倍。 下一题为，得到函数 y 等于四分之一拓三 x 的 图像，只需要把余弦函数 y 等于拓三 x 上所谓点的是不是 a 来变纵坐标，然后四分之一选 d。 总结一下，在研究参数大 a 且大 a 大 于零对 y 等于 a 倍三，以括号内 omg x 加 five 的 图像的影响时， 由这的 y 等于三引括号内 omega x 加 f， 图像上所有点的纵坐标变为原来的 a 倍，且横坐标不变，就可以得到这的 y 等于 a 倍三引括号内 omega， x 加 f 的 图像。好的，我们刚把三个参数一一学习了一遍，分别是 f， omega 和大 a， 那 么现在我们综合起来，当这的 y 等于三引 x 变成了 y 等于 a 倍三引括号内 omega， x 加 f 的 时候啊， 聪明的同学就会想，那有这个伸缩变换，也会有平移变换，应该哪个先哪个后呢？贾老师告诉大家，平移变换和伸缩变换是没有先后顺序的，但是两种变换下，平移的一个单位长度不一样， 因为是先伸缩还是先平移会受到这个欧米伽影响，因为我们会把它看做一个整体，对吧？ 同学们可以暂停先慢慢理解一下这个图。然后呢，在例题里面，我会为大家详细讲解。 看章章的一个过程图可能是抽象的，那我们来一道例题，自然就一目了然。由 y 等于三倍三 x 变成 y 等于三倍三 x 内二分之一 x 加三分之派，是不是主要会有两个过程，要不呢，先平移后伸缩，或者是先伸缩后平移，我们一个一个来看。首先呢，第一种， 先平移后伸缩，三倍 sine x 要平移，是不是这里加了一个三分之 pi， 左加右起，所以说向左平移三分之 pi 的 单位就可以得到三倍 sine， 括号内 x 加三分之 pi。 然后呢，这里 x 线的系数啊，是二分之一，是不是横坐标就变为原来的？一个两倍就可以得到三倍 sine， 括号内二分之一 x 加上三分之 pi 让那第二种情况啊，先伸缩后平移，一样的三倍 sin x 是 不是先伸缩 x 变二分之一 x， 横坐标变为原来的两倍，就可以得到三倍 sin 二分之一 x， 然后啊，这个时候要平移，是不是我们要考虑把它作为一个整体？这只 omega 呢，是等于二分之一，是不等于一的，要把它作为整体考虑进去。 那这个什么乘以一个二分之一可以等于三分之派呢？是不是左加右减就是二分之一乘以三分之二派，就有这三分之一乘以三二分之一整体带进去 x 加三分之二派， 然后呢，是不是我们把它算进去，乘进去就可以得到三倍三？引括号内二分之一 x 加三分之派就可以得到我们的一个目标函数了。 是不是我们就可以发现先平移后伸缩和先伸缩后平移这个单位长度是不一样的，分别是三分之派和一个三分之二派。 因为先伸缩再平移啊，会受到它一个系数欧米伽的影响，所以说它们平移量是不一样的。好的，我们今天的课程呢，就到此结束了，谢谢同学们的专看，让我们在下期课程再见，拜拜！ i want you。

大家好，今天呢，我们就来讲一讲令很多高一同学非常头疼的正弦型函数 y 等于 a 倍的三，我们给 x 加 five， 其实主要就是这三个参数， a， omeg 还有 five 这三个参数分别是怎么影响这个正前函数的图像的，我们来看一下啊。首先这个正前函数的话，还是很好理解的，它就是由三角函数正前函数的定义出来的，对吧？ 然后呢，点劈出这个红色的点，就是点劈的纵坐标吗？点劈的纵坐标就是这个三 x 的值，对不对？然后呢，这个红线的长度，实际上啊，就是你这个横坐标，你可以这么来理解。 好，那么当这个转了一圈之后啊，当你这样一个点辟，绕着这样一个圆在圆上转了一周之后，那完整的一个周期的正向函数图像，零到二派之间吧，这个图像 也就画出来了，这个还是非常的形象的，用软件仿真出来。那么我们要看的是什么呢？我们看一看他的这个图像性质，他比较简单，我就快速的说一下定义域，这个定义域 不用多说什么了吧，就整体的实数嘛， x 随便取值域的话，正负一之间三， x 当然在正负一之间，最小正周期是二拍，这个呢跟正向函数的这样一个定义有关，它是根据嗯，这样一个单位圆画出来的嘛，绕一周就是三百六十度，就是二拍，然后对称轴，对称轴的话， 这是可以拍加二分之拍，其实也就是外轴，正板轴或者负板轴上所对应的那样一个任意角的直，这个呢就叫对称轴，对称中心的话就是什么时候啊？三横坐标吧，他这个横坐标就是多少，就是单位员在 x 轴上的时候可以拍 啊。嗯，积函数当然是个积函数了，因为诱导公式已经告诉我们了，三负 x 永远是等于负的。三 x 这个负号可以提出来，所以肯定是一个积函数，从函数图像上也可以看出来啊。 那么最后的话，还有这个单调性，单调性的话其实还是跟那样一个圆有关的，你画出来这个圆之后的话，这个箭头的方向大家能看出来吧？我画的这个箭头的方向，实际上指的是第四象限，也就是从外轴的 负弯轴绕到这样一个正弯轴上，此时呀，他是怎么样的？此时 x 在这样一个箭头的这样一个范围内是单调递增的。这个三 x， 因为你这个点皮的纵坐标在这个范围内 就是总坐标，他就是单调递增的吗？那么从什么范围啊？我再画另外一个，那么另外一个箭头的方向，他就是单调递减的 方向了啊。那怎么写呢？二 k 拍加二分之拍，从外轴的正板轴一直绕到外轴的负板轴啊。但是最后你写的时候，写这个单调减去间和单调增去线的时候，千万不要忘记写 k 属于 z k， 它必须是整数才行啊，任意的整数。 那好了，现在我们就要进入正题了，这节课我们研究研究这个参数 aomega， 还有 five 对这个正弦型的函数究竟有什么影响？主要是对它的图像有什么影响？我们先来研究一个啊，就这个 five， 比如说咱们举一个例子， 嗯，一个是函数三 x 才能刚刚学完，另外一个是三，比如说 x 加上四分之牌，加上四十五度吧，它究竟是向左平移呢？还是向右平移呢？哦，我们在 x 原来的逻辑位置变成了 x 加四分之牌，那肯定是左加右 右减吗？一定要记着是左加右减啊，既然是左加右减的话，那就是向左平移 四分之派个单位就行了，那么上下是没有平移的啊，就只是左右平移而已。那我们画一个图就更加清楚了，黑色的图像我们可以看出来就是三 x 图像，红色的图像呢，是 x 加四分之派，你看是不是 这样一个图像向左平移了四分之派的单位啊？那原来派这个点， a 点平移到 b 点，那 a 点是派多少零，那 b 点不就是四分之三派多少零吗？清楚了吧？向左平移四分之派的单位， 如果这个位置是减的话，那可是向右平移了啊。所以说这个左右平移就是这个 fi 的图像的影响，还是非常简单的，主要就是左右平移就可以。那么另外这个 omeg 它是怎么影响的呀？ 比如说咱们举一个例子啊，一个是三按 x 的图像，这个我们刚刚介绍完。另外一个呢，我写一下，比如说三按二 x， 或者写成三按二分之一 x， 那他这个图像究竟是怎样变化的呢？大家可能想不出来啊， 非常违反直觉的地方就是，如果这写的是二倍的 x， 那么这种情况下啊，他不是横坐标变成原来的二倍，而是横坐标变成原来的二分之一，其实也是很简单的，为什么呢？我们原来这个 x 就是第一个函数的图像，它自变量写上 x 一，第二个呢，写上 x 二， 当这个 y 完全不变的情况下，当这个 y 相等的情况下，那此时 x 一为了保证跟二倍的 x 二相等，你看 y 相等了，对吧？那自变量也必须完全对应相等，那此时 x 二变 变成了原来的二分之一，清楚了吧？也就是说这个位置是什么？是二，他反而是压缩为原来的二分之一的，清楚了吗？所以说我写上他的变化过程啊。这个箭头的变化过程指的是图像压缩啊，准确的来说是横向压缩， 就是纵坐标不不变，但是呢，这个横坐标都压缩为原来的二分之一，这就是横向压缩啊。那我们把这个图画出来，其实更加形象，你看， 他这写的是二分之一 x 八，反过来了，正好是拉伸，横向拉伸成原来的二倍，原来是副派都和零。哎，我们拉伸成为原来的这样一个二派了，原来我们这个函数呢，很清楚他的周期是多少？他的周期当然 是二派了，最小正周期。那现在这个红色的图像二分之一 x 呢？他的周期你看看，请你告诉我是多少啊？负二派和正二派之间，他是四派啊，清楚了吧？他虽然写的是二分之一，反而是横向，就是拉伸为原来的两倍。 他写的是二，反而是压缩为原来的二分之一，这是反直觉的，跟什么道理是一样的？跟这个三 i x 和三 i x 加四分之派，道理是一样的。 好像直观上看，横坐标是应该加四分之排是向右，不，其实是向左了，能懂我的意思吧？他是反过来的，你就记住啊， 那么接下来咱们画一下另外一个图像了，你看是不是三 x 的图像是图中黑色的，那如果成了个二倍，反而是更加密了，原来的周期是多少？嗨，原来的周期是二， 那新的周期反而变成了多少？反而变成了派，所以这是反过来的，一定要记住啊，当欧米杆怎么样的时候，大于一的时候，他这个图像啊，就横坐标压缩到原来的欧米杆分之一。 如果欧米格他是小于一的，是一个分数三分之一，二分之一，他反而是拉伸到，就是横向伸长到原来的欧米格分之一倍，清楚了吧？这个呢，反过来记就可以了。 那么接下来这个 a 对函数的图像影响的话，是非常直观的啊，也非常简单。我就问你一个问题啊，如果说三 x 它的值域是在负一 到正一之间的话，那么我问你，二倍的三 x， 它的值于在什么范围内啊？那显然是在负二到正二范围内。那如果我写 写一个二分之一三 x 这个值域呢？那肯定是负二分之一，照正二分之一啊，这个就是乘法法则，所以它非常直观。也就是说，你前头这个 a 大于一， 我横坐标不变，但是纵坐标变长到原来的 a 倍。如果这个 a 它是零到一之间的这样一个分数，那就是纵向的，你注意啊，是纵向压缩了，那横坐标不变，但是纵坐标要变大或者变小，那图像也是很简单的。我们图中啊， 你看黑色的部分，这个图像是谁？是三 x 的标准的正加函数，但如果你前头乘一个二倍呢，它的值域就变成了负二到二之间了，但是你看蓝色的部分，如果前头乘的是一个二分之一，那的值域不就变成了啊，二分之一就是负二分之一 一到正二分之一之间吗？清楚了吧，所以说这个 a 对图像的影响主要是横坐后边，就是说纵向的伸缩变换啊。好，这个 a 主要影响的是这个。那最后的话，我们可以做一下简单的总结吗？ a 是怎么样的？ a 主要影响的是纵向的，主要影响的是 外坐标啊。那这个 omeg 影响的什么？是反过来的啊？ omeg 大于一压缩， omeg 小于一拉伸啊，它是横向伸缩变换。 那这个 fi 呢？ fi 的话，其实在这样一个简学物理上的简学运动的时候呢，也叫一个初项，初始的项位，它主要影响的是什么？主要是通过左右平移来实现的。 能能理解我的意思吧，这是左右平移啊，我写清楚吧，因为在有些问题中，他还会涉及到什么？ 还会涉及到啊， y 等于什么？等于三 x 再加上六，这当然是上下便宜了这个六，如果右边还有一个数字的话，那就是上下 平移了。现在清楚了吧，这些参数原来是这样，影像函数图像的。那么听完我的讲解以后，接下来这道题就特别简单了啊，有人说了，老师减这个三分之派，所以是左加右键向右平移三分之派个单位，然后有人就直接选 b 了，呵呵，那你就错了，知道为什么吗？ 是 x 这个逻辑位置啊。同学，你看我这个三二 x， 我应该把这个画圈部分给你变一下。咱们看了哈画圈这个部分啊，二 x 减去三分之派，我改一种写法，你应该把二单独拎出来去考虑的。 x 减去六 六分之派，清楚了吗？其实就是把 x 这样一个逻辑位置变成了 x 减六分之派，你说变成了什么？左加右减吧，这个时候应该是左加右减，向右平移，不是三分之派，是六分之派的单位。这个题应该选四 d 呢？ x 发生了怎样的变化？就是向左或者平左向右平移了几个单位，清楚了吧？他不是选 r b 选 c d 啊。那么接下来我们继续来看正向性函数的性质，总结一下就可以了啊。横向压缩变换呗。那很简单呀啊，这个横坐标变成原来的多少倍？ 那周期的话，不就是二派乘欧米格分之一吗？除欧米格，这个就是新的最小正周期了。比如说我来了一个 y 等于三二 x， 他的周期不是四派啊，是变成了派了，正好是反过来的。是除欧米格的，清楚了吧，他的最小正周期啊，是 好，这是这样一个周期性。那第二点的话，就是值欲，值欲非常简单啊，你如果 a 是等于二，那就是正负二， a 等于二分之一，就正负二分之一呗。这个很简单啊，那继续来看即有性， 基友性怎么办呢？基友性主要就是看 fi 这个位置啊，他其实跟谁有关？跟这个诱导公式有关啊，为什么呢？你看这个东西就知道了啊。三 omega x 加 fi， 如果这个 five 我写成 k 派，你说呢？即变偶不变符号。看相片吧，这可是偶数个二分之派啊。 我们上节课刚讲过这个诱导公式，所以这种情况下就是不变了，还是三欧米克 x， 那么最终再看一看，究竟取决于哪个象限嘛？就是这个中边可能是正好，也有可能是负号，跟这个 k 的值取值有关，但是他肯定是个奇函数。 偶函数就不用多说了啊，因为它的话，你这个三，你注意啊，这个 fi omex 加 fi， 加 fi 的话，我写上 k 派加上二分之派，哎，这个里头是基数啊，二分之派啊，基数吧，二分之派，你最后就要变成 口算 omex 了，显然它是个偶函数，这个也不用过多的去解释啊，那么单调区间，还有包括后边这个对称轴放上对称中心，其实都是跟谁有关的？嗯，你就根据复合函数的这样一个理解来就行了啊。根据复合函数来理解，比如说我们取这个对称轴的时候啊， 怎样取这个对称轴呢？三 omega x 加上 five， 哎，对称轴横坐标怎么取啊？你让这个整体就是它内层， omega x 加 five 等于，哦，我知道了，让这样一个 整体画圈这个整体的中边，让这个 t 在哪啊？在他这个中边在外轴上就行。所以说 k 派加上二分之派就行了啊，就这么来理解，其他都好说。那现在我们还有一点需要掌握的，就是五点做头法，因为 他这个函数呢，经常会给你函数图像，让你求参数，或者说根据参数你画出图像来。我们说一下啊，比如说怎么去画这个函数呢？他这个函数这样来画啊，五点法，五点法，首先确定最初始的状态，当二 x 加六分之派等于零的时候， 嗯，也就是说你理解的时候，你可以理解成这样吗？我这个内层函数是 t 等于二， x 加六分之百，它是个单调算函数，这个外层函数就是一个非常简单的， y 等于二倍的三 t， 当 t 等于零的时候，不就是原点所对应的那样一个初始位置吗？此时算出来， x 是负二分之派的，所以说负十二分之派逗号零，这个点很关键 哦。然后他的周期是多少呢？原来的周期当然是多少了，是二排，但是现在成了个二，那你就后来的周期除二除我们一个，就变成了派，那接下来就很简单了， 这个派的四分之一，你看好了啊。哦，负十二分之派向右平移，四分之派的单位变成了六分之派，六分之派再加上四分之派， 变成了多少啊？变成十二分之五拍，十二分之五拍，再加上四分之拍，然后呢，三分之二拍，再加上四分之拍，就这样来取，这样的话，你看最高点，远，这个零点，还有最高点，这些都 画出来吧。五个点，把一个完整的周期画出来，那么用平滑的虚线画出来就行了。画的时候注意啊，千万不要画成这个红色的部分，因为你，因为你不是只有一个周期的，你其他地方也得有，一定要画出头啊，一定要稍微画出头，这样的话，五点做头发，就把这样一个正向类型的函数图像画出来了。 那么我们遇到的问题，比如说这个例二，看一下他怎么解？请你利用五点作图法，画出这样一个函数，怎么样啊？在一个完整周期风这个 b 区间上的图像啊？那行， 首先我们先让二 x 减六分之派等于几啊？等于零吧，那这个时候的话很简单，那 x 的话就等于三分之派，所以初始为止那个三分之派逗号零是非常关键非常重要的一个点。那接下来是不是三分之派逗号零， 对吧？然后呢？他这个周期是多少啊？他的周期就应该是啊，原来的周期，二拍比上我那个二分之一是等于四拍的吧？哎，三分之拍加拍，三分之四拍，三分之四拍再加四分之一个周期，三分之七拍， 三分之七派，再加四分之一个周期三分之十派，三分之十派再加四分之一个周期派，那就是三分之十三派。好了，那把这些画出来以后，这些点就有了吧，你看他是让你画一个完整必须原唱的，所以这个位置咱们就用实心来表示，把这五个点 连起来吗？第一个点，他逗号零，然后他逗号三，他逗号零，然后他逗号负，三，他逗号零，然后把这五个点用平滑曲线连起来就可以了啊。那么画完这个图之后的话，那么接下来我们继续来看这个第二问啊。第二问的 啊，就是想问一问，你说如何从这个三 x 的图像能够变出来这个三倍的三二分之一 x 减去它呀？这个方法非常多啊，方法非常多。那么究竟是先左右平移再伸缩变换，还是先伸缩变换再左右平移，咱们先平移啊？ 先平移的话，我可以先平移，把这个负的六分之派表示出来吧，左加右键，那肯定是先 向右平移六分之拍个单位，对吧？然后你发现你这个里头要变成二分之一了吧？那为了变成二分之一还要怎么变 哦？所有的横坐标在这样的一个基础上，再怎么样，横坐标深藏为原来的二倍，但是纵坐标不变，那么在接下来他这个三是不是还要哦，三的话，就是纵向拉伸为原来的三倍， 所以就说接着在这样一个基础上，嗯，横坐标不变，纵坐标都变成原来的三倍就可以了。这是这样一种方法，另外一种的话，也可以先伸缩后平都行的啊。那么继续了，我们也可以先把这个二分之一变出来， 也就是在三 i x 正线函数的图像基础上，横坐标拉伸为原来的两倍，但是纵坐标不变，然后呢？ 你得把这个，哎，有些看不懂了，老师，你这写的负六分之派，这怎么写的三分之派呢？想要便宜来，这样来看哈，你其实应该写成什么？ y 等于三，你先把二分之一拿出来， x 减去三分之。哦，清楚了，它其实是在画圈这样一个逻辑位置上，这个 x 从原来的 x 变成了 x 减三分之派，所以是向右平移三分之派，不是六分之派啊。所以这个你如果是先伸缩后平移，用方法二得出图像来，一定要记住，这个位置是三分之派，不是六分之派。 然后最后一步的话，都是这个三倍吗？前头这个三倍怎么办啊？那就是在原来这个图像横坐标不变的基础上，纵坐标变为原来的三倍也是可以变出来的啊，这个取决于你究竟是先伸缩还是先平移，都行，反正最后都可以变成这个图像来啊，那么我们继续来看例三， 第三的话，他是首先给了你这个图了，然后呢，让你判断这个解析是可能是什么？首先我关注的是什么呀？我关注的是这个 aa 的话，影响的是值欲啊，这个 a 显然是小于一的，你说为什么小于一啊？很简单嘛，如果你大于一的话，你的值欲， 你，你说呢？因为你他的值欲，他是在什么范围内？在正负一之间呢？他肯定是小于一的啊。所以呢，此时我们就用排除法得到了只能是五分之四，必须是小于一的一个数字。 好，得完五分之四之后的话，这个 a、 c、 d 还是都有的呀。那么再接下来看哪一个呢？继续看好了，看周期呗。 周期啊，我们这个周期的话，你看图能看出来吗？这是零，这是二百，显然他的周期变大了呀。 你这个二派除欧米格是大于原来的周期二派，所以欧米格是怎么样的？欧米格是小于一的，欧米格小于一，所以你看嘛，欧米格只有二和五分之四两个选项，那当然只能是五分之四了，所以欧米格也是等于五分之四，也就是说我们现在写的话就是五分之四三，然后 五分之四 x。 嗨，那现在就剩下 a 和 c 了，你告诉我究竟是向左平移了还是向右平移？肯定是向左平移，为什么？ 因为如果没有左右平移的话，这个函数图像人家是要过坐标远点的，你坐标远点是不是稍微向左平移了一点点，平移了一丢丢？所以必须是减号左加右啊，必须是加号啊，加五分之一，向左平移， 当然是左加右，减了，是个正数啊，所以这个题的话，里头是正的五分之一，这个题选 a 就行了，清楚了吧，从左右平移啊，从周期啊，从他的值欲啊，然后来分辨究竟是哪个解题是会有这样的题目的。但是我们考试的时候啊，你看 湘潭一中，非常经典的啊，湘潭一中去年的高一期末考试试题，这是原题，大题里头肯定会有这样一道题的， 这种题的话我告诉大家怎么去做，首先它要结合三角恒能变换，一定是把这样一个比较复杂的函数变成什么，先变成这种标准的正向类型的函数， a b 的三 l， 我们给 x 加法，可能后边还会有一个长数 b 啊，这个 b 影响的是最后的上下平移，这个没有关系， 不会难到哪里去。那怎么变呢？来吧，看好了，第一步，首先你这个三是应该拆开的吧，拆开的话，他拆开以后是三 x， 口三四分之牌啊，口三 x， 三四分之牌， 但是这个口三四分之外和三四分之外都是二分之根号二啊，所以第一步的话就变成这个样子了啊，我们三 x 加上四分之外，变成他练完之后的话，继续啊，把括号打开，拆 开合并，合并之后的话看这是什么，这一看就是二倍角公式啊，二倍的什么？二倍的三 x 乘口三，那就是三二 x。 哎，这个画圈部分呢，这不正好是口三二 x 吗？所以就变成了什么，就变成了这样了，这是二倍角公式，还有这样一个两角之和的 正向公司，所以三角黄灯边上肯定考察了。那么在接下来这一步是怎么变到他的？嗨，辅助角功能是不知道吧， 辅助角公式就是构造我们需要的这样一个角，这个角可以是特殊角，也可以不是特殊角，怎么办呢？如果单独的让你把三 rx 和口三 rx 图像叠在一块来画，你画不出来， 我们需要怎么办？我们把根号二提出来，这个根号二是怎么出现的？他前头有个一，他前头有个一根号下一的平方加一的平方。 根号二是这么出现的啊，那么根号二提出来之后的话，里头就变成了三二 x 乘二分之根号二了吧，然后口算二 x 乘二分之根号二，我们二分之根号二怎么理解？还是三角黄灯牌？我们必须把这个二分之根号二看成口算四分之派， 那与此对应的，他不就正好是三按四分之拍的吧。那你根据三角横等变换，这不就变成了根号下多少啊？根号二倍的 三二 x 加上四分之派了，这就是我们最后需要的函数，这个函数图像你还是可以通过什么伸缩变换呀，平移变换呀 啊，最后总是可以变出来的，通过 y 等于三 x， 懂了吧？那既然得出来这样一个标准的函数，那接下来就非常简单了，比如说我们要求这个啊， f 四分之派，那你代入呗，那其实就是根号二倍的。嗯，四分之三派，四分之三派的话，你说三四分之三派是多少啊？那当然是根号二再乘二分之二，哦，等于一啊， 清楚了吧？这个题呢，答案是等于一的，但是这个只是第一问啊，等于一，那还有个单调增区间，单调增区间怎么去研究？我们从复合函数的角度去研究，就这样一个解析式， 它的内层是非常简单的单调递增的一个函数，它永远是单调递增的，在整个 r 上，这是内层函数，对吧？一层函数，那么这个外层函数的话，也是非常简单的， y 等于根号二倍的三 t， 所以清楚了吧，这个完全取决于外层函数，外层函数是增，那总体复合函数它就是增，外层函 函数是减，那总体复函数就是减，所以他的单调总体减，其实就是 t 在什么范围内？从外轴负半轴运动到正半轴，那不就是 t 在这个范围内吗？哦，二 k 派减二分之派，二 k 派加二分之派这样一个范围， 但是这个区间我们最终是有求的 x 的范围啊，所以这个 t 我们还原成为 x r x 加四分之牌，清楚了吧，然后进而求出 x 的范围来就行了，我就直接写了啊，就这样一个范围，最终求出来 x 的范围就是 k 派减八分之三派， k 派加八分之派， 最后写上他的重心就写出来了，清楚了吧？这是第一问，我们继续来看第二问。第二问的话，求的是最大值，最小值，也是根据复合函数的这样一个特点写出来。我还是先写他啊， 人家是根号二倍的三，按多少三，这个是二 x 加上四分之派啊，记住了，那我们其实只需要先把这个范围求出来吧，二 x 加四分之派，这个整体的范围求出来吧。来看怎么求啊？首先 x 范围是零到二分之派之间， 所以就这个画圈，这个 t 啊，它的范围就是四分之拍到四分之五拍来看好了，四分之拍在哪啊？ 这个四分之派是第一象限的角平门线呀，这个四分之三或者说四分之五派，这是第三象限的角平门线呀。 那这个范围不就是阴影部分吗？所以清楚了吧，所对应的点屁的坐标，你应该知道我的意思了吧，所以这个点屁坐标，哎，从这样一个方向运动，他最大值。 好，我知道了，电梯中轴标最大的时候，不就是运动到外轴的时候吗？外轴正满轴的时候吗？最小的时候就是四分之五派的时候。所以说接下来就非常简单，你把四分之五派抬入三四分之五派，你说等于几啊？当然是负到二分之杠二了，那么这个最大呢？三 二分之百，那当然就是一了，这最小值就是他，最大值就是他，但是前头别忘了还有个根号，根号二呢啊，所以最终他的最大值最小值分别是根号二和负一。 我们得求出来所对应的字面的值。很简单吗？当二 x 加四分之派等于 y 轴正版轴那样一个中边的时候，当 x 等于八分之派的时候，最大值是他。当 x 等于二分之派的时候，最小值是负一。那么这道题就讲完了，这节课大家应该学会了 y 等于 a 的三， omega， x 加上 fi 了吧。最后再做一下总结， a 影响的是什么？影响的是值域啊，影响的是中坐标的范围啊，对不对？然后 omega 影响的是什么？影响的是周期，影响的是横向的伸缩变换。 那么这个 fi 呢？ fi 就主要是通过左右平移来实现的，清楚了吧。啊，那么这节课我们就讲到这里啊，分享课堂知识，感受数学之美！我是安分老师，下节课再见！

hello， 大家好，之前学习了正余弦形函数的图像和性质，反过来给出图像，你要能求解析式，也就是 a， omega， five 它们三的值。 这个视频就来介绍求正余弦形函数解析式的通用方法来看第一题， 看题已知函数图像，还有 a， omega five 的 范围，求解析式很明显就是求这哥仨的值嘛。给你点时间，你仔细看看图像，并且思考图像的哪些信息。能帮忙 选 a 的 同学简直优秀，你可以轻松地听一听自己想的对不对。选 b 和选 c 的 同学也别慌，仔细听完你肯定就全都懂了。 首先， a 是 最容易求的，为啥呢？因为 a 和对值有关系。 这个函数最大值是 a 的 绝对值，最小值是负 a 的 绝对值，对吧？来看图，最大值是一，最小值是负一，这就太明显了， a 的 绝对值等于一。 题目又说了 a 大 于零，所以 a 等于一，轻松到手。然后欧米伽也非常好求。 说到欧米伽，自然会想到周期， t 等于二派除以欧米伽的绝对值嘛。那从图上能找到周期吗？ 你别说，还真能看这两个点，从负四分之派到四分之三派，最高点到最低点恰好是半个周期，对吧？也就是四分之三派减负四分之派等于派， 因此 t 等于几啊？二 pi 吧，代入 t 等于二 pi 除以 omega 的 绝对值，又知道 omega 大 于零，所以 omega 等于一。 这下就只剩 f 了， a 和 omega 都有了，再求 f 就 不难了。看图像，有两个点的坐标，负四分之派一，四分之三派负一。那随便找一个带入解析式就能求出 f 了。 点兵点将，哎，就你了，带进去一等于三 e 负四分之派加 f。 嗯？怎么解这个方程呢？画个三 x 的 图像看看。正弦值等于一，那就是最高点嘛。从二分之派，每个二派就会有一个， 所以负四分之派加 f 这个整体就等于二分之派加二 k 派，没毛病吧？ 求出 f 等于四分之三派加二 k 派。最后别忘了 f 的 范围是负派到派，简单尝试一下，只有 k 等于零时， f 等于四分之三派在这个范围内， 所以函数解析式就是 y 等于 sine， x 加四分之三派。 好的，做完题求 y 等于 a 倍三，以 omega x 加 f 的 基础玩法就有了。来梳理一下。求 a 可以 找最值，最大值或者最小值，哪个都行。 求 omega 可以 找周期，利用 t 等于二派除以 omega 的 绝对值解除 omega。 不过图像通常不会直接给出周期，而是给出半个周期，四分之一个周期，四分之三个周期等等，就像这几幅图，看懂它们就会找周期了。 接下来求 five 通常是在求出 a 和 omega 之后，带入一个点的坐标，解三角方程就好， 最后还要注意 a， omega， five 的 范围。 总结完方法，接下来这题有两个目的，第一帮你巩固解析方法，第二，讲一个我不说你多半注意不到的问题，而这个问题会让你的解析正确率大大下降。怎么样，赶紧来听一下吧。 读题 sign 变成了 cosign， 嗯，这个几乎没啥影响，还是那套方法，你先来求一下更容易的 a 和 omega 吧。 答案，选 d， 选对的同学，恭喜恭喜，那你就可以跳过这部分的讲解，直接听那个你不容易注意到的问题，而选错的同学还是再听一遍，看看哪里的理解不对吧， 来再理解一遍。求 a 要找最值，最大值是六，加上 a 大 于零，所以 a 等于六。 求 omega 要找周期 t， 教你一个找周期的办法，找零点、最高点和最低点。你看这儿的六分之派是最高点，十二分之五派是零点， 那它俩的距离十二分之五派减六分之派等于四分之派是几个周期呀？ 四分之一个周期对吧？所以四分之 t 等于四分之派， t 等于派，代入 t 等于二派。除以 omega 的 绝对值，加上 omega 大 于零，所以 omega 等于二。 现在知道自己错在哪了吗？下面要开始求派了，得找个点带入。解析式看图，有六分之派，六十二分之五派零，你想带入哪一个呢？ 我们先不说答案哈，虽然我知道大部分同学都会选错，我们先带入六分之派，六， 那会得到六等于六倍的 cosine 三分之派加派。解方程的过程不细说了，最终得到派等于负，三分之派加二 k 派结合派的范围，负派到派， 那只能是 k 等于零派等于负三分之派。想仔细看看的同学看完再点击继续吧。 第二种情况，如果代入的是十二分之五 pi 零又会怎么样呢？ 此时得到方程六倍的 cosine 六分之五 pi 加 f 等于零，余弦为零。想想余弦函数的图像 哦，从二分之派开始，每过派就有一个零点，所以六分之五派加派等于二分之派加 k 派解出派等于负，三分之派加 k 派 还是根据 f 的 范围，嗯，哎， k 等于零时， f 等于负三分之派， k 等于一时， f 等于三分之二派。哎，这俩都在这个范围里，等等， 怎么代入最高点？求出了一个 f， 代入零点，求出的却是两个 f， 有 问题吧？这是怎么回事呢？你觉得哪个正确 是这样的？你代入零点时，这个函数的确经过十二分之五拍零，但是把这个图像向右平移半个周期，像这样，这个函数也经过十二分之五拍零，对吧？ 换句话说，你用零点算出的 f， 只能保证求出的函数确实过这个零点，但过零点的未必是答案，因为还有另一个函数也过这个零点，但这个函数就是错误的。 所以求 five 这一步得特别谨慎，带入零点就可能产生错误，但是带入最高点或者最低点就不会。你看，这个函数经过六分之派六， 平移一下，得平移一个完整周期，才能再次经过六分之派六，对吧？但这样图像就重合了嘛，得到的还是这个函数。 所以求斐时务必要带入最高点或者最低点，不要带入其他的点。这事我不说，你自己不容易想到吧， 有的题为了坑你，甚至会只给零点，像这样，此时取他俩的平均数就是最高点，就要坚持带入最高最低点，一百年不动摇， 你记住了吗？那这期视频就到这里了，总结都放在这里，你可以自己看看。好啦，拜拜。

同学们，大家好，很高兴这节课和大家一起学习函数 y 等于 a 倍的 steamomeks 加 fei 的相关内容。 在现实生活中，有很多做匀速圆周运动的物体，其运动周而复始，具有周期性，如统车摩天轮。那么他们这种运动规律可以用怎样的数学模型去刻画呢？ 下面我们以摩天轮为例来研究其运动规律可以用怎样的数学模型来刻画。 摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周的景色。如图，某摩天轮的轴心区距离 地面的高度为小 h 米，转盘的半径为二米，转动开启后，按逆时针方向匀速旋转，角速度为偶一个弧度，每分钟设。经过 t 分钟后，座舱 m 从点 p 零运动到点 p， 距离地面的高度为大 h 米。那么大 h 关于 t 的函数关系是什么呢？ 如图，以 o 为原点，以与地面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系。设 t 等于零分钟时，座舱 m 位于点 p， 零以 ox 为始编 op， 零为中边的角为范弧度，经过 t 分钟后运动到点 p， 于是以 op 为中边的角为 omegat 加 f 弧度。由正形函数的定义可知， y 等于二倍的 ciaomigat 加 fai， 其中 t 表示时间，所以 t 大于等于零， 所以座舱 m 距离地面的高度大 h 与时间 t 的关系是大 h 等于二，乘以 comet 加 five 加上小 h， 这就是摩天轮运动的数学模型。 只要将他的性质研究清楚，就能把握摩天轮座舱的运动规律。由于小 h 是常量，我们可以只研究函数 y 等于二倍的 saying omegaty 加 feid 性质，那么这个函数 也就是形如 y 等于 a 倍的 staying omega s 加 five 的函数模型。其中 a 大于零， omega 大于零。 显然，这个函数由参数 a omega five 所确定。因此，只要了解这些参数的意义，知道他们的变化对函数图像的影响，就能把握这个函数的性质。 从解析式上来看，函数 y 等于 cynex 就是函数 y 等于 a 倍的 cyne。 omegax 加 fy 在 a 等于一， omega 等于一 fei 等于零时的特殊情形。所以我们可以借助熟悉的函数 y 等于赛眼 x 的图像与性质 来研究参数 a omega five 对函数 y 等于 a 倍的 saying omega s 加 five 的影响。 那么在这个节气处中含有三个参数，我们应该按照怎样的思路来进行研究呢？ 研究的方案有多种，我们可以选择从 fy 对函数 y 等于 science 加 five 的图像的影响开始研究，再依次研究 omega a 对函数 y 等于 a 被的 sayin omega s 加 five 的图像的影响。 我们先来回顾一下由原上动点形成正弦曲线的过程。 在直角坐标系中，先画出单位圆，以 o e 为圆心与 x 轴，焦点为 q 零。单位圆上动点以 q 零为起点，以单位角速度按逆时针方向运动， 经过 x 秒后，圆上动点的横坐标为 x， 纵坐标为 y。 由正弦函数的定义可知， y 等于 saying x， 再以 xy， 也就是 x sayingx 为坐标描点，就得到了正弦函数的图像。 下面我们来开始探究 fi 对函数 y 等于 siyanx 加 i 的图像的影响。这里我们固定 aomega 的取值，取 a 等于一， ome 同一个等于一。当动点在单位元 oe 上，以单位角速度按逆时针方向运动，以 q 零为起点，也就是 fei 等于零时，我们可以做出正弦曲线。 那么如果在单位源上拖动起点 q 零，使 q 零绕圆心欧一旋转六分之派到 q 一点，函数的图像会有什么变化呢？将起点旋转到 q 一时， 此时 fy 等于六分之派。我们可以画出函数 y 等于 ciax 加六分之派的图像。那么这两个函数图像有什么关系呢？大家观察并思考。在单位员上设两个动点，分别以 q 零、 q 一为起点，同时以单位角速度开始运动。如果以 q 零为起点的动点到达点 p 的时间为 x 秒，那么以 q 一为起点的动点相继到达点 p 的时间为 x， 减区六分之派秒。 这个规律反映在函数图像上，就是，如果点 f， 其坐标为 xy 是函数 y 等于 sets 图像上的一点， 那么这一点其坐标为 x 减去六分之派， y 就是函数 y 等于上眼 x 加六分之派图像上的一点。 这就说明了把挣钱 曲线上的所有的点向左平移六分之派的单位长度就得到了函数外等于上瘾 x 加六分之派的图像。 那么如果时点 q 零绕点 o 一旋转负六分之派到 q 一点，图像又有什么变化呢？ 此时动点从 q 一开始运动， fy 等于负六分之派，则可以得到函数 y 等于 cian x 减六分之派的图像。 经观察分析可知，函数 y 等于 ciax 减六分之派的图像可由正弦曲线上所有的点向右平移六分之派的单位长度而得到。那么 若发取任意角，图像又会怎样变化呢？请大家仔细观察。 我们发现正弦曲线上所有的点，当 fei 大于零时向左， 或当 fi 小于零时向右，平移 fig 绝对值各单位的长度，那么就得到了函数 y 等于 sun x 加 five 的图像。 以上，我们通过控制参数 a omega 的值，研究了 five 对函数 y 等于 c x 加 five 的图像的影响。接下来我们 继续探究 omega 对函数 y 等于 staying omegas 加 five 的图像的影响。 这里我们需要给定 a 和 fei 的值，取 a 等于一，为了研究方便，定 fei 等于六分之派。当欧米格等于一时，得到函数 y 等于 c， e x 加六分之派的图像。 那么如果取欧米格等于二，函数图像会有什么变化呢？ 我们看欧米格等于二十函数的解析式为， y 等于 saying 二 x 加六分之派， 这就是他的图像。那么这两个函数图像之间存在着怎样的关系呢？ 大家观察并思考。在单位源上，设以 q 一为起点，当欧米格等于一时，动点到达点 p 的时间为 x 秒， 而偶密个等于二十，动点的转速是偶密个等于一十的二倍，此时动点到达点屁的时间则为二分之一 x 秒。 这一规律反应在函数图像上，就是设这一点，坐标为 xy， 它是函数 y 等于 science 加六分之派图像上的一点，那么 k 点，其坐标为二分之 xy， 就是函 数 y 等于赛眼二 x 加六分之派图像上的相应的点。 这就说明了把函数 y 等于赛眼 x 加六分之派图像上的所有点横坐标缩短为原来的二分之一，纵坐标不变，就得到了函数 y 等于赛眼二。 x 加六分之派的图像。 函数的周期从二派缩短到原来的二分之一为派。 那么，当欧米格等于二分之一时，图像又有什么变化呢？ 当欧米格等于二分之一时，我们可以得到函数 y 等于 sine 二分之一。 x 加六分 派的图像同理可知，其图像可由函数外等于 cia。 x 加六分之派，图像上的所有点横坐标伸长到原来的二倍，纵坐标不变，而得到 函数的周期则由二派深长到原来的二倍，为四派。那么，若欧米格取任意的正数时，图像又会怎样呢？请大家仔细观察。 现在的欧米格等于一，它对应的曲线即为函数 y 等于 ciax 加六分之派的图像。 而当偶密个大于一时，函数图像上所有点的横坐标缩短到了原来的偶密个分之一倍。宋坐标不变。 当欧米格大于零小于一时，图像上所有点的横坐标伸长到原来的欧米格分之一倍，纵坐标不变。 因此，我们可以归纳出如下的结论，把函数外等于 ciax 加 feet 图像上所有点的横坐标，当偶密个大于一时缩短。或当偶密的 大于零小于一时，伸长到原来的欧米格分之一倍，纵坐标不变，就得到函数 y 等于 set 欧米格 s 加 five 的图像。

第三是哪里求解析式问题啊。函数 y 等于 a， c， omega x 加 five， 它的图像如图，那么确定它的一个函数解析式， 那么确定函数解析式怎么办呢？我们这里面首先应该确定的是一个他的一个政府，然后确定他的周期周期就能得出 m e 稿啊。 five 怎么求呢？ 饭，我们可以利用五点法来求，或者说找出函数的一个最高点或最低点的一个坐标，也也是可以的。也说饭，你可以利用带点，这是一种方法，带点法。第二种方法是平移法 拼音。比如在这道题里面，我们来看一下啊。首先解 a 怎么求呢？ a 是政府， 他的最大值是三，最小值负三，因此他正负很明显是 a 等于三周期，怎么求呢？这里面负六分之派到六分之五派正好是一个周期，所以周期就是派，周期为派，那么 amiga 不就二派，所以周期那就是二。 所以呢，函数 f x 就是等于三倍的 sign， 二 x 加上 five， 那 five 怎么求？我们可以利用平移的知识，这个函数图下，我们看下这个函数下说相当于相当于 y 等于三倍的三，二 x 向左平移六分之派个单位，就会得到这个函数函数图像啊。所以呢， f x 它的图像怎么来？就是由 y 等于三塞音，二 x 向左平移六分之派的单位，六分之派单位得到。 因此你要求 f x 解析式，我们利用平移的知识就可以了。所以 f x 就是等于三倍的筛引，二 x 加上六分之派。这面框是这样来打的啊。然后把小块拆开，就是三倍的筛引， r x 加上三分之肽即为所求，这是一种方法，这是一种方法，正面第一种方法法一， 那如果需要用到法二呢？那么咱们就是利用带点，带点，一般带最直点，当然你也可以带其他点， 平衡点也是可以的。那么带点的时候，我们可以利用五点法里面的知识来带，比如我在这里面带六分之派过去，嗯，带负六分之派带过去，因为负六分之派是五点法里面的第一个点 啊，五点法里面的第一个点是横坐标，是分别是零，第二个点就是二分之派派，二分之三派，二派复利文字派代表的是第一个点，所以我带到这个框里面，他就是应该第一个点的横坐标，也说是二乘以 负六分之派加范，它是第一个点的横坐标，第一个点的横坐标是零，所以范是等于三分之派，所以 f x 等于三倍的筛 in r x 加上三分之派即为所求， 这是要求他的函数解析式。正面最难的地方，其实就是个范粗项的一个判断，可以利用平移之设，也可以利用五点法，哎，当然也可以我们找 三分之派，三分之派是五点法里面第三个点，那么在这个里面，在这个括号里面啊，括号里面带三分之派过去，因为是第三个点，所以他会整体会等于派，也说或怎么样三分之二派加范， 因为是第三个点，第三点整体就会等于派，所以派也可以求出来是三分派啊，派也是三分派，这样来求啊， 啊，就是例题三求函，根据图像来求解析式问题继续例题四，我们来看一下，已经知道这个函数是 say， 没改是范，就是 a， 已经知道是正负为一了，那你求函数解析式，那么我们同理也是，现在看周期，周期 t 正面一到三，一到三，这个长度是半，是四分之一个周期，而四分之一个周期 是等于它的长度是等于二，所以周七 t 就是等于八，周七等于八， amiga 就是二派，随八就是四分之派。所以函数 y 是等于 saying 四分之派， x 加上 five。 那现在我们求这个密卡拉也是利用二点这里面一负一这个点啊，这负一一这个点是我们五点法里面的第二个点，那我将一带到这个框 里面，这个括整体就是等于二分之派，所以四分之派乘以一加上 five， 它是整体的第二个点，所以它是等于二分之派。因此 five 求收是四分之派。那函数解析是，所以 y 就等于 saying 四分之派， x 加上四分之派，极为所求，极为所求，这是他的一个解析式求犯，最重要的求犯啊！ et 五，我们来看一下，若函数 f x 的部分图像如图，图像在 y 轴上的结距为根号三，有什么呢？也说它有 y 轴的焦点的重坐标是根号三。比如说下列结论，我们来看一下啊，本质还是求解析式问题啊啊。首先 我们可以先求出，因为 a 不好求了， a 不好求，不能直接看出来，那么我们先看周期啊，周期周期十二分期盼十二分之盼，他是差了半个周期，这个长度是二分之盼 这段长度啊，是二分之派的单位。所以呢，它的周期 t 周期 t 是等于二分之派，乘二就是派了。因此第一个是对的啊。那么再来看 fi 怎么求啊？ fi 怎么求？此时 f x 因为 t 等于 pa 和米搞就等于二，它是等于 a sign r x 加范。我们来看一下啊，十二分之派，它是五点反面，这是第一个点，这是第二个点，所以它对应的是第二个点啊。第二点，那么十二分之派带到这个框里面，整体就是为二分之派。 十二分之派乘以二加上范是等于二分之派，可以求出 f 是等于三分之派，因此 f x 是等于 a 乘以塞以二 x 加上三分之派， 因为它与歪轴的交点的重坐标为根号三，所以我们 f 零就等于根号三了。 f 零是等于二分之根号三乘以 a， 因为三与三快等于号三啊，就是等于根号三， a 等于二，因此我们这里面就可以求出函数解析式。这里 f x 是等于两倍的 sign 二 x 加上三分子派，即为所求啊。那现在求出函数解析是第一个肯定对的哦，第二个 最大者为一啊，最大什么样也是对的。第三个 f 四分之派，咱们带了过去， f 四分之派是等于二， saying， 这里面乘以四分之派乘二，再加三分之派是六分之五派六 saying， 六分之五派是二分之一，所以是等于一，也是没问没问题了啊 啊，那么第四个 f x 减六分之派，那么 f x 减六分之派带到函数解析式是 are saying r x 啊，它确实是一个奇函数，因此第四个也是对的。此题我们就应该选择的是 b 选项啊， d 选项， 这是也是根据图像来求解析式问题啊啊，那么我们这边进行一个课堂，小学函数 a 啊，就是 y 等于 a 三，有没得 s 加 f？ 它的一些性质，我们重点是也 研究他的图像与性质，难点是来求出他的单调性对称轴，对称中心。那这里面会涉及到的就是第一个求函，根据图像求函数的解析式，第一个就是根据函数的图像求解析式，第二个就是已经知道解析式的情况下 判断他的单调线呢？对称轴啊，直遇问题等等。所以这个题型其实总体来说是比较简单的，希望同学们对这个他的一个把握能够把控的比较好，这个难度也不是很大啊。

同学们好，我是来自浙江省云和中学的数学教师廖爱国。 今天很高兴和同学们一起学习三角函数。第十一课时，函数 y 等于 a， sin on the x 加三 f。 通过前面几节课的学习，我们知道单位圆上的点以一零为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可以用三角函数加以刻画。 那么对于一般的匀速圆周运动，可用怎样的数学模型来刻画呢？我们先来看一下生活中的一个数学模型。桶车是我国发明的一种水利灌工具， 假定在水流量稳定的情况下，桶车上的每一个沉水桶都做匀速圆周运动。你能用一个合适的函数模型来刻画沉水桶距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 那么与沉水桶运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系呢？我们一起来分析。 如果把桶车抽象成一个圆，沉水桶看成是圆上的点，那么从始位置屁零运动到屁点，沉水桶距离水面的高度 h 由以下的量所决定。 桶车撞人中心 o 到水面的距离小 h， 桶车的半径 r， 桶车转动的角、速度 omega， 沉水桶的初始位置 p 零以及所经过的时间 t。 下面我们来分析一下它们之间的关系。 如图，建立平面直角坐标系 y， 那 么容易得到大 h 应该等于 y 加上小 h。 由于初矢位置 p 零对应的角为 f， 从 p 零运动到 p 点转动的角度为 omega t， 所以 以 o x 为矢边， o p 为中边的角为 omega t 加上 f。 有三角函数的定义，我们容易得到 y 等于 r sine on the t 加上 five， 从而我们得到相对高度大 h 与时间的关系是，大 h 等于 r 乘以 sine on the t 加上 five， 再加上小 h， 这就是我们这节课要建立的函数模型。由于小 h 是 常量，所以我们只需要研究上面这个函数的图像和性质。 只要我们分析清楚上面这个函数的图像，就能从整体上把握成水桶的运动规律。 通常我们把这类函数记成 y 等于 a， sin omega， a 加上 five， 其中 a 大 于零， omega 大 于零。 那么对于一般的匀速匀周运动，这里的参数 a omega， five 表示的是什么含义呢？我们知道这里的 a 表示的是匀速匀周运动的运动半径， omega 表示的是角速度， five 表示的是初死位置。 前面我们从统车这个实际问题出发，通过数学抽象转化成一个数学问题。根据这个数学问题的特点，我们引入构建了 y 等于 a， sine on the x 加上 five 这样的一类函数模型， 从而让同学们体会到了数学建模的过程。为了研究函数 y 等于 a， sin omega， x 加上 five， 我 们需要研究参数 a omega five 对 函数图像的影响。 我们熟悉的正弦函数 y 等于 sine 就是 这类函数在 a 等于一， omega 等于一， five 得零的时候的特殊情形。 能否借助正弦函数的图像和性质来研究三个参数对 y 的 a， sin omega， x 将 find 的 影响。你认为应该按照怎样的思路进行研究？ 回顾我们初中对二次函数图像的研究过程，我们是先令 h 等于 k 等于零， h 特殊值研究 a 对 二次函数图像的影响， 再令 k 得零， h 取特殊值研究 h 对 函数图像的影响。最后类似地研究 k 对 二十函数图像的影响。类比上面二十函数图像研究过程对你有什么启发吗？ 我们可以先固定参数 a on the five 中的两个，让第三个变动取特殊值，研究这个参数对函数图像的影响。 接下来依次研究另外两个参数对函数图像的影响，也就是通过控制变量法，从特殊到一般的思想来研究这个函数。 下面我们先来探讨 five 对 函数图像的影响。这里 a 取一， omega 取一。我们先借助数学软件来探讨 five 等于六分之 pi 的 时候的情形。 如图，如果动点 m， 以 q 零为起点，经过 s 秒后运动到点 p， 那么点 p 的 纵坐标为 sin x， 以 a 为坐标的点 f 的 轨迹就是 y 等于 sin x。 在 单位圆上拖动起点 q 零，使点 q 零绕点 o 一 旋转，六分之派到 q 一， 让动点 m， 以 q 一 为起点，经过 s 秒后到达点。那么点 p 的 重坐标 y 是 多少呢？ 应是 y 等于 sin x 加上六分之派。那么以 x y 为坐标的点距的轨迹就是函数 y 等于 sin x 加上六分之派。 下面我们来观察这两个函数图像。 我们发现函数 y 等于 sin x， 图像上的点 f 向左平移，六分之 pi 的 单位长度到达点距，点距为函数 y 等于 sin x 加六分之 pi 图像上的一点。 下面我们从点的深层的角度进一步体会这两个函数图像之间的关系。 请看问题。一，在单位圆上，这两个动点分别以 q 零、 q 一 为起点，同时开始运动。 如果以 q 零为起点的动点到达圆周上点 p 的 时间为 s 秒，那么以 q 一 为起点的动点到达点 p 的 时间是多少呢？ 应是 s 减六分之派秒。这就说明，如果 f s y 是 函数 y 等于 sine x 图像上一点，那么举例 s 减六分之派， y 就是 函数 y 等于 sine x 加六分之派图像上的相应点。 也就说明正弦曲线 y 的 sine x 图像上所有点向左平移六分之派的单位长度就得到了 y 的 sine x 加六分之派的图像。 这里我们研究清楚当 sine 取六分之派的时候的图像变换情况。那下面我们来探究当 sine 取其他值如负六分之派、三分之派、负三分之派等的情况。 通过观察我们发现，当 f 取三分之 pi 的 时候，函数 y 等于 sin x 图像。向左平移三分之 pi 的 单位长度，得到 y 等于 sin x 加三分之 pi 的 图像。 当 f 取负三分之 pi 的 时候，函数 y 等于 sin x 的 图像。向右平移三分之 pi 的 单位长度得到 y 等于 sin x 减三分之 pi 的 函数图像。 通过前面的分析，我们可以得到 y 等于 sin x 的 图像。向左平移六分之 pi 的 单位长度得到 y 等于 sin x 加六分之 pi 的 图像。 y 等于 sine x 图像。向左平移三分之 pi 的 单位长度得到 y 等于 sine x 加三分之 pi 的 图像。 y 等于 sine x 图像。向右平移三分之 pi 的 单位长度。得到 y 等于 sine x 减三分之 pi 的 函数图像。 根据上面的研究，你能得到参数 phi 对 函数图像影响的一般化结论吗？ 一般的，通过观察我们发现，当 sine 大 于零的时候，只需要将 y 等于 sine x 图像向左平移 sine 的 单位长度，得到 y 等于 sine x 加 sine 的 图像。 当 y 小 于零的时候，只需要将 y 等于 sine x 图像向右平移 y 的 绝对值的单位长度得到 y 等于 sine x 加 sine 的 函数图像。下面我们一起来总结。 一般的，当动点 m 的 起点位置 q 所对应的角为 sine 时，对应的函数是 y 等于 sine x 加 sine。 把正弦取线上所有点向左，当 f 大 于零时或向右，当 f 小 于零时，平移 f 的 绝对值的单位长度，就得到了 y 等于 sine x 加 f 的 图像。 下面我们来探索参数， omega 取 a 等于一， f 取前面所取的值六分之派。我们已经得到了当 omega 等于一的时候的函数图像。 那么当 omega 等于二的时候，如果动点 m， 以 q 一 为起点，经过时间 s 秒运动到点 p 一 点 p 一 的重坐标就是 y 等于 sine 二， x 加六分之 pi。 以 x y 为坐标，描点 h， 可得函数 y 等于 sine 二， x 加六分之 pi 的 图像。下面我们来描出这两个函数图像。 下面我们从点的深层的角度来分析。当 omega 等于一时，如果动点 m 以 q 一 为起点，经过 x 秒后运动到点 p， 那 么当 omega 等于二时，动点 m 运动到点 p， 需要的时间是多少呢？应是二分之一 x 秒。对应函数图像上点 k 的 坐标是多少呢？ 应是二分之一 x y。 上面我们找到了两个函数图像上任意两点的变化情况，那么这两个函数图像之间存在怎样的变换关系呢？我们一起来总结。 把函数五二等于 sine x 加六分之派的图像上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一，重坐标不变，就得到了函数五二等于 sine 二， x 加六分之派的图像。 函数五二等于 sine x 加六分之派的周期为派是五二等于 sine x 加六分之派的周期的二分之一。 你能说一说，当 omega 等于二分之一，三三分之一对应的函数 y 等于 sine omega x 加上六分之 pi 的 图像又该如何变化吗？ 我们以 omega 等于二分之一的时候为例，当 omega 等于二分之一时，动点的转数是 omega 等于一的时候的两倍。以 q 一 为起点，到达点 p 的 时间是 omega 等于一的时候的两倍。也就是说， 如果局点 x y 是 函数 y 等于 sin x 加六分之派图像上的一个点，那么 k 点坐标二 x， y 就是 函数 y 等于 sin 二二分之一， x 加六分之派图像上的相应点。 把函数五二等于 sine x 加六分之派图像上所有点的横坐标生产到原来的二倍重坐标不变，就得到了函数五二等于 sine 二分之一， x 加六分之派的图像。 函数五二等于 sine 二分之一， x 加六分之派的周期为四，派是五二等于 sine x 加六分之派的周期的二倍。 根据上面的研究，你能得到参数 omega omega 大 于零对函数图像影响的一般化结论吗？ 请同学们仔细观察。当 omega 大 于一的时候，函数 f x 的 周期变小了，相对于矩点， k 点的横坐标缩短了，纵坐标保持不变。 再观察，当 omega 大 零小一的时候，函数 f x 的 周期变大了，相对于矩点， k 点的横坐标深长了，但重坐标保持不变。下面我们一起来总结。 一般的函数 y 等于 sine omega， a 加 five 的 周期是二派，除以 omega， 把函数 y 等于 sine omega 加 five 图像上所有点的横坐标缩短，当 omega 大 一时 或伸长，当 omega 大 零小一时，到原来的 omega 分 之一倍，重坐标不变，就得到了函数 y 等于 sine omega， a 加 five 的 图像。 下面我们来探索参数 a。 有 了前面探索参数 five 与参数 omega 的 经验，我想大家一定有了自己的思路。取前面所取的值， omega 等于二， five 等于六分之派。 那么当 a 取一和 a 取二的时候，我们做出它们的函数图像。 结合两个函数的图像，我们继续分析，如果 k x， y 是 函数 y 等于三，二 x 加六分之派图像上的点， 那么 n x， y 是 函数 y 等于三，二 x 加上六分之派图像上的相应点。 我们来总结。把函数 y 等于 sine 二 x 加六分之 pi 的 图像上所有点的重坐标伸长到原来的两倍，横坐标不变，就得到了函数 y 等于二， sine 二 x 加六分之 pi 的 图像。 那么如果 a 取二分之一，三三分之一，对应的函数 y 等于 a， sin 二 a 加六分之 pi 的 图像又该如何变化呢？相信大家自己能够解决这个问题， 下面我们来看一下，根据上面的研究，你能得到参数 a a 大 于零对函数图像影响的一般化结论吗？下面我们来探求。 当 a 大 一的时候，函数 f x 周期不变，最值在变，相对于 k 点 n 点的纵坐标伸长，横坐标不变。 当 a 大 零小一的时候，函数 f x 的 周期不变，最值在变，相对于 k 点 n 点的纵坐标缩短，横坐标不变。 下面我们一起来总结。一般的函数 y 等于 a sin omega a 加 five 的 图像，可以看作是把 y 等于 a sin omega a 加 five 图像上所有点的纵坐标伸长，当 a 大 一时 或缩短，当 a 大 于零小一时，到原来的 a 倍横坐标不变而得到 函数 y 的 a。 在 omega a， 将 find 的 值域是负 a 到 a 的 b 区间，最大值是 a， 最小值是负 a。 下面我们来看两道巩固练习。请看第一小题。 要得到 c， 只要把函数五二等于三倍三 x， 图像上所有点应选 b 向左平移五分之 pad 单位长度。 下面请看第二个练习。为了得到函数五二等于三三二 x 加五分之 pad 的 图像，只要把 c 上所有点 应选 b， 横坐标缩短到原来的二分之一，重坐标不变。 下面我们来总结这节课所学的内容。本节课我们从统称模型这个实际问题出发， 通过数学抽象构建了 y 等于 a sine on the x and phi 这样的函数模型。通过类比初中二次函数图像的研究思路， 利用特殊化思想研究了参数 a omega five 对 函数 y 等于 a sine omega h 加 five 图像的影响，为研究它们的性质做好准备， 从而解决了统车模型这个实际问题，掌握了一般的匀速匀速运动的运动规律。以上就是本节课的所有内容，同学们再见！

同学们大家好，今天给大家讲解还是我们第五张的三角函数有关图像，然后我们求这里面的参数问题啊。首先来我们看一下这道题啊，这道题的话， 我们是 f x 等于 a 倍的 sin omega， x 加 f， 这里面考试的时候大家看下，这里面会告诉我们这 a 是 大零的 omega， 大 零 还有 find 呢，绝对是小于 pad， 基本上会告诉我们这些条件这些，这里面会出现三个维度， a， omega 和 find， 有 可能后面还会出现一个加 b 的 形式啊。然后呢，这时候的话，我们要根据图像要把这些参数求出来， 所以在讲这个之前的话，我们要把这个什么呀？我们的 y 等于什么呀？ a 倍的 sine omega， x 加 f， 再加上一个 b， 这里面的这几个参数呢，我先给大家来讲解一下啊。 首先这个 a 来代表什么呢？ a 就 代表它的什么呀？最高点和最低点。我们先从最基本的 a 倍的 sine omega， x 加 f 来说啊，这个加 b 我 们再说啊，相当于 a 就 代表这个图像的最高点，最低点。你看，我们先拿这个图像来说吧，最高点和最低点是不是最高点是二，最低点是负二，所以说有，我们有 a 大 于零呢，我们可以推出来直接看，有图可知 a 是 等于二的， 清楚吧，这个 a 呢，代表最高点和最低点。好，那如果这后面又加了一个 b 呢？来大家看一下。好，如果我给大家画一个图像啊，大家来看我画一个图像， 好，假如画了这个图像呢？这个图像最高点呢？这边我写了一个比方，我们的二吧，好，最低点这个位置呢，我写一个 假如说是负四啊，好，大家来看一下，如果没有后面的这个加 b 的 话，那大家想想我们的最高点和最低点是关于谁对称的？关于 x 轴对称的， 所以说在求这个 a， 怎么来求呢？你就去找最高点和最低点的。什么呀？对称，关于谁对称呢？你看二和四呢？关于谁对称？二和四是关于负一对称的， 二和四呢？是关于负一对称的啊，好，那关于负一对称的话，你看如果我把 s 轴往下移一个负一的话，你可以看一下最高点是不是就变成三呢？因为这个长度呢，是不是就是三个单位长度，下面也是三个单位长度，所以我们有粗可知，这个 a 呢， 就等于三了啊， a 等于三，那这个 b 等于多少呢？我们是不是有原始的图像呢？我们怎么来一平移呢？因为他要是如果是三的话，这个当我们这个 a 被 算，我们一个 x 取一的话，他是不是最大值？如果没加 b 的 话，最大值取了是三，但是现在呢，最大值是不是看这个图像变成个二了，说明我们可以倒出来 b 就 等于负一？ 好，来，我们来验证一下，看是不是 b 等于负一啊？如你看我们还看这个图啊，如果没有我们的谁呀？ b 的 话， 加上这个加 b， 我 先不写，如果没有 b 的 话，我们的最小值是应该是几啊？大家看一下，这个 a 是 不是等于三，最小值是不是负三呐？但是呢，你现在的最小值是几啊？是不是负四？所以我们后面要减去一个一， 所以有这个可导了，我们可以导出来， a 是 等于三， b 是 等于负一的啊， b 是 等于负一的，这我给大家来讲解一下，这面 ab 代表什么意思啊？然后接下来这个 omega， omega 代表什么意思呢？ omega 好， 题目中会给我们图像，根据图像呢，我们会把它的什么呀，最小的正周期求出来，大家要看一下，我们求的是最小正周期， 最小正周期呢，是不是我们根据图像能求出来？那最小正周期这个 t 等于谁呀？就等于二 pi 比欧米伽的绝对值，欧米伽的绝对值。 好，一定要记得是绝对值啊，是不是这个绝对值，欧米伽绝对值我们就求出来了，然后具体怎么来求斐呢？我们拿着这个题来解释一下啊，因为这个求斐的过程是复杂的啊，所以来看一下这个图啊， 来看一下这个图的最高点和最低点是几，是不是一个二，一个负二呢？所以我们来看第一题的话，我们是不是减，我们如图所示呢？由奇异可知， 如图所示，由奇异可知。是不是 a 就 等于二啊？因为 a 是 大于零的啊， a 大， a 等于二。然后接下来我们再求 omega， 然后 omega 等于谁呀？首先我们来算一下它的最小正周期等于多少，是不是 t 啊， t 就 等于谁？是二乘以 八分之三派，是不是减去八分之派，是不是就加上八分之派呀？等于多少呢？是不是等于我们的这是八分之四，八分之四呢？然后是不是就等于我们派了？所以我可以倒出来，谁呀？即二派比欧米伽是不是就等于派？ 所以说呢，欧米伽就等于二了，欧米伽就等于二，这是不是欧米伽出来了？好，这里的斐怎么来求呢？大家看，所以我现在的这个级数变成谁了？ f x 等于二倍的 sin， 二 x 加 y， 好， 这时候呢，你就取任意一个值，你看这里面我们知道谁呀？当 x 等于负八分之派的话，它是二，当 x 等于八分之三派的话，它是一个负二，所以我们带任意一个坐标，任意带一个坐标，我们带谁呀？是不是我们把这个谁呀？ 把，我们想用负的话也行，用正的话也行啊，我们用正的吧，八分之三派负二，是不是带入 f x， 我 可以导出来，谁呀？ 奇，好，二倍的塞，八分之三派乘以二是多少？是不是四分之三派加范呢？是不是就等于负二？ 奇呢？塞的四分之三派加范呢？是不是等于负一？好，这时候呢，我们怎么来看呢？我们去画塞函数啊，画塞函数我们把它当成一个 t 啊，去画三 t， 好，来看一下，大家看，三 t 等于负一，三 t 哪些是等于负一的呢？是不？我们来看一下，三 t 等于负一的话，是不是这个负二分之三，然后这些我们去写呀？那所以说我可以倒出来，四分之三派 加上派要等于多少啊？是不是负二分之派加上多少？负二分之派是不是加上一个二可以派呀？ 好，这是等于负一的时候又，我们是不是现在来把这个斐来解出来啊？所以说斐就等于多少，我们把这个四分之三带进去啊？是，这是四分之二，所以等于负的四分之五派加二 k 派， 好，因为这里面的斐是什么呀？斐是小于多少呢？我们斐的绝对值呢？小于派，所以我对这个 k 来负值啊， k 来负值，所以说我们可以看出来，当 k 等于零时的，它是负的，负四分之五派呢，它都大于派了，所以说不行，所以说我们看是不是我们当 k 等于一时，是不是可以倒出来，斐就等于二派减四分之五派，是不是派就等于四分之三派啊？ 是不是四分之三派了？所以这个题呢，我们就得出来这个 five 等于四三四分之三派了啊，一定要清楚， 通过代入一些特殊点，代入完以后呢，我们要把这个函数呢去找三 t 函数的比方，让等于一时等于负，一时是负一，是负二分之派，那一的话，是不是就二分之派加二 k 派呀？ 加二 k 百，然后把这个斐反解出来，再根据这个斐的取值范围呢？还有我们因为我们这里面 k 是 属于 z 的， 然后对 k 来找 k 值，然后来满足条件就行了，这是我们说这个啊，然后这第一问是不是就结束了？所以说呢，我们的 f x 的 解析式是这样， 二倍的三根是多少？二 x 加四分之三排 好，如果你把第一问算出来的话，是不是第二问呢？第三问呢？对我们来说就简单了，我再领着大家把前面讲解的东西来复习一下。好题目，问你 f x 单调减区间是不是？我们首先看这个括号里面是谁呀？是不是我们的 可以理解为是不是一次函数啊？前面给大家讲了一次函数呢，这里个二呢是大于零的，所以说一次函数是单调递增的，我们题目中要求单调递减区间，怎么来求啊？是不是单调递减区间就行了？那我们 sin 什么呀？ sin t 的 单调递减区间是谁啊？大家是不是我们知道是二分之派，我们的， 因为题目上单调递减啊，所以说我是不是可以求一下三 t 的 什么呀，单调递减区间就行了，对不对？三 t 的 单调递减区间就行了啊，所以说呢，我们来看一下第二题，然后 f x 的 单调递减区间，我领着大家再画个图吧。 好，这首不是我们的图吗？是吧，所以说我们来看一下我们的接下来看第二问啊，因为我们第一问 把那个 f i 求出来， f x 呢？是二 x 加四分之三派，对不对？因为四分之三派，刚才给大家说了，二 x 加四分之三派呢，我可以把它当成一个三 t 三 t 的， 我们这个 t 呢，是不是看成一个依次函数 二是大零的，所以这里面是单调递增的。题目中让我们求 f x 单调递减区间，是不是求三 n t 的 单调递减区间呢？我们刚才也画图了，单调区间递减区间是谁呀？是不是我们的二分之派呢？加二 k 派到二分之三派加二 k 派，所以我们可以看啊， 我们根据图的可以知道，我们的二 x 加四分之三派要大于等于谁。二 k 派加上个二分之派，小于等于二 k 派，是不是加上二分之三派呀？好，然后接下来我们来 解这个，记着这个 k 是 属于 z 的 啊，我们解这个连续的不等式，首先不等式两边同时减四分之三，变成二 x 小 于等于二 k 派。好，二分之派是四分之几派，四分之二，四分之二派，减四分之三派的是减去四分之派 啊，小于等于这个二 k 派，然后四分二分之三的是四分之六，四分之六，减四分之三呢，是加四分之三派，然后 k 是 属于 z 的， 接下来同时除以二呢，变成 x 大 于等于 k 派，减八分之派，小于等于 k 派，加上一个多少八分之三派。然后我们 k 是 属于 z 的 啊， k 是 属于 z 的， 是不是这样子我们就把它来求出来了啊？求出来了，这我们给大家说了这个啊， 好，这是第二问就行了，我们怎么来写呢？所以说 f x 的 什么呀？单调 减区间为谁？是不是为写成你写集合也行，写成一个区间也行啊。 kpi 减八分之派到我们的 kpi 加八分之三派，好， k 是 属于 z 的， 好，这是我们说的这个啊，这是我们的第二位。 然后接下来我们看我们的第三问，第三问是谁呀？ x 属于我们的负八分之三派到四分之派，求 f x 的 值域，这是不是我们相当于给大家讲的复合函数啊？因为我们的 f x 是 等于谁啊？等于我们的 二倍的塞因二 x 加四分之三派，所以这个题的话，我们可以换元一下，你不讲换元也行，是不是我们前面给大家讲了方法啊，你可以按照方法来，不讲换元就写什么呀？因为 x 是 大于等于负八分之派，八分之三派小于等于四分之派，所以我可以得出来，二 x 加四分之三派属于谁啊？我们来算一下，二 x 的 话，是不是我们同时乘一个二，乘一个二就变成负四分之三派，小于等于二 x， 再小于等于乘一个二是二分之派，然后呢？二 x 加四分之三派呢？是不是就大于等于零？小于等于多少？ 好，大于等于我们的零小于。好，二分之派乘个二呢？是派， 派加四分之三派呢？是我们的四分之七派吧。看一眼啊，因为我们的二乘以它是二分之派，是不是就变成我们的四分之七派了？好，这是我们说这个啊。 好，这个是，这个是我们的四分之二派啊。写错了，四分之二派是不是就变成四分之五派了？ 好，这是我们把这个二 x 加四分之三的取出方位算出来，就是我们的零到小于等于四分之五块。好，来，我们再画图啊。画图，画谁的图呀？还是画整体的啊？刚才已经说了，我们令它等于 t 画三 t 的 图， 自然 t 的 图呢？这个图呢？ t 的 取值范围是谁呀？是我们从零到四分之五派，四分之五派大致在这个位置啊。好，我们可以看出来 最大值是谁，是不是最大值我们可以取到最高点，最低最小值呢？是不是就是四分之五派呀？所以说我们可以得出来什么，当我的二 x 加四分之三派等于二分之派时，因为这道题只让你求值域，没有让你求 x 取值范围啊。我就多说一点，把 x 取值范围也写出来啊。即，那我们的 x 等于多少啊？ 二分之派，我们二分之派减四分之三派呢？是四分之二派，减去四分之三派呢？是负四分之派，再除以二呢？是不是负八分之派？好， x 等于负的八分之派时， 是不是这时候 f x 呢？取到最大值是等于几啊？因为最大值 f x 最大值是一乘一个二呢，是不是就是二？好，那我们的当谁啊？当二 x 加四分之三派等于四分之五派时， 即 x 等于多少？四分之五派是不是它取到它的端点呢？端点呢？刚才我们题目中是不是 x 等于等于 四分之 pi 十 f x 取的最小值是谁呀？二乘以负的二分之根号二是等于多少？是等于负根号二的。所以说 f x 的 值域为多少？值域是不是就为负根号二到二了？负根号二到二了啊，这我们给大家讲了这道题啊。

同学们好，今天这节课我们一起来学习函数 y 等于 a， 餐饮欧米伽 x 加 five 的图像。 通过前面的学习，我们知道单位原上的点以一连为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画。那么对于一个一般的匀速圆周运动，可以用怎样的数学模型来刻画呢？ 我们来看一个实际问题。桶车是我国古代发明的一种灌溉工具，假定在水流稳定的情况下，桶车上的每一个呈水桶做匀速圆周运动。 你能用一个合适的函数模型来刻画成水桶距离水面的相对高度与时间的关系吗？如果将桶车抽象为圆， 成水桶抽象为圆上的点，经过时间七秒后成水桶，距离水面的高度 h 与哪些量有关呢？他们之间有怎样的关系？如图，我们容易看出他由下面量决定 转轮中心到水面的距离。小 h， 桶车的半径 r， 桶车转动的角、速度 omega， 呈水桶的初始位置 p 零以及所经过的时间 t。 下面我们就来寻求大 h 与时间 t 之间的函数关系。 如图，以凹为圆点，以于水面平行的直线为 x 轴建立直角，坐标系设替等。零时呈水桶 m 位于 p 零，以 ox 为始编，以 op 零为中变的角为 five， 经过 t 秒后运动到 p 点， p 点的坐标系为 xy。 那么有图我们就能知道大 h 等于小 h 加上 y， 其中小 h 是一个长数，我们只需要研究 y 和时间 t 之间的关系。 七点 p 零所对应的角为范，经过时间替动点从 p 零 旋转到 p， 所旋转的角度为角，速度乘以时间 omega t。 由此我们就能得到 以 ox 为始编，以 op 为中边的角为欧米加 t 加 f。 由三角函数定 e 可得到 y 等于 r 乘以塞引欧米加 t 加 f， 所以大 h 等于 r， saying omega， t 加饭加小 h。 这就是我们需要建立的函数模型。在实际生活中有很多的现象，像摩天轮物理中的蛋白都可以用这类函数来刻画。 我们只需要研究这个函数的性质，就能把握呈水桶的运动规律。由于这小 h 是一个长量，我们只需要研究上面这个函数的性质。通常我们把这一类函数记为 y 等于 a， saying omega， x 加 five。 我们观察这个函数，其中有三个参数， a， 欧米噶和 five， 他们的变化影响 函数的性质。我们回忆我们熟悉的正线函数 y 等于三 x， 它就是这个函数在 a 等一 omega 等一 sft 零时的特殊情形。 那么我们就可以借助我们熟悉的正弦函数的图像与性质来研究参数 aomega fi 对这个函数的影响。 同学们，再看这有三个不同的参数，那我们应该怎么去研究呢？我们可以把其中的两个参数先当成常量，让第三个参数变化。 这样的话，我们分别研究三个参数 aomega 和范对函数的影响，然后再进行整合。我们不妨先探究参数范对函数 y 等于 c， x 加 five 图像的影响。此时 a 和欧米盖取出市值 a 等一欧米盖等一。下面我们通过 gjp 课件来探究 f 对函数图像的影响。 首先我们取 a 等一欧米的等一再等于零的时候，他对应的圆周运动是在单位圆上动点，以 q 零为起点，以单位角速度逆时针旋转， 经过时间 x 旋转到点 p。 那么由三角函数的定义，我们就知道 p 点的纵坐标 y 等于散引 x， 以 xy 为坐标秒点，这样我们就能得到 y 等于散隐 x 的图像。 我们让 a 和欧米杆不变，仍然取 a 等一欧米的等一 fift 等于六分之派的时候，对应的圆周运动是，将起点 q 零绕圆心，逆时针旋转六分之派到 q 一 动点。以 q 一为起点，以单位角速度逆时针旋转， 经过 x 秒后，运动到这一点的纵坐标是多少呢？ 我们看这个角是六分之派，从 q 一转到这个点，转动的角度为 x， 那就能得到这个点的动作标是 y 等于散引 x 加六分之派， 这样动点的轨迹就是 y 等于散引 x 加六分之派的图像。我们来观察这两个函数图像之间有什么关系呢？ 由正弦曲线外等于散引 x 上所有点向左平移六分之派的单位，就得到了外等于散引 x 加六分之派的图像。以 a 等一欧米格等一再等于负的六分之派。 对应的圆周运动是，将起点 q 零绕圆心，顺时针旋转六分之派到 q 一 单位原上点，以 q 一为起点，逆时针方向以单位角速度旋转 x 秒后到这一点。那我们看这一点的纵坐标是多少呢？ 从 q 一到这个点，旋转的角为 x， 所以对应的以 ox 为始编的这个角为 x 减六分之派，就能得到这个点的动作。标为 sayingx 减六分之派，我们就得到了 y 等于 sayyx 减六分之派的图像， 我们来观察 y 等于 cnx 与 y 等于 cnx 减六分之派的图像之间有什么关系。 能看出将 y 等于散隐 x 图像上所有点向右平移六分之派的单位得到 y 等于散隐 x 减六分之派的图像。 当 f 等于三分之派的时候，我们观察外等于散以 x 的图像与外等于散以 x 加三分之派的图像之间的关系。 由外等于散引 x 图像上所有点向左平移三分之派个单位得到外等于散引 x 加三分之派的图像。我们再来看 当 fi 取负的三分之派的时候，这两个函数图像之间的关系。由 y 等于赛眼 x 图像向右平移三分之派的单位得到 y 等于赛眼 x 减三分之派的图像。 我们看再取任意值的时候，比如再取十二分之派。看这两个函数图像之间的关系， 由 y 等于散隐 x 图像上所有点向左平移十二分之派的单位就得到外等于散隐 x 加十二分之派的图像。 我们看当再等于十二分之七派的时候，由外等于赛野 x 图像向左平移十二分之七派，就得到外等于 赛饮 x 加十二分之七派的图像。那我们看一下，当赛取正数的时候，我们发现只需要将外等于赛饮 x 图像向左平移赛的单位，就能得到外等于赛饮 x 加赛的图像。 那么当塞取副值的时候呢？我们看塞取副的十二分之派的时候， 将 y 等于散隐 x 图像上所有点向右平移十二分之派的单位就能得到 y 等于散隐 x 减十二分之派的图像，我们再看其他值 再等于负的四分之派的时候，将外等于赛意 x 图像上所有点向右 平移四分之派的单位，就能得到外等于散隐 x 减四分之派的图像。那通过刚才的观察同学总结一下，当赛去复职的时候，我们由外等于散隐 x 图像，怎么来得到外等于散隐 x 加 five 的图像呢？ 可见，只需要将 y 等于赛眼 x 图像上所有点向右平移 fy 的绝对直个单位，就能得到 y 等于赛眼 x 加 fy 的图像。 我们结合圆周运动，从点的生成的角度来看这两个函数图像之间的关系。 在单位元上动点分别以 q 零和 q 一为起点，以单位角速度逆时针 旋转，是以 q 零为起点的动点运动到圆周上某一点 p 所需要的时间为 x 秒。那么以 q 一为起点的动点运动到同一点 p 所需要的时间是多少呢？ 我们来看，从 q 零到 p 运动的时间是 x， 那么转动的角度为 x， 所以从 q 一到 p 点转动的角度为 x 减六分之派，因此 所需要的时间为 x 减六分之派秒。这反应在函数图像上就是，如果 fxy 是 y 等于 赛引 x 图像上的一点，那么 x 减六分之派外为坐标的点，这就在函数外等于赛引 x 加六分之派的图像上。 回忆我们初中学过的点的平移，这点是由 f 点向左平移六分之派个单位得到的。 这就是说，把正弦曲线外等于散引 x 上所有点向左平移六分之派的单位，就能得到外等于散引 x 加六分之派的图像。 研究完了再等于六分之派的情形，那我们看一下再取其他值的时候呢？请同学们结合课件 来探究一下范，比如分别取负六分之派、三分之派、负三分之派时的情形。 通过刚才的研究我们知道，把 y 等于赛眼 x 图像上所有点向右平易六分之派的单位长度，就能得到外等于赛眼 x 减六分之派的图像。我们从点的生成的角度来看， 如果 f xy 是 y 等于散眼 x 图像上的点，那么 x 加六分之派外这个点从解析室就能看出，他在这个函数图像上，根据点的平移， f 点向右平移六分之派的单位就能得到。这点 我们看，当再等于三分之派的时候，如果 fxy 是 y 等于赛眼 x 图像上的一点，那么 x 减三分之派外就是函数 y 等于赛眼 x 加三分之派的图像上的点有点的平移，这点可有 f 点向左平移三分之派个单位长度得到。 也就是说 y 等于赛印 x 图像上所有点向左平移三分之派个单位就能得到 y 等于赛印 x 加三分之派的图像。 当 f 等于负的三分之派的时候，如果 f 是 y 等于 cnx 图像上的点，那么 x 加三分之派， y 就是函数 y 等于 cynxj 三分之派的图像上的点，这个点这 可有 f 点向右平移三分之派个单位长度得到。这就是说把外等于赛眼 x 图像上所有点向右平移三分之派个单位长度，就能得到外等于赛眼 x 减三分之派的图像。 好同学研究了 five 等于六分之派、负六分之派，三分之派、负三分之派这些具体的值之后，那么 f 取其他的任意值的时候，对函数图像有什么样的影响呢？我们通过课件来探究一下。 好，经过刚才的探究过程，我们知道当动点 m 的起始位置 q 所对应的角是 fei 时，它所对应的函数为 y， 等于。

重点来了，今天我们正式来讲三角函数领域最核心的知识，我们正弦函数的图像的性质，那么大家拿做好笔记，跟着老师一起上课， ok， 同学们，那么我们学正弦函数，顾名思义，正弦，正弦嘛，它是由我们的正弦塞 引导出来的函数 y， y 等于 sin x， 那 么这个 sin 呢？是什么意思呢？老师在刚讲三角函数定义的时候，就给大家强调过，什么叫 sin， 什么叫 cosine， 大家的思维要往哪方面靠呢？要往平面直角坐标系上的横纵上去靠， 准确点说，要往我们单位圆里的坐标的横纵坐标上靠，那么 sin 就 应该是纵向的坐标， cosine 就是 横向的坐标， 那么也就是说，随着角的变化，他的纵坐标在单位圆上有什么样的变化呢？哎，就是这样的一个函数，我们要去学习，所以说大家学习函数一定要明白他怎么来的，以及他的图像的细节。那么老师带大家一起来画三角函数的正弦函数的图像。大家来看， 我们在画图之前，我们必须得有一个单位圆，大家来看，必须得有一个单位圆啊啊，老师随手画一个圆，大家用圆规好好打出一个圆来， ok， 那 么我们可以把这个横给他延长延长一些，然后呢，我们的纵坐标呢，可以在这 y x， 也就是我们的平面直角坐标系圆点在这啊，在这在这，我们的图像往右画，但是呢，我们借助这个圆去画，这个圆是单位圆，边长是一，半径是一。 ok， 那么我们 x 扮演了一个自变量，也就是这里边的角的自变量，那么他的起点应该是零，从零开始，沿着逆时针方向为正去旋转，对不对？那么从零增加到九十，增加到一百八，增加到二百七，增加到三百六，在这旋转。那么图像是什么样呢？我们关注的是什么来的？大家想关注的是 纵坐标，哎，大家注意， side 就是 纵坐标，那么我们以后要学鱼线函数呢，那我们的重点就是横坐标，大家注意一定要明白这个点，那么请问大家起点这个点的纵坐标是多少呢？ ok， 这个点众坐标，谁都知道，他应该等零，所以说零对应的众坐标是零，他过圆点，第一个零是指横坐标的零，也就是这个角就是零，那么零度对应的众坐标是零，也就是他的正弦值的零，大家能明白吧？零度对应的正弦值的零，也就是三点零的零啊。继续我们往上抬， 大家看我抬到某一个点的时候，他的纵坐标是不是在变大呀？对不对？所以这个图像很明显是增函数在上升，那么怎么个上升法呢？大家跟上他在这走，我们学过物理更好了，这个走的什么运动呢？这个叫匀速圆周运动， ok 吧？匀速圆周运动有什么？有角速度？ omega， 它以一个均匀的 omega 在 这，它不快，不，它不，不是嗖，哎，变慢了，嗖，变慢了，不是这样跑的，它是均匀的在这跑。大家想象时钟，时钟给它反过来，时钟再转，均匀的再转， ok 吧？那么大家想均匀的再转，我们把这一套给它平分成三个系列， 哎，相当于一个披萨，我给它切成三等份啊，切成十二等份啊，这个，这四分之一份切成三个等份，那么大家说这一个多少度？ 是不是应该三十度啊？对不对？三十度，三十度，三十度，那么从他转圈的角度来讲，是不是路程是一样的，对不对？这个路程和这个路程和这路程一样，那么速度还一样，路程还一样，说明时间是一样的。大家想横坐标是什么？横坐标我们就可以给他想象成一个时间 不同的时间，他的纵坐标的位置的图，对不对？那么一个时间他来到了这啊，又来一个时间，他来到了 这，又来一个时间，他来到了饼，哎，大家看这个图是不是应该这样式的？有时候老师你这图为啥不是直的呢？为什么是一个这样的弯曲的呢？ 大家看啊，同样的时间，他的嘚了 y 也是 y 值的变化，一样吗？他的 y 值变化了这些， y 值变化了这些， y 值变化了这些。 那么大家都学过三十度的正弦是多少？三十度算正弦，是不是二分之一啊？大家看二分，这是不是一啊？二分之一是不是占一的一半啊？对不对？所以说这个点是二分之一，也就是三分之一的时间走了二分之一的路程， 大家看这就是三角函数正弦函数的特点，一定要学会。再走三分之一的时间，他又走了一个路程，那么这个路程还有那么多吗？注意，没有那么多了， 六十度的正弦是二分之根号三，那大家注意二分之根号三，约等于多少呢？约等于这个是一点七除以二，约到一点七除以二，零点八六左右，零点八五，零点八六点，对吧？零点八六几， 那么零点八六还没到一呢，对不对？也就是说这个从零点五走到零点八六，这个长度他并没有这么长度，那么大，他变小了，所以这个图像是这么走的，大家看能理解吧？那么第三个时间呢？从零点八六变成一就走了，这么不点 走了零点一几，对不对？所以说他是有个大中小的一个变化，同理，那怎么上来的他就得怎么下去， 下来，下来是不是有一百二，一百五、一百八呀，对不对？所以说下来大家看，又来一个时间，走到了二分之二，又来个时间，走到了二分之一，又来个时间走到了零，大家看上上上下下，对不对？ 那么下边也是一样的，我们把这个线都给他延长出去，这个应该是二百一十度，这个应该是二百四十度，这是二百七十度，这个呢？应该是三百三，这个呢？应该是三百二百七，三百三百三，对不对？那么他下来从这往下来负二分之一，对不对？这不正二分之一吗？这不负二分之一吗？都是对称的，大家注意。来，再来一个，再来一个，我们把横轴标伸长， 把横着不要伸长， ok， 两个、三个、四个、五个、六个。第一个来到了负二分之一，负二分之一，大家看啊，负二分之一，老师在这画出来，负二分之根号三。哎，老师搁这画出来 啊，负一啊，老师说这个手画可能是存在的一点小误差，大家去感受，你们可以用格尺去挡啊，自己争取画出一个完整的图像来。负二分之一，负二分之三，负一也就二百七十度，二分之三派对应负二分之三，那么这个呢？应该是三分之四派，这个是六分之七派，派六分之五派， 三分之二派，二分之派，三分之派，六分之派，他们分别对应哪个点？大家都要把它记住来，这个往上来，哎，这个是负二分之二三，这应该是三分之五派， 哎，再往这来应该是这个角，应该是这个角了吧？刚才三分之五派在这，这个应该是这个角了，负二分之一，这个角六分之十。一派最后回上来二派，大家看一个完整的正弦图像出现在你的眼前， 那当然了，他还可以继续转，所以说这边图像还可以继续延伸，他可以往回转，这边图像也可以延伸，所以说这个图像是一个无限的延展的图像。但是老师画出来了一个圆，出现的一个图像，也就是一个周期，一个周期 啊，我们管这个叫最小正周期，最小正周期等于二派，大家看周期函数最小正周期，二派在零到二派上一个完整的周期，我们可以清晰的感受到正弦函数的一个一些特点，比如有最大值一，谁对应的呢？最大值 是二分之派，那如果我们带上周期呢？就是加上二 k 派对应的来看，最小值是不是二分之三派？最小值是二分之三派加二 k 派对应的。那么我们往这边延展的时候，我们会发现它过圆点，所以它是一个奇函数 积函数，那么他在，他在这二分之派就用最大值，那这边的最小值应该负二分之派，对不对？所以说这个上是增的，这上是减的，所以说他是一增一减，一增一减，一共是二派，所以说它的增区间长度是派， 减区间长度也是派，所以说这就是单调性、基调性以及最大值、最小值以及一些零点。那么大家注意，零点老师也写上零点， 得零的点都有哪些呢？零派、二派、三派，所以说我们写成 k 派啊等等。那么所以说我们对于正弦函数，老师觉得这些东西都是附属产品，不是很重要，我们要自己独立的将这些二分之一、二分之二、三一下降上升这些点位把它掌握好。